12.1二次根式

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【最新】苏科版八年级数学下册第十二章《12.1 二次根式(2)》公开课课件.ppt

。2020年12月17日星期四2020/12/172020/12/172020/12/17
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/172020/12/172020/12/1712/17/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/172020/12/17December 17, 2020
初中数学八年级(下册)
12.1 学科二网次根式（2）
学.科.网
复习回顾： 1．二次根式的概念；
a（a≥0）．
2．二次根式有意义的条件； a≥0
3．二次根式的性质
2 a
a（a≥ 0）
练习： 3 2 = ； -1 . 2 1 2 = ； 3 2 2 =
观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律.
2
a
a2
读法
根号a的平方根号下a平方
运算顺序先开方,后平方先平方,后开方
a的取值范围
运算结果
a≥0 a
a取全体实数
∣a∣学.
科.网
练一练：
1. 数 a 在数轴上的位置如图,则 a2 __a0_a__.
a
a
a
0
1
2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
a b0 c
(ab)2(bc)2ca
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/172020/12/172020/12/172020/12/17
2
5
16
22
(3 ). (x 1 )2(x2)2(1x2)

12.1 二次根式(1)

合作探究如果该正方形的面积为 30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？如果该圆的面积为 S m2，你知道该圆的半径是多少吗？情景二这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是 9m，垂直距离是 am．同学们知道这根钢索的长度吗？
-1-
教学环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要（启发、精讲、活动等）
再次优化
课题引入： 30 、 S 、 a2＋81 、…．这些式子有 π
什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？思考探索一： 1．例 1 下列哪些式子是二次根式？为什么？（1） 35 ；（2） ―(―3) ；（3） 3 2 ； 2
尊重主体
面向全体
先学后教
当堂训练
科研兴教
力求高效
年月日讨论交流
教材第 12 课（章）第 1 节（单元）第 1 课时，总 1 课时课题 12.1 二次根式
教学模式
教学目标（认知技能情感）
1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件； 2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算； 3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；2．理解、掌握、运用二次根式性质（ a ）＝a（a≥0）．
2 2 ）； 3
（3）（ a b ）2（a＋b≥0）．
-2-
教学环节随堂练习

12.1二次根式(2)教案

2
3.
4.
16 的平方根是______；若
2
x 5 +|y-1|=0，那么 x=__
。
__，y=___ _
5.若 a 2 b 3 0 ，则 a b =
2 6.已知△ABC 的三边长分别为 a、b、c, 且 a、b、c 满足 a －6a+9+ b 4 | c 5 | 0 ，
， 52 ＝
， 102 ＝
， (－2)2 ＝ , 02 ＝．
，
， (－10)2 ＝
通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说．二、自主合作
1. 发现当 a≥0 时， a ＝_____，当 a＜0， a ＝______．根据绝对值的意义：当 a≥0 时，| a |＝ a ；当 a＜0 时，| a |＝－ a ，由此可知： a ＝｜a｜． 2. 计算．
怀文中学 2013—2014 学年度第二学期教学设计
初二数学
主备：陈秀珍审校：郁胜军
12.1 二次根式（2）
日期：2014 年 4 月 17 日
教学目标：1．学会二次根式的性质 a2 ＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式；
2．知道公式 a ＝｜a｜与（ a ）＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用； 3．在探究二次根式性质的过程中，培养和掌握“转化”思想．
则△ABC 的形状是
三角形
五、自主评价
1. a 取何值时,下列二次根式有意义. (1) a 1
(2)
1 10a
(3)
1 1 2a
2 （4） ( a 1)
布置作业：教学反思： 1．二次根式的概念； 2．二次根式有意义的条件； 3．（ a ）2＝a（a≥0）．

苏科版数学八年级下册12.1《二次根式》教学设计2

苏科版数学八年级下册12.1《二次根式》教学设计2一. 教材分析苏科版数学八年级下册12.1《二次根式》是学生在学习了实数、有理数和无理数的基础上，进一步对根式的学习。

本节课主要介绍二次根式的概念、性质和运算。

教材通过丰富的例题和习题，使学生掌握二次根式的相关知识，并能运用到实际问题中。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数和无理数有了初步的认识。

