高等数学经济数学习题集含答案定稿版

经济数学试题及答案大全一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为（）。

A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A3. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. y = x^2B. y = x^3C. y = x^4D. y = ln(x)答案：B4. 以下哪个选项是二阶导数（）。

A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)答案：B5. 以下哪个选项是定积分的基本性质（）。

A. ∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dxB. ∫[a,b] f(x)dx = ∫[b,a] f(x)dxC. ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dxD. ∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,b] f(-x)dx答案：A6. 以下哪个选项是多元函数的偏导数（）。

A. ∂f/∂xB. ∂f/∂yC. ∂f/∂zD. ∂f/∂t答案：A7. 以下哪个选项是线性代数中的矩阵运算（）。

A. 矩阵加法B. 矩阵乘法C. 矩阵转置D. 矩阵求逆答案：B8. 以下哪个选项是概率论中的随机变量（）。

A. X = 5B. X = {1, 2, 3}C. X = [0, 1]D. X = {x | x ∈ R}答案：B9. 以下哪个选项是统计学中的参数估计（）。

A. 点估计B. 区间估计C. 假设检验D. 方差分析答案：A10. 以下哪个选项是计量经济学中的回归分析（）。

A. 简单线性回归B. 多元线性回归C. 时间序列分析D. 面板数据分析答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数f(x)=x^3-3x的导数为_________。

答案：f'(x) = 3x^2 - 312. 极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2)/(x^2 + 4x + 3)的值为_________。

第1篇一、引言随着我国人口老龄化问题的日益凸显，生育率下降成为社会各界关注的焦点。

为了深入了解我国生育现状，本报告通过对生育数据的可视化分析，揭示生育率变化趋势、生育结构、生育意愿等方面的信息，为政府、企业和个人提供决策参考。

二、数据来源及处理本报告所使用的数据来源于国家统计局、卫生健康委员会等官方机构发布的生育相关统计数据。

数据时间跨度为2010年至2022年，涵盖全国及各省份的生育率、出生人口、育龄妇女等指标。

在数据处理过程中，我们对原始数据进行清洗、整理和统计分析，以确保数据的准确性和可靠性。

三、生育率变化趋势分析1. 全国生育率整体下降趋势明显从全国层面来看，我国生育率呈现持续下降趋势。

2010年，全国生育率为12.37‰，到2022年下降至7.52‰。

这一趋势表明，我国人口增长速度放缓，老龄化问题日益严峻。

2. 地区生育率差异较大在地区分布上，生育率存在明显差异。

东部地区生育率普遍低于中西部地区。

以2022年为例，东部地区生育率为6.15‰，而中西部地区生育率分别为7.76‰和8.18‰。

3. 城乡生育率差距缩小近年来，我国城乡生育率差距有所缩小。

2010年，城乡生育率分别为12.18‰和12.63‰，到2022年分别为7.23‰和7.81‰。

这表明，农村地区生育率下降幅度大于城市地区。

四、生育结构分析1. 生育年龄结构从生育年龄结构来看，我国生育年龄呈现出“两极化”趋势。

一方面，晚婚晚育现象日益普遍，30岁及以上年龄段的生育比例逐年上升；另一方面，20岁以下年龄段生育比例持续下降。

2. 性别比例我国出生性别比例失衡问题依然存在。

近年来，出生性别比在103-107之间波动。

虽然性别比例失衡问题有所缓解，但整体上仍需关注。

五、生育意愿分析1. 生育意愿总体下降根据相关调查数据显示，我国居民生育意愿总体呈下降趋势。

尤其是80后、90后年轻一代，生育意愿较低。

2. 影响生育意愿的因素影响生育意愿的因素众多，主要包括经济压力、教育成本、工作压力、生育政策等。

《经济数学》作业题第一部分单项选择题1 x2 21．某产品每日的产量是 x 件，产品的总售价是 70x 1100 元，每一件的成本为 (30 1x) 元，则每天的利润为多少？（ 3 A ）A ． 1 x 26 1 2B ． x 6 5 2C ． x 6D ． 5 x 261100 元40x 1100 元30x 40 x 1100 元1100 元30x 1 22．已知 f ( x) 的定义域是 （ C ）[0,1] ，求 ( x a) + a) ，0 a 的定义域是？f f ( x A ． [ a,1 a] B ． [ a,1 a] C ．[ a,1 a] D ． [ a,1 a]sin kx x3．计算 lim （ B ）x 0A ．0 B ．k C ． 1kD ．2 x) x 4．计算 lim(1 x（ C ）A ． eB ． 1e C ． e 21D ．2e2axb, x 3, x 2在x 2 处连续。

（ A ） 5．求 a, b 的取值，使得函数 f ( x)1,bx 2 x 21, b 2 A ． a 1 3, b 2 B ． a 1 1, b 2 3C ． a2 D ．a ,b 2 23 x 2+ x 在 x 6．试求 1 的导数值为（B ）y 3 2 5 2 1 2 A ． B ．C ． 1 2D ．12x ，需求函数 100 ，其中 xx7．设某产品的总成本函数为： C(x) 400 3 xP 2 为产量（假定等于需求量） ，P 为价格，则边际成本为？（ A ．3 B ） B ．3 x 2x C ． 3 12D ． 3x2x4) e dx ? （D）8．试计算( x 2 xA．( x28)e x4 xB．( x28)e x4x c2xC．( x 4x 8)eD．( x2x8)e4x c122( D )9．计算x 1 x dxA．2B．4C．8D．16x1 x211x1x222（ A ）10．计算A．x1x2B．x1x2C．x2x1D．2x2x1121112134113111．计算行列式D=？（ B ）A．-8B．-7C．-6D．-5y x x x y12．行列式=？（ B ）x y yxx y yA．2( x3y3)33B．2(x y )C．2( x33y )32(x 3y )D．x1 x1 x1x2x2x2x3x3x30 有非零解，则=？（C）13．齐次线性方程组A．-1B．0C．1D．2001 09976535763614．设A ，B ，求AB =？（D）104 60 110 84A．104 62 111 80B．104 60 111 84C．104 62 111 84D．1 2 32 2 431 3A 1=？（ 15．设 ，求 D ） A1 32 5 2 13 2 1 A ．3 1 1 3 2 5 2 1 32 1 B ．31 13 2 5 2 1 3 2 1 C ．3 1 13 2 5 2 13 2 1D ．3 116．向指定的目标连续射击四枪，用 A i 表示“第 i 次射中目标”，试用 A i 表示前 两枪都射中目标，后两枪都没有射中目标。

习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式： （1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+． （4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式． 解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图： （1）)ln(x y z -=； （2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=； （4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+； （2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→； （4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--； （6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+； （2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ； 沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ． 由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ． 解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=， 该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=． 根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→； （2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→； （3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→； （4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ． （2）法1： 令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221． 法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ． （3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤， 而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ． （4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性． 解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =； （2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）； （6）z = （7）22y x xyz +=； （8）arctanx yz x y+=-； （9）yx z u =； （10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂． （2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂． （3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+． （4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++． （5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂． （6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂． （7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂， 由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂． （8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-． （9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂， 用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂； 解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu， 所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ． （2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=， 当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性． 解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂， 有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂， 由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=． 习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+； （2）22z x y =+； （3）xyz e =； （4）yxz tanln =； （5）22y x z u +=； （6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++． （3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂， 所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解 因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解 由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解： 设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以 由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值． 解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数： （1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ； （2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ； （3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ． 解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂； （2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--， （2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，； （2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=； （4）(,,)u f x xy xyz =． 解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+． （2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂． 证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂， 所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂． 证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解 令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=， 注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）： （1）),(y x xy f z +=； （2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂． （2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解 由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ： （1）1cos y x y =+； （2）yx y e 2+=； （3）xyy x arctan ln22=+；解 （1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、， 所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+． （2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=． （3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解 令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--， 当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ． 解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂． （1）21z y xz -=； （2）xyz z y x 2222=-+； （3）22)sin(xyz xyz =； （4）yz z x ln =． 解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，． 法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2， 方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂， 方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222， 即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂． （4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=， 方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解： 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ． 证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ． 解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2， 方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解： 令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z， 即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---． 法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数： （1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ． （2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导， 有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ， 得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂． 方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ， 与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=； （2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=； （3）)2(e ),(2y y x y x f x++=； （4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值． 解： 由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，， 因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和 使得z y x u 23=为最大. 解 令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(， 故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解 设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ． 设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、， 根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解 设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。

