坐标曲线积分
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对坐标的曲线积分
4、性质 性质1 设、 为常数，则 L [F1 ( x, y ) F2 ( x, y )] dr L F1 ( x, y ) dr L F2 ( x, y ) dr 性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧 L1和L2，则 L F ( x, y) dr L1 F ( x, y) dr L2 F ( x, y) dr 性质3 设L是有向光滑曲线弧，L-是L的反向曲线弧， 则
时，点M ( x, y )从L的起点A沿L运动到终点B， (t )、 (t )在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 , 且 ' (t ) ' (t ) 0，则曲线积分 P( x, y )dx Q( x, y )dy
2 2 L
存在, 且 : P( x, y )dx Q( x, y )dy
L
2 xydx x 2 dy 2 xydx x 2 dy
y 2 ydy
1 4 2 1 y dy 5 1
y 4 2 5 1 5
例2 计算 y 2 dx 其中L为 :
L
(1)半径为a、圆心为原点, 按逆时针方向绕行的上半圆周；
(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(a,0)的直线段.
解:(1) L的参数方程 :
x a cos y a sin
3
4 3 a 3 0
x由a变到 a 0
y dx
2 L
a 0dx a
注意: 由此题可见，当两个曲线积分的被积函数相同，
起点、终点相同时，沿不同路径的曲线积分并不相等.
例3 计算 2 xydx x 2 dy, 其中L为 :
L
第2节 对坐标的曲线积分
(2) 抛物 线x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一 段弧;
(3) 有向折线OAB，这里O, A, B依次是点(0,0)
(1,0),(1,1).
解 (1) 化为对 x 的积分. L : y x2 , x从0变到1,
y x2
B(1,1)
原式
1
(2x
x2
x2
2 x )dx
0
4 1 x3dx 1. 0
解（3）原式 2xydx x2dy OA 2xydx x2dy AB
x y2 B(1,1)
A(1,0)
B(1,1) 17
A(1,0)
在 OA 上, y 0, x从 0 变到 1 ,
2xydx x2dy
1
(2x
0
x2
0)dx
OA
0
B(1,1)
0.
在 AB 上, x 1, y 从 0 变到 1 ,
T {1,2x}
x x
y
x2
方向余弦
cos 1 , cos 2x .
1 4x2
1 4x2
P( x, y)dx Q( x, y)dy P( x, y) 2xQ( x, y) ds
L
L
1 4x2
思考: 若L反向?
26
例8. 设 M max P 2 Q2 , s 是曲线段 L 的长度 ,
A(1,0)
2xydx x2dy
1
(2 y 0 1)dy 1.
AB
0
原式 0 1 1.
由此知: 虽然路径不同, 但积分值相同.
问题: 起点和终点相同的曲线积分值是否都相同? 18
例3计算 y2dx, 其中L为 L
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
坐标的曲线积分是指对于曲线上的各个点，按照其在坐标系中的
坐标值进行积分的过程。
这种方法常用于研究曲线的长度、变化率、
等量关系等问题。
具体来说，在平面直角坐标系中，对于一条曲线C，其通常可以
表示为 y=f(x)，其中f(x)是曲线的方程。
对于该曲线上任意一点
(x,y)，都可以通过对x、y分别积分的方式得到其到曲线起点的弧长。
具体而言，对于一条曲线C，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(1+f'(x)²)dx
其中f'(x)表示f(x)的导数，a,b是曲线C的起点和终点。
在曲线积分中，坐标的变化直接与曲线的弧长和函数值相关，因
此坐标的曲线积分往往可以用于描述曲线在不同位置上的变化情况。
例如，在应用物理中，我们经常需要计算物体在曲线轨道上的运动情况，这时就需要用到坐标的曲线积分。
值得注意的是，坐标的曲线积分可以用于任意维度的空间中，例
如在三维坐标系中，对于曲线C可以表示为
(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))，其长度可以表示为：
L = ∫a~b √(f'(t)²+g'(t)²+h'(t)²)dt
总之，坐标的曲线积分是一种基本的数学工具，在物理学、几何学、计算机科学等领域得到了广泛应用。
熟练掌握坐标的曲线积分，
可以更好地理解和解决涉及曲线的各种问题。
高等数学之对坐标的曲线积分
高 等 数 学 电 子 案
例1 计算 L xydx
,其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点
y
B(1,1) o A(1,-1)
B(1,1)的一段弧.
解法一：把x作为参数,利用对x的定积分
x
来计算,把L分成AO和OB两段,被积函数
可用积分路线的方程来处理.
xydx
L
AO
xydx xydx
由于
xi xi xi 1 (ti ) (ti 1 ) xi ( i)ti
应用微分中值定理，有 其中 ti ti ti 1 , i 在 ti 1 与 t i 之间，于是
L
P( x, y )dx lim P ( i ), ( i ) ( i)ti
L 0 i 1 i i
n
i
为P(x,y)对坐标x的曲线积分； 当P=0 时,
Q( , )y Q( x, y)dy lim
L 0 i 1 i i
n
i
为Q(x,y)对坐标y的曲线积分.
