高中数学等差数列前n项求和

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

等差数列前n 项和公式的几个性质和与应用 赵志远等差数列是高中数学的一项重要内容，其核心是通项公式与前n 项和公式。

透彻理解并掌握他们的相关性，能使我们的解题简洁方便。

现就等差数列前n 项和的几个性质与应用略举几个例子供大家参考。

设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，公差为d ，*.N n m ∈ （ n s = = ）性质1：m 2mm 3m 2m S S S S S --，，，成等差。

（请自己尝试证明） 即：性质2：n n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列。

（请自己尝试证明）性质3： 项数n 是偶数，奇数时的结论如下：（项数为n 项）①当()*2N k k n ∈=时，()n 21k k k S S k a a +==+②当()*12N k k n ∈-=时，()n 212121k k S S k a --==- （请自己尝试证明） （另外注意等差数列的等和性质：若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+（其中m 、n 、p 、*∈N q ）有着广泛应用，应用此公式往往可使运算简便）例1 已知等差数列}a {n 的前n 项和为n S ，且100S 10=，10100=S ，试求110S 。

例2 已知}a {n 是等差数列，前m 项和为m S =30，前2m 项和为m S 2=100，求前3m 项和m S 3。

例3：两个等差数列{}{}n n b a ,，且3272121++=++++++n n b b b a a a n n ，求55b a 。

例4：已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若9535=a a ，求59S S例5在等差数列{a n }中，已知a 1=20,前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值.例6 在等差数列}a {n 中，12a 3=，0S 12>，0S 13<。

