高中数学等差数列前n项求和

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

等差数列前n 项和公式的几个性质和与应用 赵志远等差数列是高中数学的一项重要内容，其核心是通项公式与前n 项和公式。

透彻理解并掌握他们的相关性，能使我们的解题简洁方便。

现就等差数列前n 项和的几个性质与应用略举几个例子供大家参考。

设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，公差为d ，*.N n m ∈ （ n s = = ）性质1：m 2mm 3m 2m S S S S S --，，，成等差。

（请自己尝试证明） 即：性质2：n n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列。

（请自己尝试证明）性质3： 项数n 是偶数，奇数时的结论如下：（项数为n 项）①当()*2N k k n ∈=时，()n 21k k k S S k a a +==+②当()*12N k k n ∈-=时，()n 212121k k S S k a --==- （请自己尝试证明） （另外注意等差数列的等和性质：若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+（其中m 、n 、p 、*∈N q ）有着广泛应用，应用此公式往往可使运算简便）例1 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，且100S 10=，10100=S ，试求110S 。

例2 已知}a {n 是等差数列，前m 项和为m S =30，前2m 项和为m S 2=100，求前3m 项和m S 3。

例3：两个等差数列{}{}n n b a ,，且3272121++=++++++n n b b b a a a n n ，求55b a 。

例4：已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若9535=a a ，求59S S例5在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.例6 在等差数列}a {n 中，12a 3=，0S 12>，0S 13<。

第2课时　等差数列前n 项和的性质及应用学习目标　1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题．知识点一　等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.思考　在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？答案　中间两项，中间项．知识点二　等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n .当d ≠0时，S n 关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组Error!确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组Error!确定．(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 7＋a 8等于( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案　B解析　∵a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，由等差数列的性质得a 5＋a 6＝6，a 7＋a 8＝8.2．已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( )A.98 B.94C ．1 D ．0答案　C解析　由a 4＝a 2＋(4－2)d ，得－2＝0＋2d ，故d ＝－1，a 1＝1，故S n ＝n ＋n (n －1)2·(－1)＝－n 22＋3n2＝－12(n －32)2＋98.所以当n ＝1或2时，S n 的最大值为1.3．(多选)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为( )A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案　BC解析　由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24.∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.答案　2 020解析　由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S nn ＝S 11＋(n －1)d ＝n －2 019.故S 2 0202 020＝2 020－2 019＝1，∴S 2 020＝2 020.一、等差数列前n 项和的性质例1　(1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案　2解析　由Error!得Error!所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .解　方法一　在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二　在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m2m ＝S mm ＋S 3m3m.即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟　利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1　(1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．答案　－4解析　设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28，∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②由①②得d ＝－4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解　S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110.二、等差数列前n 项和的最值问题例2　在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解　方法一　因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二　同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由Error!得Error!又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三　因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四　设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n＝13时，S n取得最大值．由题意得Error!解得Error!所以S n＝－n2＋26n，所以S13＝169，即S n的最大值为169.反思感悟　(1)等差数列前n项和S n最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则S n存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则S n存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和S n最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2　在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．解　(1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列{a n}中，a10＝18，S5＝－15，所以Error!解得a1＝－9，d＝3，所以a n＝3n－12，n∈N*.(2)因为a1＝－9，d＝3，a n＝3n－12，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12(3n2－21n)＝32(n－7 2)2－1478，所以当n＝3或4时，前n项的和S n取得最小值S3＝S4＝－18.三、求数列{|a n|}的前n项和例3　数列{a n}的前n项和S n＝100n－n2(n∈N*)．(1)判断{a n}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和．解　(1)当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2.②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝Error!n ∈N *.反思感悟　已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3　在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解　(1)由Error!得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2(－32×172＋1032×17)－(－32n 2＋1032n)＝32n 2－1032n ＋884.