高中数学跟踪检测-全析高考常考的6大题型含解析
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课时跟踪检测（五十五） 题型上——全析高考常考的6大题型1．(唐山联考)已知F 为抛物线E :y 2＝4x 的焦点,过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ,n ,直线m 交E 于不同的A ,B 两点,直线n 交E 于不同的两点C ,D ,记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ,CD 的中点分别为点M ,N ,证明:直线MN 过定点Q(2,0)． 解:(1)由题设可知k ≠0, 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2,与y 2＝4x 联立,整理得ky 2－4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k ＞0,解得k ＜12.直线n 的方程为y ＝－1kx ＋2,与y 2＝4x 联立,整理得y 2＋4ky －8k ＝0,由Δ2＝16k 2＋32k ＞0,解得k ＞0或k ＜－2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2，故k 的取值范围为(－∞,－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)．由①得,y 1＋y 2＝4k ,则y 0＝2k,x 0＝2k 2－2k,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2＋2k ,－2k )．直线M Q 的斜率k M Q ＝2k 2k2－2k－2＝－kk 2＋k －1,直线N Q 的斜率k N Q ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－kk 2＋k －1＝k M Q ,所以直线MN 过定点Q(2,0)．2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0),B (2,0),焦点在x 轴上,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示,点D 为x 轴上一点,过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ,N ,过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为45.解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3,所以b 2＝a 2－c 2＝1,所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明:设D (x 0,0),M (x 0,y 0),N (x 0,－y 0),－2＜x 0＜2,所以k AM ＝y 0x 0＋2,因为AM ⊥DE ,所以k DE ＝－2＋x 0y 0,所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)．因为k BN ＝－y 0x 0－2,所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2＋x 0y 0x －x 0，y ＝－y0x 0－2x －2，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 0＋25，－45y 0,所以S △BDE ＝12|BD |·|y E |,S △BDN ＝12|BD |·|y N |,所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45,结论成立．3．(南昌模拟)已知抛物线C :y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ,准线为l ,过焦点F 的直线交C 于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图,点B 在准线l 上的正投影为E ,D 是C 上一点,且AD ⊥EF ,求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．解:(1)依题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0, 当直线AB 的斜率不存在时,y 1y 2＝－p 2＝－4,解得p ＝2. 当直线AB 的斜率存在时,设l AB :y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 并整理,得y 2－2p ky －p 2＝0,则y 1y 2＝－p 2,由y 1y 2＝－4得p 2＝4,解得p ＝2. 综上所述,抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设D (x 0,y 0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t , 则E (－1,t ),又由y 1y 2＝－4,可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2，－4t .因为k EF ＝－t 2,AD ⊥EF ,所以k AD ＝2t,则直线AD :y ＋4t ＝2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t 2,化简得2x －ty －4－8t2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理,得y 2－2ty －8－16t2＝0,Δ＝(－2t )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－8－16t 2＝4t 2＋64t2＋32＞0恒成立,所以y 1＋y 0＝2t ,y 1y 0＝－8－16t 2.于是|AD |＝ 1＋t 24|y 1－y 0|＝1＋t 24y 1＋y 02－4y 1y 0＝4＋t 2t 2＋16t2＋8,设点B 到直线AD 的距离为d ,则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t 2－4－8t 24＋t2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t2.所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋16t 2＋83≥16, 当且仅当t 4＝16,即t ＝±2时取等号,即△ABD 的最小值为16. 当t ＝2时,直线AD :x －y －3＝0；当t ＝－2时,直线AD :x ＋y －3＝0.4．(昆明调研)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4,P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点,A ,B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点,设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→,证明:直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．解:(1)由题意知2c ＝4,即c ＝2,则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1,因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上,所以4a2＋15a 2－4＝1,解得a 2＝5或a 2＝165(舍去),所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0, 由OA ―→＋OB ―→＝OD ―→得,D (x 1＋x 2,y 1＋y 2), 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2, 直线OD 的斜率k OD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2, 由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0,即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－15,所以k AB ·k OD＝－15.故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.5．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3),且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于4？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由．解:(1)依题意,可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0),且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2,所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l , 设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点,所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)＝144－3t 2≥0, 解得－43≤t ≤4 3.另一方面,由直线OA 与l 的距离等于4,可得|t |94＋1＝4,从而t ＝±213.由于±213∉[－43,4 3 ],所以符合题意的直线l 不存在．6．(新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2,且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ,B 两点,P 为椭圆C 上一点,O 为坐标原点,且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→,其中t ∈⎝⎛⎭⎪⎫263，2,求|AB |的取值范围． 解:(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意可知,直线AB 的斜率存在,设其方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0,∴Δ＝8(1－2k 2)＞0,解得k 2＜12.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2,x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2,y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k 2.由OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→,得P ⎝⎛⎭⎪⎫8k2t1＋2k 2，－4k t1＋2k 2,代入椭圆C 的方程得t 2＝16k21＋2k 2.由263＜t ＜2,得14＜k 2＜12, ∴|AB |＝1＋k 2·22·1－2k 21＋2k 2＝221＋2k22＋11＋2k2－1. 令u ＝11＋2k 2,则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23,∴|AB |＝22u 2＋u －1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，253.∴|AB |的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，253.。