高 等 上述定义可推广到空间曲线Γ的情况： 数 学 P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz 电 n 子 [P(i ,i , i )xi Q(i ,i , i )yi R(i ,i , i )zi ] 案 lim 0
P( x, y)dx 存在，并且有
L
P( x, y)dx P (t ), (t ) (t )dt
L
同理可证：
Q( x, y)dx Q (t ), (t ) (t )dt
L
高 等 (1)式推广到空间曲线,得到如下公式： 数 学 设 x x(t ), y y(t ), z z(t ), 则 电 子 Pdx Qdy Rdz 案
高数--对坐标的曲线积分
y
• B(1,1) y2 = x
x = y 2 dx = 2 ydy , y从− 1到1 到
∫L
xy d x = ∫ y 2 ⋅ y ⋅ 2 ydy
−1
1
O
x
• A(1,−1)
= 2 ∫ y4 dy −
1
1
4 = 5
15
对坐标的曲线积分
例 计算 ∫ xdx + ydy + ( x + y − 1)dz
17
对坐标的曲线积分
计算 ∫ x 2dx + ( y − x )dy , 其中
L
(2) L是x轴上由点 A(a ,0) 到点B( − a ,0) 的线段 的线段. 是 轴上由点 (2) L的方程为 y = 0, x从a到− a. 的方程为 原式= 原式
∫a
−a
x dx
2
y
2 3 =− a 3
B(−a,0) O
Γ
其中Γ是由点 到点B(2,3,4)的直线段 的直线段. 其中 是由点A(1,1,1)到点 是由点 到点 的直线段
x −1 y −1 z −1 = = 直线AB的方程为 解 直线 的方程为 1 2 3
化成参数式方程为 x = 1+ t, y = 1 + 2t, z = 1+ 3t + A点对应 t = 0, B点对应 t = 1, 于是 点对应 点对应
i =1
n
取极限 W = lim [ P (ξ i ,η i ) ⋅ ∆xi + Q(ξ i ,η i ) ⋅ ∆yi ] ∑
λ→0i =1
精确值
3
对坐标的曲线积分
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义 面内从点A到点 的一条有向 设L为xOy面内从点 到点 的一条有向光滑 为 面内从点 到点B的一条有向光滑 曲线弧, 曲线弧 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在L上有界 用L上的点 上的点: 上的点 上有界. 上有界 M 1 ( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ), LM n −1 ( x n −1 , y n−1 ) 分成n个有向小弧段 把L分成 个有向小弧段 Mi −1 Mi (i = 1,2,L, n; 分成
• B(1,1) y2 = x
x = y 2 dx = 2 ydy , y从− 1到1 到
∫L
xy d x = ∫ y 2 ⋅ y ⋅ 2 ydy
−1
1
O
x
• A(1,−1)
= 2 ∫ y4 dy −
1
1
4 = 5
15
对坐标的曲线积分
例 计算 ∫ xdx + ydy + ( x + y − 1)dz
17
对坐标的曲线积分
计算 ∫ x 2dx + ( y − x )dy , 其中
L
(2) L是x轴上由点 A(a ,0) 到点B( − a ,0) 的线段 的线段. 是 轴上由点 (2) L的方程为 y = 0, x从a到− a. 的方程为 原式= 原式
∫a
−a
x dx
2
y
2 3 =− a 3
B(−a,0) O
Γ
其中Γ是由点 到点B(2,3,4)的直线段 的直线段. 其中 是由点A(1,1,1)到点 是由点 到点 的直线段
x −1 y −1 z −1 = = 直线AB的方程为 解 直线 的方程为 1 2 3
化成参数式方程为 x = 1+ t, y = 1 + 2t, z = 1+ 3t + A点对应 t = 0, B点对应 t = 1, 于是 点对应 点对应
i =1
n
取极限 W = lim [ P (ξ i ,η i ) ⋅ ∆xi + Q(ξ i ,η i ) ⋅ ∆yi ] ∑
λ→0i =1
精确值
3
对坐标的曲线积分
二、对坐标的曲线积分的概念
1. 定义 面内从点A到点 的一条有向 设L为xOy面内从点 到点 的一条有向光滑 为 面内从点 到点B的一条有向光滑 曲线弧, 曲线弧 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在L上有界 用L上的点 上的点: 上的点 上有界. 上有界 M 1 ( x1 , y1 ), M2 ( x2 , y2 ), LM n −1 ( x n −1 , y n−1 ) 分成n个有向小弧段 把L分成 个有向小弧段 Mi −1 Mi (i = 1,2,L, n; 分成
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, ,n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L上对坐 标 x的积分, 记为
作用下, 沿曲线 L 从点 A移到点B, 则力F 所做的功为
W yzdx 3xzdy 2xydz.
