圆周角与圆心角复习讲义

1 1 AOB 2
2 1 BOC 2
又∵∠AOB=2 ∠BOC
C
O
1
2
A
B
1 1 AOB 1 2BOC BOC 22
2
2
即∠ACB= 2 ∠BAC
知识技能： 2.如图，A、B、C、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD 与∠BAD 的大小
解：∵∠BCD=100°
A
∴优弧所对的圆心角
练习：
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
图１
不是
图２
是
图３
不是
图４
不是
图５
做一做
如 图 ， ∠AOB=80° 。
︵ （1）请你画出几个 AB所对的圆周角。这几个圆周角有什么关
系 呢 ？ 请你与同伴进 行交流。
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样
发 现 的 ？与同伴进行 交流。
过点C作直径CD.由1可得: ∠∠AACCDD+=∠12∠BCADO=D,1∠(∠BCADOD=+∠12 ∠BBOODD), ∴ ∠ACB = 1∠AO2B.
2
AD B
●O
C证明Βιβλιοθήκη 周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
︵
︵
已知：如图，∠ACB 是 AB所对的圆周角，∠AOB 是 AB所对的圆心角。
如图，A、B表示灯塔，暗礁分 布在经过A、B两点的一个圆形
区域内，优弧AB上任一点C都 是有触礁危险的临界点， ∠ACB就是“危险角”，当船 位于安全区域时，∠α与“危险 角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O外） ， 与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” 。

窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠ACB和∠AOB)谁的视
角大呢？
圆周角 圆心角
猜想一下 有什么发现？
测量与猜测 如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想 ∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
BAC 36 BOC 72
BAC 1 BOC 2
01 推导与论证
Ye
圆心O在∠BAC 的一边上
2. 掌握圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定 理解决简单的几何问题.
1. 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
探究新知
知识点 1 圆周角的定义
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
探究新知
练一练：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简
述理由.
B O·
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间 的关系为： ∠A+ ∠C=180º，
∠B+ ∠D=180º.
想一想：如何证明你的猜想呢？
探究新知
证明：∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， ∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°，
推论：圆内接四边形的对角互补.
探究新知
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
第二关
第三关
第四关
01
一级 根据图中的条件直接写出∠A的度数．
倒数10 秒钟
解：45°，40°，30°．
02
︵︵ 如图，AB＝BC，∠D＝35°，
则∠E＝ 3355°° ．
Hai
二级 如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠ABO＝50°，求
∠ACB的度数．
解：∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝50°， ∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°， ∴∠ACB＝12∠AOB＝40°．

圆心角、圆周角知识要点1.圆心角：顶点在圆心的角弧、弦、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

弧、弦、圆心角关系定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们其余各组量也相等。

2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3.圆内接四边形的性质圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。

（外角等于它的内对角） 4.四点公圆的证明一个四边形若有一组对角是直角，则这个四边形的四个顶点一定在同一个圆上，即这个四边形一定有一个外接圆。

基础知识测试： （一）圆心角1.下列命题正确的是（ C ）A 相等圆心角所对的弧相等B 等弧对等弦C 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等D 相等的圆心角所对的弦相等2.已知弧AB 、弧CD 是同一圆中的两段劣弧，且弧AB ＝2弧CD ，则弦AB 与CD 的关系是（ B ） A AB ＝2CD B AB ＜2CD C AB ＞2CD D 无法判断3.在⊙O 中，P 为直径AB 上一动点，C 、D 为两半圆上的两动点，CD 交AB 于H ，则以下说法：（1）若弧AC ＝弧AD ，则∠APC ＝∠APD ；（2）若PC ＝PD ，则∠APC ＝∠APD ；（3）若∠APC ＝∠APD ，则CH ＝HD 。

