2015-2016年辽宁省葫芦岛一中高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

考试时间：120分钟 满分：150分说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为主观题，按要求答在试卷相应位置上.第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1. 若集合{}{}2|4,,|4,M x x x R N x x Z =≤∈=≤∈，则M N = （ ）A ．(0,2)B ．{}0,2C ．{}0,1,2D ．{}0,2 【答案】C考点：集合的运算. 2. 若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） A.1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+ 【答案】A 【解析】 试题分析：因为1zi i=-，即(1)1z i i i =-=+，所以1z i =-，故选A. 考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.3. 命题()()"1,,ln 1"x x x ∀∈-+∞+<的否定是（ ）A.()()1,,ln 1x x x ∃∉-+∞+≥B. ()()0001,,ln 1x x x ∀∉-+∞+<C.()()1,,ln 1x x x ∀∈-+∞+≥D. ()()0001,,ln 1x x x ∃∈-+∞+≥ 【答案】D【解析】试题分析：命题()()"1,,ln 1"x x x ∀∈-+∞+<的否定是命题()()000"1,,ln 1"x x x ∃∈-+∞+≥,故选D. 考点：特称命题与全称命题.4．已知(2,4),(3,)a b m =-=-，若0a b a b +⋅= ，则实数m =（ ）A ．32B ．3C ．6D ．8 【答案】C 【解析】试题分析：02(3)4640a b a b m m +⋅=⇒⨯--=-=,解之得6m =，故选C.考点：1.向量坐标运算；2.向量的数量积与模.5. 已知{}n a 为等比数列，147560,2,8,a a a a a >+=⋅=-则14710a a a a +++=（ ） A ．7- B ．5- C ．5 D ．7 【答案】B考点：等比数列的通项公式与性质.6，已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图像如图所示，2(),23f π=-则()6f π=（ ）A ．23-B ．12-C ．12D ．23【答案】D考点：三角函数的图象与性质.7. 已知函数(2)(2)()1()(2)3xf x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则3(1log 5)f -+的值为（ ）A ．53 B ．115 C ．15 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：33log 151log 1533335511(1log 5)(log )(log 2)(log 15)333315f f f f ⎛⎫-+==+====⎪⎝⎭,故选B. 考点：1.函数的周期性；2.对数、指数的运算性质.8. 执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ） A ．2 B ．12-C ．－3D ．13【答案】A 【解析】试题分析：模拟算法，开始，2,1,2016S i i ==≤成立；123,2,201612S i i +==-=≤-成立； 131,3,2016132S i i -==-=≤+成立；1112,4,20161312S i i -===≤+成立； 1132,5,2016113S i i +===≤-成立； …………………………………………由此可知S 逞周期性变化，周期为4，结束时201745061i ==⨯+，所以结束时2S =，故选A. 考点：程序框图.9. 已知,x y 满足约束条件2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则11y z x +=+的范围是（ ）A. 1[,2]3B.11[,]22-C.13[,]22D. 35[,]22【答案】C考点：1.线性规划；2.斜率公式 .【名师点睛】本题考查线性规划及斜率公式，属于基础题；解线性规划问题时要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值和最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题. 10. 某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中11116,2O A O C ==则该几何体的侧面积为（ ）A ．64B ．96+C ．128D ． 96【答案】D考点：1.三视图；2.斜二侧画法；3.棱柱的侧面积.11. 已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为(,0)(0)F c c ->，以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A,B ，O 三点，且()0AO AF OF +⋅=.关于x 的方程20ax bx c +-=的两个实数根分别为1x 和2x ，则以12,,2x x 为边长的三角形的形状是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】试题分析：因为()0AO AF OF +⋅=，所以三角形OAF 为等腰直角三角形，即,a b c ==，所以12121,x x x x +=-=2222121212()2142x x x x x x +=+-=+<=所以该三角形为钝角三角形，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.向量加法及数量积的几何意义；3.余弦定理.【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、向量加法及数量积的几何意义、余弦定理，中档题.圆锥曲线的几何性质与正、余弦定理是高考的高频考点，，本题将两者及向量有机的结合在一起，体现了试题的综合性与学生分析、解决问题的能力玘运算能力，是本题的亮点.12. 已知t 为常数，函数2()ln(1)f x x t x =++有两个极值点,a b ()a b <则（ ）A. 12ln 2()4f b -<B. 12ln 2()4f b ->C. 32ln 2()8f b +>D. 43ln 2()8f b +< 【答案】B考点：导数与函数的单调性、极值.【名师点睛】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸对应横线上.13. 如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则12,a a 的大小关系是__________(填12a a >,21a a >，12a a =).【答案】21a a > 【解析】试题分析：由题意可知，128185384843868784,8555a a +⨯+⨯++====，所以21a a >.考点：1.茎叶图；2.平均数.14. 已知ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin 2sin ,A C b ac ==，则cos B = . 【答案】34考点：正弦定理与余弦定理.15. 数列{}n a 满足211233332n n na a a a -++++= ，前n 项和为n S ，则n S = . 【答案】31(1)43n - 【解析】试题分析：因为211233332n n n a a a a -++++=，所以当2n ≥时有22123113332n n n a a a a ---++++= ，两式作差得111113,223n n n n a a --=∴=⋅又因为当1n =时，112a =适合此式，所以数列{}n a 的通项公式为11123n n a -=⋅，所以11(1)3123(1)14313n n nS -==--.考点：1.n a 与n S 的关系；2.等比数列的性质与求和.【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等比数列的性质与求和,中档题；在等比数列五个基本量1a ，q ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等比数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用. 16．已知函数2324()21(0),()2(1)27f x ax ax a ag x bx bx bx b =-++>=-+->，则函数(())y g f x =的零点个数为 个． 【答案】2考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程；3.二次函数；4.数形结合；5.复合函数的零点. 【名师点晴】本题考查导数与函数的单调性、极值、函数与方程、二次函数、数形结合思想、复合函数的零点,属于难题．求复合函数(())y g f x =零点问题， 应选求出外层函数()g x 的零点12,x x ，然后求内层函数()i f x x =的解即可.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=. （1）求角B 的大小；（2sin()6A C π+-的取值范围.【答案】(1)3π；(2)(1,2].考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角函数图象与性质；4.三角形内角和定理.【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角函数图象与性质、三角形内角和定理，属中档题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠= ，2AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点． （1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若E 是线段PB 中点,求点B 到平面EDC 的距离.【答案】(1)见解析；.考点：1.线面、面面垂直的判定与性质；2.多面体的体积.【名师点睛】本题考查线面、面面垂直的判定与性质、多面体的体积,中档题；证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直.19.（本小题满分12分）某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查. 下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”.（1）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由.（2）在高一的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”. 根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断是否有90%的把握认为“手机迷”与性别有关？说明理由。

2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期初数学试卷（理科）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={x∈N*|x＜9 }，集合∁U（A∪B）={1，3}，A∩∁U B={2，4}，则集合B等于（）A．{1，3，5，6，7，8} B．{2，4，5，6，7，8} C．{5，6，7，8} D．{1，2，3，4}2．直线xcos140°+ysin140°﹣2=0的倾斜角是（）A．40°B．50°C．130°D．140°3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等比数列．若a1=3，则S4=（）A．7 B．8 C．12 D．164．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α②若n⊥β，m∥α，α⊥β，则m∥n③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知函数，则f（x）（）A．不是周期函数 B．是最小正周期为π的偶函数C．是最小正周期为π的奇函数 D．既不是奇函数也不是偶函数6．设e＜x＜10，记a=ln（lnx），b=lg（lgx），c=ln（lgx），d=lg（lnx），则a，b，c，d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．c＜d＜a＜b C．c＜b＜d＜a D．b＜d＜c＜a7．变量x、y满足线性约束条件，则目标函数z=（k+1）x﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A．k＜﹣4 B．﹣4＜k＜0＞C．﹣2＜k＜0 D．k＞08．若当x∈R时，y=均有意义，则函数的图象大致是（）A．B． C． D．9．如图示，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为4、3，点B是直线l1上的动点，若，AC与直线l2交于点C，则△ABC面积的最小值为（）A．3 B．6 C．12 D．1810．已知某几何体的三视图都是边长为6的正方形，如图所示，则该几何体的体积是（）A．180 B．144 C．92 D．180或14411．已知函数f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．（，1）12．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论正确的是（）A．函数f（x）的值域为[0，1]B．函数f（x）的图象是一条曲线C．函数f（x）是（0，+∞）上的减函数D．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时＜a≤二、填空题13 .韩国首尔医院近20天每天因患中东呼吸综合征而入院就诊的人数依次构成数列{a n}，己知a1=1，a2=2，且满足a n+2﹣a n=2+2（﹣1）n，n∈N+，则该医院20天内因患中东呼吸综合征就诊的人数共有．14．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为．15．如图所示，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象，则S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确序号有①若O为重心，则（+）•=（+）•=（+）•．②若I为内心，则a+b+c=③若O为外心，则++=．④若H为垂心，则•=•=•；⑤若O为外心，H为垂心，则=++．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．选做题：设集合A={x|x2﹣5x+4＞0}，B={x|x2﹣2ax+（a+2）=0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．18．已知向量=（cos，1），=（sin，cos2），f（x）=．（Ⅰ）若f（x）=1，求sin（x﹣）值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，N为线段CD的中点．（1）若线段AB中点为E，试问线段PC上是否存在一点M使得ME∥平面PAD．若存在M点，设CM=kCP，求k的值．若不存在说明理由．（2）求证：BD⊥PN；（3）求三棱锥A﹣PBC的体积．20．在数列{a n}中，已知a n≥1，a1=1，且a n+1﹣a n=（n∈N*）（1）设b n=（a n﹣）2，求数列{b n}及{a n}的通项公式（2）设c n=4b n，Sn=++…+，求证：≤S n＜．21．定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣2对任意m、n∈R恒成立，当x＞0时，f （x）＞2．（Ⅰ）求证f（x）在R上是单调递增函数；（Ⅱ）已知f（1）=5，解关于t的不等式f（|t2﹣t|）≤8；（Ⅲ）若f（﹣2）=﹣4，且不等式f（t2+at﹣a）≥﹣7对任意t∈[﹣2，2]恒成立．