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回归分析(regression analysis)➢概述回归分析是寻求成对出现的一组数值型数据之间的关系模型的一种统计工具，这咱关系模型是一条直线或曲线。
回归分析就是要找到这条直线或曲线的方程，以及度量模型对数据拟合优度的判定系数r2和其他一些统计工具。
线性回归是通过绘制数据的散布图来拟合一条最优直线。
本部分将就这种最简单的回归类型展开讨沦。
非线性回归是寻求与数据最优的曲线。
多元回归是解决一个因变量受多个自变量影响的问题。
非线性和多元回归都过于复杂，需要使用时可以寻求统计学家的帮助。
➢适用场合·当取得一组成对出现的数据型数据时；·在绘制完成数据的散布图后；·当要了解自变量的变化对因变量有怎样的影响时；·当掌握了自变量的信息，想要预测因变量的变化情况时；·当需要得到直线或曲线对数据的拟合程度的统汁测量结果时。
➢实施步骤线性回归可以用手工完成，但是通过计算机软件可以大大简化运算。
按照软件说明逐步完成分析过程。
回归分析会得到与数据最优拟合的回归直线图形以及一张统计表格，包括：·回归直线的斜率。
直线方程的形式是：ˆy mx b=+，m是斜率，代表当自变量x增加一个单位时，因变量ˆy将随之增加一个单位。
正的斜率意味着回归线是由左向右上方倾斜的；负斜率说明回归线向下方倾斜（ˆy的上标是用来提醒它只是因变量）估计值，而不是真实值）。
·回归直线的截距。
在直绒方程中，常数b代表截距。
它是直线与y轴交点处ˆy的值。
得到斜率和截距值后，就可以根据等式ˆy mx b=+画出回归线或按照给定的x值估计y的值了。
·判定系数r2。
r2的值介于0和1之间，是对同归线与数据拟合程度的度量。
如果，r2＝1，代表直线与数据完全吻合。
随着r2值的减小，表示拟合度越差，得到的估计值也更不准确。
将r2看作是y的变动中可以用回归直线解释的那部分，因为大部分的数据点都不会准确地落在回归线上，不能用回归线解释的那部分(1—r2)是残差。
hierarchical regression analysis 层次回归分析是一种广泛应用于社会科学、心理学和教育研究的统计方法。
它是一种多元线性回归分析的变体，它允许考虑不同层次的变量对因变量的影响。
在本文中，我们将介绍层次回归分析的基本概念、步骤和应用，以及一些常见的数据分析问题和解决方法。
1.基本概念层次回归分析是一种多层次数据分析方法，它考虑了个体和群体之间的差异。
在这种方法中，数据被组织成层次结构，例如，个体可以被分组为家庭、班级、学校、城市等。
在这种层次结构中，每一层都有自己的特征和变量，这些变量可以影响下一层的变量。
因此，层次回归分析可以用来探索不同层次变量之间的关系，以及它们对因变量的影响。
在层次回归分析中，因变量和自变量可以是连续的、二元的或多元的。
自变量可以是在不同层次上的个体特征，例如，年龄、性别、教育水平等；也可以是在不同层次上的群体特征，例如，社会经济地位、文化背景等。
在这种分析中，我们通常感兴趣的是，不同层次变量对因变量的独立和联合影响。
2.步骤层次回归分析通常包括以下步骤：第一步：确定层次结构。
这是最重要的一步，因为分析的结果取决于层次结构的正确性和合理性。
通常，层次结构可以从研究问题、数据来源、理论框架等方面确定。
第二步：确定模型。
在层次回归分析中，有两种基本模型：随机截距模型和随机斜率模型。
随机截距模型假设不同层次的个体之间存在随机差异，但自变量对因变量的影响是相同的。
随机斜率模型假设不同层次的个体之间存在随机差异，并且自变量对因变量的影响也可能因层次而异。
在选择模型时，需要考虑研究问题、数据的特点、理论假设等因素。
第三步：进行模型拟合。
在层次回归分析中，通常使用最大似然估计或贝叶斯方法进行参数估计。
拟合模型时，需要考虑模型的拟合度、参数的显著性、模型的解释力等方面。
第四步：进行模型诊断。
模型诊断是判断模型是否合理和可靠的重要步骤。
常用的方法包括检查残差图、Q-Q图、杠杆点和离群值等。
Advances in Social Sciences 社会科学前沿 , 2015, 4(4, 218-224Published Online December 2015 in Hans.文章引用 : 申可 , 陈红 . 大学生性别角色与社会适应的关系模型 [J]. 社会科学前沿 , 2015, 4(4: 218-224.The Relationship between Sex-Role and Social Adaption of College Students Ke Shen, Hong Chen*Department of Psychology, Southwest University, ChongqingReceived: Nov. 1st , 2015; accepted: Nov. 20th , 2015; published: Nov. 23rd , 2015Copyright © 2015 by authors and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY.AbstractIn western culture, three theories regarding the utility of sex-roles have been proposed: the con-gruency model, the androgyny model, and the masculinity model. The congruency model posits that masculin ity facilitates males’ mental health but not females’, while femininity facilitates fe-males’ well-being but not males’. Androgyny model states that people with high levels of both masculinity and femininity enjoy the highest level of well-being independent of their gender. Masculinity model holds thatmasculinity is the dominant factor that promotes ones’ psychological well-being. This study used Students’ Sex Role