2013年全国初中数学联合竞赛试题及解析

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1•计算 4,3 2 ：2 41 24 2( )（A ） .2 1（ B ）1（ C ）2（ D ）2【答案】（B ）【解析】原式=42+1）2 3 ,（4 2 3）2 4（、.2 1） （4.2 3） 1，故选（B ）一 - m 2 m 22•满足等式 2 m 1的所有实数m 的和为（）（A ） 3（ B ）4（ C ）5（ D ）6【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：(1) 若 2m 1,即m1时，满足已知等式；21,即m 3时， m 2 m 2(2) 若 m2 m( 1）41满足已知等式；2 m 0一口 1(3) 若 2m1,即m1且m 3时，由已知，得2解得，mm m 2m 2 m 2故j 足等2 m 1的所'实数m 的和1 3（1）=3，故选（A ）.24•不定方程 3x 7xy 2x 5y 17CAB 15o ， ABC 的平分线交圆O 于点D ，若CD3，则 AB =() (A ) 2 (B ) 6 (C ) 2.2 (D ) 3 【答案】（A ）【解析】连接 OC ，过点0作ON CD 于点N ，贝V 3•已知AB 是圆O 的直径, C 为圆O 上一点, CN DN OA ,从而 OCA CAB 15o ,由AB 是圆O 的直径， ACB 90°,因 CD 平分 ACB ,故 ACD45°, OCN ACD OCA 30°,在 Rt ONC 中，••• cosOCNCN OC2OC 2,故选（A ）0的全部正整数解（x, y）的组数为（(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4(A) 33 【答案】(B ) 34 (B )因1既不是质数, (C ) 2013( D ) 2014设不超过n 的正整数中, n13 57911U 152 34 49G 6 b.(1 __Ii w2468【答案】(B )3x 2x 17【解析】由3x 2 7xy 2x 5y 170,得y —— -------- ，因x, y 为正整数，7x 5故 x 1,y 1,从而 7x 5 0,于是 3x 2 2x 17 7x 5 , 3x 2 5x 22 0 ,即卩 (x 2)(3x 11) 0,由 x 1，知 3x 11 0,故x 2 0, x 2，故 x 1 或 x 2 当x 1时，y 8 ；当x 2时，y 1.故原不定方程的全部正整数解 (x, y)有两组：(1,8)，(2,1),故选(B ). 5.矩形ABCD 的边长AD 3, AB 2 , E 为AB 的中点，F 在线段BC 1：2 , AF 分别与DE , DB 交于点M , N ,则MN =(―、3、、5 5 .59、、511,5(A ) (B )(C )( D )—714 28 28【答案】(C )BF 1【解析】因，故FC 2BF BF 11FN BF 1,BF - AD 1,因 BF // AD ，故 BNF s DNA ，故，故DA BC 33AN DA 31 FN -AN 1 3AF -AF . 延长DE,CB 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知3 34 4ADE 也 BGE ,故 BG AD 3 , FG BF BG1 3 4 ,因 FG // AD , 故AM AD 3 亠 33AMD s FMG ，故，故 AM FM AF ，于是FM FG 4 47上，BF : FC )考虑n 为奇数的情况)：质数的个数为 a n ,合数的个数为b n ,当n 15时，列表如下(只 也不是合数，故“好数”一定是奇MN AF AM FN AF 3AF 1AF —AF 9.AB2 BF29.57 4 28 28 28 故选(C).6•设n为正整数，若不超过那么，所有“好数”之和为( n的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称 )n为“好数”由上表可知，1,9,11,13都是“好数”因05印5 2，当n 16时，在n 15的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶 数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数， 故一定有b n a n 2,故当n 16时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为 1 9 11 13 34，故选(B ).二、填空题(本题满分 28分，每小题7分)1.已知实数 x,y,z 满足 x y 4, z 1 xy 2y 9,则 x 2y 3z _________________ .【答案】 4【解析】由x y 4,得x 4 y ，代入z 1 xy 2y 9，得 z 12(4 y)y 2y 9 y 6y 92 2(y 3)0,故(y 3)20，又(y 3)20,故(y 3)20,故 y 3,z 1,x 1，于是 x 2y 3z 42•将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3(n 2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= _____ .【答案】8、 2【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为 6(n 2)个，任何面都不是红色的 小正方体的总数为(n 2)3个，依题意有6(n2)23.在 ABC 中， A 60o , C 75o , AB 10， D,E,F 分别在 AB, BC,CA 上，则DEF 的周长最小值为 _______ .【答案】5.6【解析】分别作点 E 关于AB, AC 的对称的P,Q . 则 DE PD,EF FQ .连接 AE, AP, AQ, DP,FQ,PQ , 则 PAQ 120°,且 AP AE AQ ,从而 APQ 30°， AH AB sinB 10 sin 45° 5、、2，于是 DEF 的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ 、、3AP 、3AE 3AH 5、6(n 2)3，解得 n 8( n 2舍去).APcos30°， PQ-3AP ，过点A 作AH BC 于点H ,则当且仅当点 E 与点H 重合，且P,D,F,Q 四点共线时取得等号，即DEF 的周长1 min5 6・2 2 2 ,__,4•若实数 x, y,z 满足 x y z xy yz zx 8，用 A 表示 x y,y z,z x 的最大值，贝U A 的最大值为 ______ .4苗【答案】——3【解析】由已知，得(x y)2 (y z)2 (z x)2 16 ,不妨设A |x y ，贝UA 2 x y 2 (y x)2 (y z) (z x) 22 (y z)2 (z x)2 2 16 (x y)22(16 A 2)解得A 还.