高考数学高分二轮复习练习：专题五 第3讲 圆锥曲线中的热点问题 (1)

第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱(理科）年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12Ⅱ卷19椭圆离心率的求解,利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12(文科）Ⅲ卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,12201 9Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12201 8Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12Ⅱ卷20直线的方程,直线与抛物线的位置关系、圆的方程12Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题错误!错误!错误!错误!典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程；（2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0，∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为:y2＝4x。

（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1，联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0．设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M,则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!，∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!，∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!,∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。

第3讲 圆锥曲线中的定值、定点及证明问题[做真题](2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .证明：直线AB 过定点．[明考情]圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的热点，无论是选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖．定值问题1．直接消参求定值：常见定值问题的处理方法：(1)确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示：(2)将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．例1.(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．2．从特殊到一般求定值：常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算．例2.(2015·高考四川卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．例3. (2019·贵阳市第一学期检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1→·MF 2→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与椭圆C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别是直线MG ，MH 的斜率，证明：k 1＋k 2为定值．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．[对点训练]已知椭圆方程为x 24＋y 23＝1，点F 为右焦点，若直线l 与椭圆C 相切，过点F 作FQ ⊥l ，垂足为Q ，求证：|OQ |为定值(其中O 为坐标原点)．定点问题1．参数法：参数法解决定点问题的思路：(1)引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中的核心变量(此处设为k )；(2)利用条件找到k 与过定点的曲线F (x ，y )＝0之间的关系，得到关于k 与x ，y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，找到定点．例4.(2017·高考全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝ 2 NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C的左焦点F .2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．例5.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点，若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．例6. (2019·安徽省考试试题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆x 2＋y 2＝45相切于点M ⎝⎛⎭⎫25，45.(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且P A →·PB →＝0，求证：直线l 过定点．圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．[提醒] (1)直线过定点，常令参数的系数等于0即可．如直线y ＝kx ＋b ，若b 为常量，则直线恒过点(0，b )；若b k为常量，则直线恒过点⎝⎛⎭⎫－b k ，0. (2)一般曲线过定点，把曲线方程变为f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0(λ为参数)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ，y ）＝0，f 2（x ，y ）＝0，即得定点坐标． [对点训练](2019·开封市定位考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，△MF 1F 2为等腰直角三角形，且其面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点．证明问题代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等(注意一些常用的结论，如等腰三角形两底角相等，两直线斜率之和为0等)．证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明，常将斜率利用整体法求解．例7.(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN例8.(2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交椭圆C于点M，求证：∠PFM＝∠PFB.圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：①证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等；②证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[对点训练](2019·合肥市第一次质量检测)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若椭圆E 的离心率为22，△ABF 2的周长为4 6. (1)求椭圆E 的方程；(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明：O ，M ，N 三点共线．。

第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3． 弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 4． 轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)． ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性． (2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程； ③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一 求轨迹方程例1 (2013·辽宁)如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时， A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是 y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x224)，x 1≠x 2， 由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤ y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为 x 2＝43y .(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上的点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求B 点坐标．解 (1)设N (x ，y )，则由MN →＝2MP →，得P 为MN 的中点，所以M (－x,0)，P (0，y 2)．又PM →⊥PF →得PM →·PF →＝0，PM →＝(－x ，－y 2)，PF →＝(1，－y 2)，所以y 2＝4x (x ≠0)．(2)由(1)知F (1,0)为曲线C 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点P 0(x 0，y 0)到F 的距离等于其到准线的距离，即|P 0F |＝x 0＋p2，所以|AF →|＝x 1＋p 2，|BF →|＝x 2＋p 2，|DF →|＝x 3＋p 2，根据|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，得x 1＋x 3＝2x 2， 直线AD 的斜率为y 3－y 1x 3－x 1＝y 3－y 1y 234－y 214＝4y 1＋y 3，所以AD 中垂线方程为y ＝－y 1＋y 34(x －3)， 又AD 中点(x 1＋x 32，y 1＋y 32)在直线上，代入上式得x 1＋x 32＝1，即x 2＝1，所以点B (1，±2)． 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 21－8k23＋4k 2＋4k 2－123＋4k2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝⎛⎭⎫52，0， 猜想，当直线l 的倾斜角变化时， AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0， 证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点⎝⎛⎭⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝⎛⎭⎫－32＝2(4－x 1)·y 2－3(y 2－y 1)2(4－x 1)＝2(4－x 1)·k (x 2－1)－3k (x 2－x 1)2(4－x 1)＝－8k －2kx 1x 2＋5k (x 1＋x 2)2(4－x 1)＝－8k (3＋4k 2)－2k (4k 2－12)＋5k ·8k 22(4－x 1)·(3＋4k 2)＝0.∴点N ⎝⎛⎭⎫52，0在直线l AE 上．同理可证，点N ⎝⎛⎭⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝⎛⎭⎫52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．(2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点，∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭 圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1， 所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.故x 0＝－8k4＋k 2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x .(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )， 由⎩⎨⎧y ＝33(x －m )x 26＋y22＝1，由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →>0，又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，求实数t 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，得k 2<12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆C 上，∴(8k 2)2[t (1＋2k 2)]2＋2(－4k )2[t (1＋2k 2)]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209，∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2]<209，∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0， ∴k 2>14.∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， 又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2<4， ∴－2<t <－263或263<t <2，∴实数t 的取值范围为(－2，－263)∪(263，2)．(推荐时间：70分钟)一、选择题1． 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3答案 B解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.选B.2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3)D.x 216－y 29＝1(x >4) 答案 C解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2.4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8 答案 C解析 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(13，＋∞)C ．(15，＋∞)D ．(19，＋∞)答案 B解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ， PF 1＝r 1，PF 2＝r 2. 由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52<c <5⇒1<25c2<4， ∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c ；e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13. 二、填空题6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m ＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.7． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________． 答案 －2解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)， ∴PF →1·PF →2＝－2.8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案522－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得 d 1＋d 2＝|P A |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2， |PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522，所以d 1＋d 2的最小值为522－1.9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.三、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为 D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k (x －2)，联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k )．∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83.11．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解 (1)设圆P 的半径为r ， 则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1(x ＝－2)．(2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. ①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，⎩⎪⎨⎪⎧|－k ＋b |1＋k 2＝1|2k ＋b |1＋k 2＝2解之得：⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝24b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－24b ＝－2. ∴l 的方程为y ＝24x ＋2，y ＝－24x － 2. 联立方程⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1y ＝24x ＋2化简：7x 2＋8x －8＝0∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝187.12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值． (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b 2＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB . 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.(3)解 设直线OA 的斜率为k 0. 当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k201＋4k 20.同理可求得⎩⎨⎧x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4.故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)，则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)，所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1.当k 0＝0时，可求得S ＝1， 故45≤S ≤1，故S 的最小值为45.。