而在曲线上, 有
dy dz
x dx, a2 x2
z
y a2 x2
yz0
O
y
x
W yzdx 3xz`dy 2xydz
yzdx xzdy
a
a2
x2
x
a2 x2
a
a a2dx 2a3. a
x dx
a2 x2
三、两类曲线积分的联系
变到 时, 点 M x, y 从 L的起点 A沿L移动到L 的终
点B, 则有
L P(x, y)dx Q(x, y)dy
b
a
P
(t
),
(t
)
(t
)
Q
(t
),
(t
)
(t
)dt.
（8.7）
下面来推导该公式.
因 P x, y,Qx, y在 L 上连续, 故所给的曲线积分
定存在. 在 L上取取一一列点 A M 0 , M1, M 2 , , M n1,
故, 单位切向量为
y
e
1 1,2x.
1 4x2
y x2
O
x
2.变力沿曲线的作功问题
设一质点从点 A沿光滑的平面曲线 L移动到点 B, 在移
二,对坐标的曲线积分的计算法
0
三、两类曲线积分间的联系
)(t, 记(t,x)( ,y)分别表示切线向量与 x 轴 y 轴 , )( ) 正向的夹角. 正向的夹角.于是由示意图可知
y t dl dx dy B
dx = dlcos(t, x), dy = dlsin(t, x) = dlcos(t, y),
A
则
O x
∫
L
Pdx + Qdy = ∫ [P cos(t , x ) + Q cos(t , y )]dl .
第五模块 二重积分与曲线积分
第四节 对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系
一、对坐标曲线积分的概念
y
变力沿曲线所作的功. 引例 变力沿曲线所作的功 F(ξi, ηi) 设一质点 在力 Mi (ξi, ηi) F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j Mi -1 ∆yi 的作用下， xy 平面上沿曲线 L 的作用下， ∆ xi 在 M2 A=M0 M1 求变力 F(x, y) 从点 A 移动到点 B， ， O x 所作的功. 所作的功 个有向子弧段， 将有向弧段 L 任分为 n 个有向子弧段， 即用点 A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1)，…， Mn(xn, yn) = B 把有 ， ， 个有向小段， 向曲线 L 分成 n 个有向小段， 第 i 段有向曲线弧段为 Mi -1Mi (i = 1, 2, …, n)，它相应的有向弦段为 ， Mi -1Mi = (∆xi)i + (∆yi)j ， ∆ ∆
∫ α β ∫ Q( x, y)dy = ∫α Q[x(t), y(t)]y′(t)dt.
L
L
三、两类曲线积分间的联系
)(t, 记(t,x)( ,y)分别表示切线向量与 x 轴 y 轴 , )( ) 正向的夹角. 正向的夹角.于是由示意图可知
y t dl dx dy B
dx = dlcos(t, x), dy = dlsin(t, x) = dlcos(t, y),
A
则
O x
∫
L
Pdx + Qdy = ∫ [P cos(t , x ) + Q cos(t , y )]dl .
第五模块 二重积分与曲线积分
第四节 对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系
一、对坐标曲线积分的概念
y
变力沿曲线所作的功. 引例 变力沿曲线所作的功 F(ξi, ηi) 设一质点 在力 Mi (ξi, ηi) F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j Mi -1 ∆yi 的作用下， xy 平面上沿曲线 L 的作用下， ∆ xi 在 M2 A=M0 M1 求变力 F(x, y) 从点 A 移动到点 B， ， O x 所作的功. 所作的功 个有向子弧段， 将有向弧段 L 任分为 n 个有向子弧段， 即用点 A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1)，…， Mn(xn, yn) = B 把有 ， ， 个有向小段， 向曲线 L 分成 n 个有向小段， 第 i 段有向曲线弧段为 Mi -1Mi (i = 1, 2, …, n)，它相应的有向弦段为 ， Mi -1Mi = (∆xi)i + (∆yi)j ， ∆ ∆
∫ α β ∫ Q( x, y)dy = ∫α Q[x(t), y(t)]y′(t)dt.
L
L
11-2 对坐标的曲线积分
第二讲 对坐标的曲线积分
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
对坐标的曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念 二 、对坐标的曲线积分的性质 三 、对坐标的曲线积分的计算 四 、对坐标的曲线积分的应用 五 、两类曲线积分之间的联系
P
[
x,j
(
x)]
+
Q
[
x,j
(
x)]j
¢(
x
)}
dx
(2) L：x =y ( y) （y=c 对应L的起点，y=d 对应L的终点）
òL
P(
x,
y
)dx
+
Q(
x,
y)dy
=
d
òc
{P
[y
(
y),
y
]y
¢(
y)
+
Q
[y
(
y
),
y]}
dy
Ø推广
空间曲线弧Γ： x = j(t), y =y (t), z = w(t)
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念
（一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
变力沿曲线作功
y
B
设一质点在xoy面内从点A沿曲线
L移动到点B
Dyi
力F! ( x,
y)
=
P( x,
! y)i
+
Q( x,
y)
! j
变力所作的功 ?
