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管理运筹学复习资料

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《管理运筹学》复习提纲

《管理运筹学》复习提纲

《管理运筹学》复习提纲第一章绪论（P1-P9)1.决策过程（解决问题的过程）（1）认清问题。

（2）找出一些可供选择的方案。

（3）确定目标或评估方案的标准。

（4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等。

（5）选出一个最优的方案：决策。

（6）执行此方案：回到实践中。

（7）进行后评估：考察问题是否得到圆满解决。

其中：（1）（2）（3）形成问题。

（4）（5）分析问题：定性分析与定量分析，构成决策2.运筹学的分支：线性规划、整数线性规划、动态规划、图与网络模型、存储论、排队论、排序与统筹方法、决策分析、对策论、预测、目标规划，此外，还有多目标规划、随机规划、模糊规划等。

3.运筹学在工商管理中的应用1）生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下料、配料问题、物料管理等，追求利润最大化和成本最小化。

2）库存管理：多种物资库存量的管理，某些设备的库存方式、库存量等的确定。

3）运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、运输工具的调度以及建厂地址的选择等。

4）人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编制、人员合理分配，建立人才评价体系等。

5）市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与销售计划制定等。

6）财务和会计：预测、贷款、成本分析、定价、证券管理、现金管理等。

此外，还有设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等。

3.学习管理运筹学必须使用相应的计算机软件，必须注重学以致用的原则。

第二章线性规划的图解法(P10-P26)1.一些典型的线性规划在管理上的应用合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少；配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润；投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大；产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大；劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。

2.线性规划的组成目标函数：max f 或min f ；约束条件：s.t. (subject to)，满足于；决策变量：用符号来表示可控制的因素。

管理运筹学复习-图文

管理运筹学复习-图文

管理运筹学复习-图文对偶问题基本可行解：满足非负条件的基本解。

【最优解不一定是基本可行解,因为问题有可能有无穷多最优解,最优解是两个基可行解】可行解：对应于基本可行解的基。

最优基：是原问题的最优解对应初始单纯行表中列向量所组成的m阶方阵（B）。

对偶问题的基本性质对称性：原问题与对偶问题是两个互为对偶的问题。

弱对偶性：两个问题的可行解对应的目标函数值互为上下界。

最优性：两个问题最优解的目标函数值一定相等。

强对偶性：两个问题都有可行解时则两个问题一定都有最优解。

互补松弛性：两个问题最优解中，一个问题中某个变量取值非零，则该变量在对偶问题中对应的某个约束条件必为紧约束。

若原问题的最优基为B，则其对偶问题的最优解为：Y某CBB1对偶定理：原问题P与对偶问题D1.P有最优解，则D有最优解；2.若某某与Y某分别为P和D的可行解，则它们分别也为P和D的最优解且有C某某=Y某b。

影子价格：在其他条件不变的情况下，单位资源b变化所引起的目标函数f某CBB1Y某的最优值的变化.f某CBBbY某b，对b求导：b灵敏度分析1、价值系数的灵敏度分析假定目标函数只有一个Cj发生变化，模型中其他系数保持不变；确定Cj在什么范围内变化，原问题的最优解不变，称这个范围为Cj的可变范围.依据：保证最优解不变保证检验数≤02、资源系数的灵敏度分析整数规划分支定界法：是对有界的规划问题的可行域，以恰当的方式进行系数的搜索的算法。

（求ma某是下界；求min是上界。

）指派问题：假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把n项任务指派给n个人，使完成n项任务的总效率最高。