其中正确的个数是（ D ）A 0个B 1个C 2个D 3个4.如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，D 、E 分别为)AB 、)AC 的中点，连接DE 分别交AB 、AC 于F 、G ，求证:AF ＝AG .证明：连结OD 、OE ，∵D ，E 分别是)AB 、)AC 的中点，∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴∠D ＋∠DFB ＝90°，∠E ＋∠EGC ＝90°， ∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠E ，41.如图，若AB ＝B C .则图中与∠ADB 相等的圆周角的个数为 3 .2.如图，直线AB 交圆于点A ，B ，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M 、P 在AB 的同则，∠AMB ＝50°，设∠APB ＝x °.当点P 移动时，3.(1)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的三点，则∠1＋∠2的度数＝ 90° .(2)如图，A ，B ，C ，D ，E 是同一圆上顺次的五点，∠CAD ＝80°，则∠ABC ＋∠AED 等于 260° .4. 如图，⊙O 中，若∠AOB ＝100°，则∠C ＝ 50° ，∠D ＝ 130° .5. (1)圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是 60或120 度. (2)△ABC 内接于⊙O ，∠AOB ＝100°， 则∠ACB ＝ 50或130 度.6.如图，PAB 、PCD 是⊙O 的两条割线，PAB 经过圆心O ，若弧AC ＝弧CD ，∠P ＝30°，则∠BDC 的度数是 110°.7.如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上四点，AB、DC 交于点AD 、BC 交于E 点，若∠E ＝40°，∠F ＝30°， 则∠A 的度数为 55°.B1.如图，在四边形OABC 中，OA ＝OB ＝OC ，若∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是 70° .2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，E 是A 8边的中点，是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB ’F ，连接B 'D ，则B 'D3.如图，△ABC ，△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M .当△EFG 绕点D 旋转时，求线段BM 长的最小值.解：连结AD 、DG ，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG ＝∠FDC ，DA ＝DG ，DF ＝DC ，故∠DFC ＝∠DCF ＝∠DAG ＝∠DG A . 又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG ＝90°，所以∠DFG ＋∠DGF ＝90°，即∠DFC ＋∠CFG ＋∠DGF ＝90°.所以∠AMC ＝∠MGF ＋∠CFG ＝∠AGD ＋∠DGF ＋∠CFG ＝∠DFC ＋∠DGF ＋∠CFG ＝90°. 故点M 始终在以AC 为直径的圆上，作出该圆，设圆心为O ，连结BO 与⊙O 相交于点P ，线段BP 的长即为线段BM 长的最小值.BP ＝AO －OP 1.4.如图，△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，以为半径，过B ，C 两点作⊙O ，连OA ，则线段OA 的最大值综合、提高、创新:【例1】1.如图，BC是⊙O的直径，»AB＝»AF，AD⊥BC于D，BF与AD交于E点(1)求证: AE＝BE:(2)求证BF＝2AD(3)若点A、F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长度，解：（1）连AC，如图，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACB，又∵»AB＝»AF，∴∠ACB＝∠ABF，∴∠ABE＝∠BAE，∴AE＝BE；（2）∵A，F把半圆三等分，∴∠ACB＝∠CBF＝∠ABF＝30°，∴∠BAD＝30°，在Rt△ABC中，BC＝12，所以AB＝12BC＝6，在Rt△ABD中，AB＝6，所以BD＝12AB＝3，Rt△BDE中，∠CBF＝30°，BD＝3，∴DE＝BE＝AE＝2.如图，△ABC内接于⊙O、AD⊥BC，D为垂足，E是»BC中点，求证：∠EAO＝∠EA D.证明：（1）连接OB，则∠AOB＝2∠ACB，∠OAB＝∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB＝12（180°－∠AOB）＝90°－12∠AOB＝90°－∠ACB＝∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB＝∠EAC，∴∠EAO＝∠EAB－∠OAB＝∠EAC－∠DAC＝∠EA D．（2）连接OE，∵E是»BC的中点，∴弧BE＝弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA＝∠EAD，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∴∠OAE＝∠EA D．1、如图，AB为直径，CD是弦，AB⊥C D.(1) P是弧CAD上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD＝∠COB .(2)点P’在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP’D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.(1)证明：连接OD，∵AB是直径，AB⊥CD，∴»BC＝»BD∴∠COB＝∠DOB＝12∠CO D．又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠CPD＝∠CO B．(2)解：∠CP′D＋∠COB＝180°．理由如下：连接OD，∵∠CPD＋∠CP′D＝180°，∠COB＝∠DOB＝12∠COD，又∵∠CPD＝12∠COD，∴∠COB＝∠CPD，∴∠CP′D＋∠COB＝180°．2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，P是AB延长线上一动点，CP交⊙O于Q，DQ交AB于E.试问:当P点在AB延长线上运动时，∠OPC与∠ODQ是否保持某种特定的关系?证明你的结论.∠OPC＝∠ODQ，理由简要如下：延长DO交圆O于F，①圆外角∠P＝1/2(弧AC－弧BD)②OC＝OD，OB⊥CD，∴∠COB＝∠DOB＝∠AOF，∴弧AF＝弧BC，∴弧AC＝弧BF，∴弧AC－弧BD＝弧BF－弧BD＝弧FQ＝1/2∠QDF，∴∠OPC＝∠ODQ1、如图1，锐角△ABC的三个顶点都在⊙O上，高AD、BE所在直线交⊙O于H，AD所在直线交⊙O于G. （1）求证:DH＝DG；（2）将“锐角△ABC”改为“钝角△ABC，∠BAC为钝角”其他条件不变，完成图2，试问（1）中的结论是否仍成立?证明你的结论.图1 图2证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEC＝90，∠ADC＝90∵∠ACB＋∠DHE＋∠BEC＋∠ADC＝360∴∠ACB＋∠DHE＝180∵∠DHE＋∠BHG＝180∴∠ACB＝∠BHG∵∠ACB、∠AGB所对应圆弧都为劣弧AB∴∠ACB＝∠AGB∴∠AGB＝∠BHG∵AD⊥BC∴DG＝DH（等腰三角形中垂线）证明：连接BG∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠BEA＝90，∠ADB＝90∵∠EBD＋∠EAD＋∠BEA＋∠ADB＝360∴∠EBD＋∠EAD＝180∵∠EAD＋∠GAC＝180∴∠EBD＝∠GAC∵∠GAC、∠GBC所对应圆弧都为劣弧GC∴∠GAC＝∠GBC∴∠GBC＝∠EBD∵AD⊥BC，BD＝BD，∴△BDG全等于△BDH，∴DG＝DH2如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，过圈心O作BC的垂线交⊙O于P、Q，交BC于D，QP、CA的延长线交于点E，求证:∠BAO＝∠E.证明：作直径AM，连接BM，∵∠C和∠M都对弧AB，∴∠C＝∠M，∵OQ⊥BC，∴∠EQC＝90°，∴∠C＋∠E＝90°，【例4】如图，在直角坐标系中，M为x轴上一点，⊙M交x轴于A、B，交y轴于C、D，P为»BC上的一个动点，CQ平分∠PCD，交AP于点Q，A（－1，0），M（1，0）.（1）求C点的坐标；（2）当P点运动时，线段AO的长度是否会改变？若不变，请证明并求其值：若改变，请说明理由解：(1)由勾股定理易得C(0;(2)当P点运动时，线段AO的长度不会改变，由垂径定理知，»»,AC AD=∴∠P＝∠ACD，∵CQ平分∠PCD，∴∠P＋∠PCQ＝∠ACD＋∠DCQ，即∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝A C.在Rt△OCA中，OC OA＝1，∴AC＝2∴线段AO的长度不会改变，为2.【例5】在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧»AC沿弦AC翻折AB点于点D，连接C D. （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r;（2）如图2，若点D与圆心O重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数.解答：(1)如图：过O作OE⊥AC于E，则AE＝11,2AC=∴OE＝1,2r在Rt△AOE中，OE＝1,2r，AE＝1，得r（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝65°，根据翻折性质，»AC所对的圆周角为∠B，¼ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC＋∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB－∠A＝40°【例6】在⊙O 中，AB 为直径，弦CD ⊥AB 于E ，E 是AO 的中点， P 是»BC上的动点，求PC PD PA+ 的值。

弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系解题技巧：1、顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等（知道一组相等，就可以推出其它三组相等）3、圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半4、直径所对圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦是直径例1、下列说法正确的是_________________①相等的圆周角所对的弧相等②相等的弦所对的弧相等③等弦对等弧④等弧对等弦例2、如图，点A、B、C在⊙O上，OC、OB是半径，∠COB=100°，则∠A的度数等于（）A、20°B、40°C、50°D、100°例3、如图所示，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A、30°B、45°C、60°D、75°例4、如图，AB是⊙O的直径，BD=BC，∠A=25°，则∠BOD的度数为（）A、12.5°B、30°C、40°D、50°例5、如图所示，AB是⊙的直径，AC=CD=BD，E是⊙O上一点，连接CE、DE，则∠CED的度数为（）A、25°B、30°C、40°D、60°例6、如图，⊙O的直径是AB，∠C=35°，则∠DAB的度数是（）A、60°B、55°C、50°D、45°例7、如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0）、B（0,4）两点，点C是OB上一点，且BC=2，则AC=____1、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=52°，则∠C的度数是（）A、22°B、26°C、38°D、48°2、如图，AB为⊙O直径，∠ABC=25°，则∠D的度数为（）A、70°B、75°C、60°D、65°3、如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=30°，则∠AOC的度数为（）A、80°B、100°C、120°D、无法确定4、如图，⊙O中弦AB等于半径OA，点C在优弧AB上运动，则∠ACB的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、无法确定5、如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）A、60°B、45°C、30°D、22.5°6、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是（）A、35°B、55°C、65°D、70°7、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦。

学科教师辅导讲义体系搭建一、知识梳理圆．（五）三角形的外接圆1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．注意：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个而一个圆的内接三角形却有无数个．考点一：圆周角的定义与圆周角定理例1、请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．例2、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°例3、如图将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，∠APB的度数（）A．45°B．30°C．75°D．60°例4、如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°考点二：圆周角定理的推论例1、如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定例2、如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．考点三：圆内接四边形例1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．100°C．64°D．32°例2、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是（）A．88°B．92°C．106°D．136°考点四：确定圆的条件、三角形的外接圆与外心例1、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块例2、如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）例3、如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE实战演练➢课堂狙击1、如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（）A．22°B．26°C．32°D．68°第1题第2题2、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（）A．80°B．100°C．110°D．130°3、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°4、点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45°B．50°C．60°D．75°6、下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．➢课后反击1、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50°B．80°C．100°D．130°2、如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（）A．△ABC的三边高线的交点P处B．△ABC的三角平分线的交点P处C．△ABC的三边中线的交点P处D．△ABC的三边中垂线的交点P处3、下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A．80°B．100°C．60°D．40°5、如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．6、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．7、如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E．（1）求证：∠ABC=∠ADB；（2）若AE=2，ED=4，求AB的长．8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．直击中考1、【2015•巴中】如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A．25°B．50°C．60°D．30°2、【2015•荆州】如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°3、【2015•深圳】如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB=20°，则∠DBA为（）A．50° B．20°C．60° D．70°4、【2012•深圳】如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6 B．5C．3 D．35、【2015•深圳】如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2=CG•CE．重点回顾1、圆周角的定义、圆周角定理及其推论内容及常作辅助线2、圆的内接四边形的对角互补3、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆4、圆的外接圆与外心锐角、直角、钝角三角形的外心，外心的确定名师点拨本节性质定理内容较多，但整体难度不大，也是中考的重点内容。

圆心角与圆周角的关系课前测试【题目】课前测试如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．【答案】（1）M为BD的中点；（2）．【解析】证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．总结：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．【难度】4【题目】课前测试如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．【答案】等边三角形；CP=BP+AP；当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大，S四边形APBC=．【解析】证明：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，又∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形；（2）在PC上截取PD=AP，如图1，又∵∠APC=60°，∴△APD是等边三角形，∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，∴∠ADC=∠APB，在△APB和△ADC中，，∴△APB≌△ADC（AAS），∴BP=CD，又∵PD=AP，∴CP=BP+AP；（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F．∵S△APB=AB•PE，S△ABC=AB•CF，∴S四边形APBC=AB•（PE+CF），当点P为的中点时，PE+CF=PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB=，∴S四边形APBC=×2×=．总结：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明△APB ≌△ADC 是关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版 ，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆心角与圆周角的关系是九年级下册第三章的内容，主要讲解了圆周角定理及其三条推论，它是引入圆心角之后又学习的另一个与圆有关的重要的角，该部分内容学习的重点是掌握同弧所对的圆周角与圆心角的关系，难点是应用圆周角定理解决简单问题。

