高等数学(第四版)上、下册(同济大学天津大学等编)1_1函数

在定义1 中，设x x0 x ，且x 0 ，即x x0 ， 又因为
y f (x0 x) f (x0) f (x) f (x0) f (x) f (x0) y
可 见 y 0 ， 即 为 f (x) f (x0) ， 因 此
lim y
x0
0 lim xx0
f
(x)
f
(x0 ).
高等数学(第四版) 上、下册（同济大 学 天津大学等编）1_6 函数的连续性
与间断点
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
定义 3 设函数 y f (x)在U (x0 )内有定义，如果函
数 f (x)在点 x0 左连续且右连续，即 f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )则
称 f (x)在点 x0 连续.
例 2 讨 论 函 数
3x, x0,
f(x) 2,
x0,
4cosx, x0
在 x0处 的 连 续 性 .
解 因 为 limf(x)lim (3x)3，
x 0
x 0
limf(x)lim (4cosx)3，
x 0
x 0
又f(0)2， 虽 limf(x)3但 limf(x)f(0) 故 f(x)在
x 0
x 0
x0处 不 连 续 .
3．区间上的连续函数
（1）在开区间(a，b)内每一点都连续的函数，称为在

o
I
x
3．函数的奇偶性: ．函数的奇偶性
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有 f ( − x ) = f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y = f ( x)
f (− x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称 , 对于 ∀x ∈ D, 有
f (− x ) = − f ( x )
∀ a , b ∈ R , 且a < b.
{ x a < x < b} 称为开区间 记作 (a , b ) 称为开区间,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
o a
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则
x (
(
D
对应法则f 对应法则
x0 )
f ( x0 )
自变量
W
y
)
因变量

0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1、主要内容: 两个定义 四个定理 三个推论 、主要内容 两个定义;四个定理 三个推论. 四个定理;三个推论 2、几点注意: 、几点注意
值f (x)都 足 等 f (x) > M, 满 不 式
x 称 数 则 函 f (x)当x →x0(或 →∞)时 无 小 为 穷 ,
作 记
x→x0
lim f (x) = ∞ (或 lim f (x) = ∞ ).
x→ ∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x → x0 ( x→∞ )
练习题答案
一、1、0； 3、 3、 ⇔ ； 2、 2、 lim f ( x ) = C ；
x→∞ x → ±∞
1 4、 4、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证

高等数学同济教材目录1. 函数与极限1.1 实数集与数列1.2 函数的概念与性质1.3 三角函数与反三角函数1.3.1 三角函数的定义与基本性质1.3.2 反三角函数的定义与基本性质1.4 一元函数的极限1.4.1 函数极限的概念1.4.2 极限存在准则1.4.3 极限运算法则1.5 无穷小与无穷大1.5.1 无穷小的概念与性质1.5.2 无穷大的概念与性质1.6 极限的计算方法1.6.1 极限的四则运算法则1.6.2 复合函数的极限1.6.3 极限存在准则2. 导数与微分2.1 函数的导数与不连续点2.2 导数的概念与性质2.3 基本导数公式2.4 导数的四则运算法则2.5 高阶导数与莱布尼茨公式2.6 隐函数与参数方程的导数2.7 微分的概念与性质2.8 微分中值定理与泰勒公式2.9 函数的单调性与曲线的凹凸性3. 微分中值定理与极值问题3.1 弗格雷定理3.2 罗尔定理3.3 拉格朗日中值定理3.4 柯西中值定理3.5 泰勒公式的拉格朗日型余项3.6 函数的单调性与曲线的拐点3.7 函数的最值与最值问题4. 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 基本积分表4.3 不定积分的四则运算法则4.4 第一类换元积分法4.5 第二类换元积分法4.6 部分分式分解法4.7 有理函数的积分4.8 三角函数的积分4.9 格式换元法5. 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的计算 5.3 反常积分5.4 定积分的应用5.4.1 几何应用5.4.2 物理应用5.4.3 统计应用6. 微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 齐次线性微分方程6.4 一阶线性微分方程6.5 高阶线性常微分方程6.6 非齐次线性常微分方程6.7 变量可分离的变阶微分方程6.8 可化为标准形式的方程6.9 常系数齐次线性微分方程6.10 常系数非齐次线性微分方程以上是《高等数学同济教材》的目录内容。