当且仅当x y也，y z z x时取等号.333故A 的最大值力.3第二试(A )、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2求a 2 b 2 c 2 d 2的值.又因为6.即 a 2 b 2 c 2 d 2由①,②可得mnmn a 2 b 2b 2c 2ac 2bd ad 2bc故 mn ad2bcac bd 0(1)2a 2 2b 2 3c 23d 2(2) ab a由（1）得一令—2a 2 3c 2 2b 23d 26(3)d cd(ad bc)2 6(4)注：符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，应满足2ad bc 6,解：设m a 2 b 2, n2 2c d ，贝U 2m 3n(2a 22 23c ) (2 b3d 2)12.因 2m 3n 22m 23n 24mn 24mn ,即12224mn ，故 mn因为OA OC ,所以 OCA OAC ,因为 COB所以 2 POB 2 OAC ,所以 POB OAC ,所以 OP // AC连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故 ACB OBP 90°_22解：因为t 是一元二次方程X x 1 0的一个根，显然t 是无理数，且t a dt,b Ct ,代入（2）得t .6于是 a —d,b 2 討a 于d ,bC ，代入（3）或（4）,得 c 2 d 22 , 故符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，如 a 1,c 迈,d3 又如a f,b T ,c 1,d 1也是一组，当然还有很多组二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B,C 9PB作圆O 的切线，交于点 P ，连接AC ，若OP 9AC ，求—— 的值.2 AC解：连接OC ，因为PC,PB 为圆O 的切线，所以 POC POB二就是3 组.OCA OAC ,又 POBOAC ，所以 BAC s POB ，所以AC OBAB OP9又OP AC , AB 2r ,OB r （ r 为圆O 的半径），代入，得OP23r, AC在Rt POB 中，由勾股定理，得PB 、.OP 2 OB 22為,所以空碧3门.AC 2r3、（本题满分25分）已知t 是一兀二次方程x 2 X 10的一个根，若正整数a,b, m使得等式 at m bt m31m 成立，求ab 的值.1 t .由 at m bt m31m ，得 abt 2m a b t2 2m 31m0，将 t1 t 代入，得ab 1 t ma b t m 31m 0，即 卩 ma b因为a,b,m 是正整数，t 是无理数，所以m a bab 0a b 31 mab m 2于是可得31m m 231m 0ab因此a, b 是关于x 的一元二次方程 x 2m 31 x 31m m ab tab m 31m 0.20的两个正整数根，该方程第二试（B）立，求ab的值.解：因为t 、 2 1，所以t2 3 2.2.由at m bt m 17m，得abt2m a b t m217m 20 ,将t 3 2 2代入，得ab 3 2.2m a b ,2 1 m217m 0 ,整理得m a b 2ab 2 3ab m a b m217m 0a 于是可得ab b 2 17 m17m m2因为a,b,m是正整数，.2是无理数, 所以m(a3abb)m(a2abb)m217m 0因此a,b是关于x的一元二次方程x22(m 17)x 17m m20的两个正整数根,该方程的判别式24 m 17 4 17m4 17 m 17 2m 0.又因为a, b,m是正整数，所以a b 2 17 又因为判别式是一个完全平方数，验证可知,17m 0,从而可得0 m -2m 8符合要求.只有把m 8代入，得ab 17m m272.二、（本题满分25分）在ABC的外心和内心，且满足（1）OI // BC;ABC 中,AB ACAB2OIAC，,求证:0、I分别是(2) S AOC S AOB2S AOI证明：（1）过点O作OM BC于M ，过点I作IN的判别式 2 2m 31 4 31m m 31 m 31 5m 0.又因为a,b是正整数，所以a b31 m 0，从而可得又因为判别式是一个完全平方数, 验证可知，只有m c 310 m -5 6符合要求.把m 6代入，得ab31m m2150.、（本题满分20分）已知t ,2 1，若正整数a,b,m，使at m bt m 17m 成则OM //IN,设BC a,AC b, AB c,由0、I分别是ABC的外心和内心，得1 1 1 CM -a,CN -（a b c ），所以 MN CM CN - （c b ） 01 ,又MN 恰好是两条平行线 0M ,IN 之间的垂线段，所以01也是两条平行线 OM ,IN 之间的 垂线段，所以01 // MN ，所以01 // BC . 半径），则 S A0C SAOB S AOI S COI S AIC 2S A0I S BOI S COI S AIC S AIB 2S AOI 2S A0I r OI +(b c) 2S AOI r ^(c 22 （2）由（1 ）知0MNI 是矩形，连接BI ,CI ，设0M b 2 2 三、（本题满分25分）若正数a,b,c 满足 一- S AIB S A OI S BOI 1 OI r 1 OI r 1 AC r 1 -AB r 2 2 22 b) 1 (b c) 2S AOI -2 2 2 2 . 2 22 .2 2 2 a c a b a b c3 2ca 2ab 3 IN r （即为 ABC 的内切圆 的值.求代数式 b 2 c 2a 2 c 2 a 2b 2 a 2 2bc 2cab 2c 22ab解：由于a,b,c 具有轮换对称性，不妨设0 a b c.(1) b ，则c 0, c bb 2c 2 2bc 2bc 1,$2ca c a $ b 22ca1,2 . 2 2 a b c 2ab b $ c 2 这与已知条件矛盾 (2)若 c b c 2 2bc 2 2b c 2ab.2 2故3-2bc2ab1,故b 2c 22bcc 2 a 2 b 2 2caa 2b 2c 2 2ab3,b,0从而，得2bc 1,02a 2cab 2 b 2 2ca1,b $c 2 2ab1,02 2 2a b c 2ab2ab1,2 2c a 2cab 222 . 2 2a b c2ab这与已知条件矛盾.综合（1）（ 2）可知，一定有cab..2 2 2.2 2 2 于是可得bc ab —(a b) abc2b(a b)2 2 2 2 2 2 同理可得E —a ―L 1, ―b —L 2ca 12ab,2 2 2 2 2,2 2,2 2.,b c a cababc*故1.2bc2ca2ab2b 2 2b 2 ab i, 2ab。

