变量与函数经典例题

例1、下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？如果不是，解：（1）y 是x 的函数； （2）y 是x 的函数；（3）y 不是x 的函数，因为对于变量x=1，变量y 有1与-1两个值与它对应； （4）y 是x 的函数说明：对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义. 例 2、判断下列关系是不是函数关系？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式| y |=x 中的y 与x.分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应. 解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系.（4）x 每取一个正值，y 都有两个值与它对应，所以| y | = x 不是函数关系.说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.例 3、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间. 解：85080S t =-0S t ≥⎧⎨≥⎩ 得850800tt -⎧⎨≥⎩850.8t ∴≤≤于是汽车距沈阳的路程S 与时间t 的函数关系式为85080S t =-，自变量t 的取值范围是850.8t ≤≤例 4、求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）235y x =- （2）21y x =+ （3）22y x =- （4）2123x y x x -=--（5）y = （6）y =（7）y =（8）y =分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负. 解：（1）函数235y x =-的自变量x 的取值范围是躯体实数 （2）函数21y x =+的自变量x 的取值范围是躯体实数 （3）20,2,x x -=∴=∴当2x =时，分母20x -=，∴函数22y x =-的自变量的取值范围是2x ≠； （4）由2230x x --=解得123,1,x x ==-∴ 当3x =或1x =-时，分母2230x x --=，∴ 函数2123x y x x -=--的自变量x 的取值范围是3x ≠且1x ≠-（5）由230x -≥解得32x ≤，∴函数y =x 的取值范围是 32x ≤； （6）由30x +≥得3x ≥-，由20x +=得2x =-，当2x ≠-时，分母20x +≠，∴函数2y x =+的自变量x 的取值范围是3x ≥-且2x ≠-； （7）22224213(1)30,x x x x x ++=+++=++≥即对于任意实数x ，224x x ++都是非负的，∴函数y =x 的取值范围是全体实数；（8）由630,360x x -≥⎧⎨-≥⎩得112,122x x x ⎧≥⎪⎪∴=⎨⎪≤⎪⎩因此，函数y =x 的取值范围是12x =.典型例题五例 已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程.（2002年山东省青岛市中考题）分析 ：由于题中所经过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式：（1）若经过A 、B 两点的函数的图象是直线，设其解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧+=+=.22,4b k b k 解之，得⎩⎨⎧=-=.6,2b k 此时，函数解析式为.62+-=x y（2）由于A 、B 两点的横、纵坐标的积相等，都等于4，所以，经过A 、B 两点的函数的图象还可以是双曲线，其解析式为：xy 4=. （3）如果经过A 、B 两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为 c bx ax y ++=2（0≠a ），则有 ⎩⎨⎧++=++=.242,4c b a c b a解之，得⎩⎨⎧+=--=.6,23a c a b因此，只要a 、b 、c 同时满足关系式23--=a b 和62+=a c ，即可保证二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点；显然，这样的二次函数有无数个.如取a =1，则有b =-5，c =8，相应图象所对应的二次函数的解析式为：852+-=x x y .（4）其他略.典型例题六例 （北京市海淀区，1999）如图，在矩形ABCD 中，P BC AB ,7,4==是BC 边上与B 点不重合的动点，过点P 直线交CD 的延长线于R ，交AD 于Q （Q 与D 不重合），且045=∠RPC 。

初中数学同步典型例题分析专题：变量与函数（一）题1.判断下列变量之间的关系是否是函数关系：（1）下列关于变量x ，y 的关系：①023=-y x ，②152=-y x ，③x y 3=，④x y ±=中的y 与x ；（2）正方体中的棱长与表面积（3）下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？ x 12 3 4 3 2 y1 12 2 23 （4）下面图象分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断 y 是x 的函数吗？题2.求下列函数中自变量x 的取值范围：⑴x x y +=22； ⑵3+=x y ；⑶31-+=x x y ； ⑷11+-=x x y ； ⑸2-=x x y ； ⑹x x y -+-=33．⑺123--=x x y ；⑻1253-+-=x x y .题3.一个正方形的边长为5cm ，•它的边长减少xcm•后得到的新正方形的周长为ycm ，写了y 与x 的关系式，并指出自变量的取值范围．题 4.一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km /h ，水流速度为5 km /h ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t （h ），航行的路程为s （km ），则s 与t 的函数图象大致是（ ）题 5.矩形的面积为S ，则长a 和宽b 之间的关系为S = ，当长一定时， 是常量， 是变量．题6.函数11y x =+的自变量x 的取值范围是（ ）．A ．1x >-B ．1x <-C ．1x ≠-D ．1x ≠题7.已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．（1）写出剩余水的体积Q 立方米与时间t （时）之间的函数关系式．（2）写出自变量t 的取值范围．题8.小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的大致图象是（ ）以上课后练习答案及详解如下：题1.答案： （1）①③中y 是x 的函数 （2）是 （3）不是 （4）A 、C 、D 中y 是x 的函数，B 中y 不是x 的函数解析：判断两个变量之间是否函数关系，主要要抓住定义本身，即对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应．（1）①③中当x 取一个值时y 都有唯一的值与它对应同，故y 是x 的函数，而②④中当x 取一个值时y 不是唯一的值与它对应同，故不是函数关系；（2）正方形的表面积等于棱长平方的6倍，当棱长发生变化时，其表面积随之而变化，故它们是函数关系；（3）y 不是x 的函数，因为对于变量2=x ，变量y 有1与3两个值与之对应；（4）A 、C 、D 中当x 取一个值时，变量y 有唯一的值与之对应，但B 中当x 在其正半轴上任意取一个值时，变量y 却有两个值与之对应，故不是函数关系.题2.答案： （1）全体实数；（2）3-≥x ；（3）3≠x 且3-≠x ；（4）1- x ；（5）20≠≥x x 且；（6）3=x ；（7）51≠≥x x 且；（8）5321≤≤x . 解析：函数解析式以及函数自变量的实际意义确定自变量的取值范围是中考数学试卷中的一个考查热点，其中根据函数解析式确定自变量的取值范围可分为以下类型：⑴整式型：当函数解析是整式时，自变量的取值范围是全实数.⑵分式型：当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数.注意不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义.⑶偶次根式型：当函数解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方式为非负数.⑷零次幂或负整数次幂型：当零次幂或负整数次幂的底数中含有自变量时，该底数不为零.特别要注意综合考虑各种情况，如（5）需要满足的条件是⎩⎨⎧≠-≥020x x ；（6）需要满足的条件是⎩⎨⎧≥-≥-0303x x ；（7）需要满足的条件是⎩⎨⎧≠--≥-01201x x ；（8）需要满足的条件是⎩⎨⎧≥-≥-012053x x .题3.答案：解：y 与x 的函数关系式为y=20-4x ，自变量的取值范围是0≤x<5．解析：周长y=4（5-x ）；自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足不等式组500x x ->⎧⎨≥⎩． 题4.答案： C解析：本题考查学生对函数图象的理解,轮般先从甲地顺水航行到乙地，再从乙地逆流航行回到甲地，所以先用的速度要快，从图象观察A 、B 是错误的；由于在乙地停留一段时间，所以D 图象也是错误的，故此题选C ．题5.答案：ab ，a ，S ，b解析：先根据矩形的面积公式确定函数关系，再根据不变的量是常量，变化着的量是变量来确定答案.题6.答案：C解析：由分母不为零，得x+1≠0，即x≠－1. 故选C.题7.答案：解：（1）t Q 50800-=（2）160≤≤t解析：水池中剩余的水＝原有的水－抽出的水，又因为每小时抽50立方米。

