河南省许昌平顶山(即许昌市一模)2020届高三联考试题理科数学(图片版,有答案)

2020-2021学年河南省许昌市、济源市、平顶山市高三（上）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈R|x﹣2＞0}，集合B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．已知复数z＝为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．D．3．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和，a3＝5，a2•a4＝21，则S9＝（）A．﹣9B．81C．9或81D．﹣9或814．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当物体横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中v为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，为φ两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m处，发出的激光波长λ＝1600nm（1nm＝10﹣9m），测得某时刻频移，则该时刻高铁的速度约等于（）A．360km/h B．340km/h C．320km/h D．300km/h5．设a，b都是不等于1的正数，则“a＞b”是“log a2＜log b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数f（x）＝2021x5﹣，其中e是自然对数的底数，若f （a2）+f（a﹣6）＜0，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，2）B．（0，2）C．（﹣2，3）D．7．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：①若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；②若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；③若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．③④D．①④8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，点M为圆O：x2+y2＝9与C 的一个交点，且|MF|＝3，则C的标准方程是（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x9．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，那么函数y＝f（x）在上的值域是（）A．B．C．D．[0，1]10．已知函数为R上的增函数．则2m﹣n的取值范围为（）A．[0，2]B．（0，2）C．[0，2）D．（0，2] 11．2020年是脱贫攻坚战决胜之年．凝心聚力打赢脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会．为了如期完成脱贫攻坚目标任务，某县安排包括甲、乙在内的6个单位对本县的3个贫困村进行精准帮扶，要求每个村至少安排一个单位，每个单位只帮扶一个村，则甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.过点F1且斜率为的直线交双曲线的左、右支于A、B两点，线段AB的垂直平分线恰过点F2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设平面向量，若与的夹角为，则x＝．14．二项式展开式中的常数项为15，则实数a＝．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*都有4S n＝3a n+3，且60≤|S m|≤200，则m 的取值集合为．16．已知，如图正三棱锥P﹣ABC中，侧棱长为1．底面边长为，D为AC中点．E为AB中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM+MN最小值是．三、解答题：共70分。

平顶山许昌济源2020年高三第一次质量检测理科数学试题参考答案一、选择题1．D2．C 3．A 4．C 5．D 6．A7．B 8．D 9．B 10．B 11．C 12．B 二、填空题13．4π 14．120° 15．32，24x y =（★第一空3分，第二空2分） 16．38π 三．解答题：（17）（本小题满分12分）解：（1）由已知可得112()n n n n a a a a +--=-，*2,n n ≥∈N ， ………2分所以1{}n n a a +-是以2为公比，以212a a -=为首项的等比数列． ………3分 所以，12n n n a a +-=，*n ∈N ． ………4分 ∴112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L12222121n n n --=++++=-L （2n ≥）． ………5分当1n =，11a =成立，所以，数列{}n a 的通项公式为21n n a =-，*n ∈N ． ………6分 （2）∵(1)(1)2(1)n n n b n a n n =+=+-+，∴122232(1)2(231)n n S n n =⨯+⨯+++⨯-++++L L ． ………7分令122232(1)2n A n =⨯+⨯+++⨯L ，则231222322(1)2n n A n n +=⨯+⨯++⨯++⨯L ， ………9分 相减得，23114(222)(1)22n n n A n n ++-=++++-+⨯=-⨯L ，∴12n A n +=⨯， ………10分 而(3)2312n n n +++++=L ． ………11分 故1(3)22n n n n S n ++=⨯-，*n ∈N ． ………12分 （18）（本小题满分12分）绝密★启用前解：（1）设O ，O 1分别为AC ，A 1C 1的中点，AC 1与A 1C 相交于F ．∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴侧面A 1C ⊥底面ABC ． ………1分 ∵O 是正三角形ABC 边AC 的中点，∴OB ⊥AC ．