∴S n ＝Error!等差数列前n 项和公式的实际应用典例　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升]　(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．1．已知数列{a n}满足a n＝26－2n，则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ) A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案　D解析　∵a n＝26－2n，∴a n－a n－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{a n}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴S n＝24n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252)2＋6254.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n最大．2．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A．0.5,0.5 B．0.5,1C．0.5,2 D．1,0.5答案　A解析　由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋10×92×0.5，得a1＝0.5.3．(多选)设{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案　ABD解析　∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．4．已知在等差数列{a n}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n 的值是________．答案　6或7解析　∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正．∴S n 取得最小值时的n 为6或7.5．已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________.答案　5解析　由题意得Error!故S 偶＝192，S 奇＝162，所以6d ＝S 偶－S 奇＝30，故d ＝5.1．知识清单：(1)等差数列前n 项和的一般性质．(2)等差数列前n 项和的函数性质．2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( )A ．10B ．100C ．110D ．120答案　B解析　∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴{S n n }也是等差数列且首项为S 11＝1.又S 88－S 66＝2，∴{S n n }的公差是1，∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案　C解析　∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数 B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数 D ．无最大值和最小值答案　B解析　易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案　AB 解析　∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确；S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确；数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019 D ．2 020答案　D解析　因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，S k＝S2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k2，解得k＝2 020.6．已知在等差数列{a n}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案　99解析　由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.7．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案　5解析　∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为________．答案　6解析　由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图象的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n取得最小值时n的值为6.9．已知在等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一　a1＝9，d＝－2，S n＝9n＋n(n－1)2·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，S n取得最大值．方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{a n}是递减数列．令a n≥0，则11－2n≥0，解得n≤11 2 .∵n∈N*，∴当n≤5时，a n>0；当n≥6时，a n<0.∴当n＝5时，S n取得最大值．10．在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.解　(1)∵a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，∴a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，∴{a n}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，a n＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝8n＋n(n－1)2×(－2)＝9n－n2.∵a n＝10－2n，令a n＝0，得n＝5.当n>5时，a n<0；当n＝5时，a n＝0；当n<5时，a n>0.∴当n≤5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝9n－n2.当n>5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋a n)＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，∴T n＝Error!11．若数列{a n}的前n项和是S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( ) A．15 B．35 C．66 D．100答案　C解析　易得a n ＝Error!|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案　B解析　设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则{S n n }是公差为d2的等差数列．因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案　4178解析　因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________.答案　310解析　设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列．所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.所以S12＝6k，S16＝10k.S8S16＝3 10.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案　11　7解析　设等差数列{a n}的项数为2n＋1(n∈N*)，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n(a2＋a2n)2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1<2,6S n＝(a n＋1)(a n＋2)．(1)求证：{a n}是等差数列；(2)令b n＝3a n a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1.证明　(1)因为6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，所以当n≥2时，6S n－1＝(a n－1＋1)(a n－1＋2)，两式相减，得到6a n＝(a2n＋3a n＋2)－(a2n－1＋3a n－1＋2)，整理得(a n－a n－1)(a n＋a n－1)＝3(a n＋a n－1)，又因为a n>0，所以a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是公差为3的等差数列．(2)当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，因为a1<2，所以a1＝1，由(1)可知a n－a n－1＝3，即公差d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，所以b n＝3a n a n＋1＝3(3n－2)(3n＋1)＝13n－2－13n＋1，所以T n＝1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝1－13n＋1<1.。