第一讲 变量及函数知识点1: 常量及变量常量（或常数）:数值保持不变的量变量: 可以取不同数值且变化的量注: 常量和变量是相对而言的, 它由问题的条件确定。

如s ＝vt 中, 若s 肯定时, 则 s 是常量, v, t 是变量若v 肯定时, 则 v 是常量, s, t 是变量若t 肯定时, 则 t 是常量, s, v 是变量（1） 例1 分别指出下列关系式中的变量及常量:（2） 一个物体从高处自由落下, 该物体下落的距离及它下落的时间的关系式为（其中）；一个多边形的内角和A 及边数（, 且为整数）存在关系；长方体的体积及长, 宽, 高之间的关系式为。

知识点2: 函数的概念 及函数思想（难点）一般地, 设在一个变化的过程中有两个变量x, y,假如对于x 在它允许取值范围内的每一个值, y 都有唯一确定的值及它对应, 那么就说x 是自变量, y 是x 的函数.对函数概念的理解, 主要抓住以下三点：1 有两个变量；一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化； 对于自变量每一个确定的值, 函数有且只有一个值及之对应。

例如：y=±x, 当x=1时, y 有两个对应值, 所以y=±x 不是函数关系。

对于不同的自变量x 的取值, y 的值可以相同, 例如, 函数：y=|x|, 当x=±1时, y 的对应值都是1。

注: （1）函数体现的是一个变化的过程: 一个变量的变化对另一个变量的影响。

（2）在变化的过程中有且只有两个变量: 自变量（一般在等号的右边）和 因变量（一般在等号的左边）。

（3）函数的实质是两个变量之间的对应关系: 自变量x 每取一个值, 因变量有唯一确定的值及它对应。

（4）含有一个变量的代数式可以看作这个变量的函数。

例1 推断下列变量之间是不是存在函数关系并说明理由（1）长方形的宽肯定时, 其长及面积； （2）等腰三角形的底边长及面积 （3）某人的身高及年龄 （4）弹簧的总长度y （cm ）及所挂物体质量x （kg ）例2 下列变量x, y 的关系中, y 是x 的函数的（）x 是y 的函数的（）3x －y ＝5 ②y ＝｜x ｜ ③2210x y -=例3 下列各曲线中, 不能表示y 是x 函数的为（ ）A ．B ．C ．D ．知识点3: 函数的自变量的取值范围 （重点, 常考点）（1）若函数关系式是整式, 则自变量的取值范围是: 全体实数。

1. 2. 3. 4. 5. 6.7.变量与函数专题在平面直角坐标系中，点(-3,2)所在的象限是A.第一象限C.第三象限【答案】B函数y=VEE2中自变量X的取值范围是x-3A.x>2B.xN2【答案】CB.第二象限D.第四象限C.xN2且xU3若一次函数y=(k-2)x+1的函数值y随x的增大而增大，则A.k<2B.k>2C.k>0D.k<0D.x"3【答案】B一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为A.(0,2)【答案】AB.(0,-2)C.(2,0)D.(-2,0)将直线y=2x-3向右平移2个单位长度,A.y=2x-4B.y=2x+4再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为C.y=2x+2D.y=2x-2【答案】A如图，在矩形A0BC中，A(-2,1A.--2【答案】A1B.-20),B(0,1).若正比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为C.-2D.2如图，直线y二kx+b(k"0)经过点A(-2,4),则不等式kx+b>4的解集为A.x>-2 D.x<4【答案】A8.如图，直线1是一次函数y=kx+b 的图象，若点A (3, m)在直线1上，则m 的值是【答案】C9.反比例函数y=§的图象经过点(3, -2),下列各点在图象上的是xA. (-3, -2)B. (3, 2)C. ( - 2, - 3)D. ( -2, 3)【答案】D10.如图，已知直线y=k 1X (虹尹0)与反比例函数y=4 (k 2^0)的图象交于M, N 两点.若点M 的坐标x是(1, 2),则点N 的坐标是A. ( - 1> - 2)C. (1, -2)B. ( -1, 2)D. ( -2, - 1)【答案】A11.如图，点C 在反比例函数y=* (x>0)的图象上，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A, B,且AB=BC,X△A0B 的面积为1,则k 的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D12.某通讯公司就上宽带网推出A, B,C 三种月收费方式.这三种收费方式每月所需的费用y (元)与上网时间x (h)的函数关系如图所示，则下列判断错误的是65503012025 50 55ox(h)A. 每月上网时间不足25h 时，选择A 方式最省钱B. 每月上网费用为60元时，B 方式可上网的时间比A 方式多C. 每月上网时间为35h 时，选择B 方式最省钱D. 每月上网时间超过70h 时，选择C 方式最省钱【答案】D13.二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关.当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据如图，在下列选项中指出白昼时长低于11小时的 节气白昼时长伺咽A.惊蛰B.小满C.立秋D.大寒【答案】D14.小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s （单位：m ）与时间r （单位：min ）之间函数关系的大致图象是B.—°/(min)D.【答案】B15.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点0出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动Im.其行走路线如图所示，第1次移动到Au 第2次移动到A 2,…,第n 次移动到A ”.则左OA 2A 20i9的面积是16.17.A, 504m 2【答案】A22二次函数y=ax 2+bx+c (a^O)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是A. 4a+b=0C. a ： c= - 1 ： 5【答案】DD.当-1W x W5 时，y>0如图，若二次函数y=ax 2+bx+c (a 尹0)图象的对称轴为x=l,与y 轴交于点C,与x 轴交于点A 、点B ( - 1, 0)，则①二次函数的最大值为a+b+c ；②a - b+c<0；(3)b 2 - 4ac<0；④当y>0时，其中正确的个数是【答案】B18. P (3, -4)到x 轴的距离是【答案】419.抛物线y=2(x+2)纤4的顶点坐标为.【答案】(-2,4)20.如图，抛物线y=ax，与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax^bx+c的解是.【答案】xi=-2,x2=l21.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=m时，矩形土地ABCD的面积最大.【答案】1503, 22.飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t(单位：s)的函数解析式是y=60t-一尸.在2飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是m.【答案】2423.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,水面下降2m,水面宽度增加m.【答案】(4扼-4)24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1.(1)求k、b的值；(2)若点D在y轴负半轴上，且满足S acod=|saboc,求点D的坐标.【解析】（1）当X=1时，y=3x=3,.•.点C 的坐标为（1, 3） .将 A ( - 2, 6)、C (1, 3)代入 y=kx+b,得：—2k + 〜=6k + b = 3，解徐’k = -l b = 4（2）由（1）得直线AB 的解析式为y=-x+4.当 y=0 时，有-x+4=0,解得：x=4,.•.点B 的坐标为（4, 0）.设点D 的坐标为（0, m ） （m<0）,1 nn 1 1 1S acod = — S aboc ,即m = — X — X 4X 3,3 2 3 2解得：m= - 4,.•.点D 的坐标为（0, -4）.25.抛物线y=-|x +bx+c 经过点A （3 0, 0）和点B （0, 3）,且这个抛物线的对称轴为直线1,顶点121 9 l【解析】（1） •抛物线y = +版+。

