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同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1） 同角三角函数的基本关系式： 平方关系： 商式关系： 倒数关系：（2）诱导公式：A 函数名称不变，符号看象限。
（公式一） （公式二）（公式三） （公式四）（公式五）B 函数名称要改变，符号看象限。
（公式六） （公式七）（公式八） （公式九）方法总结：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：用公式二或一 用公式一用公式三、四、五（或六、七、八、九）三、例题分析：例1、求值：求下列角度的三角函数值。
1. sin(－330°)=_______，2、cos4080°=_______．3、cos(210)-︒4、27tan4π5、cot(1470)-︒例1化简sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)cos(π-α)tan(3π-α)．例2、设的值为（）例3、计算=____________.（1）tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°例2例5、已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(1997)=－1，则f(1998)=例4、已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；（2）例2 若sinθcosθ= 18，θ∈(π4，π2)，求cosθ－sinθ的值．变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= － 32， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α =1+ tan α1－tan α例5、（1）化简：2cos2sin212cos2sin21αααα++-，⎪⎭⎫⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式【考纲要求】1. 理解同角三角函数的基本关系.2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.【知识清单】知识点1．同角三角函数的基本关系式 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.对同角三角函数基本关系式的理解注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立． 3．常用的等价变形sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，sin α＝±1－cos 2α，cos α＝±1－sin 2α；tan α＝sin αcos α⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.知识点2．三角函数诱导公式 六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”知识点3．特殊角的三角函数值（熟记）【考点梳理】考点一同角三角函数的基本关系式【典例1】（2020·嘉兴市第五高级中学高二期中）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cosα3，则sinα=________，tanα= ________.【答案】23【解析】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，5cosα3，22sin cos1αα+=所以2sin3α=，2sintancosααα===故答案为：23.【典例2】（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cossin cosx xx x+-=2，则tan x=____，sin x cos x=____.【答案】3310【解析】将sin cos sin cos x x x x +-=2左端分子分母同除以cos x ，得tan 12tan 1x x +=-，解得tan 3x =， 2222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 13110x x x x x x x x ====+++. 故答案为：3；310【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意()222124sin cos sin cos sin cos tanπθθθθθθ=+=+-=等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解． 【变式探究】1.（2020·上海高一课时练习）若α是第三象限角，1sin 3α=-，则cos α=_________；tan α=________.【答案】4【解析】因为α是第三象限角，则cos 0α<，所以cos α===，1sin tan cos 4ααα-===.故答案为：42.（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αααα-=-（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】 由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---．故选：B ． 【总结提升】在使用开平方关系sin α＝±1－cos 2α和cos α＝±1－sin 2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论． 考点二 sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用【典例3】（2019·四川石室中学高考模拟（理））已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则cos sin αα-=（ ）A ．75B ．75-C ．75±D ．2525【答案】B 【解析】∵1sin cos 5αα+=，平方得11+2sin cos 25αα=， ∴2cos αsin α＝﹣2425∴22449cos sin 1-2sin cos 12525αααα-==+=（），∵α为第二象限角， ∴7cos sin -5αα-= 故选：B ．【典例4】（2020·永州市第四中学高一月考）已知22sin 2sin cos 01tan 2k αααπαα+⎛⎫=<< ⎪+⎝⎭.试用k 表示sin cos αα-的值.【答案】详见解析【解析】()22sin sin cos 2sin 2sin cos sin 1tan 1cos ααααααααα++=++()2sin cos sin cos sin cos αααααα+=+2sin cos k αα==，()222sin cos sin cos 2sin cos αααααα-=+-12sin cos αα=-1k =-,当04πα<<时，sin cos αα<，此时sin cos αα-= 当42ππα≤<时，sin cos αα≥，此时sin cos αα-=【规律方法】和积转换法:利用()()22212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化.【变式探究】1. （2019·山东高三期末（理））已知sinα+cosα=15，α∈(0,π)，则tanα=（ ） A ．−34 B ．−43 C ．−34或−43 D ．34或43 【答案】B 【解析】由题意知， sinα+cosα=15,α∈(0,π)，① ∴(sinα+cosα)2=125，即1+2sinα⋅cosα=125， ∴2sinα⋅cosα=−2425<0，∴α为钝角，，∴sinα>0,cosα<0，∴sinα−cosα>0 ∴(sinα−cosα)2=1−2sinα⋅cosα=4925， ∴sinα−cosα=75，②由①②解得sinα=45,cosα=−35，∴tanα=45−35=−43，故选B.2. （2019·上海高考模拟）设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，则sin8x+cos8x=______．