第2课时　等差数列前n 项和的性质及应用学习目标　1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，了解等差数列前n 项和的一些性质.2.掌握等差数列前n 项和的最值问题．知识点一　等差数列前n 项和的性质1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{S n n }也是等差数列，且公差为d2.2．设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .3．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.4．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1.思考　在性质3中，a n 和a n ＋1分别是哪两项？在性质4中，a n ＋1是哪一项？答案　中间两项，中间项．知识点二　等差数列{a n }的前n 项和公式的函数特征1．公式S n ＝na 1＋n (n －1)d2可化成关于n 的表达式：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n .当d ≠0时，S n 关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n ，S n )在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d 2)x 上横坐标为正整数的一系列孤立的点．2．等差数列前n 项和的最值(1)在等差数列{a n }中，当a 1>0，d <0时，S n 有最大值，使S n 取得最值的n 可由不等式组Error!确定；当a 1<0，d >0时，S n 有最小值，使S n 取到最值的n 可由不等式组Error!确定．(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最小值；当d <0时，S n 有最大值．当n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，则a 7＋a 8等于( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案　B解析　∵a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝4，由等差数列的性质得a 5＋a 6＝6，a 7＋a 8＝8.2．已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( )A.98 B.94C ．1 D ．0答案　C解析　由a 4＝a 2＋(4－2)d ，得－2＝0＋2d ，故d ＝－1，a 1＝1，故S n ＝n ＋n (n －1)2·(－1)＝－n 22＋3n2＝－12(n －32)2＋98.所以当n ＝1或2时，S n 的最大值为1.3．(多选)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为( )A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案　BC解析　由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24.∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.4．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6，则S 2 020＝________.答案　2 020解析　由等差数列的性质可得{S n n}也为等差数列，设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 0132 013＝6d ＝6，∴d ＝1，∴S nn ＝S 11＋(n －1)d ＝n －2 019.故S 2 0202 020＝2 020－2 019＝1，∴S 2 020＝2 020.一、等差数列前n 项和的性质例1　(1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝1113，则公差d ＝________.答案　2解析　由Error!得Error!所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m .解　方法一　在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210.方法二　在等差数列中，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2S 2m2m ＝S mm ＋S 3m3m.即S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.反思感悟　利用等差数列前n 项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a 1，d ，再求所求，是基本解法，有时运算量大些；(2) 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．跟踪训练1　(1)已知数列{a n }是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是________．答案　－4解析　设等差数列{a n }的项数为2m ，∵末项与首项的差为－28，∴a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝－28，①∵S 奇＝50，S 偶＝34，∴S 偶－S 奇＝34－50＝－16＝md ，②由①②得d ＝－4.(2)已知一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和．解　S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列．设其公差为d ，前10项和为10S 10＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)d ＝100＋10×(－22)＝－120，∴S 110＝－120＋S 100＝－110.二、等差数列前n 项和的最值问题例2　在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 8＝S 18，求前n 项和S n 的最大值．解　方法一　因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以8×25＋8×(8－1)2d ＝18×25＋18×(18－1)2d ，解得d ＝－2.所以S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法二　同方法一，求出公差d ＝－2.所以a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27.因为a 1＝25>0，由Error!得Error!又因为n ∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值为169.方法三　因为S 8＝S 18，所以a 9＋a 10＋…＋a 18＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0.因为a 1>0，所以d <0.所以a 13>0，a 14<0.所以当n ＝13时，S n 有最大值．由a 13＋a 14＝0，得a 1＋12d ＋a 1＋13d ＝0，解得d ＝－2，所以S 13＝13×25＋13×122×(－2)＝169，所以S n 的最大值为169.方法四　设S n ＝An 2＋Bn .因为S 8＝S 18，a 1＝25，所以二次函数图象的对称轴为x ＝8＋182＝13，且开口方向向下，所以当n＝13时，S n取得最大值．由题意得Error!解得Error!所以S n＝－n2＋26n，所以S13＝169，即S n的最大值为169.反思感悟　(1)等差数列前n项和S n最大(小)值的情形①若a1>0，d<0，则S n存在最大值，即所有非负项之和．②若a1<0，d>0，则S n存在最小值，即所有非正项之和．(2)求等差数列前n项和S n最值的方法①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找．②运用二次函数求最值．跟踪训练2　在等差数列{a n}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．解　(1)设等差数列的公差为d，因为在等差数列{a n}中，a10＝18，S5＝－15，所以Error!解得a1＝－9，d＝3，所以a n＝3n－12，n∈N*.(2)因为a1＝－9，d＝3，a n＝3n－12，所以S n＝n(a1＋a n)2＝12(3n2－21n)＝32(n－7 2)2－1478，所以当n＝3或4时，前n项的和S n取得最小值S3＝S4＝－18.三、求数列{|a n|}的前n项和例3　数列{a n}的前n项和S n＝100n－n2(n∈N*)．(1)判断{a n}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n＝|a n|，求数列{b n}的前n项和．解　(1)当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(100n－n2)－[100(n－1)－(n－1)2]＝101－2n.∵a1＝S1＝100×1－12＝99，适合上式，∴a n ＝101－2n (n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝－2为常数，∴数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，∵n ∈N *，∴n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，∴数列{b n }的前n 项和S n ′＝100n －n 2.②当n ≥51时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S n ′＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S n ′＝Error!n ∈N *.反思感悟　已知等差数列{a n }，求绝对值数列{|a n |}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．跟踪训练3　在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解　(1)由Error!得Error!∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴数列{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n .当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2(－32×172＋1032×17)－(－32n 2＋1032n)＝32n 2－1032n ＋884.∴S n ＝Error!等差数列前n 项和公式的实际应用典例　某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解　因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款的数额依次构成数列{a n }，则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N *)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5，a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．[素养提升]　(1)本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体观．1．已知数列{a n}满足a n＝26－2n，则使其前n项和S n取最大值的n的值为( ) A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案　D解析　∵a n＝26－2n，∴a n－a n－1＝－2(n≥2，n∈N*)，∴数列{a n}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴S n＝24n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋25n＝－(n－252)2＋6254.