∴OB ⊥侧面AC 1． ………2分 ∵OO 1∥BB 1，OO 1=BB 1，E ，F 是中点，∴EBOF 是平行四边形． ………4分 ∴EF ∥OB ，∴EF ⊥侧面AC 1． ………5分 又EF ⊂平面AEC 1，∴截面AEC 1⊥侧面AC 1． ………6分 （2）以O 为原点，OB ，OC ，OO 1分别为,,x y z 轴，线段OC 的长为单位长，建立空间直角坐标系，如图， 则(3,0,1)E ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ． ………7分 设1(,,)x y x =n 为平面AEC 1的法向量．∵1(3,1,1)EC =-u u u u r ，(3,1,1)EA =---u u u r ，∴30,30x y z x y z ⎧-++=⎪⎨---=⎪⎩，∴可取1(0,1,1)=-n ． ………9分设2(,,)x y x =n 为平面A 1EC 1的法向量．∵1(3,1,1)EC =-u u u u r ，1(3,1,1)EA =--u u u r ，∴30,30x y z x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩，∴可取2(1,0,3)=n ． ………10分 ∵126cos ,4=-n n ，注意到二面角A 1－EC 1－A 为锐角， ………11分 ∴二面角A 1－EC 1－A的余弦值为64． ………12分（19）（本小题满分12分）解：（1）记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A =B +C ． ………1分∵42111()2264P B =⨯=， ………2分 3444111()2264P C C =⨯=， ………4分 ∴1()()()32P A P B P C =+=． ………5分 （2）记一局游戏结束能收益X 个Q 币，那么X ∈｛－1，1，5｝．………6分 ∵由（1）知1(5)32P X ==， ………8分 又34424411119(1)(1)(1)222232P X C ==⨯-+⨯-=． ………10分 ∴X 的概率分布为： X －1 1 5P 1116 932132因此，EX =119111151632324-⨯+⨯+⨯=-． ………12分 （20）（本小题满分12分）解:（1）A （4，0），设圆心(,)C x y ，线段MN 的中点为E ，则由圆的性质得：2MN ME =，2222CA CM ME EC ==+， ………2分 ∴222(4)4x y x -+=+，即28y x =． ………4分（2）设11(,)P x y ，11(,)Q x y ，由题意可知2118y x =，2228y x =． ………5分（ⅰ）当PQ 与x 轴不垂直时，120y y +≠，120y y ⋅<，由x 轴平分PBQ ∠， 得121211y y x x =-++，∴122212088y y y y +=++， ………6分 ∴1212()(8)0y y y y ++⋅=，∴1280y y +⋅=． ………7分 设直线PQ ：x my n =+，代入C 的方程得：2880y my n --=．∴880n -=，即1n =。

许昌济源平顶山2020年高三第二次质量检测 理科数学 注慧事项: I 答卷前•垮先务必将自己的堆名・准号证号填写在祥临尺1爲 、 2 •冋并选杆场IR.选岀毎小題答案砖•用铅笔杷答J8KH 应Jlfifl 的答系标号涂煦 如爲 改动•用战皮擦「巾后•再选涂x 它答案标号。

何答非迭祥唸时.将？?*幼化？?聽”上，耳 怎本试左上无效。

3 •考试结束后•将答题卡交回。

—、选择题：本H 共门小11 •"小105令•件60 0.祚命小m 仗岀的四个浜is 中•只有—项 是符合題目更求的。

1・设集合 4- Ix|d? -3*-18 vol |z|liu>0| ,JM4AB = A ・（-«.-3） B.（ -3J ） C. （ 1.6） 2・复数；二出.则x 的共純复数；等干 A 3・A ・-~1D ・（6.…）D. j-i3•已知数列|a.|是等比数列•瓯数y5"6的辛点分别是a,.a ■•则a, « D. tj6C. -iA.2B. -2 4•已 ftJa = sin2,6 = iq4.5,e=3a \M B ・ b <c<a A ・ a <b <c 5 •给出下列四个结论： （D 若/U ）是奇函數•則2/U ）也是奇函数② 若/（■）不是正弦两数•则/U ）不是周期两数③ “若&哼则讪鲁”的否命題是••若"，则硼滲- C.b<a<c D ・ c<b<a④若；g ：lru ・O ■则p 是g 的充分不必要条件 其中正确结论的个数为A. 1B.2C.3D.4 6. 在£^ABC 中・D 屮分别为BC JD 的中点•且弗二入届协盘•则入+» = A ■丄 儿3 7. 过双曲线C ：£・$ = I 的右顶点作％粒的垂线•与C 的一条渐近疑交于点九以C 的右焦 点为圖心的《1经过人、0两点（〃为坐标嫌点）.则収曲线C 的离心半为 A.|B-| C 普 D.2 髙三理科数学第|負（共4页） D.~»• nw的状“幡的*发以東•人m «H则灿似w rfi氯半•治念半=v.ii治倉人故卑计确诊人数•治金#的启低見爪«r的««tt«dh治鱼人散任不财变化•弟么人们就*沐艾心革<•人的治愈半•以此m之悄的治取半比较•東椎瞒花这次枪-中Mor史祁“效的『段•右血足段什样治念半的州徉框图•谄同料|進岀丄确的违晚•分WW人①硼处•丸曲程* IKIB.猥i夭赣堆鏡诊人散）；：第i大新堆怡愈人散4第i天治虑隼9 •臬小学要求下午放学厉的17:00-18:00接学生回家•谏学生家长从下肝后到达学校（随机）的时间为17:30・U：30.«该学生家长从下班后•在学校规定时间内接到孩子的概率为A. -j- R 丄 C 丄 D. 4*8 b- 4 2 410•已知丙数/（鴛）・cg（g _于）♦疗cos（审♦<u«）（0 <3 V寺）的图象过点（亍.2）■则要得到函«/（»）的图象•只需将函tty>2siiuui的田象A-向右平移竽个长度单位 B.向左平«yt长度单位C・向左平移寺个长度草位 D.向右平移于个长度单位m已知仆N・.设・■是关于•的方程d •2x7=0的实tt«.iea. = ［（n^l）xj.（n・1.2.3.…）-（符号［"褰示不超过"的最大Kft）.屮 5 境;*i *A. 1010.5B. 1010C. 1011.5D. 101112•已知e为自於对数的底数■定义在R上的efittAx）満足/Xs）-/（>）<2e\其中f （J 环“的异丽败•若/<2） -4e\«A«） >2«e-的解集为A. （ - ® .1）B・（・oo.2）C・（l.・8） D. （2t 4 oo ）二、填空通:本大18其4小BL毎小范5分■共20分。