【答案】1【解析】设a>0且a≠1，若log a(sinx−cosx)=0，所以：sinx−cosx=a0=1，∴(sinx−cosx)2=1,又(sinx)2+(cosx)2=1，∴sinx⋅cosx=0，∴(sinx+cosx)2=1，又sin8x+cos8x=(sin4x−cos4x)2+2sin4x⋅cos4x=[(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)]2+2sin4x⋅cos4x=[(sinx+cosx)(sinx−cosx)]2−0=(sinx+cosx)2(sinx−cosx)2=1，故答案为：1．【总结提升】1.对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．2.若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．考点三利用诱导公式化简求值【典例5】（2019·北京高考真题（文））如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【典例6】（2017·全国高考真题（文））函数f (x )=15sin(x +π3)+cos(x −π6)的最大值为（ ）A ．65B ．1C ．35D ．15 【答案】A 【解析】由诱导公式可得cos (x −π6)=cos [π2−(x +π3)]=sin (x +π3)， 则f (x )=15sin (x +π3)+sin (x +π3)=65sin (x +π3), 函数f (x )的最大值为65. 所以选A. 【规律方法】1.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.2.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.3.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 【变式探究】1.（2020·永州市第四中学高一月考）已知α是第四象限角，3sin cos tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---. （1）化简()f α.（2）若33cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值. 【答案】（1）cos α-；（2）45- 【解析】（1）3sin()cos()tan()22()tan()sin()f ππααπααπαπα-+-=---． sin()sin (tan )2tan sin πααααα---=- cos sin tan tan sin ααααα=-cos α=-．（2）因为3cos()2πα- 3cos()2πα=- 3sin 5α=-=， 所以3sin 5α=-． 因为α是第四象限角， 所以4cos 5α=， 所以4()cos 5f αα=-=-．2.化简[][]sin()cos (1),sin (1)cos()k k k Z k k παπαπαπα---∈+++【答案】当2,k n n Z =∈时，原式1=-；当21,k n n Z =+∈时，原式1=. 【解析】（1）当2,k n n Z =∈时， 原式sin()cos()sin (cos )1sin()cos sin cos απαααπαααα-----===-+-；（2）当21,k n n Z =+∈时， 原式sin()cos()sin cos 1sin cos sin cos παααααααα--===.【总结提升】用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3-α与π6+α,π3+α与π6-α,π4+α与π4-α等,常见的互补关系有π6-θ与5π6+θ,π3+θ与2π3-θ,π4+θ与3π4-θ等.考点四 同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用【典例7】（2020·山东诸城�高一期中）已知3sin 5α=-，且α是第________象限角.从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题： （1）求cos ,tan αα的值；（2）化简求值：3sin()cos()sin 2cos(2020)tan(2020)πααπαπαπα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1625【解析】（1）因为3sin 5α=-，所以α为第三象限或第四象限角；若选③，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==；若选④，4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα====-； （2）原式sin cos (cos )cos tan()ααααα-=-sin cos tan ααα-=-sin cos sin cos αααα=2cos α=2315⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1625=. 【典例8】设tan(α＋8π7)＝m ，求证：sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)＝m ＋3m ＋1．【答案】见解析 【解析】 证法一：左边＝sin[π＋(87π＋α)]＋3cos[(α＋8π7－3π)]sin[4π－(α＋87π)]－cos[2π＋(α＋8π7)]＝－sin (α＋8π7)－3cos (α＋8π7)－sin (α＋8π7)－cos (α＋8π7)＝tan (α＋8π7)＋3tan (α＋8π7)＋1＝m ＋3m ＋1＝右边．∴等式成立． 证法二：由tan(α＋8π7)＝m ，得tan(α＋π7)＝m ．左边＝sin[2π＋(π7＋α)]＋3cos[2π－(π7＋α)]sin[2π＋π－(π7＋α)]－cos[2π＋π＋(π7＋α)]＝sin (π7＋α)＋3cos (π7＋α)sin[π－(π7＋α)]－cos[π＋(π7＋α)]＝sin (π7＋α)＋3cos (π7＋α)sin (π7＋α)＋cos (π7＋α)＝tan (π7＋α)＋3tan (π7＋α)＋1＝m ＋3m ＋1＝右边， ∴等式成立． 【规律方法】(1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形． 【变式探究】1. （2020·武威第六中学高一期末）已知α是第三象限角，()sin()cos(2)tan()tan()sin()f παπααπααπα----=---. (1)化简()f α；(2)若31cos()25απ-=，求()f α的值； 【答案】（1）cos α-（2） 【解析】第一问利用()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=- 第二问∵31cos()25πα-=∴1sin 5α-=从而1sin 5α=-，从而得到三角函数值． 解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=-（2）∵31cos()25πα-= ∴1sin 5α-=从而1sin 5α=- 又α为第三象限角∴即()f α的值为 2.（2020·四川省绵阳江油中学高三开学考试（文））已知2sin ()cos(2)tan()(),sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=+⋅-+ （1）化简()f α；（2）若1(),8f α=且,42ππα<<求cos sin αα-的值； （3）求满足1()4f α≥的α的取值集合.【答案】（1）()sin cos f ααα=；（2）（3）5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】 （1）2sin cos tan ()sin cos (sin )(tan )f αααααααα⋅⋅==--； （2）由（1）可得1()sin cos 8f ααα==，则23(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=， ,sin cos 42ππααα<<∴>，即cos sin 0αα-<cos sin αα∴-=； （3）由题意得11()sin cos sin 224f αααα==≥，1sin 22α∴≥， 5222,66k k k Z πππαπ∴+≤≤+∈，即5,1212k k k Z πππαπ+≤≤+∈， 所以α的取值集合为5,1212k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【总结提升】 三角函数式化简的方法和技巧：(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．。