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n最大．2．一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )A．0.5,0.5 B．0.5,1C．0.5,2 D．1,0.5答案　A解析　由于项数为10，故S偶－S奇＝15－12.5＝5d，∴d＝0.5，由15＋12.5＝10a1＋10×92×0.5，得a1＝0.5.3．(多选)设{a n}是等差数列，S n为其前n项和，且S5<S6＝S7>S8，则下列结论正确的是( ) A．d<0B．a7＝0C．S9>S5D．S6与S7均为S n的最大值答案　ABD解析　∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0.∴d<0.∴S6与S7均为S n的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.∴S9<S5，故C错．4．已知在等差数列{a n}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得其前n项和S n取得最小值的正整数n 的值是________．答案　6或7解析　∵公差d>0，|a5|＝|a9|，∴－a5＝a9，即a5＋a9＝0.由等差数列的性质，得2a7＝a5＋a9＝0，解得a7＝0.故数列的前6项均为负数，第7项为0，从第8项开始为正．∴S n 取得最小值时的n 为6或7.5．已知等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d ＝________.答案　5解析　由题意得Error!故S 偶＝192，S 奇＝162，所以6d ＝S 偶－S 奇＝30，故d ＝5.1．知识清单：(1)等差数列前n 项和的一般性质．(2)等差数列前n 项和的函数性质．2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想．3．常见误区：求数列{|a n |}的前n 项和时不讨论，最后不用分段函数表示．1．在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 88－S 66＝2，则S 10等于( )A ．10B ．100C ．110D ．120答案　B解析　∵{a n }是等差数列，a 1＝1，∴{S n n }也是等差数列且首项为S 11＝1.又S 88－S 66＝2，∴{S n n }的公差是1，∴S 1010＝1＋(10－1)×1＝10，∴S 10＝100.2．若等差数列{a n }的前m 项的和S m 为20，前3m 项的和S 3m 为90，则它的前2m 项的和S 2m 为( )A ．30B ．70C ．50D ．60答案　C解析　∵等差数列{a n }中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，∴2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，∴2(S 2m －20)＝20＋90－S 2m ，∴S 2m ＝50.3．已知数列{2n －19}，那么这个数列的前n 项和S n ( )A ．有最大值且是整数 B ．有最小值且是整数C ．有最大值且是分数 D ．无最大值和最小值答案　B解析　易知数列{2n －19}的通项a n ＝2n －19，∴a 1＝－17，d ＝2.∴该数列是递增等差数列．令a n ＝0，得n ＝912.∴a 1<a 2<a 3<…<a 9<0<a 10<….∴该数列前n 项和有最小值，为S 9＝9a 1＋9×82d ＝－81.4．(多选)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，下列判断正确的是( )A ．d <0B ．S 11>0C ．S 12<0D ．数列{S n }中的最大项为S 11答案　AB 解析　∵S 6>S 7，∴a 7<0，∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0，∴a 6>0，∴d <0，A 正确；又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，B 正确；S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，C 不正确；数列{S n }中最大项为S 6，D 不正确．故正确的选项是AB.5．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 018，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( )A ．2 017 B ．2 018 C ．2 019 D ．2 020答案　D解析　因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 011＝S2 018，S k＝S2 009，可得2 011＋2 0182＝2 009＋k2，解得k＝2 020.6．已知在等差数列{a n}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________．答案　99解析　由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99.7．已知在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________.答案　5解析　∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5.8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，则S n取得最小值时n的值为________．答案　6解析　由7a5＋5a9＝0，得a1d＝－173.又a9>a5，所以d>0，a1<0.因为函数y＝d2x2＋(a1－d2)x的图象的对称轴为x＝12－a1d＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n取得最小值时n的值为6.9．已知在等差数列{a n}中，a1＝9，a4＋a7＝0.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)当n为何值时，数列{a n}的前n项和取得最大值？解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴a n＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.(2)方法一　a1＝9，d＝－2，S n＝9n＋n(n－1)2·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，S n取得最大值．方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，∴{a n}是递减数列．令a n≥0，则11－2n≥0，解得n≤11 2 .∵n∈N*，∴当n≤5时，a n>0；当n≥6时，a n<0.∴当n＝5时，S n取得最大值．10．在数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.解　(1)∵a n＋2－2a n＋1＋a n＝0，∴a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，∴{a n}是等差数列，又∵a1＝8，a4＝2，∴d＝－2，a n＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n，则S n＝8n＋n(n－1)2×(－2)＝9n－n2.∵a n＝10－2n，令a n＝0，得n＝5.当n>5时，a n<0；当n＝5时，a n＝0；当n<5时，a n>0.∴当n≤5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝9n－n2.当n>5时，T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋a n)＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，∴T n＝Error!11．若数列{a n}的前n项和是S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( ) A．15 B．35 C．66 D．100答案　C解析　易得a n ＝Error!|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0，则2n －5>0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝11，S 1515－S 77＝－8，则S n 取最大值时的n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案　B解析　设数列{a n }是公差为d 的等差数列，则{S n n }是公差为d2的等差数列．因为S 1515－S 77＝－8，故可得8×d2＝－8，解得d ＝－2；则a 1＝a 2－d ＝13，则S n ＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，故当n ＝7时，S n 取得最大值．13．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.答案　4178解析　因为b 3＋b 18＝b 6＋b 15＝b 10＋b 11，所以a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝10(a 10＋a 11)10(b 10＋b 11)＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.14．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，那么S 8S 16＝________.答案　310解析　设S4＝k，S8＝3k，由等差数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12构成等差数列．所以S8－S4＝2k，S12－S8＝3k，S16－S12＝4k.所以S12＝6k，S16＝10k.S8S16＝3 10.15．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．答案　11　7解析　设等差数列{a n}的项数为2n＋1(n∈N*)，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)(a1＋a2n＋1)2＝(n＋1)a n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝n(a2＋a2n)2＝na n＋1，所以S奇S偶＝n＋1n＝4433，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝a n＋1，即a4＝44－33＝11，为所求的中间项．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a n>0，a1<2,6S n＝(a n＋1)(a n＋2)．(1)求证：{a n}是等差数列；(2)令b n＝3a n a n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n<1.证明　(1)因为6S n＝(a n＋1)(a n＋2)，所以当n≥2时，6S n－1＝(a n－1＋1)(a n－1＋2)，两式相减，得到6a n＝(a2n＋3a n＋2)－(a2n－1＋3a n－1＋2)，整理得(a n－a n－1)(a n＋a n－1)＝3(a n＋a n－1)，又因为a n>0，所以a n－a n－1＝3，所以数列{a n}是公差为3的等差数列．(2)当n＝1时，6S1＝(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，因为a1<2，所以a1＝1，由(1)可知a n－a n－1＝3，即公差d＝3，所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2，所以b n＝3a n a n＋1＝3(3n－2)(3n＋1)＝13n－2－13n＋1，所以T n＝1－14＋14－17＋…＋13n－2－13n＋1＝1－13n＋1<1.。

