演绎推理-高中数学知识点讲解

合情推理和演绎推理之间的联系和差异1．合情推理和演绎推理之间的联系和差异【知识点的认识】合情推理：“合乎情理”的推理，包括归纳推理和类比推理．①归纳推理：特殊→一般，部分→整体②类比推理：特殊→特殊演绎推理：又称为“逻辑推理”，从一般性原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理．形式为：一般→特殊区别：（1）合情推理前提为真，结论可能为真，是或然性推理；演绎推理前提为真，结论亦为真，是必然性推理．（2）合情推理中的归纳、类比是“开拓型”和“发散型”的思维方法，虽然结论未必正确，但有创造性，对科学发现有帮助；演绎推理是“收敛型”或“封闭型”的思维方法，虽然结论一定正确，但不能取得突破性进展，形式化程度比合情推理高．联系：合情推理和演绎推理二者相辅相成，就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现主要靠合情推理．【命题方向】常以选择、填空题形式出现，属于基础题，注意弄清合情推理和演绎推理之间的区别和联系．例：给出下面几个推理：①由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；②由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；③由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；④由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．其中是演绎推理的序号是．分析：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，结果①是一个归纳推理，③是一个类比推理，②④是演绎推理．解答：演绎推理的模式是三段论模式，包括大前提，小前提和结论，演绎推理的特点是从一般到特殊，根据上面的特点，判断下面四个结论是否正确，由“6＝3+3，8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7…”得到结论：任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和；这是一个归纳推理，故①不选；由“三角形内角和为 180°”得到结论：直角三角形内角和为 180°；是一个演绎推理，故选②由“正方形面积为边长的平方”得到结论：正方体的体积为边长的立方；这是一个类比推理，故不选③由“a2+b2≥2ab（a，b∈R）”推得 sin2x≤1．这是一个演绎推理，故选④总上可知②④符合要求，故答案为：②④点评：本题考查演绎推理的特点，考查归纳推理和类比推理的特点，本题是一个基础题，这种题目不用计算，只要根据几个推理的特点得到正确结论即可．。

高二数学演绎推理苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 演绎推理二. 重点、难点：教学重点：演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系 教学难点：演绎推理的应用二. 基础知识与基本方法 1、知识结构⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理－－三段论2、演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理.3、合情推理与演绎推理的区别:①归纳是由特殊到一般的推理； ②类比是由特殊到特殊的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理. 4、推理的特点从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理中只要前提正确，推理形式正确，则得到的结论一定正确. 5、“三段论”是演绎推理的一般模式；包括（1）大前提——已知的一般原理； （2）小前提——所研究的特殊情况； （3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断.6、演绎推理的结构：三段论推理的依据，用集合的观点来理解:若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所有元素也都具有性质P.7、各种推理的思维模式归纳推理的思维过程为：实验、观察→概括、推广→猜测一般结论。

类比推理的思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论演绎推理的思维过程为：若M 具有性质P ，S 为M 的子集，则S 具有性质P. “三段论”可以表示为大前提：M 是P ， 小前提：S 是M ，结论：S 是P 。

【典型例题】例1. 把下列推理写成三段论的形式（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；（2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C ，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C 时，水会沸腾；（3）一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除； （4）三角函数都是周期函数，αtan 是三角函数，因此αtan 是周期函数；（5）两条直线平行，同旁内角互补。

数学演绎推理知识点总结数学演绎推理有许多重要的知识点，包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论、证明方法等等。

在本文中，我们将对这些知识点进行总结和讨论，以便读者更好地理解数学演绎推理的基本原理和方法。

一、命题逻辑命题逻辑是研究命题之间的逻辑关系的数学分支，它主要针对命题的真假和逻辑连接词的运算定理。

命题逻辑中最基本的概念是"命题"，即一个明确的陈述，它要么为真，要么为假。

常见的逻辑连接词包括"非"、"与"、"或"、"蕴含"和"双条件"等，通过这些逻辑连接词可以构造复合命题，并且对复合命题进行推理和运算。

在命题逻辑中，有一些基本的推理规则，包括化简、合取析取、假言推理、拒取实证等等。

这些推理规则可以帮助我们根据已知命题推导出新的结论，从而更深入地理解命题之间的逻辑关系。

二、谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它不仅关注命题的真假和逻辑连接词的运算，还引入了谓词和量词的概念，用于描述命题的主语和谓语之间的关系。