Inventory (CSRI-50 and College Students Adapta-bility Scale (CSAI to investigate, random sample of 188 subjects from local universities, to explore the applicability of three models in college students. The results showed that the masculinity model is most appropriate in explaining the relation of sex-role to social adaptation in college students. KeywordsCollege Students, Sex Role, Social Adaption大学生性别角色与社会适应的关系模型申可,陈红 *西南大学心理学部,重庆收稿日期:2015年 11月 1日;录用日期:2015年 11月 20日;发布日期:2015年 11月 23日*通讯作者。
层次分析法介绍我顶！一.层次分析法的基本原理1.引言层次分析法(Analytia1 Hierarchy Process，简称AHP)是美国匹兹堡大学教授A．L．Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。
AHP是一种能将定性分析与定量分析相结合的系统分析方法。
AHP是分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。
它具有思路清晰、方法简便、适用面广、系统性强等特点，便于普及推广，可成为人们工作和生活中思考问题、解决问题的一种方法。
将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。
它最适宜于解决那些难以完全用定量方法进行分析的决策问题，因此，它是复杂的社会经济系统实现科学决策的有力工具。
应用AHP解决问题的思路是：首先，把要解决的问题分层系列化，即根据问题的性质和要达到的目标，将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将其分层聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型。
然后，对模型中每一层次因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。
最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最低层(方案层)相对于最高层(总目标)的相对重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择方案的依据。
2.基本原理我们可以分析下面这个简单的例子，来说明AHP的基本原理。
二.层次分析法的步骤用AHP分析问题大体要经过以下五个步骤：(1)建立层次结构模型；(2)构造判断矩阵；(3)层次单排序；(4)层次总排序；(5)一致性检验。
其中后三个步骤在整个过程中需要逐层地进行。
1.建立层次结构模型运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，按照最高层、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来。
对于决策问题，通常可以将其划分成层次结构模型。
其中：最高层：表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标。
中间层：它表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等。
分层回归分析的意义
1、分层回归分析的意义？
【答案】分层回归（层次回归）本质上是建立在回归分析基础上，区别在于分层回归可分为多层，用于研究两个或者多个回归模型之间的差异。
分层回归将核心研究的变量放在最后一步进入模型，以考察在排除了其他变量的贡献的情况下，该变量对回归方程的贡献。
如果变量仍然有明显的贡献，那么就可以做出该变量确实具有其他变量所不能替代的独特作用的结论。
这种方法主要用于，当自变量之间有较高的相关，其中一个自变量的独特贡献难以确定的情况。
例如，在研究学习疲倦感中，将性别、年龄、学历等（控制变量）放置在第一层，第二层放置工作压力（核心研究变量）。
常用于中介作用或者调节作用研究。
分层回归分析
分层回归通常用于中介作用或者调节作用研究中。
分析时通常第一层放入基本个人信息题项或控制变量；第二层放入核心研究项。
使用SPSSAU在线spss分析，输出格式均为标准格式，复制粘贴到word即可使用。
分层回归其实是对两个或多个回归模型进行比较。
我们可以根据两个模型所解释的变异量的差异来比较所建立的两个模型。
一个模型解释了越多的变异，则它对数据的拟合就越好。
假如在其他条件相等的情况下，一个模型比另一个模型解释了更多的变异，则这个模型是一个更好的模型。
两个模型所解释的变异量之间的差异可以用统计显著性来估计和检验。
扩展资料：
前面介绍的回归分析中的自变量和因变量都是数值型变量，如果在回归分析中引入虚拟变量（分类变量），则会使模型的应用范围迅速扩大。
在自变量中引入虚拟变量本身并不影响回归模型的基本假定，因为经典回归分析是在给定自变量X 的条件下被解释变量Y的随机分布。
但是如果因变量为分类变量，则会改变经典回归分析的基本假定，一般在计量经济学教材中有比较深入的介绍，如Logistics回归等。
