1_数字信号处理基础(1)
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数字信号处理第1章
A0 A1 z－ 1 p1
…
x(n )
01 11
y(n )
11 21
z－ 1 z－ 1
并联型结构
0F 1F
1F 2F
z－ 1 z－ 1
…
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
FIR的特点：
单位脉冲响应序列为有限个； 可快速实现； 可得到线性相位 滤波器阶数较高 IIR的特点： 滤波器阶数较低 可利用模拟滤波器现有形式
a N－ 1 aN
x(n －N)
z－ 1 b N
z－ 1 y(n －N)
直接Ⅰ型结构
…
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
y (n) bi x(n 1) ai y (n i )
i 0 i 1
b0 a1 a2 z－ 1 z－ 1 b1 b2 x(n ) y(n )
M
N
… … …
若ai不等于0，输出依赖于以前的输出信号， 称为递归系统（有反馈）
y(n) ai y (n i) bl x(n l )
i 1 i 0
N
M
通常此时n趋于无穷大时，h(n)也不为0，对 脉冲响应无限长的系统称为IIR（无限长单 位脉冲响应滤波器）
数字信号处理基础－系统实现结构
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
y(n) bi x(n i) ai y (n i)
i 0 i 1
x(n) x(n－ 1) x(n－ 2) b0 z－ 1 b 1 z
－ 1
M
N
y(n ) a1 a2 z－ 1 z
－ 1
y(n－ 1) y(n－ 2)
b2
…
…
…
…
…
x(n )
01 11
y(n )
11 21
z－ 1 z－ 1
并联型结构
0F 1F
1F 2F
z－ 1 z－ 1
…
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
FIR的特点：
单位脉冲响应序列为有限个； 可快速实现； 可得到线性相位 滤波器阶数较高 IIR的特点： 滤波器阶数较低 可利用模拟滤波器现有形式
a N－ 1 aN
x(n －N)
z－ 1 b N
z－ 1 y(n －N)
直接Ⅰ型结构
…
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
y (n) bi x(n 1) ai y (n i )
i 0 i 1
b0 a1 a2 z－ 1 z－ 1 b1 b2 x(n ) y(n )
M
N
… … …
若ai不等于0，输出依赖于以前的输出信号， 称为递归系统（有反馈）
y(n) ai y (n i) bl x(n l )
i 1 i 0
N
M
通常此时n趋于无穷大时，h(n)也不为0，对 脉冲响应无限长的系统称为IIR（无限长单 位脉冲响应滤波器）
数字信号处理基础－系统实现结构
数字信号处理基础－实现结构（IIR）
y(n) bi x(n i) ai y (n i)
i 0 i 1
x(n) x(n－ 1) x(n－ 2) b0 z－ 1 b 1 z
－ 1
M
N
y(n ) a1 a2 z－ 1 z
－ 1
y(n－ 1) y(n－ 2)
b2
…
…
…
…
数字信号处理基础-ppt课件信号分析与处理
3.a digital signal is said to lie in the time domain, its spectrum,which describes in frequency content,lies in the frequency domain.
4.filtering modified the spectrum of a signal by eliminating one or more frequency elements from it.
5.digital signal processing has many applications, including speech recognition,music and voice synthesis,image processing,cellular phones,modems,and audio and video compression.
2020/4/13
返回
第2章 模数转换和数模转换
2.1 简单的DSP系统(A Simple DSP System) 2.2 采样(Sampling) 2.3 量化(Quantization) 2.4 模数转换(Analog-to-Digital Conversion) 2.5 数模转换(Digital-to-Analog Conversion) 小结 (Chapter Summary)
2020/4/13
1.5 语音、音乐、图像及其他 1.5 SPEECH,MUSIC,IMAGES,AND MORE
DSP在许多领域都有惊人的应用，并且应用的数量与日俱增。
1）利用数字语音信号(speech signals)中的信息可以识别连续语 音中的大量词汇。
2）DSP在音乐和其他声音处理方面有着重要的作用。
4.filtering modified the spectrum of a signal by eliminating one or more frequency elements from it.
5.digital signal processing has many applications, including speech recognition,music and voice synthesis,image processing,cellular phones,modems,and audio and video compression.
2020/4/13
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第2章 模数转换和数模转换
2.1 简单的DSP系统(A Simple DSP System) 2.2 采样(Sampling) 2.3 量化(Quantization) 2.4 模数转换(Analog-to-Digital Conversion) 2.5 数模转换(Digital-to-Analog Conversion) 小结 (Chapter Summary)
2020/4/13
1.5 语音、音乐、图像及其他 1.5 SPEECH,MUSIC,IMAGES,AND MORE
DSP在许多领域都有惊人的应用，并且应用的数量与日俱增。
1）利用数字语音信号(speech signals)中的信息可以识别连续语 音中的大量词汇。
2）DSP在音乐和其他声音处理方面有着重要的作用。
数字信号处理基础
数字信号处理基础一、概述数字信号处理（Digital Signal Processing）是一种涉及数字信号的处理技术，包括数字滤波、谱分析、数据压缩、图像处理等等。
数字信号处理广泛应用于通信、音频、视频等领域，尤其在现代通信系统中占据着重要地位。
数字信号处理的基础知识包括离散时间信号、离散时间系统和傅里叶变换等。
本文将对数字信号处理的基础知识做进一步介绍。
二、离散时间信号1. 离散时间信号的定义离散时间信号是指信号的取样点只能在离散的时间间隔内取样。
其数学表达式可表示为：x[n] = x(nT)其中x[n]表示离散时间信号，x为实数或复数的函数，n为离散时间信号的序号，T为采样间隔。
离散时间信号是离散的，与连续时间信号不同，这是数字信号处理的基础。
