第二十一章一元二次方程本章的主要内容包括：一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法(配方法、公式法、因式分解法)，一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题．其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容．方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习做好准备．联系一元二次方程和函数的基本知识，继续探索实际问题中的数量关系及其变化规律，让学生进一步体会“方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”．本章是中考考查的重点内容，主要考查一元二次方程的解及其解法、一元二次方程根与系数的关系、建立一元二次方程模型解决实际问题．【本章重点】一元二次方程的解法及应用．【本章难点】1．一元二次方程根与系数的关系的应用．2．利用一元二次方程解决实际问题．【本章思想方法】1．体会和掌握转化法，如：在解一元二次方程时，利用转化法将一元二次方程转化为一元一次方程．2．掌握建模思想，如：在利用一元二次方程解决实际问题时，根据题意建立适当的一元二次方程，将实际问题转化为数学模型．21.1一元二次方程1课时21.2解一元二次方程4课时21.3实际问题与一元二次方程1课时21.1一元二次方程一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程及相关概念．2．掌握一元二次方程的一般形式．3．了解一元二次方程根的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．【过程与方法】从实际问题中建立方程模型，体会一元二次方程的概念．【情感态度与价值观】通过从实际问题中抽象出方程模型来认识一元二次方程，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】1．一元二次方程的概念及其一般形式．2．判断一个数是不是一元二次方程的解．【教学难点】能准确判断一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P1～P4的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解决下列问题：问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？【解析】设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)_cm__，宽为__(50－2x)_cm__.列方程，得__(100－2x )(50－2x )＝3600__， 化简，整理，得__x 2－75x ＋350＝0__.①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【解析】全部比赛的场数为__4×7＝28(场)__.设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛一场．因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共__12x (x －1)__场．列方程，得__12x (x －1)＝28__.化简、整理，得 __x 2－x －56＝0__.②归纳总结：方程①②的共同特点是：方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是__2__.2．一元二次方程的定义：等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．3．一元二次方程的一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)__.其中__ax 2__是二次项，__a __是二次项系数，__bx __是一次项，__b __是一次项系数，__c __是常数项．环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1； (6)ax 2＋bx ＋c ＝0.【互动探索】(引发学生思考)要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？【解答】(2)(3)(4)是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个方程是不是一元二次方程，首先看方程等号两边是不是整式，然后移项，使方程的右边为0，再观察左边是否只有一个未知数，且未知数的最高次数是否为2.【例2】将方程2x ⎝⎛⎭⎫12－x ＋2＝5(x －1)化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． 【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程的一般形式是怎样的？【解答】去括号，得x－2x2＋2＝5x－5.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：2x2＋4x－7＝0.其中二次项系数是2，一次项系数是4，常数项是－7.【互动总结】(学生总结，老师点评)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将二次项化负为正，化分为整．【例3】下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的解？－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.【互动探索】(引发学生思考)你能类比判断一个数是一元一次方程的解的方法判断一元二次方程的解吗？【解答】将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的解．【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断一个数是否是方程的解，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．若相等，则这个数是方程的解，若不相等，则这个数不是方程的解．【活动2】巩固练习(学生独学)1．下列方程是一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝02．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(A)A．2B．0C．0或2D．0或－2【教师点拨】将x＝2代入x2－2mx＋4＝0得，4－4m＋4＝0.再解关于m的一元一次方程即可得出m的值．3．把一元二次方程(x＋1)(1－x)＝2x化成二次项系数大于0的一般式是__x2＋2x－1＝0__，其中二次项系数是__1__，一次项系数是__2__，常数项是__－1__.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例4】求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动探索】(引发学生思考)已知关于x的方程，且含有字母系数，要证明该方程是一元二次方程，则该方程的二次项系数必须满足什么条件？【证明】m2－8m＋17＝m2－8m＋42＋1＝(m－4)2＋1.∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0，∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只需证明二次项系数恒不为0，即m 2－8m ＋17≠0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧必须满足的三要素⎩⎪⎨⎪⎧ 是整式方程只有一个未知数未知数的最高次数是2一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)2．判断一个数是否是一元二次方程解的方法：将这个数分别代入方程的左右两边，如果“左边＝右边”，则这个数是方程的解；如果“左边≠右边”，则这个数不是方程的解．请完成本课时对应练习！21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．【过程与方法】1．通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．通过把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程解一元二次方程．【情感态度与价值观】通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．二、重难点目标【教学重点】掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的形式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，对于方程x2＝p：(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x1＝__p__，x2＝__－p __.(2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__；(3)当p＜0时，方程__无实数根__.2．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43.(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6. 3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝；(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __； (3)当p ＜0时，方程__无实数根__. 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？ 【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8. 二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5. 由此可得x －1＝±5， ∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (2)移项，得2x 2＋3x ＝2.二次项系数化为1，得x 2＋32x ＝1.配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516. 由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12，x 2＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B ) A ．p ＝4，q ＝2 B ．p ＝4，q ＝－2 C ．p ＝－4，q ＝2D ．p ＝－4，q ＝－22．用直接开平方法或配方法解下列方程： (1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4. (1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (3)x 1＝－1，x 2＝13.(4)x 1＝16，x 2＝－16.(5)x 1＝92，x 2＝－92.(6)x 1＝1，x 2＝－3.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0， 即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0， ∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2. ∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136.【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移项→二化简→三配方→四开方请完成本课时对应练习！21.2.2 公式法(第2课时)一、基本目标 【知识与技能】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2．会熟练运用公式法解一元二次方程． 【过程与方法】复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．【情感态度与价值观】在一元二次方程求根公式的推导过程中，激发学生兴趣，了解解决问题多样性． 二、重难点目标 【教学重点】求根公式的推导及用公式法解一元二次方程． 【教学难点】一元二次方程求根公式的推导．环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P9～P12的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．用配方法解下列方程： (1)x 2－5x ＝0； x 1＝0，x 2＝5. (2)2x 2－4x －1＝0. x 1＝1＋62，x 2＝1－62. 2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？ x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.【教师点拨】因为前面解具体数字的一元二次方程已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定．(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0.当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b ±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的__求根公式__. (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫__公式法__.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2__个实数根，也可能__没有__实数根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝__b 2－4ac __.当Δ__>__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ__＝__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根；当Δ__<__0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根．4．