Regression回归分析Regression Analysis (Spring, 2000)By WonjaePurposes: a. Explaining the relationship between Y and X variables with a model (Explain a variable Y in terms of Xs)b. Estimating and testing the intensity of their relationshipc. Given a fixed x value, we can predict y value.(How does a change of in X affect Y, ceteris paribus?)(By constructing SRF, we can estimate PRF.)OLS (ordinary least squares) method: A method to choose the SRF in such a way that the sum of the residuals is as small as possible.Cf. Think of ‘trigonometrical function’ and ‘the use of differentiation’Steps of regression analysis:1. Determine independent and dependent variables: Stare one dimension function model!2. Look that the assumptions for dependent variables are satisfied: Residuals analysis!a. Linearity(assumption 1)b. Normality (assumption 3)— draw histogram for residuals (dependent variable) or normal P-P plot(Spss statistics regression linear plots ‘Histogram’, ‘Normal P-P plot ofregression standardized’)c. Equal variance (homoscedasticity: assumption 4)—draw scatter plot for residuals (Spss statistics regression linear plots: Y = *ZRESID, X =*ZPRED)Its form should be rectangular!If there were no symmetry form in the scatter plot, we should suspect the linearity.d. Independence (assumption 5,6: no autocorrelation between the disturbances,zero covariance between error term and X)—each individual should be independent3. Look at the correlation between two variables by drawing scatter graph:(Spss graph scatter simple)a. Is there any correlation?b. Is there a linear relation?c. Are there outliers? If yes, clarify the reason and modify it!(We should make outliers dummy as a new variable, and do regression analysis again.)d. Are there separated groups? If yes, it means those data came from different populations4. Obtain a proper model by using statistical packages (SPSS)5. Test the model:a. Test the significance of the model (the significance of slope): F-TestIn the ANOV A table, find the f-value and p-value(sig.)If p-value is smaller than alpha, the model is significant.b. Test the goodness of fit of the model In the ‘Model Summary’, look at R-square. R-square(coefficient of determination)—It measures the proportion or percentage ofthe total variation in Y explained by the regression model. (If the model is significant but R-square is small, it means that observed values arewidely spread around the regression line.)6. Test that the slope is significantly different from zero:a. Look at t-value in the ‘Coefficients’ table and find p-vlaue.b. T-square should be equal to F-value.7. If there is the significance of the model, Show the model and interpret it!steps: a. Show the SRFb. In “Model Summary” Interpret R-square!c. In “ANOV A” table Show the table, interpret F-value and the null hypothesis!d. In “Coefficients” table Show the table and interpret beta values!e. Show the residuals statistics and residuals’ scatter plot!If there is no significance of the model, interpret it like this:“X variable is little helpful for explaining Y variable.” or“There is no linear relationship between X variable and Y variable.”8. Mean estimation (prediction) and individual prediction :We can predict the mean, individuals and their confidence intervals.