2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++．2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合则 =A. B. C. D.2.函数的定义域是A. B. C. D.3.若则复数的模是A.2B.3C.4）D.54.已知，那么5.执行如图1所示的程序框图，若输入n的值为3，则输入s的值是6.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是7.垂直于直线且于圆的直线方程是8.设为直线，是两个不同的平面.下列命题中正确的是9.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1,0），离心率等于，则C的方程是10.设是已知的平面向量且 .关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量b,总存在向量c，使；②给定向量b和c,总存在实数和，使；③给定向量b和正数，总存在单位向量c,使 .④给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c,使 .上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11~13题）11．设数列{ }是首项为1，公比为的等比数列，则 ________。

12．若曲线在点（1，）处的切线平行于轴，则 =________。

13．已知变量，满足约束条件则的最大值是________。

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为________。

15．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形中，，，，垂足为，则 =________。

三、解答题：本大题共6小题，满分30分，解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16、（本小题满分12分）已知函数，（1）求的值；（2），，求。

17、（本小题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量） [80，85 [80，90 [90，95 [95，100频数（个） 5 10 20 15（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95 的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85 和[95，100 的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85 的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85 和[95，100 中各有1的概率。

2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a cx x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=．3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB，（第3题）垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE （D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ． 因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967 （C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则（第3题答题）（第4题答题）（第4题）()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=-，因此33(2)9b +==．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解；（第7题答题）（第7题）若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

2013年全国初中数学竞赛试题班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--=（D ）2222(2)0c x b ac x a ---=3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8（第3题）（第4题）5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967 （D ）16389967二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．（第7题）三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．（第11题）13．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b acx x x x c+--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有（第3题）理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=L ，则()20132012433m ****=*L 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*L 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，（第4题答题）（第4题）解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ． 将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分 因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠． …………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形． 因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（第11题答题）（第11题）△ABC 为钝角三（ii ）若角形．90A ∠>︒时，因为当()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

全国初中数学联合竞赛考试及解析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.计算432241242+-+=（ ） （A ）21- （B ）1 （C ）2 （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若3CD =，则AB=（ ） （A ）2 （B ）6 （C ）22 （D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ） （A ）357 （B ）5514 （C ）9528 （D ）115286.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC 中，60,75,10A C AB ∠=∠==，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。