匈牙利算法：求min，则各行/列减去本行/列最小值，且保证每行/列至少有一个0元素；求ma某，则各行/列减去本行/列最大值，且保证每行/列至少有一个0元素。

运输问题模型的特点：[有可行解的条件]a、有m个产地n个销地且产销平衡运输问题的基变量个数为m+n-1个b、产销平衡的运输问题存在可行解。

《管理运筹学》复习提纲

《管理运筹学》复习提纲

《管理运筹学》复习提纲管理运筹学是现代管理科学的一门重要学科，旨在帮助管理者进行决策和规划，以实现组织的最佳效益。

为了帮助大家复习管理运筹学，下面是一份复习提纲，共分为四个部分：运筹学的基础知识、线性规划、网络分析和决策分析。

每个部分都包含了相关的概念、方法和应用案例，希望对大家复习有所帮助。

一、运筹学的基础知识（300字）1.运筹学的定义和发展历程2.运筹学的研究对象和基本方法3.运筹学在管理中的应用场景和作用4.运筹学与其他管理学科的关系二、线性规划（300字）1.线性规划的基本概念和原理2.线性规划的求解方法：图解法、单纯形法3.线性规划的应用案例：生产计划、资源分配等4.敏感性分析在线性规划中的应用三、网络分析（300字）1.网络图的表示和性质2.关键路径法和关键事件法的基本原理3.网络分析的应用案例：项目管理、生产调度等4.项目的时间和资源的优化分配四、决策分析（300字）1.决策分析的基本概念和理论2.决策树的构建和分析方法3.敏感性分析在决策分析中的应用4.决策分析的应用案例：投资决策、市场营销策略等这些提纲覆盖了管理运筹学的核心内容，帮助大家回顾基本概念、原理和方法，并通过具体的应用案例加深对管理运筹学的理解和应用能力。

在复习过程中，可以结合课堂讲义、教材和相关参考资料，做题、做案例分析，并与同学进行讨论和交流，提高自己的学习效果。

同时，也建议大家不仅仅局限于复习知识点，还要进行实际问题的解决和分析，如企业生产优化、项目管理等，这将有助于将理论知识与实践能力相结合，提高综合运筹能力。

最后提醒大家，复习不仅要注重理论的牢固掌握，更要重视实践操作的能力培养，只有理论与实践相结合，才能真正将管理运筹学的知识运用到实际管理中，并取得优秀的管理业绩。

希望大家能够在复习中找到适合自己的方法和学习策略，取得好成绩。

加油！。

管理运筹学复习

管理运筹学复习

管理运筹学复习《管理运筹学》复习题一、分析判断题1、线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。

2、性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。

3、线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的唯一一个点。

4、单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更优的另一个可行解。

5、对偶问题的对偶问题一定是原问题。

6、线性规划原问题与对偶问题最优解的目标函数值必相等。

7、影子价格的大小客观地反映资源在系统内的稀缺程度，是一种虚拟的价格而不是真实的价格。

8、求解整数规划ILP时，先求放松问题LP的解，然后四舍五入即可。

9、在目标规划中，一对正负偏差变量至少有一个大于零。

10、后悔值准则是不确定情况下的决策方法。

二、建模题1．某商场对售货员的需求经过统计分析如下表所示。

为了保证员工充分休息，售货员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。

问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？根据相关数据及要求，建立该问题的运筹学模型（不必求解）。

2．昼夜运营的公交线路每天各时间区段内所需要的司机和乘务员人数如下表：设司机和乘务员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。

建立该问题的线性规划数学模型（不必求解）。

3．某投资公司现有资金8000万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。

已知：项目A：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息5%，此项投资金额不限。

项目B：从第一年到第三年每年年初可以投资，投资周期（即回收期）为三年，每次投资后的第三年年末收回本利110%，但要求第一年投资最低金额为400万元，第二、三年不限；项目C：第二年初需要投资，到第五年末能回收本利130％，要求最低投资金额为700万元。

应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？试建立该问题的运筹学（不必求解）4．某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为40 万吨，为了扩大生产，打算在A2，A3，A4地中再选择几个地方建厂。

《管理运筹学》总复习46页PPT

《管理运筹学》总复习46页PPT
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
《管理运筹学》总复习
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
Hale Waihona Puke 谢