(Spss statistics regression linear save predicted values: unstandardized)Testing a modelWonjaeBefore setting up a model1. Identify the linear relationship between each independent variable and dependent variable. Create scatter plot for each X and Y.( STATA: plot Y X1, plot Y X2)ovtest, rhsgraph Y X1 X2 X3, matrixavplots)2. Check partial correlation for each X and Y.( STATA: pcorr Y X1 X2, pcorr X1 Y X2, pcorr X2 Y X1 )After setting up a model1. Testing whether two different variables have same coefficients.The null hypothesis is that “X1” and “X2”variables have the same impact on Y.( STATA: test X1 = X2 )2. Testing Multicollinearity (Gujarati, p.345)1) DetectionHigh R2 but few significant t-ratios.High pair-wise (zero-order) correlations among regressors( STATA: regress Y X1 X2 X3graph Y X1 X2 X3, matrixavplots)Examination of partial correlationsAuxiliary regressionsEigen-values and condition indexTolerance and variance inflation factor( STATA: regress Y X1 X2 X3vif)# Interpretation: If a VIF is in excess of 20, or a tolerance (1/VIF) is .05 or less,There might be a problem of multicollinearity.2) Correction:A. Do nothingIf the main purpose of modeling is predicting Y only, then don’t worry.(since ESS is left the same)“Don’t worry about multicollinearity if the R-squared from the regression exceeds the R-squared of any independent variable regressed on the other independent variables.”“Don’t worry about it if the t-statistics are all greater than 2.”(Kennedy, Peter. 1998. A Guide to Econometrics: 187)B. Incorporate additional informationAfter examining correlations between all variables, find the most strongly relatedvariable with the others. And simply omit it.( STATA: corr X1 X2 X3)Be careful of the specification error, unless the true coefficient of that variable is zero.Increase the number of dataFormalize relationships among regressors: for example, create interaction term(s)If it is believed that the multicollinearity arises from an actual approximate linearrelationship among some of the regressors, this relationship could be formalized and the estimation could then proceed in the context of a simultaneous equation estimation problem.Specify a relationship among some parameters: If it is well-known that there exists a specific relationship among some of the parameters in the estimating equation, incorporate this information. The variances of the estimates will reduce.Form a principal component: Form a composite index variable capable of representing this group of variables by itself, only if the variables included in the composite havesome useful combined economic interpretation.Incorporate estimates from other studies: See Kennedy (1998, 188-189).Shrink the OLS estimates: See Kennedy.3. Heteroscedasticity1) DetectionCreate scatter plot for ‘residual squares’ and Y (p.368)Create scatter plot for each X and Y residuals (standardized)(“Partial Regression Plot” in SPSS)( STATA: predict rstanplot X1 rstanplot X2 rstan )White’s test (p.379)Step 1: regress your model (STATA: reg Y X1 X2…)Step 2: obtain the residuals and the squared residuals( STATA: predict resi / gen resi2 = resi^2 )Step 3: generate the fitted values yhat and the squared fitted values yhat( STATA: predict yhat/ gen yhat2 = yhat^2 )Step 4: run the auxiliary regression and get the R2( STATA: reg resi2 yhat yhat2 )Step 5: 1) By using f-statistic and its p-value, evaluate the null hypothesis.or 2) By comparing χ2calculated (n times R2) with χ2critical , evaluate it again.If the calculated value is greater than the critical value (reject the null),there might be ‘heteroscedasticity’ or ‘specification bias’ or both.Cook & Weisberg test( STATA: regress Y X1 X2 X3hettest)The Breusch-Pagan test( STATA: reg Y X1 X2 …. / predict resi / gen resi2 = resi^2 / reg res2 X1 X2…)2) Remedial measureswhen variance is known: use WLS method( STATA: reg Y* X0 X1* noconstant )cf. Y* =Y/δ , X* = X/δwhen variance is not known: use white’ method( STATA: gen X2r =sqrt(X) , gen dX2r =1/X2rgen Y* = Y/X2rreg Y* dX2r X2r, noconstant )4. Autocorrelation1) DetectionCreate plot( STATA: predict resi, resigen lagged resi =resi[_n-1]plot resi lagged resi)Durbin-Watson d test(Run the OLS regression and obtain the residuals compute ‘d’find d Lcritical and d Uvalues, given the N and K decide according to the decision rules)( STATA: regress Y X1 X2 X3dwstat )Runs test( STATA: regress Y X1 X2 X3predict resi, resiruntest resi)2) Remedial measures (pp.426-433)Estimate ρ: ρ = 1 – d/2 (D-W) or ρ = n2(1- d/2) + k2/n2 –k2 (Theil-Nagar)Regress with transformed variables and get the new d statistic.Compare it with d Lcritical and d Uvalues5. Testing Normality of residualsobtain ‘normal probability plot’(With ‘ZY’ and ‘ZX’, choose ‘Normal probability plot’ in SPSS)( STATA: predict resi, resi egen zr =std(resi)pnorm zr )6. Testing OutliersDetection(STATA: avplot x1 / cprplot X1 / rvpplot X1)Cooksd test: Cook’s distance, which measures the aggregate change in the estimated coefficients, when each observation is left out of the estimation(STATA: regress Y X1 X2predict c, cooksddisplay 4/d.f. remember this cut point value!list X1 X2 c compare the values in c with the cut point value!list c if c > 4/d.f. identify which observations are outliers!drop if c > 4/d.f. If you want to drop outliers! )。
分层回归结果解读
分层回归是一种多层次的回归模型，可以用于分析有多个层次（例如个体和群体）的数据。
分层回归的结果解读可以从以下几个方面进行：
1. 个体水平（第一层）的系数：分层回归模型可以估计不同层次的系数，对于个体层次的系数，可以解读为在控制其他变量的情况下，该变量对个体层次因变量的影响。
例如，某个变量的系数为0.5，表示这个变量的一个单位变化，会导致个体层次因变量平均变化0.5个单位。
2. 群体水平（第二层）的系数：分层回归模型可以估计不同层次的系数，对于群体层次的系数，可以解读为在控制个体层次的变量的情况下，该变量对群体层次因变量的影响。
例如，某个变量的系数为1.2，表示这个变量的一个单位变化，会导致群体层次因变量平均变化1.2个单位。
3. 随机效应：分层回归模型可以通过引入随机效应来考虑个体和群体之间的随机差异。