一、选择题；本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）复数41−√3i等于（ ） A ．1+√3i B ．﹣1+√3i C ．1−√3iD ．﹣1−√3i【解答】解：41−√3i =221−√3i=2√3i)(1−√3i)(1+√3i)=−4(1+√3i)4=−1−√3i ．故选：D ．2．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin （π6x +φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【解答】解：由题意可得当sin （π6x +φ）取最小值﹣1时， 函数取最小值y min ＝﹣3+k ＝2，解得k ＝5， ∴y ＝3sin （π6x +φ）+5，∴当当sin （π6x +φ）取最大值1时，函数取最大值y max ＝3+5＝8， 故选：C ．3．（5分）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →=a →，CA →=b →，|a →|＝1，|b →|＝2，则CD →=（ ） A ．13a →+23b → B ．23a →+13b → C ．35a →+45b → D ．45a →+35b →【解答】解：∵CD 为角平分线， ∴BD AD=BC AC=12，∵AB →=CB →−CA →=a →−b →，∴AD →=23AB →=23a →−23b →，∴CD →=CA →+AD →=b →+23a →−23b →=23a →+13b →故选：B ．4．（5分）干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f （x ）＝sin 2x 3+cos3x 的最小正周期为（ ） A ．15πB ．12πC ．6πD ．3π【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x 3+cos3x 的最小正周期相当于函数y ＝sin 23x 的最小正周期2π23=3π与函数y ＝cos3x 的最小正周期2π3的最小公倍数．故答案为6π． 故选：C ．5．（5分）如图所示是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入（ ）A ．q =N MB ．q =M NC ．q =NM+ND ．q =MM+N【解答】解：由题意以及框图可知，计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q 的程序框图，所以输出的结果是及格率，所以图中空白框内应填入q =MM+N． 故选：D ．6．（5分）设函数f （x ）={log 2(x 2+x +12)，x ＞0log 12(x 2−x +12)，x ＜0，若f （a ）＞f （﹣a ），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1−√32，0）∪（√3−12，+∞） B ．（﹣∞，1−√32）∪（√3−12，+∞） C ．（1−√32，0）∪（0，√3−12） D ．（﹣∞，1−√32）∪（0，√3−12） 【解答】解：①当a ＞0时，﹣a ＜0，由f （a ）＞f （﹣a ）得：log 2(a 2+a +12)＞log 12(a 2+a +12)，∴log 2(a 2+a +12)＞−log 2(a 2+a +12)， ∴log 2(a 2+a +12)＞0， ∴a 2+a +12＞1，又a ＞0， ∴解得：a ＞√3−12，②当a ＜0时，﹣a ＞0，由f （a ）＞f （﹣a ）得：log 12(a 2−a +12)＞log 2(a 2−a +12)，∴log 2(a 2−a +12)＜0， ∴0＜a 2−a +12＜1，又a ＜0， 解得：1−√32＜a ＜0，故选：A ． 7．（5分）若直线xa +y b=1（a ＞0，b ＞0）过点（2，1），则2a +b 的最小值为（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．6【解答】解：由题意可得，2a+1b =1，则2a +b ＝（2a +b ）（2a+1b）＝5+2b a +2ab≥5+4＝9， 当且仅当2b a=2a b且2a+1b=1，即a ＝b ＝3时取等号，此时取得最小值9．故选：B ．8．（5分）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【解答】解：由题意可设F （﹣c ，0），A （﹣a ，0），B （a ，0）， 设直线AE 的方程为y ＝k （x +a ），令x ＝﹣c ，可得M （﹣c ，k （a ﹣c ）），令x ＝0，可得E （0，ka ）， 设OE 的中点为H ，可得H （0，ka 2），由B ，H ，M 三点共线，可得k BH ＝k BM ，即为ka 2−a=k(a−c)−c−a ，化简可得a−c a+c=12，即为a ＝3c ，可得e =ca =13．另解：由△AMF ∽△AEO ， 可得a−c a=MF OE，由△BOH ∽△BFM ， 可得a a+c =OH FM=OE 2FM，即有2(a−c)a=a+c a即a ＝3c ，可得e =c a =13． 故选：A ．9．（5分）对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当{a =1b 2=1c 2=b 时，b +c +d 等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．i【解答】解：由题意，可取a ＝1，b ＝﹣1，c 2＝﹣1，c ＝i ，d ＝﹣i ，或c ＝﹣i ，d ＝i ，所以b +c +d ＝﹣1+i +﹣i ＝﹣1， 故选：B ．10．（5分）在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，CD ＝2．沿BD 将ABCD 折成60°的二面角A ﹣BD ﹣C ，则折后直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值为（ ） A ．√24B ．√34C ．√64D ．