北京市西城区2017届高三二模数学理科试题(word版含答案)

2017年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）下列函数中，值域为[0，1]的是（）A．y=x2 B．y=sinx C．D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．（1，0） C．D．4．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．5．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A．B．C．x±8y=0 D．8x±y=06．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）8．（5分）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=；数列{a n}的前n项和S n=．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，，b=1，则c的值为．12．（5分）函数f（x）=则=；方程f（﹣x）=的解是．13．（5分）大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有种．（用数字作答）14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体A﹣BCD在xOy，yOz，zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设β∈（0，π），且，求β的值．16．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B 的大小．17．（13分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．19．（13分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．20．（13分）设集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥2）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A 2n的一个“相关数”．（Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．2017年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）在复平面内，复数z对应的点是Z（1，﹣2），则复数z的共轭复数=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【解答】解：由复数z对应的点是Z（1，﹣2），得z=1﹣2i．则复数z的共轭复数=1+2i．故选：A．2．（5分）下列函数中，值域为[0，1]的是（）A．y=x2 B．y=sinx C．D．【解答】解：y=x2的值域为[0，+∞），y=sinx的值域为[﹣1，1]，y=值域为[（0，1]，y=的值域为[0，1]，故选：D．3．（5分）在极坐标系中，圆ρ=sinθ的圆心的极坐标是（）A．B．（1，0） C．D．【解答】解：圆ρ=sinθ即ρ2=ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=y，配方为：x2+=．可得圆心C，可得圆心的极坐标是．故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（2，3），∴平面区域的面积S=．故选：B．5．（5分）设双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为（）A．B．C．x±8y=0 D．8x±y=0【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，可得，则=．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率是3，则其渐近线的方程为：x．故选：A．6．（5分）设，是平面上的两个单位向量，•=．若m∈R，则|+m|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：设，是平面上的两个单位向量，则||=1，||=1，∵•=，∴|+m|2=||2+m2||2+2m•=1+m2+m=（m+）2+，当m=﹣时，|+m|2有最小值，∴|+m|的最小值是，故选：C．7．（5分）函数f（x）=x|x|．若存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，则k的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）【解答】解：根据题意，x∈[1，+∞）时，x﹣2k∈[1﹣2k，+∞）；①当1﹣2k≤0时，解得k≥；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k≤0，∴f（1﹣2k）=﹣（1﹣2k）2，∴﹣（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得﹣1+4k﹣4k2﹣k＜0，即4k2﹣3k+1＞0；∵△=（﹣3）2﹣16=﹣7＜0，∴不等式对一切实数都成立，∴k≥；②当1﹣2k＞0时，解得k＜；存在x∈[1，+∞），使得f（x﹣2k）﹣k＜0，即只要f（1﹣2k）﹣k＜0即可；∵1﹣2k＞0，∴f（1﹣2k）=（1﹣2k）2，∴（1﹣2k）2﹣k＜0，整理得4k2﹣5k+1＜0，解得＜k＜1；又∵k＜，∴＜k＜；综上，k∈（，）∪[，+∞）=（+∞）；∴k的取值范围是k∈（，+∞）．故选：D．8．（5分）有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：由题意作出文氏图，如下：其中m+n+p=7．∴只持有B股票的股民人数是7人．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1010．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2；数列{a n}的前n项和S n=n2+n．【解答】解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，∴a1，a1+2，a1+6成等比数列，∴（a1+2）2=a1（a1+6），解得a1=2，数列{a n}的前n项和S n=2n+=n2+n．故答案为：2；n2+n．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边边长分别是a、b、c，若，，b=1，则c的值为2．【解答】解：∵，∴，∴，∵a＞b，所以A＞B．角A、B、C是△ABC中的内角．∴，∴，∴．故答案为：2．12．（5分）函数f（x）=则=﹣2；方程f（﹣x）=的解是﹣或1．【解答】解：f（）=log2=﹣2，由方程f（﹣x）=，得或，解得：x=1或x=﹣，故答案为：﹣2；﹣或1．13．（5分）大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有36种．（用数字作答）【解答】解：根据题意，分2步进行分析：先将3人分成2组，有C32=3种分组方法，再在A，B，C，D四部电梯中任选2部，安排2组人乘坐，有C42A22=12种情况，则3人不同的乘坐方式有3×12=36种；故答案为：36．14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体A﹣BCD在xOy，yOz，zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，==2，高h=2，该三棱锥的底面积S底∴V==．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设β∈（0，π），且，求β的值．【解答】解：（Ⅰ）由，得，k∈Z．[（3分）]所以函数f（x）的定义域是．[（4分）]（Ⅱ）依题意，得．[（5分）]所以，[（7分）]整理得，[（8分）]所以，或．[（10分）]因为β∈（0，π），所以，[（11分）]由，得，；[（12分）]由，得，．所以，或．[（13分）]16．（14分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B 的大小．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（1分）]所以AD∥平面FBC．[（3分）]又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，所以AD∥MN．[（4分）]（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD⊥CD．[（5分）]因为AD⊥FC，[（6分）]所以AD⊥平面CDEF．[（7分）]所以平面ADMN⊥平面CDEF．[（8分）]（Ⅲ）解：因为EA⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面ADE，所以CD⊥DE．由（Ⅱ）得AD⊥平面CDEF，所以AD⊥DE．所以DA，DC，DE两两互相垂直．[（9分）]建立空间直角坐标系D﹣xyz．[（10分）]不妨设EF=ED=1，则CD=2，设AD=a（a＞0）．由题意得，A（a，0，0），B（a，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，1），F（0，1，1）．所以=（a，0，0），=（0，﹣1，1）．设平面FBC的法向量为=（x，y，z），则即令z=1，则y=1．所以=（0，1，1）．[（12分）]又平面ADE的法向量为=（0，2，0），所以==．因为二面角A﹣l﹣B的平面角是锐角，所以二面角A﹣l﹣B的大小45°．[（14分）]17．（13分）某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，[（2分）]所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20．