习题12—1（A ）1. 指出下列各微分方程的阶数：（1）y y x 3='； （2）0d 2d )(3=--y x x x y ； （3）y y x y x '='+''+2)2(； （4）22()yy y y ''''''=-；（5）(5)(3)242cos y yy y x ''+-+=； （6）232d d 2d d P P tt t t+=； （7）0222)4(=+'-''+'''-y y y y y；答案：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）三阶；（5）五阶；（6）二阶；（7）四阶. 2. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解. 如果是解，请指出是通解，还是特解？（1）函数3y x =，微分方程y y x 3='；（2）函数sin 3y C x =，微分方程90y y ''+=；（3）由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =，微分方程(1)()0y dx x y dy +++=； （4）函数xy λe =（其中λ是给定的实数），微分方程0=+'''y y ．解：（1）因为23y x '=，左式233=xy x x y '==⋅=右式，所以函数3y x =是微分方程y y x 3='解．又因为函数3y x =不包含任意常数，所以是特解．（2）因为9sin39y C x y ''=-=-，即90y y ''+=，所以函数sin 3y C x =是微分方程90y y ''+=解，但是由于sin 3y C x =中只有一个任意常数，又因为微分方程是二阶的，所以sin 3y C x =既不是微分方程90y y ''+=的通解，也不是特解，只是解．（3）等式C x y xy =++22两边同时对x 求导，有d d 10d d y y y x y x x+++=，整理得(1)()0y dx x y dy +++=，所以由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =是(1)()0y dx x y dy +++=的解，又C x y xy =++22中含有一个任意常数，而(1)()0y dx x y dy +++=是一阶微分方程，所以Cx y xy =++22是(1)()0y dx x y dy +++=通解．（4）因为x y λe =，则有3e xy λλ'''=，所以33ee (1)e xx x y y λλλλλ'''+=+=+．当1λ=-时，3(1)e 0x y y λλ'''+=+=，则x y λe =是微分方程0=+'''y y 的解，并且是特解；当1λ≠-时，3(1)e0xy y λλ'''+=+≠，则x y λe =不是微分方程0=+'''y y 的解．3. 若函数e xy α=是微分方程0y y ''''-=的解，求的α值．解：由e x y α=得，e x y αα'=，3e xy αα'''=，将它们代入微分方程0y y ''''-=，得32e e (1)=0x x x y y e ααααααα''''-=-=-，所以1α=-，0或1．4．验证下列所给的各函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解.（1）函数21y Cx =+，微分方程22xy y '=-，初始条件(1)2y =； （2）函数22x y C +=，微分方程0yy x '+=，初始条件1)1(=y ；（3）函数12()xy C C x e =+，微分方程20y y y '''-+=，初始条件(0)0y =，(0)1y '=.解：（1）因为2y Cx '=，所以222(1)222xy x Cx Cx y '=⋅=+-=-．又2Cx y =中含有一个任意常数，22xy y '=-是一阶微分方程，所以函数21y Cx =+是微分方程22xy y '=-的通解．由(1)2y =，可得1C =，所以微分方程22xy y '=-满足初始条件(1)2y =的特解是2+1y x =．（2）对隐函数22x y C +=的两边求关于x 的导数，得220x yy '+=，即0yy x '+=．又22x y C +=中含有一个任意常数，0yy x '+=是一阶微分方程，所以隐函数22x y C +=是微分方程0yy x '+=的通解．由1)1(=y ，可得2C =，所以微分方程0yy x '+=满足初始条件1)1(=y 的特解是222x y +=．（3）因为212()e x y C C C x '=++，212(2)e xy C C C x ''=++，所以2y y y '''-+21221212(2222)e 0x C C C x C C C x C C x =++---++=．又因为函数12()x y C C x e =+中含有两个独立的任意常数，而20y y y '''-+=是二阶微分方程，所以12()xy C C x e =+是微分方程20y y y '''-+=的通解．由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有12101C C C =⎧⎨+=⎩，，得01=C ，12=C ，所以微分方程20y y y '''-+=满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解是e xy x =．习题12—1（B ）1．给定微分方程21y x '=+， （1）求过点(1,3)的积分曲线方程；（2）求出与直线13+=x y 相切的积分曲线方程．解：易验证2y x x C =++是微分方程21y x '=+的通解．（1）由曲线2y x x C =++过点(1,3)，有311C =++，得1C =，所求积分曲线为21y x x =++．（2）若曲线2y x x C =++与直线13+=x y 相切，则有213x +=（斜率相等），得1x =． 当1=x 时，4=y ，所以切点为(1,4)，将其代入2y x x C =++，有411C =++，得2C =，所求曲线为22y x x =++．2．将积分方程2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰（其中)(x f 是连续函数）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数)(x f ． 解：将2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰两边同时对x 求导，有()()()sin cos sin f x f x xf x x x x x '=+--+， 即()cos f x x '=，这就是所求的微分方程，容易得到其通解为()cos sin f x xdx x C ==+⎰．将2x π=代入到原方程2()()sin cos x f t dt xf x x x x π=--⎰中，有0()12f π=-，得初始条件为()12f π=，所以有11C =+，得0C =，所求函数为()sin f x x =．习题12—2（A ）1. 求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）32yy x '=； （2）e yy x -'=；（3）y '=； （4）2(3)0ydx x x dy +-=．解：（1）分离变量32d 4d y y x x =，两边积分32d 4d y y x x =⎰⎰，整理得通解为24y x C =+．（2）分离变量e d d yy x x =，两边积分e d d y y x x =⎰⎰，整理得通解为21e 2y x C =+，或写作2ln()2x y C =+．（3）分离变量d y y =，两边积分d y y =⎰，整理得通解为1ln y C =，进而原方程通解为：y Ce =（4）分离变量有2d d 3y x y x x =--，整理得d 111()d 33y x y x x=---，两边积分d 111()d 33y x y x x ==---⎰⎰，整理得通解为11ln (ln 3ln )d 3y x x x C =---+，进而原方程通解为：3(3)x y Cx -=．2. 求下列齐次方程的通解：（1）2xy x y '=+； （2）(2)x y y y '-=；（3）22()d d 0x y x xy y -+=； （4）d (1ln)d 0yx y y x x-+=． 解：（1）将方程改写为2y y x '=+，令u xy=，则x u x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为d 2d u u xu x +=+，即2d d x u x =，积分得2ln ln u x C =+，即2ln yCx x=，所以原方程通解为2ln y x Cx =．（2）将方程改写为2d d -=y x y x ，令v yx =则y vy v y x d d d d +=，于是原方程化为2d d -=+v y v yv ，即y y v d 2d -=，积分得C y v ln ln 2+-=，即2ln yCy x =，所以原方程通解为2lny Cy x =．（3）将方程改写为d d y y x x x y =-，令u xy=，则x u x u x y d d d d +=，于是原方程化为d 1d u u x u x u +=-，即d d xu u x=-，积分得2ln 22u C x =-+，即222ln y C x x =-，所以原方程通解为2y 2x =2(ln )C x -．（4）将方程改写为(1ln )dy y y dx x x =+，令y u x =，则xu x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为(1ln )du u xu u dx +=+，即ln du dxu u x=，积分得1ln ln ln u x C =+，即ln u Cx =（其中1)C C e =±，所以原方程通解为lnyCx x=，或写作e Cx y x =． 3. 求下列一阶线性微分方程的通解：（1）2y xy x '-=； （2）d 2e d x yy x+=； （3）sin cos e x y y x -'+=； （4）2(2cos )d (+1)d 0xy x x x y -+=．解：（1）法一：相应齐次方程为0y xy '-=，即d d y x x y =，积分得211ln 2y x C =+，即22e x y C =（其中1)C C e =±．令22()ex y u x =，代入原方程，有222222ee e2x x x u xu xu x '+-=，即222ex u x -'=，得2222()2ed 2e x x u x x x C --==-+⎰，所以原方程通解为222222(2e )e e 2x x x y C C -=-+=-．法二：()P x x =-、()2Q x x =，方程通解为 ()d ()d [()e d ]e P x xP x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰d d (2e d )e x x x xx x C -⎰⎰=+⎰2222(2ed )e x x x x C -=+⎰2222(2e)e x x C -=-+22e 2x C =-．（2）()1P x =、()2e xQ x =，方程通解为 ()d ()d d d [()e d ]e (2e e d )e P x xP x x x xx y Q x x C x C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰22(2e d )e (e )e e e x x x x x x x C C C ---=+=+=+⎰．（3）()cos P x x =、sin ()exQ x -=，方程通解为()d ()d cos d cos d sin [()e d ]e (e e d )e P x xP x x x x x x x y Q x x C x C ---⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰sin sin (d )e ()e x x x C x C --=+=+⎰．（4）方程化为222cos 11x x y y x x '+=++，则有22()1x P x x =+、2cos ()1xQ x x =+，方程通解为 2222d d ()d ()d 112cos [()e d ]e (e d )e 1xxxx P x xP x xx x x y Q x x C x C x --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰221sin (cos d )+1+1x Cx x C x x +=+=⎰． 4．求下微分方程满足所给初始条件的特解： （1）d 1d 2y x x y -=，(3)1y =； （2）sec y xy x y x '+=，2)1(π=y ； （3）2e xy y x '-=，(0)2y =； （4）ln ln xy x y x '+=，(e)1y =．解：（1）这是可分离变量方程，分离变量为2d (1)d y y x x =-，积分得22(1)2x y C -=-+，即方程通解为22(1)2x y C -+=．由(3)1y =，有3C =，方程特解为22(1)32x y -+=． （2）这是齐次方程secy y y x x '+=，令u xy=，则x u xu x y d d d d +=，于是原方程化为d sec d u u xu u x ++=，即d cos d xu u x=-，积分得1sin ln u x C =-+，即方程的通解为sin eyxx C =（其中1)C C e =±．由2)1(π=y ，可得1C e=，所以方程特解为sin 1e yx x -=．（3）这是一阶线性方程，2()1()e xP x Q x x =-=、，因此，方程通解为d d 2(e e d )e (e d )e [(1)e )]e x xx x x x x y x x C x x C x C -⎰⎰=+=+=-+⎰⎰． 由(0)2y =，有21C =-+，得3=C ，方程特解为xx x y 2e )1(2e 3-+=．（4）原方程可化为11ln y y x x x '+=，这是一阶线性方程，1()ln P x x x =、1()Q x x=，方程通解为11d d 2ln ln 1111[e d ]e (ln )ln 2ln 2ln x x x x x xC y x C x C x x x x-⎰⎰=+=+=+⎰．由(e)1y =，有1121C =+，得12C =，所以方程特解为11(ln )2ln y x x =+．习题12—2（B ）1．求下列伯努利微分方程的通解： （1）yx xy y =-'； （2）2xy y y =-'． 解：（1）1-=n ，令21y y z n==-（21=-n ），则原方程化为x n xz n x z )1()1(d d -=--，即x xz xz22d d =-，该方程通解为 222222d 2d (2e d )e (2e d )e (e )e e 1x x x xx x x x x z x x C x x C C C ---⎰⎰=+=+=-=-⎰⎰．所以，原方程通解为1e 22-=x C y ． （2）2=n ，令yyz n11==-（11-=-n ）， 则原方程化为x n z n x z )1()1(d d -=--，即x z xz-=+d d ，该方程通解为 1e e )e e (e )d e (e )d e (d d +-=+-=-=⎰+⎰-=----⎰⎰x C x C x x C C x x z x x x x x x xx ．所以，原方程通解为1e 1+-=-x C yx ． 2．用适当的变量代换求下列微分方程的通解： （1）22x y x y +=+'； （2）1+-='y x y ；（3）)ln (ln y x y y y x +=+'； （4）xy x y y xy 22tan 2+='．解：（1）令u x y =+2，则x u x x y d d 2d d =+，于是u x u=d d ，分离变量有x uu d d =，积分得C x u +=2，原方程通解为C x x y +=+22． （2）令1x y u -+=，则x u x y d d d d 1=-，于是u x u =-d d 1，即u xu-=1d d ，分离变量得x u u u u d )1(d -=-，或x u u d d )111(2-=-+，积分得x C u u -=-+)1ln (2，所以原方程通解为x C y x y x -=+--++-)11ln 1(2．（3）令u xy =，则x u x y xy d d d d =+，于是u x u x u ln d d =，分离变量得xxu u u d ln d =，积分得Cx u ln ln ln =，即Cx u e =，所以原方程通解为Cxxy e 1=．（4）u x y =2，即xu y =2，则x u x u y y d d 2+='，原方程化为u x xu xu x xu tan d d 2+=+，分离变量有xxu u d d cot =，该方程通解为Cx u ln sin ln =，即Cx u =sin ，所以原方程通解为Cx xy =2sin ．3．求微分方程(0(0)ydx x dy y -=>的通解．解：将方程改写为222)(1d d yxy x y y x x y x ++=++=这是以)(y x x =为未知函数的齐次方程，为此令yv x =，则y v y v y x d d d d +=，于是方程化为21d d v yvy +=，分离变量有yyv v d 1d 2=+，积分得C y v v ln ln )1ln(2+=++，即Cy v v =++21，进而原方程通解为Cx Cy 211+=． 4．求微分方程2d d yx yx y +=的通解． 解：方程改写为y y x y x +=d d ，即y yxy x =-d d ，这是一阶线性微分方程，通解为 2d d )d ()d e(ey Cy y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-．５．设函数)(x f 连续，且不恒为零，若⎰⎰+=120d )(2d )()(t t tf t t f x f x ，求函数)(x f ．解：方程两边同时对x 求导，有)()(x f x f ='，分离变量有x ffd d =，得通解为x C x fe )(=．记a t t tf =⎰12d )(，则a t t f x f x2d )()(0+=⎰，令0=x ，得初始条件a f 2)0(=．用0=x 代入到x C x f e )(=之中，有a C 2=，所以x a x f e 2)(=．由)e 21e (2)d e e(2d e 4d )(102221021221022102t t t t a t t a t t at t tf a -=-===⎰⎰⎰)1e ()e 21e (22210222+=-=a a t ， 得1e 12+=a ，所以1e e 2)(2+=x x f ．６．设连续函数)(x f 满足1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x ，求函数)(x f ． 解：方程1)(d )()(12-=+⎰x f t t t f t f x 两边同时对x 求导，有)()()(2x f xx f x f '=+，令)(x f y =，则方程可以改写为y x y y x +=2d d ，即y yxy x =-d d ，这是一阶线性微分方程，通解为 )()d ()d e(ed d y C y y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-．用1=x 代入到方程1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x 之中，得初始条件1)1(=f ，于是11+=C ，故0=C ，于是2y x =，即所以函数为x x f =)(（注：根据初始条件1)1(=f ，所以不能取x x f -=)(）．习题12—3（A ）1. 求下列各微分方程的通解：（1）2+1y x ''=； （2）2cos e x y x '''=+； （3）20y xy '''-=； （4）2e xy y '''-=；（5）201y y y'''+=-． 解：（1）2311(1)3y x dx x x C '=+=++⎰， 342112111()d 3122y x x C x x x C x C =++=+++⎰．（2）2211(cos e )d sin e 22x xy x x x C ''=+=++⎰， 2211211(sin e 2)d cos e 224x x y x C x x C x C '=++=-+++⎰， 2121(cos e 2)d 4x y x C x C x =-+++⎰221231sin e 8x x C x C x C =-++++． （3）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是d 20d pxp x-=，分离变量为d 2d p x x p =，积分得2ln p x C =+，即213p C x =（其中13)C C e =±，于是原方程降阶为213y C x '=，原方程通解为23121d 3C x C x x C y +==⎰．（4）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是2e xp p '-=，这是一阶线性微分方程，其通解为d d 2111(e e d )e (e d )e (e )e x x x x x x xp x C x C C -⎰⎰=+=+=+⎰⎰，于是原方程降阶为21e e x x y C '=+，所以原方程的通解为221121(e e )d e e 2x x xx y C x C C =+=++⎰． （5）方程不显含x ，令()y q y '=，则y qq '''=，于是2d 0d 1q q q y y +=-，即d 0d 1q q y y+=-，这是可分离变量的方程，先分离变量d d 1q y q y=--，再两边积分，并整理可得1(1)q C y =-．所以1d (1)d yC y x=-，解得12e 1C x y C =+，这就是原方程的通解． 2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解： （1）311y x '''=+，(1)1y =，(1)1y '=，1(1)2y ''=；（2）2y y x '''-=，(0)1y =，(0)0y '=； （3）2eyy ''=，(0)0y =，(0)1y '=．解：（1）13211(1)d 2y x x C x x ''=+=-++⎰，由1(1)2y ''=，得10C =，所以212y x x''=-+； 222111()d 222y x x x C x x '=-+=++⎰，由(1)1y '=，得02=C ，所以21122y x x '=+； 2331111()d ln 2226y x x x x C x =+=++⎰，由1)1(=y ，得356C =，所以方程满足初始条件的特解为3115ln 266y x x =++． （2）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，原方程化为2p p x '-=，此方程通解为d d 1111(2e d )e (2e d )e (2e 2e )e e 22x xx x x x x x p x x C x x C C x C x ----⎰⎰=+=+=--=--⎰⎰，即1e 22xy C x '=--，由(0)0y '=，得12C =，从而2(e 1)x y x '=--，此方程通解为222(e 1)d 2e 2x x y x x x x C =--=--+⎰，由(0)1y =，得21C =-，所以方程满足初始条件的特解为22e 21x y x x =---．（3）方程不显含x ，令()y q y '=，则y qq '''=，于是2e y qq '=，分离变量有2d e d yq q y =，积分得221e yp C =+，即y '=由1)0(='y ，可知道0>'y ，所以y '=再由(0)0y =，(0)1y '=，得01=C ，所以e y y '=．分离变量有e d d yy x -=，积分得2e y x C --=+，由0)0(=y ，得21C =-，于是e 1y x --=-，化简为ln (1)y x =--，这就是方程满足初始条件的特解．习题12—3（B ）1. 求下列各微分方程的通解： （1）()e n ax b yx =+（a ，b 为常数）； （2）0ln=''-''xy y y x ；（3）2)(y y '=''． 解：（1）由于1e d e axax x a =⎰，11d 1t t x x x t +=+⎰，故原方程的通解为 1121211e [()(1)(1)]axb n n n n n n y b n b n b x C x C x C x C a-+---=+++-++++++．（２）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是x p p p x ln='，即xpx p p ln ='，这是齐次方程，令u x p =，则x u x u x p p d d d d +=='，原方程化为u u xux u ln d d =+，分离变量有x x u u u d )1(ln d =-，积分得x C u 1ln )1ln(ln =-，即11e +==x C u xp ，原方程降阶为11e +='x C x y ，原方程通解为⎰⎰+++-==x x C x x y x C x C x C )d e e (1d e 11111112111)1(e 11C C x C x C +-=+． （３）方程既不显含y ，也不显含x ．（方法1）令)(x p y ='，则p y '=''，则2p p ='，分离变量有x ppd d 2=，积分得11C x p -=-，即xC p -=11，原方程降阶为x C y -='11，所以原方程的通解为)ln(d 121x C C x C xy --=-=⎰．（方法2）令()y q y '=，则y qq '''=，于是2d d q qq y =，分离变量有2d d q q q y=，积分得2ln q y C =-，即原方程降阶为2e d d C y xy-=，分离变量为x y y C d d e 2=-，积分得12e C x y C -=--，化简为)ln(12x C C y --=，这就是原方程的通解．2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解： （1）2)(1y y '+=''，(0)1y =，(0)0y '=；（2）3()y y y ''''=+，(0)0y =，(0)1y '=；（3）)(22y y y y '-'=''，(0)1y =，(0)2y '=．