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2022-2021学年江西省宜春市奉新一中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．在△ABC中，c=，则bcosA+acosB等于（）A．1 B．C．2 D．42．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的外形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．4．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n ，若，则等于（）A．1 B．C．D．5．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=27，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．15 D．27log356．在等比数列{a n}中，a2，a6时方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（）A．8 B．﹣8 C．±8 D．以上都不对7．依据下列状况，推断三角形解的状况，其中正确的是（）A．a=8，b=16，A=30°，有两解B．b=18，c=20，B=60°，有一解C．a=5，c=2，A=90°，无解D．a=30，b=25，A=150°，有一解8．已知等差数列{a n}中，S n是前n项和，若S16＞0且S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．16 B．9 C．8 D．109．在△ABC中，若||=2，||=5，•=﹣5，则S△ABC=（）A．B．C．D．510．设各项均为实数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S10=10，S30=70，则S40等于（）A．150 B．﹣200 C．150或﹣200 D．400或﹣50 11．将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2，4}，{6，8，10，12}，{14，16，18，20，22，24}，…．则2 014位于第（）组．A．30 B．33 C．31 D．3212．△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A．B．C．D．0二、填空题（每小题5分，共20分）13．如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2θ，再连续前进10米至D处，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的值为．14．数列{a n}中，S n是前n项和，若a1=1，a n+1=（n≥1，n∈N），则a n=．15．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为．16．对于每个自然数n，抛物线y=（n 2+n）x2﹣（2n+1）x+1与x轴交于A n，B n两点，以|A n B n|表示该两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2021B2021|的值是．三、解答题（本大题共6小题，计70分）17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA=．（1）求的值；（2）若b=2，△ABC的面积S=3，求a的值．18．在等差数列{a n}中，a10=23，a25=﹣22，（1）数列{a n}的前多少项和最大？（2）求{|a n|}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．20．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．（1）若∥，试推断△ABC的外形并证明；（2）若⊥，边长c=2，∠C=，求△ABC的面积．21．数列{a n}的前n项和为，且a n是S n和1的等差中项，b n等差数列．满足b1=a1，b4=S3（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n≤λb n+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．22．已知数列{a n}为等差数列，b n=3an．（1）求证数列{b n}为等比数列；（2）若a8+a13=m，求b1•b2•b3•…•b20；（3）若b3•b5=39，a4+a6=3，求b1•b2•b3•…•b n的最大值．2022-2021学年江西省宜春市奉新一中高一（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．在△ABC中，c=，则bcosA+acosB等于（）A．1 B．C．2 D．4考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：依据余弦定理化简bcosA+acosB，再由条件即可求出式子的值．解答：解：由题意得，bcosA+acosB=b •+a •==c=，故选：B．点评：本题考查余弦定理的应用，属于基础题．2．若三角形ABC中，sin（A+B）sin（A﹣B）=sin2C，则此三角形的外形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式左边第一项利用诱导公式化简，依据sinC不为0得到sin（A﹣B）=sinC，再利用两角和与差的正弦函数公式化简，解答：解：∵△ABC中，sin（A+B）=sinC，∴已知等式变形得：sinCsin（A﹣B）=sin2C，即sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），整理得：sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，即2cosAsinB=0，∴cosA=0或sinB=0（不合题意，舍去），∴A=90°，则此三角形外形为直角三角形．故选：B．点评：此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，娴熟把握公式是解本题的关键．3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．考点：余弦定理；等比数列．专题：计算题．分析：依据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解答：解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，则b=a ，=，故选B．点评：本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能娴熟应用．4．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n和T n ，若，则等于（）A．1 B．C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和求和公式可得==，代入已知化简可得．解答：解：由题意可得=====故选C点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属中档题．5．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=27，则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．15 D．27log35考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依据等比数列的性质，得出a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=27，再依据对数的运算性质化简计算即可．解答：解：依据等比数列的性质，a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=27∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=log3（a1a10）+log3（a2a9）+…log3（a5a6）=5log3（a5a6）=5log327=5×3=15 故选：C．点评：本题主要考查了等比数列的性质．即若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则a m a n=a p a q．6．在等比数列{a n}中，a2，a6时方程x2﹣34x+64=0的两根，则a4等于（）。
江西省宜春市第一中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，正实数、满足，且，若在区间[]上的最大值为，则、的值分别为( )A．、2 B．、4 C．、 D．、2参考答案：B2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A是B和C的等差中项，，，则△ABC周长的取值范围是A. B.C. D.参考答案：B分析：由得B角是钝角，由等差中项定义得A为60°，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围．详解：∵是和的等差中项，∴，∴，又，则，从而，∴，∵，∴，所以的周长为，又，，，∴．故选B．点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围．解题易错的是向量的夹角是B角的外角，而不是B 角，要特别注意向量夹角的定义．3. 直线与圆交于A，B两点，且，过点A，B分别作l的垂线与y轴交于点M，N，则等于（）A. B. 8 C. D.参考答案：C根据题中的条件可知圆的半径等于3，所以直径等于6，所以直线过圆心，即直线过坐标原点，从而可以求得，结合图形的特征，.4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元参考答案：B试题分析：，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程?y＝?bx+?a中的?b为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5考点：线性回归方程5. 函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象（）A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位B、向左平移1个单位，再向上平移1个单位C、向右平移1个单位，再向上平移1个单位D、向右平移1个单位，再向下平移1个单位参考答案：C6. 设对任意实数k，关于x的不等式( k 2 + 1 ) x≤ k 4 + 2的公共解集记为M，则（）（A）∈M与∈M都成立（B）∈M与∈M都不成立（C）∈M成立，∈M不成立（D）∈M不成立，∈M成立参考答案：B7. 的值等于（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用和角的正弦公式化简求值得解.【详解】由题得.故选：【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.8. 函数的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：D 略9. 向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )．A．等腰非直角三角形 B.等边三角形C．直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形参考答案：C10. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．42+6B．30+6C．66 D．44参考答案：A考点：由三视图求面积、体积；简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可得多面体的底面是侧视图，高为3的四棱柱，即可求出该多面体的表面积．解答：由三视图可得多面体的底面是侧视图，高为3的四棱柱，所以该多面体的表面积是+2×3+4×3+3××2=42+6，故选：A．点评：本题考查三视图，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，﹣1），两圆的圆心均在直线x﹣y+c=0上，则m+c=_________ ．参考答案：312. 函数的单调递减区间为.参考答案：13. 如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论：①BM 与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成角；④DM与BN垂直．其中，正确命题的序号是______________________．参考答案：③④略14. 幂函数的图象过点，那么的值为___ ▲______.参考答案：15. 若函数f（x）满足f（）=x2+3，则f（0）= ．参考答案：4【考点】函数的值．【专题】计算题；规律型；函数思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）满足f（）=x2+3，则f（0）=f（）=（﹣1）2+3=4．故答案为：4．【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．16. 若数列{a n}满足a1＝1，且a n＋1＝2a n，n∈N*，则a6的值为.参考答案：3217. 函数y=log（6+x﹣x2）的单调递增区间为．参考答案：（，3）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=6+x﹣x2 ＞0，求得函数的定义域，且函数y= t，本题即求二次函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性值可得结论．【解答】解：令t=6+x﹣x2 ＞0，求得﹣2＜x＜3，故函数的定义域为{x|﹣2＜x＜3}，且函数y=t，故本题即求二次函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性值可得二次函数t在定义域内的减区间为（，3），故答案为：（，3）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年江西省宜春市高安中学高一（上）第一次段考数学试卷（A卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，M={x|x≥1}，N={x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)为()A. {x|x≥0}B. {x|x<1或x≥5}C. {x|x≤1或x≥5}D. {x|x<0或x≥5}2.函数y=f(x)的定义域是[−1,3]，则函数g(x)=f(2x−1)x+2的定义域是()A. [0,2]B. [−3,5]C. [−3,−2]∪(−2，5]D. (−2,2]3.已知不等式mx2−mx+1>0，对任意实数x都成立，则m的取值范围()A. (−∞,−4)∪[0，+∞)B. [0,4)C. (−∞,0]∪(4，+∞)D. [−4,0)4.已知函数f(x)=e x−1e+1，a=f(20.3)，b=f(0.20.3)，c=f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A. b<a<cB. c<b<aC. b<c<aD. c<a<b5.在△ABC中，内角A，B，C的对边是a，b，c，若sinCsinA=√3，b2−a2=√3ac，则cos C等于()A. 12B. 13C. 14D. 156.记a=sin(cos2020°)，b=sin(sin2020°)，c=cos(sin2020°)，d=cos(cos2020°)，则()A. d>c>b>aB. d>c>a>bC. c>d>b>aD. a>b>d>c7.递减的等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n取最大值，n的值为()A. 10B. 7C. 9D. 7或88.已知点O是锐角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=π3.若AO⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则6x+9y=()A. 6B. 5C. 4D. 39.