第十六讲 三角函数的基本关系姓名： 学校： 年级：【知识要点】1、诱导公式:απ±∙2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“奇变偶不变，符号看象限”α- απ- απ+ απ-2απ-2απ+2 απ-23 απ+23αsinαcos αtan2、同角三角函数的基本关系式：①平方关系22sin cos 1a a +=.②商式关系sin tan cos a a a =;221cos 1tan a a=+ 3、三角函数和差及倍角公式sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+ sin()sin cos cos sin A B A B A B -=- cos()cos cos sin sin A B A B A B +=- cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+ tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-∙ tan tan tan()1tan tan A BA B A B--=+∙sin 22sin cos a a a =;2222cos 22cos 112sin cos sin a a a a a=-=-=-1sin sincos 22a aa ±=±等等. 4、三角函数的降幂公式21cos 2sin 2a a -= ；21cos 2cos 2aa += 5、辅助角公式22sin cos sin()a x b x a b x ϕ+=++,其中22,tan ,0πϕπϕ<<-=>a b a6、三种基本三角函数的有关性质xy sin =xy cos =xy tan =定义域 RR值域 ]1,1[-]1,1[-R 周期性 π2π2π奇偶性 奇函数 偶函数奇函数 单调性]22,22[ππππk k ++-上为增函数；]223,22[ππππk k ++上为减函数（Z k ∈）]2,2[πππk k +-上为增函数；]2,2[πππk k +上为减函数（Z k ∈）⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 2,2上为增函数（Z k ∈）7、函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像和性质的有关考题.经典例题1、已知54sin =α，并且α是第三象限的角，那么αtan 的值等于（ ） （A ）34- （B ）43- （C ） 43 （D ）34 2、︒600sin 的值是（ ）（A ）21 （B ）21- （C ）23 （D ）23- 3、已知54cos ),0,2(=-∈x x π，则=x 2tan （ ）（A ）247 （B ）247- （C ） 724 （D ）724-4、设ABC ∆是直角三角形，A 和B 是它的两个锐角，那么（ ）（A ）“A B <”是“B A tan tan <”的充分条件，但不是必要条件。
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α❷.2．三角函数的诱导公式边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．作用：切化弦，弦切互化．[熟记常用结论]同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1. [小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( )(4)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (5)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× 二、选填题 1．已知sin α＝55，α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则tan α＝( ) A ．－2 B ．2 C.12D ．－12解析：选D 因为π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12.2．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25B ．－15C.15D.25解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α， ∴cos α＝15.3．sin 210°cos 120°的值为( ) A.14 B ．－34C ．－32D.34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°) ＝－12×⎝⎛⎭⎫－12＝14. 4．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ＝________.解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：25．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为________．解析：sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.答案：36．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________． 解析：原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.答案：－sin 2α考点一同角三角函数基本关系式的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一) 公式的直接应用[例1] (1)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( ) A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2D.1＋k 2(2)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.[解析] (1)由cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知k ＜0，设角α终边上一点P (k ，y )(y ＞0)，|OP |＝1，所以k 2＋y 2＝1，得y ＝1－k 2，由三角函数定义可知sin α＝1－k 2.(2)因为sin 1°＝cos 89°，所以sin 21°＋sin 289°＝cos 289°＋sin 289°＝1，同理sin 22°＋sin 288°＝1，…，sin 244°＋sin 246°＝1，而sin 245°＝12，故原式＝44＋12＝4412.[答案] (1)B (2)4412考法(二) sin α，cos α的齐次式问题[例2] 已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2. [解] 由已知得tan α＝12.(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.(2)sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2＝⎝⎛⎭⎫122＋12⎝⎛⎭⎫122＋1＋2＝135.考法(三) “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系的应用 [例3] 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．[解] (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x ＜0， 又sin x ＋cos x ＞0，∴cos x ＞0，则sin x －cos x ＜0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.[规律探求]1．