变量与函数的例子
1. 想象一下，你去超市买东西，买的东西数量不就是一个变量嘛，而总价就是数量这个变量的函数呀！比如你买苹果，一个苹果 2 块钱，你买了 5 个，那总价不就是 10 块嘛，这就是变量与函数的简单例子呀！
2. 嘿，你看天气的变化，每天的气温是不是一个变量呀，而根据气温我们穿不同的衣服，这穿什么衣服不就是气温这个变量的函数嘛！难道不是很有趣？
3. 咱再说说打游戏哈，你每一局游戏的得分就是个变量，而你的游戏水平就像是决定得分这个变量的函数呢！你说是不是？
4. 哎呀呀，你想想看，你每天运动的时间不就是个变量嘛，然后你的身体健康状况就和这个运动时间的变量有着密切关系呢，这不就像函数一样嘛，难道不是吗？
5. 嘿，比如说你学习的时间，这是个变量吧，然后你的学习成果就可以看作是由学习时间决定的函数呀，很形象吧？
6. 你想想去旅游的时候，去的地方不同就是变量呀，而你的心情和收获就像是这个变量的函数，肯定会不一样呀，对吧？
7. 哇哦，像做饭的时候，食材的用量就是变量，做出来的饭菜味道就是用量这个变量的函数呀！是不是很神奇呢！
我觉得变量与函数就在我们生活的方方面面呀，到处都能看到它们的影子呢！。

变量与函数练习题一、变量练习题1. 小明买了一本书，书的价格是200元，他付了300元，求小明找回的零钱是多少？解答：书的价格是200元，小明付了300元，找回的零钱 = 付的钱 - 书的价格所以，找回的零钱 = 300 - 200 = 100元。

2. 请计算长方形的面积和周长，长为5，宽为3。

解答：长方形的面积 = 长 ×宽长方形的周长 = 2 × (长 + 宽)所以，长方形的面积 = 5 × 3 = 15，长方形的周长 = 2 × (5 + 3) = 16。

二、函数练习题1. 编写一个函数，接受两个参数，计算并返回两个参数的和。

解答：```pythondef calculate_sum(a, b):return a + b# 测试print(calculate_sum(3, 5)) # 输出：8print(calculate_sum(10, -2)) # 输出：8```2. 编写一个函数，接受一个字符串作为参数，返回字符串的长度。

解答：```pythondef calculate_length(string):return len(string)# 测试print(calculate_length("Hello")) # 输出：5print(calculate_length("Python")) # 输出：6```三、综合练习题1. 编写一个程序，接受用户输入的两个数字，计算并输出两个数字的和、差、积、商和余数。

解答：```pythonnum1 = float(input("请输入第一个数字："))num2 = float(input("请输入第二个数字："))sum_result = num1 + num2difference = num1 - num2product = num1 * num2quotient = num1 / num2remainder = num1 % num2print("和：", sum_result)print("差：", difference)print("积：", product)print("商：", quotient)print("余数：", remainder)```以上是关于变量和函数的练习题，请根据题目要求编写代码，并对结果进行验证。