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=2π3，a+2b=12.若D 是边AB上一点，且BD=2AD，CD=3，则△ABC的面积为()A. 218B. 21√38C. 8D. 1210.已知x>1，y>0，且1x−1+2y=1，则x+2y的最小值为()A. 9B. 10C. 11D. 7+2√611.函数f(x)=cos(2x−2π3)+4cos2x−2−33x−π(x∈[−11π12,19π12])所有零点之和为()A. 2π3B. 4π3C. 2πD. 8π312.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足3a1+32a2+⋯…+3n a n=n(n∈N∗)，若对于任意的x∈R，n∈N∗，不等式S n<x2+ax+1恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−√2,√2]B. (−√2,√2)C. (−∞,−√2]∪[√2,+∞)D. (−∞,−√2)∪(√2,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={x|x2+x−6=0}，B={x|mx−1=0}.若B⊆A，则实数m组成的集合是______．14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2ccosB−√3b=2a，则C=______．15.设f(x)是定义在(−∞,+∞)上的奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，若f(12)=0，三角形的内角A满足f(cosA)<0，则A的取值范围是______.16.已知正数a，b满足a+b=2，则(3+2a )(8+2b)的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=7，AD=3，BD=5，BC=8，∠DBC=60°．(1)求∠ADB的大小；(2)求CD的长；(3)求四边形ABCD的面积．18. 已知等比数列{a n }是递增的数列，且前n 项和为S n ，S 3=7，又a 1+3，3a 2，a 3+4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n =log 2a n+164，求|b 1|+|b 2|+⋯+|b n |.19. 已知关于x 的一元二次不等式x 2−(m +3)x +3m <0．(Ⅰ)若不等式的解集为(−2,3)，求实数m 的值；(Ⅱ)若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围．20. 在平面直角坐标系xOy 中，函数f(x)=2Asinωx+φ2cosωx+φ2(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，P 是图象上的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为√52，2，且它们的夹角的余弦值为√55． (1)求函数y =f(x)的解析式；(2)函数g(x)=sin π3x ，当x ∈[0,2]时，求函数ℎ(x)=f(x)⋅g(x)的值域．21.已知函数f(x)=log121−axx−1的图象关于原点对称，其中a为常数．(1)求a的值；(2)当x∈(1,+∞)时，f(x)+log12(x−1)<m恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)=log12(x+k)在[2,3]上有解，求k的取值范围．22.已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，且a2⋅a3=15，S4=16.数列{b n}满足b1=a1，b n+1−b n=1a n⋅a n+1．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)是否存在正整数m，n(m≠n)，使得b2，b m，b n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】本题考查补集、并集的运算，要注意(∁U M)∪(∁U N)的运算的顺序，先求补集，再求并集．根据题意，结合补集的意义，可得∁U M 与∁U N ，进而由并集的意义，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，M ={x|x ≥1}，则∁U M ={x|x <1}， N ={x|0≤x <5}，则∁U N ={x|x <0或x ≥5}， 则(∁U M)∪(∁U N)={x|x <1或x ≥5}． 故选B ．2.【答案】A【解析】解：函数y =f(x)的定义域是[−1,3]， 要使函数g(x)=f(2x−1)x+2有意义，可得{−1≤2x −1≤3x +2≠0，解得：0≤x ≤2．∴函数g(x)的定义域是[0,2)． 故选：A ．利用函数的定义域，列出不等式组求解即可． 本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．3.【答案】B【解析】解：当m =0时，不等式成立，∴m =0； 当m ≠0时，则有{m >0△=m 2−4m <0，解得0<m <4； 综上，故：0≤m <4． 故选：B ．先对二次项系数进行讨论，m=0时成立，当m≠0时是一元二次不等式，对任意实数x 都成立，满足开口向上与x轴没交点．本题考查二次函数的简单性质的应用，对应二次项系数是字母的情况，要对系数进行讨论，看是否为零然后再求解．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=e x−1e x+1=1−2e x+1，所以f(x)是定义域R上的单调增函数，又20.3>1>0.20.3>0>log0.32，所以f(20.3)>f(0.20.3)>f(log0.32)，所以a>b>c，即c<b<a．故选：B．判断函数f(x)是定义域R上的单调增函数，再判断20.3、0.20.3和log0.32的大小，即可得出a、b、c的大小．本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数单调性比较大小问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵sinCsinA=√3，∴由正弦定理可得：ca=√3，即c=√3a，又∵b2−a2=√3ac，∴b2−a2=3a2，可得b=2a，∴cosC=a2+b2−c22ab =a2+4a2−3a22a×2a=12，故选：A．解：由已知利用正弦定理可得c=√3a，结合已知b2−a2=√3ac，可求得b=2a，进而根据余弦定理可求cos C的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解析】解：∵2020°=360°×5+180°+40°∴cos2020°=−cos40°，sin2020°=−sin40°，∵1>cos40°>sin40°>0，∴a=sin(cos2020°)=−sin(cos40°)，b=sin(sin2020°)=−sin(sin40°)，c=cos(sin2020°)=cos(sin40°)，d=cos(cos2020°)=cos(cos40°)，即cos(sin40°)>cos(cos40°)>0，sin(cos40°)>sin(sin40°)，−sin(cos40°)<−sin(sin40°)<0，∴c>d>b>a，故选：C．利用诱导公式化简，再根据三角函数的单调性判断即可．本题考查了三角函数的运算公式，三角函数的单调性的运用比较大小，属于中档题．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和取得最值的条件①a1>0，d<0时数列的前n项和有最大值；②a1<0，d>0数列的前n项和有最小值，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．由S5=S10可得S10−S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，根据等差数列的性质可得a8= 0，结合等差数列为递减数列，可得d小于0，从而得到a7大于0，a9小于0，从而得到正确的选项．【解答】解：∵S5=S10，∴S10−S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，根据等差数列的性质可得，a8=0，∵等差数列{a n}递减，∴d<0，即a7>0，a9<0，根据数列的前n项和的性质可知S7=S8，此时S n最大．故选：D．【解析】解：如图所示，过点O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ； 则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×82=32，AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12×122=72； 又A =π3，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8×12×cos π3=48， ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 化为32=64x +48y①，72=48x +144y②， 联立①②解得x =16，y =49； ∴6x +9y =5． 故选：B ．根据题意，过点O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，计算AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，再根据AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，列出方程组求出x 与y 的值，即可求出答案． 本题考查了向量数量积运算性质、三角形外心性质、垂经定理，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．9.【答案】B【解析】解：如图，过点D 作DE//AC 交BC 于点E ，则∠CED =π3． 由BD =2AD ，得CE =a3，DE =2b 3．在△CDE 中，由余弦定理，得9=(a3)2+(2b3)2−2×a3×2b 3×cos π3，整理得(a +2b)2−6ab =81，结合a +2b =12，解得ab =212，所以△ABC的面积S=12absinC=21√38．故选：B．由已知结合余弦定理可求ab，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．10.【答案】B【解析】解：∵x>1，∴x−1>0，又y>0，且1x−1+2y=1，∴x+2y=(x−1)+2y+1=[(x−1)+2y](1x−1+2y)+1=6+2yx−1+2(x−1)y≥6+2√2yx−1⋅2(x−1)y=10，当且仅当2yx−1=2(x−1)y，即x=4，y=3时等号成立，故x+2y的最小值为10．故选：B．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数f(x)=cos(2x−2π3)+4cos2x−2−3 3x−π(x∈[−11π12,19π12])所有零点⇔函数g(x)=cos(2x−2π3)+4cos2x−2与ℎ(x)=33x−π的交点的横坐标．g(x)=cos(2x−2π3)+4cos2x−2=√32sin2x+32cos2x=√3sin(2x+π3)，ℎ(x)=3 3x−π=1x−π3，可得函数g(x)，ℎ(x)的图象，关于点(π3,0)对称．函数g(x)，ℎ(x)的图象如下：(只需画出直线x=π3右侧部分)结合图象可得在区间[−11π12,19π12]，函数g(x)，ℎ(x)的图象由4个交点，关于点(π3,0)对称．所有零点之和为2×π3+2×π3=4π3，故选：B函数f(x)=cos(2x−2π3)+4cos2x−2−33x−π(x∈[−11π12,19π12])所有零点⇔函数g(x)=cos(2x−2π3)+4cos2x−2与ℎ(x)=33x−π的交点横坐标．可得函数g(x)，ℎ(x)的图象关于点(π3,0)对称，画出函数g(x)，ℎ(x)的图象，结合图象可求解．本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想、转化思想，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵3a1+32a2+⋯…+3n a n=n(n∈N∗)，∴当n≥2时，有3a1+32a2+⋯…+3n−1a n−1=n−1，两式相减得：3n a n=1，即a n=13n(n≥2)，又当n=1时，有3a1=1，解得a1=13；∴a n=13n ，S n=13[1−(13)n]1−13=12[1−(13)n]<12．∵对于任意的x∈R，n∈N∗，不等式S n<x2+ax+1=(x+a2)2+1−a24恒成立，∴(x2+ax+1)min=1−a24≥12，即a2≤2，∴a∈[−√2,√2].故选：A．由3a1+32a2+⋯…+3n a n=n(n∈N∗)⇒当n≥2时，有3a1+32a2+⋯…+3n−1a n−1=n−1，两式相减整理得：3n a n=1，即a n=13n (n≥2)，再由a1=13也适合，得到a n与S n.再由对于任意的x∈R，n∈N∗，不等式S n<x2+ax+1恒成立，得到：(x2+ax+1)min=1−a24≥12，解出a即可选出正确选项．本题主要考查数列通项公式的求法、等比数列前n项和公式的应用及利用不等式恒成立求参数取值范围等知识点，属于中档题．13.【答案】{0,12,−13}【解析】解：∵A={x|x2+x−6=0}，∴A={−3,2}，又∵B⊆A∴当m=0时，B=⌀，符合题意；当m≠0时，集合B中的元素可表示为x=1m ，若1m=−3，则m=−13，若1m=2，则m=12；∴实数m组成的集合是{0,12,−13}．故答案为：{0,12,−13}．本题考查的是集合的包含关系判断及应用问题．在解答时，应先将集合A具体化，又B⊆A，进而分别讨论满足题意的集合B，从而获得问题的解答．本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题．在解答的过程当中充分体现了集合元素的特性、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．14.【答案】5π6【解析】解：因为2ccosB−√3b=2a，所以由正弦定理可得2sinCcosB−√3sinB=2sinA，又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，可得2sinCcosB−√3sinB=2sinBcosC+2cosBsinC，即−√3sinB=2sinBcosC，因为sinB>0，所以cosC=−√32，又C∈(0,π)，则C=5π6．故答案为：5π6．由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinB>0，可得cos C的值，结合范围C ∈(0,π)，即可求解C 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15.【答案】(π3,π2)∪(2π3,π)【解析】 【分析】根据函数在R 上的奇偶性和在区间(0,+∞)上的单调性可以判断f(x)在区间(−∞,0)的单调性再分角A 是锐角，直角还是钝角三种情况讨论cos A 的正负，利用f(x)的单调性解不等式．本题主要考查了综合运用函数的单调性和奇偶性解含函数符号的不等式，易错点是只考虑函数在(0,+∞)的单调性，没有考虑(−∞,0)的单调性． 【解答】解：∵f(x)是定义在(−∞,+∞)上的奇函数，且在区间(0,+∞)上单调递增， ∴f(x)在区间(−∞,0)上也单调递增． ∵f(12)=0，∴f(−12)=0，当A 为锐角时，cosA >0，∴不等式f(cosA)<0变形为f(cosA)<f(12)，0<cosA <12，π3<A <π2；当A 为直角时，cosA =0，而奇函数满足f(0)=0，∴A 为直角时f(cosA)<0不成立； 当A 为钝角时，cosA <0，∴不等式f(cosA)<0变形为f(cosA)<f(−12)，cosA <−12，2π3<A <π．综上，A 的取值范围为(π3,π2)∪(2π3,π)， 故答案为(π3,π2)∪(2π3,π)．16.【答案】49【解析】解：∵正数a ，b 满足a +b =2， 则(3+2a )(8+2b )=(3+a+b a)(8+a+b b)=(4+b a )(9+ab )，=37+4a b +9b a≥37+12=49，当且仅当4a b =9ba且a +b =2即b =45，a =65时取等号． 