求实数a的取值范围．22．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n（n≥2，n∈N+）．﹣1（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有成立．2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U={x∈N*|x＜9 }，集合∁U（A∪B）={1，3}，A∩∁U B={2，4}，则集合B等于（）A．{1，3，5，6，7，8} B．{2，4，5，6，7，8} C．{5，6，7，8} D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由已知可得A∪B={2，4，5，6，7，8}，A∩∁U B={2，4}，可得B中没有元素2，4，A中没有元素5，6，7，8，进而得到集合B．【解答】解：U={x∈N*|x＜9 }={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合∁U（A∪B）={1，3}，∴A∪B={2，4，5，6，7，8}，A∩∁U B={2，4}，∴B={5，6，7，8}，故选：C．【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，并集运算和补集运算，难度不大，属于基础题．2．直线xcos140°+ysin140°﹣2=0的倾斜角是（）A．40°B．50°C．130°D．140°【考点】直线的倾斜角．【专题】直线与圆．【分析】由直线方程求出直线的斜率，结合斜率为直线倾斜角的正切值得答案．【解答】解：由xcos140°+ysin140°﹣2=0，可得直线的斜率为k==cot40°=tan50°．∴直线xcos140°+ysin140°﹣2=0的倾斜角是50°．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等比数列．若a1=3，则S4=（）A．7 B．8 C．12 D．16【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由4a1，2a2，a3成等比数列．可得=4a1•a3，可得d=0．即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a1，2a2，a3成等比数列．∴=4a1•a3，化为，化为d=0．若a1=3，则S4=4a1=12．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α②若n⊥β，m∥α，α⊥β，则m∥n③若m⊥α，m∥β，则α⊥β④若m∥n，n⊂α，则m∥α其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在①中，n与α相交、平行或n⊂α；在②中，m与n相交、平行或异面；在③中由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β；在④中，m与α平行或m⊂α．【解答】解：由m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，知：①若m⊥n，m⊥α，则n与α相交、平行或n⊂α，故①错误；②若n⊥β，m∥α，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故②错误；③若m⊥α，m∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；④若m∥n，n⊂α，则m与α平行或m⊂α，故④错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．5．已知函数，则f（x）（）A．不是周期函数 B．是最小正周期为π的偶函数C．是最小正周期为π的奇函数 D．既不是奇函数也不是偶函数【考点】余弦函数的奇偶性；函数的周期性；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】化简函数表达式，利用周期公式求出函数的周期，利用函数的奇偶性的判断方法判断，即可得到选项．【解答】解：因为函数==sin2x，所以函数周期是T==π，而且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数，故选C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，周期的求法奇偶性的判断，考查计算能力．6．设e＜x＜10，记a=ln（lnx），b=lg（lgx），c=ln（lgx），d=lg（lnx），则a，b，c，d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．c＜d＜a＜b C．c＜b＜d＜a D．b＜d＜c＜a【考点】对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】先根据x的范围判定a、b、c、d的符号，然后令x=e2，可比较a与d的大小关系，令x=10，可比较b与c的大小关系，从而得到a、b、c、d的大小关系【解答】解：∵e＜x＜10∴lnx＞1，lgx＜1∴a=ln（lnx）＞0，b=lg（lgx）＜0，c=ln（lgx）＜0，d=lg（lnx）＞0，令x=e2，则a=ln2，d=lg2显然a＞d令x=，则b=lg=﹣lg2，c=ln=﹣ln2，显然b＞c所以c＜b＜d＜a故选C．【点评】本题主要考查了对数值大小的比较，往往可以利用特殊值进行比较，属于基础题．7．变量x、y满足线性约束条件，则目标函数z=（k+1）x﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（）A．k＜﹣4 B．﹣4＜k＜0＞C．﹣2＜k＜0 D．k＞0【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合目标函数z=（k+1）x﹣y仅在点（0，2）取得最小值列式求得k值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵目标函数z=（k+1）x﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，∴﹣3＜k+1＜1，即﹣4＜k＜0．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8．若当x∈R时，y=均有意义，则函数的图象大致是（）A．B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由对数函数的定义知a＞0且a≠1，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）由x∈A∪B={﹣4，﹣3，1}时，y=均有意义，则，推出0＜a＜1，再把函数表达式中的绝对值去掉，再讨论函数的单调性．【解答】解：由对数函数的定义知a＞0且a≠1，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）若当x∈A∪B={﹣4，﹣3，1}时，y=均有意义，则，0＜a＜1，又x＞0时，，∵单调递减，y=log a u单调递减，∴由复合函数的单调性知单调递增，∵为偶函数，其图象应关于y轴对称，∴x＜0时，单调递减，综上知，选项B符合，故选：B．【点评】本题主要考查函数的性质，利用函数的奇偶性判断函数的单调性，其中还应用了复合函数单调性的判断，较为综合．9．如图示，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，且A到l1，l2的距离分别为4、3，点B是直线l1上的动点，若，AC与直线l2交于点C，则△ABC面积的最小值为（）A．3 B．6 C．12 D．18【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题．【分析】过A作EF⊥l1，与l1交于E，与l2交于F，设∠EAB=α，则∠FAC=90°﹣α，由A到l1，l2的距离分别为4、3，能够得到AB=，AC=，所以△ABC的面积S=，由此知当α=45°时，sin2α=1，面积S获得最小值．【解答】解：如图，过A作EF⊥l1，与l1交于E，与l2交于F，设∠EAB=α，则∠FAC=90°﹣α，∵A到l1，l2的距离分别为4、3，∴AE=4，AF=3，∴AB=，AC=，∴△ABC的面积S===，当α=45°时，sin2α=1，面积S获得最小值12．故答案为：12．【点评】本题考查向量在几何中的灵活运用，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用，恰当地作出图形，运用数形结合思想进行解题，有事半功倍之效．10．已知某几何体的三视图都是边长为6的正方形，如图所示，则该几何体的体积是（）A．180 B．144 C．92 D．180或144【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】把三视图转换成立体图，利用几何体的体积公式求出结果即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体可能有两种情况，如图所示：该几何体为棱长为6的正方体去掉一个三棱锥或去掉两个三棱锥，且三棱锥的体积为××62×6=36，∴几何体的体积为63﹣36=180或63﹣36×2=144．故选：D．【点评】本题考查了三视图和立体图之间的相互转换以及几何体的体积计算问题．也考查了空间想象能力的应用问题．11．已知函数f（x）=是R上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．（，1）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，，由此求得a的范围．【解答】解：函数f（x）=是R上的减函数，∴，求得0＜a≤，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．12．已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论正确的是（）A．函数f（x）的值域为[0，1]B．函数f（x）的图象是一条曲线C．函数f（x）是（0，+∞）上的减函数D．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时＜a≤【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（x）=（x＞0）的值域不包含（0，]，由此能判断A的正误；函数f（x）的图象是不连续的线段，由此能判断B和C的正误；在D中：由题意可得方程=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，[x]=1，2，3，分别求出[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．【解答】解：在A中，f（x）=（x＞0）的值域不包含（0，]，故A不正确；在B中，函数f（x）的图象是不连续的线段，故B不正确；在C中，函数f（x）的图象是不连续的线段，故C不正确；在D中，∵有且仅有3个零点，∴方程=a在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，∵x＞0，∴[x]≥0，若[x]=0，则=0；若[x]≥1，∵[x]≤x＜[x]+1，∴，∴，且随[x]的增大而增大，故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3，若[x]=1，则有；若[x]=2，则有；若[x]=3，则有；若[x]=4，则有＜≤1．∴．故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．二、填空题13 .韩国首尔医院近20天每天因患中东呼吸综合征而入院就诊的人数依次构成数列{a n}，己知a1=1，a2=2，且满足a n+2﹣a n=2+2（﹣1）n，n∈N+，则该医院20天内因患中东呼吸综合征就诊的人数共有210．【考点】数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由a n+2﹣a n=2+2（﹣1）n，可得a n+2﹣a n=，即n为奇数时，a n+2=a n，n为偶数时，a n+2﹣a n=4，即所有的奇数项都相等，所有的偶数项构成一个首项为2，公差为4的等差数列，根据a1=1，a2=2，可得a1=a3=…=a19=1，a2，a4，…，a20利用等差数列的求和公式求和，即可得到答案．【解答】解：a n+2﹣a n=2+2（﹣1）n，可得a n+2﹣a n=，即n为奇数时，a n+2=a n，n为偶数时，a n+2﹣a n=4，∴a1=a3=…=a19，a2，a4，…，a20构成公差为4的等差数列，∵a1=1，a2=2，∴a1+a2+a3+a4+…+a19+a20=10+．故答案为：210．【点评】本题的考点是数列的应用，主要考查的数列的求和，由于已知的数列{a n}即不是等差数列，又不是等比数列，故无法直接采用公式法，我们可以采用分组求和法，属中档题．14．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据直线和圆相切的条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，则圆心坐标为（2，0），半径R=1若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．若直线斜率k存在，则直线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k=0，圆心到直线的距离d==1，平方得k=，此时切线方程为3x﹣4y﹣1=0，综上切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0，故答案为：x=3或3x﹣4y﹣1=0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．15．如图所示，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象，则S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=2015．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所给式子的值．【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的图象，可得B=1，A=﹣1=，周期为T=4=，求得ω=．再把点（0，1）代入，可得sinφ+1=1，可得sinφ=0，故可取φ=0，f（x）=sin（x）+1，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=+1++1=4，S=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=503×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）=503×4++1+=2015，故答案为：2015．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A、B，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，函数的周期性的应用，属于中档题．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确序号有②④⑤①若O为重心，则（+）•=（+）•=（+）•．②若I为内心，则a+b+c=③若O为外心，则++=．④若H为垂心，则•=•=•；⑤若O为外心，H为垂心，则=++．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据重心、外心、垂心的定义，两非零向量垂直的充要条件，举反例的方法，向量加法、减法的几何意义，角平分线定理，合分比定理，向量加法的平行四边形法则即可判断每个结论的正误，从而写出结论正确的序号．【解答】解：①如图，等腰△ABC，O是该三角形的重心；∵；∴=；又；∴=0；显然；∴该结论错误；②如图，△ABC，AD为BC边上的角平分线，内心为I；===；根据角平分线定理：，∴；∴；∴==；∵；∴；∴；∴；∴该结论正确；③如图，设等腰直角三角形ABC，O为其外心；则，而显然；∴该结论错误；④如图，△ABC，H为其垂心，则：；∴；同理可得；∴；∴该结论正确；⑤如图，；∴，；两式相减得；同理；若，则该向量同时垂直于，显然不可能；∴；∴该结论正确；所以结论正确的序号有：②④⑤．