话说变量与函数题型题型一:函数概念及自变量的取值范围在某一变化过程中有两个变量x,y,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,此时我么称y 是x 的函数,其中x 是自变量.使函数有意义的自变量的取值的全体,我们叫做函数自变量的取值范围,自变量的取值范围必须满足:①自变量的代数式有意义;②还要满足实际问题的实际意义.例1:函数12y x -=-x 的取值范围是( ) A ．1x -≥ B ．2x >C ．1x >-且2x ≠D ．1x -≥且2x ≠分析：函数自变量的取值范围满足被开方数为非负和分式中分母不为零.所以⎩⎨⎧≠-≥+0201x x 所以1x -≥且2x ≠.故选D ．题型二:求实际问题的函数解析式关于确立函数解析式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,找出含有自变量和函数的等式,其具体方法和列方程解应用题类似.例2:用规格为50cm ×50cm 的地板砖密铺客厅恰好需要60块.如果改用规格为acm ×acm 的地板砖y 块也恰好能密铺该客厅，那么y 与a 之间的关系为( ) A.2150000a y = B.ay 150000= C.2150000a y = D.a y 150000= 分析:因为用规格为50cm ×50cm 的地板砖密铺客厅恰好需要60块,所以客厅的面积为50×50×60=1500002cm ,若改用acm ×acm 的地板砖y 块也恰好能密铺该客厅，则2150000ay =,所以y 与a 之间的关系为A 选项. 例3:某学校要印刷一批宣传材料，甲印务公司提出售制版费900元，另外每份材料收印刷费0.5元；乙印务公司提出不受制版费，每份材料收印刷费0.8元.(1)分别写出两家印务公司的收费y(元)与印刷材料的份数x(份)之间的函数关系式.(2)若学校预计要印刷5000份以内的宣传材料，请问学校应选择哪一家印务公司更合算？分析:直接根据题意,写出y 与x 之间的函数关系式.解: (1)甲:x y 5.09001+= 乙:x y 8.02=(2)当x=5000时, ;340050005.09005.09001=⨯+=+=x y 400050008.08.02=⨯==x y所以21y y 所以选择甲印务公司更合算.迁移点拨:根据实际应用问题列函数解析式和方程的等量关系类似.题型三:函数图象(读图能力)画函数图象,一般按下列步骤进行:列表,描点,连线.列表时要注意自变量的取值范围,既要使自变量的取值具有代表性,又不至于使自变量所对应的函数值太大或太小,以利于描点和全面反映图象情况,当图象有端点时,要注意端点是否有等号,有等号时画实心点,无等号时画空心圈.例3: 如图⑴是某公共汽车线路收支差额y(票价总收人减去运营成本)与乘客量 x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会.乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏． 公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图⑴分别改画成图⑵和图⑶ ,⑴ 说明图⑴中点 A 和点 B 的实际意义：⑵你认为图⑵和图⑶两个图象中，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 .⑶如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图⑷中画出符合这种办法的 y 与 x 的大致函数关系图象.分析:注意点A 的意义,点B 的意义及将射线AB 旋转的角度.解:⑴点A 表示这条路线的运营成本为1万元; 点B 表示乘客数达1.5万人时,这条线路收支达到平衡.⑵图⑶,图⑵⑶将图⑴中的射线AB 绕点A 逆时针适当旋转且向上平移(图略).迁移点拨:我们要密切关注函数图象问题中不同图象代表的不同的意义,如函数增加的图象,函数平行于x 轴的图象,函数递减的图象.小试牛刀:1.函数21--=x x y 的自变量x 的取值范围是_______. 2. 某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数y 与平均 每天使用的小时数x 之间的关系式为 .3.一辆汽车由内江匀速驶往成都，下列图像中能大致反映汽车距离成都的路程s(千米)和行驶时间t(小时)的关系的是( )4.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.(1)当他按原路匀速返回时，求汽车速度v(千米/小时)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度.参考答案:1.；且21≠≥x x2. xy 1000= 3. C 4. (1)t v 480= (2) v =100(千米/小时).。

变量与函数一、选择题(每小题4分,共12分)1.某型号的汽车在路面上的制动距离s=错误!未找到引用源。

,其中变量是( )A.s,vB.s,v2C.sD.v2.(2013·泸州中考)函数y=错误!未找到引用源。

自变量x的取值范围是( )A.x≥1且x≠3B.x≥1C.x≠3D.x>1且x≠33.根据如图所示程序计算函数值,若输入的x的值为错误!未找到引用源。

,则输出的函数值为( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2012·巴中中考)函数y=错误!未找到引用源。

中,自变量x的取值范围是.5.购买一些签字笔,单价3元,总价为y元,签字笔为x支,y随x变化的关系式y= , 是自变量, 是的函数.6.某水果批发市场香蕉的价格如表:购买香蕉数(kg) 不超过20kg20kg以上但不超过40kg40kg以上每kg价格8元7元6元若小强购买香蕉xkg(x大于40kg)付了y元,则y关于x的函数解析式为.(写出自变量的取值范围)三、解答题(共26分)7.(8分)下表给出了橘农王林去年橘子的销售额y(元)随橘子卖出质量x(kg)的变化的有关数据:卖出质量(kg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9销售额(元) 2 4 6 8 10 12 14 16 18(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?并写出函数的解析式.(2)哪个是自变量?哪个是自变量的函数?(3)当橘子卖出5kg时,销售额是多少?(4)估计当橘子卖出50kg时,销售额是多少?8.(8分)已知一根长为20m的铁丝围成一个长方形,若宽为x,长为y:(1)求出y关于x的函数解析式.(2)写出自变量x的取值范围.(3)求当x=4时所对应的函数值.【拓展延伸】9.(10分)如图,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上,开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后让点A与点N重合,试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA的长度x(cm)之间的函数解析式,并写出自变量的取值范围.答案解析1.【解析】选A.∵制动距离s=错误!未找到引用源。

