从集合的观点理解充分条件和必要条

充分条件和必要条件集合关系在我们的日常生活中，充分条件和必要条件这两个概念其实挺重要的，就像我们吃饭得有米饭、菜肴，但不一定得有鱼或者肉。

想象一下，有一天你准备出门，发现外面在下雨。

哎呀，没带伞，真是麻烦！这时候，你的脑海里就会想，出门一定要带伞，这就是个典型的必要条件。

如果你出门不带伞，结果被淋得透湿，那就惨了。

不过，带了伞也不代表就一定能避免淋雨，可能是你选择了一个没雨的地方，那就只是巧合了。

所以，带伞是你避免淋雨的必要条件，但并不是充分条件，明白吗？说到这里，咱们再看看“充分条件”这玩意儿。

就好比你有个好朋友，带你去一个超级棒的派对。

你去了，结果交了好多新朋友，跳了舞，喝了酒，玩的不亦乐乎。

这个派对就是你快乐的充分条件。

虽然你不去派对也能快乐，比如在家看电影、吃零食，这样的快乐就属于你自己能创造的。

所以说，派对这个事儿只要有了，快乐就跑不掉。

但如果你总是待在家里，可能就错过了很多有趣的事儿，那就有点可惜了。

日常生活中，咱们常常会碰到条件的关系。

比如考试吧，考试得复习，这可是个必要条件。

但你复习得再好，到了考场也不一定能保证高分，这就是一个充分条件的问题。

大家都知道复习很重要，但如果你没理解知识点，考试也就成了空谈。

就像我朋友那样，总是说“这次我一定能考好”，结果却在考前一晚玩得嗨，第二天考场上就懵了，活生生成了笑话。

咱们平时聊恋爱也能体现出这种关系。

你想追一个人，首先得有个好印象，这就是必要条件。

可是，光有印象不代表就能在一起，你还得有共同话题、性格合得来，才能有进一步的发展。

人家可能一开始对你有点好感，但如果后面你们相处得不融洽，那最终也会分开。

这样的例子太多了，很多人就是这样进了感情的误区，以为只要有必要条件就能万事大吉，结果却是自己做了无用功。

充分条件和必要条件这两个概念还可以帮助我们更好地理解人生。

我们会因为一些小事而纠结，觉得自己没做到某些条件就完蛋了。

但其实人生的路上有很多选择，你也可以不拘泥于这些条件。

知识导航充分与必要条件是集合中的重要内容，也是高考的常考内容.此类问题综合性较强，不仅考查判断充分与必要条件的方法，还考查不等式、函数、三角函数、立体几何等知识.解答此类问题的基本思路是，首先区分条件和结论，然后运用相关的不等式、函数、三角函数、立体几何等知识对条件、结论进行合理的推导、运算、化简、转化，再根据充分与必要条件的定义得出结论.本文介绍几种判断充分与必要条件的方法.一、反例法反例法是解答选择、判断题的一种常用方法.它是找出符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，来判断命题真假的方法.在判断充分与必要条件时，可以结合题意找出满足题意，却使命题不成立的例子，进而判断出该条件是充分条件、必要条件，还是既不充分又不必要条件.例1.有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是1a<1b的充要条件；③a>b是a3>b3的充要条件，则其中正确的说法有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个解：①当a=-5，b=1时，a>b>0⇐a2>b2，故①错误.②当a=-5，b=1时，a>b>0⇐1a<1b，故②错误.③因为a>b⇒a3>b3，a>b⇐a3>b3，故③正确.因此本题选B.这里选择反例：a=-5，b=1，将其代入关系式中，可发现①②错误，进而使问题获解.值得注意的是，在判断充分与必要条件时，我们要从两个方向进行判断，既要讨论p（条件）是q（结论）的什么条件，也要判断p（结论）是q（条件）什么的条件.二、等价转化法我们知道，原命题与其逆否命题、否命题与其逆命题互为等价命题.在判断条件和结论带有否定性词语的命题的充分性和必要性时，常将命题转化为其逆否命题来判断真假，进而判断命题的充分性和必要性.