14【解答】解：取BD ，CD 的中点分别为O ，E ，连接OE ，取OE 的中点F ，连接CF ，AF ， 由AB ＝AD ，且O 为BD 中点可知OA ⊥BD ，又在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AB ＝AD ＝1，CD ＝2， ∴BD =√2，AO =√22，BC =√2，OE =√22， ∴BD 2+BC 2＝CD 2，则BC ⊥BD ， ∴OE ⊥BD ， 又OA ⊥BD ，∴∠AOE即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，则∠AOE＝60°，又OA=OE=√2 2，∴△AOE为正三角形，∴AF⊥OE，又BD⊥OA，BD⊥OE，OA∩OE＝O，∴BD⊥平面AOE，∴BD⊥AF，又OE∩BD＝O，∴AF⊥平面BCD，∴∠ACF为直线AC与平面BCD的所成角，又AF=√64，CF=(22)2+(324)2=√264，∴AC=√2，∴sin∠ACF=√642=√34．故选：B．11．（5分）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33＝18种；②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36种；2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72种；由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126种， 故选：B ．12．（5分）已知函数f （x ）＝x ﹣ln （x +1）对任意x ∈[0，+∞）有f （x ）≤kx 2成立，则k 的最小值为（ ） A ．1B ．12C ．eD ．e2【解答】解：①当k ≤0时，取x ＝1，有f （1）＝1﹣ln 2＞0，故k ≤0不符合题意， ②当k ＞0时，令g （x ）＝f （x ）﹣kx 2，即g （x ）＝x ﹣ln （x +1）﹣kx 2， ∴g '（x ）＝1−1x+1−2kx =−x[2kx−(1−2k)]x+1， 令g '（x ）＝0，可得x 1＝0，x 2=1−2k2k＞−1， （i ）当k ≥12时，1−2k 2k≤0，g '（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，g （x ）在[0，+∞）上单调递减，∴g （x ）≤g （0）＝0，∴对任意的x ∈[0，+∞），有f （x ）≤kx 2成立， （ii ）当0＜k ＜12时，x 2=1−2k2k ＞0， 在（0，1−2k 2k）上，g '（x ）＞0，g （x ）单调递增；在（1−2k 2k，+∞）上，g '（x ）＜0，g（x ）单调递减， 因此存在x 0∈(0，1−2k2k) 使得g （x 0）≥g （0）＝0， 可得x 02−ln(x 0+1)≥kx 02，即f （x 0）≥kx 02，与题矛盾， ∴综上所述，k ≥12时，对x ∈[0，+∞）有f （x ）≤kx 2成立， 则k 的最小值为12，故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在区域{（x ，y ）|x ∈[0，1]，y ∈[0，1]}内任取一点P （x ，y ），能满足y ≤√2x −x 2的概率为π4．【解答】解：其构成的区域如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1＝1，满足y ≤√2x −x 2所表示的平面区域是以（1，0）为圆心，以1为半径的半圆，其面积为S 2=π4，∴在区域内随机取一个点P ，则能满足y ≤√2x −x 2的概率P =π4， 故答案为：π414．（5分）在△ABC 中，2a sin A ＝（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C ，其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则角A 的大小为2π3．【解答】解：∵2a sin A ＝（2b +c ）sin B +（2c +b ）sin C ， ∴由正弦定理，角化边得：2a 2＝（2b +c ）b +（2c +b ）c ， 整理得：a 2＝b 2+c 2+cb ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12， 又∵A ∈（0，π）， ∴A =2π3， 故答案为：2π3．15．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，且△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为32；如果C 1与C 2在第一象限内有且只有一个公共点，且a =√5，那么C 2的方程为 x 2＝4y ．【解答】解：由题意可得抛物线的焦点F （0，p2），双曲线的渐近线的方程为：y =±ba x ，{x 2=2py y =−b ax，可得x =−2pb a ，y =2pb2a 2， 设交点A （−2pb a，2pb 2a 2），B （2pb a，2pb 2a 2），因为△OAB 的垂心为C 2的焦点，所以AF ⊥OB ，即AF →⋅OB →=0， 即（2pb a，p2−2pb 2a ）•（2pb a，2pb 2a ）＝0，整理可得：4b 2＝5a 2，即b 2=54a 2，所以离心率e =c a =√1+b 2a2=√1+54=32；联立双曲线与抛物线的方程可得：{x 2=2py b 2x 2−a 2y 2=a 2b 2，a =√5，所以b 2=54a 2=254整理可得：4y 2﹣10py +25＝0，由题意可得△＝100p 2﹣4×4×25＝0，p ＞0，解得p ＝2， 所以抛物线的方程为：x 2＝4y ， 故答案分别为：32，x 2＝4y ．16．（5分）设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为8π3．【解答】解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ， 则当圆锥体积最小时，如图，由△AOE ～△ACF 可得：1r=√(ℎ−1)2−12ℎ，即r =√ℎ−2ℎ，∴圆锥的体积V =13πr 2h =πℎ23(ℎ−2)=π3[（h ﹣2）+4ℎ−2+4]≥8π3．当且仅当h ﹣2＝2即h ＝4时取等号． ∴该圆锥体积的最小值为8π3．故答案为：8π3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22.23题为选考题，考生根据要求作答．