2.2 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和内 容 标 准学 科 素 养 1.理解等差数列的前n 项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n 项和公式,会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.强化图形应用 严格公式代换 抽象数学模型授课提示：对应学生用书第11页[基础认识]知识点一 等差数列的前n 项和公式 预习教材P 15－18,思考并完成以下问题1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下,高斯是怎样求1＋2＋3＋…＋100的结果的？ 提示：对于这个问题,著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果,当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100,把加数倒序写一遍S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101,∴S＝50×101＝5 050. 2．你能用高斯的计算方法求1＋2＋3…＋n 的值吗？ 提示：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n,① 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1,②两式相加得2S n ＝(1＋n)＋(2＋n －1)＋…＋(n ＋1)＝n(n ＋1), ∴S n ＝n （n ＋1）2.3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？ 提示：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋[a 1＋(n －2)d]＋[a 1＋(n －1)d], S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d)＋(a n －2d)＋…＋[a n －(n －2)d]＋[a n －(n －1)d], ∴2S n ＝(a 1＋a n )×n , ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.③4．问题(2)中求出的S n 是已知等差数列首项、末项与项数时求前n 项和S n 的公式,如果用a n ＝a 1＋(n －1)d 替换末项,问题3中求出的S n 会变形为怎样的形式呢？ 提示：S n ＝na 1＋12n(n －1)d.知识点二 a 1n n 思考并完成以下问题(1)两个公式共涉及a 1,d,n,a n 及S n 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n 项和．(2)依据方程的思想,在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”． 知识点三 等差数列前n 项和的最值 思考并完成以下问题等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1＞0,d ＜0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值． (2)若a 1＜0,d ＞0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1＞0,d ＞0,则{S n }是递增数列,S 1是{S n }的最小值；若a 1＜0,d ＜0,则{S n }是递减数列,S 1是{S n }的最大值．[自我检测]1．在等差数列{a n }中,若其前13项的和S 13＝52,则a 7为( ) A ．4 B ．3 C ．6D ．12解析：∵在等差数列{a n }中,其前13项的和S 13＝52, ∴S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＝52,解得a 7＝4.故选A.答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若7a 5＋5a 9＝0,且a 9＞a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由7a 5＋5a 9＝0得a 1d ＝－173,又a 9＞a 5,所以d ＞0,a 1＜0,因为函数y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图像的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376,取最接近的整数6,故S n 取最小值时n 的值为6.答案：B3．在等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＋a 5＝14,其前n 项和S n ＝100,则n ＝________．解析：设等差数列的公差为d,则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14,∴d＝2.则S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.令S n ＝100,即n 2＝100. 解得n ＝10或n ＝－10(舍)． 答案：10授课提示：对应学生用书第12页 探究一 等差数列前n 项和公式的基本应用[P17练习1第3题]在等差数列{a n }中, (1)已知S 8＝48,S 12＝168,求a 1和d ； (2)已知a 6＝10,S 5＝5,求a 8和S 8. (3)已知a 3＋a 15＝40,求S 17. 解析：设{a n }中首项为a 1,公差为d,(1)⎩⎪⎨⎪⎧S 8＝8a 1＋28d ＝48S 12＝12a 1＋66d ＝168,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝10S 5＝5a 1＋10d ＝5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3. ∴a 8＝a 1＋7d ＝－5＋21＝16, S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋84＝44.(3)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.[例1] 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？[解析] 法一：由题意知,S 10＝310, S 20＝1 220,将它们代入公式S n ＝na 1＋n （n －1）2d,得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n×4＋n （n －1）2×6＝3n 2＋n.法二：∵S 10＝10（a 1＋a 10）2＝310,∴a 1＋a 10＝62,①∵S 20＝20（a 1＋a 20）2＝1 220,∴a 1＋a 20＝122,② ②－①,得,a 20－a 10＝60, ∴10d＝60,∴d＝6,a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝3n 2＋n.方法技巧 两种思想方法在等差数列前n 项和公式中的应用(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解．(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用． 跟踪探究 1.(2019·珠海市模拟)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n ,若a 2＋a 5＋a 8＝π4,则sin S 9＝( ) A.12 B.22 C ．－12D ．－22解析：∵a 2＋a 5＋a 8＝π4,a 2＋a 8＝2a 5＝a 1＋a 9,∴3a 5＝π4,a 5＝π12,∴a 1＋a 9＝π6,∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝92×π6＝3π4,sin S 9＝22.故选B.答案：B探究二 等差数列前n 项和的最值问题[P18练习2第1题]已知数列{2n －11},那么S n 的最小值是( ) A ．S 1 B ．S 5 C ．S 6D ．S 11解析：由a n ＝2n －11,令a n ≤0,得n≤5.5,又∵n∈N ＋, 所以该数列前5项均为负数,从第6项开始为正数, 故S n 的最小值为S 5. 答案：B[例2] 在等差数列{a n }中,a 10＝18,前5项的和S 5＝－15, (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值,并指出何时取最小值． [解题指南] (1)根据题意列关于a 1和d 的方程（组）→解出a 1和d →写出a n 的表达式(2)法一：写出S n 的表达式→分析S n 的最值 法二：分析{a n }中项的变化规律→确定S n 最小时n 的值→求S n[解析] (1)设公差为d,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，则a n ＝3n －12.(2)法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝12(3n 2－21n)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478,所以n ＝3或4时,前n 项的和S n 取得最小值为－18. 法二：要使数列{a n }前n 项的和取得最小值,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －12≤0，a n ＋1＝3（n ＋1）－12≥0，得3≤n≤4,又n∈N ＋,所以n ＝3或4,S 3＝S 4＝－18.所以数列{a n }前n 项的和取得最小值为－18.方法技巧 求等差数列前n 项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列{a n }中,当a 1＞0,d ＜0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定．当a 1＜0,d ＞0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n,若d≠0,则从二次函数的角度看：当d ＞0时,S n 有最小值；当d ＜0时,S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值．跟踪探究 2.在等差数列{a n }中,若a 1＝25,且S 9＝S 17,求S n 的最大值． 解析：法一：∵S 9＝S 17,a 1＝25,∴9×25＋9（9－1）2d ＝17×25＋17（17－1）2d,解得d ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2（n ＋1）＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，又∵n∈N ＋,∴当n ＝13时,S n 有最大值169. 法二：同方法一,求出公差d ＝－2. 设S n ＝An 2＋Bn. ∵S 9＝S 17,∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13,且开口方向向下,∴当n ＝13时,S n 取得最大值169. 探究三 等差数列前n 项和的实际应用[阅读教材P18例11及解答]九江抗洪指挥部接到预报,24 h 后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h,但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调．每隔20 min 能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h 内能否构筑成第二道防线？ 题型：等差数列前n 项和的实际应用． 方法步骤：①从实际问题中抽象出等差数列． ②确定数列首项a 1及公差d. ③求出等差数列的前n 项和． ④判断并得出结论．[例3] 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件,第二天售出35件,第三天售出50件,以后每天售出的件数分别递增15件,直到4月12号日销售量达到最大,然后,每天售出的件数分别递减10件．(1)记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n,1≤n≤30,求a n 与n 的关系； (2)求4月份该款服装的总销售量．[解题指南] 解答本题可先确定a n 与n 的关系,然后用等差数列的前n 项和公式求总销量．[解析] (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{a n }．由题意知,数列a 1,a 2,…,a 10是首项为20,公差为15的等差数列,所以a 9＝15n ＋5(1≤n≤12且n∈N ＋)． 而a 13,a 14,a 15,…a 30是首项为a 13＝a 12－10＝175, 公差为－10的等差数列．所以a n ＝175＋(n －13)×(－10)＝－10n ＋305(13≤n≤30且n∈N ＋)．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n ＋5，1≤n≤12且n∈N ＋，－10n ＋305，13≤n≤30且n∈N ＋.(2)4月份该款服装的总销售量为12（a 1＋a 12）2＋18a 13＋（30－12）×（30－12－1）×（－10）2＝12×（20＋185）2＋18×175＋18×17×（－10）2＝2 850(件)．延伸探究 本例中,条件不变,求“按规律,当该商场销售此服装超过1 300件时,社会上就开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于110件时,则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．” 解析：4月1日至4月12日的销售总量为 12（a 1＋a 12）2＝12×（20＋185）2＝1 230＜1 300,所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行．4月1日至4月13日的销售总量为1 230＋a 13＝1 230＋175＝1 405＞1 300, 故4月13日该款服装在社会上已开始流行． 由－10n ＋305＜110,得n ＞392,所以第20天该款服装在社会上不再流行． 所以该款服装在社会上流行没有超过10天． 方法技巧 解应用题的基本程序跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h 开始,每隔2 s 速度提高20 km/h.如果测试时间是30 s,测试距离是________km. 解析：由于每隔2 s 速度提高20 km/h,所以该赛车在每个2 s 内的速度构成等差数列{a n },且a 1＝10,d ＝20. 测试时间是30 s,则最后一个2 s 内的速度是a 15,测试距离S ＝(a 1＋a 2＋…＋a 15)×23 600＝(15×10＋15×142×20)×23 600＝1.25(km)．答案：1.25授课提示：对应学生用书第14页[课后小结](1)推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到．(2)等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n,d 五个量．若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用： 若m ＋n ＝p ＋q,则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n,m,p,q∈N ＋)； 若m ＋n ＝2p,则a n ＋a m ＝2a p .(3)求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法有两种： ①用二次函数的性质求解；②明确数列中的正项与负项,用负项之和最小,正项之和最大来解决． (4)解决数列应用题时应分清： ①是否为等差数列问题； ②是通项问题还是求和问题．[素养培优]忽略数列中为零的项致错设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1＞0,S 11＝S 18,则当n 为何值时S n 最大？易错分析 在求解等差数列前n 项和S n 的最值时,容易忽略数列中为零的项而致错．利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0)求n 的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错,考查图形应用的学科素养． 自我纠正 法一：由S 11＝S 18 将11a 1＋55d ＝18a 1＋153d. 即a 1＝－14d ＞0,所以d ＜0,构建不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）d≥0a n ＋1＝a 1＋nd≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧－14d ＋（n －1）d≥0，－14d ＋nd≤0 解得14≤n≤15.故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大．法二：由S 11＝S 18知a 1＝－14d.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－14dn ＋n （n －1）2 d＝d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2922－8418d,由于n∈N ＋,结合S n 对应的二次函数的图像知, 当n ＝14或n ＝15时S n 最大．法三：由S 11＝S 18知,a 12＋a 13＋a 14＋a 15＋a 16＋a 17＋a 18＝0,即7a 15＝0, 所以a 15＝0,又a 1＞0,所以d ＜0. 故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大.。

