2021年高中数学1..1任意角的三角函数(二)三角函数线教案新人教A版必修4

第二课时三角函数线及其应用[提出问题]在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，过A(1,0)作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点T.问题1：根据上面的叙述画出α分别取135°，30°，225°和－60°时的图形．提示：问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？提示：可以，|sin α|＝|MP|，|cos α|＝|OM|，|tan α|＝|AT|.[导入新知]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线三角函数线的四个注意点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．[例1] 作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．[解] 角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[类题通法] 三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .[活学活用]作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .[例2] 分别比较sin 3与sin 5；cos 3与cos 5；tan 3与tan π5的大小．[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5；AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π5.[类题通法]利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．[活学活用] 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4<α<π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；当π2<α<3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′.[例3] (1)sin α<－12；(2)cos α>32.[解] (1)如图①，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6，故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎪⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6， 故α的范围是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z .[类题通法]利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．[活学活用]利用三角函数线求满足tan α≥33的角α的范围． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k ²π＋π6≤α<k ²π＋π2，k ∈Z2.三角函数线的概念[典例] 已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．y 轴的非负半轴上 B ．y 轴的非正半轴上 C ．x 轴上 D ．y 轴上[解析] 由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y 轴上． [答案] D [易错防范]1．本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin α＝1，从而误选A. 2．若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选C.3．解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置．[成功破障]已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上 答案：C[随堂即时演练]1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、四象限的角平分线上D ．第一、三象限的角平分线上 答案：C2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM答案：D3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 答案：14．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________． 答案：sin 1>cos 15．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，利用单位圆证明：sin θ＋cos θ＞1.证明：如图所示，设角θ的终边交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M .因为sin θ＝MP ＝|MP |，cos θ＝OM ＝|OM |，所以sin θ＋cos θ＝|MP |＋|OM |＞|OP |，而|OP |＝1，所以sin θ＋cos θ＞1.[课时达标检测]一、选择题1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定答案：C2．已知α的余弦线是单位长度的有向线段，那么α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上 D ．以上都不对 答案：A3．若π4＜θ＜π2，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．tan θ＜cos θ＜sin θB ．sin θ＜tan θ＜cos θC ．cos θ＜tan θ＜sin θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ答案：D4．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b答案：C5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]答案：A 二、填空题6．利用单位圆，可得满足sin α＜22，且α∈(0，π)的α的集合为________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 7．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，22 三、解答题9．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线和正切线．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线和正切线．解：如图：α＝7π6的余弦线、正弦线和正切线分别为OM ，MP 和AT .10．利用单位圆中的三角函数线，求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0的x 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞12.如图所示，由三角函数线可得 ⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π k ∈Z ，2k π－π3<x ＜2k π＋π3 k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x ＜2k π＋π3(k ∈Z)．故x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z .11．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0<α<π2时，sinα<α<tan α.证明：如图，单位圆与α的终边OP 相交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，连接AP ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作AT ⊥x 轴交OP 于点T ，则sin α＝MP ，α＝AP ，tan α＝AT ，由S 扇形OAP <S △OAT，即12OA ²AP <12OA ²AT ，所以AP <AT .又MP <PA <AP ，因此MP <AP <AT ，即sin α<α<tanα.。

高中数学三角函数教案三角函数内容在高中数学课程中占有重要的地位，它是描述现实世界周期现象的重要模型，又是高中教材中基本初等函数的其中之一。

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高中数学三角函数教案：任意角的三角函数一、教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域高中数学三角函数教案：三角函数的诱导公式1教学目标1.知识与技能(1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。

人教版高中数学任意角的三角函数——三角函数线教案word版
1.积极响应新课标教学理念，把课堂教给学生，提倡学生自主学习.在新课标教学理念指导下，充分发挥多媒体的优势，既丰富三角函数线的概念，又培养了学生发现问题、解决问题的能力，提高学生的探索精神、创新意识.
2.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法.本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够独立地开展科研活动.
3.使学生始终保持学习兴趣,快乐学数学.苏XX说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流，真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学！。