（-）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n }满足a n +1＝3a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2，n ∈N *），且a 1＝1，a 2＝3． （1）求证：数列{a n +1﹣a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）记b n ＝（n +1）a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【解答】（1）证明：依题意，当n ≥2时，由a n +1＝3a n ﹣2a n ﹣1，可得 a n +1﹣a n ＝2a n ﹣2a n ﹣1＝2（a n ﹣a n ﹣1）． ∵a 2﹣a 1＝3﹣1＝2，∴数列{a n +1﹣a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n +1﹣a n ＝2•2n ﹣1＝2n ，n ∈N *．则a 2﹣a 1＝2， a 3﹣a 2＝22， …a n ﹣a n ﹣1＝2n ﹣1．各项相加，可得 a n ﹣a 1＝2+22+…+2n ﹣1，∴a n ＝1+2+22+…+2n ﹣1=1−2n1−2=2n ﹣1． ∴a n ＝2n ﹣1，n ∈N *．（2）由（1）知，b n ＝（n +1）a n ＝（n +1）（2n ﹣1）＝（n +1）•2n ﹣（n +1）． 构造数列{c n }：令c n ＝（n +1）•2n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝c 1+c 2+…+c n ＝2•21+3•22+…+（n +1）•2n ，2T n＝2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1，两式相减，可得﹣T n＝4+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝4+22−2n+11−2−（n+1）•2n+1＝﹣n•2n+1．∴T n＝n•2n+1．∵b n＝（n+1）•2n﹣（n+1）＝c n﹣（n+1），∴S n＝b1+b2+…+b n＝（c1﹣2）+（c2﹣3）+…+[c n﹣（n+1）]＝（c1+c2+…+c n）﹣[2+3+…+（n+1）]＝T n−n(2+n+1)2＝n•2n+1−n(n+3)2．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是BB1的中点．（1）求证：截面AEC1⊥侧面AC1；（2）若AA1＝A1B1＝1，求B1到平面AEC1的距离．【解答】（1）证明：设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．∵ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，∴侧面A1C⊥底面ABC．∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴OB⊥AC．∴OB⊥侧面AC1．∵OO1∥BB1，OO1＝BB1，E，F是中点，∴EBOF是平行四边形．∴EF∥OB，∴EF⊥侧面AC1．又EF⊂平面AEC1，∴截面AEC1⊥侧面AC1；（2）解：∵AA 1＝A 1B 1＝1，∴AE =EC 1=√12+(12)2=√52，AC 1=√12+12=√2，∴△AEC 1的面积为12×√32×√2=√64． 又∵A 到平面B 1BCC 1的距离为√32，△B 1EC 1的面积为12×12×1=14． 设B 1到平面AEC 1的距离为d ， ∵V B 1−AEC 1=V A−B 1EC 1， ∴13×d ×√64=13×√32×14，∴d =√24．即，B 1到平面AEC 1的距离为√24．19．（12分）一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为12，且能否找到其它宝藏相互独立．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q 币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q 币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q 币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q 币个数X 的数学期望（收益＝收入﹣支出）．【解答】解：（1）记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A ＝B +C ．∵P(B)=124×122=164，P(C)=C43124×124=164，∴P(A)=P(B)+P(C)=1 32．（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈{﹣1，1，5}．∵由（1）知P(X=5)=1 32，又P(X=1)=124×(1−122)+C43124×(1−124)=932．∴X的概率分布为：X﹣115P1116932132因此，EX=−1×1116+1×932+5×132=−14．20．（12分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B（﹣1，0），长为4√6的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当x轴是∠PBQ 的角平分线时，求直线PQ的方程．【解答】解：（1）A（4，0），设圆心C（x，y），线段MN的中点为E，则由圆的性质得：ME=MN2，CA2＝CM2＝ME2+EC2，∴（x﹣4）2+y2＝4+x2，即y2＝8x．（2）设P（x1，y1），Q（x1，y1），由题意可知y12=8x1，y22=8x2．（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，y1+y2≠0，y1•y2＜0，由x轴平分∠PBQ，得y1x1+1=−y2x2+1，∴y1y1+8+y2y2+8=0，∴（y1+y2）（8+y1•y2）＝0，∴8+y1•y2＝0．设直线PQ：x＝my+n，代入C的方程得：y2﹣8my﹣8n＝0．∴8﹣8n＝0，即n＝1．