但二次根式较为抽象，学生可能对其概念和性质理解起来有一定困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，并通过大量的例子让学生加深对二次根式的理解。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.学会二次根式的运算，并能灵活运用到实际问题中。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。

2.二次根式的运算方法。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念。

2.通过大量的例子，让学生加深对二次根式的理解。

3.运用归纳总结法，引导学生总结二次根式的性质。

4.采用小组合作学习，让学生在讨论中掌握二次根式的运算方法。

5.利用多媒体辅助教学，提高课堂效果。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入新课。

2.准备PPT，展示二次根式的概念、性质和运算方法。

3.准备例题和习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些实际问题，如：某数的平方根是整数，求这个数。

让学生尝试解答，从而引出二次根式的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现二次根式的概念、性质和运算方法。

让学生初步了解二次根式，并引导学生总结二次根式的性质。

3.操练（10分钟）让学生独立完成一些简单的二次根式运算题目，如：求二次根式的值、化简二次根式等。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，互相交流二次根式的运算方法。

苏教版八年级数学下册教学课件：12.1《二次根式(2)》

当 a＜0 时， a2 a；
当a=0时, a2 0
根据绝对值的意义： a2＝| a |．
a(a 0)
a2 a 0(a 0)
a(a 0)
例题讲解
（1） 4；
（2） (1.5)2；
(3) (2)2
zxxkw
（4） (x 1)2 (x≤1)．
(5). ( 3)2 (6). 1 2a a2 (a 1)
(7) 16a2 (a 0) (8) 16a2 (a 0)
随堂练习
1.计算：
（1）
9； 4
(3(3).). (－(－77)2)2 ；；学科网
2
2
1 5
2
(4). x2－4x＋4(x≥2)．
5
1-
2
3
6
4 5
2
2
3
1 5
4 3
2
2.计算或化简
1.
2
5
16
2 2
(3). (x 1)2 (x 2)2 (1 x 2)
初中数学八年级(下册)
12.1 学科二网次根式（2）
学.科.网
复习回顾： 1．二次根式的概念；
a（a≥0）．
2．二次根式有意义的条件； a≥0
3．二次根式的性质
a 2 a（a≥0）
练习： 3 2 =；-
1.21 2 =；3
2
2
=
观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律.
2.
2
a
a2
a 0
（4）. (x 1)2 (x 2)2 (x 2)
（5）. (x 1)2 (x 2)2 (x 1)
思考：如何化简 (x 1)2 (x 2)2

12.1.1二次根式的概念(课件)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课件(苏科版)

3a
所以当 a＜3 时， 1 在实数范围内有意义．
3a
（3）因为不论a为何值，(a 1)2≥0 恒成立，所以 a 取任意实数
（4）由 x－4≥0，得 x≥4．由 x－6≠0，得 x≠6．
当 x≥4 且 x≠6 时， x 4 x 60 在实数范围内有意义．
典例精析
练1 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
情景引入
思考：什么叫做平方根？
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根．
思考：什么叫做算术平方根？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记为 a ．
问题探知
（1）如图所示，花盆的底面是正方形，其面积为5，
①含有“
”
②被开方数a ≥0
问题探知
一般地，我们把形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，
“
”称为二次根号．
1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“2 ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”．
两个必备特征
典例精析
0
例1 指出下列哪些是二次根式.
1
√（1） 5
z
（2） 3
0
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，结合完全平方式的非负性进行分析讨论.
总结归纳
根式有意义的条件常见题型
1
3
根式
2
4
问题探知
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.

八年级数学下册第12章二次根式：二次根式pptx课件新版苏科版

( a)2=a(a ≥ 0)
联系
a2 与( a )2均为非负数，当 a ≥ 0时， a2 = ( a)2
应用提醒 1. 正用公式：( 5)2=5，( m2+1)2=m2+1.
知3－讲
2. 逆用公式：若 a ≥ 0，则a=( a)2，如2=( 2)2，12 = ( 12)2. 注意：无论正用还是逆用，都要注意前提：a ≥ 0 .
的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数. (2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式，那
么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不等于 0.
知2－讲
(3)如果一个式子中既含有零指数幂或负整数指数幂又含有二次根式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数且零指数幂或负整数指数幂的底数不等于 0.
≥ ≥
0， 0，
∴ 2 ≤ x ≤ 5.
(4)要使xx－+24有意义，则必有ቊxx+－42≥≠00，，∴ x ≥－4 且x ≠ 2.
方法点拨
知2－练
求式子有意义时字母的取值范围的方法：
第一步，明确不同式子有意义的条件；
第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式
或不等式组；
第三步，求出不等式或不等式组的解集，即得字母的
知1－讲
特别提醒二次根式应满足两个条件： (1)含有二次根号“ ”；(2)被开方数是正数或 0.
知1－练 3
例 1 [期中·海安]下列各式： x， 5，－4， a2+1， 8，
其中一定是二次根式的有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
解题秘方：紧扣二次根式定义中的“两个条件”