《圆周角和圆心角的关系》讲义一、引入在圆的世界里，圆周角和圆心角是两个非常重要的概念。

它们之间存在着特殊而有趣的关系，理解这些关系对于我们解决与圆相关的几何问题至关重要。

想象一下，你正在一个圆形的操场上跑步，操场上的某个点与圆心形成的角度，以及圆周上另一个点与圆心形成的角度，它们之间会有怎样的联系呢？这就是我们今天要探讨的圆周角和圆心角的关系。

二、圆周角的定义圆周角是指顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。

比如说，在圆O 中，∠AOB 就是一个圆周角，其中点 A、B 在圆上，且线段 OA、OB 与圆相交。

圆周角有一个重要的特点，那就是它的度数是由它所对的弧的度数决定的。

三、圆心角的定义圆心角则是指顶点在圆心的角。

在圆 O 中，∠COD 就是一个圆心角，顶点 C 在圆心 O 处。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

四、圆周角和圆心角的大小关系1、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半例如，在圆 O 中，弧 AB 所对的圆心角是∠AOB，所对的圆周角是∠ACB，那么∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

证明：连接 CO 并延长交圆于点 D。

因为 OA ＝ OC，所以∠A ＝∠ACO。

同理，∠B ＝∠BCO。

所以∠AOB ＝∠A ＋∠B ＝ 2∠ACB，即∠ACB ＝ 1/2∠AOB。

2、同弧或等弧所对的圆周角相等在同一个圆中，如果两个圆周角都对着同一条弧或者等弧，那么这两个圆周角相等。

这是因为同弧或等弧所对的圆心角相等，而圆周角是圆心角的一半，所以圆周角也相等。

3、半圆（或直径）所对的圆周角是直角在圆 O 中，若弧 AB 是半圆，那么∠ACB ＝ 90°。

证明：因为半圆所对的圆心角是 180°，所以圆周角∠ACB ＝1/2×180°＝ 90°五、圆周角和圆心角关系的应用1、求角度已知圆中的某些角度关系，可以利用圆周角和圆心角的关系求出其他未知角度。

例如，已知圆心角的度数，求其所对圆周角的度数；或者已知圆周角的度数，求其所对圆心角的度数。

一 、这节课主要学习了两个知识点： 1、圆周角定义. 2、圆周角定理及其定理应用. 二、方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了“特 殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法. 三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的 一个重要考点，望同学们灵活运用.
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
B
答案:A
A
O C
2.（潼南·中考）如图，已知AB为⊙O的直径，点C在
⊙O上,∠C=15°,则∠BOC的度数为（
）
A．15°
B. 30°
A
C. 45° 答案:B
D．60°
O BC
3.（德化·中考）如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆 周角∠BAC等于（ ）
AD C
∠ABD =1 ∠AOD,
2
∠CBD =1 ∠COD,
2
∴ ∠ABC = ∠12AOC.
你能写出这个命题吗?
●O
B 一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆 心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:能否也转化为1的情况?
A
过点B作直径BD.由1可得:
探究
你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?
圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边 A
分别与圆还有另一个交点的角叫圆
周角. 特征： ①角的顶点在圆上.
.
O
B
C
②角的两边都与圆相交.
圆心角与圆周角的区别及联系
圆心角
圆周角
区别 顶点在圆心处
顶点在圆上
在同圆中，一条弧所对 在同圆中，一条弧所
的圆心角唯一

3．如图，经过原点O的⊙P与x，y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB 上一点，则∠ACB的度数是( C ) A．80° B．100° C．90° D．无法确定
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆

50°，则∠EBC+∠ADC 的度数为 _______.
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3.4 圆周角和圆心角的关系
解析：如解析图，连接 AB，DE，则∠ABE=∠ADE. ∵ 所对的圆心角的度数为 50°，∴∠ABE= ∠ADE =25°. ∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上 ，∴四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°， ∴∠EBC+∠ADC=180°-∠ABE=180°-25°=155°． 答案：155° 题型解法：本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的 性质，作出辅助线构建圆内接四边形是解题的关键．
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3.4 圆周角和圆心角的关系
■考点四 圆内接四边形
定义
四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个 圆叫做四边形的外接圆
推论 圆内接四边形的对角互补
拓展 圆内接四边形的任何外角等于内对角
注意 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆
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3.4 圆周角和圆心角的关系
A． 20° B． 40°
C． 50° D． 70°
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3.4 圆周角和圆心角的关系
3. 如图，已知△ABC 的三个顶点都在同一圆上，且 AC=6，BC=8，AB=10， 则该圆的半径长是 ________.
（第 3 题图）
（第 4 题图）
4. 如图，AB=BC，∠ABC =120°，AD 为 ⊙O 的直径 ，AD=6，那么 AB 的
值为 ______.
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3.4 圆周角和圆心角的关系
5. 如图，AB=AC，AB 是直径，求证：BC=2DE． （第 5 题图）