故答案为：②④⑤．【点评】考查向量加法、减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，两非零向量垂直的充要条件，以及举反例的方法说明结论不成立，角平分线定理，合分比定理．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．选做题：设集合A={x|x2﹣5x+4＞0}，B={x|x2﹣2ax+（a+2）=0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；集合关系中的参数取值问题；一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】先化简集合A，根据A∩B≠∅，可知方程x2﹣2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在区间（﹣∞，1）∪（4，+∞）内，直接求解情况比较多，考虑补集即可．【解答】解：A={x|x2﹣5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}．∵A∩B≠∅，∴方程x2﹣2ax+（a+2）=0有解，且至少有一解在区间（﹣∞，1）∪（4，+∞）内直接求解情况比较多，考虑补集设全集U={a|△≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），P={a|方程x2﹣2ax+（a+2）=0的两根都在[1，4]内}记f（x）=x2﹣2ax+（a+2），且f（x）=0的两根都在[1，4]内∴，∴，∴，∴∴实数a的取值范围为．【点评】本题以集合为载体，考查集合之间的关系，考查函数与方程思想，解题的关键是利用补集思想，合理转化．18．已知向量=（cos，1），=（sin，cos2），f（x）=．（Ⅰ）若f（x）=1，求sin（x﹣）值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x）=+．再利用诱导公式可得：sin（x﹣）=﹣cos（x+）=2sin2（+）﹣1，代入计算即可得出．（II）由（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式化为cosB=，可得B=．于是，可得＜1．即可得出．【解答】解：（I）f（x）==+=+=+．∵f（x）=1，∴+=1．∴sin（x﹣）=﹣cos（x+）=2sin2（+）﹣1=﹣．（II）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB﹣sinCcosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0．∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=．∴，∴，∴＜1．∴+，∴f（A）=+∈．【点评】本题考查了向量数量积的运算性质、倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，N为线段CD的中点．（1）若线段AB中点为E，试问线段PC上是否存在一点M使得ME∥平面PAD．若存在M点，设CM=kCP，求k的值．若不存在说明理由．（2）求证：BD⊥PN；（3）求三棱锥A﹣PBC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】（1）取PC的中点M，此时k=，连结M、N、E三点，证明面PAD∥面EMN，可得ME∥平面PAD．（2）连结BD，AC，取AD中点为F，证明BD⊥面PFN，即可证明BD⊥PN；（3）利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥A﹣PBC的体积．【解答】（1）解：取PC的中点M，此时k=，连结M、N、E三点，则PD∥MN∵∠ADC=∠BCD=90°且N、E分别为CD、AB的中点∴AD∥BC∥NE∵PD∩AD=D，NE∩MN=N，∴面PAD∥面EMN∵ME⊂面EMN，∴ME∥面PAD …（2）证明：连结BD，AC，取AD中点为F在Rt△BCD和Rt△ACD中，===，∴Rt△BCD∽Rt△ACD，∴∠BDC=∠CAD∵∠BDC+∠BDA=90°，∴∠BDC+∠CAD=90°，∴BD⊥AC∵N、F分别为AD、CD的中点，∴FN∥AC，∴FN⊥BD∵PA=PD，∴PF⊥AD．∵面PAD⊥面ABCD=AD，PF⊂面PAD，∴PF⊥面ABCD∵BD⊂面ABCD，∴PF⊥BD∴BD⊥面PFN，∵PN⊂面PFN，∴PN⊥BD …（3）解：V=××PF=××=…【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定定理的证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．在数列{a n}中，已知a n≥1，a1=1，且a n+1﹣a n=（n∈N*）（1）设b n=（a n﹣）2，求数列{b n}及{a n}的通项公式（2）设c n=4b n，Sn=++…+，求证：≤S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过a n+1﹣a n=可知﹣﹣a n+1+a n=2，计算可知b n+1﹣b n=2，进而可知数列{b n}是以为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知b n=，裂项可知=（﹣），并项相加即得结论．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n=（n∈N*），∴﹣﹣a n+1+a n=2，又∵b n={a n﹣}2，∴b n+1﹣b n=﹣=﹣﹣a n+1+a n=2，又∵b1===，∴数列{b n}是以为首项、2为公差的等差数列，∴b n=+2（n﹣1）=，又∵a n≥1，∴数列{a n}的通项公式a n=+=+；（2）证明：由（1）可知b n=，∴c n=4b n=8n﹣7，∴==（﹣），∴S n=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜，∵f（n）=﹣随着n的增大而增大，∴f（n）≥f（1）=﹣=，∴≤S n＜．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．21．定义在R上的函数f（x）满足：f（m+n）=f（m）+f（n）﹣2对任意m、n∈R恒成立，当x＞0时，f （x）＞2．（Ⅰ）求证f（x）在R上是单调递增函数；（Ⅱ）已知f（1）=5，解关于t的不等式f（|t2﹣t|）≤8；（Ⅲ）若f（﹣2）=﹣4，且不等式f（t2+at﹣a）≥﹣7对任意t∈[﹣2，2]恒成立．求实数a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质；函数恒成立问题．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）结合已知先构造x2﹣x1＞0，可得f（x2﹣x1）＞2，利用函数的单调性的定义作差f（x1）﹣f（x2）变形可证明（Ⅱ）由f（1），及f（2）=f（1）+f（1）﹣2可求f（2），然后结合（I）中的函数的单调性可把已知不等式进行转化，解二次不等式即可（Ⅲ）由f（﹣2）及已知可求f（﹣1），进而可求f（﹣3），由已知不等式及函数的单调性可转化原不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化即可求解【解答】证明：（Ⅰ）∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞2，则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）﹣f（x2﹣x1+x1）=f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2=2﹣f（x2﹣x1）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上是单调递增函数…（Ⅱ）∵f（1）=5，∴f（2）=f（1）+f（1）﹣2=8，由f（|t2﹣t|）≤8得f（|t2﹣t|）≤f（2）∵f（x）在R上是单调递增函数，所以…（Ⅲ）由f（﹣2）=﹣4得﹣4=f（﹣2）=f（﹣1）+f（﹣1）﹣2⇒f（﹣1）=﹣1所以f（﹣3）=f（﹣2）+f（﹣1）=﹣4﹣1﹣2=﹣7，由f（t2+at﹣a）≥﹣7得f（t2+at﹣a）≥f（﹣3）∵f（x）在R上是单调递增函数，所以t2+at﹣a≥﹣3⇒t2+at﹣a+3≥0对任意t∈[﹣2，2]恒成立．记g（t）=t2+at﹣a+3（﹣2≤t≤2）只需g min（t）≥0．对称轴（1）当时，与a≥4矛盾．此时a∈ϕ（2）当时，，又﹣4＜a＜4，所以﹣4＜a≤2（3）当时，g min（t）=g（2）=4+2a﹣a+3≥0⇒a≥﹣7又a≤﹣4∴﹣7≤a≤﹣4综合上述得：a∈[﹣7，2]…【点评】本题主要考查了赋值法在抽象函数的函数值的求解中的应用，抽象函数的单调性的证明及函数的恒成立问题的应用，具有很强的综合性22．已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n（n≥2，n∈N+）．﹣1（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有成立．【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件对已知的数列关系式进行恒等变形，进一步的出数列是等比数列．（Ⅱ）（i）根据（Ⅰ）的结论进一步利用恒等变换，求出数列的通项公式．（ii）首先分奇数和偶数分别写出通项公式，进一步利用放缩法进行证明．（n≥2，n∈N+）．【解答】证明：（Ⅰ）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1则：a n+1+a n=3（a n+a n）﹣1即：，所以：，数列{b n}是等比数列．（Ⅱ）（i）由于数列{b n}是等比数列．则：，整理得：所以：则：是以（）为首项，﹣1为公比的等比数列．所以：求得：（ii）由于：，所以：，则：（1）当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以：=…++，所以：n∈k时，对任意的k都有恒成立．【点评】本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等比数列，利用构造数列的方法来求数列的通项公式，放缩法的应用．。

2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列命题中，是正确的全称命题的是（）A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0B．菱形的两条对角线相等C．存在实数x，使得D．对数函数在定义域上是单调函数2．设a，b，c为实数，“ac=b2”是“a，b，c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7）C．（7，10） D．（4，10）4．已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（）A．4 B．12 C．16 D．185．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．256．{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．287．设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．hslx3y3h，，，，+∞C．（0，）D．hslx3y3h，1）9．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．hslx3y3h，1） B．hslx3y3h，1，1）10．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣411．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．12．过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=．14．设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为．15．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为．16．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．20．正数数列{a n}的前n项和为S n，已知对于任意的n∈Z+，均有S n与1正的等比中项等于a n与1的等差中项．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣A的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．2016-2017学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列命题中，是正确的全称命题的是（）A．对任意的a，b∈R，都有a2+b2﹣2a﹣2b+2＜0B．菱形的两条对角线相等C．存在实数x，使得D．对数函数在定义域上是单调函数【考点】全称命题．【分析】通过配方判断出A是假命题；通过菱形及矩形对角线的性质判断出B是假命题；通过含存在量词判断出C不是全称命题；通过对数函数的单调性判断出D是真命题．【解答】解：对于A，任意的a，b∈R，a2+b2﹣2a﹣2b+2=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，所以A不正确对于B，菱形的对角线垂直，矩形的对角线相等，故B不正确对于C，此命题不是全称命题对于D，是全称命题且是真命题故选D2．设a，b，c为实数，“ac=b2”是“a，b，c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先证明必要性，由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2=ac；再证充分性，可以举一个反例，满足b2=ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．【解答】解：若a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．3．方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7）C．（7，10） D．（4，10）【考点】椭圆的简单性质．【分析】直接由题意列关于k的不等式组得答案．【解答】解：∵=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得7＜k＜10．∴实数k的取值范围是（7，10）．故选：C．4．已知x＞0，y＞0，且+=1，则x+y的最小值是（）A．4 B．12 C．16 D．18【考点】基本不等式．【分析】将x+y写成x+y乘以的形式，再展开，利用基本不等式，注意等号成立的条件．【解答】解：∵=1∴x+y=（）（x+y）=10++≥10+2=16当且仅当=时，取等号．则x+y的最小值是16．故选C．5．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离|PF1|=9，则|PF2|=（）A．1 B．17 C．1或17 D．25【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可知：丨|PF1|﹣|PF2|丨=2a=8，|PF1|=9，解得|PF2|=17或|PF2|=1（舍去），则|PF2|=17．【解答】解：双曲线﹣=1，可得a=4，由双曲线的定义可得：丨|PF1|﹣|PF2|丨=2a=8，|PF1|=9，∴|PF2|=17或|PF2|=1（舍去），故选：B．6．{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a7=5，S7=21，则S10=（）A．40 B．35 C．30 D．28【考点】等差数列的前n项和．【分析】分别利用等差数列的通项公式及求和公式表示已知条件，然后求出得a1，d，在代入求和公式即可求解【解答】解：由题意可得，解可得a1=1，d=∴=40故选A7．