故答案为：49由(3+2a )(8+2b )=(3+a+b a)(8+a+b b)=(4+b a )(9+ab)，展开后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．17.【答案】解：(1)在△ABD 中，AB =7，AD =3，BD =5，由余弦定理可得cos∠ADB =AD 2+BD 2−AB 22AD⋅BD=9+25−492×3×5=−12，所以∠ADB =120°．(2)在△BCD 中，BD =5，BC =8，∠DBC =60°，由余弦定理可得CD 2=BD 2+BC 2−2BD ⋅BC ⋅cos∠DBC =25+64−2×5×8×12=49，所以CD =7．(3)S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB =12×3×5×√32=15√34， S △BCD =12BC ⋅BD ⋅sin∠DBC =12×8×5×√32=10√3，所以四边形ABCD 的面积为S △ABD +S △BCD =55√34．【解析】(1)利用余弦定理可得结论；(2)利用余弦定理可得结论；(3)由三角形面积公式分别求得△ABD 和△BCD 的面积，即可得结论．本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)设公比为q 的等比数列{a n }是递增的数列，且前n 项和为S n ，S 3=7，又a 1+3，3a 2，a 3+4成等差数列． 所以{S 3=72(3a 2)=a 1+a 3+3+4，解得{a 2=2q =2或12，由于数列{a n }是递增的数列， 所以q =2．所以a n =2×2n−2=2n−1． (2)由(1)得b n =log 2a n+164，=n −6，当n ≤6时，b n ≤0， 所以|b 1|+|b 2|+⋯+|b n |=n(11−n)2．当n ≥7时，|b 1|+|b 2|+⋯+|b n |=(b 1+b 2+⋯+b n )−2(b 1+b 2+⋯+b 6)=n 2−11n+602．故|b 1|+|b 2|+⋯+|b n |={n(11−n)2(1≤n ≤6)n 2−11n+602(n ≥7)．【解析】(1)直接利用等比数列的应用求出数列的通项公式． (2)利用分类讨论的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)若不等式x 2−(m +3)x +3m <0的解集为(−2,3)，则−2和3是x 2−(m +3)x +3m =0的两个实数根， ∴−2+3=m +3，且−2×3=3m ，解得m =−2．(Ⅱ)不等式式x 2−(m +3)x +3m <0，即(x −3)(x −m)<0， 当m <3时，不等式的解集为(m,3)，若它的解集中恰有两个整数， 则0≤m <1．当m >3时，不等式的解集为(3,m )，若它的解集中恰有两个整数， 则5<m ≤6，综上，实数m 的取值范围为[0,1)∪(5,6]．【解析】(Ⅰ)由题意利用韦达定理，求出实数m 的值． (Ⅱ)由题意利用二次函数的性质，求出实数m 的取值范围． 本题主要考查韦达定理，二次函数的性质，属于基础题．20.【答案】解：(1)f(x)=2Asinωx+φ2cosωx+φ2=Asin(ωx +φ)，由条件知cos∠POQ =√55，则sin∠POQ =2√55， P 的纵坐标y =OPsin∠POQ =√52×2√55=1， P 点的横坐标x =OPcos∠POQ =√55×√52=12，即P(12,1)， 即振幅A =1，周期T =4×(2−12)=6，即2πω=6，即ω=π3， 即f(x)=sin(π3x +φ)， 又f(12)=sin(π3×12+φ)=1， 即π6+φ=π2，则φ=π3， 即f(x)=sin(π3x +π3).(2)函数g(x)=sin π3x ，当x ∈[0,2]时，函数ℎ(x)=f(x)⋅g(x)=sin π3x ⋅sin(π3x +π3).=sin π3x(12sin π3x +√32cos π3x)=12sin 2(π3x)+√32sin π3xcos π3x =1−cos 2π3x 4+√34sin 2π3x =12sin(2π3x −π6)+14， 当x ∈[0,2]时，2π3x −π6∈[−π6,7π6]时即当2π3x −π6=π2时，函数ℎ(x)取得最大值为12sin π2+14=12+14=34， 当2π3x −π6=π2时，函数ℎ(x)取得最大值为12sin π2+14=12+14=34，当2π3x −π6=−π6时，函数ℎ(x)取得最小值为12sin(−π6)+14=−12×12+14=0， 即ℎ(x)=12sin(2π3x −π6)+14值域为[0,34].【解析】(1)由三角函数的定义求出P 的坐标可得A 的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P 的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得y =f(x)的解析式．(2)利用三角函数的倍角公式以及辅助角是进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +⌀)的部分图象求函数的解析式，函数y =Asin(ωx +⌀)的图象变换规律，利用辅助角公式以及倍角公式进行化简是解决本题的关键．21.【答案】解：(1)函数f(x)=log 121−axx−1的图象关于原点对称， ∴f(x)+f(−x)=0，即log 121−ax x−1+log 121+ax −x−1=0，∴log 12(1−ax x−1×1+ax−x−1)=0，∴1−ax x−1×1+ax −x−1=1恒成立，即1−a 2x 2=1−x 2，即(a 2−1)x 2=0恒成立，所以a 2−1=0，解得a =±1， 又a =1时，f(x)=log 121−axx−1无意义，故a =−1；(2)x ∈(1,+∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立， 即log 121+xx−1+log 12(x −1)<m ，∴log 12(x +1)<m 在(1,+∞)恒成立，由于y =log 12(x +1)是减函数，故当x =1，函数取到最大值−1， ∴m ≥−1，即实数m 的取值范围是m ≥−1； (3)由(1)得：f(x)=log 12(x +k)， 即log 12x+1x−1=log 12(x +k )，即x+1x−1=x +k ，即k =2x−1−x +1在[2,3]上有解， g(x)=2x−1−x +1在[2,3]上单调递减，g (2)=1,g (3)=−1， 则g(x)的值域是[−1,1]， ∴k ∈[−1,1]．即k 的取值范围为[−1,1]．【解析】(1)函数f(x)=log 121−axx−1的图象关于原点对称，可得f(x)+f(−x)=0，整理得log 121−ax x−1+log 121+ax−x−1=0恒成立，即可得出答案(2)x ∈(1,+∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立，求出x ∈(1,+∞)时，f(x)+log 12(x −1)的最大值，即可解出m 的取值范围(3)由于f(x)=log 121+xx−1在[2,3]上是增函数，g(x)=log 12(x +k)在[2,3]上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出{f(2)≤g(2)f(3)≥g(3)，解之即可得出答案本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题22.【答案】解：(1)数列{a n }是公差为d 的正数的等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2⋅a 3=15，S 4=16．所以{(a 1+d)(a 1+2d)=154a 1+6d =16，解得{a 1=1d =2或{a 1=7d =−2(舍去)．所以a n =1+2(n −1)=2n −1． 数列{b n }满足b 1=a 1=1，b n+1−b n =1a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以b 2−b 1=12(1−13)，b 3−b 2=12(13−15)，…， 利用累加法：b n −b 1=b 1+n−12n−1=3n−22n−1(首项符合通项)． 故b n =3n−22n−1．(2)假设存在正整数m ，n(m ≠n)，使得b 2，b m ，b n 成等差数列， 所以b 2+b n =2b m ，由于b 2=43，b n =3n−22n−1，b m =3m−22m−1，所以43+3n−22n−1=2(3m−22m−1)，整理得12m−1=16+14n−2， 化简得：2m =7n−2n+1=7−9n+1．当n +1=3时，即n =2时，解得m =2，舍去． 当n +1=9时，即n =8，解得m =3，符合题意． 故存在整数m =3，n =8，使得b 2，b m ，b n 成等差数列．【解析】(1)直接利用等差数列的性质求出等差数列{a n }的通项公式，进一步利用累加法的应用求出数列b n }的通项公式．(2)利用假设法的应用和等差中项的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，累加法，假设法，等差中项，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．。
2021学年江西省宜春市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列写法中正确的是（ ）A.⌀={⌀}B.⌀⊆{0}C.⌀={0}D.0∈⌀2. 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）A.y =1，y =x xB.y =x ，y =√x 55C.y =√x −1×√x +1，y =√x 2−1D.y =|x|，y =(√x)23. 设A ={x|2x 2−px +q =0}，B ={x|6x 2+(p +2)x +5+q =0}，若A ∩B ={12}，则A ∪B =( )A.{12}B.{12, 13}C.{12, 13, −2}D.{12, 13, −4}4. 计算2−(12)+0√2√2−1−√(1−√5)0，结果是（ ） A.1B.2√2C.√2D.2−125. 设集合M ={x|0≤x ≤2}，N ={y|0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是（ ） A. B.C. D.6. 已知幂函数f(x)的图象经过点(2, 4)，则f(4)等于( )A.2B.8C.16D.647. 把函数y =−2x 2+4x +1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的函数关系式为（ ）A.y =−2(x −1)2+6B.y =−2(x −1)2−6C.y =−2(x +1)2+6D.y =−2(x +1)2−68. 函数f(x)={x 2+bx +c,x ≤0,2,x >0,若f(−4)=f(0)，f(−2)=−2，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.49. 函数y ＝x 2−2x +3在区间[0, m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）A.[1, ∞)B.[0, 2]C.(−∞, 2]D.[1, 2]10. 已知函数y =f(x)的定义域是[−1, 4]，则y =f(2x −1)的定义域是（ ）A.[0, 52]B.[−1, 4]C.[−5, 5]D.[−3, 7]二、填空题（每小题5分，共25分）设U =R ，A ={x|a ≤x ≤b}，C U A ={x|x >4或x <3}，则a =________，b =________．含有三个实数的集合既可表示成{a, b a , 1}，又可表示成{a 2, a +b, 0}，则a 2015+b 2016=________．设(x, y)在映射f 下的象是(x+y 2, x−y 2)，则(−5, 2)在f 下的原象是________．已知函数y =f(x)是定义在区间(−2, 2)上的减函数，若f(m −1)>f(1−2m)，则m 的取值范围是________．奇函数f(x)在区间[3, 7]上是增函数，在区间[3, 6]上的最大值为8，最小值为−1，则2f(−6)+f(−3)=________．三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分）设全集U =R ，A ={x|−5<x <5}，B ={x|0≤x <7}|．求：（1）A∩B（2）A∪B （3）A∪∁U B (4)(∁U A)∩(∁U B)计算：(1)(338)−23−(549)0.5+(0.008)−23×225（2）已知x 12+x−12=3，试计算：x2+x−2−7x+x−1+3．设f(x)=√x−1+√3−x的定义域为A，g(x)=x2−2x+a，x∈A的值域为B．（1）若A∩B=⌀，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．设a是实数，f(x)=a−22x+1(x∈R)，（1）试证明：对于任意a，f(x)在R为增函数；（2）试确定a的值，使f(x)为奇函数．“水”这个曾经人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给我国农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，应交水费为f(x)．（1）试求出函数f(x)的解析式；（2）若本季度他交了12.6元，求他本季度实际用水多少吨？已知函数f(x)=x2+2ax+3，x∈[−2, 2]．（1）当a=−1时，求函数f(x)的最大值和最小值；（2）若f(x)在区间[−2, 2]上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）记f(x)在区间[−2, 2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式及值域．参考答案与试题解析2021学年江西省宜春市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1.【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】元素与集合的关系是∈和∉，集合间的关系是⊆、⊇、⊊、⊋、⊈、=，根据这些逐个判断．【解答】解：⌀是没有任何元素的，{⌀}是有一个元素是⌀的，故A不正确；⌀是任何集合的子集，故B正确；⌀是没有任何元素的，而{0}是有一个元素0．故C不正确；⌀是没有任何元素的，0不是⌀的元素，故D不正确；故选B．2.【答案】B【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】依次确定四个选项中的函数的定义域与对应关系，都相同的函数才表示同一函数．【解答】解：y=1的定义域为R，y=xx的定义域为{x|x≠0}，故两个函数不同，y=√x55=x的定义域为R，与y=x的对应关系及定义域都相同，故两个函数相等，y=√x−1×√x+1的定义域为[1, +∞), y=√x2−1的定义域为(−∞, −1]∪[1, +∞)，故两个函数不同，y=|x|的定义域为R，y=(√x)2的定义域为[0, +∞)，故两个函数不同．故选B．3.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】由A={x|2x2−px+q=0}，B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0}，A∩B={12}，知{2×14−12p+q=06×14+12(p+2)+5+q=0，解得p=−7，q=−4，由此能求出A∪B．【解答】解：∵ A ={x|2x 2−px +q =0}，B ={x|6x 2+(p +2)x +5+q =0}，A ∩B ={12}， ∴ {2×14−12p +q =06×14+12(p +2)+5+q =0， 解得p =−7，q =−4，∴ A ={x|2x 2+7x −4=0}={−4, 12}，B ={x|6x 2−5x +1=0}={13，12}，∴ A ∪B ={12, 13, −4}． 故选D ．4.【答案】B【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】通过变分数指数幂为根式，分母有理化及结合非0实数的0次幂为1化简求得结果．【解答】解：2−(12)+0√2√2−1−√(1−√5)0 =1√21√2√2+1(√2−1)(√2+1)−1 =√2+√2+1−1=2√2．故选B .5. 