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

O
B
C
O D
C
D
6.如图,O为△ABC的外心,∠OBC=30°,则
∠A= 60° .
7.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=35°,以C
为圆心,CA为半径画圆交AB于点D,则弧AD的度数
为 70° .
8.如图, ACB：ADB=5：4 ,则∠AOB= 160°,
∠ACB= 80°,∠ADB= 100°,∠CAD+∠CBD=
15. 如图，AB, AC 是⊙O的两条弦，且AB=AC． 延长CA到点D．使AD=AC，连结DB并延长,交⊙O 于点E．求证：CE是⊙O的直径．
16. 如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A 与点B, 点A的坐标为（0, 4 ) , M是圆上一点， ∠BMO=1200．求：⊙C的半径和圆心C的坐标.
4. 如图，A, B, C为⊙O上三点，∠ABO=650，则∠BCA 等
于（ A）
A. 25度
B. 32.5度 C . 30度 D. 45度
5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=1400，则
∠DCE= 700 .
6. AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB, E是AD上一点，若∠BCD=350，
O
12 C
B 2
D
1、如图，A、B,C,D 是同一圆上的顺次四点，则
图中相等的圆周角共有（ A ）
A . 2对 B . 4 对 C . 8 对 D. 16对
3．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，
沿OA—弧AB—BO的路径运动一周．设 OP
为S，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画
S与t之间关系的是（C ）
B
A
A D

圆心角与圆周角复习一、知识梳理1、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．1°圆心角所对的弧叫做1°的弧． n°的圆心角所对的弧就是n°的弧．2、圆心角的性质性质1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等．性质2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．如图所示，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，若下列四个等式：①∠AOB=∠COD；②AB=CD；③；④OE＝OF中有一个等式成立，则其他三个等式也成立，即：若①成立②，③，④成立；若②成立①，③，④成立；若③成立①，②，④成立；若④成立①，②，③成立．特别强调：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)若无特殊说明，性质中“弧”一般指劣弧．3、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．推论1：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等．4、重要结论：圆的内接四边形对角互补二、习题库同弧（等弧）所对的圆周角相等； 同弧（等弧）所对的弦相等；同弧（等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半；在处理角的问题时，除了要熟悉和圆相关的角的性质外，还要熟悉三角形角的性质、四边形角的性质，并能将这些性质进行综合应用。

(1)同弧与圆心角、圆周角的关系1.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有 个.2. 如图，ABC △内接于圆，50A =∠，60ABC =∠，是圆的直径， 交于点，连结，则AEB ∠= .3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦DC 与AB 相交于点E ，若∠ACD=60°，∠ADC=50°，则∠ABD= ，∠CEB= .4．如图，△内接于⊙O ，点是上任意一点（不与C A 、重合），POC ABC ∠=∠则,55的取值范围是 ．(2)等弧与圆周角1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD ＝DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠DBE 相等的角有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5 个2.如图，已知AB 是半圆O 的直径，∠BAC=32º，D 是弧AC 的中点，那么∠DAC 的度数是（ ）º º º °3.如图，点D 是弧AC 的中点，则图中与∠ABD 相等的角的个数是（ ）。

2.如右图，⊙O中，∠ACB = 130º，
1
则∠AOB=_1_0_0_º__.
O B
A
C
3.求圆中 的度数.
O
C 70°
A
B
α 350
D
C 120°
1
O
A
B
α 1200
A
4.如图，OA BC，AOB 500
C
B
则 CDA = 25°
O
D
5.在半径为R的圆内，长为R的 弦所对的圆周角为 30°或 150°
2
2
\ACB 1 AOD - BOD
2
即
A C
B
1 2
A
OB
C
C
C
O
O
O
A
A
B
A
B
D
DB
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
C O
丙
A
甲
仅从射门角度 大小考虑，谁 相对于球门的 角度更好？
B乙
1.下列命题中是真命题的是（ D ） （A）顶点在圆周上的角叫做圆周角 （B）60º的圆周角所对的弧的度数是30º （C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 （D）120º的弧所对的圆周角是60º
即 ACB 2BAC
A
O C
B
2.如图，点A，B，C，D，E均在⊙0上，则
A + B + C + D + E 等于多少度？
为什么？
B
分析：A,B,C,D,E这 五个圆周角所对的的弧之 A
C
和正好是一个圆，一个圆
所对的圆心角为 360°