管理运筹学-复习整理

管理运筹学-复习整理

一线性规划图解法1.线性规划的标准形式：(1)目标函数最大；约束条件等式；决策变量非负（x≥0）；资源限量非负（b≥0）。

(2)图解法两个变量系数C1、C2，斜率k=-(C1/C2)(3)图解法K≥0时，绝对值越大越靠近Y轴；K≤0时，绝对值越大越靠近Y轴。

(4)阴影区：无论斜率为正或负，小于的部分阴影区都在线的下方。

二单纯形法1.大M法（1）加入人工变量-Mx i…，M无穷大。

（2）最后将人工变量x i替换出去，且σ≤0.2.两阶段法（1）第一阶段：目标函数为max z′=−x i…，得到最终表。

（2）第二阶段：目标函数替换为原目标函数，在最终表里继续计算σ，直到都小于等于0。

3.单纯表特殊情况的解判断（1）最优解中人工变量大于0，线性规划无解。

（2）某次迭代过程，表中有一个σ＞0，且该列系数向量都小于等于0，线性规划无界。

（因为比较比值大小时都是负的）。

（3）某个非基变量σ=0，无穷解。

（4）退化问题：相同的比值，选择下标大者离基。

σk相同，任选一个入基。

4.初等行变换✓某一行（列），乘以一个非零倍数。

✓某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。

✓某两行（列），互换。

三单纯形法灵敏度分析1.对偶问题原问题：max z=cx对偶问题：min f=b T yAx≤b A T y≥c TX≥0 y≥0（1）原问题统一为以上标准型，再进行下一步。

（2）原问题第i个约束条件等号，对偶问题i个决策变量无约束。

（3）原问题第i个决策变量无约束，对偶问题第i个约束条件等号。

（4）原问题的对偶价格为对偶问题的最优解。

（参考习题册第7、19题）（5）对偶价格：常数项增加1单位，目标函数值改进的数量。

（6）影子价格：常数项增加1单位，目标函数值增加的数量。

2.灵敏度分析（1）目标函数变量系数C k:将C k直接代入最终表，判断σ是否小于0。

（2）约束方程常数项b：利用如下公式计算新的最终表中b值。

判断b是否非负。

《管理运筹学》复习题及参考答案

《管理运筹学》复习题及参考答案一、选择题1. 管理运筹学的研究对象是（）A. 生产过程B. 管理活动C. 经济活动D. 运筹问题参考答案：D2. 以下哪个不属于管理运筹学的基本方法？（）A. 线性规划B. 整数规划C. 非线性规划D. 人力资源规划参考答案：D3. 在线性规划中，约束条件是（）A. 等式B. 不等式C. 方程组D. 矩阵参考答案：B4. 以下哪种方法不属于线性规划的对偶问题求解方法？（）A. 单纯形法B. 对偶单纯形法C. 拉格朗日乘数法D. 牛顿法参考答案：D5. 在目标规划中，以下哪个不是目标约束的类型？（）A. 等式约束B. 不等式约束C. 目标函数约束D. 线性约束参考答案：C二、填空题1. 管理运筹学的核心思想是______。

参考答案：最优化2. 在线性规划中，最优解存在的条件是______。

参考答案：可行性、有界性3. 整数规划的求解方法主要有______和______。

参考答案：分支定界法、动态规划法4. 在目标规划中，目标函数的求解方法有______、______和______。

参考答案：单纯形法、拉格朗日乘数法、动态规划法5. 非线性规划问题可以分为______、______和______。

参考答案：无约束非线性规划、约束非线性规划、非线性规划的对偶问题三、判断题1. 管理运筹学的研究对象是管理活动。

（）参考答案：正确2. 在线性规划中，最优解一定存在。

（）参考答案：错误3. 整数规划的求解方法比线性规划复杂。

（）参考答案：正确4. 目标规划的求解方法与线性规划相同。

（）参考答案：错误5. 非线性规划问题一定比线性规划问题复杂。

（）参考答案：错误四、计算题1. 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每件利润为10元，乙产品每件利润为8元。

生产甲产品每件需消耗2小时机器工作时间，3小时人工工作时间；生产乙产品每件需消耗1小时机器工作时间，2小时人工工作时间。

工厂每周最多可利用机器工作时间100小时，人工工作时间150小时。

管理运筹学考研总复习

29
1.线性规划的概念
Max z = 3x1–5x2’+5x2‖–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2‖+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2‖+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2‖-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
6
《管理运筹学》
决策分析