【答案】D【考点】函数的概念及其构成要素【解析】此题暂无解析【解答】解：集合M 到集合N 的函数关系需满足对于[0,2]内的每一个x 值，在[0,2]内都有唯一的y 值与之对应，所以只有D 选项符合题意．故选D ．6.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数的求值【解析】设出幂函数的解析式，利用已知条件求解解析式，然后求解结果．【解答】解：设幂函数为f(x)=x α，∵ f(x)的图象经过点(2, 4)，∴ 4=2α，∴ α=2，∴ f(4)=42=16．故选C ．7.【答案】C【考点】函数的图象变换【解析】图象的平移变换，左加右减，上加下减．【解答】解：由题意，y =−2x 2+4x +1→向左平移2个单位 y =−2(x +2)2+4(x +2)+1→向上平移3个单位 y =−2(x +2)2+4(x +2)+1+3=−2(x +1)2+6，故选C ．8.【答案】C【考点】分段函数的应用分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】由f(−4)=f(0)，f(−2)=−2得关于b 和c 的两个方程，求出b 、c ，再分x ≤0和x >0两段，分别解方程f(x)=x 即可．【解答】解：由题知{(−4)2−4b +c =c,(−2)2−2b +c =−2,解得b =4，c =2.故f(x)={x 2+4x +2,x ≤0,2,x >0.当x ≤0时，由f(x)=x 得x 2+4x +2=x ，解得x =−1或x =−2.即当x ≤0时，方程f(x)=x 有2个解；又当x >0时，有x =2，方程f(x)=x 有1个解.综上所述，方程f(x)=x 有3个解．故选C ．9.【答案】D【考点】函数的最值及其几何意义函数的图象与图象的变换【解析】根据抛物线的图象及性质我们可知函数最小值为2，然后利用抛物线图象关于对称轴对称的性质判定即可．【解答】由题意可知抛物线的对称轴为x＝1，开口向上∴0在对称轴的左侧∵对称轴的左侧图象为单调递减∴在对称轴左侧x＝0时有最大值3∵[0, m]上有最大值3，最小值2，当x＝1时，y＝2∴m的取值范围必须大于或等于1∵抛物线的图象关于x＝1对称∴m必须≤210.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意得不等式解出即可．【解答】解：∵−1≤2x−1≤4，，解得：0≤x≤52故选：A．二、填空题（每小题5分，共25分）【答案】3,4【考点】补集及其运算【解析】根据全集和集合A的补集推出集合A，即可得到a与b的值．【解答】解：由全集U=R，C U A={x|x>4或x<3}，得到集合A=[3, 4]所以a=3，b=4故答案为：3，4【答案】−1【考点】集合的相等【解析】根据集合相等和元素的互异性求出b和a的值，代入式子，即可得出结论．【解答】解：由题意得，{a, ba, 1}={a2, a+b, 0}，所以ba=0且a≠0，a≠1，即b=0，则有{a, 0, 1}={a2, a, 0}，所以a2=1，解得a=−1，∴a2015+b2016=−1．故答案为：−1．【答案】(−3, −7)【考点】映射【解析】设A中元素为(x, y)，由题设条件建立方程能够求出象(−5, 2)的原象．【解答】解：设原象为(x, y)，则有x+y2=−5，x−y2=2，解得x=−3，y=−7，则(−5, 2)在f下的原象是：(−3, −7)．故答案为：(−3, −7)【答案】(−12, 23)【考点】函数单调性的性质【解析】根据函数的单调性，得出不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：{m−1>−21−2m<2m−1<1−2m，解得：−12<m<23，故答案为：(−12，23)．【答案】−15【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的性质函数的求值【解析】先利用条件找到f(3)=−1，f(6)=8，再利用f(x)是奇函数求出f(−6)，f(−3)代入即可．【解答】解：f(x)在区间[3, 6]上也为递增函数，即f(6)=8，f(3)=−1∴2f(−6)+f(−3)=−2f(6)−f(3)=−15故答案为：−15三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分）【答案】解：全集U =R ，A ={x|−5<x <5}，B ={x|0≤x <7}，（1）A ∩B ={x|0≤x <5}；（2）A ∪B ={x|−5<x <7}；（3）∵ ∁U B ={x|x <0或x ≥7}，∴ A ∪∁U B ={x|x <5或x ≥7}；（4）∵ ∁U A ={x|x ≤−5或x ≥5}，∁U B ={x|x <0或x ≥7}，∴ (∁U A)∩(∁U B)={x|x ≤−5或x ≥7}．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）由A 与B ，求出两集合的交集即可；（2）由A 与B ，求出两集合的并集即可；（3）由全集U =R ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的并集即可；（4）由全集U =R ，求出A 的补集与B 的补集，找出两补集的交集即可．【解答】解：全集U =R ，A ={x|−5<x <5}，B ={x|0≤x <7}，（1）A ∩B ={x|0≤x <5}；（2）A ∪B ={x|−5<x <7}；（3）∵ ∁U B ={x|x <0或x ≥7}，∴ A ∪∁U B ={x|x <5或x ≥7}；（4）∵ ∁U A ={x|x ≤−5或x ≥5}，∁U B ={x|x <0或x ≥7}，∴ (∁U A)∩(∁U B)={x|x ≤−5或x ≥7}．【答案】解：（1）原式=[(32)3]−23−[(73)2]12+(0.2)3×(−23)×225=(32)−2−73+(15)−2×225=49−73+25×225=19．（2）∵ x 12+x −12=3，两边平方可得：x +x −1+2=32，化为x +x −1=7，两边平方可得：x 2+x −2+2=49，∴ x 2+x −2=47．∴ x 2+x −2−7x+x −1+3=47−77+3=4．．【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）由x 12+x −12=3，两边平方可得：x +x −1=7．两边平方可得：x 2+x −2=47．代入即可．【解答】解：（1）原式=[(32)3]−23−[(73)2]12+(0.2)3×(−23)×225=(32)−2−73+(15)−2×225=49−73+25×225=19．（2）∵ x 12+x −12=3，两边平方可得：x +x −1+2=32，化为x +x −1=7， 两边平方可得：x 2+x −2+2=49，∴ x 2+x −2=47．∴ x 2+x −2−7x+x −1+3=47−77+3=4．．【答案】解：由{x −1≥03−x ≥0，得1≤x ≤3． ∴ A =[1, 3]．由g(x)=x 2−2x +a ，x ∈[1, 3]．得y ∈[a −1, a +3]，∴ B =[a −1, a +3]．（1）∵ A ∩B =⌀，∴ a +3<1或a −1>3，解得a <−2或a >4；（2）∵ A ∪B =B ，∴ A ⊆B ，∴ {a −1≤1a +3≥3，得0≤a ≤2． 【考点】交集及其运算并集及其运算函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】分别求解函数的定义域和值域化简集合A ，B ．（1）由A ∩B =⌀得a +3<1或a −1>3，求解不等式得答案；（2）由A ∪B =B 得A ⊆B ，然后根据集合端点值间的关系列不等式组求解a 的取值范围．【解答】解：由{x −1≥03−x ≥0，得1≤x ≤3． ∴ A =[1, 3]．由g(x)=x 2−2x +a ，x ∈[1, 3]．得y ∈[a −1, a +3]，∴ B =[a −1, a +3]．（1）∵ A ∩B =⌀，∴ a +3<1或a −1>3，解得a <−2或a >4；（2）∵ A ∪B =B ，∴ A ⊆B ，∴ {a −1≤1a +3≥3，得0≤a ≤2． 【答案】解：（1）证明：设x 1、x 2∈R 且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=(a −12x 1+1)−(a −12x 2+1)=12x 2+1−12x 1+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)， 又由y =2x 在R 上为增函数，则2x 1>0，2x 2>0，由x 1<x 2，可得2x 1−2x 2<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)为增函数，与a 的值无关，220+1即对于任意a ，f(x)在R 为增函数；（2）若f(x)为奇函数，且其定义域为R ，必有有f(−x)=−f(x)，即a −22−x +1=−(a −22x +1)，变形可得2a =2(2x +1)2x +1=2， 解可得，a =1，即当a =1时，f(x)为奇函数．【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】（1）设x 1、x 2∈R 且x 1<x 2，用作差法，有f(x 1)−f(x 2)=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)，结合指数函数的单调性分析可得f(x 1)−f(x 2)<0，可得f(x)的单调性且与a 的值无关；（2）根据题意，假设f(x)是奇函数，由奇函数的定义可得，f(−x)=−f(x)，即a −22−x +1=−(a −22x +1)，对其变形，解可得a 的值，即可得答案．【解答】解：（1）证明：设x 1、x 2∈R 且x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=(a −12x 1+1)−(a −12x 2+1)=12x 2+1−12x 1+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)，又由y =2x 在R 上为增函数，则2x 1>0，2x 2>0，由x 1<x 2，可得2x 1−2x 2<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，故f(x)为增函数，与a 的值无关，220+1即对于任意a ，f(x)在R 为增函数；（2）若f(x)为奇函数，且其定义域为R ，必有有f(−x)=−f(x)，即a −22−x +1=−(a −22x +1)，变形可得2a =2(2x +1)2x +1=2，解可得，a =1，即当a =1时，f(x)为奇函数．【答案】解：（1）由题意可知：当0<x≤5时，y=1.2x；当5<x≤6时，y=3.6x−12；当6<x≤7时，y=6x−26.4．∴y={1.2x,(0<x≤5)3.6x−12,(5<x≤6) 6x−26.4,(6<x≤7)．（2）∵y={1.2x,(0<x≤5)3.6x−12,(5<x≤6)6x−26.4,(6<x≤7)，y=12.6，∴当0<x<5时，1.2x=12.6，解得x=10.5，不合题意；当5<x≤6，3.6x−12=12.6，解得x=4.1，不合题意；当6<x≤7时，6x−26.4=12.6，解得x=6.5．∴他本季度实际用水6.5吨．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）由题意可知当0<x≤5时，y=1.2x；当5<x≤6时，y=3.6x−12；当6< x≤7时，y=6x−26.4．由此能求出函数f(x)的解析式．（2）由y={1.2x,(0<x≤5)3.6x−12,(5<x≤6)6x−26.4,(6<x≤7)，y=12.6，利用分段函数的性质能求出他本季度实际用水6.5吨．【解答】解：（1）由题意可知：当0<x≤5时，y=1.2x；当5<x≤6时，y=3.6x−12；当6<x≤7时，y=6x−26.4．∴y={1.2x,(0<x≤5)3.6x−12,(5<x≤6) 6x−26.4,(6<x≤7)．（2）∵y={1.2x,(0<x≤5)3.6x−12,(5<x≤6)6x−26.4,(6<x≤7)，y=12.6，∴当0<x<5时，1.2x=12.6，解得x=10.5，不合题意；当5<x≤6，3.6x−12=12.6，解得x=4.1，不合题意；当6<x≤7时，6x−26.4=12.6，解得x=6.5．∴他本季度实际用水6.5吨．【答案】解：（1）当a=−1时，f(x)=x2−2x+3=(x−1)2+2，∵1∈[−2, 2]，∴f min(x)=2，f max(x)=f(−2)=11；（2）∵函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=−a，∴−a≤−2或−a≥2，即a≤−2或a≥2．（3）由（2）知，g(a)={4a+7,a<−23−a2，−2≤a≤27−4a,a>2，则其值域为(−∞, 3]．【考点】二次函数在闭区间上的最值【解析】（1）代入，由配方法求函数的最值；（2）f(x)在区间[−2, 2]上是单调函数，则对称轴在区间外；（3）由（2）中的单调性可直接写出g(a)，再求分段函数的值域．【解答】解：（1）当a=−1时，f(x)=x2−2x+3=(x−1)2+2，∵1∈[−2, 2]，∴f min(x)=2，f max(x)=f(−2)=11；（2）∵函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=−a，∴−a≤−2或−a≥2，即a≤−2或a≥2．（3）由（2）知，g(a)={4a+7,a<−23−a2，−2≤a≤27−4a,a>2，则其值域为(−∞, 3]．。
2020-2021学年江西省宜春市宜春中学高一上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}|lg 0A x x =≤，{}|21xB x =≤，则A B ⋃=A ．(),1∞-B ．(],1∞-C ．()1,∞+D ．[1,)∞+【答案】B【分析】先根据对数函数和指数函数的单调性，化简集合，再求集合的并集.. 【详解】∵lgx≤0=lg1，即0＜x≤1，∴A=（0，1]； ∵2x ≤1=20，即x≤0，∴B=（-∞，0]，则A ∪B=（-∞，1]． 故选B【点睛】本题考查了集合的并集运算，涉及了对数函数与指数函数的单调性的应用；求集合的并集，通常需要先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解.2．()sin 390-=（ ）A ．12-B ．12C ．3D 3【答案】A【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】()()()1sin 390sin 390360sin 30sin 302-=-+=-=-=-. 故选：A.3．在下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x = C ．tan y x = D ．tan 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据三角函数的性质，判断各项对应函数的奇偶性、周期性，进而确定正确选项.【详解】A ：sin sin ||x x -=，即为偶函数，不是周期函数，错误； B ：|cos()||cos |x x -=，即为偶函数，最小正周期为π，正确； C ：tan tan ||x x -=，即为偶函数，不是周期函数，错误； D ：tan tan()44x x ππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，非奇非偶函数，最小正周期为π，错误. 故选：B 4．函数2cos 1y x =+的定义域是（ ）A ．2,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,2(Z)66k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．22,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．222,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】利用负数不能开偶次方根，再由三角不等式的解法求解． 【详解】由2cos 10x +≥，得1cos 2x -， 解得2222,Z 33k x k k ππππ-+∈． 所以函数的定义域是222,2(Z)33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故选：D ．5．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为43，则弧长等于（ ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π【答案】D【分析】根据题意画出图形，结合图形求出半径r ，再计算弧长．