随机效应可以解释个体和群体之间的异质性，例如，某个随机效应的标准差为0.8，表示个体或群体之间的因变量的差异大约为0.8个单位。
4. 解释力：分层回归模型的解释力可以通过判定系数（R方）来评估。
R方表示因变量的方差中可以由模型解释的比例，取值范围为0到1，越接近1表示模型拟合得越好。
总之，分层回归结果的解读主要包括对个体和群体层次的系数、随机效应和解释力的解读，可以帮助理解不同层次的变量对因变量的影响以及个体和群体之间的差异。
分层线性模型分层线性模型（hierarchical linear model HLM）的原理及应用一、概念：分层线性模型（hierarchical linear model HLM）又名多层线性模型（Multilevel Linear Model MLM）、层次线性模型（Hierarch Linear Mode1）、多层分析（Multilevel Analysis/Model）。
相对于传统的两种统计方法：一般线性模型（general linear model GLM）和广义线性模型（generalized linear models GLMs），它们又有所不同，HLM中的线性模型指的是线性回归，不过它与一般的分层线性回归（Hierarchical Regression）又是不同的，具体的不同见下面数学模型部分。
HLM又被通俗的称为“回归的回归”。
Wikipedia：“一般线性回归和多重线性回归都是发生在单一层面，HLM相对于更适用于嵌套数据（nest data）。
”在理解HLM之前应了解有关回归分析和嵌套设计（分层设计）的基本知识。
二、模型：1、假设：由于个体行为不仅受个体自身特征的影响，也受到其所处环境（群体/层次）的影响。
相对于不同层次的数据，传统的线性模型在进行变异分解时，对群组效应分离不出，而增大模型的误差项。
而且不同群体的变异来源也可能分布不同，可能满足不了传统回归的方差齐性假设。
在模型应用方面，不同群体（层次）的数据，也不能应用同一模型。
鉴于传统方法的局限性，分层技术则解决了这些生态谬误（Ecological Fallacy）。
它包含了两个层面的假设：a、个体层面：这个与普通的回归分析相同，只考虑自变量X对因变量Y的影响。
b、群组层面：群组因素W分别对个体层面中回归系数和截距的影响。
2、数学模型：a、个体层面：Yij=Β0j+Β1jXij+eijb、群组层面：Β0j=γ00+γ01Wj+U0jΒ1j=γ10+γ11Wj+U1j涉及到多个群组层次的时候原理与之类似，可以把较低级层次的群组，如不同的乡镇层面与不同的县市层面，可以这样理解，乡镇即是一个个体，群组即是不同的县市。
第八章 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
SPSS超详细操作：分层回归(hierarchical multiple regression)1、问题与数据最大携氧能力(maximal aerobic capacity, VO2max)是评价人体健康的关键指标，但因测量方法复杂，不易实现。
某研究者拟通过一些方便、易得的指标建立受试者最大携氧能力的预测模型。
目前，该研究者已知受试者的年龄和性别与最大携氧能力有关，但这种关联强度并不足以进行回归模型的预测。
因此，该研究者拟逐个增加体重(第3个变量)和心率(第4个变量)两个变量，并判断是否可以增强模型的预测能力。
本研究中，研究者共招募100位受试者，分别测量他们的最大携氧能力(VO2max)，并收集年龄(age)、性别(gender)、体重(weight)和心率(heart_rate)变量信息，部分数据如下：注：心率（heart_rate）测量的是受试者进行20分钟低强度步行后的心率。
2、对问题的分析研究者拟判断逐个增加自变量(weight和heart_rate)后对因变量(VO2max)预测模型的改变。
针对这种情况，我们可以使用分层回归分析(hierarchical multiple regression)，但需要先满足以下8项假设：假设1：因变量是连续变量假设2：自变量不少于2个（连续变量或分类变量都可以）假设3：具有相互独立的观测值假设4：自变量和因变量之间存在线性关系假设5：等方差性假设6：不存在多重共线性假设7：不存在显著的异常值假设8：残差近似正态分布那么，进行分层回归分析时，如何考虑和处理这8项假设呢？3、对假设的判断3.1 假设1-2假设1和假设2分别要求因变量是连续变量、自变量不少于2个。
这与研究设计有关，需根据实际情况判断。
3.2 假设3-8为了检验假设3-8，我们需要在SPSS中运行分层回归，并对结果进行一一分析。
(1)点击Analyze→Regression→Linear出现下图：(2)将因变量（VO2max）放入Dependent栏，再将自变量（age和gender）放入Independent栏：解释：因研究者已知性别、年龄与最大携氧能力的关系，我们先把这两个变量放入模型。
层次回归模型层次回归模型层次回归模型（Hierarchical Regression Model）是一种多元回归分析方法，它可以用于探究某个因变量与若干自变量之间的关系，同时考虑到这些自变量之间的相互作用和影响。
在实际应用中，层次回归模型可以用于解决多种复杂问题，如社会科学领域中的心理学、教育学、管理学等。
一、基本概念1.1 回归分析回归分析是一种统计学方法，它可以研究两个或多个变量之间的关系。
其中一个变量被称为因变量（Dependent Variable），另一个或几个变量被称为自变量（Independent Variable）。
通过回归分析，我们可以得到因变量与自变量之间的函数关系式，从而预测因变量在不同自变量取值下的数值。
1.2 层次结构层次结构是指由若干个子系统组成的一个系统整体。
在层次结构中，每个子系统都有其独立性和相对封闭性，并且与其他子系统之间存在着相互作用和依赖关系。
例如，在教育管理领域中，学校可以看作是一个层次结构，其中包含了多个子系统，如教师、学生、课程等。
这些子系统之间存在着相互作用和依赖关系，从而影响了整个学校的运行和发展。
1.3 层次回归模型层次回归模型是指在回归分析中考虑到自变量之间的相互作用和影响，并将其看作一个层次结构进行建模的方法。
在层次回归模型中，自变量被分为若干个层次，每个层次中的自变量具有一定的相似性和联系。
通过建立层次回归模型，我们可以更准确地探究因变量与自变量之间的关系，并且可以考虑到不同层次自变量之间的相互作用和影响。
二、建立过程2.1 确定因变量和自变量首先需要确定研究对象中所涉及的因变量和自变量。