设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A．hslx3y3h，，，，+∞，，C．（0，）D．hslx3y3h，1）【考点】椭圆的应用．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．9．在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）A．hslx3y3h，1） B．hslx3y3h，1，1）【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决．建立如图所示的空间直角坐标系，设出F、D的坐标，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以x+2y﹣1=0DF==当y=时，线段DF长度的最小值是当y=1时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y=1不能取；故选：A．10．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4【考点】函数恒成立问题．【分析】先分离出参数k，得k≥﹣（+）（a+b），然后利用基本不等式求得﹣（+）（a+b）的最大值即可．【解答】解：由++≥0，得k≥﹣（+）（a+b），∵﹣（+）（a+b）=﹣（2+）=﹣4，当且仅当a=b时取等号，∴k≥﹣4，即实数k的最小值等于﹣4，故选：D．11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||=||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用||=||，推导出∠ABF=90°，再由射影定理得b2=ca，由此能求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵||=||，∴=0，∴∠ABF=90°，由射影定理得OB2=OF×OA，∴b2=ca，又∵c2=a2+b2，∴c2=a2+ca，∴a2+ca﹣c2=0，∴1+e﹣e2=0，解得e=或（舍），∴e=．故选B．12．过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y2=8x交于A，B两点，若+为定值，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB的方程为：x=my+a，与y2=8x联立得y2﹣8my﹣8a=0，利用韦达定理可求得+=，由它为定值可求得a的值．【解答】解：设直线AB的方程为：x=my+a，代入y2=8x得y2﹣8my﹣8a=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1•y2=﹣8a，AP2=+=+=（m2+1），同理，BP2=（m2+1），∴+=（+）=•=•=，∵+为定值，是与m无关的常数，∴a=4．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2，则x=2．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由条件（﹣）•（2）=﹣2，化简可得2（1﹣x）=﹣2，由此求得x的值．【解答】解：由题意向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（﹣）•（2）=﹣2所以（﹣）•（2）=（0，0，1﹣x）•（2，4，2）=2（1﹣x）=﹣2，可得x=2，故答案为：2．14．设实数x，y满足条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出最优解，把最优解的坐标代入目标函数得到，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（4，6），化目标函数z=ax+by为，由图可知，当直线过B时z有最大值，为4a+6b=12，即，则+=（+）（）=．当且仅当，即a=b=时上式等号成立．故答案为：．15．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，联立解得．由于4a＞2a，|F1F2|=2c＞2a．可知∠PF1F2是最小角，因此．由余弦定理可得：﹣2，化为=0，解得e=．再利用，解得即可．【解答】解：如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上．则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，联立解得．∵4a＞2a，|F1F2|=2c＞2a．∴∠PF1F2是最小角，因此．由余弦定理可得：﹣2，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣2×4a×2c•cos30°，化为=0，∴，解得e=．∴，解得．∴渐近线方程为．故答案为：．16．P是以F1，F2为焦点的椭圆上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=，sin（α+β）=，则此椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先计算sinβ，设|PF1|=m，|PF2|=n，再利用正弦定理求出n=，m=，利用余弦定理，即可得出结论．【解答】解：∵cosα=，sin（α+β）=，∴sinα=，cos（α+β）=±，∴sinβ=sin=• +•=或•﹣•＜0（舍去），设|PF1|=m，|PF2|=n，则由正弦定理可得，∴m=n，∵m+n=2a，∴n=，m=由余弦定理可得，整理可得，∵0＜e＜1，∴e=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】由函数y=c x在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤，￢q：c＞且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q 假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．【解答】解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．综上所述，实数c的取值范围是{c|}．18．设椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．【解答】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AB中点，连接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，运用AB⊥平面OCA1，即可证明．（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1，∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°∴OC⊥AB，OA1⊥AB，∵OC∩OA1=O，∴AB⊥平面OCA1，∵CA1⊂平面OCA1，∴AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），==（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞=﹣，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：﹣．20．正数数列{a n}的前n项和为S n，已知对于任意的n∈Z+，均有S n与1正的等比中项等于a n与1的等差中项．（1）试求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由条件等差中项、等比中项的定义，求得：a n +1﹣a n =2，可得数列{a n }为公差d=2的等差数列，再结合a 1=1，求得{a n }的通项公式．（2）先化简数列{b n }的通项公式，再利用裂项法求得它的前n 项和，可得结论． 【解答】解：（1）由题意得：，故…①，又…②，②﹣①得：，整理得：（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）=0． 由已知a n ＞0，∴a n +1+a n ＞0，故a n +1﹣a n ﹣2=0， 即a n +1﹣a n =2，所以数列{a n }为公差d=2的等差数列． 又由可得：a 1=1，∴a n =1+（n ﹣1）•2=2n ﹣1．（2）由题意可得，∴T n =b 1+b 2+…+b n = 1﹣hslx3y3h ＜．21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，PA=PD=AD=2． （Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E ﹣DF ﹣A 的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，先利用面面平行的判定定理证明出平面EFH∥平面PBC，进而根据面面平行的性质证明出EF∥平面PBC．（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，先证明出∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，进而求得JI和EJ，最后在直角三角形中求得cos∠EJI．（Ⅲ）先假设存在点G，建立空间直角坐标系，求得平面EFD的一个法向量，仅而表示出和，根据向量共线的性质建立等式对λ求解．【解答】（Ⅰ）作AB的中点H，连接EH，FH，∵在△PAB中，E，H为中点，∴EH∥PB，∵EH⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴EH∥平面PBC，同理可证明FH∥平面PBC，∵EH⊂平面EFH，FH⊂平面EFH，EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PBC，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PBC．（Ⅱ）做EI垂直AD于I，作IJ⊥DB=J，连接EJ，做AD中点O，连接OP，∵PA=PD，∴OP⊥AB，∵EI⊥AB，∴EI∥OP，∵E为中点，∴EI=OP=，AE=AB=，∵侧面PAD⊥底面ABCD，∴EI⊥底面ABCD，∵IJ⊥DB，∴EJ⊥DB，∴∠EJI为二面角E﹣DF﹣A的平面角，∵∠ADB=∠JIB，∠DJI=∠DAB=90°，∴△DJI∽△ADB，∴=，=，∴JI=∴EJ===，∴cos∠EJI===．即二面角E﹣DF﹣A的余弦值为．（Ⅲ）不存在．假设存在，连接AC，BD，交于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，以O为原点，OA，OF，OP分别为xyz轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），P（O，O，），E（，0，），F（0，1，0），设G（x1，y1，z1），则=（x1，1﹣y1，z1），设平面EFD的一个法向量是n=（x0，y0，z0），∵，即，令x0=1，则n=（1，﹣1，﹣），∵因为GF⊥面EDF，∴=λ，∴x1=λ，y1﹣1=﹣λ，z1=﹣λ，∵，共线，=（﹣1，2，﹣），=（x1+1，y1﹣2，z1），∴==，∴==，无解，故在棱PC上不存在一点G，故在棱PC上不存在一点G，使GF⊥平面EDF．22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴．∵△ADF为正三角形，∴．又∵，∴，∴p=2．∴C的方程为y2=4x．当D在焦点F的左侧时，．又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．∴C的方程为y2=4x．（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴k AD=﹣．由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即．联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．2016年12月10日。

2015-2016学年度下学期期初摸底考试高二数学试题（文)一.选择题（本大题共12小题，每小题5分,满分60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上）1。

已知集合A={y ｜y=log 2x,x 〉1}，B={y ｜2y-1<0｝,则A ∩B=（ ） (A)（0,错误!) (B ）（0，1） （C ）(错误!,1) (D)(0，+∞） 2。

若函数y=错误!在[2，+∞）上有意义,则实数a 的取值范围是( ） (A ）a=1 (B ）a>1 （C)a1 (D)a3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） (A)错误! (B ）错误! (C ）错误! (D ）4.设实数在区间［—1，1]内任取两个数，则这两个数的平方和小于1的概率是( ）（A)38 （B ）错误! (C ） 错误! （D ）错误!5。

若l 、m 、n 是互不相同的直线,,是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( ） （A ）若∥，l ,n ,则l ∥n (B ）若,l，则l（C) 若l ,l ∥，则(D ） 若l n ，mn,则l ∥m6.设双曲线的渐近线方程是y=3x ，则其离心率是( )(A) 错误!或错误! (B)错误! （C)错误! （D)错误!或错误!俯视图2221 21正视图侧视图7。

已知cos（错误!+）=错误!,则sin2=( ）(A)错误!(B)—错误!（C）-错误!(D）错误!8。

已知半球的半径为2，则其内接圆柱的侧面积最大值是（)(A)2(B）4(C)8（D）129.定义在[—2，2]上的偶函数f（x)在［-2,0]上是减函数,若f(x+1）〈f(2x），则实数x的取值范围是( )（A)［-1，—错误!）（B）[-2,错误!) （C)（—错误!，1] (D）(1，2］10.在正项等比数列{a n｝中,a5a4a2a1=16, 则a1+a5的最小值是（）（A）2 （B）3 (C）4 (D）811.为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲乙二人各自独立地作了10次和15次试验,并且利用线性回归方法求得回归直线分别为l1和l2，已知甲乙得到的试验数据中，变量x的平均值都是s，变量y的平均值都是t，则下面说法正确的是( ）(A）直线l1和l2必定重合（B) 直线l1和l2一定有公共点（s，t）(C）直线l1∥l2(D）直线l1和l2相交,但交点不一定是（s,t）12。