1.2.1 任意角的三角函数（第2课时）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握有向线段以及三角函数线的概念，会利用三角函数线表示三角函数值，体会数形结合的数学思想方法.（二）学习目标1．掌握有向线段的概念.2．掌握正弦线、余弦线、正切线的概念，并能利用三角函数线（几何形式）在单位圆中表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.3．三角函数线的运用，如利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.（三）学习重点1．三角函数线的概念及其运用.2．三角函数线的作法.3．理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性.（四）学习难点1．利用与单位圆有关的有向线段将任意角的三角函数值用几何形式表示.2．三角函数线的运用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页“练习”以下部分至第17页“阅读与思考”以上部分，并完成下列问题：①有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点，字母顺序不能任意调换)的线段，并规定：与坐标轴正方向同向时为正，与坐标轴正方向反向时为负.②如下图所示，单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.③当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.2．预习自测（1）已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么α的终边（）A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x或y=-x上答案：D解析：【知识点】正切线的概念.【数学思想】数形结合、分类讨论思想.【解题过程】当角α的正切线是单位长度的有向线段时，此时角α的终边落在直线y=x或y=-x 上.点拨：明确正切线的位置.（2）判断(正确的打“√”，错误的打“×”)①α一定时，单位圆的正弦线一定. （）②在单位圆中，有相同正弦线的角必相等. （）③α与α＋π有相同的正切线. （）答案：(1)√(2)×(3)√解析：【知识点】三角函数线概念辨析.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】①α一定时，sinα一定，正确；②当sinα一定时，角α不唯一，错误；③tanα=tan(α＋π)，正确.点拨：正确理解三角函数线的概念. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）单位圆的定义：以原点O 为圆心，单位长度为半径作的圆。

第2课时任意角的三角函数（二）【教学目标】1、知识目标（1）理解有向线段。

（2）理解单位圆中三角函数线，会画某角的正弦线、余弦线、正切线。

2．能力目标掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

3、情感目标通过对三角函数线的学习，进一步理解、体会数形结合的思想在数学中的应用。

【重点难点】1、重点理解单位圆中的三角函数线。

2、难点正切线。

案例（一）教学过程案例（二）教学过程1、观察投影片图1.2-7，角的正弦、余弦值能否用线段来表示？ 学生——探究图 1.2-7中（Ⅰ）~（Ⅳ），不难得到（可能有分情况给出的，形式不同）：.cos ,sin OM x MP y ====αα教师——提问，了解情况，认可上述结论。

2、为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段OM 、MP 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？教师——请同学们想一下，直角坐标系内的坐标的正负与谁的方向有关？学生——点的坐标与坐标轴的方向有关。

在坐标轴正方向上的为正，负方向上的为负。

教师——根据前面得出的关系如,sin MP y ==α如何规定线段的方向才能将绝对值符号同时拿掉？呈MP y ==αsin 形式？如果实现了这种形式，我们说就给了三角函数的正弦值以几何表示。

学生——观察、思考、回答。

(应该以坐标轴的方向来规定线段的方向。

) 当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正方向，且有正值x ，当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有负值x 。

其中x 为P 点的横坐标。

这样同，无论哪一种情况都有：αcos ==x OM 。

同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正方向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负方向，且有负值y 。

1.2.1.2 三角函数线1.知识与技能(1)通过实例,了解有向线段的含义.(2)理解三角函数的几何意义——三角函数线.(3)掌握利用三角函数线解简单的三角不等式,比较三角函数值的大小.2.过程与方法(1)让学生经历从实例中理解三角函数的几何意义.(2)让学生体会数形结合思想的灵活运用.3.情感、态度与价值观通过学生亲自动手操作,逐步培养出从实际出发,通过尝试、观察、归纳、抽象和概括,达到感性向理性的升华.重点:三角函数的几何意义的理解.难点:三角函数的几何意义的应用.(1)重点的突破:在教学过程中,建议让学生明确以下三个方面:①三角函数线的数量.当三角函数线与坐标轴平行时,我们可根据三角函数线的方向与数轴的方向相同或相反,分别把它的长度加上正号或负号,这样所得的数,叫做三角函数线的数量.②正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示,它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴(或与坐标轴重合)的有向线段.③在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还可以从图形角度考察任意角的三角函数,即用有向线段表示三角函数值,这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.(2)难点的解决:考虑到三角函数线的应用有一定的难度,教学时可结合一些具体的例子,通过问题的由浅入深的解决,让学生不断总结,教师再适时点拨,必要时辅助典例教学,这样学生既对三角函数线体会深刻,又对三角函数线的应用得以深化,突出重点的同时化解难点.三角函数线的应用利用单位圆中的三角函数线可以比较同名三角函数值的大小,解(证明)简单的三角不等式,研究三角函数值域或最值等问题,解决这类问题的关键是准确作出单位圆中的三角函数线.1.比较下列各组数的大小.(1)cos和cos;(2)sin和tan.解:(1)如图,在单位圆中作出的余弦线OM2和OM1.因为OM1<OM2,所以cos>cos.(2)如图,分别作出的正弦线和正切线,sin=MP,tan=AT,因为AT>MP,所以tan>sin.2.用三角函数线证明:|sin α|+|cos α|≥1.证明:当角α的终边在坐标轴上时,正弦线(余弦线)变成一个点,而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1).所以|sin α|+|cos α|=1.当角α的终边落在四个象限时,如图,利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|+|cosα|=|MP|+|OM|>1,综上有|sin α|+|cos α|≥1.。