2. 离散时间信号的分类离散时间信号可以按照实部虚部的性质进行分类。
实部虚部都为实数的信号被称为实信号，实部虚部都为复数的信号被称为复信号。
此外，还有一种称为实部为零的纯虚信号，实部为零，虚部非零。
三、离散时间系统离散时间系统是指离散时间信号在离散时间下的输入和输出之间的关系。
离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统。
线性系统满足以下两个性质：1. 叠加性：当系统输入为信号x1[n]和x2[n]时，系统的输出为y1[n]和y2[n]，则当输入为x1[n] + x2[n]时，系统的输出为y1[n] +y2[n]。
2. 齐次性：当系统输入为信号ax1[n]时，系统的输出为ay1[n]，其中a为实数，则当输入为x1[n]时，系统的输出为y1[n]。
非线性系统不满足上述性质。
四、傅里叶变换傅里叶变换可以将一个信号分解成许多不同频率分量的叠加，包含离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）两种。
1. 离散傅里叶变换（DFT）离散傅里叶变换可以将离散时间信号变换为频域的信号，公式如下：其中N为信号的长度，k为傅里叶变换的频率。
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结数字信号处理技术为人们提供了处理和分析信号的便利方式，同时也加快了信号的传输速度和提高了传输质量。
数字信号处理技术在多个领域都有着广泛的应用，比如图像处理、音频处理、通信系统、雷达系统、生物医学信号处理等等。
在这些领域中，数字信号处理技术能够对信号进行分析、滤波、编码、解码、压缩等处理，从而提高系统性能和降低成本。
数字信号处理的基础知识点主要包括以下几个方面：1. 信号和系统基础：信号与系统是数字信号处理的基础，需要深入理解信号的特性和系统的行为。
信号与系统的基本概念包括信号的分类、时域和频域分析、连续时间信号和离散时间信号、因果性、稳定性等等。
2. 采样和量化：采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程，而量化是将模拟信号转换为数字信号的过程。
采样和量化的基本概念包括采样定理、采样率和量化精度。
3. 离散时间信号的表示和运算：离散时间信号可以用离散时间单位冲激函数的线性组合表示，同时可以进行离散时间信号的运算，比如线性和、线性积分、线性差分等。
4. 离散时间系统的性质和分析：离散时间系统的特性包括线性性、时不变性、因果性、稳定性等，同时还需要对离散时间系统进行频域和时域分析。
5. 离散傅里叶变换（DFT）：DFT 是将离散时间信号转换到频域的一种方法，它可以帮助分析信号的频率分量和谱特性。
6. Z变换：Z 变换是将离散时间信号转换到 Z 域的一种方法，它可以帮助分析离散时间系统的频域特性。
7. 数字滤波器设计：数字滤波器设计是数字信号处理中非常重要的一部分，它包括有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器的设计方法。
8. FFT 算法：快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算 DFT 的算法，它能够大大提高傅里叶变换的计算速度。
9. 数字信号处理系统的实现：数字信号处理系统的实现可以通过软件方式和硬件方式两种方法进行，比如使用 MATLAB、C 语言等软件实现，或者使用专用的数字信号处理器（DSP）进行硬件实现。
数字信号处理基础
数字信号处理基础数字信号处理（Digital Signal Processing, DSP）是指通过数字技术对模拟信号进行采样、量化和编码，然后利用数字计算机进行信号处理的技术。
它广泛应用于通信、音视频处理、图像处理等领域。
本文将介绍数字信号处理的基础知识和常用算法。
一、数字信号处理的基础概念1.1 信号的采样与量化在数字信号处理中，信号的采样是指对模拟信号进行时间上的离散，将连续时间信号转化为离散时间信号。
采样定理（奈奎斯特定理）规定，当信号的最高频率不超过采样频率一半时，信号可以完全恢复。
采样频率过低会导致混叠现象，采样频率过高则浪费存储和计算资源。
信号的量化是指将连续幅度的信号转化为离散幅度的信号。
量化过程中，信号的幅度根据一定的精度进行划分，并用一个有限的比特数来表示每个划分区间的取值。
量化误差会引入信号的失真，因此需要在精度和存储空间之间进行权衡。
1.2 Z变换和离散时间信号的频域表示Z变换是一种用于离散时间信号的频域表示的数学工具。
它将离散信号的时间域表达式转化为Z域中的复数函数，其中Z是一个复数变量。
通过对Z变换结果的分析，可以获得信号的频率响应、系统的稳定性等信息。
有限长离散时间信号可以通过离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）转化为频率域表示。
DFT是Z变换在单位圆上的离散采样。
通过DFT计算，可以得到信号在不同频率下的幅度和相位。
二、数字信号处理常用算法2.1 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）FFT是一种高效的计算DFT的算法，它通过将长度N的DFT分解为多个长度为N/2的DFT相加，从而大大减少了计算复杂度。
FFT广泛应用于频谱分析、滤波、信号重建等领域。
2.2 滤波器设计滤波器是数字信号处理中常用的模块，用于对信号进行频率的选择性衰减或增强。
滤波器的设计可以采用时域方法和频域方法。
时域方法包括有限脉冲响应（Finite Impulse Response, FIR）和无限脉冲响应（Infinite Impulse Response, IIR）滤波器设计，频域方法主要是基于窗函数的设计方法。
数字信号处理的基础知识
数字信号处理的基础知识数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是指用数字技术对模拟信号进行处理和分析的一种信号处理方式。
它广泛应用于通信、音频处理、图像处理、雷达信号处理等领域。
本文将介绍数字信号处理的基础知识，包括离散信号和离散时间的概念、采样和量化、数字滤波器以及离散傅立叶变换等内容。
一、离散信号和离散时间在数字信号处理中，信号被看作是在特定时间点上取得离散值的序列，这样的信号称为离散信号。
离散时间则是指在一系列有限时间点上取样的时间。
采样是将连续信号转化为离散信号的过程，通过在一定时间间隔内对模拟信号进行采样，得到离散的信号值。
在采样过程中，采样频率的选择需要根据信号频率的特点来确定，以避免信息的损失。
采样后的信号经过量化，将离散信号的幅度近似表示为有限数量的离散值。
二、数字滤波器数字滤波器是数字信号处理的重要组成部分，用于通过增强或减弱信号的某些频率分量来处理信号。
常见的数字滤波器包括无限脉冲响应滤波器（Infinite Impulse Response，简称IIR）和有限脉冲响应滤波器（Finite Impulse Response，简称FIR）。
无限脉冲响应滤波器是一种反馈滤波器，其输出和输入之间存在无限多个时刻的依赖关系；有限脉冲响应滤波器则是一种前馈滤波器，其输出仅依赖于有限个时刻的输入。
数字滤波器的设计和参数选择需要根据应用的需求和信号特性进行。
三、离散傅立叶变换离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是数字信号处理中常用的分析工具。
它将离散信号变换为复数序列，反映了信号在不同频率上的成分。