不缺性决策－乐观准则、悲观准则、乐 观系数准则、等可能性准则、后悔值准 则 风险型决策－损益矩阵法、决策树法、 Bayes决策、效用值理论 系统评价－ The Analytic Hierarchy Process,AHP
7
《管理运筹学》
对策论

矩阵对策的基本概念 矩阵对策的解法
34
2.线性规划的图解法
结果
若目标函数等值线能够移动 到既与可行域有交点又达到最 优的位置，此目标函数等值线 与可行域的交点即最优解（一 个或多个），此目标函数的值 即最优值。 否则，目标函数等值线与可 行域将交于无穷远处，此时称 无有限最优解。
35
2.线性规的图解法
例2.4:某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
22
1.线性规划的概念
为了使约束由不等式成为等式 而引进的变量 s 称为“松弛变量”。 如果原问题中有若干个非等式约束， 则将其转化为标准形式时，必须对 各个约束引进不同的松弛变量。
23
1.线性规划的概念

管理运筹学期末复习资料【韩伯棠】

运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。

（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。

（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。

3.LP模型（线性规划模型）三要素：（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。

5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。

6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。

7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。

管理运筹学期末复习权威资料

运筹学（Operational Research）复习资料第一章绪论一、名词解释1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。

二、选择题1.运筹学的主要分支包括（ABDE ）A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划2. 最早运用运筹学理论的是（ A ）A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上第二章线性规划的图解法一、选择题/填空题1.线性规划标准式的特点：（1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位：（1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。

（2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。

（3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。

3.LP（1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。

5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。

6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。

7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A【解析】：如何判断是凸集？凸集：两点之间连线在图内凹集：两点之间连线在图外8. 线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时CA没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解9. 对于线性规划问题，下列说法正确的是（ D ）A. 线性规划问题可能没有可行解B. 在图解法上，线性规划问题的可行解区域都是“凸”区域C. 线性规划问题如有最优解，则最优解可在可行解区域顶点上到达D. 上述说法都正确第三章线性规划问题的计算机求解一、名词解释1.相差值：相应的决策变量的目标系数需要改进的数量，使得决策变量为正值。

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a'1k a' 2k 应的列 P'K= 变成单位列向量（入基变量相应的列为主元列，出基变量相 a' mk 应的行为主元行，主元列与主元行的交 a'lk 为主元，标为[a'lk]，主元化为 1，其
余化为 0） ， （3）得出新方程组的主元行（主元行各元素除以主元）以及非主元 行（原方程组的非主元行各元素－a'ik× 新方程组的主元行各元素，a'ik 是原方程 。 （4）进入步骤一的“ （3）” ，重复步骤二到步骤四， 组中第 i 行与主元列的交） 直到求出最优解。 新的基变量为 x4，x2，x5，使用初等行变换把方程组中 x4 对应的列
[2] P'4= 0 变为 3
[1] 0 0
可得新方程组： 1 x1 -x3+x4 =6 2 x2-2x3 =1 3 - x1 -x3 +x5=-9 2 进入重复： 令非基变量 x 1，x 3=0，可得新 bfsX(1)=（0，1，0，6，9）T，相应目标值 z=18。 为检验 X(1)的最优性，计算非基变量 x 1、x 3 的检验数。 3 σ1=3-[5× 1/2+(-3)× 0+(-1)× ( - )]=-1 2 σ3=0-[5× (-1)+(-3)× (-2)+(-1)× (-1)]=-2 在此 σ1﹤0、σ3﹤0 由最优解判别准则可知，X(1)为最优解，最优值 z*=18。
检查 xK 相应的列 P'K=
a'1k a'2k 。情况 1：xK 相应的列 P'K= a'mk