2.2 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和内 容 标 准学 科 素 养 1.理解等差数列的前n 项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n 项和公式,会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.强化图形应用 严格公式代换 抽象数学模型授课提示：对应学生用书第11页[基础认识]知识点一 等差数列的前n 项和公式 预习教材P 15－18,思考并完成以下问题1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下,高斯是怎样求1＋2＋3＋…＋100的结果的？ 提示：对于这个问题,著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果,当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100,把加数倒序写一遍S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101,∴S＝50×101＝5 050. 2．你能用高斯的计算方法求1＋2＋3…＋n 的值吗？ 提示：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n,① 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1,②两式相加得2S n ＝(1＋n)＋(2＋n －1)＋…＋(n ＋1)＝n(n ＋1), ∴S n ＝n （n ＋1）2.3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？ 提示：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋[a 1＋(n －2)d]＋[a 1＋(n －1)d], S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d)＋(a n －2d)＋…＋[a n －(n －2)d]＋[a n －(n －1)d], ∴2S n ＝(a 1＋a n )×n , ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.③4．问题(2)中求出的S n 是已知等差数列首项、末项与项数时求前n 项和S n 的公式,如果用a n ＝a 1＋(n －1)d 替换末项,问题3中求出的S n 会变形为怎样的形式呢？ 提示：S n ＝na 1＋12n(n －1)d.知识点二 a 1n n 思考并完成以下问题(1)两个公式共涉及a 1,d,n,a n 及S n 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n 项和．(2)依据方程的思想,在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”． 知识点三 等差数列前n 项和的最值 思考并完成以下问题等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1＞0,d ＜0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值． (2)若a 1＜0,d ＞0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1＞0,d ＞0,则{S n }是递增数列,S 1是{S n }的最小值；若a 1＜0,d ＜0,则{S n }是递减数列,S 1是{S n }的最大值．[自我检测]1．在等差数列{a n }中,若其前13项的和S 13＝52,则a 7为( ) A ．4 B ．3 C ．6D ．12解析：∵在等差数列{a n }中,其前13项的和S 13＝52, ∴S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＝52,解得a 7＝4.故选A.答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若7a 5＋5a 9＝0,且a 9＞a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由7a 5＋5a 9＝0得a 1d ＝－173,又a 9＞a 5,所以d ＞0,a 1＜0,因为函数y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图像的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376,取最接近的整数6,故S n 取最小值时n 的值为6.答案：B3．在等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＋a 5＝14,其前n 项和S n ＝100,则n ＝________．解析：设等差数列的公差为d,则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14,∴d＝2.则S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.令S n ＝100,即n 2＝100. 解得n ＝10或n ＝－10(舍)． 答案：10授课提示：对应学生用书第12页 探究一 等差数列前n 项和公式的基本应用[P17练习1第3题]在等差数列{a n }中, (1)已知S 8＝48,S 12＝168,求a 1和d ； (2)已知a 6＝10,S 5＝5,求a 8和S 8. (3)已知a 3＋a 15＝40,求S 17. 解析：设{a n }中首项为a 1,公差为d,(1)⎩⎪⎨⎪⎧S 8＝8a 1＋28d ＝48S 12＝12a 1＋66d ＝168,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝10S 5＝5a 1＋10d ＝5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3. ∴a 8＝a 1＋7d ＝－5＋21＝16, S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋84＝44.(3)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.[例1] 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？[解析] 法一：由题意知,S 10＝310, S 20＝1 220,将它们代入公式S n ＝na 1＋n （n －1）2d,得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n×4＋n （n －1）2×6＝3n 2＋n.法二：∵S 10＝10（a 1＋a 10）2＝310,∴a 1＋a 10＝62,①∵S 20＝20（a 1＋a 20）2＝1 220,∴a 1＋a 20＝122,② ②－①,得,a 20－a 10＝60, ∴10d＝60,∴d＝6,a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝3n 2＋n.方法技巧 两种思想方法在等差数列前n 项和公式中的应用(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解．(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用． 跟踪探究 1.(2019·珠海市模拟)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n ,若a 2＋a 5＋a 8＝π4,则sin S 9＝( ) A.12 B.22 C ．－12D ．－22解析：∵a 2＋a 5＋a 8＝π4,a 2＋a 8＝2a 5＝a 1＋a 9,∴3a 5＝π4,a 5＝π12,∴a 1＋a 9＝π6,∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝92×π6＝3π4,sin S 9＝22.故选B.答案：B探究二 等差数列前n 项和的最值问题[P18练习2第1题]已知数列{2n －11},那么S n 的最小值是( ) A ．S 1 B ．S 5 C ．S 6D ．S 11解析：由a n ＝2n －11,令a n ≤0,得n≤5.5,又∵n∈N ＋, 所以该数列前5项均为负数,从第6项开始为正数, 故S n 的最小值为S 5. 答案：B[例2] 在等差数列{a n }中,a 10＝18,前5项的和S 5＝－15, (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值,并指出何时取最小值． [解题指南] (1)根据题意列关于a 1和d 的方程（组）→解出a 1和d →写出a n 的表达式(2)法一：写出S n 的表达式→分析S n 的最值 法二：分析{a n }中项的变化规律→确定S n 最小时n 的值→求S n[解析] (1)设公差为d,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，则a n ＝3n －12.