DFT的快速计算算法即快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT），通过巧妙的运算方法大幅度降低了计算复杂度，使得实时处理大规模信号的应用成为可能。
离散傅立叶变换广泛应用于信号滤波、频谱分析、编码压缩等领域。
数字信号处理课件--数字信号处理(1)
CT s (CT x) jy
(CT x)2 y2 。 (CT x)2 y2
所以对于 S 平面上左半平面的点 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆内 1的点；右半平面的点 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆外 1 的点。
而 S 平面虚轴 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆上 1 的点。
， 其中； si 为
使用变换关系式得：
N
Ai
H (z) H (s) | s s | a
1 T ssi 1esiT z1
i1
1 T i ssi 1esiT z 1
T
N i 1
1
Ai e siT
z 1
ROC :| z || esiT |
由变换关系式得到的数字系统是否为因果、稳定系统？需要讨论 Z 域 和 S 域的映射关系。
的周期化，所以在设计模拟滤波器时应该使得 s 2（s 为数字系
统的采样角频率）的幅度频率特性足够小，以满足混叠误差要求。
2021/5/27
数字信号处理
8
例：已知数字系统采样频率为 500Hz。要求所设计的低通数字滤波器的 3dB 截止 频率为 50Hz。求一个二阶数字低通滤波器的实现方案。
解：[1] 根据题义，数字滤波器设计指标为：截止频率 50Hz；阶数 k=2；采样
换
s
CT
1 1
z 1 z 1
得数字滤波器系统函数
H (z) 。这样两次变换畸变抵消，可以保证数字滤波器在指定的特征频率
所以，用冲击响应不变法所得到的数字滤波器也是因果稳定的。
2021/5/27
数字信号处理
6
6.5.4 冲击响应不变法设计步骤
1、按照给定的数字滤波器的设计指标，利用模拟滤波器设计技术设
(CT x)2 y2 。 (CT x)2 y2
所以对于 S 平面上左半平面的点 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆内 1的点；右半平面的点 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆外 1 的点。
而 S 平面虚轴 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆上 1 的点。
， 其中； si 为
使用变换关系式得：
N
Ai
H (z) H (s) | s s | a
1 T ssi 1esiT z1
i1
1 T i ssi 1esiT z 1
T
N i 1
1
Ai e siT
z 1
ROC :| z || esiT |
由变换关系式得到的数字系统是否为因果、稳定系统？需要讨论 Z 域 和 S 域的映射关系。
的周期化，所以在设计模拟滤波器时应该使得 s 2（s 为数字系
统的采样角频率）的幅度频率特性足够小，以满足混叠误差要求。
2021/5/27
数字信号处理
8
例：已知数字系统采样频率为 500Hz。要求所设计的低通数字滤波器的 3dB 截止 频率为 50Hz。求一个二阶数字低通滤波器的实现方案。
解：[1] 根据题义，数字滤波器设计指标为：截止频率 50Hz；阶数 k=2；采样
换
s
CT
1 1
z 1 z 1
得数字滤波器系统函数
H (z) 。这样两次变换畸变抵消，可以保证数字滤波器在指定的特征频率
所以，用冲击响应不变法所得到的数字滤波器也是因果稳定的。
2021/5/27
数字信号处理
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6.5.4 冲击响应不变法设计步骤
1、按照给定的数字滤波器的设计指标，利用模拟滤波器设计技术设
数字信号处理-第一章(new)
2 n , n 3 x(n) 3 0, n 3 2 n 1 , n 2 x(n 1) 3 0, n 2 2 n 1 , n 4 x(n 1) 3 0, n 4
1数字信号处理第一章离散时间信号与系统11离散时间信号序列本节涉及内容序列的运算序列的周期性序列的能量几种常用序列用单位抽样序列表示任意序列2数字信号处理第一章离散时间信号与系统1离散时间信号定义??nntxnxnntxtxaanttan取整数3数字信号处理第一章离散时间信号与系统离散时间信号序列的表示形式nx表示离散时间信号序列如图1所示示0时刻的序列值表表示1时刻的序列值0x1x图14数字信号处理第一章离散时间信号与系统一序列的运算1移位m0时该移位
3、矩阵序列
RN (n) u(n) u(n N )
例如N=4
1,0 n N 1 RN ( n ) 0, 其它 n
19
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统
4、实指数序列
a 1 a 1
x(n) a u(n) x(n) 收敛
n
x ( n)
发散
例如a=1/2及a=2时
1 n , n 1 例： x ( n) 2 0, n 1
在－6<n<6范围内求： x(n) ，x(n)
9
数字信号处理－第一章 离散时间信号与系统 n01=-1; n02=0; ns=-5; nf=5; nf1=6; ns1=-6; n1=n01:nf1; n2=ns:nf; n3=ns:nf1; x=(1/2).^n1; x=[zeros(1,(n01-ns)),x]; for n=1:11 y1(1,n)=x(1,n+1)-x(1,n); end
数字信号处理第一章(1)
数字信号处理 Digital Signal Processing
绪论
• 为何要上数字信号处理?
在当今科学技术迅速发展的时代,大量 数据和信息需要传递和处理,数字信号处理 就是研究用数学的手段,正确快速地处理数 字信号,提取各类信息的一门学科.
一、数字信号处理
1、信号 • 数字信号处理的研究对象为信号。 • 所谓信号就是信息传递的载体。 • 信号是随时间、空间或其它独立变量变化的物理量，为了便 于处理，通常都使用传感器把这些真实世界的物理信号----->电信号，经处理的电信号--->传感器--->真实世界的物理 信号。 • 例如：现实生活中最常见的传感器是话筒、扬声器 话筒(将声压变化)--->电压信号-->空气压力信号(扬声器) • 数学上，我们用一个一元或多元函数来表示信号，如 s1 (t ) 5t 这是一个时间轴上的一维信号。
用通用的可编程的数字信号处理器实现法—是目前 重要的数字信号处理实现方法，它即有硬件实现法 实时的优点，又具有软件实现的灵活性优点。
五、本课程教学内容
• 作为本课程，因受到各种条件的制约，只能向大家介 绍数字信号处理的基础理论和基本知识。具体内容见 课本的第一章～第三章。
第一章：我们主要介绍离散时间信号和系统的基本概念以及 傅利叶变换Z变换，它们是分析离散信号与系统的 基本数学工具。 第二章：我们讲解信号的离散傅利叶变换(DFT)和DFT的快速 算法(FFT)，内容涉及课本第二章的1～5节。 第三章：介绍无限冲激响应(IIR)数字滤波器和有限冲激响 应(FIR)的设计方法，其中我们只介绍通过变换公 式逼近的经典设计方法。
第一章 离散时间信号、系统和Z变换
1-1 引言
x(t ) s(t ) n(t )
绪论
• 为何要上数字信号处理?
在当今科学技术迅速发展的时代,大量 数据和信息需要传递和处理,数字信号处理 就是研究用数学的手段,正确快速地处理数 字信号,提取各类信息的一门学科.