第08讲圆心角与圆周角（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．二．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．三．相交弦定理（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．几何语言：若弦AB、CD交于点P，则P A•PB＝PC•PD（相交弦定理）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2＝P A•PB（相交弦定理推论）．【核心考点精讲】一．圆心角、弧、弦的关系（共4小题）1．（2021•江北区校级开学）在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（）A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论．【解答】解：取的中点E，连接AE，BE，则＝，∵＝2，∴＝＝，∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故选：C．【点评】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键．2．（2020秋•靖江市期中）已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是30或150度．【分析】在圆中，由半径和弦组成的三角形是等腰三角形，又因为AB的长等于半径，所以由弦和半径组成的三角形是等边三角形，根据等边三角形的性质，弦所对的圆心角为60°，所以弦所对的圆周角为30°或150°．【解答】解：如图示，AB＝OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴∠ADB＝150°．故弦AB所对的圆周角是30或150度．故答案为：30或150．【点评】本题极易漏解，需注意圆中的一条弦对着两个圆周角，它们是互补关系．3．（2021•广州模拟）如图，AB，CD为⊙O内两条相交的弦，交点为E，且AB＝CD，求证：AD∥BC．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系和平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴∠A＝∠B，∴AD∥BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．4．（2022春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，＝2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用＝2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论；（2）先利用勾股定理计算出DE＝，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF．【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵＝2，∴∠COE＝2∠AOE，∴∠COE＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE＝＝，在Rt△EFD中，EF＝＝＝2．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质．二．圆周角定理（共5小题）5．（2022•浦江县模拟）已知：如图，OA是⊙O的半径，若∠BAO＝27°，则圆周角∠BDA 的度数是（）A．63°B．60°C．58°D．54°【分析】连接OB，可先求出∠AOB的度数，进而根据圆周角定理可得∠BDA的度数．【解答】解：连接OB，∵OA＝OB，∠BAO＝27°，∴∠BOA＝180°﹣2∠BAO＝180°﹣54°＝126°，∴∠BDA＝∠BOA＝63°，故选：A．【点评】本题考查圆的性质定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．6．（2021秋•嘉兴期末）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若∠ABC＝70°，则∠BAC 的度数为（）A．70°B．60°C．40°D．20°【分析】由AB是⊙•O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C的度数，又由∠ABC＝70°，利用直角三角形中两锐角互余，即可求得∠BAC的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠ABC＝70°，∴∠BAC＝90°﹣70°＝20°，故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用，注意数形结合思想的应用．7．（2022•柯桥区一模）如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝35°，则∠CAD等于（）A．75°B．65°C．55°D．45°【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的度数，又由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得答案．【解答】解：∵∠ABC＝35°，∴∠ADC＝∠ABC＝35°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ADC＝55°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．8．（2022•文成县一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝20°．【分析】根据圆周角定理及三角形内角和定理求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵OA∥BC，∴∠A＝∠ABC，∵∠AOC＝2∠ABC，∠AOC：∠BOC＝2：5，∴∠BOC＝5∠ABC，∴∠AOB＝7∠ABC，在△AOB中，∠A+∠AOB+∠OBA＝180°，∴9∠ABC＝180°，∴∠ABC＝20°，故答案为：20．【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．（2021秋•嵊州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数．【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，∠B＝∠C，再判断OD∥AC，然后利用平行线分线段成比例得到BD＝DC；（2）利用三角形内角和计算出∠B＝∠C＝65°，则∠ODB＝∠B＝65°，再利用圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠A＝50°，然后利用平角定义可计算出∠ODE的度数．【解答】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴＝＝1，∴BD＝DC；（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣50°）＝65°，∴∠ODB＝∠B＝65°，∵∠EDC＝∠A＝50°，∴∠ODE＝180°﹣∠ODB﹣∠EDC＝180°﹣65°﹣50°＝65°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质．三．相交弦定理（共2小题）10．（2021秋•东阳市月考）已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE ＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）A．6B．7C．12D．16【分析】由题意可知AB＝AC＝AD，点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF即可求出答案．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动，AE＝3，EC＝1，∴AC＝AF＝AE+CE＝3+1＝4，EF＝AE+AF＝3+4＝7，由相交弦定理可得，BE•DE＝CE•EF＝1×7＝7，故选：B．【点评】本题考查了相交弦定理，根据圆心和半径构建圆是解题的关键．11．（2021秋•余姚市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP ＝4，则CD长为（）A．16B．24C．12D．不能确定【分析】由相交线定理可得出AP•BP＝CP•DP，再根据AP＝6，BP＝8，CP＝4，可得出PD的长，从而得出CD即可．【解答】解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．【点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠P AQ＝∠CQN∵∠AQP+∠P AQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．（2022•富阳区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AGDB．若∠ADC＝∠GAD，则＝2C．若＝，则△ADG是等腰三角形D．若＝，则△AGF是等腰三角形【分析】根据圆周角定理求解判断即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴＝，∴＝，∴∠ADC＝∠AGD，故A正确，不符合题意；∵∠ADC＝∠GAD，∴＝，∴＝，∵＝2，∴＝2，故B正确，不符合题意；若＝，∴＝，∵＝，∴＝，∴AD＝DG，∴△ADG是等腰三角形，故C正确，不符合题意；由＝，不能推出△AGF是等腰三角形，故D错误，符合题意；故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．3．（2022•舟山二模）如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∠ABC＝25°，则弧CD的度数（）A．50°B．25°C．100°D．65°【分析】连接OA，根据圆周角定理可得∠AOC的度数，从而求出的度数，然后再利用垂径定理可得＝，即可解答．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝25°，∴∠AOC＝2∠ABC＝50°，∴的度数为50°，∴BC是⊙O的直径，AD⊥BC，∴＝，∴弧CD的度数为50°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，以及垂径定理是解题的关键．4．（2022•西湖区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC ＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则（）A．α+β﹣γ＝90°B．β+γ﹣α＝90°C．α+γ﹣β＝90°D．α+β+γ＝180°【分析】连接AC，根据圆周角定理及三角形外角性质求解即可．