(2)法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝12(3n 2－21n)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478,所以n ＝3或4时,前n 项的和S n 取得最小值为－18. 法二：要使数列{a n }前n 项的和取得最小值,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －12≤0，a n ＋1＝3（n ＋1）－12≥0，得3≤n≤4,又n∈N ＋,所以n ＝3或4,S 3＝S 4＝－18.所以数列{a n }前n 项的和取得最小值为－18.方法技巧 求等差数列前n 项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列{a n }中,当a 1＞0,d ＜0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定．当a 1＜0,d ＞0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n,若d≠0,则从二次函数的角度看：当d ＞0时,S n 有最小值；当d ＜0时,S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值．跟踪探究 2.在等差数列{a n }中,若a 1＝25,且S 9＝S 17,求S n 的最大值． 解析：法一：∵S 9＝S 17,a 1＝25,∴9×25＋9（9－1）2d ＝17×25＋17（17－1）2d,解得d ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2（n ＋1）＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，又∵n∈N ＋,∴当n ＝13时,S n 有最大值169. 法二：同方法一,求出公差d ＝－2. 设S n ＝An 2＋Bn. ∵S 9＝S 17,∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13,且开口方向向下,∴当n ＝13时,S n 取得最大值169. 探究三 等差数列前n 项和的实际应用[阅读教材P18例11及解答]九江抗洪指挥部接到预报,24 h 后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h,但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调．每隔20 min 能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h 内能否构筑成第二道防线？ 题型：等差数列前n 项和的实际应用． 方法步骤：①从实际问题中抽象出等差数列． ②确定数列首项a 1及公差d. ③求出等差数列的前n 项和． ④判断并得出结论．[例3] 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件,第二天售出35件,第三天售出50件,以后每天售出的件数分别递增15件,直到4月12号日销售量达到最大,然后,每天售出的件数分别递减10件．(1)记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n,1≤n≤30,求a n 与n 的关系； (2)求4月份该款服装的总销售量．[解题指南] 解答本题可先确定a n 与n 的关系,然后用等差数列的前n 项和公式求总销量．[解析] (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{a n }．由题意知,数列a 1,a 2,…,a 10是首项为20,公差为15的等差数列,所以a 9＝15n ＋5(1≤n≤12且n∈N ＋)． 而a 13,a 14,a 15,…a 30是首项为a 13＝a 12－10＝175, 公差为－10的等差数列．所以a n ＝175＋(n －13)×(－10)＝－10n ＋305(13≤n≤30且n∈N ＋)．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n ＋5，1≤n≤12且n∈N ＋，－10n ＋305，13≤n≤30且n∈N ＋.(2)4月份该款服装的总销售量为12（a 1＋a 12）2＋18a 13＋（30－12）×（30－12－1）×（－10）2＝12×（20＋185）2＋18×175＋18×17×（－10）2＝2 850(件)．延伸探究 本例中,条件不变,求“按规律,当该商场销售此服装超过1 300件时,社会上就开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于110件时,则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．” 解析：4月1日至4月12日的销售总量为 12（a 1＋a 12）2＝12×（20＋185）2＝1 230＜1 300,所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行．4月1日至4月13日的销售总量为1 230＋a 13＝1 230＋175＝1 405＞1 300, 故4月13日该款服装在社会上已开始流行． 由－10n ＋305＜110,得n ＞392,所以第20天该款服装在社会上不再流行． 所以该款服装在社会上流行没有超过10天． 方法技巧 解应用题的基本程序跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h 开始,每隔2 s 速度提高20 km/h.如果测试时间是30 s,测试距离是________km. 解析：由于每隔2 s 速度提高20 km/h,所以该赛车在每个2 s 内的速度构成等差数列{a n },且a 1＝10,d ＝20. 测试时间是30 s,则最后一个2 s 内的速度是a 15,测试距离S ＝(a 1＋a 2＋…＋a 15)×23 600＝(15×10＋15×142×20)×23 600＝1.25(km)．答案：1.25授课提示：对应学生用书第14页[课后小结](1)推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到．(2)等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n,d 五个量．若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用： 若m ＋n ＝p ＋q,则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n,m,p,q∈N ＋)； 若m ＋n ＝2p,则a n ＋a m ＝2a p .(3)求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法有两种： ①用二次函数的性质求解；②明确数列中的正项与负项,用负项之和最小,正项之和最大来解决． (4)解决数列应用题时应分清： ①是否为等差数列问题； ②是通项问题还是求和问题．[素养培优]忽略数列中为零的项致错设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1＞0,S 11＝S 18,则当n 为何值时S n 最大？易错分析 在求解等差数列前n 项和S n 的最值时,容易忽略数列中为零的项而致错．利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0)求n 的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错,考查图形应用的学科素养． 自我纠正 法一：由S 11＝S 18 将11a 1＋55d ＝18a 1＋153d. 即a 1＝－14d ＞0,所以d ＜0,构建不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）d≥0a n ＋1＝a 1＋nd≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧－14d ＋（n －1）d≥0，－14d ＋nd≤0 解得14≤n≤15.故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大．法二：由S 11＝S 18知a 1＝－14d.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－14dn ＋n （n －1）2 d＝d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2922－8418d,由于n∈N ＋,结合S n 对应的二次函数的图像知, 当n ＝14或n ＝15时S n 最大．法三：由S 11＝S 18知,a 12＋a 13＋a 14＋a 15＋a 16＋a 17＋a 18＝0,即7a 15＝0, 所以a 15＝0,又a 1＞0,所以d ＜0. 故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大.。

