第三章不等式§4嗇融融j4.2嗇鞍程融限时：45分钟①总分：100分1. 了解线性规划的背景及意义.2・掌握线性约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.会利用线性规划求最优解问题.作业设计一、选择题（每小题6分，共36分）y W1,1.若变量X, y满足约束条件卜+y±o,则z=x_2yx—y—2W0,的最大值为（）A. 4B. 3C・2 D・1解析：线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z 取得最大值.由图知，当直线通过点A 时，在y 轴上的 截距最小，所以 ^max — 1—2X(—1) = 3.答案：Bx+y=O, x —y —2 = 0, 解得 A(l, —1).2. （2012-辽宁高考）设变量2x+3y的最大值为（）A・20 B・35C・45 D・55x—yW 10,X, y 满足＜0Wx+yW20,则、0WyW15,解析:根据不等式组确定平面区域，再平移目标函数求最大值•作2出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线§尢易 知直线经过可行域上的点4(5,15)时，2x+3y 取得最大值55,故 选择D.答案：D3・某公司招收男职员x 名,5x~ 1—22, 2x+3y$9, 则 z ：ZW11,80 B ・ 85 C ・90 D ・95束条件＜「女职员y名，x和y需满足约=10x+ 10y的最大值是（）解析：先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分所示.\5x一lly=一22,〔2兀=11，解得］无=5・5,1=45但y GN+,结合图知当x=5, y=4 时，Zmax = 90・但y GN+,结合图知当x=5, y=4 时，Zmax = 90・答案：C4.若实数x、y满足vA. (0,1)C・(1, +s)B ・(0,1]D・[1, +®)|%—y+1 WO, [x>0, 则三的取值范围是（ 丿L解析:y实数兀、y满足jx—y+l WO,|x>0分所示.的相关区域如图中的阴影部三表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率, 由图可知，三的取值范围为(1, +<-).答案：c5・在如下图所示的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是（A. —3C. — 1 D・1C(4,2). | 7解析：由题意知，y=—方无+：・当a>0时，此时z 最大时有最优解无数个；当a<0时，y 17 与AC 重合时，z 取最小值，有无数个最优解，答案：A6・线性目标函数z =22x—y+1 ±0，<兀一2歹一1 WO,HyWl下，取得最大值的可行解为(A. (0，1)B. (—1,-C. (1,0)D. (£, |)x — y在线性约束条件-1)解析：根据不等式组画出可行域，目标函数在(1，0)点取得最大值，所以在线性约束条件下，取得最大值的可行解为(1,0).答案：c二、填空题（每小题6分，共18分）则2x+3y的7.若实数x, y满足不等式组＜2x—yW4,x—y^O,最小值是_______ ■x-y=O 2x-y=^设z=2x+3y,贝ljy=-|x+|,结合平面区域可得，当直线2 7尸+呂过点4时，z 取最小值.•••Zmin = 2X2 + 0 = 4・ 答案：4x+y=2,2x_y=4,得 A(2,0),%—y—2C0y满足<x+2y—420,贝出的最大值是8.设实数x,2y-3<0解析：不等式组表示的平面区域如下图所示, 令丫="‘即y=也.yx-y-2=0 7” （上 jX o 、兀 x+2y-0/ ■■ ■y=kx /•••所求三的最大值即为过原点的斜率的最大值, 即三的最大值为|.3 答案：I9.已知变量x, y满足约束条件x—yW2, 若目标函数Z —必仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a的取值范围为解析：画岀可行域，如图所示.由z=y~ax,得y=ax-\~z^则z为直线y=ax~\~z在y轴上的截距，由于函数ox仅在点(5,3)处取得最小值，如图所示，直线y=ax+z过点P(5,3),且直线y=ax~\~z的斜率a大于直线x—y=2的斜率，所以°>1・答案：(1，+°°)三、解答题（共46分，写出必要的文字说明' 计算过程或演算步骤.）10.（本小题15 分）已知一4Wa—bW— 1，一1W4Q—bW5, 求9a~b的取值范围.解：令a=x, b=y, z = 9a — b,即已知一4Wx—yW — 1，—lW4x—yW5,求z=9x~y的取值范围，闻岀不等式组表示的可行域如.图所示由z=9x —y,得y=9x~Zj 当直线过A 点时z 取最大值, 当直线过点B 时z 取最小值.即 Zmax = 9X3—7 = 20，Zmin= —1，所以9a-b 的取值范围是[-1,20].4x_y=5, x —y=—A, 得A(3,7)・由 得B(O,1)x—y+220,11.（本小题15分）已知兀，y满足420, 2x—y—5 W0.⑴求z—x2+y2+2x—2^+2的最小值；⑵求z=Lx+2y—41的最大值.解：作岀可行域，如下图所示.⑴•・• Z =(7(x+1)2 + ®—1)2)2,・・・z可看作是可行域内任一点(X,刃到点M(—1,1)的距离的平方.由图可知Zmin等于点M到直线x+y~4 = 0的距离的平方.•I — 41 2•：Zmin = (羽)=&•••z 可看作是可行域内任一点(x, y)到直线x+2y —4=0的距离的书倍.由图可知，点C 到直线x+2y-4 = 0的距离最大.x —y+2 = 0, 2x —y —5 = 0,得点C ⑺9)・17+2X9-41 (2)・.・z=Lx+2y —41=审・lx+2y —41◎o,12-（本小题16分）在约束条件卄yWs,下，当3WsW5 时，求目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围解：由f+j;，如图得交点为A(2,0), 3(4—必2$—4), C(0, s), C f(0,4).令z=0，得仏：3x+2y=0,当Zo向上平移时z值逐渐增大.⑴当3WsV4时可行域为四边形OABC, 此时Zo平移到B点时z取最大值，Zmax = 3 X (4 —s) + 2(2s —4) = s + 4・V3<5<4,• • 7 WZmaxV8・⑵当4Wsv5时，可行域是△On© ,此时/o过C 点时Z取最大值，Zmax = 3X0 + 2X4 = 8. 综上所述，乐日7母。