2013年全国初中数学联赛试题及详解2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试、选择题（本题满分 42分，每小题7分） 1?计算 4,3 2 ：2 41 24 2( )（A ） .2 1（ B ）1（ C ）2（ D ）2【答案】（B ）【解析】原式=42+1）2 3 ,（4 2 3）2 4（、.2 1）（4.2 3） 1，故选（B ）一 - m 2 m 22?满足等式 2 m 1的所有实数m 的和为（）（A ） 3（ B ）4（ C ）5（ D ）6【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：(1) 若 2m 1,即m1时，满足已知等式；21,即m 3时， m 2 m 2(2) 若 m2 m( 1）41满足已知等式；2 m 0一口 1(3) 若 2m1,即m1且m 3时，由已知，得2解得，mm m 2m 2 m 2故j 足等2 m 1的所'实数m 的和1 3（1）=3，故选（A ）.24?不定方程 3x 7xy 2x 5y 17CAB 15o ， ABC 的平分线交圆O 于点D ，若CD3，则 AB =() (A ) 2 (B ) 6 (C ) 2.2 (D ) 3 【答案】（A ）【解析】连接 OC ，过点0作ON CD 于点N ，贝V 3?已知AB 是圆O 的直径, C 为圆O 上一点, CN DN OA ,从而 OCA CAB 15o ,由AB 是圆O 的直径，ACB 90°,因 CD 平分 ACB ,故 ACD45°, OCN ACD OCA 30°,在 Rt ONC 中， cosOCNCN OC2OC 2,故选（A ）0的全部正整数解（x, y）的组数为（(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 4(A) 33 【答案】(B ) 34 (B )因1既不是质数, (C ) 2013( D ) 2014设不超过n 的正整数中, n13 57911U 152 34 49G 6 b.(1 __Ii w2468【答案】(B )3x 2x 17【解析】由3x 2 7xy 2x 5y 170,得y —— -------- ，因x, y 为正整数，7x 5故 x 1,y 1,从而 7x 5 0,于是 3x 2 2x 17 7x 5 , 3x 2 5x 22 0 ,即卩(x 2)(3x 11) 0,由 x 1，知 3x 11 0,故x 2 0, x 2，故 x 1 或 x 2 当x 1时，y 8 ；当x 2时，y 1.故原不定方程的全部正整数解 (x, y)有两组：(1,8)，(2,1),故选(B ).5.矩形ABCD 的边长AD 3, AB 2 , E 为AB 的中点，F 在线段BC 1：2 , AF 分别与DE , DB 交于点M , N ,则MN =(―、3、、5 5 .59、、511,5(A ) (B )(C )( D )—714 28 28【答案】(C )BF 1【解析】因，故FC 2BF BF 11FN BF 1,BF - AD 1,因 BF // AD ，故 BNF s DNA ，故，故DA BC 33AN DA 31 FN -AN 1 3AF -AF . 延长DE,CB 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知3 34 4ADE 也 BGE ,故 BG AD 3 , FG BF BG1 3 4 ,因 FG // AD , 故AM AD 3 亠 33AMD s FMG ，故，故 AM FM AF ，于是FM FG 4 47上，BF : FC )考虑n 为奇数的情况)：质数的个数为 a n ,合数的个数为b n ,当n 15时，列表如下(只也不是合数，故“好数”一定是奇MN AF AM FN AF 3AF 1AF —AF 9.AB2 BF29.57 4 28 28 28 故选(C).6?设n为正整数，若不超过那么，所有“好数”之和为( n的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称 )n为“好数”由上表可知，1,9,11,13都是“好数”因05印5 2，当n 16时，在n 15的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有b n a n 2,故当n 16时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为 1 9 11 13 34，故选(B ).二、填空题(本题满分 28分，每小题7分)1.已知实数x,y,z 满足x y 4, z 1 xy 2y 9,则x 2y 3z _________________ .【答案】 4【解析】由x y 4,得x 4 y ，代入z 1 xy 2y 9，得 z 12(4 y)y 2y 9 y 6y 92 2(y 3)0,故(y 3)20，又(y 3)20,故(y 3)20,故 y 3,z 1,x 1，于是 x 2y 3z 42?将一个正方体的表面都染成红色，再切割成n 3(n 2)个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= _____ .【答案】8、 2【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为6(n 2)个，任何面都不是红色的小正方体的总数为(n 2)3个，依题意有6(n2)23.在 ABC 中， A 60o , C 75o , AB 10， D,E,F 分别在 AB, BC,CA 上，则DEF 的周长最小值为 _______ .【答案】5.6【解析】分别作点 E 关于AB, AC 的对称的P,Q . 则 DE PD,EF FQ .连接 AE, AP, AQ, DP,FQ,PQ , 则PAQ 120°,且 AP AE AQ ,从而 APQ 30°，AH AB sinB 10 sin 45° 5、、2，于是 DEF 的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ 、、3AP 、3AE 3AH 5、6(n 2)3，解得 n 8( n 2舍去).APcos30°， PQ-3AP ，过点A 作AH BC 于点H ,则当且仅当点 E 与点H 重合，且P,D,F,Q 四点共线时取得等号，即DEF 的周长1 min5 62 2 2 ,__,4?若实数 x, y,z 满足 x y z xy yz zx 8，用 A 表示 x y,y z,z x 的最大值，贝U A 的最大值为 ______ .4苗【答案】——3【解析】由已知，得(x y)2 (y z)2 (z x)2 16 ,不妨设A |x y ，贝UA 2 x y 2 (y x)2 (y z) (z x) 22 (y z)2 (z x)2 2 16 (x y)22(16 A 2)解得A 还.