A o
L
对坐标曲线积分
第二节 对坐标的曲线积分
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法
第二类曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y
设一质点受如下变力作用
L A
B
F ( x, y ) ( P( x, y ) , Q( x, y ))
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
L
2 其中 L 为沿抛物线 x yd x , y x 从点
y
B ( 1,1 )
AO : y x ,
L AO
y x
x : 0 1
OB
O
x yd x
x yd x
0
y x A(1,1)
1 3 2
x
2 x
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
x y
yx
4
1 1 3 x dx 0
A( 1, 0 ) x
解: (1) 原式
(2) 原式 ( 2 y y 2 y y )d y
0
2
4
(3) 原式
0
0 d y
1
例3 求
L
y 2dx 及
L
x 2 dy , L ：x 2 y 2 1，x 0,
y 0的 边 界 ， 逆 时 针 方 向闭 （ 路 默 认 正 向.）
k 1
n
4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δ yk
0 k 1
n
一、对坐标的曲线积分的概念
与性质
二、 对坐标的曲线积分的计算法
第二类曲线积分
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质
1. 引例: 变力沿曲线所作的功.
y
设一质点受如下变力作用
L A
B
F ( x, y ) ( P( x, y ) , Q( x, y ))
动过程中变力所作的功W. 变力沿直线所作的功
L
2 其中 L 为沿抛物线 x yd x , y x 从点
y
B ( 1,1 )
AO : y x ,
L AO
y x
x : 0 1
OB
O
x yd x
x yd x
0
y x A(1,1)
1 3 2
x
2 x
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!
x y
yx
4
1 1 3 x dx 0
A( 1, 0 ) x
解: (1) 原式
(2) 原式 ( 2 y y 2 y y )d y
0
2
4
(3) 原式
0
0 d y
1
例3 求
L
y 2dx 及
L
x 2 dy , L ：x 2 y 2 1，x 0,
y 0的 边 界 ， 逆 时 针 方 向闭 （ 路 默 认 正 向.）
k 1
n
4) “取极限”
W lim P(ξ k , ηk )Δxk Q(ξ k , ηk )Δ yk
0 k 1
n
对坐标的曲线积分的解题方法
对坐标的曲线积分的解题方法
1. 哎呀呀，先说说利用参数方程来解题呀！就像你要找到一条隐藏的小路，参数方程就是那把钥匙呢！比如说求椭圆上的曲线积分，通过设出参数方程，不就好解决多啦。
2. 嘿！还有直接计算法呢！这可简单直接啦，就像一拳直击目标！比如对于一些简单的曲线，直接代入式子进行计算，妙不妙？
3. 哇哦，格林公式可别忘呀！它就像是一个神奇的魔法棒！比如说在计算封闭曲线的积分时，用格林公式一转，难题变简单啦。
4. 哈哈，转换投影法也超有用的哟！这就像给图形变个角度看，一下子就清晰啦。
像在求曲面上的曲线积分时，转换到投影面上，轻松解决呢。
5. 呀！对称性也能帮忙呀！就好像找到了一个隐藏的小技巧。
比如有的曲线具有对称性，利用起来能省不少力呢。
6. 哎哟喂，利用斯托克斯公式呀！这可是个厉害的家伙！就如同给你配备了一把强大武器。
比如对于复杂的空间曲线积分，它能发挥大作用呢。
7. 嘿呀，叠加原理也别忽视呀！这就像搭积木一样，把问题一块块解决。
比如当曲线由多个部分组成时，分别计算再叠加起来，是不是很赞？
我的观点结论就是：对坐标的曲线积分有这么多解题方法呢，大家都要掌握好呀，这样遇到难题就不怕啦！。
坐标曲线积分
Hale Waihona Puke 极坐标法总结词极坐标法是通过将曲线表示为极坐标系中的极径和角度，然后对角度进行定积分来计算 坐标曲线积分的方法。
详细描述
极坐标法的基本步骤是，首先将曲线表示为 (rho = rho(theta)) 的形式，其中 (rho) 是 极径，(theta) 是极角。然后，根据定积分的计算方法，计算出曲线在任意两个角度之
04 坐标曲线积分的几何意义
面积的表示
总结词
坐标曲线积分可以用来计算平面曲线 的面积。
详细描述
在平面直角坐标系中，给定一条封闭 的曲线，其上的点满足某个连续函数 f(x,y)，坐标曲线积分可以通过计算该 曲线所围成的面积来表示。
线段的长度
总结词
坐标曲线积分可以用来计算平面 曲线的长度。
详细描述
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直角坐标法
总结词
直角坐标法是通过将曲线表示为直角坐标系中的函数，然后对函数进行定积分来计算坐标曲线积分的 方法。
详细描述
直角坐标法的基本步骤是，首先将曲线表示为 (y = f(x)) 的形式，其中 (x) 和 (y) 是直角坐标系中的坐 标。然后，根据定积分的计算方法，计算出曲线在任意两个点的长度，从而得到曲线在该区间上的长 度。最后，将区间上的长度进行定积分，得到整个曲线的积分值。
对于给定的平面曲线，其上的点满 足某个参数方程x(t)和y(t)，坐标曲 线积分可以通过计算参数t的增加 量来近似表示曲线的长度。
功的表示
总结词
坐标曲线积分可以用来计算力在位移上所做的功。
详细描述
在物理中，如果一个质点在力F的作用下沿某条路径从点A移动到点B，坐标曲线积 分可以通过计算力F与质点位移的点乘来近似表示力在位移上所做的功。
对坐标的曲线积分
11
F ds L (x(t), y(t)) {[ P ( x , y ), Q ( x , y )] d t } ds L ds
[ P ( x(t ), y(t )), Q ( x (t ), y (t )) (x(t), y(t)) d t
2 0
(1 4 cos t ) d t 2
2
o x
y
18
例8. 求
其中 从 x 轴正向看为逆时针方向.
