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用位移法计算对称结构的例题位移法是一种常用的计算方法，用于求解结构在受到外力作用时的位移和应力分布。
它适用于对称结构的分析，因为对称结构具有一定的几何和物理特征，可以简化计算过程。
我们以一根悬臂梁为例来说明位移法的应用。
悬臂梁是一种常见的结构，它只有一端支撑，另一端悬空。
我们假设悬臂梁的截面为矩形，长度为L，宽度为b，高度为h。
悬臂梁在其自由端受到沿着梁轴方向的力F。
首先，我们需要将悬臂梁的截面划分为若干个小单元，每个小单元的长度为Δx。
我们假设每个小单元的变形与相邻单元的变形相同，且每个小单元的位移为u(x)，其中x表示小单元的位置。
根据位移法的基本原理，我们可以得到悬臂梁的位移方程：du/dx = M(x)/(E*I)其中，du/dx表示位移的二阶导数，M(x)表示在x位置的弯矩，E表示悬臂梁的弹性模量，I表示悬臂梁的截面惯性矩。
根据悬臂梁的几何关系，我们可以得到弯矩M(x)与力F之间的关系：M(x) = F*(L-x)将上述方程代入位移方程，我们可以得到悬臂梁的位移方程：du/dx = F*(L-x)/(E*I)对上述方程进行两次积分，并考虑边界条件u(0) = 0和du/dx(0) = 0，我们可以解得悬臂梁在任意位置x的位移u(x)：u(x) = (F*x*(3L - x))/(6*E*I)通过上述位移方程，我们可以计算出悬臂梁在不同位置的位移。
这对于分析和设计悬臂梁结构的性能和稳定性非常有帮助。
除了计算位移，位移法还可以用于计算对称结构的应力分布。
通过位移方程，我们可以得到应力与位移之间的关系，从而求解出结构中各点的应力值。
综上所述，位移法是一种常用的计算方法，适用于对称结构的分析。
通过解析和计算位移方程，我们可以得到结构在受力作用下的位移和应力分布，为结构的设计和分析提供了重要的理论支持。
位移法对称结构例题
以下是一个位移法求解对称结构问题的例题：
一个对称的矩形薄板，长为6m，宽为4m，在两端承受均匀分布的压力：P=10kPa。
求矩形薄板的挠曲形状。
解：首先，由于结构是对称的，因此可以将其分为一半进行计算。
假设矩形薄板在x方向上的挠度为u(x)，则在y方向上的挠度为：
y = u(x) + u(-x)
由于压力是均匀分布的，因此可以将其表示为：
P = P0 * x
其中，P0是压力的常量。
根据力学平衡方程，可以得到：
-P0 * x * (u(x) + u(-x)) = -M(x)
其中，M(x)是矩形薄板在x方向的弯矩。
由于压力是均匀分布的，因此可以将其表示为：
M(x) = P0 * x^3 / 12
将上述两个方程联立，可以得到：
-P0 * x * (u(x) + u(-x)) = P0 * x^3 / 12 化简得：
u(x) + u(-x) = -x^2 / 12
将上式代入y的表达式中，可以得到：y = u(x) + u(-x) = -x^2 / 12
因此，矩形薄板的挠曲形状为：
y = -x^2 / 12 （0 <= x <= 6m）。
结构力学-位移法习题1.确定用位移法计算下图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。
2.判断题1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。
（）2)位移法可用于求解静定结构的内力。
（）3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。
（）4)位移法只能用于求解连续梁和钢梁，不能用于求解桁架。
（）3.已知下图所示钢架的结点B产生转角，试用位移法概念求解所作用外力偶M。
4.若下图所示结构结点B向右产生单位位移，试用位移法概念求解应施加的力。
5.已知钢架的弯矩图如下图所示，各杆常数，杆长，试用位移法概念直接计算结点B的转角。
6.用位移法计算下图所示的连续梁，作弯矩图和剪力图。
EI=常数。
7.用位移法计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
8.用位移法计算下图所示各结构，并作弯矩图。
常数。
9.利用对称性计算下图所示结构，作弯矩图。
常数。
10.下图所示等截面连续梁，，已知支座C下沉，用位移法求作弯矩图。
11.下图所示的刚架支座A下沉，支座B下沉，求结点D的转角。
已知各杆。
12.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
13.试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
14.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
15.试用位移法计算图示结构，并绘出M图。
16.试利用对称性计算图示刚架，并绘出M图。