一、数字信号处理
1、信号 • 数字信号处理的研究对象为信号。 • 所谓信号就是信息传递的载体。 • 信号是随时间、空间或其它独立变量变化的物理量，为了便 于处理，通常都使用传感器把这些真实世界的物理信号----->电信号，经处理的电信号--->传感器--->真实世界的物理 信号。 • 例如：现实生活中最常见的传感器是话筒、扬声器 话筒(将声压变化)--->电压信号-->空气压力信号(扬声器) • 数学上，我们用一个一元或多元函数来表示信号，如 s1 (t ) 5t 这是一个时间轴上的一维信号。
用通用的可编程的数字信号处理器实现法—是目前 重要的数字信号处理实现方法，它即有硬件实现法 实时的优点，又具有软件实现的灵活性优点。
五、本课程教学内容
• 作为本课程，因受到各种条件的制约，只能向大家介 绍数字信号处理的基础理论和基本知识。具体内容见 课本的第一章～第三章。
第一章：我们主要介绍离散时间信号和系统的基本概念以及 傅利叶变换Z变换，它们是分析离散信号与系统的 基本数学工具。 第二章：我们讲解信号的离散傅利叶变换(DFT)和DFT的快速 算法(FFT)，内容涉及课本第二章的1～5节。 第三章：介绍无限冲激响应(IIR)数字滤波器和有限冲激响 应(FIR)的设计方法，其中我们只介绍通过变换公 式逼近的经典设计方法。
第一章 离散时间信号、系统和Z变换
1-1 引言
x(t ) s(t ) n(t )
第1部分 第4章 序列的傅立叶变换和离散傅立叶变换
第1部分 数字信号处理基础
第4章
序列傅立叶变换（DTFT）和离散离 散傅立叶变换（DFT）
Forward
第1部分 数字信号处理基础
第4章
序列傅立叶变换（DTFT）和离散离 散傅立叶变换（DFT）
4.1 序列的傅立叶变换（DTFT） 4.2 序列的离散傅立叶变换（DFT） 4.3 DFT、DTFT和Z变换的关系
第1部分 数字信号处理基础 4.2.2 序列离散傅里叶变换（DFT）的定义
定义： 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为：
kn X (k ) = DFT [ x(n)] = ∑ x(n)W N , k = 0,1, LL N − 1 n =0 N −1
式中，
离散傅里叶反变换定义为：2π k N
， N称为DFT变换区间长度N≥M
N −1 k =0
1 x(n) = IDFT [ X (k )] = N
− X (k )WN kn , n = 0,1, LL N − 1 ∑
第1部分 数字信号处理基础 DFT（ X (k ) ）建立了有限长序列与离散频谱之 间的联系，它不仅具有重大的理论意义，而且具 有极大的实用价值。 X (e jω )）的频域采样， 理论上，它是DTFT（ 实践上，它不仅适用于计算机和专用数字信号处 理器，而且有快速算法，故DFT是DSP中的一个核 心内容。
第1部分 数字信号处理基础
4.1
序列的傅立叶变换（DTFT）
4.1.1 传输函数与系统函数
当系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列 δ(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)。设h(n)进行Z 变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了 系统的复频域特性。 对 于 因 果 稳 定 系 统 ， H(z) 的 收 敛 域 包 含 单 位 圆 （ z = 1 ），即单位圆上（ z = e jω ）的Z变换存在，记为：
第4章
序列傅立叶变换（DTFT）和离散离 散傅立叶变换（DFT）
Forward
第1部分 数字信号处理基础
第4章
序列傅立叶变换（DTFT）和离散离 散傅立叶变换（DFT）
4.1 序列的傅立叶变换（DTFT） 4.2 序列的离散傅立叶变换（DFT） 4.3 DFT、DTFT和Z变换的关系
第1部分 数字信号处理基础 4.2.2 序列离散傅里叶变换（DFT）的定义
定义： 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为：
kn X (k ) = DFT [ x(n)] = ∑ x(n)W N , k = 0,1, LL N − 1 n =0 N −1
式中，
离散傅里叶反变换定义为：2π k N
， N称为DFT变换区间长度N≥M
N −1 k =0
1 x(n) = IDFT [ X (k )] = N
− X (k )WN kn , n = 0,1, LL N − 1 ∑
第1部分 数字信号处理基础 DFT（ X (k ) ）建立了有限长序列与离散频谱之 间的联系，它不仅具有重大的理论意义，而且具 有极大的实用价值。 X (e jω )）的频域采样， 理论上，它是DTFT（ 实践上，它不仅适用于计算机和专用数字信号处 理器，而且有快速算法，故DFT是DSP中的一个核 心内容。
第1部分 数字信号处理基础
4.1
序列的傅立叶变换（DTFT）
4.1.1 传输函数与系统函数
当系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列 δ(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)。设h(n)进行Z 变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了 系统的复频域特性。 对 于 因 果 稳 定 系 统 ， H(z) 的 收 敛 域 包 含 单 位 圆 （ z = 1 ），即单位圆上（ z = e jω ）的Z变换存在，记为：
数字信号处理的数学基础
数字信号处理的数学基础数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一种在数字领域对信号进行采样、处理和分析的技术。
在数字信号处理中，数学扮演着至关重要的角色，它提供了处理数字信号所需的基本理论和工具。
本文将介绍数字信号处理的数学基础，包括采样定理、离散傅里叶变换和滤波等。
一、采样定理在数字信号处理中，采样是将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
采样定理是指，在进行采样时，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，才能完整地还原原始信号。