例2.若条件p:x≠45°且x≠135°，条件q:sin x则条件p是条件q的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：当x=45°或x=135°时，sin x=当sin x=x除了可取45°和135°外，还可以取很多值，如π+45°.所以sin x是x=45°或135°的必要不充分条件，所以x≠45°且x≠135°是sin x≠的必要不充分条件，故选B答案.本题利用原命题与逆否命题的等价关系，可先判断“sin x=”是“x=45°或x=135°”的必要不充分条件，从而得出条件p是条件q必要不充分条件.三、利用集合思想充分条件与必要条件和集合的关系：p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件A⊆BB⊆AA⊇BB⊇AA＝B在判断与解集、数集等有关命题的充分与必要条件时，我们可以将充分、必要条件和集合对应起来，进而解答问题.例3.设集合M={x|2x-1>3}，P={x|log2x<2}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M⋂P”的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：M={x|2x-1>3}={}x|x>2，P={x|log2x<2}={}x|0<x<4，由“x∈M或x∈P”可得x∈M⋃P={}x|x<4,又M⋂P={}x|2<x<4，所以“x∈M或x∈P”是“x∈M⋃P”的必要不充分条件，故本题选B.在解答本题时，我们首先通过解不等式，对集合M、P进行化简，然后将条件和结论看成两个集合，运用集合思想判断出充分、必要条件.从以上分析我们不难看出，判断充分与必要条件问题涉及的知识点众多，综合性强，知识跨度大.在解题时，除了要理清概念，分清楚条件和结论之外，还要善于利用反例法、等价转化法、集合思想.（作者单位：江苏省靖江高级中学）陈晓燕。

【引言】洋葱数学是一种数学上的概念，它描述了充分条件和必要条件之间的集合关系。

在数学领域中，充分条件和必要条件是非常重要的概念，它们在逻辑推理和数学证明中起着至关重要的作用。

本文将对充分条件和必要条件的集合关系以及洋葱数学进行详细的介绍和分析。

【正文】1. 充分条件和必要条件的定义充分条件和必要条件是逻辑推理中常用的概念，它们用来描述一个命题成立的条件。

具体地说，如果某个条件是一个命题成立的必要条件，那么这个条件成为这个命题的必要条件；如果某个条件是一个命题成立的充分条件，那么这个条件成为这个命题的充分条件。

举例来说，对于命题“一个数是偶数的充分必要条件是它能被2整除”，在这个命题中，“能被2整除”就是这个命题的充分条件，也是它的必要条件。

2. 充分条件和必要条件的集合关系在数学中，充分条件和必要条件之间的关系可以用集合论来描述。

通常情况下，充分条件和必要条件是不同的，它们分别构成两个集合。

如果一个条件同时是一个命题的充分条件和必要条件，那么这个条件将同时属于这两个集合。

这种关系可以用集合的交和并的概念来表达，即两个集合的交集表示它们的共有元素，而两个集合的并集表示它们的所有元素的集合。

用数学符号表示，设A为一个命题的充分条件的集合，B为一个命题的必要条件的集合，则A∩B表示A和B的共有元素的集合，A∪B表示A和B的所有元素的集合。

通过集合的交和并的概念，我们可以更清晰地理解充分条件和必要条件之间的集合关系。

3. 洋葱数学的概念洋葱数学是一个描述充分条件和必要条件之间集合关系的概念。

在洋葱数学中，我们把充分条件和必要条件分别看作两个集合，并把它们的关系比喻成洋葱的结构。

具体来说，我们把充分条件和必要条件分别看作两个集合，在一定情况下，它们会有一部分共有的元素，这部分共有的元素构成了“洋葱”的中心，而充分条件和必要条件各自的非共有元素构成了“洋葱”的不同层次，形成了一种由内而外的结构。