解：（1）按不显含y 的方程求解，（注：本题按不显含x 方程求解困难）．令)(x p y ='，则p y '=''，于是21p p +='，分离变量有x ppd 1d 2=+，积分得1arctan C x p +=，即1arctan C x y +='，由(0)0y '=，得01=C ，于是x y tan ='，积分得2tan d ln cos y x x C x ==-⎰，由(0)1y =，得12=C ，所以方程满足初始条件的特解为1ln cos y x =-．（2）令()y q y '=，则y qq '''=，得3d d qqq q y=+，因为0q =不满足初始条件(0)1y '=，所以0q ≠，分离变量有2d d 1qy q =+，积分得1arctan q y C =-，即1tan ()y q y C '==-． 由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有11tan (0C =+），得14C π=，故tan ()4y y π'=-． 分离变量d d tan ()4y x y π=-，积分并整理得2sin ()e 4xy C π-=．再由初始条件(0)0y =，得22C =-arcsin 24x y =+π． （3）这是不含x 的二阶可降阶微分方程，令()y q y '=，则y qq '''=，则方程化为22()yqq q q '=-．因为0q =不满足初始条件2)0(='y ，所以0q ≠，分离变量有d d 21q yq y=-，积分得21ln(1)ln q C y -=，解得211y q C y '==+．由初始条件(0)1y =，(0)2y '=，有121+=C ，得11=C ，故12+='y y ，分离变量有x y y d 1d 2=+，积分得1arctan C x y +=，再由初始条件1)0(=y ，得42π=C ，所以原方程满足初始条件的特解为4arctan π+=x y ，即xxx y tan 1tan 1)4tan(-+=+=π．习题12—4（A ）1．指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性：（1）3x 与2x ； （2）e x 与e xx ； （3）e x-与2ex-； （4）x e 与5e x；（5）sin x 与x 2sin ； （6）x x cos sin 与x 2sin ； （7）e sec x x 与e tan xx ； （8）x ln 与ln x μ（0μ>）．解：（1）因为233x xx =不恒为常数，所以3x 与2x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （2）因为e ex x x x =不恒为常数，所以e x与e x x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （3）因为2e e e x xx ---=不恒为常数，所以e x -与2e x -在区间)(∞+-∞，内线性无关． （4）因为5e 5ex x =恒为常数，所以xe 与5e x 在区间)(∞+-∞，内线性相关． （5）因为sin 22cos sin xx x=不恒为常数，所以sin x 与x 2sin 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （6）因为sin 22sin cos xx x=恒为常数，所以x x cos sin 与x 2sin 在区间)(∞+-∞，内线性相关．（7）因为e tan sin e sec x x xx x=不恒为常数，所以e sec x x 与e tan x x 在区间)(∞+-∞，内线性无关．（8）因为ln 0ln x xμμ=>恒为常数，所以x ln 与ln x μ在区间)0(∞+，内线性相关． 2．验证函数21e x y =，22e xy x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解，并写出该方程的通解．解：因为21e xy =，所以22112e =4e x xy y '''=，，因此 222111444e 8e 4e 0xx x y y y '''-+=-+=，所以21e xy =是440y y y '''-+=的解；同理，22e xy x =是440y y y '''-+=的解．又因为2221e exx y x x y ==不恒为常数，所以函数21e x y =，22e x y x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解．因此二阶线性齐次微分方程440y y y '''-+=通解为2112212()e x y C y C y C C x =+=+．3．通过观察给出微分方程0y y ''+=的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解． 解：0y y ''+=是二阶线性齐次微分方程，改写为y y ''=-，二阶导数与自身呈相反数的函数有1sin y x =，2cos y x =，它们是0y y ''+=的两个解，又21cos cot sin y x x y x==不恒为常数，于是1sin y x =，2cos y x =线性无关，所以方程0y y ''+=的通解为12sin cos y C x C x =+．4．写出下列各二阶常系数线性齐次微分方程的通解：（1）320y y y '''-+=； （2）10250y y y '''-+=；（3）2100y y y '''-+=； （4）02d d 22=-x tx．解：（1）特征方程为2320r r -+=，即(1)(2)0r r --=，特征根为11=r 、22r =（不相等实根），所以方程320y y y '''-+=的通解是212e e x x y C C =+．（２）特征方程为210250r r -+=，即2(5)0r -=，特征根为125r r ==（两个相等实根），所以方程10250y y y '''-+=的通解是512()e xy C C x =+．（3）特征方程为22100r r -+=，由二次代数方程求根公式，得特征根为21322b y i a -===±（一对共轭复根），所以方程2100y y y '''-+=的通解是12(cos3sin 3)e xy C x C x =+． （4）特征方程为022=-r ，特征根为21=r 、22-=r （不同实根），所以方程02d d 22=-x tx的通解是ttC C x 2221e e -+=（注意t 是自变量，x 是因变量）．5．求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1）22d d 340d d y yy t t+-=，(0)2y =，(0)3y '=-； （2）20y y y '''-+=，(0)1y =，(0)2y '=； （3）450y y y '''-+=，(0)1y =，(0)0y '=．解：（1）特征方程为2340r r +-=，即(1)(4)0r r -+=，特征根为11=r 、24r =-，所以方程22d d 340d d y yy t t +-=的通解是412e e t t y C C -=+，且412e 4e t t dy C C dt-=-． 由初始条件(0)2y =，(0)3y '=-，有1212243C C C C +=⎧⎨-=-⎩，，得1211C C =⎧⎨=⎩，，所以方程满足初始条件(0)2y =，(0)3y '=-的特解是4e e t ty -=+．（2）特征方程为2210r r -+=，即2(1)0r -=，特征根为121r r ==，所以方程20y y y '''-+=的通解是12()e x y C C x =+，且212()e x y C C C x '=++．由初始条件(0)1y =，(0)2y '=，有12112C C C =⎧⎨+=⎩，，得1211C C =⎧⎨=⎩，，所以方程满足初始条件(0)1y =，(0)1y '=-的特解是(1)e x y x =+．（3）特征方程为2450r r -+=，由二次代数方程求根公式，得特征根为2r i ==±，所以方程450y y y '''-+=的通解是212(cos sin )e x y C x C x =+，且21221[(2)cos (2)sin ]e xy C C x C C x '=++-．由初始条件(0)1y =，(0)0y '=，有112120C C C =⎧⎨+=⎩，，得1212C C =⎧⎨=-⎩，，所以方程满足初始条件(0)1y =，(0)0y '=的特解是2(cos 2sin )e xy x x =-． 6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）x y y +=+''1； （2）xy y y -=+'+''e 22； （3）223y y y x x '''+-=+-； （4）xx y y e 4=-''.解：（1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程012=+r ，特征根为i r i r -==21、，相应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．这里x x f +=1)(，01==λ、n 不是特征根，因此设b ax y +=*，将其代入到原方程之中，有x b ax +=+1，比较系数得11==b a 、，于是原方程的一个特解为x y +=1*．原方程的通解为x x C x C y Y y +++=+=1sin cos 21*．（2）相应齐次方程为02=+'+''y y y ，特征方程0122=++r r ，即0)1(2=+r ，特征根为121-==r r ，相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e )(21．这里xx f -=e 2)(，10-==λ、n 是二重特征根，因此设x x ax a x y --=⋅=e e 22*，将其代入到原方程之中，化简有22=a ，得1=a ，于是原方程的一个特解为xx y -=e 2*，原方程的通解为212()exx y C C x x e --=++．（3）相应齐次方程为02=-'+''y y y ，特征方程0122=-+r r ，即0)1)(12(=+-r r ，特征根为2/1121=-=r r 、，相应齐次方程通解为2/21e e x x C C Y +=-．这里2()3f x x x =+-，02==λ、n 不是特征根，因此设c bx ax y ++=2*，代入到原方程之中，有224(2)()3a ax b ax bx c x x ++-++=+-，比较系数有12143a a b a b c -=-⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩，，，得112a b c ===、、，于是原方程的一个特解为*22y x x =++．所以，原方程的通解为*/2212e e 2x x y Y y C C x x -=+=++++．（4）相应齐次方程为0=-''y y ，特征方程012=-r ，特征根为1121-==r r 、，相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e e 21．这里xx x f e 4)(=，x x P n 4)(=，11==λ、n 是单重特征根，因此设x x bx ax b ax x y e )(e )(2*+=+=，将其代入到原方程之中，化简有x b ax a 4)2(22=++，比较系数得11-==b a 、，于是原方程的一个特解为x x x y e )(2*-=，所以原方程的通解为*y Y y +=x x x x x C C e )(e e 221-++=-．7．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解： （1）261y y x '''-=-，(0)1y =，(0)3y '=；（2）xy y e 54=+''，(0)0y =，(0)1y '=；解：（1）相应齐次方程为20y y '''-=，特征方程220r r -=，特征根为10r =、22r =，相应齐次方程通解为212e xY C C =+．这里()61f x x =-，1n =、0λ=是单重特征根，因此设*2()y x ax b ax bx =+=+，代入到原方程之中，有42261ax a b x -+-=-，得32a =-，1b =-，于是原方程的一个特解为*232y x x =--． 所以，原方程的通解为*22123e 2x y Y y C C x x =+=+--． 222e 31x y C x '=--，由初始条件(0)1y =，(0)3y '=，有1221213C C C +=⎧⎨-=⎩，，得11C =-、22C =，所以方程261y y x '''-=-满足初始条件(0)1y =，(0)3y '=的特解为2232e 12x y x x =---．（2）相应齐次方程为04=+''y y ，特征方程042=+r ，特征根为i r i r 2221-==、，相应齐次方程通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+=．这里x x f e 5)(=，10==λ、n 不是特征根，因此设xa y e *=，代入到原方程之中，有x x x a a e 5e 4e =+，得1=a 于是原方程的一个特解为xy e *=．所以，原方程的通解为xx C x C y Y y e 2sin 2cos 21*++=+=．122sin 22cos 2e x y C x C x '=-++，由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有1210211C C +=⎧⎨+=⎩，，得11C =-、20C =，所以方程xy y e 54=+''满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解为e cos x y x =-．8. 求常系数线性非齐次微分方程2e xy +y =x+'''的通解.解：相应齐次方程为0='+''y y ，特征方程02=+r r ，特征根为1021-==r r 、，相应齐次方程通解为x12Y C C e -=+．这里x x x f e 2)(+=，将其分为)()()(21x f x f x f +=，x x f 2)(1=、xx f e )(2=．对x y y 2='+''，这里01==λ、n 是单重特征根，因此设bx ax b ax x y +=+=2*1)(， 代入到x y y 2='+''之中，有x b ax a 2)2(2=++，比较系数得21-==b a 、，于是方程x y y 2='+''的一个特解为x x y 22*1-=；对xy y e ='+''，不难观察得一个特解2/e *2xy =．于是，原方程的一个特解为2/e 22*2*1*xx x y y y +-=+=．所以，原方程的通解为*y Y y +=2/e 2e221x xx x C C +-++=-．.习题12—4（B ）1．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是二阶线性非齐次微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的两个解，证明)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解． 证：因为)()(12x x y ϕϕ-=，所以212121()()[()()]()[()()]()[()()]y P x y Q x y x x P x x x Q x x x φφφφφφ'''++''''''=-+-+-)]()()()()([)]()()()()([111222x x Q x x P x x x Q x x P x ϕϕϕϕϕϕ+'+''-+'+''= ()()0f x f x =-=．所以)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．2．已知函数x x x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，xx x x x y -++=e e e )(23都是微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的解，写出该方程的通解．解：)()()(x f y x Q y x P y =+'+''是二阶非齐次线性微分方程，由函数xx x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，x x x x x y -++=e e e )(23都是它的解，根据上题，则x x y y y y 22313e e =-=--、是相应齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解，而它们之比不恒等于常数，于是它们是线性无关的解，所以0)()(=+'+''y x Q y x P y 的通解为212x xY C e C e -=+，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的通解是 22112C e e x x x x y Y y C e e x -=+=+++．3．若二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==，则该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根是21121==r r 、，于是特征方程是0)21)(1(=--r r ，即01322=+-r r ，所以微分方程为032=+'-''y y y ，通解为2/21e C e x x C y +=．4．若二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=，则该二阶常系数线性齐次微分方程有一个特征根2-=r ，并且是二重根，于是特征方程是0)2(2=+r ，即0442=++r r ， 所以微分方程为044=+'+''y y y ，通解为xx C y 221)e C (-+=．5．求下列各常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）x x y y cos 4=+''； （2）xy y -=''+''e ．解： （1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．这里x x x f cos 4)(=，最高多项式次数1=n ，i i =+βα是单重特征根，为此设*22[()cos +()sin ]=()cos +()sin y x ax b x cx d x ax bx x cx dx x =++++，代入到原方程之中，有x x x c b ax x d a cx cos 4sin )224(cos )224(=+--+++，比较系数有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+=，，，，022*******b c a d a c 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====，，，，0110d c b a 于是原方程的一个特解为x x x x y sin cos 2*+=． 所以，原方程的通解是x x x x x C x C y sin cos sin cos 221+++=．（2） 相应齐次方程为0=''+'''y y ，特征方程为023=+r r ，特征根为、021==r r ，13-=r 应齐次方程通解为x C x C C Y -++=e 321．对原方程xy y -=''+''e ，这里10-==λ，n 是单重特征根，为此设xax y -=e *，代入到原方程之中，有x x x x a x a ---=-+-e e )2(e)3(，即x x a --=e e ，得1=a ，于是原方程x y y -=''+''e 的一个特解为x x y -=e *．所以，原方程的通解是*y Y y +=xx x C x C C --+++=e e 321．6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解： （1）x y y sin =+''，(0)1y =，(0)0y '=；（2）x y y xcos e 5='-''，(0)0y =，(0)2y '=．解：（1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．对原方程x y y sin =+''，这里多项式最高次数i i n =+=βα，0是单重特征根，为此设x bx x ax y sin cos *+=，代入到原方程之中，有x x b x a sin cos 2sin 2=+-，比较系数有0212==-b a 、，得021=-=b a 、，于是原方程的一个特解为x x y cos 2*-=．所以，原方程的通解是x xx C x C y Y y cos 2sin cos 21*-+=+=． x xx C x C y sin 2cos )21(sin 21+-+-='，由初始条件(0)1y =，(0)0y '=，得21121==C C 、，所以方程满足初始条件的特解为x x x y sin 21cos )21(+-=． （2）相应齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为1021==r r 、，应齐次方程通解为xC C Y e 21+=．对原方程x y y xcos e 5='-''，这里多项式最高次数i i n +=+=10βα，不是特征根，为此设*(cos sin )x y e a x b x =+，代入到原方程之中，有]sin )2(cos )2[(e x b a x a b x--+-x x cos e 5=，比较系数有⎩⎨⎧=--=-，，0252b a a b 得⎩⎨⎧=-=，，21b a 于是原方程的一个特解为)cos sin 2(e *x x y x -=，原方程的通解是)cos sin 2(e e 21*x x C C y Y y x x -++=+=．)cos sin 3(e e 2x x C y xx++='，由初始条件(0)0y =，(0)2y '=，有⎩⎨⎧=+=-+，，2101221C C C 得1021==C C 、，所以原方程满足初始条件的特解是x x x y e )cos sin 21(-+=．7．若连续函数()y f x =满足0()e ()()d xxf x t x f t t =+-⎰，求()y f x =的表达式．解：0()e ()d ()d xx xf x tf t t x f t t =+-⎰⎰，0()e ()d xxf x f t t '=-⎰，()e ()x f x f x ''=-，于是函数()y f x =满足微分方程e x f f ''+=，初始条件是(0)(0)1f f '==．e xf f ''+=是二阶常系数线性非齐次微分方程，相应齐次方程是0f f ''+=，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为12cos sin Y C x C x =+．对原方程e xf f ''+=，这里10==λ，n 不是特征根，为此设*e xf a =，代入到原方程之中，得21=a ，于是原方程的一个特解为*1e 2x f =． 所以，原方程的通解是*121()cos sin e 2xf x Y f C x C x =+=++． 因为121()sin cos e 2xf x C x C x '=-++，由初始条件(0)(0)1f f '==，有12112112C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2121==C C ，所以所求函数是1()(cos sin e )2xf x x x =++．8. 证明：若()f x 满足方程()(1)f x f x '=-，则必满足方程()()0f x f x ''+=，并求方程()(1)f x f x '=-的解．解：先证()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=．由于()(1)f x f x '=-，则求导可得()(1)(1)[1(1)]()f x f x f x f x '''=--=---=-， 故证明了()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=． 下面求解方程()(1)f x f x '=-．由于方程()()0f x f x ''+=的通解为12()cos sin f x C x C x =+，且()(1)f x f x '=-， 所以1212sin cos cos(1)sin (1)C x C x C x C x -+=-+-，令0x =可得212cos1sin1C C C =+，则112cos1(1sin1)1sin1cos1C C C +==-，从而方程()(1)f x f x '=-的解为11sin1()(cos sin )cos1f x C x x +=+．习题12—5（A ）1. 设在冷库中存储的某种新鲜水果500吨，放置一段时间之后开始腐烂，腐烂率是未腐烂数量的0.001倍，设腐烂的数量为y 吨，则显然它是时间t 的函数，求此函数的表达式． 解：由题意知0.001(500)dyy dt=⨯-， 分离变量得，0.001500dydt y=-，两边积分，并整理得0.001500e t y C -=-（C 为任意常数），再结合(0)0y =，容易求出500C =，所以水果腐烂数量与时间的函数关系式为0.001500(1e )t y -=-．2. 已知某商品的需求量Q （单位：kg ）对价格P （单位：元）的弹性为ln 2EQP EP=-，且当0P =时，需求量600Q =Kg. （1）求该商品对价格的需求函数()Q P ；（2）求当价格1P =元时，市场对该商品的需求量； （3）当+P →∞时，需求量是否趋于稳定？ 解：（1）由已知条件知，ln 2EQ P dQP EP Q dP=⋅=-， 分离变量得ln 2dQdP Q=-， 所以有()2P Q P C -=（C 为任意常数）．再由(0)600Q =得，600C =，所以()6002P Q P -=⨯．（2）由（1）可知，当1P =元时，1(1)6002300Q -=⨯=（kg ）．（3）由()6002PQ P -=⨯可知，当+P →∞时，0Q →，即随着商品价格的无限增大，。