a'1k a' 2k ≤0，则（SLP） a' mk
a'1k a' 有无界解，停止运算。情况 2：xK 相应的列 P'K= 2k 有正分量， （2）则令 xK a' mk 为入基变量，使用 θ 规则（最小比值规则，用 xK 列的正元素去除的 b'列的对应
1 0 0 B1= 0 1 0 =（P3 ，P4 ，P5）≠0，故为一个基。 0 0 1
于此 x1、x2 为非基变量，x3、x4、x5 为基变量。 令非基变量 x1，x2=0，代入方程组（原约束方程组） ，从而解出 x3=360、x4=200、 (0) T x5=300。得出 X =（0，0，360，200，300） ，这是基解。 由于此基解满足（上述约束条件中的）非负条件（表现为 x3=360≥0、x4=200≥0、 x5=300≥0） ，所以它是基可行解。 【此外：由于此基可行解不存在取零值的基变量（表现为 x3=360≠0、x4=200≠0、 x5=300≠0） 所以它是非退化的基可行解。 由于此基有基可行解， 所以它是可行基。 】 第二个基：
b b 元素，选取其中最小者，即 θ=min i = l ，其中 a'lk＞0，i=1、2、3… m） a l k a ik
得出最小比值，最小值来自哪一方程，就选取哪一方程对应的基变量 xl 为出基 变量。
2 由于 x4 的 σ4﹥0，且相应的列 P'4= 0 有正分量， 3
要点 3：单纯形表
理论：单纯形表的内容 Cj→ CB XB b'
基变量 的 目标函数 系数 基 变 量 典式 的 右端项 目标函数 的值
目标函数系数
x1
x2
x3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x4
x 5 …（所有变量） θi
θ 比值
典式的方程组系数
基变量的检验数
范例： Obj：max z=3x1-3x2+5x4-x5 s.t x1 -2x3+2x4 =12 x2-2x3 =1 -4x3+3x4+x5=27 x1，x2，x3，x4，x5≥0 步骤一： 理论： （1）化原式为（ SLP） ， （2）再化（SLP）为典式（典式的系数矩阵含有 一个某阶的单位矩，且右端项非负） 。 （3）令非基变量为 0，得出初始基可行解 (0) X ，及其相应的目标值 Z0。 填表：建立初始单纯形表，填上所有数字，除了 σ 与 θ 相应的数字。 本题已为标准型，且约束方程组已为典式。 取 x 1，x 2，x 5 基变量 令非基变量 x 3， x 4=0，可得初始 bfsX(0)=（12，1，0，0，27）T，相应目标值 z0=6。 填表：填上所有数字，除了 σ 与 θ 相应的数字。 3 -3 0 5 Cj→ x2 x3 x4 CB XB b' x 1 3 -3 -1 x1 x2 x5 12 1 27 6 1 0 0 0 1 0 -2 -2 -4 2 0 3
2 0 0 最优基变量为 x4，x2，x5，最优基 B=（P4 ，P2 ，P5）= 0 1 0 ，而最优解 3 0 1
为 x*=（0，1，0，6，9） 。 注记：对于求 min 的问题，可选用如下的一种方法处理 1、将求 min 问题转化为求 max 问题。要点：在化为（SLP）时一定会做到。 2、将原本最优解判别准则的标准改变，改为情况 1：若所有非基变量的 σj≥0， 则 X(0)为最优可行解，停止计算。情况 2：若其中有某一非基变量 xK 的 σK＜0， 则进入下一步骤。要点：与原先的差异只是大小于符号的方向相反。 3、将原本最优解判别准则的计算式改变，将 σj=Cj﹣Zj 改成 σj= Zj﹣Cj。要点： 与原先的差异只是计算式的前后相反。 如果你的人生目标是赚钱，我着实为你惋惜。如我所见，那些成功以 后仍然幸福的人都是愿意奉献的人。 取得成功的原因是他们有着与社会休 戚与共的意识。 --彼得·德鲁克，现代管理之父
9 4 1 0 0 A= 4 5 0 1 0 =（P1 ，P2 ，P3 ，P4 ，P5） 3 10 0 0 1