不解方程，判断方程根的情况． (1)16x 2＋8x ＝－3； (2)9x 2＋6x ＋1＝0； (3)2x 2－9x ＋8＝0； (4)x 2－7x －18＝0.解：(1)没有实数根． (2)有两个相等的实数根． (3)有两个不相等的实数根． (4)有两个不相等的实数根．【教师点拨】将方程化为一般形式，再用判别式进行判断． 环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学) 【例1】用公式法解下列方程： (1)2x 2＋1＝3x ； (2)2x (x －1)－7x ＝2.【互动探索】(引发学生思考)用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？ 【解答】(1)原方程整理，得2x 2－3x ＋1＝0. 其中a ＝2，b ＝－3，c ＝1，则Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－3)±12×2，即x 1＝12，x 2＝1.(2)原方程整理，得2x 2－9x －2＝0. 其中a ＝2，b ＝－9，c ＝－2，则Δ＝b 2－4ac ＝(－9)2－4×2×(－2)＝97>0. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－(－9)±972×2，即x 1＝9＋974，x 2＝9－974.【互动总结】(学生总结，老师点评)用公式法解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 的值；(2)求出Δ＝b 2－4ac 的值；(3)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a ；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b2a；当Δ<0时，方程没有实数根．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．如果方程5x 2－4x ＝m 没有实数根，那么m 的取值范围是__m ＜－45__.3．用公式法解下列方程：(1)2x 2－6x －1＝0； (2)2x 2－2x ＋1＝0； (3)5x ＋2＝3x 2.解：(1)x 1＝3＋112，x 2＝3－112.(2)方程没有实数根． (3)x 1＝2，x 2＝－13.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，试判断方程(a ＋b )x 2＋2cx ＋(a ＋b )＝0的根的情况．【互动探索】(引发学生思考)三角形的三边满足什么关系？是怎样根据一元二次方程的系数判断根的情况？【解答】∵a 、b 、c 分别是三角形的三边，∴a ＋b ＞0，c ＋a ＋b ＞0，c －a －b ＜0，∴Δ＝(2c )2－4(a ＋b )·(a ＋b )＝4(c ＋a ＋b )(c －a －b )<0，故原方程没有实数根．【互动总结】(学生总结，老师点评)解答本题的关键是掌握三角形三边的关系，即两边之和大于第三边，以及运用根的判别式Δ＝b 2－4ac 判断方程的根的情况．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．一元二次方程根的情况⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根Δ<0⇔方程没有实数根2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根为x ＝－b ±b 2－4ac2a.请完成本课时对应练习！21.2.3因式分解法(第3课时)一、基本目标【知识与技能】1．掌握用因式分解法解一元二次方程．2．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法．【过程与方法】通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．【情感态度与价值观】了解因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度，培养学生的应用意识和创新能力．二、重难点目标【教学重点】运用因式分解法解一元二次方程．【教学难点】选择适当的方法解一元二次方程．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P12～P14的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．将下列各题因式分解：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；3x2－14x＋8＝__(x－4)(3x－2)__.2．按要求解下列方程：(1)2x2＋x＝0(用配方法)；(2)3x2＋6x－24＝0(用公式法)．解：(1)x 1＝0，x 2＝－12. (2)x 1＝2，x 2＝－4.3．对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做__因式分解法__.4．如果ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．即：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么x ＋1＝0或 __x －1＝0__，即x ＝－1或__x ＝1__.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生对学) 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(3)3x (2x ＋1)＝4x ＋2； (4)(x －4)2＝(5－2x )2.【互动探索】(引发学生思考)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 【解答】(1)因式分解，得(x ＋2)(x －5)＝0. ∴x ＋2＝0或x －5＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝5.(2)移项、合并同类项，得4x 2－1＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(2x －1)＝0. ∴2x ＋1＝0或2x －1＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝12.(3)原方程可变形为3x (2x ＋1)－2(2x ＋1)＝0. 因式分解，得(2x ＋1)(3x －2)＝0. ∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.(4)移项，得(x －4)2－(5－2x )2＝0. 因式分解，得(1－x )(3x －9)＝0， ∴1－x ＝0或3x －9＝0， ∴x 1＝1，x 2＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的步骤：(1)将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0；(2)将方程左边进行因式分解，将一元二次方程转化成两个一元一次方程；(3)对两个一元一次方程分别求解．【活动2】 巩固练习(学生独学) 1．解方程： (1)x 2－3x －10＝0； (2)3x (x ＋2)＝5(x ＋2)； (3)(3x ＋1)2－5＝0； (4)x 2－6x ＋9＝(2－3x )2. 解：(1)x 1＝5，x 2＝－2. (2)x 1＝－2，x 2＝53.(3)x 1＝－1＋53，x 2＝5－13.