最新北师大版2018-2019学年数学九年级上册《特殊的平行四边形》全章热门考点整合及答案-精品试题

全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理、三个图形、三个判定与性质、四个技巧、两种思想．一个定理——直角三角形斜边上的中线定理1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)∠DHF＝∠DEF.(第1题)三个图形图形1菱形2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形．(2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？并说明理由．(第2题)图形2矩形3．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：△AOE≌△COF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．(第3题)图形3正方形4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．(第4题)三个判定与性质判定与性质1菱形5．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC 交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形．(第5题)判定与性质2矩形6．【2015·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证：(1)△ADE≌△CBF；(2)四边形DEBF为矩形．(第6题)判定与性质3正方形7．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H 为GE的中点．求证：FB⊥BH.(第7题)四个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法】8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD 沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．(第8题)技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法】9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第9题)技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法】10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．技巧4解中点四边形的技巧11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．(1)求证：四边形DEFG是矩形；(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．(第11题)思想1转化思想12．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E ，F.求证：PA ＝EF.(第12题)思想2 数形结合思想 13．[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. [运用](1)如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON ，OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4，3)，则点M 的坐标为________．(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D 与点A ，B ，C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．(第13题)答案1．证明：(1)∵点D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴DE∥AC.同理可得EF∥AB. ∴四边形ADEF 是平行四边形． (2)由(1)知四边形ADEF 是平行四边形， ∴∠DAF＝∠DEF.在Rt△AHB 中，∵D 是AB 的中点， ∴DH＝12AB ＝AD.∴∠DAH＝∠DHA. 同理可得HF ＝12AC ＝AF ，∴∠FAH＝∠FHA.∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA. ∴∠DAF＝∠DHF. ∴∠DHF＝∠DEF.2．(1)证明：∵D，E 分别是AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线． ∴DE∥BC. 又∵EF∥AB，∴四边形DBFE 是平行四边形． (2)解：答案不唯一，下列解法供参考． 当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形． 理由：∵D 是AB 的中点， ∴BD＝12AB.∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE＝12BC.又∵AB＝BC ，∴BD＝DE. 又∵四边形DBFE 是平行四边形， ∴四边形DBFE 是菱形．3．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC ，AB∥CD. ∴∠AEO＝∠CFO. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE ≌△COF(AAS)．(2)解：当AC ＝EF 时，四边形AECF 是矩形．理由如下：由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．4．(1)解：DE⊥FG.理由如下：由题意，得∠A＝∠BDE＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°.∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠GEF＝∠ABC＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．(第5题)5．证明：如图，连接CE，交AD于点O.∵AC＝AE，∴△ACE为等腰三角形．∵AO平分∠CAE，∴AO⊥CE，且OC＝OE.∵EF∥CD，∴∠2＝∠1.又∵∠DOC＝∠FOE，∴△DOC≌△FOE(ASA)．∴OD＝OF.即CE与DF互相垂直且平分．∴四边形CDEF是菱形．6．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AD＝CB.又∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠DEA＝∠BFC＝90°.∴△ADE ≌△CBF.(2)∵△ADE ≌△CBF，∴AE＝CF. ∵CD＝AB ，∴DF＝BE. 又∵CD∥AB，∴四边形DEBF 为平行四边形． 又∵∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF 为矩形．7．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD＝CB ，∠DCF＝∠BCF＝45°， DC∥AE，∠CBE＝90°， ∴∠CDF＝∠E.又∵CF＝CF ，∴△DCF ≌△BCF. ∴∠CDF＝∠CBF.∴∠CBF＝∠E. ∵H 为GE 的中点， ∴HB＝HG ＝12GE.∴∠HGB＝∠HBG.∵∠CDG＋∠CGD＝90°，∠CGD＝∠HGB＝∠HBG， ∴∠FBG＋∠HBG＝90°. 即∠FBH＝90°，∴FB⊥BH.8．解：∵在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，∴CD＝AB ＝10，AD ＝BC ＝5.又∵将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点A ，D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1，D 1处，∴根据轴对称的性质可得A 1E ＝AE ，A 1D 1＝AD ，D 1F ＝DF.设线段D 1F 与线段AB 交于点M ，则阴影部分的周长为 (A 1E ＋EM ＋MD 1＋A 1D 1)＋(MB ＋MF ＋FC ＋CB) ＝AE ＋EM ＋MD 1＋AD ＋MB ＋MF ＋FC ＋CB ＝(AE ＋EM ＋MB)＋(MD 1＋MF ＋FC)＋AD ＋CB ＝AB ＋(FD 1＋FC)＋10 ＝AB ＋(FD ＋FC)＋10 ＝10＋10＋10＝30.9．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴OB＝OC ，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°. ∵四边形A′B′C′O 是正方形， ∴∠EOF＝90°.∴∠EOF＝∠BOC. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF.即∠BOE＝∠COF.∴△BOE ≌△COF.∴S △BOE ＝S △COF .∴两个正方形重叠部分的面积等于S △BOC .∵S 正方形ABCD ＝1×1＝1，∴S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝14. ∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是14. 10．解：(1)在菱形ABCD 中，AG ＝CG ，AC⊥BD，BG ＝12BD ＝12×16＝8， 由勾股定理得AG ＝AB 2－BG 2＝102－82＝6，所以AC ＝2AG ＝2×6＝12.所以菱形ABCD 的面积＝12AC·BD＝12×12×16＝96. (2)不发生变化．理由如下：如图①，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO ＋S △AOD ，所以12BD·AG＝12AB·OE＋12AD·OF. 即12×16×6＝12×10·OE＋12×10·OF. 解得OE ＋OF ＝9.6，是定值，不变．(3)发生变化．如图②，连接AO ，则S △ABD ＝S △ABO －S △AOD ，所以12BD·AG＝12AB·OE－12AD·OF. 即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF. 解得OE －OF ＝9.6，是定值，不变．所以OE ＋OF 的值发生变化，OE ，OF 之间的数量关系为OE －OF ＝9.6.(第10题)11．(1)证明：如图，连接AO 并延长交BC 于H ，∵AB＝AC ，OB ＝OC ，∴AH 是BC 的中垂线，即AH⊥BC 于H.∵D，E ，F ，G 分别是AB ，OB ，OC ，AC 的中点，(第11题)∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.∴四边形DEFG 是平行四边形．∵EF∥BC，AH⊥BC，∴AH⊥EF.又∵DE∥AH，∴EF⊥DE，∴四边形DEFG 是矩形．(2)解：∵D，E ，F 分别是AB ，OB ，OC 的中点．∴AO＝2DE ＝4，BC ＝2EF ＝6.∵△BOC 是等腰直角三角形，∴OH ＝12BC ＝3. ∴AH＝OA ＋OH ＝4＋3＝7.∴S △ABC ＝12×6×7＝21.(第12题)12．证明：如图，连接PC.∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°.∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.∴四边形PECF 是矩形．∴PC＝EF.在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP＝∠CBP，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.∴PA＝EF.点拨：本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等．13．解：(1)(2，1.5)(2)设点D的坐标为(x，y)．若以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，①当AB为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴－1＋32＝1＋x2，2＋12＝4＋y2.∴x＝1，y＝－1.∴点D的坐标为(1，－1)．②当BC为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴3＋12＝－1＋x2，1＋42＝2＋y2.∴x＝5，y＝3.∴点D的坐标为(5，3)．③当AC为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，∴－1＋12＝3＋x2，2＋42＝1＋y2.∴x＝－3，y＝5.∴点D的坐标为(－3，5)．综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．。