证明: 证明: 任 x1， 2 ∈(0,+∞ 且 1 < x2， ) x 取 x 则
f ( x1 ) − f ( x 2 )
= x −x
2 1
2 2
= (x1 − x2 )( x1 + x2 )< 0
∴ f ( x1 ) < f ( x 2 )
∴ y = x 2在(0， ∞ )单调增加。 + 单调增加。
x 2 +1
2
y = 1 − x2
y = eu , u =
u
x2 + 1
2
y = e , u = v , v = x + 1.
注意：一个函数要作为复合函数， 注意：一个函数要作为复合函数，必须 仅仅依赖 选择合适的中间变量 中间变量u，使得y仅仅 选择合适的中间变量 ，使得 仅仅依赖 仅仅依赖于x. 于u，而u仅仅依赖于 ， 仅仅依赖于
用来描述某一点的附近。 用来描述某一点的附近。
数集 { x x − a < δ }称为点 a的 δ 邻域 ,
表示以点 a为中心 、以δ为半径的开区间 . δ δ
x a+δ 记作 U ( a , δ ) = { x a − δ < x < a + δ }. a
a−δ
点 a的去心的 δ 邻域 ,
记作 U (a , δ ) = { x 0 < x − a < δ }.
y
y = f ( x)
y
f ( x2 )
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
o
I
x
图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 图形：单调增加函数的图形从左到右往上升. 单调减少函数的图形从左到右往下降. 单调减少函数的图形从左到右往下降.

第二章 导数与微分.....................................................................................................................23
1
一、导数概念.........................................................................................................................23 1.1、导数定义................................................................................................................23 1.2、常用函数的导数....................................................................................................23 1.3、曲线的切线方程和法线方程 ................................................................................ 24 1.4、函数可导性与连续性的关系 ............................................................................................................................................................................................

2n 2 2n 1
成立.
发散数列 1n 也可能有界， 1 n 1 ；
无界数列 (1)n 2n 一定发散；
有界数列
1 2
1
(1)n
不
一
定
收
敛
，
1 2
1
(1)n
1，但当
n
为奇数时，
1 2
1
(1)
n
0 ；当
n
为偶数时，
1 2
1
(1)n
1.
综上可知：收敛数列必有界.数列有界是数列收敛的
2x 1 7 ，即 m f (x) M .此处 f x 2x 1 在x 3 处有定义，且当 x 3时， f x 的极限值恰好是f 2 .
例 8 由表达式
y
f
(x)
1
x, 0, x
x 0
0
1
的确定的函数，如图 1-26 所示.
O
1
x
图21-526
当 x 0时， f (x) 1 x，则lim f (x) lim(1 x) 1.
x2 x2
求 lim f (x), lim f (x),并由此判断lim f (x) 是否存在.
x2
x2
x2
解 lim f (x) lim (2x 1) 5, lim f (x) lim (x2 1) 5，
x2
x2
x2
x2
即 f (2 ) f (2 ) 5, 由函数 f (x) 在x 2 处极限存在的充要
自变 x x0的变化过程中，函数值 f (x)无限接近于 A，就
称 A 是函数 f (x)当
x
x0
时
极
限
.
记

第一章 函数、连续与极限
正弦函数
y sin x
y sin x
19
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
余弦函数
y cos x
y cos x
20
1. 基本初等函数
第一章 函数、连续与极限
y tan x
的定义域是
上是奇函数（见图1-24）； y cot x 上是奇函数（见图1-25）；
a A 表示 a 不是集 A 的元素（读作 a 不属
于 A ）. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的 集合称为空集，记为 .
3
集合之间的关系及运算
定义 . 设有集合
第一章 函数、连续与极限
A, B ,
记作
若
x A 必有
x B , 则称 A A B.
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 若
注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.
5
1. 集合及其运算 集合的基本运算有四种：并、交、差、补. 设 A, B 是两个集合.
第一章 函数、连续与极限
由同时包含于 A 与 B 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 A 与 B 的交集（简称交），记作 A B ，即 A B {x | x A 且 x B} ； 由包含于
y

y x (α 是常数) Z y x 当 时， 的定义域是 R ； 当 Z 时，y x 的定义域是 R\{0}
(１) 幂函数: （见图1-17）；
1 1 当 时，y x 2 x 的定义域是 [0, ) ； 1 21 1 当 时，y x 2 的定义域是 (0, ) , 2 x

