2013年中考数学压轴题全面突破之三：点的存在性(含答案)
中考数学压轴题全面突破之三•点的存在性
题型特点
存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题，比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性
、特殊四边形的存在性等．
点的存在性问题常以函数为背景，探讨是否存在点，满足某种关系或构成某种特殊图形．比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积
成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等．
解题思路
解决点的存在性问题，遵循函数与几何综合中处理问题的原则．难点拆解
点的存在性问题关键是利用几何特征建等式．建等式的方式有：
①直接表达建等式．分析点存在所满足的特殊条件或关系，直接表
达线段长．
②转化表达建等式．如面积关系问题，转化面积关系为线段关系，
结合关键点所在图形的边角信息及几何特征，建等式．
③构造模型建等式．如角度间关系，需转化、构造将其放到三角形中
，再借助线段间关系建等式．
1.（2009湖北武汉）如图，抛物线经过A(﹣1，0)，C(0，4)两点，
与x轴交于另一点B．
2. （2012江苏南通改编）如图，经过点A (0，﹣4)的抛物线
与x 轴
交于点B (﹣2，0)和点C ，O 为坐标原点． （1）求抛物线的解析式． （2）将抛物线
先向上平移个单位长度、再向左平移m
（m >0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．
（3）若点M 在y 轴上，且∠OMB ＋∠OAB =∠ACB ，求点M 的坐标．
A B C O x y
A
B C O x
y
3. （2011广东深圳）如图1，抛物线
（a ≠0）的顶点为C (1，4)，
与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点D ，其中点B 的坐标为(3，0)． （1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，与y 轴交于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使以D ，G ，F ，H 四点为顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G ，H 两点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点M 作直线MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
图2
Q
P F
E
O y
x
D C
B
A
图1A
B
C
D x
y
O 图3
A
B
D
x
y
O
4. （2012浙江温州）如图，过原点的抛物线
（m >0）与x 轴的另一
个交点为A ．过点P (1，m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ．记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B ，C 不重合）．连接CB ，CP ． （1）当m =3时，求点A 的坐标及BC 的长． （2）当m >1时，连接CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ？
（3）过点P 作PE ⊥PC 且PE =PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并求出相对应的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
A O y
x P
C
B
M x y O x
y
O
5. （2012辽宁沈阳）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(﹣2，0)，点
B 的坐标为(0，2)，点E 为线段AB 上的一动点（点E 不与点A ，B 重合）．以E 为顶点作∠OET =45°，射线ET 交线段OB 于点F ，
C 为y 轴正半轴上一点，且OC AB ，抛物线
的图象经过A ，C 两点．
（1）求此抛物线的函数表达式． （2）求证：∠BEF =∠AOE ．
（3）当△EOF 为等腰三角形时，求点E 的坐标．
（4）在（3）的条件下，设直线EF 交x 轴于点D ，P 为（1）中抛物线上一动点，直线PE 交x 轴于点G ，在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的（）倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
y x
C
E
T
B F O
A
y x
C E T
B F
O
A
点的存在性
1.（1）抛物线的解析式为234
y x x
=-++．（2）点D关于直线BC对称的点的坐标为(0，1)．
（3）点P的坐标为
266
525
⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，．
2.（1）抛物线的解析式为y=1
2
x2-x-4．
（2）符合条件的m的取值范围为0＜m＜5
2
．（3）M(0，6)或M(0，-6)．
3.（1）抛物线的解析式为y＝-(x-1)2+4．
（2）存在，四边形DFHG的周长最小为225
+，点G坐
标为(1，1)，点H坐标为(1
2
，0)．
（3）存在，点T的坐标为(3
2，15
4
)．
4.（1）A(6，0)，BC=4．
（2）m=3
2
．
（3）当m＞1时，
当点E在x轴上，m=2，点E的坐标是(2，0)；
当点E在y轴上，m=2，点E的坐标是(0，4)．
当0＜m＜1时，
当m=2
3时，点E的坐标是(4
3
，0)．
5.（1）抛物线的表达式为y=-2x2-2x+22．
（2）证明略．
（3）E(-1，1)或E(-2，2-2)．
（4）存在，P(0，22)或P(-1，22)．