4.2.2 等差数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n 项和的性质及应用．(重点、难点) 2．会用裂项相消法求和．(重点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学数列在我们日常生活中有着广泛的应用，比如仓库中堆放的钢管，想要知道共有多少个，可取同样的钢管反位置摆放，这样就可以知道有多少个．你能找到其中所应用的数学原理吗？1．数列{|a n |}的前n 项和问题根据通项公式判断数列{a n }是先正后负，还是先负后正，在正、负分界点处分两段，分别去掉绝对值符号，转化为等差数列的求和问题． 2．等差数列前n 项和的性质(1)设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(2)等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：①若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． ②若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)等差数列的前n 项和S n 一定是关于n 的二次函数．(×)(2)若无穷等差数列{a n }的公差d >0，则其前n 项和S n 不存在最大值．(√) (3)若两个等差数列的前n 项和分别为A n ，B n ，则一定有a n b n ＝A nB n.(×)1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝______，S n 的最小值为______.0 －10 解析：a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，即a 1＋2d ＝－2，解得a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－9n2.当n ＝4或5时，S n 最小，为－10.2．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，且a 7b 7＝23，则S 13T 13＝________.23 解析：S 13T 13＝(a 1＋a 13)×132(b 1＋b 13)×132＝13a 713b 7＝a 7b 7＝23. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大． 10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0， 即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大．4．已知等差数列{a n }，a n ＝2n －9，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________.52 解析：由a n ≥0得n ≥4.5，∴前4项为负，以后各项为正，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋…＋a 10)＝－S 4＋S 10－S 4＝S 10－2S 4＝20－2×(－16)＝52.【例1】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n －⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104. ∵a 1＝101也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104. 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043.即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n .②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. ∴T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35.已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤： (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：∵数列{a n }的公差d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)17－1＝3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋(n －1)×3＝3n －63. 令a n <0，即3n －63<0，解得n <21.∴数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数． 设S n ，S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和， 当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋n (n －1)2×3＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋n (n －1)2×3－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260.∴数列{|a n |}的前n 项和S ′n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【例2】等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，数列{a n }前多少项和最大？解：(方法一)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.从而S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ＝－(n －13)2＋169.故前13项之和最大． (方法二)由方法一得d ＝－2. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，∴当n ＝13时，S n 有最大值．求等差数列前n 项和S n 最值的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)运用二次函数的图象求最值．1．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16D ．S 17A 解析：∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.【例3】等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为其前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n .解：∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2，∴前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)，∴1S n ＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝12⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).把数列的通项公式拆成两项之差，即数列的每一项可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相抵消，于是前n 项和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法．常见的拆项公式(其中n ∈N *)： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④若等差数列{a n }的公差为d ， 则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. ⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑nk ＝11S k＝________.2nn ＋1解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d . 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋4×32d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 数列的前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ×1＋n (n －1)2×1＝n (n ＋1)2，裂项可得1S k ＝2k (k ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，所以∑nk ＝11S k＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.探究题1 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且S n T n ＝2n ＋13n －2，求a 9b 9的值．解：∵S 2n －1＝2n －12(a 1＋a 2n －1)＝(2n －1)a n ，T 2n －1＝2n －12(b 1＋b 2n －1)＝(2n －1)b n ， ∴a 9b 9＝S 2×9－1T 2×9－1＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝57. 探究题2 已知数列{a n }为等差数列，若a 7a 6<－1，且前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n的最大值为________．11 解析：∵a 7a 6<－1，且S n 有最大值，∴a 6>0，a 7<0且a 6＋a 7<0， ∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6>0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)<0，∴使S n >0的n 的最大值为11.探究题3 等差数列{a n }中，S m ＝n ，S n ＝m ，求S m ＋n . 解：设等差数列{a n }的公差为d . ∵S m ＝ma 1＋m (m －1)2d ＝n ，①S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝m ，②①－②得(m －n )a 1＋(m －n )(m ＋n －1)2d ＝n －m ，∴a 1＋m ＋n －12d ＝－1.∴S m ＋n ＝(m ＋n )a 1＋(m ＋n )(m ＋n －1)2d＝(m ＋n )⎝⎛⎭⎫a 1＋m ＋n －12d＝－(m ＋n )．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12D ．13C 解析：因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零．又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 2＋a 8＝－6，则S n 的最小值等于( ) A ．－34 B ．－36 C ．－6D ．6B 解析：设数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＋a 8＝－6，∴2a 1＋8d ＝－6. 又a 1＝－11，∴d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，∴当n ＝6时，S n 有最小值S 6＝－36.故选B ．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．42 B 解析：由于{a n }是等差数列，故S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以2(S 4－S 2)＝S 2＋S 6－S 4，即2(10－4)＝4＋S 6－10，解得S 6＝18.故选B ．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5C 解析：因为S 4＝2(a 2＋a 3)≥10，所以a 2＋a 3≥5.又S 5＝5a 3≤15，所以a 3≤3.而a 4＝3a 3－(a 2＋a 3)，故a 4≤4，当且仅当a 2＝2，a 3＝3时等号成立，所以a 4的最大值为4.故选C ． 4．已知等差数列{a n }的公差为1，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，试求a 3＋a 6＋…＋a 99的值． 解：由题意，等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝102，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋(a 3＋a 6＋…＋a 99)＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－33×2d －33d ＝3(a 3＋a 6＋…＋a 99)－99， 所以a 3＋a 6＋…＋a 99＝102＋993＝67.5．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发．据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t 天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止．