解: 取 的参数方程
x cos cos t , y sin cos t , z sin t ( t : 0 2 )
(sin t cos cos t )( sin sin t )
dx dy dz 其中cos , cos , cos . ds ds ds
7
例1. 设
续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
L
L P cos Q cos ds
P cos Q cos ds
设 A ( P, Q ), (cos ,cos ) 二者夹角为
y
F ( k , k )
W Wk
2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
则有
Wk F ( k , k ) M k 1M k P( k , k ) xk Q( k , k ) yk
a
21
b
• 对空间有向光滑弧 :
x (t ) y (t ) , t : z (t )
F ds L (x(t), y(t)) {[ P ( x , y ), Q ( x , y )] d t } ds L ds
[ P ( x(t ), y(t )), Q ( x (t ), y (t )) (x(t), y(t)) d t
2 0
(1 4 cos t ) d t 2
2
o x
y
18
例8. 求
其中 从 x 轴正向看为逆时针方向.
解: 取 的参数方程
x cos cos t , y sin cos t , z sin t ( t : 0 2 )
(sin t cos cos t )( sin sin t )
dx dy dz 其中cos , cos , cos . ds ds ds
7
例1. 设
续, 曲线段 L 的长度为s, 证明
在L上连
证:
L
L P cos Q cos ds
P cos Q cos ds
设 A ( P, Q ), (cos ,cos ) 二者夹角为
y
F ( k , k )
W Wk
2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点
L A
M x k k1
M y kk
B
x
则有
Wk F ( k , k ) M k 1M k P( k , k ) xk Q( k , k ) yk
a
21
b
• 对空间有向光滑弧 :
x (t ) y (t ) , t : z (t )
§10.2[1]对坐标的曲线积分
![§10.2[1]对坐标的曲线积分](https://img.taocdn.com/s1/m/ca48a806eff9aef8941e067a.png)
解
t : 0 →π,
′ xt = asint.
2
B(a,0)
o
A(a,0)
x
y dx = ∫ (asin t )2(asin t ) dt ∫L 0
π
t : 0 →π, ′ xt = asint.
2
∫L Pdx = ∫a P[x, y( x)]dx
y
b
y dx = ∫ (asin t )2(asin t ) dt ∫L 0
dx = ′(t )dt, dy =ψ′(t )dt.
∫L P( x, y)dx + Q( x, y)dy
=∫
注意: 注意:
β {P[(t ),ψ (t )] ′(t ) + Q[(t ),ψ (t )] ′(t )}dt ψ α
1. 定积分的下限α不一定 不一定要小于上限β; 2. f ( x, y)中x, y不彼此独立 而是相互有关的 , .
性质
(1) 如果把L分成L 和L2 (L = L + L2 ) , 则 1 1
∫L Pdx + Qdy = ∫L1 Pdx + Qdy + ∫L2 Pdx + Qdy.