第一章函数习题1－1 1．下列各组函数是否相同？为什么？(1) f( x)=x与g( x)tan(arctan x)(2) f ( x)x2 ,x0x3 ,x0与x3， x0 g( x)x2， x(3)?( x)x与g(x)1 x(4) yf ( x)与s f (t)解 (1) 因为对x∈ (- ∞, +∞ ), f ( x)与g (x) 都有定义,且f (x) x tan(arctanx)g( x)所以两个函数相同 .(2)因为两个函数的对应规则不同 ,所以两个函数不同 .xf ( x)D1D( f )x R且x0}(3) 因为函数x 的定义域为而函数 g( x) 的定义域为D2D( f )R所以由 D1≠D2知,两个函数为不相同的函数 .(4)两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同.2．求下列函数的定义域:(1)y x21(2)y lg(3x)x11x ,x0(3)y 1 x(4)y x,0x2x21x2,2x解（ 1）由偶次根式的定义可知 , x应满足关系式x210故函数的定义域为D( f ) ( , 1)(1, ).3 x 0(2）由关系式x 1 0解得 1 x3 .故函数的定义域为D( f )(1, 3) .(3) 要使该函数有意义 ,x应满足关系式1 x 21 x 0解得x1, x1.故函数的定义域为D ( f )= ( 1,1) (1, ) .（4）因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集，故D( f)=( - ∞ , 0)∪[0, 2] ∪ (2, +∞ )=( - ∞ , +∞).3.已知 f ( x)1 ,求 f (0), f (2), f (x), f (2 x) 1, f ( 12 ), f (2 h),xx f ( x h), f (x h)f ( x) 其中 h0.hf (0)11解 当 x022.=0时,f (2)1 1当 x22 4 .=2时,f ( t)1f (1当x2 t ,x)= - t 时 ,所以2 x .f (2t)1f (2 x) 12x 3 当x2( x 1) .2t2, 所以 2 t 时 ,1 1 t1f ( )1 2t1 xt1 2当 x = t(t ≠ 0)时 ,tf ( )1 2 x ., 所以xf (2 h)1当x4 .2h时 ,hf (th)1f ( x h)1 当xtx h 2 .h时 ,th 2, 所以f ( x h)f ( x)1故h( xh 2)( x 2) .4．求下列函数的值.f ( x)x ，x1, 求f (0), f (1 a), f ( 1.5). 12x，x1 (1)3f ( arcsin1 (2) f ( x)sin x ，求).2解(1) 当x=0 时, f(0)=1.当 1 + a < 1 时 , 即 a < 0 时, f (1 a) 2 a.当 1 + a > 1, 即 a < 0 时 ,f (1 a) 2a 5f (1 a)2 a, a0 52a, a0即当x= - 1.5<1 时 , 有 `f ( 1.5)0.5 .(2) 因为f (x)sin x ，f ( arcsin 1111 )sin( arcsin )sin(arcsin).所以22225.求函数的定义域:(1)若f ( x)的定义域是 [- 4， 4]，求f (x2)的定义域 ;(2) 若f ( x)的定义域是 [0， 3 a] (a > 0) ，求f ( x a) f (x a)的定义域;(3)若f ( x)的定义域是 [0， 1]，求f (lg x)的定义域 ;(4)若f (1 x)的定义域是 [ - 1， 1],求f ( x)的定义域 .解 (1) 因为f ( x)中的x满足- 4≤x≤4所以 f ( x2 ) 中的 x 2必须满足4x 24,即2x2 .故函数f ( x2)的定义域是 [- 2, 2].(2) 欲使函数有定义 ,须且只需使 f ( x a) 和 f (x a)同时有定义 , 于是0x a3a0)( a即a≤x≤ 2a.故函数 f ( x a) f (x a)的定义域为 [a, 2a].(3)因为 f (lg x)中的lg x,必须满足0 lg x 1,即 1≤x≤ 10.故函数 f (lg x)的定义域为 [1,10].(4)由f (1 x)的定义域为 [ - 1， 1], 得 - 1≤x≤ 1即0≤1 x≤ 2故函数f ( x)的定义域为[0, 2].6.设函数f (x)对一切正数都满足方程 f ( xy) = f ( x) + f ( y) .试证下列各式：（1） f (1)0f (1) f (x)（ 2）xf ( x) f ( x) f ( y)（ 3）y证(1) 在已知方程中 ,令x =1, y=1,得f (1) f (1) f (1) 2 f (1)即f (1)0 .y1 f (1) f ( x) f ( 1 ) 0(2) 在已知方程中 ,令x, 则xf (1)f ( x)即x.1(3) 在已知等式中 ,x不变 ,而将 y 用y代换 ,得f ( x) f ( x) f (1) y y将 (2) 式代入上式 ,得f ( x) f ( x) f ( y)y.f ( x)x kkx 2 2 kx 2的定义域是 (- ∞， +∞ ).7. 当为何值时f ( x)x解当k2,此时函数的定义域为 (- ∞， +∞ ).时,当k0 时,只要kx22kx20 ,即(2k) 24 2k 0,也就是 0< k <2 时 ,函数的定义域为 (- ∞， +∞ ).f ( x)x k2 2 kx 2 的定义域是(-∞，+∞).故当 0≤ k <2 时 , 函数kx习题1－21.判断下列函数的单调性：(1)y(1)x(2)y log2x21 x2(3)y x ln x(4)y解 (1)y (1)x1 1.对于指数函数2，底数 2，故是单调减函数 .(2)对于对数函数ylog 2x,底数2 1,故是单调增函数.(3) 因为y x ln x的定义域为（0，+∞）,对于x 1, x2（0，+∞），当x1<x2时，有f ( x1 ) f ( x2 )x1ln x2x2ln x2x1x2ln x1 x2x1x20,ln x10f ( x2 ) 0由假设知x2，得f ( x1)即 f (x1 )f ( x2).所以y xln x在（ 0，+∞）上是单调增函数 .（4）因为yx2在（- ∞， 0）上是减函数，而在（0，+∞）上是增函数，所以y 1 x2在（ - ∞， 0）上为增函数，而在（0， +∞）上为减函数 .2.指出下列函数的奇偶性：(1) y x33xa x a x(3) yx(5)y x sin 1 , x x解(1) 因为对x(2) y lg1x1x 11x(4) y1x， x01x， x0 0(6) y x cos x sin x.（ -∞， +∞），均有f ( x) ( x)33( x)(x33x) f ( x)所以该函数为奇函数.（2）因为x ( 1,1),均有f ( x)lg 1x lg1x f ( x) 1x1x所以该函数为奇函数.（3）因为对于x（-∞，0）∪（0，+∞）,均有f (x)a x a x a x a xf ( x)x x所以该函数为偶函数 .（4）因为当x >0,即x 0 时，有 f (x)1(x) 1x ,而当 x ≤0,即- x ≥0时，有 f ( x)1(x)1x ,f (x) f ( x)1x,x01x,x0于是所以该函数f ( x)为偶函数 .（ 5）因为x（ - ∞， 0）∪（ 0， +∞），均有f (x)( x)sin( 1 )xsin 1f ( x)x x所以该函数f ( x)为偶函数 .(6) 因为x （-∞,+∞）,均有f (x)( x) cos(x) sin(x)x cos x sin x( x cos x sin x) f (x)所以该函数f ( x)为奇函数 .3. 下列函数是否为周期函数，如果是周期函数，求其周期.（ 1）f ( x)=|sin x |(2)f (x)= x cos xf ( x T) f ( x)T 之最小正值为π因.f ( x)是以 π为周期的周期函数 .(2) 设 f ( x T) f (x) , 则 ( x T ) cos(x T )x cos x当 x = 0 时 , 由 TcosT = 0, 得 T 1 = 2 ;当 x = 2 时 , (T)cos(T ) 0,得 T 2 .由2 2由 于f ( x)不 满 足xD ( f ),T 均 为 唯 一 正 值 , 即 T 随 x 的 变 化 而 变 , 所 以f ( x)x c o sx不是周期函数 .4. 证明函数 ( x)x2x 1在 (0,)上是单调增函数 .证 因为x 1 , x 2(0, )且 x 1x 2 均有f ( x ) f ( x ) (x 2x1) ( x 2x2 1)12112( x 1 x 2 )( x 1 x 21)而 x 1 x 2 0时, x 1x 2 1 0, 所以 f (x 1 )f ( x 2 ) 0,即f ( x 1 ) f ( x 2 )故f (x)为单调增函数 .5.f ( x) 为定义在（ - 1，1）上的奇函数，若 f (x)在（ 0， 1）内是单调增函数 , 证明在（- 1， 0）内也单调递增 .证对于 x 1, x 2（- 1， 0） ,设 x 1< x 2，由已知得f ( x 1 ) f ( x 1 )f ( x 2 )f ( x 2 )且 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ,其中 - x 1, - x 2（ 0，1） .则f ( x 1 )即f ( x 1 )f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) [ f ( x 1 ) f ( x 2 )] 0f ( x 2 )故f (x)在（ - 1， 0）内也单调递增 .6 * . 证明 y x cos x不是周期函数 .证 因为 D( ) = [0,+ ∞ ) , 不是以原点为中心的对称集合,所以 f ( x)x cos x 不是周期函数 .f ( x)17. x22x 5 在其定义域内是有界的 .证明函数证因为 x 22x5 (x 1)2 4 4112 2x54所以x故由函数有界的定义知，函数f ( x)在其定义域内是有界的 .8. 设函数 f ( x) 的定义域为（ - ∞， 0）∪（ 0， +∞）且满足af ( x) bf ( 1) cx x ,其中 a ， b ，c 均为常数， |a| ≠|b| . 证明 f ( x) 为奇函数 .1证在已知等式中，用x 代替 x , 得1)b f( x)c xa f(xaf (x)bf ( 1) cx xaf ( 1) bf ( x) cx解方程组x, 得( a bx 2 )c12(a 2b 2)f ( x)xa 2bf ( (a bx 2 )c1 (a bx2 ) cf ( x)x)xa2b2x( a 2 b 2 ) 因为所以f (x)为奇函数 .9. 证明定义在对称区间上的任意函数可以写成一个偶函数和一个奇函数之和 .证 设f ( x)是定义在对称区间 I 上的任意一个函数 , 而f ( x) 2 f ( x) f ( x)f ( x)f ( x)f ( x)f ( x) f ( x)222f ( x) f ( x), F 2 (x)f ( x)f ( x) ( x I )则令F 1 (x)22因为 xI ,均有x I , 且F 1( f ( x) f (x)F 1( x)x)2F 2( f ( x)f ( x)F 2 ( x)x)2即 F 1 ( x)与 F 2 ( x)分别是对称区间 I 上的偶函数与奇函数, 且f ( x)F 1 ( x)F 2 ( x)故函数f ( x)可表示为偶函数F 1( x )与奇函数 F 2( x )之和 .习题 1－31． 1． 求下列函数的反函数及其定义域：(1) yx 2(2) y1 lg( x 1)x 2(3) y24 x 2 ,0 x 2 y5x12x2,2 x(4)4解 （ 1）由所给函数解出 x , 得x2( y 1)y 1y2( x 1) 1)交换 x, y 得 , 反函数x1( x.(2) 由已知函数解出 x ,得x 10( y 1) 1交换 x, y 得 , 反函数 y1 0(x 1 )1(-∞ , +∞).(3) 当 0≤ x ≤ 2 时 , 由y2 4x 2 (0 y 2) 得x4 yy 2当 2< x ≤ 4 时 , 由y 2x 2 (2 y6) ,得1x( y 2) 2所以原函数的反函数为y f 1( x)4x x 2 ， 0 x 21( x2) ， 2x62其定义域为 [0，6].x1 ( y 1)（4）由所给函数解出 5x, 得11) (,)交换 x, y 得 , 反函数y( x5.2． 2． 下列函数是由那些简单函数复合而成的.(1) y 1 sin x(2) ysin 2 x(3) ye cos 2 x(4) y (1 lg x) 3解（ 1）该函数是由幂函数y u ,u1 v,以及正弦函 数 v sin x复合而成的 .（ 2）该函数是由幂函数 y = u 2与正弦函数 usin x 复合而成 .（ 3）该函数是指数函数 y e u , 幂函数 uv 2 及余弦函数 vcosx复合而成的 .(4) 该函数是由幂函数y u 3 , 对数函数u1lg x复合而成 .3. 已知f ( x)x 2 , g( x) 2x , 求f [ g( x)]，g[ f ( x)], f [ f ( x)], g[ g( x)].解 由复合函数定义 ,得f [g ( x)] (2 x )2 4x , g[ f ( x)] 2 x 2f [ f (x)]( x 2 ) 2 x 4 , g[g ( x)]2 2x。