(1)设11月n 日当天新感染人数为a n ，求{a n }的通项公式(用t 表示)；(2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8 670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数． 解：(1)由题意得， 当n ≤t 时是公差为50，首项为20的等差数列， 此时a n ＝20＋50(n －1)＝50n －30(1≤n ≤t )．当n ≥t ＋1时是公差为－30，首项为50t －30的等差数列，此时a n ＝50t －30－30(n －t ) ＝－30n ＋80t －30(t ＋1≤n ≤30)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧50n －30，n ≤t ，－30n ＋80t －30，t ＋1≤n ≤30，n ∈N *.(2)由(1)可知，前t 日患者共有S t ＝(20＋50t －30)t 2＝(25t 2－5t )人．又第t ＋1日有－30(t ＋1)＋80t －30＝(50t －60)人，第30日有－30×30＋80t －30＝(80t －930)人．故t ＋1日至第30日共30－t 天的时间里共有S ′t ＝(50t －60＋80t －930)(30－t )2＝－65t 2＋2 445t －14 850.故1到30日共有S t ＋S ′t ＝25t 2－5t －65t 2＋2 445t －14 850＝－40t 2＋2 440t －14 850. 故－40t 2＋2 440t －14 850＝8 670⇒t 2－61t ＋588＝0即(t －12)(t －49)＝0，又1≤t ≤30 ，故t ＝12.当天新增患病人数为50×12－30＝570.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人．1．已知等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的步骤 (1)确定{a n }的通项公式；(2)根据通项公式确定数列{a n }中项的符号，即判断数列{a n }是先负后正，还是先正后负；(3)去掉数列{|a n |}中各项的绝对值，转化为{a n }的前n 项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{a n }的前n 项和公式求解； (4)将{|a n |}的前n 项和写成分段函数的形式． 2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．利用裂项相消法求数列前n 项和．课时分层作业(六)等差数列的前n 项和公式(第2课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 求数列{|a n |}的前n 项和1．(5分)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －7，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 15|＝( ) A ．139 B ．153 C ．144D ．178B 解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，d ＝2.∴S n ＝n 2－6n .∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a 15＝－S 3＋(S 15－S 3)＝S 15－2S 3＝153.2.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值为________． 60 解析：∵a 1>0，a 10·a 11<0， ∴d <0，a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－(a 11＋a 12＋…＋a 18)＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 知识点2 等差数列前n 项和的最值问题3．(5分)已知数列{a n }为等差数列，a 2＝0，a 4＝－2，则其前n 项和S n 的最大值为( ) A ．98B ．94C ．1D ．0C 解析：∵a 2＝0，a 4＝－2，∴d ＝－1，∴a n ＝2－n .∴S n 的最大值为S 1＝S 2＝1.4．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝26－2n ，若使此数列的前n 项和S n 最大，则n 的值为( ) A ．12 B ．13 C ．12或13D ．14C 解析：由a n ≥0，得n ≤13，∴S 13＝S 12最大.5.(5分)已知等差数列{a n }，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得其前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．6或7 解析：∵d >0，∴|a 5|＝|a 9|可化为－a 5＝a 9. 即a 5＋a 9＝2a 7＝0.∴a 7＝0，∴a 6<0，a 8>0. ∴S 6＝S 7最小．知识点3 利用裂项相消法求数列的和 6．(5分)在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1(n ∈N *)．又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n 为(A) A ．4n n ＋1B ．2n n ＋1 C ．n 2n －1D ．2n2n ＋1得分7.(5分)设数列{a n }满足对任意的n ∈N *，P n (n ，a n )满足P n P n ＋1＝(1,2)，且a 1＋a 2＝4，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和S n 为________． n2n ＋1解析：∵P n (n ，a n )，P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)， ∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，∴a n ＋1－a n ＝2. ∴{a n }为等差数列，d ＝2.∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝4，∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. ∵1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)·(2n ＋1)＝ 12×⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴S n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.知识点4 等差数列前n 项和性质的应用8．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，则a 5b 5的值为( ) A ．2 B ．72C ．4D ．5C 解析：∵两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝5n ＋3n ＋3，∴a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝A 9B 9＝5×9＋39＋3＝4.故选C ． 9．(5分)已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项D ．第8项C 解析：∵S 13<0，S 12>0，∴d <0. ∵S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.∵S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0且|a 6|>|a 7|. ∴a 7的绝对值最小.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)(多选)设{a n }是等差数列，S n 是前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则( ) A ．d >0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值BD 解析：由S 5<S 6得a 1＋a 2＋…＋a 5<a 1＋a 2＋…＋a 5＋a 6， ∴a 6>0.又S 6＝S 7，∴a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7，∴a 7＝0. 同理由S 7>S 8可得a 8<0.若S 9>S 5，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0， ∴2(a 7＋a 8)>0.由题设a 7＝0，a 8<0，显然A ，C 项是错误的．11．(5分)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个D 解析：∵a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1.当n ＋1＝2,3,4,6,12，即n ＝1,2,3,5,11时，a nb n是整数．12．(5分)(多选)已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7BC 解析：∵在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，∴a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0.又d <0，∴a 5>0，a 7<0，∴使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是5或6.13.(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 19>0，S 20<0，则使S n 取得最大值的n 为________．10 解析：由S 19>0，S 20<0，可知{a n }为递减的等差数列．设其公差为d ，则d <0.由S 19＝19×(a 1＋a 19)2>0，S 20＝20×(a 1＋a 20)2<0，得a 1＋a 19＝2a 10>0，a 1＋a 20＝a 10＋a 11<0，所以a 10>0，a 11<0.所以使S n 取得最大值的n 为10.14.(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n －1，则数列{|a n |}的前n 项和为________．n 2＋2n 解析：由题可知数列{a n }的各项均为负值，设数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则有S n ＝－a 1－a 2－…－a n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n .15.(10分)已知数列{a n }为等差数列，其中a 2＋a 3＝8，a 5＝3a 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2a n a n ＋1，设{b n }的前n 项和为S n ，求最小的正整数n ，使得S n >2 0202 021.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，从而{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫11－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1. 令1－12n ＋1>2 0202 021，解得n >1 010，故取n ＝1 011. 16.(10分)设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n是a 2n 和a n 的等差中项．(1)证明数列{a n }为等差数列，并求a n .(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大值，并求出取最大值时n 的值． 解：(1)由已知，得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0. 当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1.所以2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)． 故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 且a n ＝n .(2)由(1)可知a n ＝n .设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－⎝⎛⎭⎫n －522＋254. ∵n ∈N *，∴当n ＝2或n ＝3时，{c n }的最大项为6. 故{a n ·b n }的最大值为6，此时n ＝2或n ＝3.17.(10分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)求n 为何值时，S n 取得最大值； (2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值； (3)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)在等差数列{a n }中，a 1＝25，a 4＝16， ∴公差d ＝a 4－a 14－1＝－3.∴a n ＝－3n ＋28.