(2) 设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的 , 有向曲线弧 则 ,
∫L P( x, y)dx = ∫L P( x, y)dx; ∫LQ( x, y)dy = ∫LQ( x, y)dy
∫L Pdx + Qdy = ∫a{P[ x, y( x)]+ Q[ x, y( x)]y′( x)}dx
例 3 计算 L 2xydx + x2dy,其中 为 L ∫
b
(1) 抛物线 y = x2上从 (0,0)到B(1,1)的一段弧 O ; (2) 抛物线 x = y2上从 (0,0)到B(1,1)的一段弧 O ;
《对坐标的曲线积分》课件
理解坐标曲线积 分在物理、工程 等领域的应用
掌握坐标曲线积 分与微积分、线 性代数等课程的 联系
培养解决问题的 能力和创新思维
THANK YOU
汇报人：
曲线积分是微积分的一个重要分支，广泛应用于物理、工程等领域
曲线积分可以帮助我们理解和解决许多实际题，如流体力学、电磁学等
曲线积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用价值 曲线积分是微积分的一个重要工具，可以帮助我们理解和解决许多实际问 题
为后续学习打下基础
掌握坐标曲线积 分的概念、性质 和计算方法
例题解析与练习
典型例题解析
例题1：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^2 例题2：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^3 例题3：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^4 例题4：求曲线积分，积分区间为[0,1]，积分曲线为y=x^5
练习题及答案解析
曲线积分概念引入
曲线积分的定义：对曲线上的函数 进行积分
曲线积分的特点：与直线积分不同， 需要考虑曲线的弯曲程度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
曲线积分的应用：物理、工程、经 济等领域
曲线积分的分类：第一类曲线积分 和第二类曲线积分
本次PPT课件的目的和内容
目的：介绍坐 标的曲线积分 的概念、方法
对坐标的曲线积分的注意事项 及常见错误分析
参数方程和直角坐标系转换时的注意事项
转换时注意参数方程和直角坐标系的转换关系 转换过程中注意参数方程的取值范围 转换过程中注意参数方程的连续性和可微性 转换过程中注意参数方程的积分区间和积分限
计算曲线积分时的常见错误及解决方法
错误：积分区间错误 解决方法：正确选择积分区间， 确保积分区间包含曲线的全部长度 解决方法：正确选择积分区间，确保积分区间包含曲线的全部长 度
第四章 曲线积分与曲面积分 第二节 对坐标的曲线积分
2 4 2a 3 1 a 3 3 3 (2) 取 L 的方程为 y 0, x : a a , 则
- 12 -
第二节
对坐标的曲线积分
例3. 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中L为
y
B ( 1, 1 )
2 2
(1) 抛物线 L : y x 2 , x : 0 1; (2) 抛物线
x yd x
L AO
x :0 1
OB
o
y x
x
x yd x
x yd x
2 x
0 1 3 2
A(1,1)
4 dx 5
解法2 取 y 为参数, 则
x yd x y 2 y( y 2 ) d y
L 1
- 11 -
1
第二节
对坐标的曲线积分
例2. 计算
F ( x , y , z ) { P ( x , y , z ) , Q( x , y , z ) , R( x , y , z )}
-5-
第二节
对坐标的曲线积分
二 对坐标的曲线积分的性质
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
(1)
L (P1 ( x, y ) P2 ( x, y ))dx P1 ( x , y )dx P2 ( x , y )dx L L ( Q ( x, y) Q ( x, y))dy Q ( x , y )dy Q ( x , y )dy
xy
o
1 0
yx
4 x 3 d x
1
(3) 有向折线 L : OA AB .
解: (1) 原式 (2) 原式 ( 2 y y 2 y y )d y
对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线
做的功Wi 近似于常力F i ,i
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
沿有向线段 Mi1Mi 所做的功, 即
Wi F i ,i M M i1 i
y
yi
L i,i Mi M i1
B Mn
M1
xi
A M0
O
x
Pi ,i xi Qi ,i yi ,
所以
把 L分成n个有向弧段 Mi1Mi i 1,2, , n, 设
Mi1Mi xii yi j, 并记为所有小弧段长度的最
大者, 在 Mi1Mi 上任取一点 i ,i , 如果极限
n
lim P
0 i1
i ,i
xi
存在, 则称此极限为函数 P(x, y) 在有向线段 L 上对坐 标 x的积分, 记为
本节要点
一、对坐标的曲线积分的概念 二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分的联系
一、第二类曲线积分的概念
1.有向曲线
在第一节中, 讨论的是对弧长的曲线积分, 这是一种 无方向的曲线积分. 例如曲线的弧长、转动惯量等等, 均与方向无关. 在这一节中, 我们讨论与“方向”有关 的曲线积分.
给定一条曲线, 如果规定了其中的一个走向作为曲线 的“方向”, 则此曲线称为有向曲线.
n
n
W Wi P i ,i xi Q i ,i yi ,
i1
i1
将所有小弧段长度的最大者记为, 并令 0, 所得上
述和式的极限
n
lim
0
i1
P i ,i
xi
Q i ,i
yi
即为变力F 沿有向曲线 L 所做的功.