这是因为根据奈奎斯特（Nyquist）采样定理，信号的最高频率成分会以采样频率的一半进行傅里叶变换，若采样频率小于信号最高频率的两倍，会发生混叠现象，导致信号失真。
二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是数字信号处理中的一项重要技术，它可以将一个离散时间域信号转换为离散频率域信号。
DFT可以通过使用复指数函数来实现，其变换结果包括了信号的幅度和相位信息。
DFT在频谱分析、滤波、信号压缩等方面具有广泛应用。
三、滤波滤波是数字信号处理中常用的操作，它可以实现信号的去噪、信号增强和频率选择等功能。
滤波器是实现滤波操作的工具，根据其特性可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
滤波器的设计依赖于数字信号处理中的一些数学方法，如卷积、巴特沃斯滤波器设计和有限脉冲响应滤波器等。
四、巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器是一种常用的滤波器设计方法，它在满足特定的幅频响应要求时，能够实现最小的滤波器阶数。
巴特沃斯滤波器的设计基于极点和零点的位置，通过递归方式进行实现。
该滤波器设计方法在数字信号处理中得到广泛应用，常用于频谱分析和信号滤波等领域。
五、有限脉冲响应滤波器有限脉冲响应滤波器（Finite Impulse Response Filter，简称FIR滤波器）是数字信号处理中一种重要的滤波器类型。
数字信号处理基础知识
数字信号处理基础知识数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是指对数字信号进行一系列的算法和技术处理的过程。
数字信号处理广泛应用于通信、音频、图像、音视频编码、雷达、生物医学工程等领域，具有重要的理论和实际意义。
本文将介绍数字信号处理的基础知识，包括数字信号的表示与采样、离散时间信号与离散频率信号、线性时不变系统与卷积、傅里叶变换与频谱分析等。
一、数字信号的表示与采样数字信号是连续信号在时间和幅度上离散化得到的。
在数字信号处理中，常用的表示方式是离散时间信号和离散幅度信号。
离散时间信号是用一系列的时间点和对应的幅度值表示的，而离散幅度信号则是用一组离散的幅度值表示的。
离散时间信号与连续时间信号之间的转换需要进行采样操作，采样是指按照一定的时间间隔对连续时间信号进行抽样。
二、离散时间信号与离散频率信号离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，可以通过将连续时间信号进行采样得到。
离散频率信号是对离散时间信号进行傅里叶变换得到的，表示信号在频域上的分布情况。
离散频率信号通常由实部和虚部表示，包含了信号的相位和幅度信息。
三、线性时不变系统与卷积线性时不变系统是指系统的输出只与输入信号有关，且对于同一输入信号，输出结果不随时间的推移而变化。
卷积是一种常用的信号处理操作，是两个信号之间的一种数学运算。
对于两个离散时间信号的卷积，可以通过将其中一个信号按时间反转后进行平移和乘积运算得到输出信号。
四、傅里叶变换与频谱分析傅里叶变换是将信号从时域转换到频域的一种方法，可以将信号分解成一系列的正弦和余弦函数。
频谱是指信号在频域上的能量分布情况，可以通过傅里叶变换得到。
频谱分析是对信号进行频谱上的分析，用于分析信号的频率成分和频率分布情况，常用于音频、图像等领域的处理和分析。
总结数字信号处理是对数字信号进行算法和技术处理的过程，广泛应用于通信、音频、图像、雷达、生物医学工程等领域。
数字信号处理基础理论
数字信号处理基础理论第一部分：数字信号的概念数字信号是表示物理量、物理现象或信息的数值序列。
数字信号的基本特点是离散、数字、有限。
离散表示信号的时间和幅度均是离散的，数字表示信号的幅度值是由有限位数的二进制数表示的，有限表示信号的时间和幅度序列都是有限长的。
数字信号与模拟信号的差异在于数字信号可以通过计算机或数字信号处理器进行处理和传输。
数字信号可以是连续时间（C-T）系统的采样信号，也可以是离散时间（D-T）系统的离散信号。
其中，离散信号包括从连续时间信号通过采样和量化转换得到的离散信号和由数字系统产生的数字信号。
第二部分：采样与量化采样是指将连续时间信号转化为离散时间信号的过程。
采样信号的采样周期是指连续时间信号在采样过程中，采样时刻的时间间隔。
采样周期决定了采样后的离散信号的频率分辨率，即在频率域上连续时间信号的频谱密度分布情况。
量化是指对采样信号的幅度进行离散化处理，将其表示为有限位数的数字。
量化误差是指离散信号与采样信号之间的误差，通常用均方误差来描述。
采样与量化过程是数字信号处理的基础，采样定理是数字信号处理中的重要理论基础。
根据采样定理，对于一个具有有限带宽的信号，只要采样频率大于等于信号带宽的两倍，就能够完全重构原信号，避免产生采样失真和折叠失真的问题。
第三部分：信号处理数字信号处理中的信号处理包括线性与非线性、时不变与时变、因果与非因果等多个方面。
其中，线性与非线性处理是数字信号处理领域中的基本概念之一。
线性系统能够满足叠加原理和时移不变性等性质，而非线性系统则不能。
时不变系统的性质是在时间轴上发生平移不会使系统发虚发生任何变化，而时变系统则不同，其系统参数是随时间改变的。
因果系统是指系统的响应只依赖于过去或现在的输入信号，与未来输入信号无关。
系统稳定性是指系统在固定的输入条件下能够保持稳定，不发生发散、爆炸或周期性振荡等现象。
数字信号处理的常见应用包括信号滤波、时域变换、频域变换等。
《数字信号处理—理论与实践》课件第1章
第 1 章 数字信号处理基础
第1章 数字信号处理基础
1.1 信号的基本概念 1.2 信号在正交函数集中的分解 1.3 连续周期信号 1.4 连续非周期信号的傅里叶变换 1.5 拉普拉斯变换 1.6 信号的时频特性 1.7 MATLAB实现 习题
第 1 章 数字信号处理基础
1.1
1.1.1
人类对自然界的认识和改造过程都离不开对自然界中信息 的获取。 所谓信息， 是指存在于客观世界的一种事物形象， 是关于事物运动规律的知识， 一般泛指消息、 情报、 指令、 数据、 信号等有关周围环境的知识。
为使近似表达式和原信号的均方误差最小， 利用式(1.2-6) 有
第 1 章 数字信号处理基础
2π
c1
0
f (t) sin t dt 2π sin2 t dt