【详解】如图所示，∠AOB ＝23απ=，AB＝O 作OC ⊥AB ，C 为垂足， 延长OC 交AB 于D ，则∠AOD ＝∠BOD ＝3π，AC 12=AB＝Rt △AOC 中，r ＝AO 4ACsin AOC ==∠，从而弧长为l ＝α•r ＝83π故选D ．【点睛】本题考查了弧长公式的应用问题，考查弦长公式及垂径定理，是基础题． 6．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++） A ．1.27 B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =, ∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈． 故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．7．设(52log 4,log 2,log a b c ===，则（ ） A ．a c b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】A【分析】由题意，5log 4a =、(2log 2b =+、log log c ==数的性质判断它们的大小.【详解】444log 17log 17log 161c ==>=，5555log 10log 4log 4log 51a =<==<=，∴10c a >>>，而()()()222log 23log 23log 23b =-=--=+， 又442log 17log 17c ==，而41723<+， ∴c b <， 综上，a c b <<. 故选：A8．函数()2cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】依照函数零点的定义即可求出．【详解】令()2cos 0f x x x ==，可得0x =或2cos 0x =，所以0x =或2,2x k k Z ππ=+∈，因为[]0,4x ∈，[]20,16x ∈，所以k 的取值有0，1，2，3，4 ，故函数()2cos f x x x=在区间[]0,4上的零点个数为6，故选C ．【点睛】本题主要考查函数零点个数的求法以及三角方程的解法，常见函数零点个数的求法有：一是定义法；二是零点存在性定理结合函数单调性；三是利用函数零点个数与函数图象交点个数关系判断． 9．函数()lncos 22f x x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，由此可得出合适的选项.【详解】函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，该函数的定义域关于原点对称，()()()lncos lncos f x x x f x -=-==，函数()f x 为偶函数，排除BD 选项；当02x π<<时，0cos 1x <<，则()lncos 0f x x =<，排除C 选项.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．已知(),0π是函数()()cos f x x ϕ=+的一个对称中心，()()()31g x af x bf x =++，若()23g =，则()2g -=（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．2【答案】A【分析】由()f x 的对称中心，结合余弦函数的性质可知：()sin f x x =±为奇函数，构造()1()h x g x =-判断奇偶性，根据已知函数值，求函数值即可. 【详解】令,2x k k Z πϕπ+=+∈，即()f x 的对称中心为(,0)2k ππϕ+-，而(),0π是一个对称中心，∴2k πϕπ=-，即()cos()sin 2f x x k x ππ=+-=±，故()f x 为奇函数，由题意，令()()()31()h x g x af x bf x ==+-，则()()()()33())[](h x af x bf x a f h f b x x x =--+=--=-+，故()h x 为奇函数，∴()1[()1]g x g x --=--，而()23g =，即(2)1[(2)1]g g --=--，得()21g -=-. 故选：A【点睛】关键点点睛：首先根据余弦函数性质及对称中心判断()f x 的奇偶性，再构造()1()h x g x =-确定奇偶性，求函数值.11．已知函数()1,(10)1,(01)x x f x x x ---≤<⎧=⎨-+<≤⎩，则()()1f x f x -->-的解集为（ ）A ．111,,144⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ B ．(]11,0,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．111,,122⎡⎫⎛⎤--⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．(]11,0,14⎡⎫--⋃⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据分段函数的性质，讨论x 的范围列不等式，求解即可.【详解】当10x -≤<时，()()1[()1]221f x f x x x x --=-----+=-->-，解得12x <-，即112x -≤<-；当01x <≤时，()()1[()1]221f x f x x x x --=-+----=->-，解得32x <，即01x <≤；∴综上，解集为1[1,)(0,1]2x ∈--⋃. 故选：B12．已知定义在R 上的奇函数()f x 在区间()0,∞+上是增加的，且0,12f ABC ⎛⎫⎪⎝=⎭△的内角A 满足()cos 0f A ≤，则角A 的取值范围是（ ）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,323ππππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， D ．5,,626ππππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】C【分析】根据函数()f x 在R 上的奇偶性和在区间(0,)+∞上的单调性可以判断()f x 在区间(,0)-∞的单调性和102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再分角A 是锐角,直角还是钝角三种情况讨论cos A 的符号,利用()f x 的单调性得到关于cos A 的不等式，求解其不等式可得出A 的取值范围. 【详解】()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数,且在区间(0,)+∞上单调递增,()f x ∴在区间(,0)-∞上也单调递增，且(0)0f =. 110022f f ⎛⎫⎛⎫=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当A 为锐角时,cos 0A >,不等式(cos )0f A ≤变形为1(cos ),2f A f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭10cos 2A ∴<≤, 解得32A ππ≤<；当A 为直角时,cos 0A =,而()f x 是定义在R 上的奇函数满足(0)0,f A =∴为直角成立；当A 为钝角时,cos 0A <,不等式(cos )0f A <变形为1(cos )2f A f ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭, 所以11cos 2A -<≤-,解得23A ππ≤<， 综上可得,A 的取值范围为2,,323ππππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， 故选：C. 【点晴】关键点睛：本题主要考查利用抽象函数的单调性和奇偶性求解抽象函数的不等式,解答本题的关键是对角A 进行分类讨论得到10cos 2A <≤，11cos 2A -<≤-，属于中档题.二、填空题13．已知2cos 265πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________【答案】25【分析】利用诱导公式三和诱导公式五可求得结果.【详解】sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin(2)62ππα+-sin[(2)]26ππα=--+22cos(2)()655πα=-+=--=.故答案为：2514．已知幂函数()()2531m f x m m x--=--在()0,∞+上是增函数，则实数m =___________.【答案】1-【分析】根据幂函数的定义，得到关于m 的方程，根据函数在()0,∞+上是减函数，对所得的m 进行判断，从而得到答案. 【详解】幂函数()()2531m f x m m x--=--，则211m m --=解得2m =或1m =- 当2m =时，()13f x x-=在()0,∞+上是减函数，不满足条件.当1m =-时，()2f x x =在()0,∞+上是增函数，满足条件所以1m =- 故答案为：1-15．已知关于x 的方程2cos 2cos 10x x a ---=有解，则a 的取值范围是____________. 【答案】[2,2]-【分析】由题意，令cos t x =，即2210t t a ---=在[1,1]-上有解，结合二次函数的性质，可求参数a 的范围.【详解】令cos [1,1]t x =∈-，则方程2210t t a ---=在[1,1]-上有解， ∴若21(2)t a f t t ---=，即其开口向上且对称轴为1x =，∴44(1)0(1)20a f a ∆=++≥⎧⎨-=-≥⎩，解得22a -≤≤.故答案为：[2,2]-.16．若函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩恰有两个零点，则实数a 的范围是________【答案】1[,1)[2,)2+∞【分析】分别设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--，分两种情况讨论，即可求出a 的范围.【详解】解：设()2,()4()(2)xh x a g x x a x a =-=--， 若在1x <时，()2xh x a =-与x 轴有一个交点，所以0a >，并且当1x =时，(1)20h a =-> ，所以02a <<， 而函数()4()(2)g x x a x a =--有一个交点，所以21a ≥，且1a <， 所以112a ≤<， 若函数()2xh x a =-在1x <时，与x 轴没有交点，则函数()4()(2)g x x a x a =--有两个交点，当0a ≤时，()h x 与x 轴无交点，()g x 无交点，所以不满足题意（舍去），当(1)20h a =-≤时，即2a ≥时，()g x 的两个交点满足12,2x a x a ==，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是112a ≤<，或2a ≥. 故答案为：1[,1)[2,)2+∞.【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题.三、解答题 17．求值： （1）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）2lg5+ 【答案】（1）100；（2）1.【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质，求值；（2）利用对数的运算性质，求值； 【详解】（1）原式232527375937100()310031009644831648=++-+=++-+=； （2）原式2222(lg2)lg2lg5(lg2)+lg2lg5(lg 2)2lg 21(lg 21)222⋅⋅++-+-=+=lg2(lg2lg5)lg2lg21lg 211222+=+-=+-=.18．已知函数()12sin f x x =-.（1）用“五点法”作出函数()f x 在[]0,2x π∈上的简图； （2）若方程()f x a =在5,63x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈上有两个实根，求a 的取值范围. 【答案】（1）图象见解析；（2）(1,0][13,3)a ∈-⋃. 【分析】（1）首先根据解析式，确定3{0,,,,2}22x ππππ=对应的函数值，即可描点作简图；（2）由题意知，1sin 2a x -=在5,63x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈上有两个实根，结合（1）的图象确定区间内相同函数值在5,63x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈可取两个x 值的区间，进而求值域，即可求参数a 的范围.【详解】（1）由解析式知：x2ππ32π 2π()f x1 -1 1 3 1即在[]0,2x π∈上的简图如下：（2）由题意，1sin 2a x -=在5,63x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈上有两个实根， 结合（1）的图象知：5[,)(,]6226x ππππ∈⋃，1sin [,1)2x ∈，即11122a-≤<，得10a -<≤； 4335[,)(,]3223x ππππ∈⋃，3sin (1,2x ∈--，即13122a --<≤-，得133a +≤<；∴综上有：(1,0][13,3)a ∈-⋃+. 【点睛】关键点点睛： （1）确定3{0,,,,2}22x ππππ=对应的函数值，描点作图； （2）根据图象，确定相同函数值在5,63x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈可取两个x 值的区间，进而求参数范围.19．若函数()()2lg 252f x x x =-+-.（1）求()f x 的定义域M ；（2）当x M ∈时，求函数())22log log2g x x x =的值域.【答案】（1）122⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2) 1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由对数型函数的定义域可得22520x x ，从而可得出函数的定义域.（2）由对数的运算性质将()g x 化为()()222log log x x g x +=，根据122x M ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，，则21log 1x -<<，结合二次函数的性质可得答案.【详解】（1）函数()()2lg 252f x x x =-+-的定义域满足22520x x解得：122x << 所以()f x 的定义域122M ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（2）()()()22221log log2log 222log g x x x x x =⋅⋅+= ()2222211log log log 24x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎭=⎝由122x M ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，，则21log 1x -<< 所以22190log 24x ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭，则22111log 2424x ⎛⎫-≤+-< ⎪⎝⎭所以()g x 的值域为1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点睛：本题的关键是由对数的运算将()g x 化为()()222log log x x g x +=，属于中档题.20．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转3π得11,OP OP 逆时针旋转得21,,n OP OP -⋅⋅⋅，逆时针旋转3π得n OP .（1）若点2020P 的横坐标为45，求点1P 的横坐标；（2）若0P 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求()()()c sin ta os n 2sin 3ααπαπαππ+⎛⎫-- ⎪⎝-⎭的值. 