函数值全体组成的数集 W{yy f(x),xD}称为函数的 . 值域
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
代 数
函 数 有理分函数(分式函数)初 等来自函 数函无理函数
函数
数
超越函数
非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)
2、函数的性质
(1) 单值性与多值性:
若 对 于 每 一 个 x D ,仅 有 一 个 值 yf(x )与 之 对 应 ,则 称 f(x )为 单 值 函 数 ,否 则 就 是 多 值 函 数 .
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
1、函数的定义
定义设 x和y是两个变D量是，一个给定的 集．如果对于x每 D 个，数变量 y按照一定法 则总有确定的数对值应和，它则y是 称x的函数， 记作y f(x)．
数集 D叫做这个函数 ， x的 叫定 做义 自域 变量 y叫做因变量．
9、双曲函数与反双曲函数
双曲 si正 n xh ex 弦 ex 2
双曲 co 余 xse h x 弦 ex 2
双曲 tax n 正 sh ix n 切 e x h e x co xs e xh e x
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ;si2 n x 2 h six n co h x ;s co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h 反双曲 ya正 rsi弦 nx;h

高等数学教材第四版下册第一章导数与微分导数是高等数学中的重要概念之一，它对于数学的发展和应用起着至关重要的作用。

在高等数学教材的第四版下册中，导数与微分作为第一章的内容进行了详细的讲解。

1.1 导数的定义与基本性质导数的定义是从函数的变化率的角度出发，描述一个函数在某一点上的瞬时变化率。

在教材中，给出了导数的数学定义，以及导数的基本性质，如导数的线性性质、导数的运算法则等。

1.2 基本初等函数的导数在这一小节中，介绍了常见初等函数（如多项式函数、指数函数、对数函数等）的导数计算方法。

通过具体的例题演示，帮助学生掌握基本初等函数的导数求法。

1.3 高阶导数与隐函数求导高阶导数是导数的进一步推广。

教材中给出了高阶导数的定义，并通过例题解析，帮助学生理解高阶导数的含义和计算方法。

此外，教材还介绍了隐函数求导的方法，旨在提高学生解决实际问题时的综合应用能力。

1.4 微分中值定理与导数的应用微分中值定理是导数的重要应用之一。

在这一小节中，教材详细讲解了拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并给出了证明过程和实例应用，以帮助学生理解和掌握微分中值定理的应用技巧。