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∵∠ACD＝∠ABD＝β，∴∠BCD＝90°﹣β，∵∠AEC＝∠ABC+∠BCD＝γ，∠ABC＝α，∴γ＝α+90°﹣β，即γ+β﹣α＝90°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角等于90°”是解题的关键．5．（1999•山西）如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（）A．x2﹣8x﹣15＝0B．x2﹣8x+15＝0C．x2+8x﹣15＝0D．x2+8x+15＝0【分析】如果设AP＝a，PB＝b；根据相交弦定理：AP×PB＝DP×PC；可知ab＝15，又根据a+b＝AB＝8；根据一元二次方程根与系数的关系，可判断谁是正确的．【解答】解：设AP＝a，PB＝b；则根据相交弦定理可得：AP×PB＝DP×PC，∴ab＝15，又知：a+b＝AB＝8；∴根据一元二次方程根与系数的关系可得方程为：x2﹣8x+15＝0；故选：B．【点评】本题考查的知识点是相交弦定理和一元二次方程根与系数的关系．6．（2022•鹿城区校级二模）如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（）A．44°B．80°C．88°D．92°【分析】根据平行线的性质得到∠ADE＝46°，进而得到的度数，再用180°减去的度数即可得到答案．【解答】解：∵DE||BC，∴∠C＝∠ADE＝46°，∴的度数是92°，∴的度数为180°﹣92°＝88°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质和圆周角定理，解题的关键是先求出的度数．7．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）A．B．2C．2﹣2D．2﹣2【分析】根据题意可得AB＝4，利用等边三角形的性质可得∠BAC＝60°，由AB是⊙O的直径可得∠APB＝90°，由三角形内角和定理可得∠ABP＝30°，由此可得AP＝2，根据勾股定理可以求得BP的长，进而可以得到点Q表示的数．【解答】解：由题意可得AB＝4，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∴∠ABP＝30°，∴AP＝AB＝2，在Rt△APB中，AB＝4，AP＝2，∴PB＝＝＝＝2，∵BP为半径作弧交数轴于点Q，∴BQ＝PB＝2．∴点Q表示数为2﹣2．故选：C．【点评】本题主要考查实数与数轴、圆周角定理、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的运用．8．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P 是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°【分析】连接CB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠ABC的度数，再利用三角形的外角即可解答．【解答】解：连接CB，∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵∠ABC是△PBC的一个外角，∴∠ABC＞∠APC，∴∠APC的度数不可能是30°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2022•东坡区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F，若AC＝12，AE＝3，则⊙O的直径长为（）A．10B．13C．15D．16【分析】连接OF，首先证明AC＝DF＝12，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，∴DE＝EF，＝，∵点D是弧AC的中点，∴＝，∴＝，∴AC＝DF＝12，∴EF＝DF＝6，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，解得x＝，∴AB＝2x＝15，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．10．（2021秋•杭州期末）如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据圆周角定理，可证∠C＝∠B，又由AD＝BD，可证∠B＝∠DAB，即得∠DAP ＝∠C，可证△DAP∽△DCA，得到AD：CD＝DP：AD，代值计算即可求CD的长．【解答】解：连接AC，由圆周角定理知，∠C＝∠B，∵AD＝BD∴∠B＝∠DAB，∴∠DAP＝∠C∴△DAP∽△DCA，∴AD：CD＝DP：AD，得AD2＝DP•CD＝CD•（CD﹣PC），把AD＝4，PC＝6代入得，CD＝8．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．二．填空题（共4小题）11．（2021秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．12．（2014秋•柯城区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AE＝2cm，BE ＝6cm，DE＝3cm，则CE＝4cm；学以致用：点P是直径为10的⊙Q中一点且PQ＝2，过点P作弦HK，则线段PH与线段PK的积等于21．【分析】根据相交弦定理得AE•BE＝CE•DE，然后把AE＝2，BE＝6，DE＝3代入即可计算出CE的长；如图过P点的直径为MN，先计算出PM＝QM﹣PQ＝3，PN＝QN+PQ＝7，然后根据相交弦定理进行计算．【解答】解：∵AE•BE＝CE•DE，∴2×6＝3×CE，∴CE＝4；如图，过P点的直径为MN，∵PQ＝2，∴PM＝QM﹣PQ＝5﹣2＝3，PN＝QN+PQ＝5+2＝7，∵PH•PK＝PM•PN，∴PH•PK＝3×7＝21．故答案为4；21．【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．13．（2021秋•定海区期末）一块直角三角板的30°角的顶点A落在圆O上，两边分别交圆O于B、C两点，则弧BC的度数为60°．【分析】利用圆周角定理，圆心角、弧、弦的知识解决问题即可．【解答】解：连接OB、OC，∵∠A＝30°，又∵∠BOC＝2∠A，∴∠BOC＝60°，∴弧BC的度数为60°，故答案为：60°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是求得圆心角的度数．14．（2021秋•温州期末）如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为．【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长．【解答】解：连接OA，∵，BC是直径，∴OA⊥BC，∵OA＝OB，AB＝2，∴OA＝OB＝，∴BC＝2OA＝．故答案为：．【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键．三．解答题（共6小题）15．（2021秋•淳安县期中）如图，在⊙O中，弦AD＝BC，连接AB、CD．求证：AB＝CD．【分析】在⊙O中，由弦AD＝BC，可得＝，根据等式的性质可得+＝+，即＝，进而得出AB＝CD．【解答】解：在⊙O中，∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系以及等式的性质是正确解答的关键．16．（2021秋•上城区期中）如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．【分析】根据弦和弧的关系，由AB＝CD可得，进而得到＝，即可证明AD ＝BC．【解答】证明：∵AB＝CD，∴，∴，∴＝，∴AD＝BC．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，掌握圆心角，弧、弦之间的关系定理是解题的关键．17．（2021秋•长兴县期中）如图，MB，MD是⊙O的两条弦，点A，C分别在，上，且AB＝CD，M是的中点．求证：MB＝MD．【分析】欲证明BM＝DM，只要证明＝即可．【解答】证明：∵M是的中点，∴＝，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴MB＝MD．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．18．（2021秋•诸暨市期末）如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD＝BD．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝DE；（2）若AC＝6，半径OB＝5，求BD的长．【分析】（1）连接BC，由CD＝BD，AB为直径可得∠E＝∠ECD，进而求解．（2）由勾股定理求出BC的值，再由△AEB为等腰三角形可得BD＝BE，再通过勾股定理求解．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵CD＝BD，∴∠EAD＝∠DAB，∴∠E＝∠ABE，连接BC，则∠DCB＝∠DBC，∠ACB＝∠ECB＝90°，∵∠EBC+∠E＝90°，∠DCB+∠ECD＝90°，∴∠E＝∠ECD，∴CD＝DE．（2）解：在Rt△ACB中，由勾股定理得BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ABE，∴△AEB为等腰三角形，∴AB＝AE，BD＝DE，∴CE＝AE﹣AC＝AB﹣AC＝10﹣6＝4，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝＝＝4，∴BD＝BE＝2．【点评】本题考查圆与三角形的结合，解题关键是掌握圆周角定理，掌握解直角三角形的方法．19．（2021秋•滨江区期末）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．（1）求证：＝．（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．【解答】（1）证明：如图，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．（2）证明：连接AD．∵＝，∴∠ADC＝∠BAD，∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∴∠CAB+∠AMC＝90°，∴∠CAB+2∠BAD＝90°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2001•温州）⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD 的长．【分析】求CD，已知了CP的长，关键是求出PD的长．已知了AP，BP的长，可根据相交弦定理来求出PD的长，进而可求出CD的长．【解答】解：∵圆O的弦AB，CD相交于P，∴AP•PB＝CP•PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝AP•PB÷CP＝4×6÷3＝8，∴CD＝CP+PD＝3+8＝11．即：CD的长是11．【点评】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出PD的长是解题的关键．。

