单元复习(二)整式的乘除【八年级上册数学(华东师大版)】
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整式的乘除复习讲义板块一:幂的运算一、知识点梳理:1.同底数幂的乘法:(为正整数);同底数幂相乘,底数不变,指数相加.2.幂的乘方:(为正整数);幂的乘方,底数不变,指数相乘. 3.积的乘方:(为正整数);积的乘方,等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法:(≠0, 为正整数,并且).同底数幂相除,底数不变,指数相减.5.零指数幂:即任何不等于零的数的零次方等于1.二、例题讲解例1、下列各个选项中的两个幂是同底数幂的是( C )A .2x -和3)(x -B .2)(x -和2xC .2x -和3xD .5)(b a -和5)(a b - 例2、计算:(1)(m 4)2+m 5•m 3+(﹣m )4•m 4 (2)x 6÷x 3•x 2+x 3•(﹣x )2.(3)(﹣1)2019+(π﹣3.14)0﹣()﹣1. (4)(﹣2x 2y )3﹣(﹣2x 3y )2+6x 6y 3+2x 6y 2(5) (6)(﹣x )3•x 2n ﹣1+x 2n •(﹣x )2 解:(1)原式=m 8+m 8+m 8=3m 8;(2)原式=x 6﹣3+2+x 3•x 2=x 5+x 5=2x 5.(3)原式=﹣1+1﹣3=﹣3;(4)原式=﹣8x 6y 3﹣4x 6y 2+6x 6y 3+2x 6y 2=﹣2x 6y 3﹣2x 6y 2.(5)(6)(﹣x )3•x 2n ﹣1+x 2n •(﹣x )2=﹣x 2n+2+x 2n+2=0.例3、已知a x =3,a y =2,求a x+2y 的值解:∵a x =3,a y =2,∵a x+2y =a x ×a 2y =3×22=12.m n ,n a m n ,m n >()010.a a =≠35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+例4、已知,,求的值解:因为, .所以.例5、已知2x =8y+2,9y =3x -9,求x+2y 的值解:根据2x =23(y+2),32y =3x ﹣9,列方程得:,解得:,则x+2y=11.例6、已知,则= 原式∵∵ 原式==-5.例7、已知553=a ,444=b ,335=c ,比较a 、b 、c 的大小解:∵a=355=(35)11=24311,b=444=(44)11=25611,c=555=(55)11=1251112511<24311<25611∵c<a<b例8、计算:()10310210110075.0345.02-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-解:原式=8343433421212102100=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ 例9、已知10x =a ,5x =b ,求:(1)50x 的值;(2)2x 的值;(3)20x 的值.(结果用含a 、b 的代数式表示)解:(1)50x =10x ×5x =ab ;(2)2x ===;84=m 85=n 328+m n 3338(8)464===m m 2228(8)525===n n 323288864251600+=⨯=⨯=m n m n 322,3m m a b ==()()()36322m mm m a b a b b +-⋅()()()()23223232m m m m a b a b =+-⋅23222323+-⨯(3)20x =(==.三、巩固练习: 1、下列运算正确的是( B )A .x 2+x 3=x 5B .(﹣2a 2)3=﹣8a 6C .x 2•x 3=x 6D .x 6÷x 2=x 32、下列运算正确的是(D )A .(﹣2ab )•(﹣3ab )3=﹣54a 4b 4B .5x 2•(3x 3)2=15x 12C .(﹣0.16)•(﹣10b 2)3=﹣b 7D .(2×10n )(×10n )=102n3、若成立,则( C ). A. =6,=12B. =3,=12C. =3,=5D. =6,=5 4、若,则=__6_____5、若,则=____5__;若,则=___1___.6、 ____64__; ______; =______.7、若n 是正整数,且,则=______200____.8、计算:(1); (2) ;(3); (4); (5); (6); 解:(1).