第二章积分与不定积分积分是高等数学中的另一个重要概念，也是导数的逆运算。

在教材的第二章中，介绍了积分的定义、性质以及应用。

2.1 定积分的定义与性质定积分是积分的一种形式，通过将函数在一个闭区间上的取值进行累加，来求解函数面积或曲线长度等问题。

教材中给出了定积分的定义，并介绍了一些重要的定积分性质，如线性性质、区间可加性等。

2.2 函数的原函数与不定积分函数的原函数是积分的基础。

在这一小节中，教材详细介绍了函数原函数的概念，以及如何求解函数的不定积分。

通过大量的例题讲解，帮助学生掌握不定积分的求法。

2.3 定积分的计算与应用在这一小节中，教材阐述了定积分的计算方法，如分部积分法、换元积分法等。

同时，教材还介绍了定积分在物理、几何等问题中的应用，培养学生将数学知识应用于实际问题的能力。

高等数学教材同济版目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的图像与性质1.1.3 常用函数的性质介绍1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的运算性质1.2.3 无穷小量与无穷大量1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数1.4 导数与微分1.4.1 导数的定义1.4.2 导数的运算法则1.4.3 高阶导数与隐函数求导1.5 中值定理与应用1.5.1 高尔定中值定理1.5.2 柯西中值定理1.5.3 利用中值定理解决问题第二章一元函数微分学2.1 函数的极值与最值2.1.1 求函数的极值2.1.2 求函数在闭区间上的最大值与最小值2.1.3 求解优化问题的应用2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的单调性与凹凸性2.2.2 求函数的拐点2.2.3 凹凸函数的性质与应用2.3 不定积分2.3.1 不定积分的定义2.3.2 基本积分表与积分法2.3.3 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法2.4 定积分2.4.1 定积分的概念与性质2.4.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的运算法则2.4.3 定积分的几何应用2.5 微分方程2.5.1 一阶常微分方程2.5.2 可降阶的高阶微分方程2.5.3 可分离变量的高阶微分方程第三章一元函数积分学3.1 定积分的计算3.1.1 分部积分法3.1.2 变量代换法3.1.3 参数方程曲线的长度与曲边梯形的面积3.2 定积分的应用3.2.1 曲线的弧长与曲率3.2.2 曲线包围的面积与体积3.2.3 质量、质心与转动惯量3.3 定积分的进一步应用3.3.1 有理函数的积分3.3.2 特殊曲线所围成的面积3.3.3 参数积分与概率密度函数第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.1.1 多元函数极限的定义4.1.2 多元函数的连续性4.1.3 多元函数连续性的充要条件4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与计算法则4.2.2 隐函数与参数方程的偏导数4.3 方向导数与梯度4.3.1 方向导数的定义与计算4.3.2 梯度的定义与性质4.3.3 最速下降问题与等高线的切线方向4.4 多元函数的极值与最值4.4.1 多元函数的极值判定条件4.4.2 用拉格朗日乘数法求极值4.5 重积分4.5.1 二重积分的概念与计算4.5.2 二重积分的计算方法4.5.3 三重积分的概念与计算4.5.4 三重积分的计算方法第五章多元函数积分学5.1 曲线积分5.1.1 第一类曲线积分的定义与计算5.1.2 第二类曲线积分的定义与计算5.1.3 斯托克斯公式与格林公式5.2 曲面积分5.2.1 第一类曲面积分的定义与计算5.2.2 第二类曲面积分的定义与计算5.2.3 高斯公式与斯托克斯公式的应用5.3 多元函数应用题5.3.1 质心与转动惯量5.3.2 弹性势能与电势能5.3.3 均匀分布与热力学第六章空间解析几何6.1 空间直线与平面6.1.1 直线的方程与位置关系6.1.2 平面的方程与位置关系6.1.3 直线与平面的位置关系6.2 球面与圆锥面6.2.1 球面方程与性质6.2.2 圆锥面方程与性质6.2.3 球面与圆锥面的位置关系6.3 空间曲线与曲面6.3.1 参数曲线的切线与曲面的切平面6.3.2 空间曲线的弧长6.3.3 二次曲线与二次曲面的性质6.4 空间向量与平面直线等角问题6.4.1 向量的定义与运算法则6.4.2 空间向量的数量积与夹角6.4.3 平面直线的方向余弦与法向量第七章多元函数级数与泰勒展开7.1 级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 数项级数的收敛与发散7.1.3 数项级数的运算性质7.2 幂级数7.2.1 幂级数的收敛域与收敛半径7.2.2 幂级数的性质与运算7.2.3 幂级数的应用7.3 函数展开成幂级数7.3.1 泰勒级数的定义与性质7.3.2 函数展开成泰勒级数的条件7.3.3 函数展开成泰勒级数的例子7.4 泰勒展开的应用7.4.1 高阶导数与泰勒展开7.4.2 函数的逼近与误差估计7.4.3 三角函数的傅里叶展开这是一个关于《高等数学教材同济版》的目录，它共包含七个主要章节，每个章节又分为若干小节，全面而系统地介绍了高等数学的各个知识点和概念。