核心知识点二： 圆内接四边形及其性质
（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，
请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
A
解：∠BAD与∠BCD互补.
D
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，
B
∴∠BAD+∠BCD=180°.
∴∠BAD与∠BCD互补.
O
C
探究新知
自主合作，探究新知
（2）若C点的位置产生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系
还成立吗？为什么？
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立.
D
A
如图8，连接OB，OD.
∵ ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD，
C
1
O 2
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半），
∵∠1+∠2=360°，
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
E
∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）.
∵∠EDC+∠ADC=180°，
D
∠EBF+∠ABE=180°，
∴∠EDC+∠EBF=180°.
C
O
∵∠EDC=∠F+∠A，∠EBF=∠E+∠A，
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°.
∴∠A=40°.
A
B
F
圆内接四边形的对角互补.
D
D
A
A
C
O
O
B
C
B
几何语言：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，

圆的基本元素二 圆心角、圆周角一、圆心角1、圆心角：顶点在圆心的角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

2、圆心角、弦、弧的关系（1）“圆心角定理”：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧（2）由（1）可推导出下面的结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧、弦、弦的弦心距中，有一组量相等，注意：在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧或优弧相等。

（不能说相等的弦所对的弧相等）二、圆周角1、圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、等弧的含义：在同圆或等圆中，能完全重合的两段弧。

注意：命题中给出了等弧，就已经涵盖了“在同圆或等圆中”的含义。

3、圆周角度数推论：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，弦相等；90o③圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

典型例题：例1、判断题1. 长度相等的两条弧，所对的圆心角相等； （ ）2. 等弧所对的弦相等。

（ ）3. 等弦所对的弧相等。

（ ）4．同圆中一弦所对的圆周角相等； （ ）5. 同圆或等圆中，两条弦相等，它们所对的圆周角也相等； （ ）6. 同圆或等圆中，两条弦相等，所对的弧也相等； （ ）例2、（05年武汉市）如图1，圆心角∠AOB ＝100°，则圆周角∠ACB 等于__________。

例3、（04年常德市）如图2，⊙O 是ΔABC 的外接圆，D 是AB 弧上的一点，连结BD 并延长至E ，连结AD ，若AB ＝AC ，∠ADE ＝65°，求∠BOC 的度数。

图1图2课堂练习：一、选择题1、（05年济南市）如图3，把一个量角器放置在∠BAC 的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC 的度数是（ ）A. 30°B. 60°C. 15°D. 20°2、（05年大连市）如图4，A 、C 、B 是⊙O 上三点，若∠AOC ＝40°，则∠ABC 的度数是（ ）A. 10°B. 20°C. 40°D. 80°3、如图5，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是AD 延长线上的一点，若∠AOC ＝140°，则∠EDC 的度数是（ ）A. 40°B. 70°C. 80°D. 65°4、（05年长春市）如图6，∠A ＝35°，∠E ＝40°，∠BOD 的度数是（ ）A. 75°B. 80°C. 135°D. 150°二、填空题1、如图7，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝130°，则∠D 的度数为_____________。