【答案】（1）45-；（2）53【分析】（1）根据得2020P 的横坐标为45，即：4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即为点1P 的横坐标；（2）根据题意得344cos ,sin ,tan 553ααα===，再根据诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）根据题意得：2020OP 终边对应的角为20203πα+⨯，因为点2020P 的横坐标为45， 所以4cos 202035πα⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，即4cos 673cos 335ππαπα⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 另一方面，1OP 的终边对应的角为π3α+， 所以点1P 的横坐标为π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （2）因为0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，所以344cos ,sin ,tan 553ααα===， 所以()()()()()sin sin tan cos cos tan 152cos sin cos 3sin cos sin cos cos 3παααπαααααππαααααα⎛⎫--⋅ ⎪⋅⎝⎭====+--⋅-⋅ 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，是基础题．本题解题的关键在于根据规律得n OP 的终边对应的角*,3n n N πα+∈，进而根据三角函数定义求解.21．已知()()()()11,22x x x x f x e e g x e e --==+-. （1）若函数()()()g x h x f x =，判断()h x 的单调性并证明； （2）若关于x 的方程()()222520f x ng x n --+=有解，求实数n 的取值范围. 【答案】（1）()h x 为R 上的增函数，证明见解析; (2) 6n ≥或2n ≤【分析】(1)将()h x 的解析式化为()2211x e h x =+-，再由函数单调性的定义法证明的步骤证明即可. (2)将问题化为()()2320x xx x n e e e e n ------+=有解，设x x t e e -=-，即2320t nt n --+=有解，然后分析t 的范围，由二次方程有解的条件可得答案.【详解】（1）()()()x xx x e g x h ex f e e x ---+==为R 上的增函数. 证明：任取12,x x R ∈ 且12x x <由()22212111x x x x x x x e e e e e e h x e ----++==-+= ()()121222111221x x e x h e h x ⎛⎫⎛⎫--- -=⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+ ()()()()()()12122121212222222222112222111111x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e +-+-=-=⨯=⨯++++++ 12x x <，则1222x x e e <，所以12220x x e e -<，又2210x e +>，1210x e +>所以()()12212222110x x x x e e e e ++<-，即()()120h x h x -< 所以()()12h x h x <所以()x xx xe e e eh x ---+=为R 上的增函数. （2）方程()()222520f x ng x n --+=有解 即()()22520xx x x ee e e n n ----+-=+有解也即()()2320x xx x n e e e e n ------+=有解设x x t e e -=-，0x e >，由1xxx xt e ee e -=-=-在R 上单调递增， 当0x e →时，1x x e e -→-∞，当x e →+∞时，1xx e e-→+∞，则t R ∈所以2320t nt n --+=在R 上有解，所以()24230n n ∆=-⨯-≥，解得6n ≥或2n ≤【点睛】思路点睛：利用定义法证明函数的单调性的基本步骤为：(1)在给定的区间内任取变量12,x x ，且设12x x <.(2)作差()()12f x f x -变形，注意变形要彻底，变形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等.(3)判断符号，得出()()12f x f x ，的大小. (4)得出结论.22．设函数()*(,),kk f x x bx c k N b c R =++∈∈，()(1)log 0,a g x x a a =>≠.（1）若1b c +=，且()114k f g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求实数a 的值； （2）若2k =，记函数()k f x 在[]1,1-上的最大值为M ，最小值为m ，求4M m -≤时b 的取值范围.【答案】（1）12a =；（2）[2,2]b ∈-. 【分析】（1）由解析式求出(1)k f 、1()4g ，根据()114k f g ⎛⎫=⎪⎝⎭求a的值； （2）由题意，2()k f x x bx c =++且对称轴为2bx =-，结合其函数的性质，讨论2b -与[]1,1-的位置关系确定最大、最小值求参数.【详解】（1）由题意，(1)12k f b c =++=，而11()log 2log 244aa g ==-， ∴由()114k f g ⎛⎫=⎪⎝⎭知：2log 22a -=，可得12a =. （2）由题意，2()k f x x bx c =++，开口向上且对称轴2bx =-， ∵在[]1,1-上的最大值为M ，最小值为m ， ∴当12b-≤-，2b ≥时，1,1M b c m b c =++=-+，则24M m b -=≤，得2b =； 当102b -<-≤，02b ≤<时，21,4b M bc m c =++=-，则2144b M m b -=++≤，得02b ≤<；当012b <-≤，20b -≤<时，21,4b M bc m c =-+=-，则2144b M m b -=-+≤，得20b -≤<； 当b12->，2b <-时，1,1M b c m b c =-+=++，则24M m b -=-≤，无解； ∴综上，[2,2]b ∈-. 【点睛】关键点点睛：（1）根据函数解析式求对应的函数值，利用等式列方程求参数；（2）利用二次函数对称轴与区间的位置关系，讨论函数的最值，结合已知条件求参数范围.。
2020-2021学年江西省宜春市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,λ)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数λ=()A. 32B. −32C. 0D. 32.各项为正的等比数列{a n}中，a5=3，则log3a1+log3a9=()A. 1B. 2C. 3D. 93.下列命题中，正确的是()A. 若a>b，c>d，则ac>bdB. 若ac>bc，则a>bC. 若ac2<bc2，则a<bD. 若a>b，c>d，则a−c>b−d4.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为10√3，则ℎ=()A. √32B. √3C. 3√3D. 5√35.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边.若a，b，c成等比数列，且a2+√3bc=c2+ac，则∠A的大小是()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π66.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点G是线段BC1上的一点，且A1G⊥B1D，则()A. BG=12BC1 B. BC1=3GC1C. BG=3GC1D. 点G为线段BC1上任意一点7.已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则a1+a2b2的值是()A. 52B. −52C. 52或−52D. 128. 若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且PA =PB =PC ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是( )A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PAE ⊥平面ABCD. 平面PDF ⊥平面ABC9. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2−5n +2，则数列{|a n |}的前10项和为( )A. 56B. 58C. 62D. 6010. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +29)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( ) A. 19 B. 13 C. 1 D. 311. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =π3，b =2，S △ABC =3√3，则a+b−2csinA+sinB−2sinC =( )A. 2√73B. 4√213C. 4D. √6+√2412. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线方程为x −y +2=0，则顶点C 的坐标是( )参考公式：若△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x 3,y 3)，则该△ABC 的重心的坐标为(x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33).A. (−4,0)B. (−4,0)，(−2,0)C. (−4,0)，(−3,0)D. (−4,2)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知m⃗⃗⃗ =(5,12)，则与m ⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量是14.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为______km．15.三棱锥A−BCD的各顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，CD⊥平面ABC，BC=4，BD=5，球O的表面积为169π，则A−BCD的表面积为______ ．16.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b，c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则c2+5的a+b 取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，已知A(0,1)，B(5,−2)，C(3,5)．(1)求边BC所在的直线方程；(2)求△ABC的面积．18.已知函数f(x)=3x+3．x−2(1)当x>2时，求函数f(x)的最小值；(2)若存在x∈(2,+∞)，使得f(x)≤4t−2t成立，求t取值范围．19.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcosA+√3a=c．3(1)求cos B；(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，BC=√6，求AB的长．20.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为√3的等腰三角形，E、F分别为AB、PC的中点．(Ⅰ)证明：BF//平面PDE；(Ⅱ)求三棱锥E−BDF的体积．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和为T n，求T n．(2)若数列{n+1a n22. 已知圆C ：(x −3)2+y 2=1与直线m ：3x −y +6=0，动直线l 过定点A(0,1)．(1)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，点M 是PQ 的中点，直线l 与直线m 相交于点N.探索AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,λ)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =3+2λ=0，，则实数λ=−32故选：B．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得λ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由{a n}是等比数列，得a1a9=a52=9，所以log3a1+log3a9=log3(a1a9)= log39=2．故选：B．根据等比数列的性质可知a1a9=a52，又a5=3，所以利用log3a1+log3a9=log3(a1a9)即可计算出结果．本题主要考查等比数列的性质，考查推理论证和运算求解能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．根据特殊值法判断A、D，根据不等式的性质判断B，C即可．【解答】解：令a=1，b=−1，c=−1，d=−5，显然A、D不成立，对于B：若c<0，显然不成立，对于C：由c2>0，得：a<b，故C正确，故选：C．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力，是基础题．三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高h即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长5，6的矩形，一条侧棱垂直底面高为h，所以四棱锥的体积为：13×5×6ℎ=10√3，所以ℎ=√3．故选：B．5.【答案】A【解析】解析：由已知得b2=ac，因此a2+√3bc=c2+ac，可化为b2+c2−a2=√3bc．于是cosA=b2+c2−a22bc =√32，A=π6．故选：A．直接利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1中，B1D在侧面ABB1A1内的射影是AB1，且AB1⊥A1B，所以A1B⊥B1D，同理，B1D⊥C1，且A1B∩BC1=B，所以B1D⊥平面A1BC1，又A1G⊂平面A1BC1，所以A1G⊥B1D，即点G为线段BC1上任意一点，选项D正确，A、B、C选项错误．故选：D．根据题意画出图形，结合图形证明B1D⊥平面A1BC1，由A1G⊂平面A1BC1得出A1G⊥B1D，点G为线段BC1上任意一点．本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了推理与证明能力，是基础题．7.【答案】A【解析】【分析】由1，a1，a2，4成等差数列，利用等差数列的性质求出a2+a1的值，然后由1，b1，b2，b3，4成等比数列，求出b2的值，分别代入所求的式子中即可求出值．本题考查等差数列的性质、等比数列的性质，熟练掌握等比、等差数列的性质是解本题的关键．本题易错判b2=±2导致解题失误，等比数列问题中符号的判断是易错点．【解答】解：∵1，a1，a2，4成等差数列，∴a2+a1=1+4=5，又1，b1，b2，b3，4成等比数列，∴b22=b1b3=1×4=4，解得b2=±2，又b12=1×b2>0，∴b2=2，∴a1+a2b2=52．故选：A．8.【答案】D【解析】解：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF//BC，∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC//平面PDF，故A正确；∵PA=PB=PC，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∵PE∩AE=E，∴BC⊥平面PAE，∵DF//BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故C正确；设AE∩DF=O，连结PO，∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．