汽车修理

汽车修理摘要针对于第一问计算工作台的利用率，就要建立其所属的排队模型。

首先验证了汽车修理数量服从泊松分布并对参数进行了估计。

然后检验汽车修理的服务时间服从指数分布并对参数进行了估计。

然后确定了该提的模型为多服务员的等待系统（M/M/C）：（GD/∞/∞）,再利用该模型服务强度公式即得工作的利用率。

由第一问可知建立了M/M/C排队论模型，通过求解超过三个顾客的概率得到汽车需排队等候的可能性，待修理与正在修理的汽车平均水平则可以通过模型的指标公式进行求解，从而分析现行方案的优劣。

有第二问知顾客需要等待的概率还是比较高的，所以要适当提高服务质量，既缩短等待时间，就可减少顾客的等待费用，同时要兼顾增加汽车维修站的的收益，降低成本。

寻求汽车维修点的人员和设备的最佳配置，则只需建立总费用函数模型，函数值最小的条件下的配置即为最佳配置。

四问中要求知道汽车修理的大致时间，首先采用2χ分布求出汽车修理时间在95%置信水平下的置信区间，然后与参数估计是的置信区间比较，发现这两个区间相差不大，进而可估算出汽车修理的平均时间。

在问题五中需进一步提出改进意见，就需在前几问的基础下，看从哪些方面可以降低汽车维修站的成本，同时提高顾客的满意度，进而提出一些合理可行的建议。

关键词：概率分布拟合检验多服务不等待系统（M/M/C）: (GD/∞/∞)排队论最优化问题置信区间Ⅰ问题重述1.1问题背景汽车修理是一个随机服务系统，服务对象是各种不同类型汽车，也可以说是这些车辆的拥有者或驾驶员，统称为顾客，服务机构是汽车维修中心或汽车修理点，称为服务员或服务台。

对于一个特定的汽车修理点来说，在某一时刻提供服务的顾客数量是有限的, 且在整个服务过程中, 对每一位顾客服务的时间长度也不确定。

若在某一时刻, 到达的顾客数量超过了汽车修理点的容量, 顾客就必须排队等候，这种现象几乎是不可避免的，但如果顾客到达后需要排长队, 就会造成顾客流失，有些顾客将不愿长时间等候而另求服务, 这对于汽车修理点来说是一种损失。

因此，作为汽车修理点的管理者，应根据自身的服务条件——人员和设备状况，考虑如何组织好修理生产, 提高服务效率，以缩短顾客排队等候的时间，为尽可能多的顾客服务。

同时，还应考虑如何降低服务成本，提高效益，使整个系统达到最佳运行状态。

1.2要解决的问题该汽车修理点有三个工作台，共有九个维修技术工人。

修理点的排队规则为顾客到达服务机构时, 若所有服务台都被占用, 则按先后次序单列排队等候服务。

服务规则为先到先服务, 即按到达的先后次序接受服务。

附表一为该维修点2008年8月至2009年7月修理小车数量的原始记录资料(统计间隔时间均为一天, 总天数为356天)。

附表二为汽车修理服务时间记录表。

该维修点有九名维修技术工人、三个工作台, 根据以往经验，每个服务台每天的服务成本主要包括以下几项: (1)工资300元，(2)餐费30元，(3)房租54元，(4)水电费38元，(5)税收45元，(6)设备折旧费26元，(7)上缴费用100元，(8)设备维修费13元，(9)交通、洗涤、易损工具费等26元。

顾客等待费用的确定比较困难, 它包括停车损失、顾客等待时间长而无法返回的食宿费、车旅费等, 由于各种大小车辆的停车损失不同，顾客离修理点的距离远近不同，但据调查，因汽车故障而造成停车的损失费平均不低于100元/台·天。

问题一：通过计算工作台的利用率并分析结果。

问题二：计算汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，并给出你的建议。

问题三：从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置。

问题四：作为等待修车的驾驶员，自然希望尽早知道自己大约何时能修理完毕。

能否根据修理汽车的统计情况，在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间区间。

问题五：是否还有其他比较好的改进或者管理建议？Ⅱ问题分析2.1 问题一的分析对于问题一分析服务台的利用率问题，就要求先建立一个排队论中的模型。

对此要首先检验顾客每天的数量是否符合泊松分布并进行参数估计，与此同时还需对汽车的修理时间是否符合指数分布并进行参数估计。

进而就可确定该模型的类型，进而利用模型的相关公式求出服务强度，即是服务台的利用率。

2.2 问题二的分析问题二要求汽车需排队候修的可能性，以及等待修理与正在修理的汽车平均水平，汽车需排队的可能性即求所有的服务台都在服务的概率，由第一问建立一个典型的排队论中的系统的容量无限制的模从而得出了型M/M/C，根据其相关公式求出了正在排队的顾客数Lq等待修理的平均水平；求出正在服务的顾客数得出正在修理汽车的平均水平。

2.3 问题三的分析本题要求从费用的角度研究该汽车维修点的人员和设备的最佳配置，属于排队系统最优化问题通常所说的费用是指服务机构的服务费用和顾客的等待费用，寻找最佳配置方案，就是要使汽车维修站和和顾客都获得最大利益：（1）汽车维修站方面，支付维修人员的费用最少，工作台的使用费最少；（2）顾客方面，缩短逗留时间，使等待费用最少。

根据以上分析，需建立总费用函数，求该函数的最小值即可，就可确定出最佳配置。

2.4 问题四的分析本题要求修车员在汽车侯修时即告知其大致修理完成时间，根据所给数据可通过2 分布找到一个置信度为95%的置信区间，并与第一问中的参数估计的置信区间相比较。