八年级数学：变量与函数练习（含答案）一、选择题:1．下列关于圆的面积S与半径R之间的函数关系式S=πR2中,有关常量和变量的说法正确的是（）A．S,R2是变量,π是常量 B．S,R是变量,2是常量C．S,R是变量,π是常量 D．S,R是变量,π和2是常量2．据调查,北京石景山苹果园地铁站自行车存车处在某星期日的存车量为4000次,其中电动车存车费是每辆一次0.3元,普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y关于x的函数关系式是（）A．y=0.1x+800（0≤x≤4000） B．y=0.1x+1200（0≤x≤4000）C．y=-0.1x+800（0≤x≤4000） D．y=-0.1x+1200（0≤x≤4000）3．某同学在测量体温时意识到体温计的读数与水银柱的长度之间可能存在着某种函数关系,就此他与同学们选择了一种类型的体温计,经历了收集数据、分析数据、得出结论的探索过程．他们收集的数据如下：请你根据上述数据分析判断,水银柱的长度L（mm）与体温计的读数t℃（35≤t≤42）之间存在的函数关系式为（）A．L=110t-66 B．L=11370t C．L=6t-3072D．L=39552t二、填空题4．小明带10元钱去文具商店买日记本,已知每本日记本定价2元,则小明剩余的钱y（元）与所买日记本的本数x（元）之间的关系可表示为y=10-2x．在这个问题中______是变量,_______是常量．5．在函数y=12x-中,自变量x的取值范围是______．6．某种活期储蓄的月利率是0.16%,存入10000元本金,按国家规定,取款时应缴纳利息部分20%的利息税,则这种活期储蓄扣除利息税后,实得本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系式为________．三、解答题7．求下列函数中自变量x的取值范围；（1）y=2x2+1；（2）y=13x．8．写出下列各问题中的函数关系式（不需标明自变量的取值范围）：（1）小明绕着一圈为400m的跑道跑步,求小明跑的路程s（m）与圈数n之间的函数关系式；（2）已知等腰三角形的周长为36,腰长是x,底边上的高是6,若把面积y看作腰长x的函数,试写出它们的函数关系式．四、思考题9．某旅客带了30公斤的行李乘飞机,按规定,旅客最多可免费携带20公斤的行李,超重部分每公斤按飞机票价的1.5%购买行李票,现该旅客购买了120元的行李费,求他的飞机票价格．B卷：提高题一、七彩题1．（一题多解题）按如图所示堆放钢管．（1）填表：（2）当堆到x层时,求钢管总数y关于层数x的函数关系式．二、知识交叉题2．（科外交叉题）一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,其速度每秒增加2米,到达坡底时,小球速度达到40米/秒．（1）求小球速度v（米/秒）与时间t（秒）之间的函数关系式；（2）求3.5秒时小球的速度；（3）求几秒时小球的速度为16米/秒．三、实际应用题3．山东省是水资源比较贫乏的省份之一,为了加强公民的节水和用水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费；超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费,该市某户今年3,4月份的用水量和水费如下表所示：用水量（立方米）水费（元）月份3 5 7.54 9 27设某户该月用水量为x（立方米）,应交水费为y（元）．（1）求a,c的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,y与x之间的函数关系式；（2）若该户5月份的用水量为8立方米,求该户5月份的水费是多少元？四、经典中考题4．（2008,齐齐哈尔,4分）,函数中,自变量x的取值范围是_______．C卷：课标新型题一、探究题1．（结论探究题）某商场计划投入一笔资金采购一批商品并转手出售,经市场调查发现,如果月初出售,可获利15%,并可用本和利再投资其他商品,到月末又可获得10%；如果月末出售可获利30%,但要付出仓储费用700元．请问根据商场的资金状况,如何购销获利较多？二、说理题2．某移动通讯公司开设两种业务,“全球通”：先缴50元月租费,然后每通话1跳次,再付0．4元；“神州行”：不缴月租费,每通话1跳次,付话费0.6元（本题的通话均指市内通话）．若设一个月内通话x跳次,两种方式的费用分别为y1和y2元．（跳次：1min为1跳次,不足1min按1跳次计算,如3.2min为4跳次）（1）分别写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）一个月内通话多少跳次时,两种方式的费用相同？（3）某人估计一个月内通话300跳次,应选择哪种合算？参考答案A卷一、1．C 点拨：解题的关键是对π和R2中的指数如何处理．判断变量和常量的根据就是看它们是否可改变,显然π是不改变的,是常量,圆的面积是随半径R的变化而变化的,故S和R 为变量,当R变化时R2也变化,R2中的指数2与变量和常量无关．2．D 点拨：存车费总收入y=电动车存车总费用+普通车存车总费用=0.3×（4000-x）+0. 2x=-0.1x+1200,其中0≤x≤4000．故应选D．3．C 点拨：由图表可知L随t的变化而变化,通过变化规律,可以得到L与t之间的关系式为L=56.5+6（t-35）,即L=6t-3072（35≤t≤42）．二、4．x,y；10,2 点拨：因为所买日记本数x是可以变化的,小明余下的钱y也是变化的,故y与x是变量,而10和2是保持不变的,故它们是常量．5．x≠2 点拨：分式12x-有意义,须令x-2≠2,得x≠2．6．y=10000+12.8x（x≥0且x为整数）点拨：本息和=本金+利润,本金=10000元,利息=本金×月利率×月数×（1-20%）=10000×0.16%·x·0.8=12.8x,所以y=10000+12.8x．三、7．解：（1）自变量x的取值范围是全体实数；（2）因为3-x≠0,所以x≠3,即自变量x的取值范围是x≠3．8．解：（1）s=400n．（2）y=-6x+108．点拨：（1）总路程=一圈的长度×圈数；（2）由题意可知,等腰三角形的底边长为（36-2x）,所以y=12×（36-2x）×6,即y=-6x+108．四、9．解法一：（从方程的角度解）设他的飞机票价格为x元,根据题意,得（30-20）·x·1.5%=120,所以x=800．解法二：（从函数的角度解）设飞机票价格为k元,则行李票的价格y（元）与所带行李的公斤数x（公斤,x>20）之间的函数关系为y=（x-20）·k·1.5%,已知x=30时,y=120,代入关系式,得120=（30-20）·k·1.5%,解得k=800．答：略．点拨：解法一和解法二实质上是一致的,只不过考虑问题的角度不同,解法一是解法二的特殊情况．B卷一、1．解法一：（1）当x=1时,y=1；当x=2时,y=1+2=3；当x=3时,y=1+2+3=6；当x=4时,y=1+2+3+4=10；…；当x=x时,y=1+2+3+4+…+x=12x（x+1）．（2）y=12x（x+1）=12x2+x12（x≥1且为整数）．解法二：如图所示,将原题图倒置过来与原图一起拼成平行四边形,利用其面积计算公式可得到结论y=12x（x+1）,即y=12x2+12x．（1）题表中依次填为：1,3,6,10,12x2+12x．（2）y=12x·（x+1）=12x2+12x．（x≥1且为整数）点拨：仔细分析总数与层数之间的关系是解决这类图形问题常用方法之一．二、2．解：（1）v=2t；（2）当t=3.5时,v=2×3.5=7,即3.5秒时小球的速度为7米/秒；（3）当v=16时,16=2t,t=8,即8秒时小球的速度为16米/秒．点拨：本题是函数关系式与物理学科的知识交叉题,也就是函数关系式在物理学科中的实际应用．三、3．解：（1）当x≤6时,y=ax；当x>6时,y=6a+c（x-6）．将x=5,y=7.5代入y=ax,得7.5=5a,将x=9,y=27代入y=6a+c（x-6）,得27=6a+3c．解得a=1.5,c=6．所以y=1.5x（x≤6）,y=6x-27（x>6）；（2）将x=8代入y=6x-27,得y=21,所以5月份的水费是21元．四、4．x≤3且x≠1C卷一、1．解：设商场投资x元,在月初出售可获利y1元,到月末出售出获利y2元．根据题意,得y1=15%x+10%（1+15%）x=0.265x,y2=30%x-700=0.3x-700．（1）当y1=y2时,0.265x=0.3x-700,所以x=20000；（2）当y1<y2时,0.265x<0.3x-700,所以x>20000；（3）当y1>y2时,0.265x>0.3x-700,所以x<20000．所以当商场投资20000元时,两种销售方法获利相同；当商场投资超过20000元时,第二种销售方式获利较多；当商场投资不足20000元时,第一种销售方式获利较多．点拨：要求哪种销售方式获利较多,关键是比较在自变量的相同取值范围内,两个函数值的大小,除上述方法外,也可以采用作差的方法解决．二、2．解：（1）y1=50+0.4x,y2=0.6x；（2）两种方式的费用相同时,y1=y2,即50+0.4x=0.6x,解得x=250．即一个月内通话250跳次,两种方式的费用相同；（3）某人一个月估计通话300跳次,则全球通的费用为：y1=50+0.4×300=170（元）,神州行的费用为：y2=0.6×300=180（元）,因为y1<y2,所以选择“全球通”合算．点拨：“话费问题”是日常生活中常见的问题,电话费与通话时间也是一种函数关系,要用函数的思想来加以说理解决．本题体现了分类思想,分两种情况来分析问题是解决此题的关键．。