[（3分）]（Ⅱ）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，[（5分）]由用频率估计概率得：，．[（7分）]因为事件A i与B j相互独立，其中i=1，2，j=0，1．所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．[（10分）]所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（Ⅲ）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：因为EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以EX＜EY，会选择B餐厅用餐．[（13分）]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|．求直线AB的斜率．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C的方程为y2=ax（a≠0）．[（1分）]由抛物线C经过点P（1，2），得a=4，[（3分）]所以抛物线C的方程为y2=4x．[（4分）]（Ⅱ）因为|PM|=|PN|，所以∠PMN=∠PNM，所以∠1=∠2，所以直线PA与PB的倾斜角互补，所以k PA+k PB=0．[（6分）]依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．[（8分）]设A（x1，y1），则x1=，y1=﹣2，[（10分）]所以A（，﹣2）．[（11分）]以﹣k替换点A坐标中的k，得B（，﹣﹣2．[（12分）]所以k AB==﹣1，所以直线AB的斜率为﹣1．[（14分）]19．（13分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，其中a∈R．（Ⅰ）求函数f'（x）的零点个数；（Ⅱ）证明：a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x，得f′（x）=（2x+a）e1﹣x﹣（x2+ax﹣a）•e1﹣x=﹣[x2+（a﹣2）x﹣2a]•e1﹣x=﹣（x+a）（x﹣2）•e1﹣x，令f′（x）=0，得x=2，或x=﹣a．所以当a=﹣2时，函数f′（x）有且只有一个零点：x=2；当a≠﹣2时，函数f′（x）有两个相异的零点：x=2，x=﹣a．（Ⅱ）证明：①当a=﹣2时，f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，所以，函数f（x）无极值．②当a＞﹣2时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：所以，a≥0时，f（x）的极小值为f（﹣a）=﹣ae1+a≤0．又x＞2时，x2+ax﹣a＞22+2a﹣a=a+4＞0，所以，当x＞2时，f（x）=）=（x2+ax﹣a）•e1﹣x＞0恒成立．所以，f（﹣a）=﹣ae1+a为f（x）的最小值．故a≥0是函数f（x）存在最小值的充分条件．③当a=﹣5时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：因为当x＞5时，f（x）=（x2﹣5x+5）e1﹣x＞0，又f（2）=﹣e﹣1＜0，所以，当a=﹣5时，函数f（x）也存在最小值．所以，a≥0不是函数f（x）存在最小值的必要条件．综上，a≥0是函数f（x）存在最小值的充分而不必要条件．20．（13分）设集合A2n={1，2，3，…，2n}（n∈N*，n≥2）．如果对于A2n的每一个含有m（m≥4）个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于4n+1，称正整数m为集合A2n的一个“相关数”．（Ⅰ）当n=3时，判断5和6是否为集合A6的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若m为集合A2n的“相关数”，证明：m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）给定正整数n．求集合A2n的“相关数”m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当n=3时，A6={1，2，3，4，5，6}，4n+1=13，①对于A6的含有5个元素的子集{2，3，4，5，6}，因为2+3+4+5＞13，所以5不是集合A6的“相关数”；②A6的含有6个元素的子集只有{1，2，3，4，5，6}，因为1+3+4+5=13，所以6是集合A6的“相关数”．（Ⅱ）考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n﹣1，n，n+1，…，2n}，B中任意4个元素之和一定不小于（n﹣1）+n+（n+1）+（n+2）=4n+2．所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”；所以当m≤n+2时，m一定不是集合A2n的“相关数”，因此若m为集合A2n的“相关数”，必有m≥n+3，即若m为集合A 2n的“相关数”，必有m﹣n﹣3≥0；（Ⅲ）由（Ⅱ）得m≥n+3，先将集合A2n的元素分成如下n组：C i=（i，2n+1﹣i），（1≤n），对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p，必有三组，，同属于集合P，再将集合A2n的元素剔除n和2n后，分成如下n﹣1组：D j=（j，2n﹣j），（1≤j≤n﹣1），对于A 2n的任意一个含有n+3个元素的子集P，必有一组属于集合P，这一组与上述三组，，中至少一组无相同元素，不妨设与无相同元素．此时这4个元素之和为[i1+（2n+1﹣i1）+（2n﹣j4）]=4n+1，所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

北京市西城区2016-2017学年度第一学期高三期末理科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}02A x x =<<，{}210B x x =-≤，那么AB =（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x -≤<C ．{}10x x -≤<D ．{}12x x ≤<2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（ ） A ．21y x =+B ．tan y x =C ．2x y =D ．sin y x x =+3．已知双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点是()20， ，则其渐近线的方程为（ ）A．0x =B0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．在极坐标系中，过点26P π⎛⎫⎪⎝⎭， 且平行于极轴的直线的方程是（ ） A ．sin 1=ρθB．sin =ρθC ．cos 1=ρθD．cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ A ．3 B．C ．6 D．6．设，a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．实数x y ，满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的取值范围是（ ）A ．[]10-，B ．[]01，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A B 、分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP 的取值范围是（ ）A．1⎤⎦B ．[]13，C．12⎤⎦，D．11⎡⎤⎣⎦，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数11ii+=-____________． 10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =则n a =_____；6S =_____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____________． 12．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____________．13．设函数()30log x af x x x a≤≤=>⎪⎩，，其中0a >．① 若3a =，则()9f f =⎡⎤⎣⎦___________；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____________．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2sin 22cos 16f x x x πωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A B 、两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A B 、两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a b 、是正整数，且a b ．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求A B 、的分布列；（Ⅲ）设A B 、两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a b 、的值（结论不要求证明）．已知函数()()ln sin 1f x x a x =-⋅-，其中a R ∈．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间()01， 上为增函数，求a 的取值范围．