4.2.2 等差数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点、难点) 2．会用裂项相消法求和．(重点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学数列在我们日常生活中有着广泛的应用，比如仓库中堆放的钢管，想要知道共有多少个，可取同样的钢管反位置摆放，这样就可以知道有多少个．你能找到其中所应用的数学原理吗？1．数列{|a n |}的前n 项和问题根据通项公式判断数列{a n }是先正后负，还是先负后正，在正、负分界点处分两段，分别去掉绝对值符号，转化为等差数列的求和问题． 2．等差数列前n 项和的性质(1)设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(2)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)等差数列的前n 项和S n 一定是关于n 的二次函数．(×)(2)若无穷等差数列{a n }的公差d >0，则其前n 项和S n 不存在最大值．(√) (3)若两个等差数列的前n 项和分别为A n ，B n ，则一定有a n b n ＝A nB n.(×)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝______，S n 的最小值为______.0 －10 解析：a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，即a 1＋2d ＝－2，解得a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－9n2.当n ＝4或5时，S n 最小，为－10.2．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且a 7b 7＝23，则S 13T 13＝________.23 解析：S 13T 13＝(a 1＋a 13)×132(b 1＋b 13)×132＝13a 713b 7＝a 7b 7＝23. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大． 10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0， 即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大．4．已知等差数列{a n }，a n ＝2n －9，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.52 解析：由a n ≥0得n ≥4.5，∴前4项为负，以后各项为正，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋…＋a 10)＝－S 4＋S 10－S 4＝S 10－2S 4＝20－2×(－16)＝52.【例1】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104. ∵a 1＝101也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104. 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043.即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n .②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. ∴T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35.已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤： (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：∵数列{a n }的公差d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)17－1＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63. 令a n <0，即3n －63<0，解得n <21.∴数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数． 设S n ，S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和， 当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋n (n －1)2×3＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋n (n －1)2×3－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和S ′n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【例2】等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，数列{a n }前多少项和最大？解：(方法一)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.从而S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.故前13项之和最大． (方法二)由方法一得d ＝－2. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，∴当n ＝13时，S n 有最大值．求等差数列前n 项和S n 最值的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)运用二次函数的图象求最值．1．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17A 解析：∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.【例3】等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为其前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n .解：∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2，∴前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴1S n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).把数列的通项公式拆成两项之差，即数列的每一项可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法．常见的拆项公式(其中n ∈N *)： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④若等差数列{a n }的公差为d ， 则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. ⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k＝________.2nn ＋1解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d . 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋4×32d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，裂项可得1S k ＝2k (k ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，所以∑nk ＝11S k＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.探究题1 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且S n T n ＝2n ＋13n －2，求a 9b 9的值．解：∵S 2n －1＝2n －12(a 1＋a 2n －1)＝(2n －1)a n ，T 2n －1＝2n －12(b 1＋b 2n －1)＝(2n －1)b n ， ∴a 9b 9＝S 2×9－1T 2×9－1＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝57. 探究题2 已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为________．11 解析：∵a 7a 6<－1，且S n 有最大值，∴a 6>0，a 7<0且a 6＋a 7<0， ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)<0，∴使S n >0的n 的最大值为11.探究题3 等差数列{a n }中，S m ＝n ，S n ＝m ，求S m ＋n . 解：设等差数列{a n }的公差为d . ∵S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n ，①S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝m ，②①－②得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2d ＝n －m ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫a 1＋m ＋n －12d＝－(m ＋n )．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12D ．13C 解析：因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零．又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 2＋a 8＝－6，则S n 的最小值等于( ) A ．