4 π
0
所以
f (t) 4 sin(t) π
原方波信号和它的一次谐波分解信号之间的近似关系 如图1-3所示。 在图1-3中， 针对2π的区间作了归一化处理。
第 1 章 数字信号处理基础
1.2
信号分解的方法并不是唯一的， 本节将介绍信号的一种 分解形式， 即将连续信号分解为一系列的正交函数， 各正交 函数属于一完备的正交函数集。 大家所熟悉的正弦、 余弦函 数(sinωt、 cosωt)或虚指数函数e－jωt都是正交函数。 利用傅里 叶变换这一数学工具就可将连续信号表示为一系列不同频率的 正弦函数或虚指数函数之和（对周期信号）或积分（对非周期 信号）。
第 1 章 数字信号处理基础
那么， 什么是消息呢？所谓消息， 是指用来表达信息的 某种客观对象， 如电话中的声音， 电视中的图像， 雷达的目 标距离、 高度、 方位等参量。 在我们得到一个消息之后， 可 能得到一定的信息， 而我们所得到的信息与我们在得到消息 前以及得到消息后对某一事件的无知程度无关。 因此， 我们 可把信息与消息在含义上的区别概括为： 信息是消息中不确 定性的消除（也就是该消息给予受信者的新知识）， 消息就 是知道了的信息。
第1章 数字信号处理基础
1.1 信号的基本概念 1.2 信号在正交函数集中的分解 1.3 连续周期信号 1.4 连续非周期信号的傅里叶变换 1.5 拉普拉斯变换 1.6 信号的时频特性 1.7 MATLAB实现 习题
第 1 章 数字信号处理基础
1.1
1.1.1
人类对自然界的认识和改造过程都离不开对自然界中信息 的获取。 所谓信息， 是指存在于客观世界的一种事物形象， 是关于事物运动规律的知识， 一般泛指消息、 情报、 指令、 数据、 信号等有关周围环境的知识。
为使近似表达式和原信号的均方误差最小， 利用式(1.2-6) 有
第 1 章 数字信号处理基础
2π
c1
0
f (t) sin t dt 2π sin2 t dt
4 π
0
所以
f (t) 4 sin(t) π
原方波信号和它的一次谐波分解信号之间的近似关系 如图1-3所示。 在图1-3中， 针对2π的区间作了归一化处理。
第 1 章 数字信号处理基础
1.2
信号分解的方法并不是唯一的， 本节将介绍信号的一种 分解形式， 即将连续信号分解为一系列的正交函数， 各正交 函数属于一完备的正交函数集。 大家所熟悉的正弦、 余弦函 数(sinωt、 cosωt)或虚指数函数e－jωt都是正交函数。 利用傅里 叶变换这一数学工具就可将连续信号表示为一系列不同频率的 正弦函数或虚指数函数之和（对周期信号）或积分（对非周期 信号）。
第 1 章 数字信号处理基础
那么， 什么是消息呢？所谓消息， 是指用来表达信息的 某种客观对象， 如电话中的声音， 电视中的图像， 雷达的目 标距离、 高度、 方位等参量。 在我们得到一个消息之后， 可 能得到一定的信息， 而我们所得到的信息与我们在得到消息 前以及得到消息后对某一事件的无知程度无关。 因此， 我们 可把信息与消息在含义上的区别概括为： 信息是消息中不确 定性的消除（也就是该消息给予受信者的新知识）， 消息就 是知道了的信息。
数字信号处理基础入门
数字信号处理基础入门数字信号处理（DSP）是一种使用数字计算进行信号处理的技术。
从本质上讲，它是一种将连续时间的信号转换为离散时间的信号，然后使用数字计算设备进行处理的技术。
现在，我们可以在许多不同领域的应用中看到DSP的越来越广泛的应用，例如通信、音频、图像、控制系统等等。
本文将为您介绍数字信号处理的基础知识。
数字信号数字信号是连续的模拟信号经过取样（通常在时间轴上均匀地选择若干个时间点）和量化（将信号的振幅变化映射到离散的数字值）后得到的离散信号，它通常用数字序列表示，也就是由一系列数字组成的信号。
在数字信号处理中，通常使用的数字序列是有限长度的。
取样在DSP中，我们需要将一个连续信号转换成一个由离散点组成的序列。
这是通过对信号进行采样来实现的。
采样是在时间轴上均匀地选择若干个时间点，并记录下相应时间点上的信号值。
取样时间间隔可以根据采样定理选择。
采样定理指出，一个连续的信号，如果它的最高频率不超过采样频率的一半，那么它就可以通过采样得到完全的信息。
量化在进行采样之后，我们需要将每个采样点的信号值映射到合适的数字值，这个过程就是量化。
量化是将连续变化的信号转换成离散的数字信号，将采样到的各个采样点的信号值近似为一定数量的级别中的一级。
在量化过程中，最重要的因素是量化步长。
量化步长越小，数字信号越接近模拟信号，但计算所需的存储空间和运算复杂度也增加。
反量化和重建在DSP的信号处理过程中，反量化和重建过程是一个很重要的步骤。
反量化是将数字信号的数字值重新映射到模拟信号的振幅上，这个过程需要使用逆量化器。
重建是将离散的数字信号转换成连续的模拟信号。
这个过程需要使用一些数学方法来恢复原始的信号。
数字信号的重建可以通过数字滤波器来实现，数字滤波器是数字信号处理中的一个基础概念。
数字滤波器在DSP应用中，数字滤波器被广泛使用，这是因为它可以非常有效地处理和调整数字信号。
数字滤波器通过对数字信号进行滤波来去除信号中的噪声和干扰，或者将信号转换成相应的频率范围内的特定形状。
数字信号处理(DSP)
二、FIR滤波器的优点
（1）可以在幅度特性随意设计的同时，保证精确、严格 的线性相位；
（2）由于FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)是有限长序列， 因此FIR滤波器没有不稳定的问题；
（3）由于FIR滤波器一般为非递归结构，因此在有限精 度运算下，不会出现递归型结构中的极限震荡等不稳 定现象，误差较小；
§1-3 FIR滤波器
一、基本原理
FIR滤波器的差分方程为：
N 1
y(n) h(n)x(n k) k 0
式中，x（n）输入序列，y（n）为输出序列，h(n) 为滤波器系数，N是滤波器的阶数。对此式进行Z变换， 整理后可得FIR滤波器的传递函数：
H (z)
Y (z)
N 1
h(k)zk
(4)利用系数对称性，可使运算量减少近一半； （5）FIR滤波器可采用FFT算法实现，从而提高运算效
率。
y(n) IFFT[Y (k)] IFFF[ X (k)H (k)]
三、FIR滤波器的设计方法
FIR滤波器的设计方法主要有窗函数法和频率抽样 设计法。