(4)x 1＝－12，x 2＝54.2．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，求该三角形的周长．解：解x 2－12x ＋35＝0，得x 1＝5，x 2＝7.∵3＋4＝7，∴x ＝5，故该三角形的周长＝3＋4＋5＝12. 【活动3】 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知9a 2－4b 2＝0，求代数式a b －b a －a 2＋b 2ab的值． 【互动探索】(引发学生思考)a 、b 的值能求出来吗？a 、b 之间有怎样的关系？怎样将a 、b 的值与已知代数式联系起来．【解答】原式＝a 2－b 2－a 2－b 2ab ＝－2ba .∵9a 2－4b 2＝0， ∴(3a ＋2b )(3a －2b )＝0， 即3a ＋2b ＝0或3a －2b ＝0， ∴a ＝－23b 或a ＝23b .当a ＝－23b 时，原式＝－2b－23b ＝3；当a ＝23b 时，原式＝－3.【互动总结】(学生总结，老师点评)要求a b －b a －a 2＋b 2ab 的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与b 的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，容易发生错误．本题注意不要漏解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.请完成本课时对应练习！*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(第4课时)一、基本目标【知识与技能】掌握一元二次方程的根与系数的关系．【过程与方法】利用求根公式得到一元二次方程的根，推导出根与系数的关系，体现了数学推理的严密性与严谨性．【情感态度与价值观】通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识，培养学生观察思考、归纳概括的能力．二、重难点目标【教学重点】理解一元二次方程的根与系数的关系．【教学难点】利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P15～P16的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．解下列方程，并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝00220x2＋3x－4＝0－41－3－4x2－5x＋6＝0235 6(1)用语言描述你发现的规律：__一元二次方程的两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项__.(2)关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，请用式子表示x1、x2与p、q的关系：__x1＋x2＝－p，x1x2＝q__.2．解下列方程，并填写表格：(1)用语言描述你发现的规律：__两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比__.(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1、x 2，请用式子表示x 1、x 2与a 、b 、c 的关系：__x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca__.3．求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0； (2)5x －1＝4x 2； (3)x 2＝4； (4)2x 2＝3x .解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15. (2)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.(3)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4. (4)x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝0.环节2 合作探究，解决问题 【活动1】 小组讨论(师生互学)【例1】x 1、x 2是方程2x 2－3x －5＝0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x 1＋x 2 ； (2)1x 1＋1x 2；(3)x 21＋x 22； (4)x 21＋3x 22－3x 2.【互动探索】(引发学生思考)根据一元二次方程的根与系数的关系可考虑将所求代数式转化为两根之和与两根之积的关系．【解答】(1)x 1＋x 2＝32，(2)∵x 1x 2＝－52，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－35.(3)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294. (4)x 21＋3x 22－3x 2＝(x 21 ＋x 22 ) ＋(2x 22 －3x 2 )＝1214. 【互动总结】(学生总结，老师点评)解答这类问题一般先将求值式进行变形，使其含有两根的和与两根的积，再求出方程的两根的和与两根的积，整体代入即可求解．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积． (1)x 2－5x －3＝0； (2)9x ＋2＝x 2； (3)6x 2－3x ＋2＝0； (4)3x 2＋x ＋1＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝－3. (2)x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝－2. (3)方程无解． (4)方程无解．2．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值． 解：另一根为2，m ＝2.【教师点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x ＝1代入方程先求m ，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．3．若一元二次方程x 2＋ax ＋2＝0的两根满足：x 21 ＋x 22 ＝12，求a 的值．解：a ＝±4.【教师点拨】由x 21 ＋ x 22 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12，再整体代入方程的两根之和与两根之积得到答案．【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例2】已知关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋14k 2＋1＝0，且方程两实根的积为5，求k 的值．【互动探索】(引发学生思考)一元二次方程有根的条件是什么？一元二次方程两实根的积与什么有关？【解答】∵方程两实根的积为5，∴ ⎩⎨⎧Δ＝[－(k ＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫14k 2＋1≥0，x 1x 2＝14k 2＋1＝5，∴k ≥32，k ＝±4.故当k ＝4时，方程两实根的积为5.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的值应满足Δ≥0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1、x 2和系数的关系如下： x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.请完成本课时对应练习！。