八年级数学苏科版下册课件：12.1二次根式

3 1 2x-1
2
2
2 1-x
3
4 x-5+x-60
1- x
解：1由 2x-1＞ 0得 x＞12当x＞
1 2
时， 2
3 有意义
2x-1
2由1-x＞0得 x＜1 当 x＜1 时，有意义
3由题意可知：
1- x0
1-x
x0 解得x0且x1
当x0且x1，
∴ AB 2=AC 2+BC2
= 32+ 52
=3+5
C
A
=8
∴ 以AB为边长的正方形的面积为8.
16
拓展与应用
例3
1、已知 y x 7 7 x 9
求 (xy 64)2 的算术平方根。 x-70 解：由题意可知： x-70 解得x=7,y=9 xy-642=7×9-642=1， 1的算术平方根是1 即xy-642的算术平方根是1
一般地,式子 a (a 0)叫做二次根式,
a称为是被开方数
8
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
9
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
10
说一说: 下列各式是二次根式吗?
17
2.已知 a b 6与 a b 8
互为相反数，求a、b的值。
解：由题意可知： a-b+6 + a+b-8 =0 a-b+6=0
a+b-8=0
解得 : a=1,b=7
a和b的值分别为：a=1,b=7

12.1二次根式(2)

12．1二次根式⑵学习目标：1．通过具体数据的解答，探究2a ＝||a2．理解2a =||a 并利用它进行计算和化简．学习重点：探究2a ＝||a ．学习难点：破除思维定势，理解并掌握此类题型的化简．教学过程一、情境创设1．在化简2-4(）时，小明的解答是2-4(）＝24＝4；小红同学的解答过程是2-4(）＝－4. 谁的解答正确?为什么?2．想一想2a ＝？二、探究学习过程导学过程1. 填空并观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律.22＝______；25=______ ；210 = ______ ； 20= ______；2 ______22-）（＝_____；2-5(）=______；210-）（=_______；5-= ______；0=______通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说.2. 发现：当a ≥0时，2a ＝_____，当a ＜0，2a ＝______.3. 明确：典型例题例3 计算（1）21.5-）（（2） 21-(）π （3）21-(）x （x ≤1）总结：依据 2a =a 化简的步骤：将整个被开方数写成完全平方的形式。

（2）去掉根号和平方，加上绝对值符号。

（3）去掉绝对值符号。

变式训练1.下列各式是否成立？（1）2)21(=21；（2）221-(）= -21 （3）2)43(＋= 3 + 4；（4）2243＋= 3 + 4 a 2＝______2.计算：（1）26;（2）2-5(）；（3）21）＋（a （a ≥-1）;(4)22-）（x (x ≤2) 合作探究：（a ）2与2a 有区别吗？(从读法、运算顺序、a 的取值范围、运算结果几个方面去分析)三、当堂检测1.化简：42；4a ；22b a （a<0,b>0）; 22-1a a ＋ (a>1) 2.计算（1）2-10(）-（15）2；（2）（-5）2-16+22-）（（3）（a ）2+2a （a ≥0）四、中考链接已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边长，化简：五、课堂小结二次根式的性质及它们的应用:六、课后作业：小册。

12.1 二次根式(2)