∂z ∂z 计算公式 dz = dx + dy ∂x ∂y f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y) ∂f = lim 6、方向导数 、 ρ ∂l ρ→0 ∂f ∂f ∂f = cos α + sin α 计算公式 ∂l ∂x ∂y ∂f ∂f i+ j 7、梯度 gradf ( x , y , z ) = 、 ∂x ∂y 方向导数取最大值方向， 最大值为 gradf ( x , y ) 意义 方向导数取最大值方向，
(
) )
2
,
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
x2 x2 − y2 , 2 2 2 f y (x , y ) = x + y 0,
(
(
)
x 2 + y 2 ≠ 0, x 2 + y 2 = 0.
7
x2 y2 2 x2 + y2 ≠ 0 f ( x, y) = ( x + y 2 ) 3 / 2 P85.7 x2 + y2 = 0 0 证明： 处连续且偏导数存在， 但不可微分。 证明： f ( x , y )在点(0,0)处连续且偏导数存在， 但不可微分。 提示： 提示： x2 y2 y2 x lim f ( x , y ) = lim 2 x=0 = lim 2 ⋅ 2 2 3/ 2 2 2 1/ 2 ⋅ x→0 x→0 ( x + y ) x→0 x + y (x + y ) y→0 y→0 y →0
0 0
z = f ( u, v ), u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ) ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

⑶半开区间 a,b x | a x b，a,b x | a x b ⑷无限区间 a, x | x a， ,b x | a x b，
全体实数集 R 可记作, ．
[a,b]
(a,b)
a (a) b x
O a (b) b x
i 只日光灯． （2）描述法 用一个命题（或一句话）来描述集
合中所有元素的属性，以表示集合的方法为描述法．
例如：上例 A 可表示为 A x x是小于10的正奇数；
C 是方程 x2 4x 3 0的解集：
列举法：C 1,3；描述法：C x x2 4x 3 0 .
如果 a 是集合 A 的元素，记为a A； 如果 b 不是集合 A 的元素，记b A为 (或b A)．
2． 集合的表示法 （1）列举法 将集合中的元素列举出来的表示法． 例 如 ： 小 于 10 的 正 奇 数 所 组 成 的 集 合
A 1,3,5,7,9；如果一个教室里有五只日光灯所组成的 集合 B b1,b2,b3,b4,b5．其中bi i 1, 2,3, 4,5分别表示第
数集字母的右上角标上“+”时，表示该数集内排除 0 与负数的集合，全体实数集合 R, R为排除数 0 的实数集， R 表示全体正实数集．全体整数集为 Z ，全体有理数的 集合为Q ．
（4）空集 不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
例如： x x R且x2 2 0 是空集．
（二）区间与邻域
的元素，称A是B的子集．记为AB或BA
（2）相等子集 若集合A与集合B含有相同的元素，
称A与B相等，记为AB或B A
（3）真子集 若AB且AB，称A是B的真子集， 记为AÖ B

由自变量的对称性知 f y 0,0 0. 又例 z
x2 y2 d( x ) f x 0,0 不存在 dx x 0
y
x
9
二、高阶偏导数
例6
z 3 x 2 y 2 3 y 3 y, x
二阶偏导数 2 z z 6 xy2 , x x 2 x
12


第三节
全微分及其应用
一．全微分的定义 *二．全微分在近似计算中的应用 1．定义 函数 z f ( x, y ), z f ( x x, y y ) f ( x, y ) 称为全增量,
若
z Ax By o( ), 其中 ( x ) 2 ( y ) 2 , A, B仅与x, y 有关，与 x , y 无关，则称函数 z f ( x, y )
4
f x 0 , y 0 y f x 0 , y 0 f y x 0 , y 0 lim y 0 y
存在， 则这个偏导数就是 x , y 的函数, 称为函数 f x , y 对 x 的 z f , , z x , f x x , y . 偏导(函)数。记作 x x 类似定义函数 f x , y 对 y 的偏导(函)数。 记作 若函数 f x , y 在区域 D 内每一点 x , y 处对 x 的偏导数都
2 2