6m 6m9ml lq(a)4m 4m4m(b)10kN/m6m6m 6m 6m6m(a)8m 4m 4m 4m 4m20kN/m17. 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出M 图。
18. 试用位移法计算下图所示结构，并绘出其内力图。
19. 试用位移法求作下列结构由于温度变化产生的M 图。
已知杆件截面高度h ＝0.4m ，EI ＝2×104kN ·m 2，α＝1×10－5。
20.试计算图示具有牵连位移关系的结构，并绘出M 图。
3EI lA D CB l EI EIϕl Δ=ϕa 2aa 2aaF P6m 4m A B C +20℃0℃ +20℃0℃ 20kN8m 8m 6m 3m A C D EB F G EI 1=∞EI 1=∞ 3EI3EI 3EI EI。
用位移法计算对称结构的例题位移法是结构力学中常用的一种计算方法，用于求解对称结构中的内力、位移等参数。
对称结构是指结构中存在对称平面或轴的结构形式，可以简化计算过程，降低计算难度。
以下是位移法计算对称结构的例题及参考内容。
例题：考虑一简支梁，长度为L，截面为矩形，宽度为b，高度为h，质量密度为ρ。
梁位于坐标系的x轴上，原点位于梁的左端。
假设载荷为均匀分布的集中载荷P，作用在梁的中点上。
使用位移法计算该梁的挠度和应力分布。
参考内容：一、计算挠度：1. 假设梁的挠度方程为w(x)。
2. 由于该梁为简支梁，在悬臂和简支的连接处有零位移和零弯矩的边界条件可以得到w(0) = 0和w(L) = 0。
3. 通过对称性可以得到梁的中点弯矩为零，即M(L/2) = 0，以及中点剪力为零，即V(L/2) = 0。
4. 根据力平衡条件可以得到剪力方程V(x) = -P/2。
5. 根据弯矩方程可以得到弯矩方程M(x) = -P/2 * x + C1，其中C1为常数。
6. 代入边界条件和悬臂边界条件可以解得C1 = P * L/8。
7. 根据挠度方程可以得到挠度方程w(x) = -(P/24 * x^3 - P * L/8 * x) / (EI) + C2，其中C2为常数。
8. 代入边界条件可以解得C2 = P * L^3 / (192EI)。
9. 最终挠度方程为w(x) = (P/24 * x^3 - P * L/8 * x) / (EI) + P *L^3 / (192EI)。
二、计算应力分布：1. 由于该梁为纯弯曲梁，所以其应力分布为线性的。
2. 根据弯曲应力公式σ = My/I可以得到梁剖面任意点的弯曲应力。
3. 注意由于结构具有对称性，所以对称位置的弯曲应力相等。
4. 在梁的截面上，对称轴的弯矩为零，即My = 0。
5. 根据矩形截面的惯性矩计算公式可以得到梁的惯性矩I = bh^3/12。
6. 代入公式可以得到对称轴上的弯曲应力为σ = 0。
判断题1. 图a为对称结构，用位移法求解时可取半边结构如图b所示。
（×）2. 图示结构，用位移法求解，有三个结点角位移和二个结点线位移未知数（×）。
ϕ=所施加的弯矩相同。
（×）3. 以下两个单跨梁左端产生15. 用位移法计算图示结构时，独立的基本未知数数目是4 。
（×）6. 图示结构用位移法计算时，其基本未知量的数目为3个（√）。
7. 在位移法典型方程的系数和自由项中，数值范围可为正、负实数的有：（D）A 主系数；B 主系数和副系数；C 主系数和自由项D 负系数和自由项。
8. 用位移法计算超静定结构时考虑了到的条件是：（A）A物理条件、几何条件、和平衡条件；B平衡条件C平衡条件与物理条件D平衡条件与几何条件9. 规定位移法的杆端弯矩正负时，对杆端而言，以顺时针为正，对结点则以逆时针为正，这一规定也适合于杆端剪力的符号规定。
（×）10. 图a对称结构可简化为图（b）来计算。
（×）11. 图示结构用位移法求解时，基本未知量个数是相同的（√）12. 图示结构用位移法求解时，只有一个未知数（√）13. 图示结构横梁无弯曲变形，故其上无弯矩。
（×）14. 图ａ对称结构可简化为图ｂ来计算，EI均为常数。
（×）15. 图示结构用位移法求解的基本未知量数目最少为3。
（√）16. 图示结构EI＝常数，用位移法求解时有一个基本未知量。
（√）。
17. 位移法中固端弯矩是当其基本未知量为零时由外界因数所产生的杆端弯矩（√）18. 位移法的典型方程与力法的典型方程一样，都是变形协调方程。
（×）19. 用位移法可以计算超静定结构，也可以计算静定结构（√）20. 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结点数。
（×）21. 超静定结构中杆端弯矩只取决于杆端位移。
（×）pl EI。
（×）22. 图示结构B点的竖向位移为3/(5)23. 图示结构在荷载作用下结点B处的转角为０。
习 题6-1 试确定图示结构位移法基本未知量的个数。
6-2～6-6作图示刚架的M 图。