《变量与函数》典例精析1【例1】写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量、自变量与函数．（1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式．（2）n边形的对角线条数S与边数n之间的关系式．【解析】（1）由路程=速度×时间，可得vt=200，即t=.路程始终保持不变，所以200是常量，时间、速度的值在改变，因此，v、t是变量.由于t是随v改变而发生变化的，因此，v是自变量，t是v的函数．（2）从n边形的一个顶点引对角线，共可引（n－3）条对角线，则从n个顶点出发共引n（n－3）条对角线，但由于重复计算了一次，故对角线条数为，即可得出S 与n的关系式.在这个问题中，S、n是变量，由于n的每一个值S都有唯一的值与之对应，所以n是自变量，S是n的函数．【答案】（1）t=，其中200是常量，v、t是变量，v是自变量，t是v的函数．（2）S=，其中，3是常量，S、n是变量，n是自变量，S是n的函数．【点评】利用我们所熟悉的公式作为相等关系，通过公式或公式的变形推导出函数关系．【例2】写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系，并求自变量x的取值范围．【解析】由三角形的内角和定理等于180º可知，y+2x=180º，所以y=180º-2x．又知x 是等腰三角形的底角，所以x不可能大于或等于90º，因此，自变量x的取值范围是0＜x ＜90º．【答案】y=180º-2x，0＜x＜90º．【点评】取值范围应满足实际问题有意义．【例3】一个正方形的边长为5cm，•它的边长减少x cm•后得到的新正方形的周长为y cm，写了y与x的关系式，并指出自变量的取值范围．【解析】周长y=4（5-x）；自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足不等式组．【答案】y与x的函数关系式为y=20-4x，自变量的取值范围是0≤x<5．【点评】关系式用周长的计算公式，取值范围应考虑到每条边长均为正数．【例4】水是人类最宝贵的资源之一，我国水资源人均占有量远远低于世界平均水平.为了节约用水，保护环境，北京市自来水公司制定了节水措施，采用了分段计费的方法计算水费.具体方法是：若每月每户居民用水不超过4立方米时，按每吨2元计算；若每月每户居民用水超过4立方米时，超出部分按每吨4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）.设每户每月的用水量为x吨，交纳水费为y元，写出y与x的函数关系式，李涛同学家一月份交水费7.5元，二月份交水费17元，三月份交水费8元，则李涛家第一季度共用水多少吨？【解析】由于用水量与水费的标准不同，所以不能用一个函数关系式表示，应采用分段考虑的方法.关于第一季度共用水的问题，应分别求出每月的用水量，再求和．【答案】当0≤x≤4时，y=2x；当x＞4时，y=2×4+4.5(x-4)，即y=4.5x-10．因为7.5＜2×4；8=2×4；12＞2×4，所以一月份、三月份的用水量均不超过4吨，三月份的用水量超过了4吨．所以，一月份用水量为：=3.5(立方米)；二月份用水量为：4+=6(立方米)；三月份用水量为(立方米)，3.5+6+4=13.5(立方米)．答：李涛家第一季度共用水13.5吨．【点评】本题在自变量取不同的范围时，函数满足的条件不同，我们常称之为分段函数．这种函数情况繁杂，应先根据自变量分别求出函数关系式，再观察问题中的自变量在哪个范围内，最终得到问题的答案．【例5】填写如图所示的加法表，然后把所有填有11的格子涂上颜色，看看你能发现什么?如果把这些涂色的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．哪一个当自变量呢？自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．【解析】当涂色的格子横向的加数为3时，纵向的加数是8；当纵向的加数为6时，横向的加数是5……．总之，它们的和是11．观察加法表中涂色的格子的横向的加数的数值范围，它是小于或等于10，如果把横向的加数当作自变量，就可以确定自变量的取值范围了．【答案】如图能发现涂黑的格子在一条斜线上．并且横、纵向两个加数的和是11，所以有x+y＝11，其函数关系式为：y＝11－x．自变量x的取值范围是：1≤x≤10．【点评】在变化过程中，两个变量，哪一个是自变量，哪一个是函数，不是固定不变的．在这个问题中，如果把纵向的加数当作自变量，那么，横向的加数就是它的函数．【例6】如图所示，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的函数关系式.并求当MA=1cm时，重叠部分的面积是多少？【解析】由于在整个的运动过程中，重叠部分构成等腰直角三角形，MA的长度为x，重叠部分的面积为y，根据三角形的面积公式即可确定y与x的函数关系式.将x=1代入函数关系式，可求出重叠部分的面积．【答案】y与x的函数关系式为．当x=1时，y=×1=.所以当MA=1cm时，重叠部分的面积是cm2．【点评】现实世界是在不停运动的，而运动的问题也是我们研究数学的一个重点内容，函数与运动相结合更是中考的热点，本题是我们与中考接轨的一个典型例题．。