谓词逻辑在数学领域中具有重要的应用，特别是在集合论、代数结构和数学分析等领域。

在谓词逻辑中，有一些基本的概念和定理，包括谓词、量词、逆否命题、对偶命题、等价命题等等。

这些概念和定理可以帮助我们更好地理解命题之间的逻辑关系，以及推导出新的数学结论。

三、集合论集合论是研究集合之间的关系和运算的数学分支，它是数学演绎推理的重要组成部分。

在集合论中，有一些重要的概念和定理，包括集合的基本运算、集合的关系、集合的运算定理、集合的基数等等。

这些概念和定理对于理解数学结构、证明数学定理和解决数学问题都具有重要的作用。

在集合论中，有一些重要的推理规则，包括包含关系的推导、等价关系的推导、自然数和实数的推理等等。

这些推理规则可以帮助我们更好地理解集合之间的关系和运算，以及推导出新的数学结论。

四、证明方法证明是数学演绎推理的核心内容，它是通过一系列严格的推理步骤和推理规则来验证数学结论的正确性。

数学人教B选修2-2第二章2．1.2 演绎推理1．掌握演绎推理的基本模式，特别是三段论模式，并学会运用这些推理模式进行推理．2．了解合情推理、演绎推理之间的联系和区别．1．演绎推理根据概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，叫做________．它的特征是：当前提为____时，结论______为真．演绎推理的特点：(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它的创造性较少，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【做一做1】演绎推理是()．A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理2．演绎推理的四种推理规则(1)假言推理：用符号表示这种推理规则就是“如果p q，p真，则q真”．假言推理的本质是，通过验证结论的充分条件为真，判断结论为真．(2)三段论推理：用符号表示这种推理规则就是“M是P，S是M，所以______”．(3)传递性关系推理：用符号表示推理规则是“如果aRb，bRc，则______”，其中“R”表示具有传递性的关系。