在设计FIR滤波器中，重要的计算就是加窗。采用 矩形窗是最直接和简便的方法，但矩形窗主旁瓣比仅 为13dB。因此实际设计中，一般采用其他窗函数，比 较常用的窗函数有Hanning窗、Hamming窗、Blackman 窗、Kaiser窗等。采用Hanning窗使能量集中在主瓣内， 主 旁 瓣 比 为 31dB ， 但 主 瓣 的 宽 度 增 加 了 1 倍 。 采 用 Hamming窗使99.9％以上的能量集中在主瓣，主旁瓣比 达43dB，主瓣的宽度也是矩形窗的2倍。Blackman窗进 一步抑制旁瓣，使主旁瓣比达到58dB，但主瓣的宽度 是矩形的3倍。上述三种窗函数都是以增加主瓣宽度为 代价换取一定程度的旁瓣抑制。而Kasier窗可以通过 调整参数值来折中选择主瓣宽度和主旁瓣比，采用 Kaiser窗设计FIR滤波器具有很大的灵活性。
《数字信号处理》课件
05
数字信号处理中的窗函 数
窗函数概述
窗函数定义
窗函数是一种在一定时间 范围内取值的函数，其取 值范围通常在0到1之间。
窗函数作用
在数字信号处理中，窗函 数常被用于截取信号的某 一部分，以便于分析信号 的局部特性。
窗函数特点
窗函数具有紧支撑性，即 其取值范围有限，且在时 间轴上覆盖整个分析区间 。
离散信号与系统
离散信号的定义与表示
离散信号是时间或空间上取值离散的信号，通常用序列表示。
离散系统的定义与分类
离散系统是指系统中的状态变量或输出变量在离散时间点上变化的 系统，分类包括线性时不变系统和线性时变系统等。
离散系统的描述方法
离散系统可以用差分方程、状态方程、传递函数等数学模型进行描 述。
Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）
1 2 3
Z变换的定义与性质
Z变换是离散信号的一种数学处理方法，通过对 序列进行数学变换，可以分析信号的频域特性。
DTFT的定义与性质
DTFT是离散时间信号的频域表示，通过DTFT可 以分析信号的频域特性，了解信号在不同频率下 的表现。
Z变换与DTFT的关系
Z变换和DTFT在某些情况下可以相互转换，它们 在分析离散信号的频域特性方面具有重要作用。
窗函数的类型与性质
矩形窗
矩形窗在时间轴上均匀取值，频域表现为 sinc函数。
汉宁窗
汉宁窗在时间轴上呈锯齿波形状，频域表现 为双曲线函数。
高斯窗
高斯窗在时间轴上呈高斯分布，频域表现为 高斯函数。
海明窗
海明窗在时间轴上呈三角波形状，频域表现 为三角函数。
窗函数在数字信号处理中的应用
信号截断
通过使用窗函数对信号进行截 断，可以分析信号的局部特性
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第2章模数转换和数模转换现实中大多数信号都是模拟信号，而数字信号更适合计算机处理。
本章研究模拟信号转换为数字信号的步骤，也将讨论如何把处理过的数字信号还原为模拟信号。
本章内容包括：¾介绍完整DSP系统的组成¾介绍模数转换中采样的重要组件¾定义信号的最小采样率¾讨论较慢采样的影响¾介绍较快采样的好处¾解释模数转换中量化的必要性¾计算量化引起的误差¾说明模数转换的步骤¾说明数模转换的步骤2.1 简单的DSP系统数字信号处理实质上是数字信号的变换。
可计数的信号(如一年内的雨天)可直接用数字信号表示。
通过人们感官感觉到的所有信号都是模拟信号，不论语音、音乐或图像。
这些模拟信号在进行处理之前，都必须转换为数字信号。
遗憾的是这种转换绝非理想，而且数字信号不能完全代表相应的模拟信号。
它们之间的差异是转换过程的副作用，这一点本章也将进行讨论。
一旦找到非常接近模拟信号的数字信号，就可进行数字信号处理。
例如，可以滤除语音中的高频噪声、加重音乐中的低频、突出图像中的边缘等。
由于数字信号不能在模拟的世界中存在，所以处理过的数字信号在处理过程结束时，还必须再转换成模拟信号。
图2.1说明了数字信号处理过程中的主要部分。
其中第一个和最后一个方框的内容将在后续几节讨论。
2.2采样2.2.1奈奎斯特采样理论模拟信号在所有时间点都有定义，要处理模拟信号，就要处理无限多的信息。
信号处理主要依靠计算机，而计算机不能容纳无限多的数据。
采样解决了这个问题，它将要处理的数据减少到可处理的程度。
图2.2表示了模拟信号的例子，此信号表示为x(t)(t表示时间)，该记号表示在每个时刻都有值。
图2.3是与模拟信号相对应的采样保持信号。
这里，每个采样值都是模拟信号以固定的采样间隔进行采样得到的。
与图1.6相比，图2.3假设每次的采集时间可忽略不计。
如果假设量化误差也可忽略不计，则由采样保持信号得到的数字信号如图2.4所示。
数字信号表示为x[n]，n是采样时刻，表示数字信号的值仅在每个采样点上，而不在采样点之间。
采样间隔(sampling interval)，或称采样周期(sampling period)，是相邻采样点之间的时间，单位为秒。
采样频率(sampling frequency)，或称采样速率(sampling rate)，是每秒的采样点数，单位为赫兹。
所以：图2.4中，每个采样点的数字信号值都用竖线上加小圆圈表示。
原模拟信号和对应的采样数字信号都给出了信号的时间信息。
因此，它们都是时域描述：表示信号随时间的变化。
一组采样值怎样能惟一地表示模拟信号，这一点从图2.4不能明显看出。
例如图2.5，在所示的采样点，两个模拟信号可能产生同一组采样值。
由此可见，采样频率足够大时，模拟信号就与给定的一组采样值一一对应。
只要选择正确的采样间隔，模拟信号就完全可以由它的采样值恢复，采样定理(sampling theorem)(由奈奎斯特发现)保证了这一点。
正确的采样间隔取决于被采样信号的特性。
根据奈奎斯特理论，最大频率为W Hz的信号，至少要以每秒2W次的采样率进行采样，才可能由采样值恢复原来的信号。
最小采样频率称为奈奎斯特采样率(Nyquist sampling rate)。
例如频率等于20 kHz的信号至少要以40 000次／秒的速率进行采样。
信号的奈奎斯特采样率是40 kHz。
另一方面，奈奎斯特频率(Nyquist frequency)指的是系统采样速率的一半。
零到奈奎斯特频率的范围称为奈奎斯特范围(Nyquist range)。
图2.4用的采样速率正好选的是图2.2中模拟信号最大频率的两倍。
最大频率决定着信号在时间上的最大陡度。
图2.5中的信号明显比图2.2中的信号包含的频率分量高，陡峭的信号变化就说明了这一点。
图2.4中所用的采样速率不足以采样图2.5中的任何一个模拟信号。
较高的频率分量意味着要选择较高的采样频率，以获取将足以恢复原来信号的一组采样值。