实际问题中的变量与函数关系【例1】根据如图所示的程序计算y 的值，若输入x 的值为34，则输出结果是多少？写出你的理由和运算过程.【思考与分析】 在解这个问题时，应注意到输入不同的x 值，应按x 值所属的范围代入不同的关系式进行计算，因此，输出的结果只能有一个.解 因为34>-1， 所以应将x ＝34代入y =-x +2. 得： y =-34+2＝32. 因此，若输入x 的值为34，则输出结果是y =32. 【例2】 如图，长方形的长是16，宽为x ，周长是y ，面积为S ．（1）写出x 和y 之间的关系式；（2）写出 x 和 S 之间的关系式；（3）当S =160 时，x 等于多少？y 等于多少？（4）当x 增加2时，y 增加多少？S 增加多少？【思考与分析】该题的关键是根据长方形周长和面积公式写出x 和y ，x 和S 之间的关系式．解： （1）由长方形的周长公式，得 y =2（x ＋16）＝2x ＋32；（2）由长方形的面积公式，得 S ＝16x ；（3）当S =160 时，x ＝10，y =52；（4）由于y =2x ＋32，所以，当x增加2时，y增加4；由于S＝16x，所以当x增加2时，S增加32．【小结】在写关系式时要经常用到以前学的各种公式，所以对以前常用的公式我们要熟练掌握．【例3】某礼堂共有30排座位，第一排共有25个座位，后面每一排比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式.答案是：m=n+24.上题中，在其他条件不变的情况下，请探索下列问题：（1）若后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排座位数m与这排的排数n的关系式为.（2）若后面每一排比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别为＿＿＿，.（1≤n≤30，且n为整数）（3）某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每排比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式，并指出自变量n的取值范围.【思考与分析】这是一道函数应用题，显然题中每排座位数m与这排排数n是变量关系，m随n的变化而变化.并且后面每一排都比前一排多的座位数不同，所对应的变量关系也不同.解：（1）若后面每一排都比前一排多2个座位时，则第一排、第二排、第三排的座位数分别为25，27，29，即25＝25＋（1-1）×2，27＝25＋（2-1）×2，29＝25＋（3-1）×2，由此可知，每排座位数m与这排排数n的关系式为：m＝25＋（n-1）×2＝2n＋23.（2）若后面每一排比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别为m＝25＋（n-1）×3＝3n＋22，m＝25＋（n-1）×4＝4n＋21.（3）m＝a＋（n-1）×b＝bn＋a-b，其中n的取值范围为：1≤n≤p，且n为整数.【例4】一种手机交费卡，每月必须交月租费30元，另外每通话1分钟要交费0.4元.（1）如果每月通话时间为x（分），每月应交费用为y（元），写出y与x之间的关系式.（2）当一个月通话时间为100分钟时，应交费多少元？（3）某月交话费82元时，他该月通话时间为多少分钟？【思考与分析】根据话费和时间之间的关系，可以得出每月应在30元的基础上，再按通话时间交话费，即不打电话也应该交30元月租费，由此可得出话费与时间之间的关系式.第（2）个问题是知道了通话时间，即x值求y的值.第（3）个问题则是知道了y值求x的值，这两个都可以通过代入所列关系式求得.解：（1）每月应交话费y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系式为：y=30+0.4x.（2）当x=100时，y=30+0.4×100=70（元）.因此，通话时间为100分钟时，应交费70元.（3）当y=82时，30+0.4x=82，x=130（分钟）.因此，当话费为82元时，他该月通话130分钟.【小结】解此类题的关键要看清数量关系，然后再解答.。

数的函数与变量练习题及答案一、选择题1. 下列哪个表达式是一个数的函数？A. y = x^2B. x + y = 5C. 2x + 3y = 7D. y = 2x - 3答案：A2. 已知函数 y = 2x + 5，当 x = 3 时，y 的值是多少？A. -1B. 1C. 7D. 11答案：C3. 下列哪个函数是一个线性函数？A. y = x^2B. y = 5x + 3C. y = 2^x答案：B4. 函数 y = -3x + 2 和 y = 2x + 5 的图像会相交于：A. (2, -4)B. (-1, 7)C. (4, 10)D. (0, -3)答案：B5. 已知函数 y = 3x - 1 和 y = -2x + 4，求两函数的交点坐标。

A. (3, 8)B. (2, 2)C. (-2, -1)D. (0, 1)答案：A二、计算题1. 已知 x = 2，求 y = x^2 - 3x + 2 的值。

解：将 x 的值代入函数中，y = 2^2 - 3(2) + 2= 0所以，当 x = 2 时，y 的值为 0。

2. 某数的平方减去这个数的两倍再加上 3 的结果为 7，求这个数。

解：设这个数为 x，根据题意可得方程：x^2 - 2x + 3 = 7移项得：x^2 - 2x - 4 = 0使用求根公式，得到：x = (2±√(2^2 - 4×1×-4)) / (2×1)= (2±√(4 + 16)) / 2= (2±√20) / 2= (2±2√5) / 2= 1±√5所以，这个数可能是1+√5 或 1-√5。