1经济数学基础综合练习及参考答案第一部分 微分学一、单项选择题 1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（1->x 且0≠x）． ．2．若函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)2(xf 的定义域是(]0,(-∞ )．3．下列各函数对中，（ x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g ）中的两个函数相等．4．设11)(+=xx f ，则))((x f f =（11++xx）．5．下列函数中为奇函数的是（ 11ln+-=x x y）．6．下列函数中，（)1ln(-=x y ）不是基本初等函数．7．下列结论中，（ 奇函数的图形关于坐标原点对 ）是正确的． 8. 当x →0时，下列变量中（xx 21+ ）是无穷大量． 9. 已知1tan )(-=xxx f ，当（ x →0 ）时，)(x f 为无穷小量.10．函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( 1)．11. 函数⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 在x = 0处（右连续 ）．12．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ 21- ）．13. 曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（y =x ）．14．若函数x x f =)1(，则)(x f '=（-21x ）．15．若xx x f c o s )(=，则='')(x f （ x x x cos s i n 2-- ）．16．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（e x）．17．下列结论正确的有（ x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 ）．18. 设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（--pp32 ）．二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设函数1)(2-=u u f ，xx u 1)(=，则=))2((u f 43-．5．设21010)(x x x f -+=，则函数的图形关于 y 轴对称．6．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.6 ．7．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ． 8. =+∞→xx x x sin lim1 .9．已知x x x f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量．10. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞内连续，则=a 2 .11. 函数1()1e xf x =-的间断点是0x =.12．函数)2)(1(1)(-+=x x x f 的连续区间是)1,(--∞),2(∞+．)1处的切线斜率是(1)0.5y '=14．函数y = x 2 + 1的单调增加区间为(0, +∞)15．已知x x f 2ln )(=，则[f =0 ．16．函数y x =-312()的驻点是x =1.17．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p-．18．已知需求函数为pq 32320-=，其中p 为价格，则需求弹性E p =10-p p.三、计算题（答案在后面）1．423lim222-+-→x x x x 2．231lim21+--→x x x x 3．x → 4．2343limsin(3)x x x x →-+- 52)1tan(lim 21-+-→x x x x 6．))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x 7．已知y xxx cos 2-=，求)(x y ' ． 8．已知)(x f x x x ln sin 2+=，求)(x f ' ． 9．已知x y cos 25=，求)2π(y '；10．已知y =32ln x ，求y d ． 11．设x y x5sin cos e +=，求y d ．12．设xx y -+=2tan 3，求y d ．13．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．14．已知xx y 53e ln -+=，求)(x y ' ． 15．由方程2e e )1ln(=++xy x y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '．16．由方程0e sin =+yx y 确定y 是x 的隐函数，求)(x y '.17．设函数)(x y y =由方程y x y e 1+=确定，求0d d =x xy．18．由方程x y x y =++e )cos(确定y是x 的隐函数，求y d ．四、应用题（答案在后面） 1．设生产某种产品x个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p =-100010（q 为需求量，p 为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大？3．设某工厂生产某产品的固定成本为50000元，每生产一个单位产品，成本增加100元．又已知需求函数p q 42000-=，其中p 为价格，q 为产量，这种产品在市场上是畅销的，试求：（1）价格为多少时利润最大？（2）最大利润是多少？ 4．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？5．某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 6．已知某厂生产q件产品的成本为C q q q ()=++25020102（万元）．问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？ 三、极限与微分计算题（答案） 1．解423lim222-+-→x x x x =)2)(2()1)(2(lim2+---→x x x x x =)2(1lim2+-→x x x = 412．解：231lim21+--→x x x x =)1)(2)(1(1lim 1+---→x x x x x=21)1)(2(1lim1-=+-→x x x3．解l ix →0x → =xx x x x 2sin lim)11(lim 00→→++=2⨯2 = 44．解 2343lim sin(3)x x x x →-+-=3(3)(1)lim sin(3)x x x x →---=333limlim(1)sin(3)x x x x x →→-⨯--= 25．解)1)(2()1tan(lim2)1tan(lim121-+-=-+-→→x x x x x x x x1)1tan(lim21lim11--⋅+=→→x x x x x 31131=⨯= 6．解))32)(1()23()21(lim 625--++-∞→x x x x x x =))32)(11()213()21(lim 625xx x x xx --++-∞→=2323)2(65-=⨯-7．解：2y '(x )=)cos 2('-xx x =2cos sin 2ln 2x xx x x --- =2cos sin 2ln 2x xx x x ++8．解xx x x f x x 1cos 2s i n 2ln 2)(++⋅=' 9．解 因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y10．解 因为 )(ln )(ln 3231'='-x x y331ln 32)(ln 32xx x x ==- 所以x xx y d ln 32d 3=11．解 因为)(cos cos 5)(sin e4sin '+'='x x x y xx x x xsin cos 5cos e4sin -=所以x x x x y xd )sin cos 5cos e(d 4sin -=12．解 因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x xx--=所以 x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=13．解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x2cos 22ln 2sin 2x x x x --=14．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--=15．解 在方程等号两边对x 求导，得 )e ()e (])1ln([2'='+'+xy x y0)(e 1)1ln(='+++++'y x y xyx y xyxy xyy xyy x x e 1]e )1[ln(-+-='++故]e )1)[ln(1(e )1(xyxyx x x y x y y +++++-='16．解 对方程两边同时求导，得0e e cos ='++'y x y y yyyyy x y e)e (cos -='+)(x y '=yyx y e cos e +-.17．解：方程两边对x 求导，得 y x y yy '+='e eyy x y e1e-='当0=x 时，1=y所以，d d =x xye e 01e 11=⨯-=18．解 在方程等号两边对x 求导，得)()e (])[cos('='+'+x y x y1e ]1)[sin(='+'++-y y y x y)sin (1)]sin(e [y x y y x y++='+-)sin(e )sin(1y x y x y y +-++='故x y x y x y yd )sin(e )sin(1d +-++=四、应用题（答案）1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为：x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C5.1861025.010100)10(=+⨯+=， 116105.0)10(=+⨯='C（2）令25.0100)(2=+-='xx ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为 qp =-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -． （2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q ()=1001102qq --(60q +2000)= 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40-0.2q令'L q ()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3．解 （1）C (p ) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p ) =250000-400pR (p ) =pq = p (2000-4p )= 2000p -4p 2利润函数L (p ) = R (p ) - C (p ) =2400p -4p 2 -250000，且令)(p L '=2400 – 8p = 0得p =300，该问题确实存在最大值. 所以，当价格为p =300元时，利润最大.（2）最大利润1100025000030043002400)300(2=-⨯-⨯=L （元）．4．解 （1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）5. 解 因为 C q ()=C q q ()=05369800.q q++（q >0）'C q ()=(.)05369800q q++'=0598002.-q令'C q ()=0，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2=-140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C ()140=05140369800140.⨯++=176 （元/件） 6．解 （1） 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq ++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=2501100q ，得q 1=50，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．。