由于，|PQ|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2⋅√64m2+32=4√6，∴m2=1 2，因此，直线PQ的方程为x±√22y−1=0．（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，|PQ|=4√6，可得直线PQ的方程为x＝3．综上，直线PQ的方程为x±√22y−1=0或x＝3．21．（12分）设函数f（x）＝αx+1+lnx（a∈R为常数）．（1）讨论函数f（x）可能取得的最大值或最小值；（2）已知x＞0时，f（x）≤xe x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+1x=ax+1x．（ⅰ）当a≥0，由f'（x）＞0可得f（x）是增函数，这时函数f（x）没有最大值也没有最小值，（ⅱ）当a＜0，函数f（x）在区间(0，−1a)上是增函数，在区间(−1a，+∞)上是减函数，所以，x=−1a时，f（x）取得最大值f(−1a)=−ln(−a)，且f（x）无最小值；（2）由已知可得，a≤e x−1+lnxx对x＞0时恒成立，令F(x)=e x−1+lnx x，则F′(x)=e x+lnxx2=x2e x+lnxx2，令G（x）＝x2e x+lnx，则G′(x)=(x2+2x)e x+1x＞0，所以G（x）是增函数，又∵当x→0时，G（x）→﹣∞，G（1）＝e＞0，因此，方程x2e x+lnx＝0有唯一解x0∈（0，1），所以当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，函数F（x）单调递增，所以，函数F（x）在x＝x0时取得最小值，由于x02e x0+lnx0=0，所以x0e x0=−lnx0x0=1xln1x=e ln1x0ln1x0，构造函数φ（x）＝xe x，易证φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x 0=ln 1x 0，即lnx 0＝﹣x 0，所以，F(x 0)=1x 0−1+lnx 0x 0=−lnx 0x 0=1， 因此，a ≤1，所以a 的取值范围为：（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+t 21−t 2y =4t 1−t 2（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ=√102cos(θ+π4)．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设l 与C 相交于A ，B 两点，定点M （√5，0），求1|MA|−1|MB|的值．【解答】解：（1）∵x =1+t 21−t 2，∴t 2=x−1x+1≥0，∴x ＜﹣1或x ≥1．∵4x 2−y 2=4[(1+t 21−t 2)2−4t 2(1−t 2)2]=4，∴C 的直角坐标方程为x 2−y 24=1(x ≠−1)．∵ρ=√102cos(θ+π4)，∴√2ρ(cosθ−sinθ)=√10，∴x −y =√5， ∴直线l 的直角坐标方程为x −y −√5=0． （2）由（1）可设l 的参数方程为{x =√5+√22ty =√22t （t 为参数），代入C 的方程得：32t 2+4√10t +16=0，其两根t 1，t 2满足t 1+t 2=−8√103，t 1t 2=323． ∴1|MA|−1|MB|=1−t 1−1−t 2=t 1−t 2t 1t 2=±√(t 1+t 2)2−4t 1t 2t 1t 2=±12．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f （x ）＝|ax |（x 2﹣4）﹣|x ﹣2|（x +1）． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若∃x ∈（2，+∞），使得不等式f （x ）＜0成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，原不等式可化为|x |（x 2﹣4）﹣|x ﹣2|（x +1）＜0．（*） （ⅰ）当x ＜0时，（*）化为，（x ﹣2）（x 2+x ﹣1）＞0， 所以，−1−√52＜x ＜0；（ⅱ）当0≤x ≤2时，（*）化为（x ﹣2）（x 2+3x +1）＜0， 所以，0≤x ＜2；（ⅲ）当x ＞2时，（*）化为（x ﹣2）（x 2+x ﹣1）＜0， 所以，无解；综上，a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为{x|−1−√52＜x ＜2}． （2）当x ∈（2，+∞），原不等式f （x ）＜0化为：|a |x （x ﹣2）（x +2）﹣（x ﹣2）（x +1）＜0，∴|a|＜x+1x(x+2)． 由于函数φ(x)=x+1x(x+2)=1(x+1)−1x+1在x ∈（2，+∞）上是减函数，∴φ(x)＜φ(2)=38．∴∃x ∈（2，+∞），使得不等式f （x ）＜0成立，必须使|a|＜38． 因此，−38＜a ＜38．。

………装___________姓名………装绝密★启用前 2020届河南省平顶山许昌济源高三第一次质量检测数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 14等于（ ） A ．1+ B ．1-+ C ．1 D ．1-- 2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式3sin()y x k ωϕ=++，据此可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 3．ABC ∆中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，||1a =r ，||2b =r 则CD =u u u r （ ） A ．2133a b +r r B ．1233a b +r r C ．3455a b +r r D ．4355a b +r r 4．干支纪年历法（农历），是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、○…………订…………○…………线※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………订…………○…………线个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数2()sin cos33xf x x=+的最小正周期为（）A．