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin2α＋2sin α1－cos2α的值为()A．3 B．－3C．1 D．－1解析：选B由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.2．(2019·合肥模拟)已知sin x＋cos x＝3－12，x∈(0，π)，则tan x＝()A．－33 B.33C. 3 D．－ 3解析：选D∵sin x＋cos x＝3－12，且x∈(0，π)，∴1＋2sin x cos x＝1－32，∴2sinx cos x＝－32＜0，∴x为钝角，∴sin x－cos x＝(sin x－cos x)2＝1＋32，结合已知解得sinx＝32，cos x＝－12，则tan x＝sin xcos x＝－ 3.3．若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋2sin αcos α的值为________．解析：∵3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－13，∴1cos2α＋2sin αcos α＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sin αcos α＝1＋tan2α1＋2tan α＝1＋⎝⎛⎭⎫－1321－23＝103.答案：103考点二诱导公式的应用[师生共研过关][典例精析](1)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. (2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． [解析] (1)因为f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，所以f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. [答案] (1)3 (2)0[解题技法]1．利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角．(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角[充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[过关训练]1．sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋14＋1＝2.答案：22．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝________.解析：因为方程5x 2－7x －6＝0的根为x 1＝2，x 2＝－35，由题意知sin α＝－35，故cos α＝－45，tan α＝34，所以原式＝－cos α·sin α·tan 2αsin α·cos α＝－tan 2α＝－916.答案：－9163．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( ) A.13B ．－13 C.222 D ．－23解析：选B 由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π3－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－13.故选B. 考点三诱导公式与同角关系的综合应用[师生共研过关][典例精析]已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.[解题技法]求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0. tan α－6sin β－1＝0，解得tan α＝3， 又α为锐角，故sin α＝31010. 2．已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，则cos (－α)＋3sin (π＋α)cos (π－α)＋9sin α＝________. 解析：由tan(π－α)＝－23，得tan α＝23，则cos (－α)＋3sin (π＋α)cos (π－α)＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α－1＋9tan α＝1－2－1＋6＝－15.答案：－153．已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为________．解析：由sin α＋cos α＝－15平方得sin αcos α＝－1225，∵π2＜α＜π，∴sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝75，∴1sin (π－α)＋1cos (π－α)＝1sin α－1cos α＝cos α－sin αsin αcos α＝－75－1225＝3512. 答案：3512[课时跟踪检测]一、题点全面练1．若sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝12，则tan θ＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选D 因为sin (π－θ)＋cos (θ－2π)sin θ＋cos (π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ， 所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.2．(2019·黄冈模拟)已知sin(π＋α)＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫π2－α的值为( ) A ．2 2 B ．－2 2 C.24D ．±2 2解析：选D ∵sin(π＋α)＝－13，∴sin α＝13，则cos α＝±223，∴tan ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos αsin α＝±2 2. 3．(2019·惠州模拟)已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( ) A ．－55B.55C.255D ．－255解析：选A 由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2知α为第三象限角， 联立⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55，故cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝sin α＝－55，故选A. 4．(2019·厦门质检)已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12C.14D ．－14解析：选A ∵π4＜α＜π2，∴sin α＞cos α＞0，∴sin α－cos α＞0.又sin 2α＝34，∴(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－sin 2α＝14，则sin α－cos α＝12.5．(2018·安阳二模)若1＋cos αsin α＝3，则cos α－2sin α＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－25D ．－1或－25解析：选C 由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α＞0，即cos α＝3sin α－1，则cos 2α＝1－sin 2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝35，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－25，故选C. 6．(2019·晋城一模)若|sin θ|＋|cos θ|＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝( ) A.56 B.1718 C.89D.23解析：选B 将|sin θ|＋|cos θ|＝233两边平方，得1＋|sin 2θ|＝43，∴|sin 2θ|＝13，∴sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×⎝⎛⎭⎫132＝1718，故选B.7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是________．