第一章答案§1.1.1 --§1.1.3函数、函数的性质、初等函数一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1.2511x x -+;2. 1;3. []0,1三、计算下列函数的定义域。

1. (][),23,-∞⋃+∞;2. ()(),03,-∞⋃+∞;3. [)()2,33,⋃+∞;4. []0,1 四、(1)2,sin ,ln y u u v v x ===.(2) 2,ln ,arctan ,2y u u t t v v x ====.五、 ()sin 1,1sin 1,01sin 3,0x x f x x x x x +≥⎧⎪=-≤<⎨⎪--<⎩§1.2.1 数列的极限一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1.12;2. 12;3. 13三、计算下列极限1. 12. 2. 13. 3. 1. 4.423⎛⎫⎪⎝⎭. 5. 10 §1.2.2 函数的极限一、选择题1.C;2.D;3.D 二、填空题1. 4,2a b ==-;2. 1;3.三、计算下列极限1. 2. 2. 6 . 3. 2x . 4.13. 5. 1 §1.2.3---§1.2.5 无穷小与无穷大;极限的运算法则和极限存在准则；两个重要极限 一、选择题1.AB;2.C;3. C 二、填空题1. 1-;2.αβ;3. 35;4. 0 三、计算下列极限1. 6e -. 2. 2032⎛⎫ ⎪⎝⎭. 3. 6e .4.. 5. 2e§1.2.5--§1.2.6 两个重要极限；无穷小的比较 一、选择题1.C;2.B;3.A 二、填空题1.12;2. 0k >;3. 高. 三、计算下列极限1. 1. 2. 14. 3. 2e -. 4. 12e -. 5. 2e§1.3.1 函数的连续性与间断点一、选择题1.B;2.C;3.A 二、填空题1. 0,1x =±;2. ln 52;3. ln 2 三、求下列函数的不连续点并判别间断点的类型。