15πB．12πC．6πD．3π5．下图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入（）A．NqM=B．MqN=C．NqM N=+D．MqM N=+6．设函数222121log,02()1log,02x x xf xx x x⎧⎛⎫++>⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪-+<⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f a f a>-，则实数a的取值范围是（）A．11,0,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．11,,22⎛⎛⎫--∞⋃+∞⎪⎝⎭⎝⎭C．110,22⎛⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．11,22⎛⎛⎫---∞⋃⎪⎝⎭⎝⎭7．若直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(2,1)，则2a b+的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．68．已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴A ．13B ．12C ．23D ．34 9．对于复数a b c d ,,,，若集合{},,,S a b c d =具有性质“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b ===时，b c d ++等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．i10．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =．沿BD 将ABCD 折成60︒ 的二面角A BD C --，则折后直线AC 与平面BCD 所成角的正弦值为（ ） A ．4 B C．4D ．14 11．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ．152 B ．126 C ．90 D ．54 12．已知函数()()–ln 1f x x x =+对[0,)x ∈+∞有()2f x kx ≤成立，则k 的最小值为（ ） A ．1 B ．12 C ．e D ．2e 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．在区域,0,{()|[],[]}10,1x y x y ∈∈内任取一点(,)P x y ，能满足y ≤概率为______． 14．在ABC ∆中，2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，其中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，则角A 的大小为______． 15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线与抛物线2……○…………订※※装※※订※※线※※内※……○…………订______；如果1C 与2C 在第一象限内有且只有一个公共点，且a =2C 的方程为____________． 16．设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为_______． 三、解答题 17．已知数列{}n a 满足()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，且11a =，23a =．（1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中点．（1）求证：截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）若1111AA A B ==，求1B 到平面1AEC 的距离19．一款手游，页面上有一系列的伪装，其中隐藏了4个宝藏．如果你在规定的时间内找到了这4个宝藏，将会弹出下一个页面，这个页面仍隐藏了2个宝藏，若能在规定的时间内找到这2个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；如果你在规定的时间内找到了3个宝藏，仍会弹出下一个页面，但这个页面隐藏了4个宝藏，若能在规定的时间内找到这4个宝藏，那么闯关成功，否则闯关失败，结束游戏；其它情况下，不会弹出下一个页面，闯关失败，并结束游戏．假定你找到任何一个宝藏的概率为12，且能否找到其它宝藏相互独立．．（1）求闯关成功的概率；（2）假定你付1个Q 币游戏才能开始，能进入下一个页面就能获得2个Q 币的奖励，闯关成功还能获得另外4个Q 币的奖励，闯关失败没有额外的奖励．求一局游戏结束，收益的Q 币个数X 的数学期望（收益=收入-支出）．20．已知动圆过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）已知点()–1,0B ，长为PQ 的两端点在轨迹C 上滑动．当x 轴是PBQ ∠的角平分线时，求直线PQ 的方程． 21．设函数()1ln f x x x α=++（a R ∈为常数）． （1）讨论函数()f x 可能取得的最大值或最小值；． （2）已知0x >时，()xf x xe ≤恒成立，求a 的取值范围． 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）．以坐标原点О为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）设l 与C 相交于A ，B 两点，定点M ，求11||MA MB -的值． 23．设函数()()()2421f x ax x x x =---+． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若2),x ∃∈+∞（，使得不等式()0f x <成立，求a 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】利用复数的四则运算法则对原式进行化简计算可得答案.