(2);(3); ()391528m n a b a b =m n m n m n m n ()319x a a a ⋅=x 38m a a a ⋅=m 31381x +=x ()322⎡⎤-=⎣⎦()33n ⎡⎤-=⎣⎦9n -()523-103-210n a =3222()8()n n a a --23(2)(2)x y y x -⋅-3843()()x x x ⋅-⋅-2333221()()3a b a b -+-3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯()()3522b a a b --()()2363353a a a -+-⋅23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--3843241237()()x x x x x x x ⋅-⋅-=-⋅⋅=-233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+(4);(5);(6). 9、已知:x m =4,x n =8.(1)求x 2m 的值;(2)求x m +n 的值;(3)求x 3m ﹣2n 的值.解:(1)∵x m =4,x n =8,∵x 2m =(x m )2=16;(2)∵x m =4,x n =8,∵x m +n =x m •x n =4×8=32;(3)∵x m =4,x n =8,∵x 3m ﹣2n =(x m )3÷(x n )2=43÷82=1.10、已知x 2m =2,求(2x 3m )2﹣(3x m )2的值原式=4x 6m ﹣9x 2m =4(x 2m )3﹣9x 2m =4×23﹣9×2 =14.板块二、整式的化简 和 活用乘法公式一、知识点梳理:平方差公式:完全平方公式:二、例题讲解:例1、化简求值:(1)5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b +-++--÷+.(2)已知210x y -=,求222[()()2()]4x y x y y x y y +--+-÷的值.3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-22()()a b a b a b +-=-()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-解:(1)原式5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b =+-+-+÷+5343332()2()3()2()()2()a b a b a b a b a b a b =+÷+-+÷+-+÷+231()()22a b a b =+-+-. (2)原式22222(222)4x y x xy y xy y y =+-+-+-÷2(42)4xy y y =-÷12x y =-. 由已知210x y -=,得152x y -=,即152x y -=.例2、已知将(x 2+nx +3)(x 2﹣2x ﹣m )乘开的结果不含x 3和x 2项.(1)求m 、n 的值;(2)当m 、n 取第(1)小题的值时,求(m ﹣n )(m 2+mn +n 2)的值. 解:(1)原式=x 4﹣2x 3﹣mx 2+nx 3﹣2nx 2﹣mnx +3x 2﹣6x ﹣3m =x 4+(n ﹣2)x 3+(3﹣m ﹣2n )x 2+(mn +6)x ﹣3m ,由乘开的结果不含x 3和x 2项,得到n ﹣2=0,3﹣m ﹣2n =0,解得:m =﹣1,n =2;(2)当m =﹣1,n =2时,原式=m 3+m 2n +mn 2﹣m 2n ﹣mn 2﹣n 3=m 3﹣n 3=﹣1﹣8=﹣9.例3、已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +,余式是28a +,求这个多项式.解: 所求的多项式为2322(43)(21)282864328a a a a a a a a a a +-+++=+-++-++32295a a =++.例4、若为自然数,试说明整式的值一定是3的倍数. 解:=n ()()2121n n n n +--()()2121n n n n +--222223n n n n n +-+=因为3能被3整除,所以整式的值一定是3的倍数.例5、图a 是由4个长为m ,宽为n 的长方形拼成的,图b 是由这四个长方形拼成的正方形,中间的空隙,恰好是一个小正方形.(1)用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 .(2)用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积;(3)观察图b ,利用(2)中的结论,写出下列三个代数式之间的等量关系,代数式(m+n )2,(m ﹣n )2,mn ;(4)根据(3)中的等量关系,解决如下问题:已知a+b=7,ab=5,求(a ﹣b )2的值.