已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求MAB ∆面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：OE OF ⋅为定值．数字()1232n n ≥， ， ，，的任意一个排列记作()12n a a a ，，，，设n S 为所有这样的排列构成的集合． 集合(){12n nnA a a a S=∈，，，任意整数1i j i j n ≤<≤、，，都有}i j a i a j -≤-； 集合(){12n nnB a a a S=∈，，，任意整数1i j i j n ≤<≤、，，都有}i j a i a j +≤+． （Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===；223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分]令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=， 解得y =， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB[ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分] 直线MA 的方程为 00()y n y n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而 000ty nx OE y n -=-． [ 9分] 直线M B 的方程为00()y n y n x t x t ++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而 000ty nx OF y n +=+． [11分] 所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n-- ()()2222002204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n-- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+，所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列， 所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分] 又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤．所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分] 所以集合n n A B 的元素个数为1． [ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥，又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==， 且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12nn b b -=．所以 {}n b 成等比数列． [13分]。

北京市西城区2017届高三二模数学试题（文）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B =（ ） （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是（ ） （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是（ ） （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（ ） （A ）1±（B ）2±（C ）4±（D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（ ）（A）（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ）（A ）43 （B ）2 （C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（ ）（A ）(2,)+∞（B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____． 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =1b =，则c = . 12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值．某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．B 餐厅分数频数分布表设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值；（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED =M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥；（Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由．已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．参考答案一、选择题 1．A2．A 3．D4．C5．D6．B7．A8．D二、填空题 9．12i +10．711．2 12．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42三、解答题15．解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． 所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+．所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① 因为β是锐角，所以ππ3π444β<+<，所以πsin()04β+>， ①式化简为π1cos()42β+=． 所以 ππ43β+=，所以π12β=．16．解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=， 所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． （Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12,M M ； 对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123,,N N N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(,)M M ，11(,)M N ，12(,)M N ，13(,)M N ，21(,)M N ，22(,)M N ，23(,)M N ，12(,)N N ，13(,)N N ，23(,)N N ，共10种．其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(,)M N ，12(,)M N ，13(,)M N ，21(,)M N ，22(,)M N ，23(,)M N ，共6种．故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==． （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看： 由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20，所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%．B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%． 所以会选择B 餐厅用餐．17．解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以 21n a n =-．因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列， 所以1n n b q-=．所以121n n n n c a b n q -=+=-+．因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n qn -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．当1q =时，2n S n n =+．当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．18．解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥ 又因为CD EA ⊥，所以CD ⊥平面EAD ．所以ED CD ⊥． （Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，所以//AD 平面FBC ． 又因为平面ADMN平面FBC MN =，所以//AD MN ．（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下： 连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．所以AD DM ⊥． 因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．因为平面ADMN平面BCF MN =，若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥． 在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点．所以12FM FC =．19．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x xx '=-+-．