2016--2017学年下学期期中考试高二数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知复数的实部为，且，则复数的虚部是( )A．B．C．D．3.一算法的程序框图如图1，若输出的，则输入的的值可能为( )A．B．C．D．4.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为( )A．B．C．D．5.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．B．C．D．6.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是( )A B．C．D．7. 设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=( )A．B．C．D．8.已知函数，若在区间上任取一个实数，则使成立的概率为( )A ．B．C．D．9. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A ．B．C．D．10. 已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为，则的最小值是( )A．B．C．D．11.如图，椭圆与双曲线有公共焦点、，它们在第一象限的交点为,且，，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( )A．2B．C．D．12.已知函数, 则的值为A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.曲线在处的切线方程为_____________．14. 若满足且的最小值为，则的值为________．15. 已知三棱锥,,, 且，则三棱锥的外接球的表面积为________．16. ．函数，，，，对任意的，总存在，使得成立，则的取值范围为．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.（本小题满分12分）设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为满足(I)求数列的通项公式及数列的前n项和；(Ⅱ)是否存在非零实数，使得数列为等比数列？并说明理由18.（本小题满分12分）高三某班男同学有名，女同学有名，老师按照性别进行分层抽样组建了一个人的课外兴趣小组．（1）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出一名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（2）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为，第二次做试验的同学得到的试验数据为，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．19.（本小题满分12分）如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直, 底面是的菱形,为的中点.(1) 在棱上是否存在一点,使得?若存在,指出点的位置并证明；若不存在,请说明理由；(2) 求点到平面的距离．20.（本小题满分12分）已知圆：关于直线对称的圆为．（1）求圆的方程；（2）过点作直线与圆交于两点，是坐标原点.设，是否存在这样的直线，使得四边形的对角线相等？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）设函数，．其中（1）设，求函数在上的值域；（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立．请考生从第（22）、（23）二题中任选一题作答。

2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中等校高二下学期6月联考文科数学1．若集合{}{}2|4,,|4,M x x x R N x x Z =≤∈=≤∈，则M N = （ ）A ．(0,2)B ．{}0,2C ．{}0,1,2D ．{}0,2 2．若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 3．命题()()"1,,ln 1"x x x ∀∈-+∞+<的否定是（ ） A ．()()1,,ln 1x x x ∃∉-+∞+≥ B ．()()0001,,ln 1x x x ∀∉-+∞+< C ．()()1,,ln 1x x x ∀∈-+∞+≥ D ．()()0001,,ln 1x x x ∃∈-+∞+≥4．已知(2,4),(3,)a b m =-=-，若0a b a b +⋅= ，则实数m =（ ）A ．32B ．3C ．6D ．8 5．已知{}n a 为等比数列，147560,2,8,a a a a a >+=⋅=-则14710a a a a +++=（ ） A ．7- B ．5- C ．5 D ．7 6．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图像如图所示，2(),23f π=-则()6f π=（ ）A ．23-B ．12-C ．12D ．237．已知函数(2)(2)()1()(2)3xf x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则3(1log 5)f -+的值为（ ）A ．53 B ．115 C ．15 D ．238．执行如图所示的程序框图，输出的结果S 的值是（ ）A ．2B ．12-C ．－3D ．139．已知,x y 满足约束条件2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则11y z x +=+的范围是（ ）A ．1[,2]3 B ．11[,]22- C ．13[,]22 D ．35[,]2210． 某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中11116,2O A O C ==则该几何体的侧面积为（ ）A ．64 B．96+．128 D ．9611．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为(,0)(0)F c c ->，以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A,B ，O 三点，且()0AO AF OF +⋅=．关于x 的方程20ax bx c +-=的两个实数根分别为1x 和2x ，则以12,,2x x 为边长的三角形的形状是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ． 锐角三角形D ．等腰直角三角形12．已知t 为常数，函数2()ln(1)f x x t x =++有两个极值点,a b ()a b <则（ ）A ．12ln 2()4f b -< B ．12ln 2()4f b ->C ．32ln 2()8f b +>D ．43ln 2()8f b +<13．如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则12,a a 的大小关系是__________（填12a a >,21a a >，12a a =）．14．已知ABC ∆的三内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin 2sin ,A C b ac ==，则cos B = ．15．数列{}n a 满足211233332n n na a a a -++++=，前n 项和为n S ，则n S = ．16．已知函数2324()21(0),()2(1)27f x ax ax a ag x bx bx bx b =-++>=-+->，则函数(())y g f x =的零点个数为 个．17．在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小；（2sin()6A C π+-的取值范围．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=，2AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；（2）若E是线段PB中点,求点B到平面EDC的距离．19．某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频率分布直方图和频数分布表，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”．（1）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由．（2）在高一的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”．根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料判断是否有90%的把握认为“手机迷”与性别附：随机变量22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++为样本总量）．20．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>经过点3(1,)2P，离心率12e=，直线l的方程为4x=．（1）求椭圆C的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k ，问：是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 21．已知函数21()(1)ln ()2f x x a x a x a R =-++∈ （1）当12a =，求()y f x =的单调区间； （2）讨论函数()y f x =零点的个数． 22．选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为圆O 的切线，B ，D 为切点．（1）求证：OC AD //；（2）若圆O 的半径为2，求AD OC ⋅的值． 23．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=,A B 两点的极坐标分别为．(2,),(2,)2A B ππ（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值．24．选修4－5：不等式选讲已知函数322)(++-=x a x x f ，()21+-=x x g （1）解不等式()5||<x g ；（2）若对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【解析】 试题分析：因为{}{}{}{}2|4,|22,|4,0,1,2M x x x R x x N x x Z =≤∈=-≤≤=≤∈=，所以{}0,1,2M N = ，故选C ．考点：集合的运算． 2．A 【解析】 试题分析：因为1zi i=-，即(1)1z i i i =-=+，所以1z i =-，故选A ． 考点：1．复数的运算；2．复数相关的概念． 3．D 【解析】试题分析：命题()()"1,,l n 1"x x x ∀∈-+∞+<的否定是命题()()000"1,,ln 1"x x x ∃∈-+∞+≥,故选D ．考点：特称命题与全称命题．4．C 【解析】 试题分析：02(3)4640a b a b m m +⋅=⇒⨯--=-=,解之得6m =，故选C ．考点：1．向量坐标运算；2．向量的数量积与模． 5．B 【解析】试题分析：由等比数列性质可得56478a a a a ==-，又472a a +=，解之得472,4a a =-=或742,4a a =-=，因为6710a a q =>，所以472,4a a =-=，3337424,2a a q q q ==-=∴=-，所以34110731,8a a a a q q====-，所以147105a a a a +++=-，故选B ．考点：等比数列的通项公式与性质． 6．D 【解析】试题分析：由图可知，11722212123T ππππω⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以3ω=，又77()cos()0124f A ππϕ=+=，所以2()4k k Z πϕπ=+∈，由2()c os(3)s in ,22443f A A ππππ=⨯+==-3A ∴=-，所以2()cos()6324343f ππππ=-+==，故选D ． 考点：三角函数的图象与性质． 7．B 【解析】 试题分析：33log 151log 1533335511(1log 5)(log )(log 2)(log 15)333315f f f f ⎛⎫-+==+====⎪⎝⎭,故选B ． 考点：1．函数的周期性；2．对数、指数的运算性质．8．A 【解析】试题分析：模拟算法，开始，2,1,2016S i i ==≤成立；123,2,201612S i i +==-=≤-成立； 131,3,2016132S i i -==-=≤+成立；1112,4,20161312S i i -===≤+成立； 1132,5,2016113S i i +===≤-成立； …………………………………………由此可知S 逞周期性变化，周期为4，结束时201745061i ==⨯+，所以结束时2S =，故选A ．考点：程序框图． 9．C 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出可行域2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，由斜率公式可知11y z x +=+表示可行域内的点(,)M x y 与点(1,P --连线的斜率，由图可知max min 213111,112312z z ++====++，故选C ．考点：1．线性规划；2．斜率公式 ．【名师点睛】本题考查线性规划及斜率公式，属于基础题；解线性规划问题时要求依据二元一次不等式组准确画出可行域，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，在可行域内平移该直线，确定何时z 取得最大值和最小值，找出此时相应的最优解，依据线性目标函数求出最值，这是最基础的线性规划问题． 10．D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为底面是一个平行四边形，高为4的棱柱，且底面平行四边形的一边长为6，由斜二侧画法可知，平行四边形的另一边长也为6，即底面为菱形，所以其侧面积为2(66)496S =⨯+⨯=，故选D ． 考点：1．三视图；2．斜二侧画法；3．棱柱的侧面积． 11．A 【解析】试题分析：因为()0AO AF OF +⋅=，所以三角形O A F 为等腰直角三角形，即,a b c =，所以12121,x x x x +=-=，22222212121212()2142x x x x x x x x +=+=+-=+<=所以该三角形为钝角三角形，故选A ．考点：1．双曲线的标准方程与几何性质；2．向量加法及数量积的几何意义；3．余弦定理． 【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程与几何性质、向量加法及数量积的几何意义、余弦定理，中档题．圆锥曲线的几何性质与正、余弦定理是高考的高频考点，，本题将两者及向量有机的结合在一起，体现了试题的综合性与学生分析、解决问题的能力玘运算能力，是本题的亮点． 12．B 【解析】试题分析：函数()2l n (1)f x x x =++的定义域为(1,-+∞，()222211t x x tf x x x x ++'=+=++，又因为函数有两个极值点,a b ，即,a b 是方程2220x x t ++=在区间1(,0)2-上的个根，所以有10,1a b a b -<<<+=-，2tab =,则210,222b t b b -<<=--，所以22()(22)ln(1)f b b b b b =-++，令22()(22)ln(1)g x x x x x =-++，其中102x -<<，则()2(12)ln(1)g x x x '=-++，在区间1(,0)2-上，()0g x '>，所以()g x 在区间1(,0)2-上单调递增，所以对任意1(,0)2b ∈-，有112ln 2()()24g b g ->-=，所以12ln 2()()4f bg b -=>，故选B ．考点：导数与函数的单调性、极值．【名师点睛】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数()f x 的单调性与极值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求方程()0f x '=的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性． 13．21a a > 【解析】试题分析：由题意可知，128185384843868784,8555a a +⨯+⨯++====，所以21a a >．考点：1．茎叶图；2．平均数． 14．34【解析】试题分析：由正弦定理及sin 2sin A C =得2a c =，所以222b ac c ==，所以222222423c o s 2224a cbc c c B a c c c +-+-===⨯⨯．考点：正弦定理与余弦定理． 15．31(1)43n - 【解析】试题分析：因为211233332n n na a a a -++++=，所以当2n ≥时有22123113332n n n a a a a ---++++= ，两式作差得111113,223n n n n a a --=∴=⋅又因为当1n =时，112a =适合此式，所以数列{}n a 的通项公式为11123n n a -=⋅，所以11(1)3123(1)4313n n n S -==--． 考点：1．n a 与n S 的关系；2．等比数列的性质与求和．【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等比数列的性质与求和,中档题；在等比数列五个基本量1a ，q ，n ，n a ，n S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等比数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用． 