当且仅当x y也，y z z x时取等号.333故A 的最大值力.3第二试(A )、（本题满分20分）已知实数a,b,c,d 满足2a 2 3c 2 2b 2 3d 2 求a 2 b 2 c 2 d 2的值.又因为6.即 a 2 b 2 c 2 d 2由①,②可得mnmn a 2 b 2b 2c 2ac 2bd ad 2bc故 mn ad2bcac bd 0(1)2a 2 2b 2 3c 23d 2(2) ab a由（1）得一令—2a 2 3c 2 2b 23d 26(3)d cd(ad bc)2 6(4)注：符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，应满足2ad bc 6,解：设m a 2 b 2, n2 2c d ，贝U 2m 3n(2a 22 23c ) (2 b3d 2)12.因 2m 3n 22m 23n 24mn 24mn ,即12224mn ，故 mn因为OA OC ,所以 OCA OAC ,因为 COB所以 2 POB 2 OAC ,所以 POB OAC ,所以 OP // AC连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故 ACB OBP 90°_22解：因为t 是一元二次方程X x 1 0的一个根，显然t 是无理数，且t a dt,b Ct ,代入（2）得t .6于是 a —d,b 2 討a 于d ,bC ，代入（3）或（4）,得 c 2 d 22 , 故符合条件的实数 a, b, c, d 存在且不唯一，如 a 1,c 迈,d3 又如a f,b T ,c 1,d 1也是一组，当然还有很多组二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B,C 9PB作圆O 的切线，交于点 P ，连接AC ，若OP 9AC ，求——的值.2 AC解：连接OC ，因为PC,PB 为圆O 的切线，所以 POC POB二就是3 组.OCA OAC ,又 POBOAC ，所以 BAC s POB ，所以AC OBAB OP9又OP AC , AB 2r ,OB r （ r 为圆O 的半径），代入，得OP23r, AC在Rt POB 中，由勾股定理，得PB 、.OP 2 OB 22為,所以空碧3门.AC 2r3、（本题满分25分）已知t 是一兀二次方程x 2 X 10的一个根，若正整数a,b, m使得等式 at m bt m31m 成立，求ab 的值.1 t .由 at m bt m31m ，得 abt 2m a b t2 2m 31m0，将 t1 t 代入，得ab 1 t ma b t m 31m 0，即卩 ma b因为a,b,m 是正整数，t 是无理数，所以m a bab 0a b 31 mab m 2于是可得31m m 231m 0ab因此a, b 是关于x 的一元二次方程 x 2m 31 x 31m m ab tab m 31m 0.20的两个正整数根，该方程第二试（B）立，求ab的值.解：因为t 、 2 1，所以t2 3 2.2.由at m bt m 17m，得abt2m a b t m217m 20 ,将t 3 2 2代入，得ab 3 2.2m a b ,2 1 m217m 0 ,整理得m a b 2ab 2 3ab m a b m217m 0a 于是可得ab b 2 17 m17m m2因为a,b,m是正整数，.2是无理数, 所以m(a3abb)m(a2abb)m217m 0因此a,b是关于x的一元二次方程x22(m 17)x 17m m20的两个正整数根,该方程的判别式24 m 17 4 17m4 17 m 17 2m 0.又因为a, b,m是正整数，所以a b 2 17 又因为判别式是一个完全平方数，验证可知,17m 0,从而可得0 m -2m 8符合要求.只有把m 8代入，得ab 17m m272.二、（本题满分25分）在ABC的外心和内心，且满足（1）OI // BC;ABC 中,AB ACAB2OIAC，,求证:0、I分别是(2) S AOC S AOB2S AOI证明：（1）过点O作OM BC于M ，过点I作IN的判别式 2 2m 31 4 31m m 31 m 31 5m 0.又因为a,b是正整数，所以a b31 m 0，从而可得又因为判别式是一个完全平方数, 验证可知，只有m c 310 m -5 6符合要求.把m 6代入，得ab31m m2150.、（本题满分20分）已知t ,2 1，若正整数a,b,m，使at m bt m 17m 成则OM //IN,设BC a,AC b, AB c,由0、I分别是ABC的外心和内心，得1 1 1 CM -a,CN -（a b c ），所以 MN CM CN - （c b ） 01 ,又MN 恰好是两条平行线 0M ,IN 之间的垂线段，所以01也是两条平行线 OM ,IN 之间的垂线段，所以01 // MN ，所以01 // BC . 半径），则 S A0C SAOB S AOI S COI S AIC 2S A0I S BOI S COI S AIC S AIB 2S AOI 2S A0I r OI +(b c) 2S AOI r ^(c 22 （2）由（1 ）知0MNI 是矩形，连接BI ,CI ，设0M b 2 2 三、（本题满分25分）若正数a,b,c 满足一- S AIB S A OI S BOI 1 OI r 1 OI r 1 AC r 1 -AB r 2 2 22 b) 1 (b c) 2S AOI -2 2 2 2 . 2 22 .2 2 2 a c a b a b c3 2ca 2ab 3 IN r （即为 ABC 的内切圆的值.求代数式 b 2 c 2a 2 c 2 a 2b 2 a 2 2bc 2cab 2c 22ab解：由于a,b,c 具有轮换对称性，不妨设0 a b c.(1) b ，则c 0, c bb 2c 2 2bc 2bc 1,$2ca c a $ b 22ca1,2 . 2 2 a b c 2ab b $ c 2 这与已知条件矛盾 (2)若 c b c 2 2bc 2 2b c 2ab.2 2故3-2bc2ab1,故b 2c 22bcc 2 a 2 b 2 2caa 2b 2c 2 2ab3,b,0从而，得2bc 1,02a 2cab 2 b 2 2ca1,b $c 2 2ab1,02 2 2a b c 2ab2ab1,2 2c a 2cab 222 . 2 2a b c2ab这与已知条件矛盾.综合（1）（ 2）可知，一定有cab. .2 2 2.2 2 2 于是可得bc ab —(a b) abc2b(a b)2 2 2 2 2 2 同理可得E —a ―L 1, ―b —L 2ca 1 2ab,2 2 2 2 2,2 2,2 2.,b c a cababc*故1.2bc2ca2ab2b 2 2b 2 ab i, 2ab。