－34 B ．－36 C ．－6D ．6B 解析：设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＋a 8＝－6，∴2a 1＋8d ＝－6. 又a 1＝－11，∴d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴当n ＝6时，S n 有最小值S 6＝－36.故选B ．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．42 B 解析：由于{a n }是等差数列，故S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，即2(10－4)＝4＋S 6－10，解得S 6＝18.故选B ．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5C 解析：因为S 4＝2(a 2＋a 3)≥10，所以a 2＋a 3≥5.又S 5＝5a 3≤15，所以a 3≤3.而a 4＝3a 3－(a 2＋a 3)，故a 4≤4，当且仅当a 2＝2，a 3＝3时等号成立，所以a 4的最大值为4.故选C ． 4．已知等差数列{a n }的公差为1，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，试求a 3＋a 6＋…＋a 99的值． 解：由题意，等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－33×2d －33d ＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－99， 所以a 3＋a 6＋…＋a 99＝102＋993＝67.5．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发．据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t 天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止．(1)设11月n 日当天新感染人数为a n ，求{a n }的通项公式(用t 表示)；(2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8 670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数． 解：(1)由题意得， 当n ≤t 时是公差为50，首项为20的等差数列， 此时a n ＝20＋50(n －1)＝50n －30(1≤n ≤t )．当n ≥t ＋1时是公差为－30，首项为50t －30的等差数列，此时a n ＝50t －30－30(n －t ) ＝－30n ＋80t －30(t ＋1≤n ≤30)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50n －30，n ≤t ，－30n ＋80t －30，t ＋1≤n ≤30，n ∈N *.(2)由(1)可知，前t 日患者共有S t ＝(20＋50t －30)t 2＝(25t 2－5t )人．又第t ＋1日有－30(t ＋1)＋80t －30＝(50t －60)人，第30日有－30×30＋80t －30＝(80t －930)人．故t ＋1日至第30日共30－t 天的时间里共有S ′t ＝(50t －60＋80t －930)(30－t )2＝－65t 2＋2 445t －14 850.故1到30日共有S t ＋S ′t ＝25t 2－5t －65t 2＋2 445t －14 850＝－40t 2＋2 440t －14 850. 故－40t 2＋2 440t －14 850＝8 670⇒t 2－61t ＋588＝0即(t －12)(t －49)＝0，又1≤t ≤30 ，故t ＝12.当天新增患病人数为50×12－30＝570.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人．1．已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤 (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负；(3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式． 2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．利用裂项相消法求数列前n 项和．课时分层作业(六)等差数列的前n 项和公式(第2课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 求数列{|a n |}的前n 项和1．(5分)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 15|＝( ) A ．139 B ．153 C ．144D ．178B 解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，d ＝2.∴S n ＝n 2－6n .∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a 15＝－S 3＋(S 15－S 3)＝S 15－2S 3＝153.2.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值为________． 60 解析：∵a 1>0，a 10·a 11<0， ∴d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－(a 11＋a 12＋…＋a 18)＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 知识点2 等差数列前n 项和的最值问题3．(5分)已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( ) A ．98B ．94C ．1D ．0C 解析：∵a 2＝0，a 4＝－2，∴d ＝－1，∴a n ＝2－n .∴S n 的最大值为S 1＝S 2＝1.4．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝26－2n ，若使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( ) A ．12 B ．13 C ．12或13D ．14C 解析：由a n ≥0，得n ≤13，∴S 13＝S 12最大.5.(5分)已知等差数列{a n }，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得其前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．6或7 解析：∵d >0，∴|a 5|＝|a 9|可化为－a 5＝a 9. 即a 5＋a 9＝2a 7＝0.∴a 7＝0，∴a 6<0，a 8>0. ∴S 6＝S 7最小．知识点3 利用裂项相消法求数列的和 6．(5分)在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1(n ∈N *)．又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n 为(A) A ．4n n ＋1B ．2n n ＋1 C ．n 2n －1D ．2n2n ＋1得分7.(5分)设数列{a n }满足对任意的n ∈N *，P n (n ，a n )满足P n P n ＋1＝(1,2)，且a 1＋a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和S n 为________． n2n ＋1解析：∵P n (n ，a n )，P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，∴a n ＋1－a n ＝2. ∴{a n }为等差数列，d ＝2.∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝4，∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. ∵1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝ 12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.知识点4 等差数列前n 项和性质的应用8．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，则a 5b 5的值为( ) A ．2 B ．72C ．4D ．5C 解析：∵两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，∴a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝A 9B 9＝5×9＋39＋3＝4.故选C ． 9．(5分)已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．第8项C 解析：∵S 13<0，S 12>0，∴d <0. ∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.∵S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0且|a 6|>|a 7|. ∴a 7的绝对值最小.