P x, y,Q x, y 连续, 故在 M M i1 i 上, 可以用任一
高数10章第2节对坐标曲线积分
06 曲线积分在实际问题中应 用
面积、体积和弧长计算
01
02
03
面积计算
通过曲线积分可以计算由 平面曲线所围成的面积， 例如计算不规则图形的面 积。
体积计算
在空间中，曲线积分可以 用来计算由曲线旋转或平 移所生成的立体体积。
弧长计算
曲线积分还可以用来计算 曲线的弧长，特别是对于 那些无法直接通过几何方 法求解的曲线。
质心、形心和转动惯量计算
质心计算
在物理学和工程学中，经常需要 计算物体的质心位置，曲线积分 可以帮助我们找到由曲线构成的
物体的质心。
形心计算
形心是描述物体几何形状的一个重 要参数，曲线积分同样可以用来计 算由曲线构成的物体的形心。
转动惯量计算
转动惯量是描述物体旋转运动特性 的物理量，曲线积分可以用来计算 由曲线构成的物体绕某轴的转动惯 量。
斯托克斯公式在电磁学、流体力学等 领域有着广泛的应用，可以用来计算 磁场、电场、流场等物理量。
在使用斯托克斯公式时，需要注意被积 函数在包含曲面Σ的空间区域内是否满 足具有一阶连续偏导数的条件，以及曲 面Σ和边界曲线Γ的取向是否正确。
其他求解方法
01
直接计算法
对于一些简单的第二类曲线积分问题，可以直接通过参数化曲线并代入
面积等。
培养分析问题和解决问题的能力，提高数学素养和思维水平。
03
内容概述
本节主要介绍对坐标的曲线积分，包括曲线积分的定义、性质和计算方法。 通过具体例题，讲解如何运用定积分求解曲线积分，并介绍一些常用的计算技巧。
讨论曲线积分在实际问题中的应用，如计算平面曲线的长度、空间曲线的质量等。
02 对坐标曲线积分基本概念
高数10章第2节对坐标曲线积分
对坐标的曲线积分的计算方法_高等数学(下册)_[共4页]
![对坐标的曲线积分的计算方法_高等数学(下册)_[共4页]](https://img.taocdn.com/s1/m/cef09b6769dc5022aaea00e4.png)
153 曲线积分第10章是定义在L 上的向量场，那么根据曲线积分的定义和物理意义易知：(,)d (,)d L P x y x Q x y y +∫()()d cos cos d L L P Q s αβ==++∫∫i F s i j i j ()cos cos d L P Q s αβ=+∫.即 (,)d (,)d L P x y x Q x y y +∫()cos cos d LP Q s αβ=+∫. 类似的，有 (,,)d (,,)d (,,)d P x y z x Q x y z y R x y z z Γ++∫()cos cos cos d P Q R s αβγΓ=++∫. 其中(,,)cos cos cos x y z αβγ=++i j k τ是有向曲线Γ上点(,,)x y z 处与Γ方向一致的单位切向量．4．对坐标的曲线积分的性质根据对坐标的曲线积分定义，容易推导出对坐标的曲线积分的如下性质． 性质1 设L 由1L 和2L 两段光滑有向曲线组成（记为L =12L L +），则1212d d d d d d L L L L P x Q y P x Q y P x Q y ++=+++∫∫∫. 性质2 设L 是有向曲线弧段, L −是与L 方向相反的有向曲线弧段，则d d d d L LP x Q y P x Q y −+=−+∫∫. 10.2.2 对坐标的曲线积分的计算方法定理10.2.1 设曲线L 的参数方程为()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，当参数t 单调地从α变到β时，对应地点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 移动到终点B ，其中函数()x t ,()y t 在以α和β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且22()()0x t y t ′′+≠，若函数(,)P x y ,(,)Q x y 在曲线L 上连续，则曲线积分(,)d (,)d L P x y x Q x y y +∫存在，且[][]{}(,)d (,)d (),()()(),()()d L P x y x Q x y y P x t y t x t Q x t y t y t t βα′′+=+∫∫.证 因为 (,)d (,)d d (,)d L L L P x y x Q x y y x y s +==∫∫∫i i τF s F ,其中 (,)(,)P x y Q x y =+F i j，d s t =.而曲线L 上点(,)x y 处与L 方向一致的单位切向量d (,)d x y s ′′==s j τ.因为点(,)x y 处的有向弧元素 ()d (,)d ()()d x y s x t y t t ′′==+s i j τ.故(,)d (,)d L P x y x Q x y y +∫()()d ()()d L P Q x t y t t βα′′==++∫∫i F s i j i j[][]{}(),()()(),()()d P x t y t x t Q x t y t y t t βα′′=+∫。
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{
P[
(t
),
(t
),
(t
)]
(t
)
Q[(t), (t),(t)] (t)
R[(t), (t),(t)](t)}dt
(4) 两类曲线积分之间的联系：
设有向平面L曲 ：线 xy弧 ((tt))为 ,
L上点 (x, y)处的切线向量为 的 ,方 , 向角
则 L P Q d x L d ( P c y o Q c s o ) ds s
2.存在条件： 当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲 L 线 上连续 , 第时 二类曲线. 积分存在
3.组合形式
LP(x, y)dxLQ(x, y)dy
LP(x, y)dxQ(x, y)dyLFds.