(a)(f)习题6-1图(d)习题6-2图习题6-5图习题6-3图（BC 杆件为刚性杆件）习题6-4图6-6 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-7 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
6-8 试用位移法计算图示结构，并作内力图。
EI 为常数。
6-9试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。
EI 为常数。
6-10 试用位移法计算图示结构，并作弯矩图（提示：结构对称）。
习题6-9图习题6-7图6-11作图示刚架的体系内力图。
6-12 设支座 B 下沉0.5cm B D =，试作图示刚架的M 图。
6-13如图所示连续梁,设支座C 下沉淀1cm ，试作M 图。
6-14图示等截面正方形刚架,内部温度升高+t°C ，杆截面厚度h ,温度膨胀系数为 ，试作M 图。
10 kN/m( a )( b)40 kN习题6-10图BGH习题6-11图（a ）（b ）q6-15试作图示有弹性支座的梁的弯矩图，332EIk l=，EI =常数。
6-16 试用弯矩分配法计算图示连续梁，并作M 图。
6-176-18 用力矩分配法计算图示结构，并作M 图。
6-19 已知图示结构的力矩分配系数1238/13,2/13,3/13,A A A m m m ===作M 图。
6-20 求图示结构的力矩分配系数和固端弯矩。
已知q=20kN/m,各杆EI 相同。
习题6-17图习题6-13图习题6-14图6-21～6-22 用力矩分配法计算图示连续梁，作M 图，并计算支座反力。
EI=常数。
6-23～6-25用力矩分配法计算图示刚架，作M 图。
EI=常数。
参考答案6.1 (a) 2 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 6 (f) 26.2 15BD M =kN·m （右侧受拉）20kN/m 40kN习题6-22图习题6-21图15kN/m习题6-23图F P =10kN 习题6-24图习题6-25图6.321112AB M ql =（上侧受拉）6.4P 0.4AD M F l =（上侧受拉）6.5150AC M =kN·m （左侧受拉）6.651.3AB M =kN·m （左侧受拉）6.780AB M =kN·m （上侧受拉）6.816.9AB M =kN·m （左侧受拉）6.9 (a) 10.43CA M =kN·m （左侧受拉） (b) 56.84CE M =kN·m （下侧受拉）6.10 (a) 8.5AB M =kN·m （上侧受拉） (b) 34.3AC M =kN·m （左侧受拉）6.11 (a) 20.794DC M ql =（右侧受拉） (b) 6.14GD M q =（右侧受拉）6.1223.68AC M =kN·m （右侧受拉）6.1359.3310BA M =ￗkN·m （上侧受拉）6.142/M EIt h a =（外侧受拉）6.152/32BA M ql =（下侧受拉）6.1617.5CB M =kN·m （下侧受拉）6.1778.75CD M =kN·m （上侧受拉）6.1827/12AB M ql =（上侧受拉）6.191117.95A M =kN·m （上侧受拉）6.200.34AD m =，13.33AD M =kN·m 6.2142.3BA M =kN·m （上侧受拉）6.2217.35BA M =kN·m （上侧受拉）6.2357.4BA M =kN·m （上侧受拉）6.2428.5BA M =kN·m （上侧受拉）6.2573.8BD M =kN·m （左侧受拉）。
1. 用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
Δ1(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令EI i =，作1M 图2=11k 11i作P M 图24由0=∑B M ，得=P F 1m kN ⋅-21⑸解方程组，求出=∆1i1121 2.用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令lEIi =，作1M 图=12得=11k 12i作P M 图P得=P F 18Pl3用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
（15分）解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点B 的角位移1∆。
(2)基本体系在B 点施加附加刚臂，约束B 点的转动，得到基本体系。
(3)位移法方程 01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令lEI i =，作1M 图得=11k8i作PM图得4、用位移法计算图示刚架，求出系数项和自由项。