人教版九年级数学上册 第二十一章练习题含答案21.1一元二次方程一、选择题1．若n 是方程x 2+mx+n=0的根，n≠0，则m+n 等于（ ）A ．－12B ．12C ．1D ．－12．下列叙述正确的是（ ）A ．形如ax 2+bx+c=0的方程叫一元二次方程B ．方程4x 2+3x=6不含有常数项C ．(2）x)2=0是一元二次方程D ．一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为03．下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①x 2=0 ②ax 2+bx+c=0 x 2－2+a －x=0 ⑤(m－1)x 2+4x+2m =0 ⑥1x +1x =13⑧(x+1)2=x 2－9A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 4．如果(a －1)x 2＋ax ＋a 2－1＝0是关于x 的一元二次方程，那么必有（ ）A ．a≠0B ．a≠1C ．a≠－1D ．a ＝±－15．已知方程(x ＋m)(x －4)＝0和方程x 2－2x －8＝0的两根分别相等，则m 等于（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－26．方程 -12x 2+4x =3 的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为（ ） A ．－6 B ．6 C ．12 D ．－127．下列哪一个选项是一元二次方程（ ）A ．10x=9B ．2(y-1)=3yC ．2x 2-3x+1=0D ．2120x x-=8．方程x 2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是））A B ． C D ．19．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．2430x x -+=B ．20ax bx c ++=C ．220x x -+=D ．223250x xy y --= 10．方程（m+2）m x +mx-8=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．m=2±B ．m=2C ．m=-2D ．m ≠2±二、填空题11．已知x=2是关于x 的一元二次方程x 2）4x+m=0的一个根，则m=__________）12．已知m 是方程x 2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m 2﹣2017m+220181m ++3的值等于_____． 13．请构造一个一元二次方程，使它能满足下列条件：①二次项系数不为1；②有一个根为﹣2．则你构造的一元二次方程是_____．14．方程(x–3)2+5=6x 化成一般形式是________，其中一次项系数是________.15．如果(a+2)x 2+4x+3=0是一元二次方程，那么a 所满足的条件为___________.三、解答题16．先化简，再求值：211(1)21+1m m m m m m --÷-+++，其中m 是关于x 的一元二次方程2330x x +-=的根17．把关于x 的方程()()()23x x x -=化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数.18．一元二次方程()2(1)10a x b x c -+-+=化为一般形式后为22310x x --=，试求a b c+的值． 19．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）2(5)36x -=；（2）3(1)2(1)y y y +=+．20．观察以下方程：①237150x x --=；②221090x x +-=；③2560x x ++=；④243110x x -+=，解答下列问题： ()1上面的四个方程有三个方程的一次项系数有共同特点，请你用代数式表示出这个特点；()2请你写出符合这个条件的一元二次方程的一般形式．21．根据题意列出方程,化为一般式,不解方程.(1)一个大正方形的边长比一个小正方形边长的3倍多1,若两正方形面积和为53,求这两正方形的边长.(2)2014年某超市销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.面对下半年市场竞争激烈,超市采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装利润为1 000元,那么每件童装应降价多少元?22．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？23．）））））））(1)若n(n ≠0)是关于x ）））x 2+mx −2n =0的根，求m +n ）））(2)已知x ，y 为实数，且y =2√x −5+3√5−x −2，））））【参考答案】1．D 2．C 3．A 4．B 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A. 10．B 11．412．202013．2x 2﹣8＝014． x 2–12x+14=0 –1215．a≠）216．211,325m m --++17．22690x x 二次项22x ，二次项系数2；一次项6x -，一次项系数6-；常数项9-18．32-19．（1）210110x x --=，1，10-，11- （2）2320y y +-=，3，1，2-20．()1一次项系数为奇数21n +（n 是整数）；()()22210ax n x c +++=．21．）1）10x 2+6x -52=0））2）3x 2-90x-200=0.22．223．）1）-2））2）1621.2解一元二次方程一．选择题1．解一元二次方程（x -1）2=2（x -1）最适宜的方法是（ ）A ．直接开平方B ．公式法C ．因式分解法D ．配方法2．利用配方法解一元二次方程x 2-6x+7=0时，将方程配方为（x -m ）2=n ，则m 、n 的值分别为（ ）A ．m=9，n=2B ．m=-3，n=-2C ．m=3，n=0D ．m=3，n=23．一元二次方程x 2-6x+5=0的两根分别是x 1、x 2，则x 1•x 2的值是（ ）A ．5B ．-5C ．6D ．-64．关于x 的方程x 2-mx+6=0有一根是-3，那么这个方程的另一个根是（ ）A ．-5B ．5C ．-2D ．25．设方程x 2+x -2=0的两个根为α，β，那么α+β-αβ的值等于（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．36．一元二次方程（2x+1）（2x -1）=8x+15的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根7．如果a 、b 是关于x 的方程（x+c ）（x+d ）=1的两个根，那么（a+c ）（b+c ）等于（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．c 28．已知关于x 的一元二次方程x 2-2（k -1）x+k 2+2=0的两个实数根为x 1和x 2，设t=，则t 的最大值为（ ）A ．