其中因变量是我们要研究或预测的目标，而自变量则是我们认为可能会对因变量产生影响的因素。
2.2 分析数据特征在确定因变量和自变量后，需要对数据进行分析，了解其特征。
这包括数据类型、数据范围、数据分布等。
通过对数据的分析，可以帮助我们选择合适的回归模型，并且可以为后续的数据处理和建模提供参考。
第十讲层次分析和因子分析第一节层次分析预测基本问题AHP是英文Analytic Hierarchy Process的缩写，中文译为层次分析法，这种方法是由美国著名运筹学家，匹兹堡大学教授T.L.Saaty在20世纪70年代中期提出，并在1980年他的明珠《The Analytic Hierarchy Process》中正式确立。
AHP方法是一种多准则预测方法，它把一个复杂的问题表示为有序的递阶层次结构，通过人们的两辆比较、判断和计算，对预测方案的优劣进行排序，这种方法可以统一处理预测中的定性与定量因素，特别适用于无结构问题的建模，例如，可在社会经济系统的预测分析中使用层次分析法，它具有实用性、系统性和简捷性等优点。
AHP方法的表现形式与它深刻的理论内容联系在一起，简单的表现形式使得AHP方法有着广泛的应用领域；深刻的理论内容确立了它在多准则预测领域中的地位。
层次分析法是一种决策思维方式，它把复杂的决策问题分解为各个组成因素，将这些因素按支配关系分组，形成有序的递阶层次结构，通过两两比较的方式，确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断，以决定诸因素相对重要性的总的顺序，层次分析法体现了人们决策思维的基本特征——分解、综合、判断。
AHP方法不仅可以进行定量分析，也可以进行定性分析，它可以把预测过程中的定量与定性因素有机的结合起来，用一种统一的方式进行处理，AHP法改变了最优化技术中只能对定量问题进行处理的局限，因此在资源分配、冲突分析、方案评比、计划评比等问题中均可以使用。
当然，仅有20年历史的AHP方法也有着应用上的局限性，主要有以下三个方面：第一，AHP方法的应用主要是针对那种方案大体确定的问题，即只能从已知方案中选优，而不能生成方案。
第二，AHP方法得出的结果是粗略的方案排序。
对于那种有较高定量要求的问题，单纯用AHP方法不大合适，如能和别的方法结合起来使用，会获得满意的结果。
该方法对于定量要求不高的资源分配问题、成本效益分析等问题，都可以获得较好的结果。
2 层次分析法2.1层次分析法的简单介绍层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP），是20世纪80年代由美国运筹学教授T. L. Satty 提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，它根据问题的性质和要达到的目标分解出问题的组成因素，并按因素间的相互关系将因素层次化，组成一个层次结构模型，然后按层分析，最终获得最低层因素对于最高层（总目标）的重要性权值。
在经营决策中经常会遇到多指标、多方案的综合比较问题, 由于经常出现多个方案互有好坏的情况。
因此要从成百上千个指标、方案中选择最佳的组合方案就成了一个较为麻烦的问题。
在实际应用中,尽管人们还不能解决多个方案的综合比较问题, 但是如果就2个方案之间进行比较还是可以判断出相对好坏的。
于是, 设法在数学上找到1种方法, 使之从多方案比较过渡到两两之间的比较,从而解决多方案比较的问题, 这就是AHP法的基本思想。
2.2层次分析法的基本层次结构第一类：最高层，又称顶层、目标层。
第二类：中间层，又称准则层。
第三类：最底层，又称措施层、方案层。
层次结构图（一）层次之间的支配关系是完全的结构模型层(二) 层次之间的支配关系是不完全的结构模型2.3 判断矩阵设要比较n 个因素)...,,(21n y y y y =对目标z 的影响，从而确定它们在z 中所占的比重，每次取两个因素i y 和j y 用ij a 表示i y 与j y 对z 的影响程度之比，按1～9的比例标度来度量ij a ，n 个被比较的元素构成一个两两比较（成对比较）的判断矩阵.)(n n ij a ⨯=A 显然，判断矩阵具有性质：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A nn n n n n a a aa a a a a a212222111211 ,0>ij a ,1ijji a a =1=ii a )...,2,1,(n j i =所以又称判断矩阵为正互反矩阵（简称正互阵，又称成对比较阵）。
分层回归其实是对两个或多个回归模型进行比较。
我们可以根据两个模型所解释的变异量的差异来比较所建立的两个模型。
一个模型解释了越多的变异，则它对数据的拟合就越好。
假如在其他条件相等的情况下，一个模型比另一个模型解释了更多的变异，则这个模型是一个更好的模型。
两个模型所解释的变异量之间的差异可以用统计显著性来估计和检验。
模型比较可以用来评估个体预测变量。
检验一个预测变量是否显著的方法是比较两个模型，其中第一个模型不包括这个预测变量，而第二个模型包括该变量。
假如该预测变量解释了显著的额外变异，那第二个模型就显著地解释了比第一个模型更多的变异。
这种观点简单而有力。
但是，要理解这种分析，你必须理解该预测变量所解释的独特变异和总体变异之间的差异。
一个预测变量所解释的总体变异是该预测变量和结果变量之间相关的平方。
它包括该预测变量和结果变量之间的所有关系。
预测变量的独特变异是指在控制了其他变量以后，预测变量对结果变量的影响。
这样，预测变量的独特变异依赖于其他预测变量。
在标准多重回归分析中，可以对独特变异进行检验，每个预测变量的回归系数大小依赖于模型中的其他预测变量。
在标准多重回归分析中，回归系数用来检验每个预测变量所解释的独特变异。
这个独特变异就是偏相关的平方（Squared semi-partial correlation）-sr2（偏确定系数）。
它表示了结果变量中由特定预测变量所单独解释的变异。
正如我们看到的，它依赖于模型中的其他变量。
假如预测变量之间存在重叠，那么它们共有的变异就会削弱独特变异。
预测变量的独特效应指的是去除重叠效应后该预测变量与结果变量的相关。
这样，某个预测变量的特定效应就依赖于模型中的其他预测变量。
标准多重回归的局限性在于不能将重叠（共同）变异归因于模型中的任何一个预测变量。
这就意味着模型中所有预测变量的偏决定系数之和要小于整个模型的决定系数（R2）。
总决定系数包括偏决定系数之和与共同变异。
分层回归提供了一种可以将共同变异分配给特定预测变量的方法。