l l / 2 l / 2解：(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束B点的转动，得到基本体系。
基本体系(3)位移法方程01111=+∆P F k(4)计算系数和自由项令l EIi =，作1M 图 得=11k 12i 作P M 图 得=P F 18Pl F P F P5、用位移法计算图示刚架，求出系数项及自由项。
EI =常数。
2m2m 4m4m(1)基本未知量这个刚架基本未知量只有一个结点角位移1∆。
(2)基本体系在刚结点施加附加刚臂，约束结点的转动，得到基本体系。
2009-2017历年位移法计算题【此组题解题步骤相同，需注意形常数加倍问题。
】基本体系 1M 图 P M 图解： （1）一个刚结点角位移1∆，在刚结点施加附加刚臂，得基本体系如图。
1-1用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项和自由项。
【1201，1607考题】 解： （1）一个刚结点角位移1∆，在刚结点施加附加刚臂，得到基本体系。
(2) 取lEIi=，作1M 图 、 P M 图 如图所示。
基本体系 1M 图 P M 图 (3)位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）系数项i i i k 84411=+=， 自由项8P 1l F F P =【相当于把题1的图形左转90度，即得本题结果】1-2用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项和自由项。
EI=常数。
【1301考题】 解：（1）一个刚结点角位移1∆。
基本体系如图。
(2) 令4EIlEI i ==，作1M 图 、P M 图 如图。
(3)位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）m l4=，kN P 8=， 系数项i i i k 84411=+=， 自由项m kN Pl F P .484881=⨯==【把数据m l4=，kN P 8= 代入题1， 即得本题结果。
】1-3【与题1相比，本题竖杆刚度加倍为2EI ，其形常数也加倍，只需对1M 图和系数11k 作点改变即可。
】基本体系 1M 图 P M 图系数项i i i k 124811=+=， 自由项81lF F P P =1-4基本体系 1M 图 P M 图系数项i i i k 124811=+=， 自由项81lF F P P =【与题1相比，本题横杆刚度为2EI ，其形常数也加倍。
其余比照题1的解题步骤进行，只需对1M 图和系数11k 作出如上改变。
】基本体系1M 图 P M 图解： （1）一个刚结点角位移1∆，在刚结点施加附加刚臂，得基本体系如图。
1-5用位移法计算图示刚架，列出位移法方程，求出系数项和自由项。
【1401考题】解析：(1)一个结点角位移1∆，基本体系如图。
(2) 令lEIi=，作1M 图、P M 图如图所示。
基本体系 1M 图 P M 图(3) 位移法方程 01111=+∆P F k（4）计算：系数项i i i k 124811=+=， 自由项=P F 18Pl -【与题2相比，本题横杆刚度为2EI ，其形常数也加倍。
只需对1M 图和系数11k 作出改变即可。
】 1-6用位移法计算图示刚架，列出典型方程，求出系数项及自由项。
EI =常数。
【1107考题】 解： （1）基本体系如图， （2） 令 4EI l EI i ==， 作1M 图、P M 图 如图所示。
（3）位移法典型方程 01111=+∆P F k(4)系数项 i i i k 84411=+= ， 自由项m kN Pl F P .5841081-=⨯-=-= 【本题是题2图形左转90度，再代入数据m l 4=，kN P 10=的结果。
】【此组题解题步骤相同，需注意载常数的正负号。
】0901,1707考题】 解：（1）取 4EI l EI i ==，作基本体系图，作1M 图， 作P M 图，基本体系 1M 图 P M 图，（2）位移法典型方程 01111=+∆P F k（3）系数项 i i i i k 1134411=++= ， 自由项m kN 5841081⋅-=⨯-=-=Pl F P1601，1507考题】 解：（1）一个结点角位移1∆，kN P 10=，m l 4= ， 作基本体系如图。
（2）令4EIl EI i==，作1M 图、P M 图如图。
基本体系图 1M 图 P M 图（m kN .）(3) 位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）计算 系数项i i i i k 1134411=++= 自由项m kN Pl F P .5.71641031631=⨯⨯==1101,1801】解：（1）取基本体系如图。
（2） 令 l EI i 2=， 作1M 图 和P M 图 。