2013年全国初中数学联赛（四川决赛）解答一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1、若反比例函数xk y =的图像与直线14-=x y 的一个交点P 的横坐标为1， 则=k （ ）A 、3-B 、1-C 、1D 、3解：由条件知)3,1(P ，于是13k =，即3=k ．故答案选D ． 2、方程22012||20130x x -+=的所有实数解之和是（ ）A 、2012-B 、0C 、2012D 、2013 解：若0x 是方程22012||20130x x -+=的实数解，则0x -也是该方程的实数解． 所以，该方程的所有实数解之和是0．故答案选B3、已知正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且满足CF BE =． 则AEF ∆面积的最小值是（ ）A 、8BC 、14D 、38 解：设x BE =，则x DF CE -==1，x CF =，)1(21)1(21211x x x x S AEF -----=∆=83]43)21[(212≥+-x ，当21=x 时等号成立。

所以，AEF ∆面积的最小值是83．故答案选D ．4、已知实数,a b 满足2|1||1|a b a -+=，则b a 的值为（ ）A 、14B 、12C 、1D 、2 解：若2b =，则|1|5a a -+=，没有符合条件的实数a ；若2b ≠，则2(2)0b ->，则20a -≥，于是2|1||1|a b -+ 101a a ≥-++=，等号成立220,11a b -=+=，即2,0a b ==．所以1b a =． 故答案选C ．5、在四边形ABCD 中，1AB BC ==，100ABC ∠=，130CDA ∠=，则BD 的长为（ ）A B 、1 C D解：如图，延长AB 至E ，使得BE BC =， 则1502AEC BCE ABC ∠=∠=∠=， 于是180AEC ADC ∠+∠=，故,,,A E C D 四点共圆，且圆心为B ．所以，1BD BA ==．故答案选B ．6、对于平面直角坐标系中的任意两点),(111y x P ，),(222y x P ，我们称||||2121y y x x -+-叫做21,P P 两点的直角距离，记作),(21P P d ．若),(000y x P是一定点，),(y x Q 是直线b kx y +=上的动点，我们把),(0Q P d 的最小值叫做点0P 到直线b kx y +=的直角距离．则)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是（ ）A 、3B 、72C 、4D 、92解：由条件知，设)1,1(M 到直线52+=x y 的直角距离是d ，则d 为|1||251|S x x =-++-的最小值．又|(2)||1||(2)|S x x x =--+-+-- 3|(2)|303x ≥+--≥+=，等号当且仅当2x =-处取得．所以S 的最小值为3. 即3d =．故答案选A ．二、填空题（本大题满分28分,每小题7分）1、若x 是整数，且满足不等式组10214x x ->⎧⎨-<⎩，则x = ．解：解不等式组10214x x ->⎧⎨-<⎩得512x <<．因此符合条件的整数2x =．故答案填2． 2、在等边ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD CE =，BE 与CD 相交于点F ，则BFC ∠的大小是 ．解：由条件知ADC ∆≌CEB ∆(SAS ),故ACD CBE ∠=∠,于是60EFC FBC FCB ECF FCB ∠=∠+∠=∠+∠=所以120BFC =.故答案填120．2013年初中数学联赛初三决赛解答 第3页；共5页3、实数,,x y z 满足22227x y z xy yz zx ++---=，则||y z -的最大值是 ． 解：法一：视原方程为关于x 的一元二次方程222()270x y z x y z yz -+++--=，其判别式222()4(27)0y z y z yz ∆=+-+--≥，即2()36y z -≤，故||6y z -≤． 当||6y z -=，且2y z x +=时等号成立．所以||y z -的最大值是6．故答案填6． 法二：因为22222327[()]()24y z x y z xy yz zx x y z +=++---=-+- 23()4y z ≥-，从而||6y z -≤．当||6y z -=，且2y z x +=时等号成立． 所以||y z -的最大值是6．故答案填6．4、已知1231415,,,,,x x x x x 取值为1或者为1-．记1223341415151S x x x x x x x x x x =+++++， 则S 能取到的最小正整数是 ．解：令1(1,2,,15)i i i y x x i +==，约定161x x =．则1i y =或者1-． 在1215,,,y y y 中，设有a 个取1，b 个取1-．则15a b +=．又因为2121512151(1)()1a b y y y x x x ⨯-===，所以b 为偶数． 又由S 为正整数，则1523S a b b =-=-≥，此时6b =．另一方面，在1215,,,x x x 中，2581x x x ===-，其余全取1有3S =．所以，S 能取到的最小正整数是3．故答案填3．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、抛物线22y x x m =++与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，其中12x x >，且221210x x +=． （1）求实数m 的值；（2）设0(2,)M y 抛物线22y x x m =++上的一点，在该抛物线的对称轴上找一点P ，使得PA PM +的值最小，并求出P 的坐标．解：（1）由条件知122x x +=-，12x x m =．于是22212121210()242x x x x x x m =+=+-=-，解得3m =-．经验证3m =-满足条件．所以所求实数m 的值是3-． ……5分（2）由（1）知抛物线的方程为223y x x =+-，则对称轴l 的方程为1x =-，(1,0),(3,0)A B -． ……10分 显然A 关于对称轴l 的对称点为B ，所以当PA PM +的值最小时，P 为直线MB 与对称轴l 的交点．又2022235y =+⨯-=，即(2,5)M ． 设直线MB 的方程为y kx b =+，由条件知5203k b k b =+⎧⎨=-+⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， 即直线MB 的方程为3y x =+． ……15分 令1x =-，得2y =，即(1,2)P -．所以，使得PA PM +的值最小的点P 的坐标为(1,2)-． ……20分2、如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，点A 关于DE 的对称点为F ，90BFC ∠=，求AB的值．解：延长EF 交BC 于M ，连DM 交CF 于G ，则Rt DFM ∆≌Rt DCM ∆(HL)． ……5分 于是FDM MDC ∠=∠,FM CM =，从而M 为BC 的中点． ……10分 又114522EDM EDF FDM ADF FDC ∠=∠+∠=∠+∠= ……15分 将MDC ∆以D 为旋转中心，按逆时针方向旋转90，得到HDA ∆，则MDE ∆≌HDA ∆,于是EM HE AE MC ==+.设正方形边长为1，AE x ，则由222EB BM EM知22211(1)()()22x x ……20分 解得13x．所以3AB AE=． ……25分2013年初中数学联赛初三决赛解答 第5页；共5页 3、在一个圆周上按顺时针方向放有n 个不同的正整数12,,,n a a a ，如果对于1,2,3,,10这10个正整数中的任意一个数b ，都能找到一个正整数i ，使得i a b =，或者1i i a a b ++=．约定11n a a +=．求正整数n 的最小值．解：由条件知，1212231,,,,,,,n n a a a a a a a a a +++这2n 个数应该包含1,2,3,,10这10个正整数．所以210n ≥，即5n ≥． ……5分 当5n =时，则1212231,,,,,,,n n a a a a a a a a a +++这10个数互不相等，取值于1~10． 不妨设11a =．显然2345,,,a a a a 中也包含2．下面按照从1~10这10个数从小到大的方式来表示：（1）当2345,,,a a a a 中不包含3，则不妨设22a =．若54a =，则436,7a a ==；或者346,7a a ==，矛盾．若44a =，则535,6a a ==；或者355,6a a ==，矛盾．若34a =，则45a =，57a =，矛盾．（2）当2345,,,a a a a 中包含3，则不妨设32a =．若23a =，则546,8a a ==；或者456,7a a ==，矛盾．若43a =，则24a =或者54a =，矛盾．若53a =，则245,8a a ==；或者435,6a a ==，矛盾．所以当5n =时，不存在符合条件的5个正整数125,,,a a a ． ……15分 当6n =时，构造：1234561,10,2,6,3,4a a a a a a ======，易验证这6个数符合条件． ……20分 综上所述，正整数n 的最小值为6． ……25分。