分层回归标准多重回归可以测量模型所解释的变异量的大小，它由复相关系数的平方（R2，即决定系数）来表示，代表了预测变量所解释的因变量的变异量。
模型的显著性检验是将预测变量所解释的变异与误差变异进行比较（即F值）。
但是，也可以采用相同的方式来比较两个模型。
可以将两个模型所解释的变异之差作为F 值的分子。
假如与误差变异相比，两个模型所解释的变异差别足够大，那么就可以说这种差别达到了统计的显著性。
相应的方程式将在下面详细阐述。
分层回归就是采用的这种方式。
分层回归包括建立一系列模型，处于系列中某个位置的模型将会包括前一模型所没有的额外预测变量。
假如加入模型的额外解释变量对解释分数差异具有显著的额外贡献，那么它将会显著地提高决定系数。
这个模型与标准多重回归的差异在于它可以将共同变异分配到预测变量中。
而在标准多重回归中，共同变异不能分配到任何预测变量中，每个预测变量只能分配到它所解释的独特变异，共同变异则被抛弃了。
在分层回归中，将会把重叠（共同）变异分配给第一个模型中的预测变量。
因此，共同变异将会分配给优先进入模型的变量。
重叠的预测变量(相关的预测变量Predictor variables that overlap)简单地看来，由一系列预测变量所解释的变异就像一块块蛋糕堆积在一起。
每个预测变量都有自己明确的一块。
它们到达桌子的时间是无关紧要的，因为总有同样大小的蛋糕在等着它们。
不同部分变异的简单相加就构成了某个模型所解释的总体变异。
但是，这种加法的观点只有在每个预测变量互相独立的情况下才是正确的。
对于多重回归来说，则往往不正确。
假如预测变量彼此相关，它们就会在解释变异时彼此竞争。
归因于某个预测变量的变异数量还取决于模型中所包含的其他变量。
这就使得我们对两个模型的比较进行解释时，情况变得更为复杂。
方差分析模型是建立在模型中的因素相互独立的基础上的。
在ANOVA中，因素对应于多重回归中的预测变量。
这些因素具有加法效应，变异（方差）可以被整齐地切开或分割。
这些因素之间是正交的。
但是，在多重回归中，变量进入模型的顺序会影响该变量所分配的变异量。
在这种情况下，预测变量就像一块块浸在咖啡杯中的海绵。
每一块都吸收了一些变异。
在分层多重回归中，第一块浸入咖啡杯的海绵首先吸收变异，它贪婪地吸收尽可能多的变异。
假如两个预测变量相关，那它们所解释的变异就存在重叠。
如果一个变量首先进入模型，那它就将重叠（共同）变异吸收据为己有，不再与另一个变量分享。
在标准多重回归中，所有预测变量同时进入模型，就像将所有海绵同时扔进咖啡杯一样，它们互相分享共同变异。
在这种情况下，偏相关的平方（sr2）与回归系数相等，它们检验了相同的东西：排除了任何共同变异后的独特变异。
这样，在多重回归中，对回归系数的T 检验就是sr2的统计显著性检验。
但是，在分层回归或逐步回归中，sr2不再与回归系数相等。
但T检验仍然是对回归系数的检验。
要估计sr2是否显著，必须对模型进行比较。
模型比较就是首先建立一个模型（模型a），使它包括除了要检验的变量以外的所有变量，然后再将想要检验的变量加入模型(模型b)，看所解释的变异是否显著提高。
要检验模型b 是否要比模型a显著地解释了更多的变异，就要考察各个模型所解释的变异之差是否显著大于误差变异。
下面就是检验方程式（Tabachnik and Fidell, 1989）。
(R2b-R2a)／MF = ————————(1+ R2b) ／dferror（2为平方，a,b为下标。
不知道在blog里如何设置文字格式）原文（DATA ANALYSIS FOR PSYCHOLOGY, George Dunbar）如此，但参考了其他书后，觉得这是误印，真正的公式应该是这样的：(R2b-R2a)／MF = ————————(1- R2b) ／dferror注：M是指模型b中添加的预测变量数量R2b是指模型b（包含更多预测变量的模型）的复相关系数的平方（决定系数）。
R2a是指模型a（包含较少预测变量的模型）的复相关系数的平方（决定系数）。
dferror是指模型b误差变异的自由度。
分层回归与向前回归、向后回归和逐步回归的区别后三者都是选择变量的方法。
向前回归：根据自变量对因变量的贡献率，首先选择一个贡献率最大的自变量进入，一次只加入一个进入模型。
然后，再选择另一个最好的加入模型，直至选择所有符合标准者全部进入回归。
向后回归：将自变量一次纳入回归，然后根据标准删除一个最不显著者，再做一次回归判断其余变量的取舍，直至保留者都达到要求。
逐步回归是向前回归法和向后回归法的结合。
首先按自变量对因变量的贡献率进行排序，按照从大到小的顺序选择进入模型的变量。
每将一个变量加入模型，就要对模型中的每个变量进行检验，剔除不显著的变量，然后再对留在模型中的变量进行检验。
直到没有变量可以纳入，也没有变量可以剔除为止。
向前回归、向后回归和逐步回归都要按照一定判断标准执行。
即在将自变量加入或删除模型时，要进行偏F检验，计算公式为：(R2b-R2a)／MF = ————————(1- R2b) ／dferrorSPSS回归所设定的默认标准是选择进入者时偏F检验值为3.84，选择删除者时的F检验值为2.71。
从上面可以看出，分层回归和各种选择自变量的方法，其实都涉及模型之间的比较问题，而且F检验的公式也相等，说明它们拥有相同的统计学基础。
但是，它们又是不同范畴的概念。
分层回归是对于模型比较而言的，而上面三种方法则是针对自变量而言的。
上面三种选择自变量的方法，都是由软件根据设定标准来自动选择进入模型的变量。
而分层回归则是由研究者根据经验和理论思考来将自变量分成不同的组（block），然后再安排每一组变量进入模型的顺序，进入的顺序不是根据贡献率，而是根据相应的理论假设。
而且，研究者还可以为不同组的自变量选用不同的纳入变量的方法。
分层回归在SPSS上的实现在线性回归主对话框中，在定义完一组自变量后，在因变量不变的情况下，利用block前后的previous和next按钮，继续将其他变量组加入模型。
我所设计的回归模型中，有a自变量，b为调节变量，a与b的交互项，4个控制变量，1个因变量。
我打算用分层回归模型来做。
（我主要为验证自变量a以及b调节作用）第一步，在"Block of 1 " 中，我将4个控制引入到"Independent"中，"Method "选择"Enter",然后点击NEXT。
第二步，在“Block of 2"中，将a，b及交互项引入”Independent"中，“Mehod" 选择”stepwise”。
我想问各位大咔，我这样做对吗？还有，分层回归和逐步回归有什么区别？我是否可以将第二步省略，直接把a,b,交互项放入Block of 1 中，Method变为sterwise?。