16．2 【解析】试题分析：22()34(31)(1)g x bx bx b b x x '=-+=--,则()0g x '>得13x <或1x >，由()0g x '<得113x <<，所以函数()g x 的单调递增区间为1(,)3-∞，(1,)+∞，单调递减区间为1(,1)3，所以14()()(1)0327g x f b ==->极大值，4()(1)027g x f ==-<极小值，所以函数()g x 有三个零点123,,x x x ，且123113x x x <<<<，又22()21(1)11f x ax xa a a x =-++=-+>，所以由(())0g f x =得3()g x x =，由二次函数的图象可知3()g x x =有两个不同的实要根，即(())y g f x =的零点个数为2．考点：1．导数与函数的单调性、极值；2．函数与方程；3．二次函数；4．数形结合；5．复合函数的零点．【名师点晴】本题考查导数与函数的单调性、极值、函数与方程、二次函数、数形结合思想、复合函数的零点,属于难题．求复合函数(())y g f x =零点问题， 应选求出外层函数()g x 的零点12,x x ，然后求内层函数()i f x x =的解即可． 17．（1）3π；（2）(1,2]． 【解析】 试题分析：（1）利用正弦定理将题设条件中的边转换为角的正弦值，根据三角恒等变换化简整理可得sin (2cos 1)0C B -=，进一步可得1cos 2B =，即可求解；（2）由（1）可知23C A π=-，将所求式子用角A 表示，sin()2sin()66A C A ππ+-=+，由角A 的范围及三角函数性质求之即可． 试题解析：（1）由正弦写理得：(2sin sin )cos sin cos 0,sin (2cos 1)0C A B B A C B --=-=1sin 0,cos ,(0,),23C B B B ππ≠∴=∈∴=（2）由（1）知3B π=，23C A π∴=-，sin()cos 2sin()66A C A A A ππ+-=+=+ 25(0,),(,),2sin()(1,2]36666A A A πππππ∈∴+∈∴+∈sin()6A C π+-的取值范围是(1,2]考点：1．正弦定理；2．三角恒等变换；3．三角函数图象与性质；4．三角形内角和定理． 【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角函数图象与性质、三角形内角和定理，属中档题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．（1）见解析；（2）7． 【解析】试题分析：（1）要证平面EAC ⊥平面PBD ,只要证AC ⊥平面PBD 即可，由已知PD ⊥平面ABCD ，可证AC PD ⊥，又底面是菱形，所以AC BD ⊥，即可证得AC ⊥平面PBD ；（2）设B 到平面EDC 的距离为d ，由12B E D CE B D C P B D CV V V ---== 等体积转换求之即可．试题解析：证明:（1）PD ⊥ 平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,AC PD ∴⊥．四边形ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥,又PD BD D = ,AC ⊥平面PBD ．而AC ⊂平面EAC ,∴平面EAC ⊥平面PBD ．（2）E 是PB 中点，连结EO ，则PD EO //，EO ⊥平面ABCD ，且1=EO ．,2,2,3,1==∴==EC DE OC OD .27214221=⨯⨯=∴∆CDE S12B EDC E BDC P BDC V V V ---== 1123BDC S PD =⨯⨯⨯△112262=⨯⨯=，设点B 平面EDC 的距离为d ，1337B EDC CDE CDE V S d d S -∆∆=⨯⨯=∴===考点：1．线面、面面垂直的判定与性质；2．多面体的体积．【名师点睛】本题考查线面、面面垂直的判定与性质、多面体的体积,中档题；证明面面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．求锥的体积关键在于确定其高，即确定线面垂直． 19．（1）高一年级的学生是“手机迷”的概率大； 22⨯有0090的把握认为“手机迷”与性别有关．【解析】 试题分析：（1）由频率分布直方图分别计算高一学生与高二学生的频率即概率并比较大小即可；（2）由频率分布直方图计算“手机迷”人数和“非手机迷”人数，再根据已知条件算出其中的男生人数与女生人数，填入表格可得列联表，由列联表中数据代入所给公式计算2K 的观察值，并与临界值表对比即可 得出结论． 试题解析：（1）由频率分布直方图可知，高一学生是“手机迷”的概率为1(0.00250.010)200.25P =+⨯=由频数分布表可知，高二学生是“手机迷”的概率为21440.18100P +== 因为12P P >，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大． （2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机迷”有(0.0100.0025)2010025+⨯⨯=（人），非手机迷有1002575-=（人）． 22⨯将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222()100(30104515)1003.030()()()()7525455533n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为3.030 2.706>，所以有0090的把握认为“手机迷”与性别有关． 考点：1．频率分布直方图；2．独立性检验．20．（1）22143x y +=;（2）存在常数2λ=符合题意． 【解析】试题分析：（1）将点3(1,)2P 的坐标代入椭圆方程得221914a b +=，以及12c e a ==得到方程组解之求出,,a b c 即可；（2）设直线AB 的方程为(1)y k x =-与椭圆方程联立得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，设11(,),(,)A x yB x y ，得到2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++，再求出点M 的坐标，用1122,,,x y x y 表示123,,k k k ，计算1232k k k +=，所以可得到结论存在常数2λ=符合题意． 试题解析： （1）由3(1,)2P 在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1．①依题可知a ＝2c ，则b 2＝3c 2．②将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3． 故椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1．（2）由题意可设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-…③，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++…④在方程③中令4x =，得M 的坐标为(4,3)k ，从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====---- 注意到A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k ．所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1 ＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1 ＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1．⑤ 将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24（k 2－3）4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1． 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3．故存在常数λ＝2符合题意．考点：1椭圆的标准方程与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系． 21．（1）单调递增区间为1(0,)2和(1,)+∞，单调递减区间为1(,1)2； （2）综上12a <-时，没有零点；0a ≥或12a =-时，一个零点；102a -<<时，两个零点． 【解析】试题分析：（1）当12a =，2231()(0)2x x f x x x-+'=>，解不等式()0,f x '> ()0,f x '<可得函数()f x 的单调区间；（2）求导()(1)()(0),x a x f x x x--'=>由()0f x '=得,1x a x ==，分110,,0,022a a a a -<<<-=>分别讨论函数的零点的个数即可． 试题解析：（1）当12a =时，2213113231()l n ,()(222222x x f x x x x f x x x xx -+'=-+=+-=> ()0,f x '>解得1x >，或10,()0,2x f x '<<<解得112x <<故所求增区间为1(0,)2和(1,)+∞，减区间为1(,1)2（2）2(1)()(1)()(0),()0,x a x a x a x f x x f x x x-++--''==>=有x a =或1x = ①当0a =时，21()2f x x x =-，有一个零点 当0a <时，由()0f x '>得1,x >()0f x '<得01x << 故其在(0,1)内递减，在(1,)+∞递增，故min 1()(1)2f x f a ==--1 若102a --<，即102a -<<时，令2(1)20a ax e+=有220000011()(1)ln (1)ln 022f x x a x a x a a x =-++>-++= 另取22422211,()(1)2(1)(2)022x e f e e a a e e a ==-++=-->，故有两上零点；2 若102a --=即12a =-时，有一个零点；3 若102a -->，即12a <-时，没有零点；② 当0a >，有1(1)02f a =--<，又211()ln (1ln )22f a a a a a a a a =--+=--+不妨令1112()1ln (0),()222xg x x x x g x x x -'=--+>=-+=()0g x '>时，有02,()0x g x '<<<时，有2x >，故()g x 在(0,2)增，在(2,)+∞减max ()(2)2ln 20,g x g ==-+<从面211()ln (1ln )022f a a a a a a a =--+=--+<又21(22)(22)(1)(22)ln(22)ln(22)02f a a a a a a a a +=+-++++=+>故此时函数()f x 有一个零点； 综上12a <-时，没有零点； 0a ≥或12a =-时，一个零点；102a -<<时，两个零点． 考点：1．导数与函数的单调性；2．函数与方程． 22．（1）见解析；（2）8． 【解析】试题分析：（1）由,CB CD 是圆O 的两条切线,可得BD OC ⊥，又AB 是圆O 的直径，所以AD BD ⊥，可证//AD OC ；（2）由DAO DOC ∠=∠可得,Rt ∴△BAD ∽Rt △COD ,所以有8AD OC AB OD ⋅=⋅=．试题解析：（1）连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴，ο90=∠+∠∴DOC ODB ,又AB 为圆O 的直径，DB AD ⊥∴，ο90=∠+∠∴ODB ADO ODA OAD ∠=∠∴,DOC OAD ∠=∠∴,即得证，（2）OD AO =∴,DOC DAO ∠=∠∴,Rt ∴△BAD ∽Rt △COD ，8AD OC AB OD ⋅=⋅=．考点：1．圆的相关性质；2．三角形相似．23．（1）圆C 的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=,直线l 的直角坐标方程为20x y -+=;（2）4． 【解析】试题分析：（1）消去参数即可得到圆C 的普通方程，利用三角公式将cos()4πρθ+=cos()4πθ+展开，由直角坐标和极坐标的互化公式可得直线l 直角坐标方程；（2）把点,A B的坐标化为直角坐标方程可知,A B 在直线l上，且AB =，由圆C 的参数方程表示点P可得(5,3)t t -，求出点P 到直线l 的距离表达式，即可求其最小值，从而求出面积的最小值． 试题解析： （1）由53x t y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩消去参数t ，得22(5)(3)2x y ++-=，所以圆C 的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=．由cos()4πρθ+=，得cos sin 22ρθρθ-=，换成直角坐标系为20x y -+=，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）(2,),(2,)2A B ππ 化为直角坐标为(0,2),(2,0)A B -在直线l 上，并且AB =P点的坐标为(5,3)t t -，则P 点到直线l的距离为d ==min d ∴=PAB ∆面积的最小值是142S =⋅=考点：1．参数方程与普通方程的到化；2．极坐标与直角坐标的互化；3．三角恒等变换及三角函数性质．24．（Ⅰ）{}24x x -<<;（Ⅱ）5a ≤-或1a ≥-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）因为1220x -+≥>，所以()()g x g x =，所以()5()513g x g x x <⇔<⇔-<，解之即可；（Ⅱ）“对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得()1x f =()2x g 成立”等价于“{}{}|()|()y y f x y y g x =⊆=”等价于32a +≥，解之即可．试题解析： （1）由125x -+<得5125x -<-+<，13x ∴-< ，解得24x -<< ． 所以原不等式的解集为{}24x x -<< （2）因为对任意，都有，使得=成立所以，又，所以从而考点：1．含绝对值不等式的解法；2．函数的值域；3．函数与不等式．。