基本体系 1M 图 P M 图（3） 位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）系数项 i i i k 84411=+= ， 自由项l F F P P -=1 [右杆相当于悬臂梁]基本体系1M 图 P M 图 解：（1）取基本体系如图。
（2） 令 lEI i 2=， 作1M 图 和P M 图 如图 。
（3） 位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）i i i k 84411=+=， =P F 1 10=-l F P【若考，必考原题。
需注意杆长加倍，载常数也加倍】1407 ，1207考题 】解：（1）一个刚结点角位移1∆的连续梁，令 lEIi 2=， 基本体系如图所示。
(2) 作1M 图 、 P M 图 如下图所示。
基本体系 1M 图 P M 图 (3)位移法典型方程01111=+∆P F k（4） 计算系数项i i i k 106411=+=， 自由项4P 1l F F P =1001，1307考题】 解：(1)取li2=，基本体系如图， （2）作1M 图 ，作P M 图如下： 基本体系 1M 图 P M 图 (3)位移法典型方程01111=+∆P F k(4) 计算系数和自由项i i i k 113811=+= ，=P F 1 83Pl -【若考，必考原题】【1007，1501考题】 解：（1）取基本体系如图所示。
(2) 取lEIi 2=， 作1M 图 、 2M 图 如下图所示。
基本体系 1M 图 2M 图(3)典型方程⎩⎨⎧=+∆+∆=+∆+∆0022221211212111P P F k k F k k(4)计算系数项i i i k 84411=+=， i i i i k 1244422=++=， i k k 22112==解：(1)有B 、C 两个刚结点的角位移, 在刚结点B 、C 施加附加刚臂，得到基本结构如图。
(2) 令4EIi =，作1M 图 、2M 图如图所示。
基本结构 1M 图2M 图(3)典型方程⎩⎨⎧=+∆+∆=+∆+∆0022221211212111P P F k k F k k(4)计算系数项i i i k 84411=+=， i i i i k 1244422=++=， i k k22112==解： （1）基本体系如图， （2） 令 4EI l EI i ==， 作1M 图、P M 图 如图所示。
基本体系 1M 图 P M 图（3）位移法典型方程 01111=+∆P F k(4)系数项 i i i k 84411=+= ， 自由项1221ql F P =5-2用位移法计算图示刚架。
已知基本结构如下图所示，求系数项和自由项。
【0907考题】解：1M 图 P M 图位移法典型方程01111=+∆P F k解：(1)基本未知量是结点B 的角位移1∆，在B 点施加附加刚臂，得到基本体系。
(2) 令6EI l EI i ==，作1M 图，作P M 图。
基本体系 1M 图 P M 图(3)位移法方程：01111=+∆P F k(4) 取结点B 为研究对象，得系数i i i i k 1134411=++=，自由项m kN ql Pl F P .6)36(308821-=-+=-=〖 用位移法计算图示刚架，各杆EI=常数，不计杆件轴向变形。
列出典型方程，求出系数项和自由项。
解：（1）一个结点角位移1∆，kN P 20=，m kN q /4=，m L 6= ， 作基本体系如图。
（2）令6EIL EI i==，作1M 图、P M 图如图。
(3) 位移法典型方程 01111=+∆P F k（4）计算 系数项i i i i k 1134411=++= ， 自由项m kN F P .318151-=-=AB 杆右端m kN Pl.15620818=⨯⨯=BC 杆左端 m kN ql .186481822-=⨯⨯-=-，解：(1)结点B 有角位移1∆，在B 点施加附加刚臂，得到基本体系。
(2) 令6EIi=，作1M 图，作P M 图基本体系 1M 图 P M 图(3) 位移法方程 01111=+∆P F k(4) 系数项i i i i k 1134411=++=，自由项m kN Plql F P .21)45(241631221-=-+=-= 〖本题左杆右端载常数2412681222=⨯=ql ，右杆左端载常数m kN Pl .45166403163-=⨯⨯-=-〗 〖难点在载常数的正负号，与P F 1的叠加及正负号的确定规则〗 一页开卷纸上应抄的弯矩形常数和载常数两端固定的单跨超静定梁的载常数两端固定，中间集中力P ：两端固定，中间均布荷载q一端固定一端铰支的单跨超静定梁的载常数右端铰支，中间集中力P ： 左端163Pl -，右端0； 中间折线连接 左端铰支，中间集中力P ： 左端0， 右端163Pl ； 中间折线连接 右端铰支，中间均布荷载q ： 左端82ql -，右端0； 中间抛物线连接左端铰支，中间均布荷载q ： 左端0， 右端82ql ； 中间抛物线连接。