(4)完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理．三段论推理是演绎推理的一般模式，在数学证明中，以上四种演绎推理规则是经常用到的，一道证明题，往往要综合应用这些推理规则．如果违背了这些规则，那么证明就是错误的．【做一做2－1】下面几种推理过程是演绎推理的是()．A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D．在数列{a n}中a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式【做一做2－2】“因为a⊥α，b⊥α，所以a∥b，又因为b∥c，所以a∥c.”以上推理的两个步骤分别遵循的推理规则是()．A．第一步遵循假言推理，第二步遵循传递性关系推理B．第一步遵循三段论推理，第二步遵循假言推理C．第一步遵循三段论推理，第二步遵循传递性关系推理D．第一步遵循传递性关系推理，第二步遵循三段论推理合情推理与演绎推理有哪些区别与联系？相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．在数学中，演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．题型一假言推理【例题1】设数列{a n}为等差数列，求证：以b n＝a1＋a2＋…＋a nn为通项的数列{b n}为等差数列．分析：由{a n}为等差数列，推证{b n}为等差数列，只要证得b n＋1－b n＝d为常数即可．反思：假言推理的规则为“如果p q，p真，则q为真”．题型二三段论推理【例题2】已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证MN∥平面ACD.分析：应用线面平行的判定定理证明．反思：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．题型三传递性关系推理【例题3】设a，b，c为正实数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＞a＋b＋c.分析：应用均值不等式找出a2＋b2与a＋b，b2＋c2与b＋c，a2＋c2与a＋c的关系，再应用同向不等式相加法则可证明．反思：传递性关系推理论证时必须保证各量间的关系能正确传递．题型四完全归纳推理【例题4】已知函数f(x)＝(12x－1＋12)·x3.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)＞0.反思：完全归纳推理必须把所有情况都考虑在内．完全归纳推理不同于归纳推理，后者仅仅证明了几种特殊情况，它不能说明结论的正确性，而前者则把所有情况都作了证明．题型五易错辨析易错点：在应用三段论推理证明问题时，应明确什么是问题中的大前提和小前提．在推理的过程中，大前提、小前提和推理形式之一错误，都可能导致结论错误．【例题5】如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.错证：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，所以AD＞BD，于是∠ACD＞∠BCD.1如图，因为AB ∥CD ，所以∠1＝∠2，又因为∠2＝∠3，所以∠1＝∠3.所用的推理规则为( )．A ．三段论推理、假言推理B ．三段论推理、传递性关系推理C ．三段论推理、完全归纳推理D ．三段论推理、三段论推理2“因指数函数y ＝a x 是减函数(大前提)，且y ＝3x 是指数函数(小前提)，所以y ＝3x 是减函数(结论)．”上面推理的错误是( )．A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3下面的推理是传递性关系推理的是( )．A ．在同一三角形中若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC 中，AB ＝AC ，所以在△ABC 中，∠B ＝∠CB ．因为2是偶数，所以2是素数C ．因为a ∥b ，b ∥c ，所以a ∥cD ．因为2是有理数或无理数，且2不是有理数，所以2是无理数4因为当a ＞0时，|a |＞0；当a ＝0时，|a |＝0；当a ＜0时，|a |＞0，所以当a 为实数时，|a |≥0.此推理过程运用的是演绎推理中的__________推理．5关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )是增函数；当x ＜0时，f (x )为减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④当－1＜x ＜0或x ＞1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是__________．答案：基础知识·梳理1．演绎推理 真 必然【做一做1】C2．(2)S 是P (3)aRc【做一做2－1】A 选项D 是归纳推理，选项C 是类比推理，选项B 既不是合情推理也不是演绎推理．【做一做2－2】C典型例题·领悟【例题1】证明：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，因为b n －b n －1＝n (a 1＋a n )2·1n －(n －1)(a 1＋a n －1)2·1n －1＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12 ＝d 2(n ≥2)，而d 2是个常数，所以数列{b n }为等差数列． 【例题2】证明：如图，连结BM ，BN ，并延长，分别交AD ，DC 于P ，Q 两点，连结PQ .因为M ，N 分别是△ABD 和△BCD 的重心，所以P ，Q 分别是AD ，DC 的中点，又因为BM MP ＝2＝BN NQ，所以MN ∥PQ .又因为MN ⃘平面ADC ，PQ ⊆平面ADC ，所以MN ∥平面ACD .【例题3】证明：因为a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ，c 为正实数，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.所以a 2＋b 2≥(a ＋b )22.所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )．同理a 2＋c 2≥22(a ＋c ).b 2＋c 2≥22(b ＋c )，所以有a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(2a ＋2b ＋2c )＝2(a ＋b ＋c )．即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．又2(a ＋b ＋c )＞a ＋b ＋c ，所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2＞a ＋b ＋c .【例题4】(1)解：函数f (x )的定义域为2x －1≠0，即{x |x ≠0}，f (－x )－f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12(－x )3－⎝⎛⎭⎫12x －1＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12(－x )3－⎝⎛⎭⎫12x －1＋12x 3＝2x2x －1·x 3－12x 3－12x －1x 3－12x 3 ＝x 3－x 3＝0.所以f (－x )＝f (x )．所以f (x )是偶函数．(2)证明：因为x ≠0，所以当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，x 3＞0，所以f (x )＞0；当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＞0，所以f (x )＞0.【例题5】错因分析：错证中由AD ＞BD 得出∠ACD ＞∠BCD 是错误的，因为只有在同一个三角形中才有大边所对的角较大这一结论成立．正确证法：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，所以∠ACD ＋∠A ＝∠BCD ＋∠B ＝90°.又AC ＞BC ，所以∠B ＞∠A ，于是∠ACD ＞∠BCD .随堂练习·巩固1．B 本题前面证∠1＝∠2用的是三段论推理，后半部分证∠1＝∠3用的是传递性关系推理．2．A y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性与a 有关，若a ＞1，则为增函数；若0＜a ＜1，则为减函数．3．C4．完全归纳5．①③④ 显然f (－x )＝f (x )，∴其图象关于y 轴对称．当x ＞0时，f (x )＝lg x 2＋1x＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋1x . ∵φ(x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝lg 2.∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．。