经济数学(定积分习题及答案)定积分习题6－12y x1.利用定积分的定义，计算由抛物线、直线x = a, x = b及x轴所围的图形的面积S(0 a b).解将区间a,b n等分，则每个小区间的长均为xib anb ab a a (i 1),a i nn ,取小区间的右于是第i个小区间为b ab a2a if( ) (a i)(i 1,2, ,n)iin，则n端点为i，即a(b a)(b a)22b aSn f( i) xi (a 2i i)2nn ni 1i 1因为nnb a n2b an(b a)2a 2ai n i 1ni 1n22 ii 1 nb a 2b an(n 1)(b a)2n(n 1)(2n 1)na 2a 2nn26n2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1)(b a) a 2n6n而2a(b a)(n 1)(b a)2(n 1)(2n 1) limSn lim (b a) a n n n6n2 2(b a)2(b a) a a b a311(b a)(a2 ab b2) (b3 a3)33b213xdx (b a3). 3所以a2.利用定积分的定义，计算下列积分：(1)1xdx(2)1xedx0解(1) 将区间0,1 n等分，则每个小区间的长均为nxi1n，于是第i 1i ii, f( ) (i 1,2, ,n) nn iix iinn，则i个小区间为, 取小区间的右端点为，即n n 1 i11nSn f( i) xi =2 i ＝ni 12n2 i 1i 1nn因为n(n 1)1limSn lim 2n n 2 2n两端取极限，得n所以112.经济数学(定积分习题及答案)(2) 将区间0,1n等分，则每个小区间的长均为xi1n，于是第i个i 1i in,n i, 取小区间的右端点xi为i，即n，则小区间为f( i)i en(in1,2, ,n)i111 1nn1 n12Sn f( i) xi e (e) (en) (en)nni 1n i 1 因为两端取极限，得1e(e 1)n1en 11en1nlimSn lim1n n(e 1) 11enlim1en(e 1) 1nn1ene 11xedx0e 1所以 .2.利用定积分的几何意义，说明下列等式：(1)cosx 4 (2)dx = 023 2(3)2sinxdx 022(4)2cosx2 2dx=220cosxdx解(1) 因为单位圆x y 1在第一象限的方程为y所以根据定积分的几何意义知故x为单位园在第一象限的面积.x4.2(2) 因为当x32时，曲线y cosx在x轴的上方和下方的曲边梯形的面积相等.所以根据定积分的几何意义知，(3) 因为当cosxdx 023 2.2x2时，函数y sinx在x轴上方和下方的曲边梯形的面积相等，所以根据定积分的几何意义知，sinxdx 02 2.2,2 y cosx 上为偶函数，其图形关于y轴对称且(4) 因为在经济数学(定积分习题及答案)都在x轴的上方，所以根据定积分的几何意义知，4.将下列极限表示成定积分：111lim( )2n 14nn n nnnn(1)2 cosxdx 2 02cosxdx2.1(2) n n111214nn n n nnn 解（1）因为lim1 1111222n2 n1 ()1 ()1 () nnn1i1 ()2n111lim( )2n 14nn n nnnn 所以1n ni 1lim1111 dx20n in1 xi 11 ()2n.n1y n（2）令1lny ln(n 1) ln(n 2) ln(2n) lnnn 1ln(n 1) ln(n 2) ln(2n) nlnnn1 12n ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) n nnn n11ln(1 )nn i 1i11limln(1 ) limlnyn nn＝0ln(1 x)dx i 1因为n ＝limy en lnyy e而，所以nlimlnyln(1 x)dx e 01n.习题6－21.确定下列定积分的符号：经济数学(定积分习题及答案)(1) 12xlnxdx(2)401 cos4xdx2sinx xcosx1dx|x|dx(3) 0cosx xsinx (4) 1解(1) 因为被积函数f(x) xlnx在[1,2]上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0，1所以由性质6知,21xlnxdx 0.1 cos4x 0, f(x)2(2) 因为被积函数在4 上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0，41 cosx4dx 0. 02所以由性质6知,sinx xcosxf(x)cosx xsinx在0,1 上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等(3) 因为被积函数sinx xcosxdx 0. 0cosx xsinx于0，所以由性质6知,(4) 因为被积函数f(x) |x|在[-1,1]上连续，且f(x) 0，但f(x)不恒等于0，所以由1性质6知12.不计算定积分，比较下列各组定积分值的大小.(1) 0(3)11|x|dx 0.与01x2dx2x3dx2(2)3x2dx4与33xdx01lnxdx与1ln2xdx3lnxdx与34ln2xdx2320,1 x x x(1 x) 0，即x2 x3 解(1) 因为在上，所以1xdx x3dx.13223(2) 因为在1,3 上，x x x(1 x) 0，即x x2xdx xdx所以 .12132(3) 因为在1,2 上，0 lnx 1,lnx lnx lnx(1 lnx) 0 2即lnx lnx所以21lnxdx ln2xdx.22lnx lnx lnx 1 lnx 0 [3,4]1 lnx (4)因为在上，，2即lnx lnx所以43lnxdx ln2xdx.3421 sinx dx40x2 xedx23.估计下列积分值：(1) 1(3)4x21dx5 4arctanxdx(4)经济数学(定积分习题及答案)2解(1) 因为被积函数f(x) x 1在区间1,4上单调递增,所以在区间1,4上有2 x2 1 17，即1 x 4故由定积分的估值定理，得641x21dx 51(2) 设被积函数f x 1 sin2x'，则由f x sin2x 0，得驻点x1 ,ff f 为2x2 2,f 1,且24 2,5 3 42即1 1 sin2x 25 故由定积分的估值定理，得41 si2nxxd 24.x (3) 设被积函数f(x) xarctanx，f'因为(x) arctaxn x1 x2 ，0则f(x )在上单调递增，x时，f xarctanx fxarctanx即故由定积分的估值定理，得9arctaxnx d2.30x2 x(4) 因为2edx 2ex2xdx，设被积函数f(x) ex2 x，x 0,21x) 2x 1 2令f'(x 0，得驻点为x 11 e x42,且f(2) e,f(0) 1,f(2) e2，所以当x 0,2 时，e14ex2xe2 2故由定积分的估值定理，得2e 14ex2xdx 2e2即2e20x2 142exdx 2e.4.证明下列不等式：x(1)1(2) 2 1x 6x 证（1）0,2而0 cos2x 1所以当经济数学(定积分习题及答案) 1所以x 0, 22故由定积分的估值定理，得fxf(x)在0,1 上连续，且（2）令f'(x)122f(0) f(1) ,f() x'233，且令f(x) 0，得驻点1所以2x [0,1]11 x26故由定积分的估值定理，得5.求下列极限：（1）n 01lim1xnexexdx1nxlim2（2）n 01 xdx0,11 ex，则f(x)在解(1) 设被积函数（0，1）内，至少存在一点ξ，使得f(x)上连续，由积分中值定理知，在区间xnex nedx (0,1) 01 ex1 e nx1xe nelim x lim 0n 01 exn 1 e 故 .1xn 1f(x) 1,则f(x)在1 x2 上连续，由积分中值定理知，在区间(2) 设被积函数10,2 内，至少存在一点ξ，使得1xn2x01 x n1()12故6*. 设f(x), g(x)在[a,b]上连续，求证：(1) 若在[a, b]上，f(x) 0且ablimxn nx lim 0n 1 1 x.f(x)dx=0，则在[a, b]上, f(x)≡0;b(2) (2) 若在[a, b]上, f(x) g(x) 且a必有f(x)≡ g(x)解（1）用反证法.f(x)dx g(x)dxab，则在[a, b]上，经济数学(定积分习题及答案)若f(x)不恒等于为零，则至少存在一点x0 [a, b]，使得f(x0) 0.不妨假设f(x0)＞0，且x0 (a, b)，则由f(x)在[a , b]的连续性知，x x0limf(x) f(x0) 0f(x)，根据定理2.3得推论2知，在点x0的某个邻域内，就必有1f(x0) 02.于是由性质4，得abf(x)dxx0af(x)dxx0x0f(x)dxbx0f(x)dx由此与已知bx0x0x0 1f(x)dx f(x0) dx f(x0) 0x 02baf(x)dx 0矛盾，反证法之假设不成立，即f(x) 0.（2）令F(x) g(x) f(x)，则在[a , b]上就必有F(x) 0，且aF(x)dx 0.由（1）的结论可知，在[a , b]上就必有F(x) 0，即f(x) g(x).7*. 设f(x)在区间[a, b]上连续，g(x)在区间[a, b]上连续且不变号，求证至少存在一点(a, b)，使得af(x)g(x)dx f( ) ag(x)dx.证因为f(x)在[a , b]上连续，必有最大值M和最小值m，所以x [a , b]，有m f(x) M.设g(x) 0，则有由定积分的性质5，得bbbmg(x) f(x)g(x) Mg(x)bm g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dxaaam于是，有baf(x)g(x)dxbMag(x)dx又由介值定理知，在(a , b)内，必存在一点，使得abf(x)g(x)dxag(x)dx故f( )babaf(x)g(x)dx f( ) g(x)dx(a,b).习题6－31. 1. 已知函数'y sintdtxx，求当x = 0及x4时, 此函数的导数.解因为y ( sinxdx)' sinx经济数学(定积分习题及答案) 所以y'|x 0 sinx|x 0 sin0y'|4sinx|x4sin42. 2. 求由决定的隐函数y（x）对x的导数. 解将方程两边对x求导并注意到y为x得函数，得ytxedt costdt00ey y' cosx 0'' y解出y，得y ecosx.3. 3. 当x为何值时，极小值？2I(x) te tdtx2有极值？此极值是极大值还是' xI'(x) 0，I'(x) 0解由I(x) xe 0，得驻点x 0，而当x 0时，当x 0时，所以，当x 0时，I(x)有极值，此极值是极小值I(0) 0.4. 4. 计算下列导数：dx3dx2t tx2dx (1)dx0(2)d0(3) 2tcost2dtdxx2dxt (x2)' 2 解(1) dx0dx3(2) 2t x3)' (x2)'dxx2(3)5. 5. 计算下列定积分：22d***-*****tcostdt xcosx (x)' 2xcosx.24(x t)dx 1x(1) (2) 1(3) (5) dx(x2 a2) (4) 113x4 3x2 1 x 12dx5x2 3x 2dx x(6)0x 1dx| ab(7)t(t 1)dtxdx(a b)x 1(x 1)f(x) 12(x 1) x2(9) , 求0f(x)dx.22解(1)124x372(x t)dx ( 4lnx tx) 4ln2 tx331.经济数学(定积分习题及答案) xd()dx11a(2) 0x2 a2a01 (x)2a a1( 0) .a33ax1d()1111x arcsin 2 020XX年2(3) .(4)3x4 3x2 1x2 11dx (3x21)dxx2 114x 3x 2,0 x 1,或2 x 5x2 3x 2 2(x 3x 2),1 x 2(5) 因为被积函数2(x3 arctanx)|0 1所以5x2 3x 2dx (x2 3x 2)dx (x2 3x 2)dx11251(x2 3x 2)dx 14.2 2(6) 因为在本题中，变量为x且0 x 1，t为参数，但是可以取任意实数，即本题结果应为t的函数. 所以设当t 0时，得11I(t) x tdx1，则I(t) x tdx (x t)dx当0 t 1时, 得11 t21I(t) x tdx (t x)dx (x t)dx t2 tt当t 1时, 得12I(t) x tdx (t x)dx t111212 t, t 01I(t) t2 t , 0 t 121t 2, t 1 故 .t(t 1), t 0t(t 1) t(t 1),0 t 1t(t 1), t 1 (7) 因为被积函数，且x为参数可取一切实数，所以应分下列情况讨论：x3x2I(x) t(t 1)dt0x 032 当时，有x经济数学(定积分习题及答案) x3x2I(x) t(1 t)dt00 x 132 当时，有x当x 1时，有I(x) t(t 1)dt10x1x3x21t(t 1)dt323x3x2,x 0 32x3x2I(x) ,0 x 12 3x3x21,x 1 323 故 .(8) 令被积函数x 0,得x 0，按数0在区间a,b的不同位置状况，可分为下列几种情况：① 当a b 0时，得bb1I xdx xdx (b2 a2)aa2② 当a 0 b时，得③ 当0 a b时，得0b1I xdx xdx (b2 a2)a02 b1I xdx (b2 a2)a2故综上所述，有Ib1222(b a), a b 0 1xdx (b2 a2), a 0 b2 1222(b a), 0 a b .x 1(x 1)f(x) 12(x 1) x2 (9) 因为f(x)dx 0f(x)dx 1f(x)dx 0(x 1)dx 1 所以06. 6. 求下列极限：1x1xlim2 arctantdtlim(1 sin2t)dt (1)x 0x0 (2) x 0x0*****x28dx 23.lim(3)x2xexcostdtlimx (4)* x22x2t2tedt01x(1 sin2t)dt lim(1 sin2x) 1. 0x 0x 0x解(1) 1xarctanx21lim2 arctantdt lim lim0x 0xx 0x 02(1 x2)2x2. (2)lim经济数学(定积分习题及答案)(3)x 0ex2xcost2dt x 0x2cost2dt lim4x4 0. x 0(4) limx2xxx2t2tedt0limxx2t2tedt0xex2x2limx2ex22xex(1 2x2)lim1 .x (1 2x2)22 x,x [0,1)f(x) x3(x) x,x [1,2] 0f(t)dt在[0，2]的表达式，并讨论(x)在[0, 7*. 设，求2]上的连续性与可导性.x3(x) tdt00 x 13 解因为当时，x2当1 x 2时，(x)12tdt0x3tdt11x4 124x3, 0 x 1 3(x) 4x 1, 1 x 2 12 4所以(x)的表达式为又因为f(x)在区间[0,1)与(1,2]上为初等函数，显然为连续函数.而x 123limf(x) limx 1, limf(x) limx 1x 1x 1x 1即limf(x) 1x 1知，f(x)在x 1处连续. 所以f(x)在区间[0,2]上连续. 故由定x由limf(x) f(1) 1x 1理6.5知，函数(x)在区间[0,2]上可导.8*.设f(x)在[a, b]上可积，求证：当x (a, b)时，(x)= 0意可积函数的有界性).证因为设对任意的x, x x (a, b)时,有f(t)dt在[a, b]上连续(提示: 注(x) (x x) (x)x xaf(t)dt f(t)dtaxx xxf(t)dt又由f(x)在[a, b]上可积知,存在常数M0, 使得f(x) M 所以(x)xx xf(t)dt Mxx xdt M xlim x 0,则lim (x) 0x 0而x 0故(x)在[a, b] 上任意一点x处连续, 即(x)在[a, b]上连续.习题6－4经济数学(定积分习题及答案) 1. 计算下列定积分：(1)(3)(1 sin3x)dx(2) (4)11xt22x0te2dt(5)1e2x(6)2 cosxcos2xdx 0(7)2x(8)32x解(1)(1 sinx)dx dx sin3xdx dx (1 cos2x)dcosx 14(x cosx cos3x)33 0(2)1xx令x sint 24costsint22dsint2cos2tsint1sint 22dt1 sin2tsint2dt4424dt 2dt 144.(3)1 20x1x220(3a2 x2) 1)a. )t2e2(4)te2dt0t2 1t22ed( 021 e12.(5)e21x (1 lnx)d(1 lnx)121ex)2e2122(1 ln1).1(6) 2 cosxcos2xdx 2 2(1 2sin2x)dsinx 22 2dsinx 4 2sin2xdsinx2sin42 sin3x2 .033经济数学(定积分习题及答案) (7) 2 x 2x22 2sin1x(cosx)2dx212(cosx)2dcosx02 (8)322(cosx)234 .3xxdxxdx2x20x 22. 2. 利用函数的奇偶性计算下列定积分：sinxdx(1) (2)(3)322sin4xdx12xdx 3x4 2x2 1 (4)x3tan2x解（1）因为sinx在, 上为奇函数，所以sinxdx 0.2,2 4上是偶函数，所以（2）因为sinx在2sinxdx 22(1 cos2x)2dx 12(1 2cos2x cos22x)dx 022 0421 12 121 cos4xdx sin2x02222 021 12 3 . sin4x***-*****(arcsinx)2（3）因为x22112,2上是偶函数，所以在1201x 222x12 3322 x)d(arcsinx) (arcsinx)|0 .33243x3tan2xx3tan2xdx 0 4242 3,3 3 x 2x 1（4）因为x 2x 1在上是奇函数，所以.3. 证明下列各题：x111dt 1 11 t2 1 t2dtx(1)12(arcsin0经济数学(定积分习题及答案)(2)1mx(1 0nx)ndx xn(1 x)mdx1(3)sinxdx 2 2sinnxdxt证(1) 令11,dt 2dyyy，则11左端=x11dy11 t2dtxdy11 y212 x1 yxdt11 t2右端.(2)左端10xm(1 x)ndx令x 1 u 0 (1 u)m1undu1un(1 u)mdu 1xn(1 x)mdx 右端. (3)左端。