解:(1)图b 中小正方形的边长为m ﹣n .故答案为m ﹣n ;(2)方法∵:(m ﹣n )(m ﹣n )=(m ﹣n )2;方法∵:(m+n )2﹣4mn ;(3)因为图中阴影部分的面积不变,所以(m ﹣n )2=(m+n )2﹣4mn ;(4)由(3)得:(a ﹣b )2=(a+b )2﹣4ab ,∵a+b=7,ab=5,∵(a ﹣b )2=72﹣4×5=49﹣20=29.例6、已知a ﹣b =7,ab =﹣12.(1)求a 2b ﹣ab 2的值;n ()()2121n n n n +--(2)求a 2+b 2的值;(3)求a +b 的值.解:(1)∵a ﹣b =7,ab =﹣12,∵a 2b ﹣ab 2=ab (a ﹣b )=﹣12×7=﹣84;(2)∵a ﹣b =7,ab =﹣12,∵(a ﹣b )2=49,∵a 2+b 2﹣2ab =49,∵a 2+b 2=25;(3)∵a 2+b 2=25,∵(a +b )2=25+2ab =25﹣24=1,∵a +b =±1.例7、(a ﹣b )(a+b )= ;(a ﹣b )(a 2+ab+b 2)= ;(a ﹣b )(a 3+a 2b+ab 2+b 3)= .(2)猜想:(a ﹣b )(a n ﹣1+a n ﹣2b+…+ab n ﹣2+b n ﹣1)= (其中n 为正整数,且n≥2).(3)利用(2)猜想的结论计算:29﹣28+27﹣…+23﹣22+2.解:(1)(a ﹣b )(a+b )=a 2﹣b 2;(a ﹣b )(a 2+ab+b 2)=a 3+a 2b+ab 2﹣a 2b ﹣ab 2﹣b 3=a 3﹣b 3;(a ﹣b )(a 3+a 2b+ab 2+b 3)=a 4+a 3b+a 2b 2+ab 3﹣a 3b ﹣a 2b 2﹣ab 3﹣b 4=a 4﹣b 4; 故答案为:a 2﹣b 2,a 3﹣b 3,a 4﹣b 4;(2)由(1)的规律可得:原式=a n ﹣b n ,故答案为:a n ﹣b n ;(3)29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=(2﹣1)(28+26+24+22+2)=342.例8、已知∵ABC 的三边长、、满足,试判断∵ABC 的形状.a b c 2220a b c ab bc ac ++---=解:∵ ,∵ ,即.即.∵ ,,,即,∵ ∵ABC 为等边三角形.四、巩固练习:1.下列各多项式相乘,可以用平方差公式的有( ).∵()()2552ab x x ab -++ ∵()()ax y ax y ---∵()()ab c ab c --- ∵()()m n m n +--A.4个B.3个C.2个D.1个2. 如图,用代数式表示阴影部分面积为( C ). A.B. C. D.3.已知(a +b )2=11,(a -b )2=7,则2ab 的值是( A )A .2B .-2C .1D .04. 之积中含项的系数为 12 .5. 已知15a a +=,则221a a+的结果是__23_____. 6.多项式x 2+1添加一个单项式后可变为完全平方式,则添加的单项式可以是 2x (任写一个符合条件的即可).7.多项式的最小值是_______4_____.8.计算:(1)[5xy 2(x 2-3xy )+(3x 2y 2)3]÷(5xy )2.2220a b c ab bc ac ++---=2222222220a b c ab bc ac ++---=222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=222()()()0a b b c a c -+-+-=0a b -=0b c -=0a c -=a b c ==ab ac bc +()ac b c c +-()()a c b c --322322(4235)(233)--+-+x x y xy y x xy y 32x y 222225x xy y y -+++解:原式=(5x 3y 2-15x 2y 3+27x 6y 6)÷ 25x 2y 2=15x -35y +2725x 4y 49.已知m ﹣n =3,mn =2,求:(1)(m +n )2的值;(2)m 2﹣5mn +n 2的值.解:∵m ﹣n =3,mn =2,∵(1)(m +n )2=m 2+n 2+2mn =(m ﹣n )2+4mn =9+8=17;(2)m 2﹣5mn +n 2=(m +n )2﹣7mn =9﹣14=﹣5.10.计算:(2+1)()( )()()()+1.解:原式=(2-1)(2+1)( )()()()() +1=()( )( )()()()+1=-1+1=.板块三、因式分解一、知识点梳理:因式分解的一般步骤如下:一提:如果多项式即各项有公因式,即分解因式要先 。