演绎推理知识点总结一、命题与命题关系命题是对事实或观点的陈述，它可以是真也可以是假。

在演绎推理中，我们会用到不同的命题关系来进行推理。

命题关系包括等价关系、包含关系、矛盾关系和反对关系。

等价关系是指两个命题的真值相等，包含关系是指一个命题的真值包含另一个命题的真值，矛盾关系是指两个命题的真值互相排斥，反对关系是指两个命题的真值不能同时为真。

二、概念和判断概念是指一类事物的共同特征的抽象表现，而判断是对事物进行断言或评价的认识形式。

在演绎推理中，我们需要运用概念和判断的知识来进行合理的推理。

概念包括分布概念和量词概念，判断包括肯定判断和否定判断。

三、三段论三段论是演绎推理的重要形式之一，它由前提、中项和结论三部分组成。

三段论又分为假言三段论和名言三段论。

假言三段论是指由前提中的假言命题推出结论的推理形式，名言三段论是指由前提中的名言命题推出结论的推理形式。

在三段论中，需要注意中项是否充分，以及结论是否必然。

四、形式逻辑形式逻辑是演绎推理中的一种具体形式，它主要包括范畴逻辑和命题逻辑。

范畴逻辑是研究范畴与范畴之间的关系，它以主观概念和论题为研究对象，通过范畴之间的关系来进行推理。

命题逻辑是研究命题与命题之间的关系，它以命题为研究对象，通过命题之间的关系来进行推理。

在形式逻辑中，我们需要掌握量词的运用、联结词的排列规则以及等价变换的方法。

五、示诸演绎示诸演绎是一种演绎推理的特殊形式，它是指通过多个已知前提来推出一个结论。

在示诸演绎中，我们需要使用多段论的方法，将多个前提逐一进行推理，最终得出结论。

示诸演绎在现实生活中应用广泛，尤其在科学研究和社会分析中有重要价值。

以上就是演绎推理的知识点总结，希望能对读者有所帮助。

演绎推理是一种重要的思维方式，它有助于我们在日常生活和学习工作中更加清晰、准确地进行分析和判断。

通过深入理解演绎推理的原理和方法，我们可以提高自己的逻辑思维能力，更好地应对各种问题和挑战。

⾼中数学推理知识点总结 ⾼中数学的推理题往往在数学考试当中占据很⼤部分的分数，但是很多学⽣也学习不好，知识点不明⽩，该怎么办?⼩编在此整理了相关资料，希望能帮助到您。

⾼中数学推理知识点1、归纳推理：顾名思义，⼀个归纳的过程。

⽐如，⼀个篮⼦⾥有苹果梨葡萄草莓等等，那么你发现苹果是⽔果、梨是⽔果、葡萄是⽔果、草莓是⽔果，然后你猜想：篮⼦⾥装的是⽔果。

这个推理是由特殊推到⼀般的过程，可能正确也可能不正确，如果篮⼦⾥确实都是⽔果，那么你就猜对了;如果篮⼦⾥有⼀根胡萝⼘，那你就猜错了。

所以才会有证明。

2、类⽐推理：同样顾名思义，⼀个类⽐的过程。

例如，你知道苹果⽔分多⼜甜、梨⽔分多⼜甜、葡萄⽔分多⼜甜，所以你推理出同样作为⽔果，⾹蕉⽔分多⼜甜，那这个结论显然是不对的，⾹蕉并没有什么⽔分。

但如果你推导出荔枝⽔分多⼜甜，这就是正确的。

(这个例⼦中指的都是正常⽔果)显然，这个推理⽅式是⼀个由特殊推特殊的过程，也不⼀定正确。

3、演绎推理：⼀般推特殊，⼀定对。

例如，f(x)=1，那么f(1)=1 ⾼中数学证明知识点 1、综合法：即我们正常的证明过程，由条件⼀直往下推。

例如，1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量，证明：2菠萝重量=160葡萄重量。

证明：因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 ____________所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量 ____________所以2菠萝重量=160葡萄重量。

2、分析法：由结论推出等价结论，去证明这个等价结论成⽴。

同样上⾯的例⼦的证明：要证明2菠萝重量=160葡萄重量，即证明2*1菠萝重量=2*80葡萄重量，即证明1菠萝重量=80葡萄重量。

因为1菠萝的重量=4苹果重量，1苹果重量=20葡萄重量 所以1菠萝的重量=4*20葡萄重量=80葡萄重量，原式即证。

3、反证法：先假设结论相反，然后根据已知推导，最后发现和已知不符，收!这是⼀个战胜⾃⼰的过程! 4、数学归纳法： 解题过程： A.命题在n=1(或n0)时成⽴，这是递推的基础; B.假设在n=k时命题成⽴; C.证明n=k+1时命题也成⽴ ⾼中数学推理与证明 ⼀、公理、定理、推论、逆定理： 1.公认的真命题叫做公理。