3. 函数 y = x - 3 的图像与 y 轴相交的点为：解：当图像与 y 轴相交时，x = 0。

将 x = 0 代入函数中，= -3所以，与 y 轴相交的点为 (0, -3)。

4. 某数减去 2 再乘以 3 等于 9，求这个数。

例1、下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？如果不是，解：（1）y 是x 的函数； （2）y 是x 的函数；（3）y 不是x 的函数，因为对于变量x=1，变量y 有1与-1两个值与它对应； （4）y 是x 的函数说明：对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义. 例 2、判断下列关系是不是函数关系？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式| y |=x 中的y 与x.分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应. 解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系.（4）x 每取一个正值，y 都有两个值与它对应，所以| y | = x 不是函数关系.说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.例 3、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间. 解：85080S t =-0S t ≥⎧⎨≥⎩得850800tt -⎧⎨≥⎩850.8t ∴≤≤于是汽车距沈阳的路程S 与时间t 的函数关系式为85080S t =-，自变量t 的取值范围是850.8t ≤≤例 4、求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）235y x =- （2）21y x =+ （3）22y x =- （4）2123x y x x -=--（5）y =（6）2y x =+（7）y =（8）y =+分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负. 解：（1）函数235y x =-的自变量x 的取值范围是躯体实数 （2）函数21y x =+的自变量x 的取值范围是躯体实数 （3）20,2,x x -=∴=∴ 当2x =时，分母20x -=，∴函数22y x =-的自变量的取值范围是2x ≠； （4）由2230x x --=解得123,1,x x ==-∴ 当3x =或1x =-时，分母2230x x --=，∴ 函数2123x y x x -=--的自变量x 的取值范围是3x ≠且1x ≠-（5）由230x -≥解得32x ≤，∴函数y =x 的取值范围是 32x ≤； （6）由30x +≥得3x ≥-，由20x +=得2x =-，当2x ≠-时，分母20x +≠，∴函数2y x =+x 的取值范围是3x ≥-且2x ≠-； （7）22224213(1)30,x x x x x ++=+++=++≥即对于任意实数x ，224x x ++都是非负的，∴函数y =x 的取值范围是全体实数；（8）由630,360x x -≥⎧⎨-≥⎩得112,122x x x ⎧≥⎪⎪∴=⎨⎪≤⎪⎩因此，函数y =+x 的取值范围是12x =.典型例题五例 已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程.（2002年山东省青岛市中考题）分析 ：由于题中所经过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式：（1）若经过A 、B 两点的函数的图象是直线，设其解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧+=+=.22,4b k b k 解之，得⎩⎨⎧=-=.6,2b k 此时，函数解析式为.62+-=x y（2）由于A 、B 两点的横、纵坐标的积相等，都等于4，所以，经过A 、B 两点的函数的图象还可以是双曲线，其解析式为：xy 4=. （3）如果经过A 、B 两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为c bx ax y ++=2（0≠a ），则有 ⎩⎨⎧++=++=.242,4c b a c b a解之，得⎩⎨⎧+=--=.6,23a c a b因此，只要a 、b 、c 同时满足关系式23--=a b 和62+=a c ，即可保证二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点；显然，这样的二次函数有无数个.如取a =1，则有b =-5，c =8，相应图象所对应的二次函数的解析式为：852+-=x x y .（4）其他略.典型例题六例 （北京市海淀区，1999）如图，在矩形ABCD 中，P BC AB ,7,4==是BC 边上与B 点不重合的动点，过点P 直线交CD 的延长线于R ，交AD 于Q （Q 与D 不重合），且045=∠RPC 。

《变量与函数》典例精析3【例1】下列：（1）2y x =；（2）21y x =+；（3）22(0)y x x =≥；（4）0)y x =≥，具有函数关系（自变量为x ）的是 ．【解析】判断两个变量之间是否函数关系，主要是要抓住定义本身，即对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应．（1）（2）中当x 取一个值时，变量y 有唯一的值与之对应，但（3）中当x 取2时，变量y 却有2和－2两个值与之对应，故不是函数关系；（4）也是一样的，当x 取1时，变量y 却有1和－1两个值与之对应，故不是函数关系．【答案】（1）（2）【例2】求下列函数中自变量x 的取值范围：⑴32-=x y ； ⑵1432+-=x x y ；⑶11+=x y ； ⑷2-=x y ； ⑸3+=x xy ； ⑹12-+=x x y ； ⑺5-=x x y ； ⑻x x y -+=21.【解析】函数解析式以及函数自变量的实际意义确定自变量的取值范围是中考数学试卷中的一个考查热点，其中根据函数解析式确定自变量的取值范围可分为以下类型： ⑴整式型：当函数解析是整式时，自变量的取值范围是全实数.⑵分式型：当函数解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的一切实数.注意不能随意约分，同时要区分“且”和“或”的含义.⑶偶次根式型：当函数解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方式为非负数. ⑷零次幂或负整数次幂型：当零次幂或负整数次幂的底数中含有自变量时，该底数不为零.其中（6）需要满足的条件是⎩⎨⎧≠-≥+0102x x ；（7）需要满足的条件是⎩⎨⎧≠-≥05||0x x 又因为5-=x 不在0≥x 的范围内，所以答案是50≠≥x x 且，此题特别容易错误理解为50±≠≥x x 且；（8）需要满足的条件是+1020x x ≥⎧⎨->⎩，注意不等式组解集的确定. 【解】（1）全体实数；（2）全体实数；（3）1-≠x ；（4）2≥x ；（5）3x >-；（6）12≠-≥x x 且；（7）50≠≥x x 且 ；（8）12x -≤<.【例3】我市出租车价格是这样规定的：不超过2.5千米，付车费5元，超过的部分按每千米1.3元收费．已知某人乘坐出租车行驶了x （x ＞2.5）千米，付车费y 元，请写出出租车行驶的路程x （千米）与所付车费y （元）之间的关系式．【解析】根据题意可知所付车费()5 1.3 2.5 1.3 1.75y x x =+-=+，特别要注意的是前面的2.5千米，已经付车费5元，无需再累加付费．【解】 1.3 1.75y x =+【例4】如图，是张老师出门散步时离家的距离y 与时间x 之间的函数关系的图像，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（ ）【解析】从图像可看出，张老师散步有三个过程，第一个过程随着时间的增加，张老师离家越来越远；第二个过程随着时间的增加，张老师离家的距离不变；第三个过程，随着时间的增加张老师离家越来越近，综合分析，只有D 选项的行走路线才可能符合函数关系图像．【答案】D【例5】在圆的周长公式2C r =π中，下列说法错误的是（ ）A ．C r π，，是变量，2是常量B ．C r ，是变量，2π是常量C ．r 是自变量，C 是r 的函数D ．将2C r =π写成2C r =π，则可看作C 是自变量，r 是C 的函数 【解析】π是一个数，是一个常量而不是变量.【答案】： A【例6】在函数121x y x +=-中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥-B ．1x >-且12x ≠C ．1x ≥-且12x ≠ D ．无效选项 【解析】要使函数121x y x +=-有意义，应满足10210x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且12x ≠，故选C ．本题主要考查学生对函数自变量取值范围的确定掌握是否全面，属于复合型试题，要同时满足两个条件：一、二次根式有意义，二、分式有意义，注意不要漏条件．【答案】C【例7】为了增强居民的节约用水的意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5吨的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5吨的部分，按每吨2.6元收费。