(1.5) 2 ( x－1) 2
；（x≤1）．
合
学生练习： 1．计算．
作
（1） 25 ；（3）
4 （2） 9 ；
；（4）
(－7)． 2．指出下列运算过程中的错误．
究
1 1 ( )2＝－ 2 2
2
，
可
以
写
5 5 ( －2) 2＝(2－ ) 2 2 2 ，
-1-
教学环节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要（启发、精讲、活动等）
再次优化
新知得出：发现当 a≥0 时， a2 ＝_____，当 a＜0， a2 ＝______．根据绝对值的意义：当 a≥0 时， | a |＝ a ；当 a＜0 时， | a |＝－ a ，由此可知： a2 ＝｜a｜．性质应用、学习例题：计算．（1） 4 ；（2）（3）
5 5 ( －2)2＝ (2－ )2 2 ，两边开平方得， 2
5 5 1 1 －2＝2－＝－ 2 ，即 2 2．所以 2
-2-
教学环节随堂练习
学生自学共研的内容方法
教师施教提要
再次
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）（启发、精讲、活动等）优化
拓展延伸： 1．二次根式 a 与 a 2 中， a 可以是怎样的实数？
12.1 二次根式（2）板书设计教学环节导入学生自学共研的内容方法教师施教提要再次优化
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）（启发、精讲、活动等）
合作探究
情境创设： 1．二次根式的概念； 2．二次根式有意义的条件； 3．（ a ）2＝a（a≥0）．探索活动：观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律． 22 ＝， 52 ＝， 102 ＝， 2 2 (－2) ＝， (－5) ＝， 2 2 (－10) ＝ , 0 ＝．通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说

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2132_____2 _13__,
抢答
4 52__5______,5 232___23_____.式有意义?
1 a1
(2) 32x
(3) a4 2a 4 a32 a32
：
4. ( 2 ) 2 = （） ( 3 2 ) 2=( )
3
4
5. 当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义
1 2x,
3x2 1,
x5 5 x; 22
10/1/2019
学以致用
6.当x=
时，二次根式 x 1有最小值，
最小值是
7.若 a b 3 与 a b 1 互为相反数，则a+2b=
1. 实质是：一个非负数的算术平方根。
2.双重非负性： a0(a0)
10/1/2019
?
参考右图,完成以下填空:
149a5
2
2
4 =4
9 =9
2
15 =15
2
a =a
a
性质:
2
a aa0
大家
1
32__3____,2
2
2 7
_72_____,3
8.求 a492aa2的值；
9.若∆ABC的三边长分别为a,b,c，其中a和b满足 a2b26b9，求边长c的取值范围是多少？
10/1/2019
10/1/2019
a可以是数,也可以是代数式
a要非负
a 0(a 0)
形如 a(a 0)
的式子
( a)2 a(a 0)
例题讲解
例4. 在实数范围内因式分解
(1)a2 2
(2)a3 5a
(3)x22 13x13
10/1/2019
学以致用
1. 若 x 2 不是二次根式，则x的取值范围是：
2. 如果是 n m n 二次根式，则m,n满足的条件是：
3. 在 1,3 67, x2y2, x2, x2 1中，是二次根式的有
(2) a可以是数，也可以是代数式，但必须保证非负
10/1/2019
火眼金睛
1.说一说下列哪些是二次根式？
1 5
2 3
33 21
(4) 36
(5) 3
6 aa0
7 b
8 b2
10/1/2019
明晰概念
a(a 0)
请问 a 会是一个负数吗？为什么？
s
2.圆形花坛的面积为S，那么这个圆的半径是 π . 3.直角三角形的两直角边长分别是a米和50米，
则斜边长为 a2 2500 米.
10/1/2019
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
30
s
a2 2500
π
二次根式的定义:形如 a (a0) 的式子叫做二次根式 .
其中a叫做被开方数
(1) 二次根式必须有“ ”
小结：求二次根式中字母的取值范围的
基本依据：被开方数大于等于零
10/1/2019
例题讲解
例2.计算
2
(1) 3
2
(2)2 3
(3)(13x)2(x1) 3
10/1/2019
例题讲解
例3. 已知x，y都是实数，y= x5 5x2, 求 x y 的算术平方根
10/1/2019
性质
取值范围因式分解等
概念
应用
10/1/2019
二次根式
12.1二次根式
10/1/2019
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根. 什么叫算术平方根?
正数的正平方根和零的平方根,统称算术平方根.
用a(a0)表示 .
10/1/2019
导入新知
1.正方形喷泉池的面积为30m2，那么正方形的边
长是 30 m ．