采样速率太低，产生这些采样值的模拟信号就会有不确定性。
模拟信号#1和模拟信号#2只是可以产生图2.5中采样值的两个信号。
然而当采样频率足够高时，源信号就可以惟一确定：只有一个信号能产生所给的一组采样值。
图2.6清楚地描绘了欠采样的时域效应。
这里信号频率从10 kHz到80 kHz，采样频率为40 kHz，采样点对所有信号是一致的，用虚的竖线表示。
根据奈奎斯特采样定理，只有频率不大于20 kHz的信号通过40 kHz的频率进行采样，才可以完全恢复。
当然30 kHz的信号也可以用40 kHz的频率进行采样，但是这个不足的采样点描绘出的是看起来频率为10 kHz的信号。
对40 kHz的信号，采样值在一条水平线上。
对更高频率信号也同样：呈现的频率不超过(奈奎斯特频率)20 kHz，这就是混叠现象。
高于奈奎斯特频率(采样速率的一半)的频率将折返并还原成低频信号。
一旦系统的采样频率选定，就要采取措施以确保大于奈奎斯特频率的频率分量将从系统中排除，许多信号包含噪声或其他次要的高频分量，在采样前要将它们消除，如图 2.7(a)频谱所示。
这就是图2.1和图2.7(b)所介绍的抗混叠滤波器(antialiasing filter)的作用。
这个滤波器从要被采样的信号中消除了所有超过奈奎斯特频率的信号分量，以确保奈奎斯特采样将足以完整地记录信号。
同时，消除了所有超过奈奎斯特频率的噪声，防止高频噪声对有用信号的干扰。
图2.7(c)是滤波后的信号频谱，这样可以用每秒2W个采样点的速率进行采样。
2.2.2从频率角度看采样模拟信号不论是否通过滤波，只要具有可确定的最大频率，那么这个模拟信号就称为带限(band-limited)信号，图 2.8.(a)和(b)表示了这样的信号及其频谱。
信号的最大频率在频谱上表示为W Hz。
图2.8(c)表示了这个信号的双边频谱，它把单边频谱镜像地放在0 Hz 轴的左边。
结果，这个频谱位于-W与W Hz之间。
虽然负频率没有物理意义，但可用来说明采样在频域里的作用。
如前节所述，对模拟信号进行采样，在时域里得到一系列采样值，而采样在频域里同样也有很明显的作用。
图2.9(a)描述了信号的双边频谱，图2.9(b)描述了同一信号以三种不同采样速率进行采样后的频谱。
采样的结果，原双边信号频谱的副本[称为镜像(image)]位于采样频率的倍数处，即位于0，±fs，±2fs，土3fs，…。
附录K对此给出了数学解释。
注意，在频谱对称地向正负频率延伸的意义上，采样信号的频谱也是双边的。
图2.9(b)中三个不同的频谱只是采样频率。
fs与信号最大频率W之间的关系不同。
由此可以理解奈奎斯特采样率。
当fs>2W时，原频谱的副本不发生重叠，而fs<2W时，就会出现重叠。
在重叠的地方，频谱分量相加，如图2.9(b)(iii)中的虚线所示。
条件fs=2W标志着临界情况，即奈奎斯特采样率。
当由采样值恢复原信号时，重叠的问题就很重要。
它可以通过低通滤波来解决。
图2.1中，低通滤波器看成是抗镜像滤波(anti-imaging filter)，低频可以通过，而高频分量被衰减，因为信号的重要频率分量都小于W Hz，抗镜像滤波器的截止频率必须不小于W Hz，目的就是从频域里的所有镜像中选出与原频谱相符的频谱。
这种滤波器就是由滤除镜像而得名。
滤波器在滤除不必要的高频信号的同时，也滤除了带外噪声。
图2.9(b)中虚线框表示低通滤波器形状，可以用来完成这个任务。
图 2.9(b)(i)中， fs>2W，用下降斜度相对较缓的滤波器就可以很容易地选出原频谱。
对时域而言，这意味着原信号可由采样值完全恢复。
在图2.9(b)(ii)中，只有在1/2采样频率处截止并有无限尖锐滚降的理想低通滤波器，才能提取出原频谱，然而，这样的滤波器并不存在。
在图2.9(b)(iii)中，没有滤波器能够选出原频谱，这是由频谱镜像的重叠(或混叠)造成的。
混叠时，低通滤波后的信号与原来的信号不同。
从频率图上，很容易明白为什么要求采样频率应大于信号最大频率的两倍：如果这个条件不满足，那么就无法由采样信号恢复原信号。
对正弦波来说，奈奎斯特采样率要求每周(cycle)两个采样点。
在这个最小采样频率下，从采样值似乎无法恢复原信号，如图2.10所示。
每周两个采样点似乎对方波或三角波也同样适合，这样就很难接受奈奎斯特结论。
实际上，所有以相同速率重复的方波、三角波及正弦波的频谱中都具有相同的低频分量，而方波和三角波同时也具有许多高频分量，抗镜像滤波器消除了这些高频分量，仅仅剩下正弦波。
如图2.9所示，采样会导致频谱的镜像出现在采样频率的倍数处。
频率为f的信号，采样后的频谱具有kfs+f Hz的频率分量，其中fs是采样频率，k为所有整数。
这样，采样后的频谱有无限多个镜像。
而抗镜像滤波器就要从这些镜像中恢复信号，不管奈奎斯特采样要求是否满足，都要进行该计算。
不满足要求时，计算给出的是一个混叠频率或许多混叠频率。
例如，图2.1l是以40 kHz采样的两个正弦波的双边频谱，第一个频率为10 kHz，对所选定的采样频率来说低于奈奎斯特频率。
一些镜像位-40±10，0±10和40±10 kHz，或-50，-30，-10， l0，30和50 kHz处，这些频率中只有一个处在0到1/2采样频率范围内，这样，信号频率可正确地确定为10 kHz。
图2.11(b)的第二个正弦波频率为30 kHz，高于奈奎斯特频率，但仍可计算出它的各镜像频率，例如，以40 kHz进行采样，30 kHz的信号产生了许多频率分量，其中有在一40 4-30，0 4-30和40 4-30 kHz处的频率分量，这些频率分量只有一个在0到20 kHz之间的奈奎斯特范围内，所以10 kHz是所还原信号的混叠频率。
注意10 kHz和30 kHz的信号对于40 kHz 的采样频率产生相同的采样频谱，与图2.6所得的结论一致。
从30 kHz信号中恢复的假频是原频率的基带(baseband)副本，这就是说它处于0到奈奎斯特界限之间。
可以通过略微改变采样频率，把它与真实信号区分开来。
通常，如果基带内的峰移动，则它是假频，反之则为真实信号。
镜像频率的计算kfs±f Hz对复杂信号和正弦波同样适用。
图2.9(a)频谱所表示的信号包含0到W Hz之间的所有频率。
这样采样频谱的第一个镜像在fs-W和fs+W Hz之间，第二个镜像在2fs-W和2fs+W Hz之间，依此类推。
若带限信号的范围为W1<f<W2而不是0<f<W，则没有必要以二倍的最大频率或2W2进行采样。