2013年全国初中数学竞赛试题班级 姓名 成绩 供稿人：李锦扬一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--=（D ）2222(2)0c x b ac x a ---=3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8（第3题）（第4题）5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967 （D ）16389967二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ．7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．（第7题）三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．（第11题）13．设a ，b ，c 是素数，记x b c a y c a b z a b c =+-=+-=+-，，，当2,2z y ==时，a ，b ，c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）．（A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b acx x x x c+--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）． （A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数． 由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有（第3题答题）（第3题）理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6． 5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****L 的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=L ，则()20132012433m ****=*L 32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*L 3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，（第4题答题）（第4题）（第7题）解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ． 求∠DBC -∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ． 将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分 因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．…………15分所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形． 因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（第11题答题）（第11题）△ABC 为钝角三（ii ）若角形．90A ∠>︒时，因为当()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。

2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（ ）（A 1 （B ）1 （C （D ）2【答案】（B ）【解析】原式=1)3)1-=-=，故选（B ）.2.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】（A ）【解析】分三种情况进行讨论：（1）若21m -=，即1m =时，满足已知等式；（2）若21m -=-，即3m =时，()2242(1)1m m m ---=-=满足已知等式；（3）若21m -≠±，即1m ≠且3m ≠时，由已知，得22020m m m -≠⎧⎨--=⎩解得，1m =-故满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和13(1=3++-），故选（A ）.3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠= ，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =，则AB =（ ）（A ）2 （B （C ） （D ）3【答案】（A ）【解析】连接OC ,过点O 作ON CD ⊥于点N ，则CN DN ==,OC OA =,从而15OCA CAB ∠=∠= ,由AB 是圆O 的直径，得90ACB ∠= ,因CD 平分ACB ∠,故45ACD ∠= ,30OCN ACD OCA ∠=∠-∠= ,在Rt ONC ∆中，∵cos CN OCN OC ∠==,1OC =∴,∴22AB OC ==,故选（A ）. 4.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数解(,)x y 的组数为（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）4【答案】（B ）【解析】由23725170x xy x y +---=，得2321775x x y x -++=-，因,x y 为正整数，故1,1x y ≥≥，从而750,x ->于是2321775x x x -++≥-，235220x x +-≤，即 (2)(311)0x x -+≤，由1x ≥，知3110x +>，故20x -≤，2x ≤，故1x =或2x =当1x =时，8y =；当2x =时，1y =.故原不定方程的全部正整数解(,)x y 有两组：(1,8)，(2,1),故选（B ）.5.矩形A B C D 的边长3,2AD AB ==,E 为AB 的中点,F 在线段BC上,12BF FC =∶∶，AF 分别与DE ,DB 交于点,M N ,则MN =（ ）（A ）7 （B ）14 （C ）28 （D ）28【答案】（C ） 【解析】因12BF FC =,故 13BF BF DA BC ==,113BF AD ==,因BF AD ∥,故BNF DNA ∆∆∽,故13FN BF AN DA ==,故11313344FN AN AF AF ==⋅=.延长,D E C B 交于点G ,则由E 为AB 的中点，知A D E B G E ∆∆≌,故3BG AD ==,134FG BF BG =+=+=,因FG AD ∥,故AMD FMG ∆∆∽,故34AM AD FM FG ==，故3347AM FM AF ==,于是319742828MN AF AM FN AF AF AF AF =--=--===, 故选（C ）.6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称n 为“好数”那么，所有“好数”之和为（ ）（A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014【答案】（B ）【解析】因1既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.设不超过n 的正整数中，质数的个数为n a ,合数的个数为n b ,当15n ≤时，列表如下（只考虑n 为奇数的情况）：由上表可知，1,9,11,13都是“好数”.因15152b a -=，当16n ≥时，在15n =的基础上，每增加2个数，其中必有一个为偶数，当然也是合数，即增加的合数的个数不会少于增加的质数的个数，故一定有2,n n b a -≥ 故当16n ≥时，n 不可能是“好数”.因此，所有的“好数”之和为19111334+++=，故选（B ）.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= .【答案】4【解析】由4,x y +=得4x y =-，代入129z xy y +=+-，得221(4)2969(3)0z y y y y y y +=-+-=-+-=--≥，故2(3)0y -≤，又2(3)0y -≥，故2(3)0y -=，故3,1,1y z x ==-=，于是234x y z ++=.2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n = .【答案】8【解析】只有一个面染成红色的小正方体的总数为26(2)n -个，任何面都不是红色的小正方体的总数为3(2)n -个，依题意有236(2)(2)n n -=-，解得8n =(2n =舍去).3.在ABC ∆中，60,75,10A C AB ∠=∠== ，,,D E F 分别在,,AB BC CA 上，则DEF ∆的周长最小值为 .【答案】【解析】分别作点E 关于,AB AC 的对称的,P Q .则,DE PD EF FQ ==.连接,,,,,AE AP AQ DP FQ PQ ,则120PAQ ∠= ,且AP AE AQ ==,从而30APQ ∠= ， 故12cos30PQAP=，PQ =,过点A 作AH BC ⊥于点H ,则sin 10sin 45AH AB B =⋅=⨯= DEF ∆的周长为l DE DF EF PD DF FQ PQ =++=++≥==≥=当且仅当点E 与点H 重合，且,,,P D F Q 四点共线时取得等号，即DEF ∆的周长min l =4.若实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z --z x -的最大值，则A 的最大值为 .