令a n ＝－3n ＋28≥0且n ∈N *，得n ≤9. ∴当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ＝9时，S n 取得最大值． (2)∵数列{a n }是等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20＝10(a 2＋a 20)2＝10a 11＝10×(－3×11＋28)＝－50. (3)由(1)得，当n ≤9时，a n >0；当n >9时，a n <0. ∴当n ≤9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝25n ＋n (n －1)2×(－3)＝－32n 2＋532n .当n >9时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 9－(a 10＋a 11＋…＋a n )＝2S 9－S n ＝2×(9×25－36×3)－⎣⎡⎦⎤25n －32n (n －1)＝32n 2－532n ＋234. 所以T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋532n ，n ≤9，32n 2－532n ＋234，n >9.重难强化训练(一)数列和等差数列(60分钟 100分)练易错易错点1| 忽视数列是特殊的函数 [防范要诀]数列的通项a n 及前n 项和S n 都可看作定义域为正整数集或其子集上的函数，要善于运用函数的观点认识和理解数列问题． [对点集训]1．(5分)设a n ＝－n 2＋5n －6，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A ．163B ．133C ．34D ．0D 解析：此二次函数图象对称轴n ＝52∉N *.∴ 当n ＝2或3时，a n 取最大值，a 2＝a 3＝0.2．(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2D ．k >－3D 解析：∵a n ＋1>a n ，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2>n 2＋kn ＋2， 即k >－(2n ＋1)对于任意n ∈N *都成立， 当n ＝1时，－(2n ＋1)取最大值－3， ∴k >－3.3.(5分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大．10或11 解析：令a n ≥0得－n 2＋10n ＋11≥0， 即n 2－10n －11≤0，∴－1≤n ≤11.∵n ∈N *，∴该数列前10项为正，第11项为0. ∴该数列前10或11项的和最大． 易错点2| 不能正确进行a n 与S n 互化 [防范要诀]凡是已知S n 的表达式或S n 与a n 的关系式，都需要用到当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1；另外，也不要忽视检验n ＝1是否也适合a n . [对点集训]4．(5分)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列C 解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1， ∴S n －1＋S n ＝a n (n ≥2)，两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴a n ＝0(n ≥2)． 当n ＝1时，S 1＋S 2＝a 2，∴2a 1＝0即a 1＝0. ∴{a n }是常数列，各项均为0.5.(5分)已知数列{a n }满足S n ＝n 2＋1，则通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析：∵S n ＝n 2＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2与上式不符合．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.易错点3| 对等差数列的定义理解不透致误 [防范要诀]使用等差数列的定义时容易出现以下错误：(1)对定义中“从第二项起”理解有误，常常忽略首项；(2)忽略“任意”，误认为验证有限个相邻两项的差是常数即得等差数列；(3)误认为任意相邻两项的差就是等差数列的公差． [对点集训]6.(5分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥2，n ∈N *)，判断{a n }是否是等差数列．解：当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32.但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列.7.(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝14(a n ＋1)2，且a n >0.求{a n }的通项公式．解：∵S n ＝14(a n ＋1)2.∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2. ∴a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n >0，∴a n －a n －1＝2(n ≥2)． ∴{a n }为等差数列，公差为2.当n ＝1时，S 1＝a 1＝14(a 1＋1)2.∴a 21－2a 1＋1＝0. ∴a 1＝1.∴a n ＝2n －1. 练疑难8．(5分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3的值是( ) A ．12B ．23C ．34D ．1A 解析：∵在数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)， ∴a 2×1＝a 1＋(－1)2＝1＋1＝2，解得a 2＝2， a 3×2＝a 2＋(－1)3＝2－1＝1.∴a 3＝12.9．(5分)若lg 2，lg (2x －1)，lg (2x ＋3)成等差数列，则x 的值等于( ) A ．0 B ．log 25 C ．32D ．0或32B 解析：依题意得2 lg (2x －1)＝lg 2＋lg (2x ＋3)， ∴(2x －1)2＝2(2x ＋3)，∴(2x )2－4·2x －5＝0， ∴(2x －5)(2x ＋1)＝0，∴2x ＝5或2x ＝－1(舍)， ∴x ＝log 25.10．(5分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －7n ＋2，则此数列中数值最小的项是( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第13项C 解析：∵a n ＝n －7n ＋2＝(n )2－7n ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫n －722－414. 令n ＝72，则n ＝494＝12.25.∵n ∈N *，∴当n ＝12时，a n 最小．11．(5分)已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( ) A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325D 解析：由题可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，根据等差数列的通项公式可得⎩⎨⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，从而解得875<d ≤325.12．(5分)等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，则下列结论正确的是( ) A ．S 30是S n 的最大值 B ．S 30是S n 的最小值 C ．S 30＝0 D ．S 60＝0D 解析：等差数列的前n 项和公式可写为S n ＝an 2＋bn 的形式，由S 20＝S 40知S n 关于直线n ＝30对称，但因为不知道a 的符号，所以无法判断S 30是最大或是最小．由S 20＝S 40可知S 60＝0，故选D ．13.(5分)数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋m 3n 为等差数列的实数m 的值为________． －12 解析：a 1＝5，a 2＝3×5＋32－1＝23， a 3＝3×23＋33－1＝95，依题意得5＋m 3，23＋m 32，95＋m33成等差数列，∴2·23＋m 32＝5＋m 3＋95＋m33，∴m ＝－12.经检验m ＝－12满足题设.14.(10分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得⎩⎨⎧3a 1＋3×22d ＝6，8a 1＋8×72d ＝－4.即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S n ＝3n ＋n (n －1)2×(－1)＝－12n 2＋72n .(2)由(1)，得S n n ＝－12n ＋72，所以S n ＋1n ＋1－S n n ＝－12(n ＋1)＋72－⎝⎛⎭⎫－12n ＋72＝－12，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为S 11＝3，公差为－12的等差数列，故T n ＝3n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－14n 2＋134n .15.(10分)已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解：∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， 即a n －1a n ＝－2n (看成关于a n 的方程)．∴a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n ＞0， ∴a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：作商比较，∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1.又a n ＞0，∴a n ＋1＜a n ，故数列{a n }是递减数列.16.(10分)数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn ＋2.(1)若a 2＝a 7，求数列{a n }的最小项；(2)若不等式a n ≥a 4恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)由a 2＝a 7得k ＝－9，即a n ＝n 2－9n ＋2＝⎝⎛⎭⎫n －922－734. 因为n ∈N ＋，所以当n ＝4或5时，{a n }的最小项为a 4＝a 5＝－18. (2)a n ＝n 2＋kn ＋2＝⎝⎛⎭⎫n ＋k 22＋2－k24， 因为不等式a n ≥a 4恒成立，所以3.5≤－k2≤4.5，解得－9≤k ≤－7.所以实数k 的取值范围为{k |－9≤k ≤－7}．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n(a1＋a n)2S n＝na1＋n(n－1)2d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和()(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式()(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1()解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.★答案★：(1)√(2)×(3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.★答案★：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，a n和S n，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q，常与求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用．[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.已知S n求a n问题[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式， 所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [★答案★] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.★答案★：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案★：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. ★答案★：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． ★答案★：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1， 则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ， 又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＝22，5a 3＝45， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.★答案★：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.★答案★：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