4. 洋葱数学的应用洋葱数学在数学推理和证明中有着重要的应用价值。

小议集合与充分条件、必要条件、充要条件间的关系设a、b为两个集合。

则ab是指：xaxb ①即有：”xa”是”xb”的充分条件，“xb”是”xa”的必要条件。

反过来，若”xa”是”xb”的充分条件，即xaxb，则ab。

设a、b为两个集合，则a=b是指：xaxb ②即有：”xa”是”xb”的充要条件。

反过来，若”xa”是”xb”的充要条件，即xaxb，则a=b。

设p，q为含有变量x的语句，我们引入如下两个集合：a=，b=如果ab，那么每个使p成立的变量x也使得q成立，即：若p 成立，则q也成立，也就使说，从而p是q的充分条件，q是p的必要条件。

反过来，如果p是q的充分条件，那么由p成立可以推出q成立，也就是说，若xa，则一定有xb，从而有ab。

这样一来，要判断p是q的什么条件，只需判断集合a与集合b 的关系即可。

有如下结论：①若ab，则a是b的充分条件：②若a=b，则a是b的充要条件：③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。

总结：小充分大必要，相等是充要。

例题讲解：例1 已知全集u={1，2，3，4，5，6}，命题p：a={1，2}，命题q：b={1，2，3，4}。

试问：①p是q的什么条件？；②的什么条件？解：①由a={1，2}，b={1，2，3，4}得ab所以p是q的充分不必要条件②从补集角度去分析：p：a在u中的补集，q：b在u中的补集。

即：p ：={3，4，5，6}，q：={5，6}有（小的补变大，大的补反而小）所以的必要补充分条件例2 已知命题p：|x-2|≥6，q：，若”pq”与”q”同时为假，求x的值。

解：由|x-2|≥6得 p：x≥8，或x≤-4又“pq”与”q”同时为假，所以 p假 q真从而x的取值范围就是p与q的集合的公共部分，即：x的值为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。