2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1．（5分）已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞02．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．D．3．（5分）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（5分）椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或215．（5分）设条件p：|x﹣2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q 的必要不充分条件，则a的取值范围是（）A．（0，5]B．（0，5） C．[5，+∞）D．（5，+∞）6．（5分）已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A．﹣4 B．C．1 D．07．（5分）已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（1，2]B．[1，2） C．[1，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）8．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”B．若p：＜0，则¬p：≥0C．命题p；存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p；任意x∈R，使得x2+x+1≥0 D．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件9．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的直线斜率为，则的值为（）A．B．C．D．11．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸对应横线上.13．（5分）若“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的充分条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知两定点B（﹣3，0），C（3，0），△ABC的周长等于16，则顶点A的轨迹方程为．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．16．（5分）已知A，D分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且的最大值是1，最小值是﹣，则椭圆的标准方程．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设命题x+2cosx﹣a=0；命题q：∀x∈R，使得x2+2ax﹣8+6a≥0，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知椭圆C：4x2+y2=1及直线L：y=x+m．（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程．20．（12分）设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是．（1）若点P（2，1）在椭圆上，求椭圆的方程；（2）若存在过点A（1，0）的直线l，使点C（2，0）关于直线l的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围．22．（12分）已知过点（2，0）的直线l1交抛物线C：y2=2px于A，B两点，直线l 2：x=﹣2交x轴于点Q．（1）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值；（2）点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，=2，求抛物线C的方程．2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1．（5分）已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A．2．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．D．【解答】解：∵抛物线的方程为y=﹣4x2，∴其标准方程为x2=﹣y，∴其焦点坐标为F（0，﹣）．故选：D．3．（5分）若a∈R，则“a2＞a”是“a＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由a2＞a得a＞1或a＜0，则“a2＞a”是“a＞1”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）椭圆=1的离心率为，则k的值为（）A．﹣21 B．21 C．﹣或21 D．或21【解答】解：若a2=9，b2=4+k，则c=，由=，即=得k=﹣；若a2=4+k，b2=9，则c=，由=，即=，解得k=21．故选：C．5．（5分）设条件p：|x﹣2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q 的必要不充分条件，则a的取值范围是（）A．（0，5]B．（0，5） C．[5，+∞）D．（5，+∞）【解答】解：由|x﹣2|＜3，得﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5，即p：﹣1＜x＜5，∵q：0＜x＜a，a为正常数∴要使若p是q的必要不充分条件，则0＜a≤5，故选：A．6．（5分）已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（）A．﹣4 B．C．1 D．0【解答】解：根据题意双曲线，设P（x，y）（x≥1），易得A1（﹣1，0），F2（3，0），=（﹣1﹣x，y）•（3﹣x，y）=x2﹣2x﹣3+y2，又，故y2=8（x2﹣1），于是=9x2﹣2x﹣11=9（x﹣）2﹣，当x=1时，取到最小值﹣4；故选：A．7．（5分）已知对k∈R，直线y﹣kx﹣1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A．（1，2]B．[1，2） C．[1，2）∪（2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：联立，化为（m+2k2）x2+4kx+2﹣2m=0，∵直线y﹣kx﹣1=0与椭圆恒有公共点，∴△=16k2﹣4（m+2k2）（2﹣2m）≥0，化为m2+（2k2﹣1）m≥0，由于m≠0，上式化为：m≥1﹣2k2，由于上式对k∈R恒成立，∴m≥1．由椭圆的定义可知：m≠2．综上可得m的取值范围是：[1，2）∪（2，+∞）．故选：C．8．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”B．若p：＜0，则¬p：≥0C．命题p；存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p；任意x∈R，使得x2+x+1≥0 D．“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件【解答】解：命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1”，故A正确；若p：＜0，则¬p：≥0或x=﹣1，故B错误．命题p；存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则¬p；任意x∈R，使得x2+x+1≥0，故C 正确；由am2＜bm2，可得，即a＜b，反之，由a＜b，不一定有am2＜bm2，如m2=0．∴“am2＜bm2”是“a＜b”的充分不必要条件，故D正确．故选：B．9．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，，又，可得，则，故选：C．10．（5分）椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB的中点的直线斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：把y=1﹣x代入椭圆ax2+by2=1得ax2+b（1﹣x）2=1，整理得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=，∴线段AB的中点坐标为（，），∴过原点与线段AB中点的直线的斜率k===．故选：D．11．（5分）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a 1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+a12=0，a1=3a2，e1•e2===1即3e12=1∴e1=故选：A．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸对应横线上.13．（5分）若“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的充分条件，则实数a的取值范围是a≤．【解答】解：若方程x2+x+m=0有实数根，则△=1﹣4m≥0，解得：m≤，若“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的充分条件，则实数a的取值范围是：；故答案为：a≤．14．（5分）已知两定点B（﹣3，0），C（3，0），△ABC的周长等于16，则顶点A的轨迹方程为．【解答】解：由题意，可得BC+AC=10＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．∴2a=10，c=3∴b=4，故顶点C的轨迹方程为，故答案为：．15．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2 ，故水面宽为m．故答案为：．16．（5分）已知A，D分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且的最大值是1，最小值是﹣，则椭圆的标准方程+y2=1．【解答】解：由题意的最大值是1，可得a2﹣c2=1，即b=1，∴AD的方程为y=+1，设P（x，y）（﹣a≤x≤0），则=（x+c，y）•（x﹣c，y）=x2﹣c2+y2=（1+）（x+）2﹣∵的最小值是﹣，∴﹣=﹣，∴a=2，b=1，所求的椭圆的方程为：+y2=1．故答案为：+y2=1．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应在答题纸对应区域内写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设命题x+2cosx﹣a=0；命题q：∀x∈R，使得x2+2ax﹣8+6a≥0，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：设t=cosx，∵，∴t∈[0，1]，则有∃t∈[0，1]，使a=t2+2t成立，∵t∈[0，1]时，t2+2t∈[0，3]，∴p为真时a∈[0，3]，∵∀x∈R，x2+2ax﹣8+6a≥0成立，∴△≤0，即a2﹣6a+8≤0，∴a∈[2，4]，∴q为真时a∈[2，4]，∵p∨q为真，p∧q为假，∴p，q一个真一个假当p真q假时，a∈[0，2），当p假q真时，a∈（3，4]，∴实数a的取值范围是[0，2）∪（3，4]．18．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0，得：（x﹣3a）（x﹣a）＜0，当a=1时，解得1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由，得：2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（Ⅱ）p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B是A的真子集，又B=（2，3]，当a＞0时，A=（a，3a）；a＜0时，A=（3a，a）．所以当a＞0时，有，解得1＜a≤2，当a＜0时，显然A∩B=∅，不合题意．所以实数a的取值范围是1＜a≤2．19．（12分）已知椭圆C：4x2+y2=1及直线L：y=x+m．（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程．【解答】解：（1）由方程组，消去y，整理得5x2+2mx+m2﹣1=0．（2分）∴△=4m2﹣20（m2﹣1）=20﹣16m2（4分）因为直线和椭圆有公共点的条件是△≥0，即20﹣16m2≥0，解之得﹣．（5分）（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x 1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得，（8分）∴弦长|AB|===，﹣，∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．（10分）20．（12分）设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．【解答】解：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为x，即bx﹣2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，∴y1+y2=﹣4=12，∴，解得，∴t=4，∴，t=4．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是．（1）若点P（2，1）在椭圆上，求椭圆的方程；（2）若存在过点A（1，0）的直线l，使点C（2，0）关于直线l的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率是，点P（2，1）在椭圆上，∴，∴a2=8，b2=2，∴椭圆的方程为；（2）依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：y=k（x﹣1）．设点C（2，0）关于直线l的对称点为C′（a，b），则，∴，，若点C′（a，b）在椭圆上，则，∴b2k4+（2b2﹣4）k2+（b2﹣1）=0，设k2=t，因此原问题转化为关于t的方程b2t2+（2b2﹣4）t+（b2﹣1）=0有正根．①当b2﹣1＜0时，方程一定有正根；②当b2﹣1≥0时，则有，∴b2≤∴综上得0＜b≤．又椭圆的焦距为2c=2b，∴0＜2c≤4．故椭圆的焦距的取值范围是（0，4]22．（12分）已知过点（2，0）的直线l1交抛物线C：y2=2px于A，B两点，直线l2：x=﹣2交x轴于点Q．（1）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值；（2）点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，=2，求抛物线C的方程．【解答】（1）解：设直线AB的方程为x=ky+2，联立可得，y2﹣2pky﹣4p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pk，y1y2=﹣4p，∴x1x2==4，x1+x2=k（y1+y2）+4=2pk2+4，∵Q（﹣2，0），∴k1=，k2=∴k1+k2=+=====0（2）由（1）可得，直线OA，OB的斜率互为相反数，则有AB⊥x轴，此时k=0∵点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，不妨取P（0，0），设M（﹣2，a），N（﹣2，b），∵=4+ab=2，∴ab=﹣2，∵k PA=k PM，k PN=k PB，∴，，两式相乘可得，，∴，∴p=，抛物线C的方程为：y2=x．。