高中数学必修4《任意角的三角函数》教案高中数学必修4《任意角的三角函数》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系;(2)能正确运用进行三角函数式的求值运算;(3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧;(4)运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。

2、过程与方法回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明;掌握几种同角三角函数关系的应用;掌握在具体应用中的一定技巧和方法;理解并掌握同角三角关系的简单变形;提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位;认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯;培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。

教学重难点重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。

难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些?它们成立的条件是什么?学习实践中，你还发现了哪些关系?今天这节课，我们就来讨论这些问题。

【探究新知】在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：2.学生课堂练习教材P66练习1和P67练习2五、归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么?六、布置作业教材P68习题中1—6课后小结归纳整理，整体认识(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

任意角的三角函数（第一课时）教学设计一、内容和内容解析内容：任意角三角函数的定义；三角函数定义域和函数值；诱导公式一. 内容解析：学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的. 锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系. 任意角的三角函数是刻画周期性变化现象的数学模型. 它与“解三角形”已经没有什么关系了. 因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题. 由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质（特别是对称性）中得到启发. 在本节的学习中，了解一些三角函数产生的历史背景，可以帮助学生理解用单位圆来定义三角函数的原因. 本节以一个具体实例（见图 ）引入，通过观察青蛙在不同时刻与水面的距离，得到三角函数的单位圆定义，即角α的终边与单位圆交点的坐标为(),x y ，则sin ,cos ,tan yy x xααα===，该定义是本节的核心概念，也是三角函数整章节的核心，后几节课中诱导公式的推导，三角函数图象和性质都是由定义决定的. 用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点. 其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度制）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数；其次是使三角函数反映的数形结合关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础.三角函数的定义域就是角的取值范围，由于任意角的终边与单位圆都有交点，所以正弦、余弦函数的定义域均为实数集，而角的终边与y轴重合时，终边上所有点的横坐标为0，因此正切函数的定义域不包括终边与y轴重合的角.诱导公式一是定义的直接推导，利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0~2π内角的三角函数值，更重要的是，公式一从代数角度揭示了三角函数值的周期性变化规律.二、目标和目标解析目标：1.借助单位圆理解任意角的三角函数的定义2.从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号3.根据定义理解公式一4.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题目标解析：1.桨轮与青蛙的实例与任意角三角函数定义十分契合，学生通过观察青蛙与水面的位置，充分理解单位圆中的正弦函数定义，由此类比得出余弦函数和正切函数的定义.2. 定义域、函数值的符号及诱导公式一完全由定义决定，推导并得出结论对学生来讲比较容易.3.通过例题向学生指明，对具体问题进行转化，得到与三角函数值有关的问题，该问题的实质是三角函数定义的应用.三、教学问题诊断分析1.学生已经利用弧度制对角推广到了实数集，这为理解三角函数的定义奠定了基础. 但是学生原有的直角三角形中锐角三角函数的定义，对任意角三角函数定义有一定的负迁移作用，所以教师可以先给出单位圆定义，再特殊化到锐角三角函数，给学生以历史背景的解释，指出这两种定义方式能解决问题的不同.2.用单位圆上点的坐标刻画三角函数是学生学习的难点. 学生熟悉的函数()=是实数到实数的对应，而这里给出的函数首先是实数（弧度数）到点的y f x坐标的对应，然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，这会给学生的理解造成一定困难.四、教学条件支持多媒体演示青蛙与桨轮的转动，观察青蛙与水面的距离；利用信息技术，可以很容易的建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观的体现出来.五、教学过程设计六、目标检测设计1.求下列三角函数值（1）0sin405 (2)()0cos120- (3)19 tan3π⎛⎫⎪⎝⎭2.设,,A B C 是三角形的三个内角，在()sin ,cos ,tan ,tan A A A A B +中，哪些有可能取负值？设计意图：通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力.。