两者对比从而对修理完成的时间区间进行预测。

2.5 问题五的分析第三问只重在降低汽车维修站成本，而忽视了顾客的满意度，故再进一步改进时，汽车修维修站不仅需要尽量控制费用，还需在费用较省的情况下使顾客的满意度较大。

汽车修理点可以对排队系统的改善，服务时间、等候时间的缩短上进行有效的改进。

Ⅲ模型假设1、假设每个服务台的维修工人数目相等；2、假设汽车维修点一天工作8小时制；3、假设汽车服务系统的服务容量为无穷；4、所有服务台都能正常使用；5、汽车在修好后观察结束后均可正常离开，不再占用服务台资源；6、服务人员的服务质量不因服务人员的态度而改变，不影响汽车等待时间Ⅳ参数说明1 λ--- 顾客平均到达率；2 μ--- 每个工作台的平均服务率；3 ρ--- 系统的服务强度（服务机构的平均利用率）；4 c——系统中并联服务台的数目；5P--- 汽车修理点系统的空闲率；6P--- 汽车修理点系统的状态概率；n7W---顾客平均等待时间；q8L--- 正在修理的汽车平均水平，即队列长；q9 L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；Ⅴ模型的建立及求解5.1 第一问5.1.1 模型准备多服务员不等待系统（M/M/C）：（GD/∞/∞）此系统中有C个服务员，且每个服务员的速度都一样。

顾客按泊松流到达，且服务员不空时，顾客排队等候。

设单位时间内顾客平均到达λ个，单位时间内平均服务μ个顾客。

下图1即使该系统的示意图图1 单队列-C服务并联排队系统5.1.2 模型建立汽车修理的排队规则是一种“先到先服务(First—Come—First —Served，FCFS)”的规则，即先到达的顾客，优先得到服务。

对于这个汽车修理点而言，是多服务台单队排队系统，而且队列是有损失的。

通过对题中给出的2008年8月～2009年7月汽车修理数量统计表，首先找出统计表中的最大值和最小值，再按最大值和最小值等间距分组，然后统计每一组区间中数据的个数（实际次数），进而得出汽车修理数量的概率密度函数。

下图2是用matlab中作出的概率密度函数图像图2 2008年8月～2009年7月汽车修理数量概率密度函数下图三所示，我们利用matlab中的disttool工具得到了标准泊松分布的图像图3 标准泊松分布图像根据该概率密度函数图像和标准泊松概率密度函数图像的对比，我们可以看出该图像与泊松分布的概率密度函数相像，由此猜想顾客的到达人数符合泊松分布．平均到达率设为λ，故有在长为t 的时间内到达n 个顾客的概率()()t nn e n t t P λλ-=!()0210>=t N n ；，，，， 在此题中，我们取单位时间一天，则在则在一天的时间内到达n 个顾客的概率()()λλ-=e n t P nn !()1210==t N n ；，，，，5.1.3模型检验下面我们对顾客到达人数符合泊松分布进行检验，并对参数进行估计，泊松分布的检验我们利用的是kstest 函数，运行结果 H=0接受符合泊松分布的假设对该泊松分布我们利用matlab 调用了泊松分布的参数估计函数，其调用格式为[lambdahat,lambdaci]=poissfit(X,alpha);其中X 表示该泊松分布的随机变量；lambdahat 表示泊松分布中的参数lambdaci 表示泊松分布的参数的置信区间alpha 表示泊松分布的置信水平通过对该泊松分布参数进行估计，我们得到如下运行结果lambdahat =9lambdaci =8.69019.3099即在95%的置信水平下，该泊松分布的9λ=下面我们继续对汽车修理服务时间表进行了分析，同样首先找出统计表中的最大值和最小值，再按最大值和最小值等间距分组，然后统计每一组区间中数据的个数（实际次数），进而得出汽车修理数量的概率密度函数。

下图4所示，是用matlab中作出的概率密度函数图像图4 汽车修理服务时间概率密度函数下面我们利用matlab中的disttool工具得到了标准指数分布概率密度的图像，如图5所示：图5 标准指数分布概率密度根据该概率密度函数图像和标准指数概率密度函数图像的对比，我们可以看出该图像与指数分布的概率密度函数相像，猜想各服务台的服务时间服从负指数分布，各服务台的工作是相互独立的（不搞协作），单个服务台的平均服务率为μ，分布函数为()t e t F μ--=1，0≥t ，分布密度函数()t e t f μμ-=，0≥t 。

下面我们对汽车修理服务时间符合指数分布进行检验，并对参数进行估计：对该指数分布我们利用matlab 调用了指数分布的参数估计函数，其调用格式为[muhat,muci]=expfit(X,alpha); 其中X 表示该指数分布的随机变量； muhat 表示指数分布中的参数 muci 表示指数分布的参数的置信区间 alpha 表示指数分布的置信水平利用matlab 得到运行结果是 muhat = 132.7000 muci = 110.0980 163.0943根据以上的检验我们有理由相信汽车的修理服务时间在95%的置信水平下，服从负指数分布。

已设该指数分布密度函数()t e t f μμ-=，0≥t ，则根据统计学中的指数分布的参数估计中的极大似然估计可知指数分布的期望值为()μ1=t E 。

由上面matlab 运行结果得出平均一个顾客的服务时间为132.7分钟，即有()()min 7.1321==μt E 。