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)(多选)设{a n }是等差数列，S n 是前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则( ) A ．d >0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值BD 解析：由S 5<S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5<a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6， ∴a 6>0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0. 同理由S 7>S 8可得a 8<0.若S 9>S 5，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0， ∴2(a 7＋a 8)>0.由题设a 7＝0，a 8<0，显然A ，C 项是错误的．11．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个D 解析：∵a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1.当n ＋1＝2,3,4,6,12，即n ＝1,2,3,5,11时，a nb n是整数．12．(5分)(多选)已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7BC 解析：∵在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，∴a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0.又d <0，∴a 5>0，a 7<0，∴使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是5或6.13.(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为________．10 解析：由S 19>0，S 20<0，可知{a n }为递减的等差数列．设其公差为d ，则d <0.由S 19＝19×(a 1＋a 19)2>0，S 20＝20×(a 1＋a 20)2<0，得a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，所以a 10>0，a 11<0.所以使S n 取得最大值的n 为10.14.(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n －1，则数列{|a n |}的前n 项和为________．n 2＋2n 解析：由题可知数列{a n }的各项均为负值，设数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则有S n ＝－a 1－a 2－…－a n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n .15.(10分)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n ，求最小的正整数n ，使得S n >2 0202 021.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1. 令1－12n ＋1>2 0202 021，解得n >1 010，故取n ＝1 011. 16.(10分)设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n是a 2n 和a n 的等差中项．(1)证明数列{a n }为等差数列，并求a n .(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大值，并求出取最大值时n 的值． 解：(1)由已知，得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0. 当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1.所以2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)． 故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 且a n ＝n .(2)由(1)可知a n ＝n .设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－⎝⎛⎭⎫n －522＋254. ∵n ∈N *，∴当n ＝2或n ＝3时，{c n }的最大项为6. 故{a n ·b n }的最大值为6，此时n ＝2或n ＝3.17.(10分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)求n 为何值时，S n 取得最大值； (2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值； (3)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)在等差数列{a n }中，a 1＝25，a 4＝16， ∴公差d ＝a 4－a 14－1＝－3.∴a n ＝－3n ＋28.令a n ＝－3n ＋28≥0且n ∈N *，得n ≤9. ∴当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ＝9时，S n 取得最大值． (2)∵数列{a n }是等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20＝10(a 2＋a 20)2＝10a 11＝10×(－3×11＋28)＝－50. (3)由(1)得，当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ≤9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝25n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32n 2＋532n .当n >9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a n )＝2S 9－S n ＝2×(9×25－36×3)－⎣⎡⎦⎤25n －32n (n －1)＝32n 2－532n ＋234. 所以T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋532n ，n ≤9，32n 2－532n ＋234，n >9.重难强化训练(一)数列和等差数列(60分钟 100分)练易错易错点1| 忽视数列是特殊的函数 [防范要诀]数列的通项a n 及前n 项和S n 都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题． [对点集训]1．(5分)设a n ＝－n 2＋5n －6，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163B ．133C ．34D ．0D 解析：此二次函数图象对称轴n ＝52∉N *.∴ 当n ＝2或3时，a n 取最大值，a 2＝a 3＝0.2．(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2D ．k >－3D 解析：∵a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2>n 2＋kn ＋2， 即k >－(2n ＋1)对于任意n ∈N *都成立， 当n ＝1时，－(2n ＋1)取最大值－3， ∴k >－3.3.(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0， 即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大． 易错点2| 不能正确进行a n 与S n 互化 [防范要诀]凡是已知S n 的表达式或S n 与a n 的关系式，都需要用到当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；另外，也不要忽视检验n ＝1是否也适合a n . [对点集训]4．(5分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列C 解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1， ∴S n －1＋S n ＝a n (n ≥2)，两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)． 当n ＝1时，S 1＋S 2＝a 2，∴2a 1＝0即a 1＝0. ∴{a n }是常数列，各项均为0.5.(5分)已知数列{a n }满足S n ＝n 2＋1，则通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析：∵S n ＝n 2＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2与上式不符合．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误 [防范要诀]使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差． [对点集训]6.