例3 已知命题p：|4-x|≤6，q：x2-2x+1-a2≥0（a>0）若非p 是q的充分不必要条件，求a的取值范围。

充分条件和必要条件之间的集合关系在日常生活中，大家肯定听说过“充分条件”和“必要条件”这些词。

乍一听，觉得有点复杂，其实就像我们平时说的“吃饭要有米，米是吃饭的必要条件”，没米的话，想吃饭就难了。

但如果咱们有了米，能吃饭吗？这个时候就涉及到充分条件了。

简单来说，米是必要条件，但我们还需要火、锅、调料，这些都是让饭好吃的“充分条件”。

所以，你看，必要条件就像是基础，没有它，其他的都无从谈起，而充分条件则是锦上添花，少了它，可能饭也能吃，但没那么香。

想象一下，你在家准备大餐。

得有材料，这材料就是必要条件。

缺了材料，想做饭就没戏。

但咱们还要调料、火候，这些是让菜肴更美味的充分条件。

你有了米和水，但没火，你就只能看着米泡在水里，满心期待却无能为力，这样多无奈啊。

其实生活中也一样，我们常常需要两者的配合。

比如，考试要及格，必要条件是你得学习，但如果你只学习而不复习，最后结果也不一定理想，这时候就需要充分条件的助力。

说到这里，咱们可以进一步探讨这两者之间的关系。

有些人可能会觉得，必要条件和充分条件就是一对冤家，实际上，它们更像是一对形影不离的好朋友。

你想要成功，必要条件是你得努力，但如果没有计划，那努力再多也是“瞎忙活”。

所以说，想要结果好，得让这两者一起发力。

你看，有时候成功真的需要点运气，但更多的时候，靠的是策略和努力的结合。

那些“只靠运气”的人，最终也得面对现实。

人们常说：“不怕慢，就怕站”，这句话简直说到点子上。

再比如说，爱这件事，想追一个人，必要条件是要有吸引力，这吸引力可以是外貌，也可以是内涵。

但如果你没有表现出来，那就像埋在土里的宝石，永远不会被人发现。

这个时候，表现出来的机会就成了充分条件。

你得主动出击，给对方一个“哇”的惊艳，不然人家怎么知道你的好呢？做事也一样，光有想法可不行，得实际行动才能落到实处。

这种关系在我们生活中随处可见。

就像开车一样，安全带是必要条件，但车速和路况的好坏就是充分条件。

充分和必要条件的概念
充分和必要条件是概率论、集合论、逻辑学、数学分析等学科中经常用到的概念。

在数学中，充分条件和必要条件是通常是表示一个命题成立的两个条件，其中必要条件是指在命题成立的情况下所必须具备的条件，是使得命题成立的充分条件，也可以理解为充分条件的反面，也就是如果必要条件不成立，则充分条件肯定不成立；充分条件则是指当条件成立时命题也成立，具有充足性，也就是成立的必要条件，如果充分条件成立，则必要条件也会成立。

在实际应用中，充分和必要条件的判断是非常重要的，能够有效的帮助人们理清问题之间的关系和证明问题。

以数学举例来说，比如判断一个数是否为偶数，我们知道必要条件是这个数能够被2整除，充分条件则是如果这个数能够被
2整除，则这个数必定为偶数。

再比如，判断一个数是否为素数，必要条件是这个数只能被1
和本身整除，而充分条件则是如果这个数只能被1和本身整除，则这个数必定为素数。

在实际生活中，也有很多场景涉及到了充分和必要条件的判断，比如我们需要判断一个人是否能够胜任某个工作，必要条件是符合工作的基本要求，充分条件则是拥有相关工作经验或专业知识等。