故选：D．由DF//BC，得BC//平面PDF；由PE⊥BC，AE⊥BC，DF//BC，得DF⊥平面PAE；由BC⊥平面PAE，得平面PAE⊥平面ABC；设AE∩DF=O，由PO与平面ABC不垂直，得平面PDF与平面ABC不垂直．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.【答案】D=2.5时取得，【解析】解：S n=n2−5n+2的最小值是当n=−−52∵n是自然数，取值计算：n=2时，S n=22−5×2+2=−4，n=3时，S n=32−5×3+2=−4，A3=S3−S2=(−4)−(−4)=0，∴n≥4时，a n>0，n≤3时，a n≤0，a1=S1=1−5+2=−2，∴数列{|a n|}的前10项和：S=S10−2S3=(100−50+2)−2(9−15+2)=60．故选：D．由已知条件推导出n ≥4时，a n >0，n ≤3时，a n ≤0，所以数列{|a n |}的前10项和：S =S 10−2S 3．本题考查数列的前10的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．10.【答案】A【解析】解：在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ(14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +29)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{λ4=291−λ=m，即λ=89，m =19，故选：A ．由题意可知：AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +29)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据向量相等可得关于m 的方程组，即可求得m 的值．本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查向量加法的三角形法则及两个向量相等的充要条件，考查数形结合思想，属于中档题．11.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由已知利用三角形的面积公式可求c的值，根据余弦定理可求a，根据asinA=2R，即可计算得解．【解答】解：∵A=π3，b=2，S△ABC=3√3=12bcsinA=12×2×c×sinπ3，∴解得：c=6，∴a=√b2+c2−2bccosA =√4+36−2×2×6×12=2√7，∴由asinA =bsinB=csinC=2R，可得：2R=√7√32=4√213，∴a+b−2csinA+sinB−2sinC=2R(sinA+sinB−2sinC) sinA+sinB−2sinC =2R=4√213．故选B．12.【答案】A【解析】解：设C(x,y)，由A(2,0)和B(0,4)可得线段AB的中点坐标为(1,2)，且直线AB的斜率为k AB=4−00−2=−2，所以线段AB的中垂线的方程为y−2=12(x−3)，即x−2y+3=0，因为欧拉线方程为x−y+2=0，所以x−2y+3=0与x−y+2=0交点M(−1,1)为△ABC的外心，所以MA=MC，即(x+1)2+(y−1)2=10，由A(2,0)，B(0,4)和C(x,y)可得△ABC的重心坐标为(x+23,y+43)，代入欧拉线方程，得x−y+4=0，联立(x+1)2+(y−1)2=10中，解得y=0，x=−4或y=4，x=0，当x=0，y=4时，点C与点B重合，舍去，所以C的坐标为(−4,0)，故选：A．设C(x,y)，写出线段AB 的中垂线的方程，联立欧拉线方程为x −y +2=0，求出交点M 坐标，即△ABC 的外心，又MA =MC ，即(x +1)2+(y −1)2=10，△ABC 的重心坐标为(x+23,y+43)，代入欧拉线方程，得x −y +4=0，即可解得答案．本题考查“欧拉线”新定义，解题中需要正确理解题意，属于中档题．13.【答案】±(513,1213)【解析】 【分析】根据向量共线以及向量模长公式进行求解即可．本题主要考查向量共线的应用，结合向量模长公式是解决本题的关键． 【解答】解：设与m ⃗⃗⃗ 方向相同的单位向量是a ⃗ ， 则a⃗ =λm ⃗⃗⃗ ， 则|a⃗ |=|λm ⃗⃗⃗ |， 即1=|λ|√52+122=13|λ|， 即|λ|=113，则λ=±113，则a⃗ =λm ⃗⃗⃗ =±113(5,12)=±(513,1213)， 故答案为：±(513,1213)14.【答案】30√2【解析】解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B =75°−30°=45°，在△ABC 中，根据正弦定理得：AC sinB =BCsin∠BAC，即60√22=BC12，∴BC =30√2km ，则这时船与灯塔的距离为30√2km ． 故答案为：30√2根据题意画出相应的图形，求出∠B 与∠BAC 的度数，再由AC 的长，利用正弦定理即可求出BC 的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15.【答案】60+6√10【解析】解：如图所示∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CD=C，∴AB⊥平面BCD，则AB⊥BD，又CD⊥AC，∴球心O为AD的中点，∵球O的表面积为169π，∴球O的半径R=132，即AD=13．∴AB=√132−52=12，AC=√132−32=4√10．得S△ABC=12×12×4=24，S△ABD=12×12×5=30．S△ACD=12×3×4√10=6√10，S△BCD=12×3×4=6．故三棱锥A−BCD的表面积S=24+30+6√10+6=60+6√10．故答案为：60+6√10．由已知可得AB⊥BD，而CD⊥CA，可知球心O为AD的中点，由求O的表面积求得AD，进一步求得AC、AB的值，则三棱锥A−BCD的表面积可求．本题考查三棱锥表面积的求法，考查球的表面积公式的应用，考查空间想象能力及运算求解能力，是中档题．16.【答案】[2√5,+∞)【解析】解：关于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b，c∈R)的解集为{x|3<x<4}，所以a<0，且3和4是关于x的方程ax2+bx+c=0的两实数根，由根与系数的关系知，{3+4=−ba3×4=ca，解得b=−7a，c=12a，所以c2+5a+b =144a2+5a−7a=−24a−56a≥2√(−24a)⋅5−6a=2√5，所以c2+5a+b的取值范围是[2√5,+∞)．故答案为：[2√5,+∞)．利用根与系数的关系求出b=−7a，c=12a，且a<0，再利用基本不等式求c2+5a+b的取值范围．本题考查了一元二次不等式的解集应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．17.【答案】解：(1)∵B(5,−2)，C(3,5)，∴边BC所在的直线方程为y−(−2)5−(−2)=x−53−5，即7x+2y−31=0；(2)设B到AC的距离为d，则S△ABC=12|AC|⋅d，|AC|=√(3−0)2+(5−1)2=5，AC方程为：y−15−1=x−03−0即：4x−3y+3=0∴d=√42+(−3)2=295．∴S△ABC=12×5×295=292．【解析】本题考查两点式直线方程公式，考查点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，是基础题．(1)直接由两点式直线方程公式求解即可；(2)求出B到AC的距离为d，再求AC的距离，然后利用面积公式求解即可．18.【答案】解：(1)x>2，即x−2>0，f(x)=3x+3x−2=3(x−2)+3x−2+6≥2√3(x−2)⋅3x−2+6=12，当且仅当x=3时，f(x)的最小值为12；(2)存在x∈(2,+∞)，使得f(x)≤4t−2t成立，可得f(x)min≤4t−2t，即4t−2t≥12，化为(2t−4)(2t+3)≥0，由2t>0，可得2t≥4，解得t≥2，即t的取值范围是[2,+∞)．【解析】(1)由x−2>0，f(x)=3x+3x−2=3(x−2)+3x−2+6，运用基本不等式可得所求最小值；(2)由题意可得f(x)min≤4t−2t，结合(1)的结论和指数函数的值域、二次不等式的解法，可得所求范围．本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式，考查存在性问题解法，注意运用转化思想和指数函数的值域，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=c，且：bcosA+√33sinA=sin(A+B)，则：sinBcosA+√33sinA，整理得：sinAcosB=√33由于：sinA≠0，所以：cosB=√3；3(2)由于∠D=2∠B，所以：cosD=2cos2B−1=−1，3在△ACD中，AD=1，CD=3，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2−2AD·CD·cosD=1+9+2=12，所以：AC=2√3，，在△ABC中，BC=√6，AC=2√3，cosB=√33所以：AC2=AB2+BC2−2AB·BC·cosB，整理得：AB2−2√2AB−6=0，解得：AB=3√2．故AB的长为3√2．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出cos B的值．(2)利用(1)的结论，进一步利用余弦定理求出结果．20.【答案】证明：(Ⅰ)∵F为PC的中点，取PD的中点为G，连EG，FG∵ABCD为正方形，E为AB的中点，∴BE//CD且BE=12CD，又∵FG//CD，且FG=12CD，∴四边形BEGF为平行四边形，故BF//EG，∵EG⊂平面PDE，BF⊄平面PDE，∴BF//平面PDE；解：(Ⅱ)∵ABCD为正方形，且PA=PB=PC=PD，∴P−ABCD为正四棱锥，则P在平面ABCD的射影为AC的中点O，∵F为PC的中点，S△BDE=14S正方形ABCD，∴V E−BDF=V F−BDE=18V P−ABCD，∵PA=√3,OA=√2，∴OP=1，∴V P−ABCD=13⋅22⋅1=43，则∴V E−BDF=18×43=16．【解析】(Ⅰ)取PD的中点为G，连EG，FG，证明四边形BEGF为平行四边形，得BF//EG，再由直线与平面平行的判定可得BF//平面PDE；(Ⅱ)求出正四棱锥P−ABCD的体积，结合已知利用等体积法求三棱锥E−BDF的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．21.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=2a1−2，解得a1=2．当n≥2时，S n−1=2a n−1−2，所以a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，即a na n−1=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n(n∈N∗)．(2)n+1a n =(n+1)⋅(12)n，则T n =2⋅(12)+3⋅(12)2+4⋅(12)3+⋯+(n +1)⋅(12)n ，12T n =2⋅(12)2+3⋅(12)3+4⋅(12)4+⋯+(n +1)⋅(12)n+1，上面两式相减，可得12T n =1+(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)n −(n +1)⋅(12)n+1， =1+14(1−12n−1)1−12−(n +1)⋅(12)n+1，化简可得T n =3−(n +3)⋅(12)n ．【解析】(1)运用数列的递推式：当n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1，结合等比数列的通项公式即可得到所求通项；(2)求得n+1a n=(n +1)⋅(12)n ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)1°当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =0，与圆C 不相切； 2°当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，即kx −y +1=0， ∴√1+k 2=1，解得k =0或k =−34，∴直线l 的方程为y =1或y =−34x +1； (2)由(1)可知，l 的斜率存在， 设l 的方程为y =kx +1，M(x 0,y 0)，由{y =kx +1(x −3)2+y 2=1消去y 得，(1+k 2)x 2−(6−2k)x +9=0， ∴x 0=3−k 1+k 2,y 0=3k+11+k 2，∴M(3−k 1+k 2,3k+11+k 2)，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−k 1+k2,3k−k21+k2)， 由{y =kx +13x −y +6=0得，{x =5k−3y =6k−3k−3， ∴N(5k−3,6k−3k−3)，∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5k−3,5k k−3)，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15−5k (1+k 2)(k−3)+5k 2(3−k)(1+k 2)(k−3)=−5， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．【解析】(1)可看出直线l 存在斜率，可设直线l 的方程为y =kx +1，从而可得出√1+k 2=1，解出k ，从而得出直线l 的方程；(2)可设直线l 的方程为y =kx +1，设M(x 0,y 0)，可联立直线l 的方程和圆C 的方程，消去y 可得出(1+k 2)x 2−(6−2k)x +9=0，根据点M 为弦PQ 的中点可得出M(3−k 1+k 2,3k+11+k 2)，从而得出向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−k 1+k2,3k−k21+k2)；而联立直线l 的方程和直线m 的方程可得出点N 的坐标，从而可得出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5k−3,5k k−3)，然后进行数量积的坐标运算即可求出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． 本题考查了直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，直线和圆相切的定义，弦中点的坐标公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于中档题．。