解析：∵sin α＋3cos α3cos α－sin α＝tan α＋33－tan α＝5，解得tan α＝2，∴cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcosα＝cos 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝1＋21＋22＝35.答案：358．已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且12sin θ＋12cos θ＝35，则tan θ＝________. 解析：依题意得12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令sin θ＋cos θ＝t ，∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴t ＞0，则原式化为12t ＝35·t 2－12，解得t ＝75⎝⎛⎭⎫t ＝－57舍去，故sin θ＋cos θ＝75，则sin θcos θ＝1225，即sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1225，即tan θ1＋tan 2θ＝1225，12tan 2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝34或43. 答案：34或439．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265. 10．是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝±π4. 当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知sin α＋cos α＝12，α∈(0，π)，则1－tan α1＋tan α＝( )A ．－7 B.7 C. 3D ．－ 3解析：选A 因为sin α＋cos α＝12，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝14，所以sin αcos α＝－38，又因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α－sin α＜0， 因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－38＝74， 所以cos α－sin α＝－72， 所以1－tan α1＋tan α＝1－sin αcos α1＋sin αcos α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝－7212＝－7.2．(2019·重庆六校联考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.34B ．－43C ．－34D.43解析：选B ∵θ是第四象限角，∴2k π－π2＜θ＜2k π，k ∈Z ，∴2k π－π4＜θ＋π4＜2k π＋π4，k ∈Z ，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0， ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－45，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43. 3．已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝________.解析：tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ∵sin α＝255＞0， ∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， 则原式＝1sin αcos α＝52；当α为第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55， 则原式＝1sin αcos α＝－52.答案：±52(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与集合交汇]A ＝{sin α，cos α，1}，B ＝{sin 2α，sin α＋cos α，0}，且A ＝B ，则sin 2019α＋cos 2 018α＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±1解析：选C 当sin α＝0时，sin 2α＝0，此时集合B 中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A ＝{sin α，0,1}，B ＝{sin 2α，sin α，0}，此时sin 2α＝1，得sin α＝－1，所以sin 2 019α＋cos 2 018α＝－1.5．[与直线的倾斜角交汇]已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C.13D ．－14解析：选D 由题意知tan θ＝3，k AB ＝5cos θ－sin θ－sin θ2cos θ＋sin θ－cos θ＝5－2tan θ1＋tan θ＝－14.故选D.6．[与不等式交汇]已知θ∈[0，π)，若对任意的x ∈[－1,0]，不等式x 2cos θ＋(x ＋1)2sin θ＋x 2＋x ＞0恒成立，则实数θ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，5π12 B.⎝⎛⎭⎫π6，π4 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π6，5π6解析：选A 令f (x )＝(cos θ＋sin θ＋1)x 2＋(2sin θ＋1)x ＋sin θ，由θ∈[0，π)知cos θ＋sin θ＋1＞0恒成立，若f (x )＞0在[－1,0]上恒成立， 只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (0)＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin θ＋12(1＋cos θ＋sin θ)＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＞0，sin θ＞0，sin 2θ＞12，解得θ∈⎝⎛⎭⎫π12，5π12.7．[与一元二次方程交汇]已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2， 又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.8．[与三角形交汇]在△ABC 中， (1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋B tan(C －π)＜0，求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，所以A ＋B 2＝π2－C2， 所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2， 所以cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋B tan(C －π)＜0， 所以(－sin A )(－cos B )tan C ＜0， 即sin A cos B tan C ＜0.因为在△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π且sin A ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ cos B ＜0，tan C ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧cos B ＞0，tan C ＜0，所以B 为钝角或C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．。