【解析】由已知，得222()()()16x y y z z x -+-+-=，不妨设A x y =-，则[]22222222()()()2()()216()2(16)A x y y x y z z x y z z x x y A ⎡⎤⎡⎤=-=-=-+-≤-+-=--=-⎣⎦⎣⎦解得A ≤.当且仅当x y y z z x -=-=-=时取等号.故A第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222a b c d ++的值.解：设2222,m a b n c d =+=+，则222223(23)(23)12.m n a c b d +=+++= 因()()2223232424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，故6mn ≤ ○1 又因为()()()()22222222222222mn a b c d a c b d a d b c ac bd ad bc =++=+++=++-故()26mn ad bc ≥-= ○2由○1，○2可得 6.mn =即()()22226a b c d ++=注：符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，应满足2222222220(1)2233(2)23236(3)()6(4)ac bd a b c d a c b d ad bc +=⎧⎪+=+⎪⎨+=+=⎪⎪-=⎩ 由（1）得a b d c =-，令a bt d c =-=，则,a dt b ct ==-，代入（2）得2t =2t =-，于是,22a b ==-或,22a dbc =-=，代入（3）或（4），得222cd +=， 故符合条件的实数,,,a b c d存在且不唯一，如1,a b c d ====就是一组.又如1,1a b c d ====也是一组，当然还有很多组. 二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点,B C作圆O 的切线，交于点P ，连接AC ，若92OP AC =，求PB AC的值. 解：连接OC ，因为,PC PB 为圆O 的切线，所以POC POB ∠=∠因为OA OC =,所以OCA OAC ∠=∠,因为COB OCA OAC ∠=∠+∠，所以22POB OAC ∠=∠,所以POB OAC ∠=∠,所以OP AC ∥连接BC ,因AB 为圆O 的直径，PB 为圆O 的切线，故90ACB OBP ∠=∠= 又POB OAC ∠=∠，所以BAC POB ∆∆∽，所以AC AB OB OP =. 又92OP AC =,2AB r =,OB r =（r 为圆O 的半径），代入,得23,3OP r AC r ==. 在Rt POB ∆中，由勾股定理,得PB =,所以3PB AC r ==三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值.解：因为t 是一元二次方程210x x +-=的一个根，显然t 是无理数，且21t t =-.由()()31at m bt m m ++=，得()22310abt m a b t m m +++-=，将21t t =-代入，得 ()()21310ab t m a b t m m -+++-=，即()()2310.m a b ab t ab m m +-++-=⎡⎤⎣⎦ 因为,,a b m 是正整数，t 是无理数，所以()20310m a b ab ab m m ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，于是可得23131a b m ab m m +=-⎧⎨=-⎩ 因此,a b 是关于x 的一元二次方程()2231310x m x m m +-+-=的两个正整数根，该方程的判别式()()()()2231431313150.m m m m m ∆=---=--≥又因为,a b 是正整数，所以310a b m +=->，从而可得310.5m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有6m =符合要求.把6m =代入,得231150.ab m m =-=第二试（B ）一、（本题满分20分）已知1t =-，若正整数,,a b m ,使()()17at m bt m m ++=成立，求ab 的值.解：因为1t =-，所以23t =-由()()17at m bt m m ++=，得()22170abt m a b t m m +++-=，将23t =-(())231170ab m a b m m -+++-=， 整理得()()223170m a b ab ab m a b m m ⎡⎤+--++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦因为,,a b m2()203()170m a b ab ab m a b m m +-=⎧⎨-++-=⎩ 于是可得()221717a b m ab m m⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩ 因此,a b 是关于x 的一元二次方程222(17)170x m x m m +-+-=的两个正整数根， 该方程的判别式()()()()224174174171720.m m m m m ∆=---=--≥又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得1702m <≤又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求.把8m =代入,得21772ab m m =-=.二、（本题满分25分）在ABC ∆中，AB AC >，O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，且满足2AB AC OI -=, 求证：（1）OI ∥BC ;（2）2AOC AOB AOI S S S ∆∆∆-= .证明:（1）过点O 作OM BC ⊥于M ，过点I 作IN BC ⊥于N ， 则OM ∥IN ,设,,BC a AC b AB c ===，由O I 、分别是ABC ∆的外心和内心，得11,()22CM a CN a b c ==+-，所以1()2MN CM CN c b OI =-=-=， 又MN 恰好是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线,OM IN 之间的垂线段，所以OI ∥MN ，所以OI ∥BC .（2）由（1）知OMNI 是矩形，连接,BI CI ，设OM IN r ==（即为ABC ∆的内切圆半径），则()()AOC AOB AOI COI AIC AIB AOI BOI S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆-=++---11112222221112()2()()2.222AOI BOI COI AIC AIB AOI AOI AOI AOI S S S S S S OI r OI r AC r AB r S r OI b c S r c b b c S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=+++-=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤=+⋅+-=+⋅-+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦三、（本题满分25分）若正数,,a b c 满足2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求代数式222222222222b c a c a b a b c bc ca ab+-+-+-++的值. 解：由于,,a b c 具有轮换对称性，不妨设0.a b c <≤≤（1）若c a b >+，则0,0c a b c b a ->>->>，从而，得()2222211,22c b a b c a bc bc --+-=+>()2222211,22c a b c a b ca ca --+-=+> ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=-<-故2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 这与已知条件矛盾.（2）若c a b <+，则0,0c a b c b a ≤-<≤-<，从而，得()22222011,22c b a b c a bc bc --+-<=+<()22222011,22c a b c a b ca ca --+-<=+< ()2222211,22a b c a b c ab ab +-+-=->-()22222011,22a b c a b c ab ab --+-<=+< 故2222222222223222b c a c a b a b c bc ca ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-++< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与已知条件矛盾. 综合（1）（2）可知,一定有.c a b =+于是可得22222222()221, 22()22b c a b a b a b abbc b a b b ab+-++-+===++同理可得2221,2c a bca+-=22212a b cab+-=-.故2222222221.222b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++=。