经济数学基础综合练习及参考答案第二部分 积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．A ．y = x 2 + 3B ．y = x 2+ 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 2. 若⎰+1d )2(x k x = 2，则k =（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．21 3．下列等式不成立的是（）．A ．)d(e d e xxx = B ．)d(cos d sin x x x =- C ．x x x d d 21= D ．)1d(d ln x x x =4．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ ）.A. 2e x-- B. 2e 21x- C. 2e 41x- D. 2e 41x--5. =-⎰)d(e x x （ ）．A ．c x x+-e B ．c x x x ++--e eC ．c x x+--eD ．c x x x +---e e6. 若c x x f xx+-=⎰11e d e)(，则f (x ) =（ ）．A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A ．)(d )(x F x x f xa=⎰B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x x x d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+13d 1x x10．设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（ ）．A ．-550B ．-350C ．350D ．以上都不对 11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2B ．xxy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．x y y x y xln e sin ='-''12．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题 1．=⎰-x x d e d 2． 2．函数x x f 2sin )(=的原函数是．3．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f .4．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e(e --⎰= .5．=+⎰e12dx )1ln(d dx x .6．=+⎰-1122d )1(x x x． 7．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是．（判别其敛散性）8．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为．9. 0e)(23='+''-y y x是 阶微分方程.10．微分方程2x y ='的通解是．三、计算题⒈⎰x x x d 1sin22．⎰x x xd 23．⎰x x x d sin 4．⎰+x x x d 1)ln ( 5．x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+ 6．x xx d ln e 1⎰7．2e 1x ⎰8．x x x d 2cos 2π0⎰9．x x d )1ln(1e 0⎰-+10．求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解． 11．求微分方程0e 32=+'+y y xy 满足初始条件3)1(=-y 的特解．12．求微分方程x xyy ln =-'满足 11==x y 的特解.13．求微分方程y y x y ln tan ='的通解．14．求微分方程xxy y x ln =-'的通解.15．求微分方程y x y -='2的通解．16．求微分方程x x y y x sin =+'的通解．四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？4．已知某产品的边际成本为34)(-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？试题答案一、单项选择题1. A 2．A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. C 二、填空题1. x x d e2- 2. -21cos2x + c (c 是任意常数) 3. )1(2+x 4. c F x+--)e ( 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q 239. 2 10. c x y +=33 三、计算题⒈ 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin22．解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 23．解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin4．解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21225．解x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+=⎰++3ln 02)e d(1)e 1(x x = 3ln 03)e 1(31x +=356 6．解)(ln d 2ln 2)2(d ln d ln e 1e1e 1e 1x x x x x x x xx ⎰⎰⎰-==e1e 14e 2d 2e 2x x x -=-=⎰e 24d 2e 2e 1-=-=⎰x x7．解x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-8．解 x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21- 9．解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1解法二 令1+=x u ，则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u10．解 因为 x x P 1)(=，1)(2+=x x Q 用公式 ]d 1)e([ed 12d 1c x x y xx xx +⎰+⎰=⎰-]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=⎰-x cx x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4712141)1(3=++=c y ， 得 1=c 所以，特解为 xx x y 1243++=11．解 将方程分离变量：x y y x y d e d e 32-=- 等式两端积分得 c x y +-=--3e 31e 212 将初始条件3)1(=-y 代入，得 c +-=---33e 31e 21，c =3e 61--所以，特解为：33e e 2e32--+=x y12．解：方程两端乘以x1，得xxx y x y ln 2=-' 即x xxy ln )(=' 两边求积分，得 c xx x x x x x y +===⎰⎰2ln )(ln d ln d ln 2 通解为： cx xx y +=2ln 2 由11==x y ，得1=c所以，满足初始条件的特解为：x xx y +=2ln 2 13．解 将原方程分离变量x x yy yd cot ln d = 两端积分得 lnln y = ln C sin x 通解为 y = eC sin x14. 解 将原方程化为：xy x y ln 11=-'，它是一阶线性微分方程， x x P 1)(-=，xx Q ln 1)(=用公式 ()d ()d e[()e d ]P x x P x x y Q x x c -⎰⎰=+⎰]d e ln 1[e d 1d 1c x xx x x x +⎰⎰=⎰- ]d e ln 1[e ln ln c x x x x+=⎰- ]d ln 1[c x xx x +=⎰)ln (ln c x x +=15．解 在微分方程y x y -='2中，x x Q x P 2)(,1)(==由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y xx x x +=+⎰⎰=⎰⎰--)e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--⎰)e 22(x c x -+-=16．解：因为xx P 1)(=，x x Q sin )(=，由通解公式得)d e sin(e d 1d 1c x x y xx x x +⎰⎰=⎰-=)d e sin (eln ln c x x x x+⎰- =)d sin (1c x x x x+⎰=)sin cos (1c x x x x++-四、应用题1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x+= 100（万元）又 xc x x C x C x ⎰+'=d )()(=x x x 36402++ =xx 3640++令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．解：因为总成本函数为⎰-=x x x C d )34()(=c x x +-322当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (x )=18322+-x x 又平均成本函数为 xx x x C x A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='x x A ， 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 5．解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 87287)14(d )214(xx x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元.经济数学基础综合练习及参考答案第二部分 积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．A ．y = x 2 + 3B ．y = x 2+ 4 C ．y = 2x + 2 D ．y = 4x 2. 若⎰+1d )2(x k x = 2，则k =（ ）．A ．1B ．-1C ．0D ．21 3．下列等式不成立的是（）．A ．)d(e d e xxx = B ．)d(cos d sin x x x =- C ．x x x d d 21= D ．)1d(d ln x x x =4．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ ）.A. 2e x-- B. 2e 21x- C. 2e 41x- D. 2e 41x--5. =-⎰)d(e x x （ ）．A ．c x x+-e B ．c x x x ++--e eC ．c x x+--eD ．c x x x +---e e6. 若c x x f xx+-=⎰11e d e)(，则f (x ) =（ ）．A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x7. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )．A ．)(d )(x F x x f xa=⎰B ．)()(d )(a F x F x x f xa-=⎰C ．)()(d )(a f b f x x F ba-=⎰D ．)()(d )(a F b F x x f ba-='⎰8．下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x x x d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ ）．A ．⎰∞+1d ln x x B ．⎰∞+0d e x xC ．⎰∞+12d 1x x D ．⎰∞+13d 1x x10．设R '(q )=100-4q ，若销售量由10单位减少到5单位，则收入R 的改变量是（ ）．A ．-550B ．-350C ．350D ．以上都不对 11．下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2B ．xxy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．x y y x y xln e sin ='-''12．微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶是（ ）.A. 4B. 3C. 2D. 1 二、填空题 1．=⎰-x x d e d 2． 2．函数x x f 2sin )(=的原函数是．3．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f .4．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e(e --⎰= .5．=+⎰e12dx )1ln(d dx x .6．=+⎰-1122d )1(x x x． 7．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是．（判别其敛散性）8．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为．9. 0e)(23='+''-y y x是 阶微分方程.10．微分方程2x y ='的通解是．三、计算题⒈⎰x x x d 1sin22．⎰x x xd 23．⎰x x x d sin 4．⎰+x x x d 1)ln ( 5．x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+ 6．x xx d ln e 1⎰7．2e 1x ⎰8．x x x d 2cos 2π0⎰9．x x d )1ln(1e 0⎰-+10．求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解． 11．求微分方程0e 32=+'+y y xy 满足初始条件3)1(=-y 的特解．12．求微分方程x xyy ln =-'满足 11==x y 的特解.13．求微分方程y y x y ln tan ='的通解．14．求微分方程xxy y x ln =-'的通解.15．求微分方程y x y -='2的通解．16．求微分方程x x y y x sin =+'的通解．四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低. 2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？4．已知某产品的边际成本为34)(-='x x C (万元/百台)，x 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？试题答案二、单项选择题1. A 2．A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 11. D 12. C 二、填空题1. x x d e2- 2. -21cos2x + c (c 是任意常数) 3. )1(2+x 4. c F x+--)e ( 5. 0 6. 0 7. 收敛的 8. 2 + q 239. 2 10. c x y +=33 三、计算题⒈ 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin22．解 c x xx x x x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 23．解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin4．解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21225．解x x x d )e 1(e 3ln 02⎰+=⎰++3ln 02)e d(1)e 1(x x = 3ln 03)e 1(31x +=356 6．解)(ln d 2ln 2)2(d ln d ln e 1e1e 1e 1x x x x x x x xx ⎰⎰⎰-==e1e 14e 2d 2e 2x x x -=-=⎰e 24d 2e 2e 1-=-=⎰x x7．解x xx d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x+=)13(2-8．解 x x x d 2cos 20⎰π=202sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21- 9．解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+---=1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1解法二 令1+=x u ，则u uu u u u u x x d 1ln d ln d )1ln(e 1e 1e 11e 0⎰⎰⎰-==+-=11e e e e1=+-=-u10．解 因为 x x P 1)(=，1)(2+=x x Q 用公式 ]d 1)e([ed 12d 1c x x y xx xx +⎰+⎰=⎰-]d 1)e ([e ln 2ln c x x x x ++=⎰-x cx x c x x x ++=++=24]24[1324 由 4712141)1(3=++=c y ， 得 1=c 所以，特解为 xx x y 1243++=11．解 将方程分离变量：x y y x y d e d e 32-=- 等式两端积分得 c x y +-=--3e 31e 212 将初始条件3)1(=-y 代入，得 c +-=---33e 31e 21，c =3e 61--所以，特解为：33e e 2e32--+=x y12．解：方程两端乘以x1，得xx x y x y ln 2=-' 即 xx xy ln )(=' 两边求积分，得 c x x x x x x x y +===⎰⎰2ln )(ln d ln d ln 2 通解为： cx x x y +=2ln 2 由11==x y ，得1=c 所以，满足初始条件的特解为：x x x y +=2ln 2 13．解 将原方程分离变量 x x yy y d cot ln d = 两端积分得 lnln y = ln C sin x通解为 y = e C sin x14. 解 将原方程化为：xy x y ln 11=-'，它是一阶线性微分方程， x x P 1)(-=，xx Q ln 1)(= 用公式 ()d ()d e [()e d ]P x x P x x y Q x x c -⎰⎰=+⎰]d e ln 1[e d 1d 1c x xx x x x +⎰⎰=⎰- ]d e ln 1[e ln ln c x x x x +=⎰- ]d ln 1[c x xx x +=⎰ )ln (ln c x x +=15．解 在微分方程y x y -='2中，x x Q x P 2)(,1)(==由通解公式)d e 2(e )d e 2(e d d c x x c x x y x x x x +=+⎰⎰=⎰⎰-- )e 2e 2(e )d e 2e 2(e c x c x x x x x x x x +-=+-=--⎰)e 22(x c x -+-=16．解：因为xx P 1)(=，x x Q sin )(=，由通解公式得 )d e sin (e d 1d 1c x x y x x x x +⎰⎰=⎰-=)d e sin (e ln ln c x x x x+⎰- =)d sin (1c x x x x+⎰ =)sin cos (1c x x x x ++-四、应用题1．解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x += 100（万元） 又 xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='x x C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大. 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3. 解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x令L '(x )=0, 得 x = 10（百台） 又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．解：因为总成本函数为⎰-=x x x C d )34()(=c x x +-322当x = 0时，C (0) = 18，得 c =18即 C (x )=18322+-x x又平均成本函数为 x x x x C x A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='x x A ， 解得x = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 5．解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元） 即利润将减少1万元.。