2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）设命题p：∃x＞1，x2﹣x+1＞0，则¬p为（）A．∀x≤1，x2﹣x+1≤0 B．∃x＞1，x2﹣x+1≤0C．∀x＞1，x2﹣x+1≤0 D．∃x≤1，x2﹣x+1＞02．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．3．（5分）已知a，b∈R，那么“a2＞b2”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．（5分）已知命题p1：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0成立；p2：对任意的x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢p1∧￢p2B．p1∨￢p2C．￢p1∧p2D．p1∧p25．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．6．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n 的取值范围是（）A．B．C．D．7．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆8．（5分）下列命题正确的个数是（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．A．0 B．1 C．2 D．39．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=011．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．16．（5分）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=3，=3，则p=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立；命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围．18．（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B、（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若=2，•=，求椭圆的方程．19．（12分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆x2+（y+2）2=4相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．21．（12分）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线﹣=1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（1）若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（2）求的最大值．22．（12分）已知圆C1：（x+1）2+y2=8，点C2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；（Ⅲ）过点且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．2015-2016学年辽宁省葫芦岛一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）设命题p：∃x＞1，x2﹣x+1＞0，则¬p为（）A．∀x≤1，x2﹣x+1≤0 B．∃x＞1，x2﹣x+1≤0C．∀x＞1，x2﹣x+1≤0 D．∃x≤1，x2﹣x+1＞0【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞1，x2﹣x+1≤0，故选：C．2．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选：D．3．（5分）已知a，b∈R，那么“a2＞b2”是“a＞|b|”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵当“a＞|b|”成立时，a＞|b|≥0，∴“a2＞b2”成立，即“a＞|b|”⇒“a2＞b2”为真命题；是必要条件；而当“a2＞b2”成立时，a＞|b|≥0，或a＜﹣|b|≤0，∴a＞|b|≥0不一定成立，即“a2＞b2”⇒“a＞|b|”为假命题；不是充分条件；故“a2＞b2”是“a＞|b|”的必要非充分条件；故选：B．4．（5分）已知命题p1：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0成立；p2：对任意的x∈[1，2]，x2﹣1≥0．以下命题为真命题的是（）A．￢p1∧￢p2B．p1∨￢p2C．￢p1∧p2D．p1∧p2【解答】解：对于不等式，判别式△=1﹣4＜0，所以该不等式无解；∴命题p1是假命题；函数f（x）=x2﹣1在[1，2]上单调递增，∴对于任意x∈[1，2]，f（x）≥f（1）=0，即x2﹣1≥0；∴命题p2是真命题；∴￢p1是真命题，￢p2是假命题；∴￢p1∧￢p2是假命题，p1∨￢p2为假命题，￢p1∧p2为真命题，p1∧p2为假命题．故选：C．5．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．6．（5分）对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：联立，化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，∵直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，∴△=64m2（n﹣1）2﹣4（1+4m2）[4（n﹣1）2﹣1]≥0，化为：4n2﹣8n+3≤4m2，由于对于任意的实数m上式恒成立，∴4n2﹣8n+3≤0，解得．∴n的取值范围是．故选：A．7．（5分）已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆【解答】解：令f（x）=，则其几何意义为点（x，y）到（1，2）的距离，令g（x）=，其几何意义为（x，y）点到直线y=3x+4y+12的距离，依题意二者相等，即点到点（1，2）的距离与到定直线的距离相等，进而可推断出P的轨迹为抛物线．故选：B．8．（5分）下列命题正确的个数是（）①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①该命题的否命题是：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B；若A，B∈（0，]，∵正弦函数y=sinx在（0，]上是增函数，∴sinA≤sinB 可得到A≤B；若A∈（0，]，B∈（，π），sinA＜sinB能得到A＜B；若A∈（，π），B∈（0，]，则由sinA≤sinB，得到sin（π﹣A）≤sinB，∴π≤A+B，显然这种情况不存在；综上可得sinA≤sinB能得到A≤B，所以该命题正确；法二：∵=，∴若sinA＞sinB，则a＞b，从而有“A＞B”，所以该命题正确；②由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；∴p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；法二：p是q的必要不充分条件⇔￢q是￢p的必要不充分条件，而命题p：x≠2或y≠3，￢P：x=2且y=5，命题q：x+y≠5，￢q：x+y=5，则￢p⇒￢q，而￢q推不出￢p，故￢q是￢p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；③由x2+x+1=+＞0，故不存在实数x0，使x02+x0+1＜0；③错误；④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是：“若x2﹣2x+m=0没有实根，则m≤1”，由△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，故④错误；故选：C．9．（5分）已知点P为抛物线y=x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（6，），则|PA|+|PM|的最小值是（）A．8 B．C．10 D．【解答】解：依题意可知，抛物线y=x2即抛物线2y=x2焦点为（0，），准线方程为y=﹣，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可（F为曲线焦点），显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|==10，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣=故选：B．10．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选：C．11．（5分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．[，1）D．[，1）【解答】解：由题意，如图若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，由∠APO＞45°，即sin∠APO＞sin45°，即＞，则e=，故选：A．12．（5分）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设M（t，s），N（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），k1=，k2=﹣|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2当且仅当=﹣，即t=0时等号成立．因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x 轴对称的两点，M（t，s），N（t，﹣s），即s=b∴|k1|+|k2|的最小值为，∵椭圆的离心率为，∴，∴a=2b∴|k1|+|k2|的最小值为1故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题为若x∉A∩B，则x∉A 且x∉B．【解答】解：同时否定条件和结论，得到否命题，所以命题“若x∈A∩B，则x∈A或x∈B”的否命题是：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．故答案为：若x∉A∩B，则x∉A且x∉B．14．（5分）已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是[1，2）．【解答】解：p：∵不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，而|x|+|x﹣1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，∴m＜1．q：∵f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，∴5﹣2m＞1，解得m＜2．∴当1≤m＜2时，p不正确，而q正确，两个命题有且只有一个正确，实数m 的取值范围为[1，2）．故答案为：[1，2）．15．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为﹣=1．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：①；②由①﹣②得：=∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），∴又AB的斜率是∴，即4b2=5a2将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5∴双曲线标准方程是故答案为：16．（5分）直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=3，=3，则p=2．【解答】解：设A，B在准线上的射影分别为M，N，则由于|BC|=3|BN|，则直线l的斜率为2，∵|AF|=3，∴AM=3，故|AC|=3|AM|=9，从而|BF|=1.5，|CB|=4.5．CF=6，CA=9故，即p=4，故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设命题p：x1和x2是方程x2﹣ax﹣2=0的两个根，不等式|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立；命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有两个不同的零点．求使“P且Q”为真命题的实数m的取值范围．【解答】解：由题设x1+x2=a，x1x2=﹣2，∴．当a∈[1，2]时，的最小值为3．要使|m﹣4|≤|x1﹣x2|对任意实数a∈[1，2]恒成立，只需||m﹣4|≤3，即1≤m≤7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由已知，得的判别式：，得m＜﹣1或m＞4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得实数m的取值范围是：（4，7]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B、（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若=2，•=，求椭圆的方程．【解答】解：（1）若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA=OF2，即b=C、所以a=c，e==．（2）由题知A（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中，c=，设B（x，y）．由=2⇔（c，﹣b）=2（x﹣c，y），解得x=，y=﹣，即B（，﹣）．将B点坐标代入=1，得+=1，即+=1，解得a2=3c2．①又由•=（﹣c，﹣b）•（，﹣）=⇒b2﹣c2=1，即有a2﹣2c2=1．②由①，②解得c2=1，a2=3，从而有b2=2．所以椭圆方程为+=1．19．（12分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得20．（12分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上一点的横坐标为2，且该点到焦点的距离为2．（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆x2+（y+2）2=4相切的直线l：y=kx+t交抛物线于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足=λ（+）（λ＞0），求λ的取值范围．【解答】解：（1）x2=2py，，，p=2，∴x2=4y…（4分）（2），∴k2=t+①，△=16（k2+t）＞0②由①②可知，t∈（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞）…（6分）设C（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=4k，∴．∴，代入x2=4y得16k2λ2=4λ（4k2+2t）．∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵t＞0或t＜﹣8，∴或∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），双曲线﹣=1的两条渐近线为l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（1）若l1与l2夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（2）求的最大值．【解答】解：（1）双曲线的渐近线为y=±x，两渐近线夹角为60°，又＜1，∴∠POx=30°，∴=tan 30°=，∴a=b．又a2+b2=22，∴3b2+b2=4，∴b2=1，a2=3，∴椭圆C的方程为+y2=1，∴离心率e==．（2）由已知，l：y=（x﹣c）与y=x联立，解方程组得P（，）．设=λ，则=λ，∵F（c，0），设A（x0，y0），则（x0﹣c，y0）=λ，∴x0=，y0=．即A（，）．将A点坐标代入椭圆方程，得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2，等式两边同除以a4，（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），∴λ2=+3≤﹣2 +3=3﹣2=（﹣1）2，∴当2﹣e2=，即e2=2﹣时，λ有最大值﹣1，即的最大值为﹣1．22．（12分）已知圆C1：（x+1）2+y2=8，点C2（1，0），点Q在圆C1上运动，QC2的垂直平分线交QC1于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；（Ⅱ）设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；（Ⅲ）过点且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解（1）∵QC2的垂直平分线交QC1于P，∴|PQ|=|PC2|，|PC2|+|PC1|=|PC1|+|PQ|=|QC1|=2＞|C1C2|=2，∴动点P的轨迹是点C1，C2为焦点的椭圆．设这个椭圆的标准方程是，∵2a=2，2c=2，∴b2=1，∴椭圆的标准方程是．（Ⅱ）设M（a1，b1），N（a2，b2），则a12+2b12=2，a22+2b22=2．∵，则a1+2a2=﹣2，b1+2b2=0，∴，，∴直线MN的斜率为．（Ⅲ）直线l的方程为y=kx﹣，联立直线和椭圆方程，得，∴9（1+2k2）x2﹣12kx﹣16=0，由题意知，点S（0，﹣）在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则，，∵，∴x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）=x1x2+y1y2﹣m（y1+y2）+m2=（k2+1）x1x2﹣k（+m）（x1+x2）+m2++，=﹣==0．∴，∴m=1，所以，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为（0，1）．。