在逻辑推理中，充分和必要条件的判断也是非常重要的。

例如，如果我们要证明一个结论的正确性，就需要找到其必要条件和充分条件，从而通过证明其必要条件和充分条件的正确性来证明整个结论的正确性。

总之，充分和必要条件是非常重要的概念，能够有效帮助我们理清问题的关系和进行逻辑推理。

在日常生活和各个领域的研究中，都有广泛的应用。

1．2.2充分条件和必要条件最新课程标准1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．学科核心素养1.能对充分条件、必要条件、充要条件进行判断．(逻辑推理)2．能从集合的观点理解充分条件、必要条件．(直观想象)3．能利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围．(逻辑推理)教材要点要点一充分条件与必要条件命题真假“若p ，则q ”是真命题“若p ，则q ”是假命题推出关系由p 可以推出q ，记为：________由p 不能推出q ，记为：________条件关系p 是q 的____________p 不是q 的____________q 是p 的____________q 不是p 的____________状元随笔若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，所谓“充分”，即要使q 成立，有p 成立就足够了；q 是p 的必要条件，所谓“必要”，即q 是p 成立的必不可少的条件，缺其不可．要点二充要条件如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作________．即p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，此时我们称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．换句话说，如果一个命题和它的________都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件．状元随笔对于充要条件，要熟悉它的同义语“p 是q 的充要条件”可以说成“p 与q 是等价的”“q 成立当且仅当p 成立”“q 成立必须且只需p 成立”．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同．()(2)p 是q 的必要条件的含义是：如果p 不成立，则q 一定不成立．()(3)p 是q 的充分条件只反映了p ⇒q ，与q 能否推出p 没有任何关系．()(4)若p 是q 的充要条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的充要条件．()2．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．“x ＞0”是“x ＞1”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．△ABC 是锐角三角形是∠ABC 为锐角的________条件．题型1充分条件、必要条件的判断例1下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是矩形；(3)p ：平行四边形，q ：正方形；(4)p ：m ＜－1，q ：x 2－x －m ＝0无实根．方法归纳充分条件、必要条件判断方法(1)定义法①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．③根据推式及条件得出结论．(2)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．(3)特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．跟踪训练1(1)祖暅原理：”幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的几何体，若在同高处的截面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等．q：A，B在同高处的截面积恒相等．根据祖暅原理可知，q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(多选)设x∈R，则使x＞3.14成立的一个充分条件是()A．x＞3.5B．x＜3C．x＞4D．x＜4题型2充要条件的判断例2(1)(多选)下列结论中，正确的有()A．“x2＞4”是“x3＜－8”的必要不充分条件B．在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件C．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件D．x，y均为奇数是x＋y为偶数的必要不充分条件(2)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：①s是q的什么条件？②r是q的什么条件？③p是q的什么条件？方法归纳判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：利用集合的包含关系判断．(3)等价法：利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒p n，可得p1⇒p n；充要条件也有传递性．跟踪训练2(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A．ab＝0B．ab＞0C．a2＋b2＝0D．a2＋b2＞0(2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分不必要条件B．丙是甲的必要不充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙是甲的既不充分又不必要条件题型3充分条件、必要条件和充要条件的证明例3求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.方法归纳充要条件的证明思路(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”；①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(⇔)，也可以直接证明充要性．跟踪训练3求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c ＝0.题型4充分条件、必要条件和充要条件的应用例4设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．变式探究设p：|4x－1|≤1，q：a≤x≤a＋1，若q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．方法归纳根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练4集合A＝y y=x2−32x+1，34≤x≤2，，B＝{x|x＋m2≥1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．易错辨析混淆条件与结论致误例5使不等式0＜x＜2成立的一个充分但不必要条件是()A．0＜x＜1B．－13＜x＜1C．－1＜x＜2D．