A 为 3× 5 的系数矩阵 步骤六：分别做出（SLP）的基、基变量、基解、基可行解 理论： （1）找出基：若 B 为矩阵 A（m× n）中的 m× m 非奇异子矩阵（即 B 的 ，则 B 为（SLP）的一个基。 （2）找出基变量：与基相对应的 行列式︱B︱≠0） 变量就是基变量，其他则为非基变量。 （3）求出基解：令非基变量等于 0，代入 原方程组，就可求出基解。 （4）求出基可行解：如果基解满足非负条件（xK≥0） ， 那它就是基可行解。此外： （5）判别退化性：如果基可行解存在某基变量为 0 （xK≥0） ，则它就是退化的基可行解；否则就是非退化的基可行解。 第一个基：
4 0 0 B2= 5 1 0 =（P2 ，P4 ，P5）≠0，故为一个基。 10 0 1
于此 x1、x3 为非基变量，x2、x4、x5 为基变量。 ，从而解出 x2=90、x4=﹣250、 令非基变量 x1，x3=0，代入方程组（原约束方程组） (0) x5=﹣600。得出 X =（0，90，0，﹣250，﹣600）T，这是基解。 由于此基解不满足（上述约束条件中的）非负条件（表现为 x4=﹣250＜0、x5= ﹣600＜0） ，所以它不是基可行解，是基非可行解。 注记：
要点 2：单纯形法
范例： Obj：max z=3x1-3x2+5x4-x5 s.t x1 -2x3+2x4 =12 x2-2x3 =1 -4x3+3x4+x5=27 x1，x2，x3，x4，x5≥0 步骤一： 理论： （1）化原式为（ SLP） ， （2）再化（SLP）为典式（典式的系数矩阵含有 一个某阶的单位矩，且右端项非负） 。 （3）令非基变量为 0，得出初始基可行解 X(0)，及其相应的目标值 Z0。 本题已为标准型，且约束方程组已为典式。 取 x 1，x 2，x 5 基变量 令非基变量 x 3， x 4=0，可得初始 bfsX(0)=（12，1，0，0，27）T，相应目标值 z0=6。 步骤二：最优性检验 理论： （1）根据最优解判别准则，以 σ 为检验数，用 σj=Cj﹣Zj 对所有的非基变 量做最优性检验（Cj 为目标函数中第 j 项的系数；Zj 为 CB 与 Pj 的内积，CB 为 基变量在目标函数中的系数， Pj 为典式中系数矩阵的第 j 列） 。 （2）判断，情况 1：若所有非基变量的 σj≤0，则 X(0)为最优可行解，停止计算。情况 2：若其中 有某一非基变量 xK 的 σK＞0，则进入下一步骤。
计算非基变量 x3、x4 的检验数： σ3=C3-Z2=0-[3× (-2)+(-3)× (-2)+(-1)× (-4)]=-4 σ4=C4-Z4=5-[3× 2+(-3)× 0+(-1)× 3]=2 其中有 σ4﹥0 步骤三： 理论： 若有某一非基变量 xK 的 σK＞0 （选取所有 xj 的︱σj︱中某一最大者） 。 （1）
a 11 a 12 a 13 1、行列式 a 21 a 22 a 23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32 a 31 a 32 a 33
2、求非基可行解只要凑个数能满足约束条件即可，非基非可行解只要凑个数能 不满足约束条件即可。
故取 x4 为入基变量。使用 θ 规则：
12 27 θ=min , =6（用 x4 列的正元素去除各自对应的右端项，取出最小比值） 2 3
由于最小值在第一个方程达到，故取第一个方程对应的基变量 x1 为出基变量。
步骤四：旋转变换 理论： （1）以入基变量 xK 取代出基变量 xl，建立新的一组基变量， （2）把 xK 相
方程组方面：不等式约束要引入松弛变量（左端小于右端）或剩余变量（左端 大于右端）来化为等式约束（左端加上松弛变量或减去剩余变量） ； （3）非负条 ， 件方面：若有 xK≤0，则令 x'K=-xK，就有 x'K≥0；若有 xK 为无限制（自由变量） 则令 xK=x'K-x''K，且 x'K，x''K≥0，并以 x'K、x''K 代替 xK 出现在整个式子中。 令有 x3，x4，x5≥0（作为松弛变量） Obj：max z =70x1+120x2+0x3+0x4+0x5 s.t 9x1+4x2+x3 =360（引入松弛变量，化小于为等于） 4x1+5x2 +x4 =200（引入松弛变量，化小于为等于） 3x1+10x2 +x5=300（引入松弛变量，化小于为等于） x1，x2，x3，x4，x5≥0（非负条件） 步骤五：化约束方程组为系数矩阵