2020-2021学年黑龙江省伊春市宜春第一中学高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．参考答案：C【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．2. 两圆的方程是（x+1）2+（y﹣1）2=36，（x﹣2）2+（y+1）2=1则两圆的位置关系为（）A．相交B．内含C．外切D．内切参考答案：B【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆的方程写出圆心和半径，利用两圆的圆心距和半径的关系判断两圆内含．【解答】解：圆C的方程是（x+1）2+（y﹣1）2=36，圆心坐标为C（﹣1，1），半径为r=6；圆D的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=1，圆心坐标D（2，﹣1），半径为r′=2；所以两个圆的圆心距为：d==＜6﹣1=5；所以两个圆内含．故选：B．3. 一高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．【解答】解：由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数．据四个选项提供的信息，当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，这样每当h增加一个单位增量△h时，根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故选B．【点评】本题考查了函数图象的变化特征，函数的单调性的实际应用，体现了数形结合的数学思想和逆向思维．4. 已知向量满足：对任意λ∈R，恒有，则（）A．B．C．D．参考答案：【考点】向量的模；向量的减法及其几何意义．【分析】由已知两边同时平方可得，≥，整理之后，结合二次不等式的性质可得可得，△≤0，从而可求【解答】解：∵恒有两边同时平方可得，≥整理可得，对任意λ都成立∴ []≤0整理可得，∴∴故选B5. 已知集合M＝｛0，1｝，N＝｛1，2｝，则M∪N＝（）A．{0，1，2} B．{1，0，1，2} C．{1} D．不能确定参考答案：略6. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．【解答】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以ω=函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）∵，∴φ=f（x）的解析式是故选A．7. 已知集合A={1,2,3}，集合B ={x|x2=x}，则A∪B=（）A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}参考答案：C∵，，∴，故选C.8. -----------------------------------( )A． B． C．D．参考答案：略9. 下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A. B. C. D. 参考答案：C略10. 已知函数,则它( )A．是最小正周期为的奇函数 B．是最小正周期为的偶函数C．是最小正周期为2的奇函数 D．是最小正周期为的非奇非偶函数参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. _____________参考答案：12. 设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．参考答案：c＞b＞a【考点】GA：三角函数线．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13. 设，且，则__________. 参考答案：14. 函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】求出y′，讨论自变量x的范围讨论函数单调性得到y的最大值即可．【解答】解：∵y=﹣x（x≥0），∴y′=﹣1，∴x∈（0，），y′＞0，x∈（，+∞），y′＜0，∴x=时，函数y=﹣x（x≥0）的最大值为．故答案为：．【点评】考查学生求导数的能力，利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．15. 若角的终边经过点，则___________.参考答案：3【分析】直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可【详解】由任意角三角函数的定义可得：．则故答案为：3【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．16. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中正确命题的序号是．参考答案：①②③【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】对于①，可以考虑线面垂直的定义及线面平行的性质定理；对于②，根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理容易解决；对于③，分析线面垂直的性质即可；对于④，考虑面面垂直的性质定理及两个平面的位置关系．【解答】解：命题①，由于n∥α，根据线面平行的性质定理，设经过n的平面与α的交线为b，则n∥b，又m⊥α，所以m⊥b，从而，m⊥n，故正确；命题②，由α∥β，β∥γ，可以得到α∥γ，而m⊥α，故m⊥γ，故正确；命题③，由线面垂直的性质定理即得，故正确；命题④，可以翻译成：垂直于同一平面的两个平面平行，故错误；所以正确命题的序号是①②③17. 不等式的解集为_________________；参考答案：(2,+∞)【分析】根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解不等式．【详解】时，原不等式可化为，，∴；时，原不等式可化为，，∴．综上原不等式的解为．故答案为．【点睛】本题考查解绝对值不等式，解绝对值不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后求解．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江西省宜春市第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．集合{}1,0,1,2A =-，{}0,2,4B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}0,2B ．{}1,0,1,2,4-C ．{}1,0,2,4-D ．{}1,1,4-2．命题“[1,3]x ∀∈-，2320x x -+<”的否定为（）A ．[]1,3x ∃∈-，2320x x -+≥B ．[]1,3x ∃∈-，2320x x -+>C ．[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≥D ．[]1,3x ∃∉-，2320x x -+≥3．设0ab >，则“a b <”是“11a b>”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知函数331()f x x x=-，则()f x （）A ．是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数B ．是奇函数，且在(0,)+∞上是增函数C ．是偶函数，且在(0,)+∞上是减函数D ．是奇函数，且在(0,)+∞上是减函数5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A ．()11f x x =-B ．()11f x x =-C ．()211f x x =-D ．()211f x x =+6．已知()21f x x =+，2log 0.7a =，0.23b =， 1.30.2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（）A ．()()()f a f c f b <<B ．()()()f c f a f b <<C ．()()()f a f b f c <<D ．()()()f b f c f a <<7．已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意实数12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（）A ．(]0,3B ．[)2,+∞C ．()0,∞+D ．[]2,38．物理学中，声衰减是声波在介质中传播时其强度（声强）随着传播距离的增加而逐渐减弱的现象，划分为几何衰减､散射衰减和吸收衰减三种类型.声波的散射衰减和吸收衰减都遵从指数规律，即声强I （单位：瓦/平方米）与传播距离x （单位：米）之间有如下的函数关系：0xI I e α-=，其中0I 为初始声强，α为声波的衰减系数，且0α>.若某声波传播3米时，声强减小了40%，则声强减小80%时，传播距离大约为（）（参考数据：ln3 1.1≈，ln 5 1.6≈）A ．8.5米B ．9.0米C ．9.6米D ．10.2米9．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()e x f x =-，则（）A ．()31f =-B ．()21f -=-C ．()6f x +为奇函数D ．()()228f x f x =+二、多选题10．下列说法正确的选项是（）A ．偶函数()f x 的定义域为[]21,a a -，则13a =B ．若不等式220ax x c ++<的解集为{1xx <-∣或2}x >，则2a c +=C ．一次函数()f x 满足()()43f f x x =+，则函数()f x 的解析式为()1f x x =+D ．若集合{}2420A xax x =-++=∣中至多有一个元素，则2a ≤-或0a =11．已知正数x ，y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（）A ．11x y+的最小值是2B ．xy 的最小值是1C ．22x y +的最小值是4D ．()1x y +的最大值是9412．一般地，若函数()f x 的定义域为[],a b ，值域为[],ka kb ，则称[],a b 为函数()f x 的“k 倍伴随区间”，另函数()f x 的定义域为[],a b ，值域也为[],a b ，则称[],a b 为()f x 的“伴随区间”，下列结论正确的是（）A ．若[]2,b 为函数()246f x x x =-+的“伴随区间”，则3b =B ．函数()21f x x=+存在“伴随区间”C ．若函数()f x m =-“伴随区间”，则1,04m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D ．二次函数()212f x x x =-+存在“3倍伴随区间”三、填空题13．已知集合{},2,2M x x =+，若0M ∈，则x =.14．已知函数()()()1131x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则83f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.15．若幂函数223*(N )mm y x m --=∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上单调递减，则满足(1)(32)m m a a --+>-的a 的取值范围为．四、解答题16．（1）求值：()1120.252-+-+3221log 1log 4log 2+-；（2）求下列关于x 的不等式的解集：4101x +≤-．17．已知集合1{|232}4x A x =≤≤，{|22,R}B x m x m m =-≤≤+∈.(1)若3m =，求A B ⋂；(2)若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.18．科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润()p x （单位：万元）与投入的月研发经费x （1540x ≤≤，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，()2189010p x x x =-+-；当投入月研发经费高于36万元时，()0.454p x x =+．对于企业而言，研发利润率()100%p x y x=⨯，是优化企业管理的重要依据之一，y 越大，研发利润率越高，反之越小．(1)求该企业生产此设备的研发利润率y 的最大值以及相应月研发经费x 的值；(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x 的取值范围．19．定义在[]22-,上的函数()y f x =满足：对任意的[],2,2m n ∈-，都有()()()f m n f m f n +=+成立，且当>0时，()0f x >．(1)求(0)f 的值(2)求证：()f x 在[]22-,上是单调递增函数，并解关于x 的不等式：()()21;f x f x <+(3)已知()112f =，若()222f x t at ≤--对所有的[]2,2x ∈-及[]2,2a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．20．已知函数()f x ，若存在非零常数k ，对于任意实数x ，都有()()f x k f x x ++=成立，则称函数()f x 是“k M 类函数”．(1)若函数()f x ax b =+是“1M 类函数”，求实数,a b 的值；(2)若函数()g x 是“2M 类函数”，且当[]0,2x ∈时，()(2)=-g x x x ，求函数()g x 在[]2,6x ∈时的最大值和最小值；(3)已知函数()f x 是“k M 类函数”，是否存在一次函数()h x Ax B =+（常数,A B R ∈，0A ≠），使得(2)()F x k F x +=，其中()()()F x f x h x =+，说明理由．。
江西省宜春市 2020 年（春秋版）高一上学期数学期末考试试卷 B 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2019 高一上·长春月考) 设集合，，则（）A.B.C.D.2. （2 分） (2018 高一下·山西期中) 如果点位于第四象限，那么角 所在的象限是（ ）A . 第一象限B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限3. （2 分） (2015 高一上·莆田期末) 若点 M 是△ABC 所在平面内一点，且满足++=，则 S△ABM：S△ABC 等于（ ）A.B.C.D.4. （2 分） (2019 高一上·汪清月考)，则 a 的取值范围为（ ）第1页共9页A . （0， ）B.（ ， ）C . （ ,1）D . （1， ） （1， ） 5. （2 分） (2019 高三上·长春月考) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的函数是（ ）A.B. C. D. 6. （2 分） 函数+b 的图像如图所示，则 的解析式为（ ）A. B. C. D. 7. （2 分） 已知函数 A.是偶函数，那么函数第2页共9页的定义域为（ ）B. C. D. 8. （2 分） 函数 A. B. C. D.的值域为（ ）9. （2 分） (2017 高一下·武汉期中) 已知△ABC 中，AB=3，AC=2，点 D 在边 BC 上，满足=，若 = ， = ，则 =（ ）A.+B.+C.+D.+10. （2 分） 设 A. B. C. D.，则 （ ）第3页共9页二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)11. （1 分） (2017 高一上·惠州期末)=________．12. （1 分） 若一个扇形的圆心角为 ， 所在圆的半径为 2，则这个扇形的面积为________13. （1 分） (2016 高一上·烟台期中) 已知（ ） a= ，log74=b，用 a，b 表示 log4948 为________．14. （1 分） (2017 高一上·无锡期末) 若幂函数 f（x）的图象过点，则 f（x）=________．15. （1 分） (2016 高一下·邯郸期中) 已知| |=2，| |=4， ⊥（ ﹣ ），则向量 与 的 夹角是________．16. （1 分） (2015 高三上·泰州期中) 已知 sin（α﹣45°）=﹣ 为________．，且 0°＜α＜90°，则 cos2α 的值17. （1 分） (2019 高三上·凉州期中) 当 取值范围是________．三、 解答题 (共 4 题；共 40 分)时，不等式恒成立，则实数 a 的18. （10 分） (2016 高三上·天津期中) 已知函数 f（x）=2sinxcos（x+ ）+ ． （1） 求函数 f（x）的单调递减区间；（2） 求函数 f（x）在区间[0， ]上的最大值及最小值．19. （10 分） (2018 高二下·无锡月考) 在△ABC 中，AB＝AC，点 P 为线段 AB 上的一点，且．（1） 若，求 的值；（2） 若∠A＝120°，且，求实数 的取值范围．20. （10 分） (2017 高一上·张家港期中) 已知函数 f（x）=+．（1） 求函数 f（x）的定义域和值域；第4页共9页（2） 设 F（x）= •[f2（x）﹣2]+f（x）（a 为实数），求 F（x）在 a＜0 时的最大值 g（a）；（3） 对（2）中 g（a），若﹣m2+2tm+ 的取值范围．≤g（a）对 a＜0 所有的实数 a 及 t∈[﹣1，1]恒成立，求实数 m21. （10 分） (2019 高一上·琼海期中) 已知.（1） 若是偶函数,求 的值并且写出的单调区间（不用写过程）；（2） 若恒成立,求 的取值范围.第5页共9页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 7 题；共 7 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第6页共9页16-1、 17-1、三、 解答题 (共 4 题；共 40 分)18-1、 18-2、19-1、19-2、第7页共9页20-1、20-2、 20-3、第8页共9页21-1、21-2、第9页共9页。