-4B ．4C ．-6D ．69．关于x 的一元二次方程ax 2+5x+3=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A．a＜且a≠0B．a＞C．a≤且a≠0 D．a≥10．关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．-3B．0C．1D．-3 或011．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}=4．因此，max{-2，-4}=-2；按照这个规定，若max{x，−x}＝，则x的值是（）A．-1B．-1或C．D．1或12．定义：如果一个一元二次方程的两个实数根的比值与另一个一元二次方程的两个实数根的比值相等，我们称这两个方程为“相似方程”，例如，（x-3）（x-6）=0的实数根是3或6，x2-3x+2=0的实数根是1或2，3：6=1：2，则一元二次方程（x-3）（x-6）=0与x2-3x+2=0为相似方程．下列各组方程不是相似方程的是（）A．x2-16=0与x2=25B．（x-6）2=0与x2+4x+4=0C．x2-7x=0与x2+x-6=0D．（x+2）（x+8）=0与x2-5x+4=0二．填空题13．一元二次方程（x+1）2=x+1的根是．14．若关于x的一元二次方程ax2-x+1=0有实数根，则a的最大整数值是．15．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为．16．若关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，则k的值为．17．设m、n是方程x2+x-1001=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．三．解答题18．解下列方程：（1）（y-2）（y-3）=12；（2）4（x+3）2=25（x-1）2；（3）2x2+3x-1=0（请用配方法解）．19．已知：关于x的一元二次方程x2+mx=3（m为常数）．（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．20．已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23=24，求k的值．21．已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，的值．22．已知关于x的方程x2-4x+k+1=0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且，求实数k的值．参考答案1-5：CDACC 6-10:ABDAC 11-12:BC13、14、-115、16、±217、100018、19、（1）证明：x2+mx-3=0，∵a=1，b=m，c=-3∴△=b2-4ac=m2-4×1×（-3）=m2+12，∵m2≥0，∴m2+12＞0，∴△＞0，∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为-1.520、：（1）k≥2．（2）k=3．21、（1）k的取值范围为k＞-1；（2）1．22、：（1）k≤3．（2）k=-3．21.3实际问题与一元二次方程一．选择题1．某市一楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米7220元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．4.875%B．5%C．5.4%D．10%2．两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（）A．11B．12C．13D．143．原价196元的某商品经过两次降价后，现售价100元，如果两次降价的百分数都为x，那么下列各式中正确的是（）A．196（1﹣2x）＝100B．196（1﹣x）2＝100C．100（1+2x）＝196D．100（1+x）2＝1964．为迎接春节促销活动，某服装店从1月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需640元，设该店冬装原本打x折，则有（）A．1000（1﹣2x）＝640B．1000（1﹣x）2＝640C．1000（）2＝640D．1000（1﹣）2＝6405．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（）A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640C．x（50﹣）﹣50×20＝8640D．（x﹣20）（50﹣）＝86406．某种服装的成本在两年内从300元降到243元，那么平均每年降低成本的百分率为（）A．5%B．10%C．15%D．20%7．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为（）A．4m或10m B．4m C．10m D．8m8．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨瘦肉价格由原来每千克23元，上升到每千克40元，设平均每次上涨a%，则下列方程中正确的是（）A．23（1+a%）2＝40B．23（1﹣a%）2＝40C．23（1+2a%）＝40D．23（1﹣2a%）＝409．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（）A．2＝x2B．2＝x2C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2D．210．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和DC（两边足够长），再用28m长的篱笆围成一个面积为192m2矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则AB的长为（）A．8或24B．16C．12D．16或12二．填空题11．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有人．12．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为cm．13．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为米．14．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共贺卡78张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：．15．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为．（化用一般式表示）三．解答题16．某果农2017年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2019年年收入增加到7.2万元，求平均每年年收入的增长率．17．要在一个8cm×12cm的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边．并且要使银边的面积和照片的面积相等．那么银边的宽应该是多少？18．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？19．受新型冠状病毒的影响，口罩成为最紧缺的物资之一，因此在2020年初．