一、高中数列基本公式：1、一般数列的通项a n与前 n 项和 S n的关系： a n=2、等差数列的通项公式： a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d ( 此中 a1为首项、 a k为已知的第 k 项 ) 当 d≠0时， a n是关于 n 的一次式；当d=0 时， a n是一个常数。

3、等差数列的前n 项和公式： S n=S n =S n=当 d≠0时，（ a1≠0），S n是关于 n 的二次式且常数项为S n=na1是关于 n 的正比率式。

0；当d=0时4、等比数列的通项公式： a n= a 1 q n-1 a n= a k q n-k( 此中 a1为首项、 a k为已知的第 k 项， a n≠0)5、等比数列的前 n 项和公式：当 q=1 时， S n=n a1 ( 是关于 n 的正比率式 ) ；当 q≠1时， S n=S n=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列 {a n} 的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S 2m、S4m - S 3m、仍为等差数列。

2、等差数列 {a n} 中，若 m+n=p+q，则3、等比数列 {a n} 中，若 m+n=p+q，则4、等比数列 {a S3m-S 2m、S4m - S n}的任意连续m项的和构成的数列3m、仍为等比数列。

S m、S2m-S m、5、两个等差数列{a n } 与{b n} 的和差的数列{a n+b n} 、{a n -b n} 仍为等差数列。

6、两个等比数列{a n } 与{b n} 的积、商、倒数构成的数列{a n b n} 、、仍为等比数列。

7、等差数列 {a n} 的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

8、等比数列 {a n} 的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

9、三个数成等差数列的想法：a-d,a,a+d；四个数成等差的想法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的想法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误想法：a/q3,a/q,aq,aq3(为何？)11、 {a n}为等差数列，则(c>0)是等比数列。

等差数列及其前n项和教案一、知识点回顾类型一：前n 项和公式及性质的运用例1．等差数列}{n a 前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和.举一反三：【变式1】等差数列{a n }中，若a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=30, a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=80, 则a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=___________.【变式2】等差数列{a n }中，S m =S n 且m≠n, 则S m+n =_________.【变式3】等差数列}{n a 前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和.例2．已知两等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且27417++=n n T S n n ，试求1111b a .举一反三：【变式1】等差数列}{n a 中，若49a =, 则7S =_________.【变式2】已知两等差数列}{n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且4352n n S n T n +=-，则1010ab = .例3．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列。

举一反三：【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数。

类型二：等差数列前n 项和的最值问题例4．已知数列}{n a 是等差数列，10a >,917S S =，试问n 为何值时，数列的前n 项和最大？为什么？举一反三：【变式1】设等差数列}{n a 的前n 项和为n S , 已知312a =,120S >,130S <.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S ，2S ，…，12S 中哪一个值最大，并说明理由.【变式2】在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ．二、巩固拓展1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2 2. 若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )A ．12B ．13C ．14D ．153. 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9。

高中等差等比数列的通项求和公式高中等差等比数列的通项求和公式_高频考点学好数学的关键是公式的掌握，数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。

下面是小编为大家整理的高中等差等笔数列的通项求和公式，希望能帮助到大家!等差数列的通项求和公式an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：Sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数等比数列的通项求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。

(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);(3) 求和公式：Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数)(4)性质：①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)G是a、b的等比中项G^2=ab(G ≠ 0).(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列求和公式推导： Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)q__Sn=a1__q+a2__q+a3__q+...+an__q =a2+a3+a4+...+a(n+1) Sn-q__Sn=a1-a(n+1) (1-q)Sn=a1-a1__q^n Sn=(a1-a1__q^n)/(1-q) Sn=(a1-an__q)/(1-q) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) Sn=k__(1-q^n)~y=k__(1-a^x)。