y2 x2

2
,

x2 y2
2z 2z y2 x2 x2 y2 2 0. 2 2 2 2 2 x y x y x 2 y 2


11
1 例8.证明函数 u r r

【最新整理，下载后即可编辑】课时授课计划课次序号：01一、课题：§1.1 映射与函数二、课型：新授课三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；5.会建立简单实际问题的函数关系式．四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1）八、授课记录：九、授课效果分析：第一章函数与极限第一节映射与函数高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.一、集合1. 集合的概念集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作a∉A（或a∈A）．含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用∅表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x10的实根组成的集合是空集．集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N{1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A 记作A {x｜x具有性质p（x）}．例如，正整数集N也可表示成N{n｜n 1，2，3，…}；又如A{（x，y）｜2x2y1，x，y为实数}表示xOy 平面单位圆周上点的集合．2. 集合的运算设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）；若A⊆B，且有元素a∈b，但a∉A，则说A是B的真子集，记作A⊂B．对任何集A，规定∅⊆A．若A ⊆B，且B⊇A，则称集A与B相等，记作A B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B{x｜x∈A或x∈B}．由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B{x｜x∈A且x∈B}．由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即A\B{x｜x∈A但x∉B}．如图11所示阴影部分．图1 1在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集．．X中的任何集A关于X的差集X\A称为A的补集（或余集），记作c A．集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：（1）交换律A∪B B∪A，A∩B B∩A；（2）结合律（A ∪B）∪C A∪（B∪C），（A∩B）∩C A∩（B∩C）；（3）分配律（A∪B）∩C（A∩C）∪（B ∩C），（A∩B）∪C（A∪C ）∩（B∪C），（A \B）∩C（A∩C）\（B∩C）；（4）幂等律A∪A A，A∩A A；（5）吸收律A∪∅A，A∩∅∅．设A i（i1，2，…）为一列集合，则下列法则成立：（1）若A i⊆C（i1，2，…），则1iiA∞=⊆C；（2）若A i⊇C（i 1，2，…），则1iiA∞=⊇C．设X 为基本集，A i（i1，2，…）为一列集合，则1c iiA ∞=⎛⎫⎪⎝⎭1c iiA∞=，1ciiA∞=⎛⎫⎪⎝⎭1ciiA∞=．3. 区间与邻域（1）区间设a和b都是实数，将满足不等式a＜x＜b的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）．即（a，b）{x｜a＜x＜b}，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a∉（a，b）且b∉（a，b）．类似地，称数集［a，b］{x｜a≤x≤b}为闭区间，a和b 也称为闭区间［a，b］的端点，这里a∈［a，b］且b∈［a，b］．称数集［a，b）{x｜a≤x＜b}和（a，b］{x｜a＜x≤b}为半开半闭区间．以上这些区间都称为有限区间．数b－a称为区间的长度．此外还有无限区间：（∞，∞）{x｜∞＜x＜∞}R，（∞，b］{x｜∞＜x≤b}，（∞，b）{x｜∞＜x＜b}，［a，∞）{x｜a≤x＜∞}，（a，∞）{x｜a＜x＜∞}，等等．这里记号“∞”与“∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”．（2）邻域设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集{x｜x0δ＜x＜x0δ}为点x0的δ邻域，记作U（x0，δ）．称点x0为这邻域的中心，δ为这邻域的半径．（如图12）．图1 2称U（x0，δ）{x0}为x0的去心δ邻域，记作o U(x0,δ){x｜0＜｜x x0｜＜δ},,δ){x｜x0δ＜x＜x0}, o U(x0,δ){x｜x0＜x＜x0δ},记o U( x它们分别称为x0的去心左δ邻域和去心右δ邻域．当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），o U(x0)分别表示x0的某邻域和x的某去心邻域。

0,
1,
数.
x0
x 0 的定义域为 D , ，值域W 1,0,1 ，这个函数称为符号函
x0
例 4 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，函数 y x 的定义域为
D , ，值域为整数集 Z ，它的图形在 x 的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整
x
x
x
定理 2 （极限的四则运算法则） 设 lim f x A， lim g x B ，则
x x0
x x0
（1） lim xx0
f
x
g x
A B
lim
xx0
f
x lim xx0
gx ;
（2） lim xx0
f
x g x
AB
lim
xx0
f
x lim xx0
g x ;
(3)
lim
三、主要例题：
例 1 函数 y C ，其中 C 为某确定的常数. 它的定义域为 D , ，值域为W C，它的图形是
一条平行于 x 轴的直线，这个函数称为常数函数.
例2
函数 y
x
x, x,
x
0
的定义域为
D
, ，值域W
0, ，这个函数称为绝对值函数.
x0
2
1,
例3
函数 y sgn x
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
参考教材
第一章 第一节 集合与函数
课的类型
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段

函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分 教学难点