当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下： 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解． 令2110(2)xx -+=-，整理得2540x x -+=，解得1x =，或4x =． 所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x x x '=-+-． ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意． ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <． 由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ． 2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----．因为1202x x <<<，且0a >，所以21022a ax x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．20．解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的半焦距为c ．因为椭圆C ，所以2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =． 由22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22142xy +=． （Ⅱ）将y m =+代入22142x y+=， 消去y 整理得2220x m +-=． 令2224(2)0m m∆=-->，解得22m -<<．设1122(,),(,)A x yB x y．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB=点P 到直线0x=的距离为d ==．所以PAB △的面积12S AB d =⋅||m == 当且仅当m =S 所以PAB △（Ⅲ）||||PM PN=．证明如下：设直线PA，PB的斜率分别是1k，2k，则12k k+=．由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x-+-12211)(1)(m x x m x=+-++--1212(2)()1)x m x x m+-+--22)(2)()1)m m m-+---0=，所以直线PA，PB的倾斜角互补．所以12∠=∠，所以PMN PNM∠=∠．所以||||PM PN=．。

北京市西城区2017届高三数学二模试题 文第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B = （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y =4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（A ）1± （B ）2± （C ）4± （D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为 （A ）43 （B ）2 （C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____．10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =1b =，则c =____．12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值．16．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．17．（本小题满分13分）设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED =M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由．19．（本小题满分13分）已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．西城区高三模拟测试高三数学（文科）参考答案及评分标准 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．212．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42注：第13、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以 ππ3π444β<+<，[ 8分]所以πsin()04β+>，[ 9分] ①式化简为π1cos()42β+=． [10分] 所以 ππ43β+=，[12分] 所以π12β=． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ；对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分]其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%．所以会选择B 餐厅用餐． [13分] 注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 21n a n =-．[ 2分]因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列，所以1n n b q -=．[ 4分]所以121n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分]因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，[ 6分]即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．[ 7分]经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n qn -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分]当1q =时，2n S n n =+．[11分]当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分]又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分]所以//AD 平面FBC ．[ 7分] 又因为平面ADMN平面FBC MN =，所以//AD MN ．[ 8分]（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分]连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥．因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN平面BCF MN =，若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分]在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点．所以12FM FC =．[14分] 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x x x '=-+-．[ 2分] 当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解． 令2110(2)x x -+=-，整理得2540x x -+=， 解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x xx '=-+-．①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <．由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分]2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >， 所以21022a ax x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分]20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ．因为椭圆C，所以 2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =．[ 1分] 由22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分]（Ⅱ）将y m =+代入22142x y +=， 消去y整理得2220x m +-=．[ 5分] 令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<． 设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB ===[ 6分]点P到直线0x +=的距离为d ．[ 7分]所以PAB △的面积12S AB d =⋅|m =2=，[ 8分]当且仅当m =时，S所以PAB △．[ 9分] （Ⅲ）||||PM PN =．证明如下：[10分]设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，则12k k +=+=[11分]由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x --+--12211)(1)(m x m x =+-++-1212(2)()1)x m x x m =+-+--22)(2)()1)m m m =-+---0=，所以直线PA ，PB 的倾斜角互补．[13分] 所以12∠=∠， 所以PMN PNM ∠=∠． 所以||||PM PN =．[14分]。