0＜x＜2解析：设命题p所对应的集合为A，命题q所对应的集合为B，则“p成立的充分不必要条件是q”⇔B A，所以不等式0＜x＜2成立的充分不必要条件对应的集合是集合{x|0＜x＜2}的真子集，根据选项，只有A符合要求，故选A.答案：A易错警示易错原因纠错心得混淆条件与结论容易得出错误答案C.弄清此类题的条件与结论．本题条件是“选项”，结论是“0＜x＜2”，所以“选项”是“0＜x＜2”的真子集．课堂十分钟1．命题：p：(a＋b)·(a－b)＝0，q：a＝b，则p是q的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．已知x∈R，则“x＜2”是“2x＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(多选)下列说法中正确的是()A．“m是有理数”是“m是实数”的充分条件B．“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件C．“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件D．“x＞3”是“x2＞4”的充分条件4．函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________.5．若“x＞m”是“x＞3或x＜1”的充分条件但不是必要条件，求m的取值范围．参考答案与解析新知初探·课前预习要点一p⇒q p⇒q充分条件充分条件必要条件必要条件要点二p⇔q逆命题[基础自测]1．答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．解析：x＝1时，x2－2x＋1＝0成立，故是充分的，又当x2－2x＋1＝0时，即(x－1)2＝0，x＝1故是必要的，因此是充要条件．答案：A3．解析：∵x>0D⇒/x>1但x>1⇒x>0.∴“x>0”是“x>1”的必要不充分条件．故选B.答案：B4．解析：∵△ABC是锐角三角形说明△ABC的三个内角都是锐角．∴△ABC是锐角三角形⇒∠ABC为锐角，反之不一定．答案：充分不必要题型探究·课堂解透例1解析：(1)∵a＋b＝0⇒a2＋b2＝0；a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等⇒四边形是矩形；四边形是矩形⇒四边形的对角线相等，∴p是q的必要不充分条件．(3)由图可知B A，所以p是q的必要不充分条件．(4)若方程x2－x－m＝0无实根，则Δ＝1＋4m<0，即m<－14.∵m<－1⇒m<－14，m<－14D⇒/m<－1，∴p是q的充分不必要条件．跟踪训练1解析：(1)设A为正方体，其棱长为2，体积为8，B为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8，显然A，B在等高处的截面面积不相等，所以q是p的不必要条件；当A，B在同高处的截面积恒相等时，根据祖暅原理有A，B的体积相等，所以充分性成立，因此q是p的充分不必要条件．故选A.(2)∵x>3.5⇒x>3.14，x>4⇒x>3.14.∴x>3.14成立的一个充分条件是x>3.5或x>4.故选AC.答案：(1)A(2)AC例2解析：(1)A中，x2>4⇔x<－2或x>2D⇒/x3<－8，但x3<－8⇒x2>4.A正确；B中，AB2＋AC2＝BC2⇒△ABC为直角三角形，反之不一定，B不正确；C中，a2＋b2≠0⇔a，b 不全为0，C正确；D中，x，y均为奇数⇒x＋y为偶数，反之不一定，D不正确．故选AC.(2)①∵q是r的必要条件，∴r⇒q.∵s是r的充分条件，∴s⇒r，∴s⇒r⇒q，又∵q是s的充分条件，∴q⇒s.∴s是q的充要条件．②由r⇒q，q⇒s⇒r，知r是q的充要条件．③∵p是r的必要条件，∴r⇒p，∴q⇒r⇒p.∴p是q的必要条件．答案：(1)AC(2)见解析跟踪训练2解析：(1)a2＋b2>0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.故选D.(2)如图所示，∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，∴丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，有丙⇒乙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A.答案：(1)D(2)A例3证明：充分性：由ac<0可得b2－4ac>0及x1·x2＝c a<0，∴方程ax2＋bx＋c＝0，有两不相等的实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0，有一正根和一负根，∴Δ＝b2－4ac>0，x1·x2＝c a<0，∴ac<0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac<0.跟踪训练3证明：设p：a＋b＋c＝0；q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，(1)充分性(p⇒q)：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.(2)必要性(q⇒p)：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.所以有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.例4解析：由|4x－1|≤1得－1≤4x－1≤1，故0≤x≤12，由q是p的必要不充分条件，即p⇒q，q⇒p，即{x|0≤x≤12}{x|a≤x≤a＋1}．∴a≤0，a+1≥12，且“＝”不能同时成立，解得－12≤a≤0，故实数a的取值范围是{a|−12≤a≤0}.变式探究解析：∵q是p的充分不必要条件，∴q⇒p，p⇒q，∴{x|a≤x≤a＋1}{x|0≤x≤12}，∴a≥0a+1≤12，且“＝”不能同时成立，∴此不等式组无解．故实数a的取值范围是∅.跟踪训练4解析：A＝{y|y= 2−32x+1，34≤x≤2}＝{y|716≤y≤2}，B＝{x|x＋m2≥1}＝{x|x≥1－m2}，∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴1－m2≤716.解得m≥34或m≤－34.故m的取值范围为m≤－34或m≥34.[课堂十分钟]1．解析：由命题p：(a＋b)·(a－b)＝0，得：|a|＝|b|，推不出a＝b，由a＝b，能推出|a|＝|b|，故p是q的必要条件．答案：B2．解析：当x＝－1时，“x<2”成立，但2x<0，故“2x<1”，故“x<2”不是“2x>1”的充分条件，“2x>1”等价于x−2x<0⇔0<x<2，即2x>1能推出x<2，∴“x<2”是“2x>1”的必要条件，故“x<2”是“2x>1”的必要不充分条件，故选B.答案：B3．解析：A正确，因为“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m 是实数”的充分条件；B不正确，因为“x∈A” “x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确，由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x＝3”的必要条件；D正确，由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．故选ACD.答案：ACD4．解析：Δ＝4＋4a＜0，∴a＜－1.答案：a＜－15．解析：由已知条件，如{x|x>m}{x|x>3或x<1}．∴m≥3.∴m的取值范围是[3，＋∞)．。