其 F P i Q j 中 ,d d i s d j x . y
4.推广
空间有向曲线弧PdxQdyRd. z
M i 1 M i ( x i ) i ( y i ) j .
取 F ( i , i ) P ( i , i ) i Q ( i , i ) j , y F(i,i)M
i
B
Mn1
W i F (i,i)M i 1 M i,
L yi
Mi1 x i
M2
A M1
即 W i P ( i ,i ) x i Q ( i ,i ) y i . o
x
n
求和 W Wi
近似值
i1
n
[P (i, i) x i Q (i, i) y i].
i 1
n
取极限 W l 0 ii 1 m [P (i,i) x i Q (i,i) y i] .
精确值
二、对坐标的曲线积分的概念
1.定义 设L为 xoy 面内从点 A到点 B的一条有 向光滑曲线弧 , 函数 P ( x, y), Q( x, y)在 L 上有界 . 用 L上的点 M 1( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ), , M n1 ( xn1 , yn1 )把 L分成 n个有向小弧段 M i1M i (i 1,2, , n; M 0 A, M n B ). 设 xi xi xi1 , yi yi yi1 , 点( i , i )为 M i1M i 上任意取定的点 . 如果当各小弧段 长度的最大值 0时 ,
Adr
Atds,
其 A 中 {P ,Q ,R } ， t { c ,c o , o c s } s o,s
上点 (x,y,z)处的单位切向 d r t d { d s,d x ,d y }有z 向曲线元；
A t为A 向 在量 t 向 上量 的 . 投影
例1 计算 xy,d 其 xL 中 为抛y物 2x上 线从 L A(1,1)到 B(1,1)的一. 段弧B(1,1)
L P(x, y)dx Q(x, y)dy存在,
且LP(x, y)dxQ(x, y)dy
{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt
特殊情形
(1 )L :yy(x ) x 起a 点 ，为 终 b . 点为
则 P Q d x b { d P [ x ,y y ( x ) Q ] [ x ,y ( x )y ( ] x ) d . }x
其中cos
2(t)(t ) 2(t),cos
(t) , 2(t)2(t)
（可以推广到空间曲线上 ）
上点 (x, y,z)处的切线向量 为的 ,,方 , 向
则 P Q d R x d ( P d c y z o Q c s o R c s ) d o
可用向量表示
Atds
n
P(i,i )xi的极限存在 , 则称此极限为函
i1
数P(x, y)在有向曲线弧 L上对坐标x的曲线
积分(或称第二类曲线积,分记）作
n
L
P(x,
y)dx
lim
0 i1
P(i
,i
)xi
.
n
类似地定义 LQ (x,y)d yl i0m i1Q (i, i) yi.
其中 P(x,y), Q(x,y)叫做被积 , L叫函 积分数 弧段.
LPd Q x dL y 1Pd Q x dL 2 yPd Q x.dy
(2) 设 L是有向 ,L 曲 是L 线 与 方弧 向相反 有向 曲 , 则线 弧
L P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d L y P ( x , y ) d Q ( x x , y ) d
一、问题的提出 y
B
实例: 变力沿曲线所作的功
M
y
i
i
Mn1
L Mi1 xi
L:A B ,
M2
A M 1
F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j o
x
常力所作的功 W F A.B
分割 A M 0 , M 1 ( x 1 , y 1 ) , M , n 1 ( x n 1 , y n 1 ) M n , B .
n
P (x ,y,z)d x l i0im 1P (i,i, i) x i.
n
Q (x ,y,z)d y l i0im 1Q ( i, i, i) yi.
n
R (x ,y,z)d zl i0im 1R ( i, i, i) zi.
5.性质
(1)如果 L 分 把 L 1 成 和 L 2,则
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理 设P(x, y),Q(x, y)在曲线弧L上有定义且连
Байду номын сангаас
续,
L的参数方程为xy
(t), (t),
当参数t单调地由变
到时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,
(t), (t)在以及为端点的闭区间上具一有阶连
续导数,且2(t) 2(t) 0,则曲线积分
解 (1)化为对 x的定积分y， x.
y2 x
xy dxxy dx xydx
L
AO
OB
0
1
1x(x)d x0xxdx
A(1,1)
2
13
x2dx
4.
0
5
(2)化为对 y的定积分， x y2, y从1到 1.
L
a
(2 )L :xx (y) y起c 点 ，为 终 d. 点为
则 P Q d d x { d P [ x ( y y )y ] x , ( y ) Q [ x ( y )y ] , d . }
L
c
x(t) (3)推广 : y(t), t起点 ,终点 .
z(t)
Pdx Qdy Rdz