星星服装厂快速转型生产一次性医用口罩和N95口罩．一次性医用口罩和N95口罩的成本分别为1元/个、8元/个．星星服装厂3月份共生产两种口罩80万个并售完，其中N95口罩单个售价是一次性医用口罩单个售价的12倍，一次性医用口罩的销售额为90万元，N95口罩的销售额为360万元．（1）3月份星星服装厂两种口罩的单个售价分别是多少元？（2）由于国内口罩不再紧缺，而国外疫情逐渐爆发，从4月份起，星星服装厂将生产的口罩全部远销国外．因为将口罩出口销售，所以一次性医用口罩和N95口罩每个的成本均增加50%．4月份该厂生产并销售一次性医用口罩50万个，N95口罩25万个，两种口罩的总利润为425万元，一次性医用口罩和N95口罩的单个售价之比为1：6，5月份两种口罩的单个成本与4月份相同，总利润比4月份增加了25万元，一次性医用口罩的单个售价比4月份增加1元，N95口罩的单个售价比4月份降低a%，同时一次性医用口罩和N95口罩的数量与3月份相比，分别增加a%、a%．求a的值．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意可得：8000（1﹣x）2＝7220，解得：x1＝＝5%，x2＝（不合题意舍去），故选：B．2．【解答】解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），依题意，得：x（x﹣1）＝132，解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．3．【解答】解：设两次降价的百分数都为x，根据题意，得：196（1﹣x）2＝100，故选：B．4．【解答】解：设该店冬装原本打x折，依题意，得：1000（）2＝640．故选：C．5．【解答】解：设房价定为x元，由题意得：（x﹣20）（50﹣）＝8640．故选：D．6．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后每件300（1﹣x）元，第二次降价后每件300（1﹣x）2元，由题意得：300（1﹣x）2＝243解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意舍去）所以平均每次降价的百分率为：10%．故选：B．7．【解答】解：∵与墙垂直的边为xm，∴与墙平行的边为（28﹣2x）m．依题意，得：x（28﹣2x）＝80，整理，得：x2﹣14x+40＝0，解得：x1＝4，x2＝10．当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不合题意，舍去；当x＝10时，28﹣2x＝8．故选：C．8．【解答】解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%＝23（1+a%）；当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%＝23（1+a%）2．∴23（1+a%）2＝40．故选：A．9．【解答】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：2＝x2，故选：B．10．【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（28﹣x）m，依题意，得：x（28﹣x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16．∵P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，∴x2＝16不合题意，舍去，∴x＝12．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：设该群一共有x人，依题意有x（x﹣1）＝156，解得：x＝﹣12（舍去）或x＝13，答：这个群一共有13人．故答案为13．12．【解答】解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝1400，展开得：x2﹣75x+900＝0，解得：x1＝15，x2＝60（不合题意，舍去），则铁皮各角应切去边长为15cm的正方形．故答案是：15．13．【解答】解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，依题意得：（30+4x+24+4x）x＝80整理得：4x2+27x﹣40＝0解得x1＝﹣8（舍去），x2＝．故答案为：．14．【解答】解：设这个小组的同学共有x人，则每人送（x﹣1）张贺卡，根据题意得：x（x﹣1）＝78．故答案为：x（x﹣1）＝78．15．【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为：x（x﹣1）＝28，整理得：x2﹣x﹣56＝0．故答案为：x2﹣x﹣56＝0．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：设平均每年年收入的增长率为x，依题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：平均每年年收入的增长率为20%．17．【解答】解：设银边的宽为xcm，依题意，得：（12+2x）（8+2x）﹣12×8＝12×8，整理，得：x2+10x﹣24＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．答：银边的宽应该是2cm．18．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．19．【解答】解：（1）设3月份星星服装厂生产一次医用口罩x万个，则生产N95口罩（80﹣x）万个，依题意，得：＝，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴＝＝1.5，1.5×12＝18（元）．答：3月份星星服装厂生产的一次医用口罩的单个售价为1.5元，生产的N95口罩的单个售价为18元．（2）设4月份星星服装厂生产的一次医用口罩的单个售价为y元，则生产的N95口罩的单个售价为6y元，∵4月份两种口罩的总利润为425万元，∴[y﹣（1+50%）×1]×50+[6y﹣（1+50%）×8]×25＝425，∴y＝4，6y＝24．又∵5月份总利润比4月份增加了25万元，∴[4+1﹣（1+50%）×1]×60（1+a%）+[（1﹣a%）×24﹣（1+50%）×8]×（80。
第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=1202．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=120003．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为A．16 B．12C．16或12 D．244．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．=930 B．=930C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=9305．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=50006．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某商品原价100元，连续两次涨价x%后售价为120元，则下面所列方程正确的是A．100（1+2x%）2=120 B．100（1+x2）2=120C．100（1−x%）2=120 D．