２．１（二）三角函数线一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解正弦线、余弦线、正切线的定义；利用三角函数线解三角方程；利用三角函数线解三角简单不等式；利用三角函数比较大小；利用三角函数线证明有关不等式。

教学目的：引导学生认识正弦线、余弦线、正切线的价值。

教学意义：培养学生三角函数中数形结合的思想二、教学过程１．有向线段：被看作带有方向的线段，叫做有向线段．数轴上或与数轴平行的有向线段是正向时，它的数量等于长度；有向线段是负向时，它的数量等于长度的相反数；有向线段长度是０，那么其数量为０．２．正弦线、余弦线、正切线的定义：如图，角α的终边与单位圆交于点Ｐ．过点Ｐ作x 轴的垂线，垂足为Ｍ．根据三角函数的定义，我们有MP y ==αsin ，OM x ==αcos ，AT OAAT OM MP x y ====αtan 举例：用正弦线、余弦线、正切线表示45tan ,45cos ,45sin πππ，并比较444sin ,cos ,tan 333πππ ３．利用三角函数线解三角方程４．利用三角函数线解三角简单不等式例 在]2,0[π上满足21sin ≥x 的x 的取值范围（ Ｂ ） Ａ．]6,0[π Ｂ．]65,6[ππ Ｃ．]32,6[ππ Ｄ．],65[ππ ５．利用三角函数比较大小例 已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（ Ｃ ）Ａ．若βα,是第一象限角，则βαcos cos >；Ｂ．若βα,是第二象限角，则tan tan αβ>；Ｃ．若βα,是第三象限角，则βαcos cos >Ｄ．若βα,是第四象限角，则tan tan αβ>６．利用三角函数线证明有关不等式：例 已知：角α为锐角，试证：（１）αααtan sin <<；（２）sin cos 1αα+>。

三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子 １．已知：40πα<<，试证：ααcos 22sin <<． ２．已知21cos -≤α，求满足此不等式的角α的集合．Z k k k ∈++],342,322[ππππ ３．求下列函数的定义域：（１）32cos y x =-；（２）)sin 43lg(2x y -=； （１）7[2,2],66k k k Z ππππ++∈；（２）(,),33k k k Z ππππ-+∈五、课后作业 同步练习１．已知ααsin cos ≤，那么角α的终边落在第一象限内的范围是（ Ｃ ）Ａ．]4,0(π Ｂ．)2,4[ππ Ｃ．Z k k k ∈++),22,42[ππππ Ｄ．Z k k k ∈+],42,2(πππ ２．若24πθπ<<，则下列不等式成立的是（ Ｄ ）Ａ．θθθtan cos sin >> Ｂ．θθθsin tan cos >>Ｃ．θθθcos tan sin >> Ｄ．θθθcos sin tan >> ３．如图，角α，角β的终边关于y 轴对称，则下面关系式：①βαsin sin =；②sin sin αβ=-；③cos cos αβ=；④βαcos cos -=．其中，正确关系式的序号是 ①④ ．４．已知点Ｐ的坐标为)3cos 3sin ,3cos 3(sin +-，则点Ｐ在第 四 象限． ５．比较下列各组数的大小： （１）π56sin 与7sin()5π-；（２）6cos 5π与7cos()5π-；（３）6tan 5π与7tan()5π- （１）＜；（２）＜； （３）＞ ６．若02παβ<<<，试比较ββsin -与ααsin -的大小； ββsin -＞ααsin -提示：利用两条正弦线，两条弧长，观察作差的结果．７．已知α为锐角，求证：1sin cos 2παα<+<． 提示：利用两个三角形面积和小于41圆面积．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。