(5分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥2，n ∈N *)，判断{a n }是否是等差数列．解：当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32.但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列.7.(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n >0.求{a n }的通项公式．解：∵S n ＝14(a n ＋1)2.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2. ∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)． ∴{a n }为等差数列，公差为2.当n ＝1时，S 1＝a 1＝14(a 1＋1)2.∴a 21－2a 1＋1＝0. ∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. 练疑难8．(5分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3的值是( ) A ．12B ．23C ．34D ．1A 解析：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2×1＝a 1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a 2＝2， a 3×2＝a 2＋(－1)3＝2－1＝1.∴a 3＝12.9．(5分)若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0 B ．log 25 C ．32D ．0或32B 解析：依题意得2 lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x ＋3)， ∴(2x －1)2＝2(2x ＋3)，∴(2x )2－4·2x －5＝0， ∴(2x －5)(2x ＋1)＝0，∴2x ＝5或2x ＝－1(舍)， ∴x ＝log 25.10．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －7n ＋2，则此数列中数值最小的项是( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第13项C 解析：∵a n ＝n －7n ＋2＝(n )2－7n ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫n －722－414. 令n ＝72，则n ＝494＝12.25.∵n ∈N *，∴当n ＝12时，a n 最小．11．(5分)已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325D 解析：由题可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，根据等差数列的通项公式可得⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，从而解得875<d ≤325.12．(5分)等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，则下列结论正确的是( ) A ．S 30是S n 的最大值 B ．S 30是S n 的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝0D 解析：等差数列的前n 项和公式可写为S n ＝an 2＋bn 的形式，由S 20＝S 40知S n 关于直线n ＝30对称，但因为不知道a 的符号，所以无法判断S 30是最大或是最小．由S 20＝S 40可知S 60＝0，故选D ．13.(5分)数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________． －12 解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23， a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m33成等差数列，∴2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m33，∴m ＝－12.经检验m ＝－12满足题设.14.(10分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＝6，8a 1＋8×72d ＝－4.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S n ＝3n ＋n (n －1)2×(－1)＝－12n 2＋72n .(2)由(1)，得S n n ＝－12n ＋72，所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝－12(n ＋1)＋72－⎝⎛⎭⎫－12n ＋72＝－12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为S 11＝3，公差为－12的等差数列，故T n ＝3n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－14n 2＋134n .15.(10分)已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解：∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， 即a n －1a n ＝－2n (看成关于a n 的方程)．∴a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n ＞0， ∴a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：作商比较，∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1.又a n ＞0，∴a n ＋1＜a n ，故数列{a n }是递减数列.16.(10分)数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2.(1)若a 2＝a 7，求数列{a n }的最小项；(2)若不等式a n ≥a 4恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)由a 2＝a 7得k ＝－9，即a n ＝n 2－9n ＋2＝⎝⎛⎭⎫n －922－734. 因为n ∈N ＋，所以当n ＝4或5时，{a n }的最小项为a 4＝a 5＝－18. (2)a n ＝n 2＋kn ＋2＝⎝⎛⎭⎫n ＋k 22＋2－k24， 因为不等式a n ≥a 4恒成立，所以3.5≤－k2≤4.5，解得－9≤k ≤－7.所以实数k 的取值范围为{k |－9≤k ≤－7}．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n(a1＋a n)2S n＝na1＋n(n－1)2d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和()(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式()(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1()解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.★答案★：(1)√(2)×(3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.★答案★：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，a n和S n，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q，常与求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用．[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.已知S n求a n问题[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式， 所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [★答案★] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.★答案★：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案★：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. ★答案★：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． ★答案★：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1， 则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.★答案★：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.★答案★：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。