100（1+x%）2=120【答案】D【名师点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用，属于基础题型．根据题意得出等量关系是解决这个问题的关键．2．为执行“均衡教育”政策，某区2016年投入教育经费2500万元，预计到2018年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是A．2500(1+2x)=12000 B．2500(1+x)2=12000C．2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 D．2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000【答案】D【解析】由题意可得：2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000.【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，确定问题的等量关系是解题关键. 3．已知菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2−7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为A．16 B．12C．16或12 D．24【答案】A【解析】（x−3）（x−4）=0，x−3=0或x−4=0，所以x1=3，x2=4，∵菱形ABCD的一条对角线长为6，∴边AB的长是4，∴菱形ABCD的周长为16．4．祁中初三（6）班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了930份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为A．=930 B．=930C．x（x+1）=930 D．x（x−1）=930【答案】D【名师点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,其中x(x−1)不能和握手问题那样除以2,另外这类问题转化为一元二次方程求解时应注意考虑解的合理性,即考虑解的取舍.5．为改善办学条件，某县加大了专项资金投入，2016年投入房屋改造专项资金3000万元，预计2018年投入房屋改造专项资金5000万元．设投入房屋改造专项资金的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000【答案】A【解析】设教育经费的年平均增长率为x，则2017的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）万元，2018的房屋改造专项资金为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2=5000．故选A．【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．6．现有一块长方形绿地，它的短边长为20 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300 m2，设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是A．x(x−20)=300 B．x(x+20)=300C．60(x+20)=300 D．60(x−20)=300【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．某工厂两年内产值翻了一番，求该工厂产值年平均增长的百分率.若设该工厂产值年平均增长的百分率为x，则可列方程为________．【答案】（x＋1）2＝2【解析】设工厂产值年平均增长的百分率为x，原产值为a，由题意得：整理得：故答案为：8．如图，某小区有一块长为36 m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．【答案】2【解析】设人行道的宽度为x米，根据题意得，（36−3x）（24−2x）=600，化简整理得，（12−x）2=100．解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是2 m．故答案为：2.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为600 m2得出等式9．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是________元（结果用含m的代数式表示）．【答案】100（1−m）2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少．．．．库存．．，商场决定采取适当的降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设衬衫的单价降了x元：（1）该商场降价后每件盈利___________元，每天可售出________件；（2）如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？【答案】（1）（40−x），（20+2x）；(2)20【解析】（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴每件衬衫降价x元，商场平均每天可多售出2x件，∵原来每件的利润为40元，现在降价x元，∴现在每件的利润为(40−x)元，每天可以售出件.故答案为：(40−x)，.（2）由题意，得(40−x)(20+2x)=1200，解得：x1=10 ，x2=20 ,为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以x的值应为20.答：如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了20元.11．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒.（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积和纸盒的底面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．【答案】（1）；；（2）【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）利用长方形的面积减去四个正方形的面积，列出代数式；（2）根据剩余部分与减去部分面积间的关系，列出一元二次方程．12．果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每千克9.6元的单价对外批发销售．（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．【答案】（1）田丰每次价格下调的百分率是20%；（2）小李选择方案一购买更优惠．【解析】（1）设田丰每次价格下调的百分率为x．由题意得：15（1−x）2=9.6．解这个方程，得：x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：田丰每次价格下调的百分率是20%．（2）小李选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000=25920（元），方案二所需费用为：9.6×3000−400×3=27600（元）．∵25920＜27600，∴小李选择方案一购买更优惠．。