【详解】2421====-， 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的四则运算法则，相对简单.2．C【解析】【分析】由题意和最小值易得k 的值，进而可得最大值.【详解】由题意可得当sin()x ωϕ+取得最小值-1时，函数取最小值min 325y k k =-+=∴=， 3sin()+5y x ωϕ∴=+因此当sin()x ωϕ+取得最大值1时，函数取最小值max 358y =+=.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了学生实际应用，综合分析，数学运算能力，属于中档题.3．A【解析】【分析】 根据三角形的内角平分线定理，得到12BD BC AD AC ==，再由CD CA AD =+u u u r u u u r u u u r ，将各个向量用,a b r r 表示出来，即可求解．【详解】由题意，因为CD 平分ACB ∠，可得12BD BC AD AC ==, 又因为AB CB CA a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ，所以222333AD AB a b ==-u u u r u u u r r r ， 所以22213333CD CA AD b a b a b =+=+-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r ． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，其中解答中熟记三角形的内角平分线定理，熟练应用向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．C【解析】【分析】由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60，可得2sin3x y =与cos3y x =的周期，可得()f x 的最小正周期.【详解】解：由天干为10个，地支为12个，其周期为其公倍数：60 故可得：2sin 3x y =的周期13T π=, cos3y x =的周期223T π=, 12T T 、的最小公倍数为6π，故()f x 的最小正周期为6π.故选：C.【点睛】本题主要考查周期的相关知识及知识迁移与创新的能力，属于中档题.5．D【解析】【分析】通过题意与框图进行分析判断，可得空白框内应填入的表达式.【详解】解：由题意结合框图可得：程序执行的过程时，如果输入的成绩不小于60分就及格，就把变量M 加1，即变量M 为统计成绩及格的人数，否则，由变量N 统计成绩不及格的人数，总人数由变量i 进行统计，不超过500就继续输入成绩，直到输入完500个成绩终止循环，由q 表示及格率，可得M q M N=+， 故选：D.【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识，熟练程序框图并结合题意进行判断时解题的关键. 6．A【解析】【分析】根据函数的解析式和已知条件()()f a f a >-，分0a >和0a <，两种情况讨论，即可求解．【详解】 由题意，函数222121log ,02()1log ,02x x x f x x x x ⎧⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩， 不妨设0x >，则0x -<，可得()()2212211log ()log ()22f x x x x x f x -=++=-++=-， 所以函数()f x 为定义域上的奇函数，又由()()f a f a >-，可得()()f a f a >-，即()20f a >，即()0f a >，当0a >时，可得221log ()02a a ++>，即2112a a ++>，解得12a >； 当0a <时，可得2121log ()02a a -+>，即21012a a <-+<0a <<， 综上可得实数a的取值范围是⎫⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理应用函数的奇偶性，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．B【解析】【分析】 由题意可得211a b +=，再利用“乘1法”与基本不等式可得答案. 【详解】 解：由题意得：直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(2,1)，可得211a b+=，可得：21222(2)()4()15549b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=+=， 故选：B.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟练利用“乘1法”是解题的关键.8．A【解析】试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a E c a a c=+⇒-+-同理由2(,0),(,)(0,b B a M c G a -⇒22221)33b b b ac e a c a c a c ⇒=⇒=⇒=+-+. 9．B 【解析】试题分析：集合{},,,S a b c d =中a b c d ,,,各不相同21,11a b b ==∴=-Q 21c c i ∴=-∴=±，由已知“对任意,x y S ∈，必有xy S ∈”可知c i =时d i =-，c i =-时d i =1b c d ∴++=-考点：复数运算点评：在计算,,b c d 的值时要注意验证已知中的对任意,x y S ∈，必有xy S ∈是否成立和集合元素的互异性 10．B 【解析】 【分析】取CD 的中点E ，连接,AE BD 交于点O ，推得AOE ∠为二面角A BD C --的平面角，即60AOE =︒∠，再由由面面垂直的性质定理，推得AF ⊥平面BCD ，得到ACF ∠为AC 与平面BCD 所成的角，在直角CEF ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取CD 的中点E ，连接,AE BD 交于点O ， 在图（1）中，正方形ABCD ，则AC BD ⊥， 即在图（2）中，,AO BD EO BD ⊥⊥，所以AOE ∠为二面角A BD C --的平面角，即60AOE =︒∠，又在AOE ∆中，60AO EO AOE ==∠=︒，所以AOE ∆等边三角形，取EO 的中点F ，则AF EO ⊥，且224AF ==， 由面面垂直的性质定理，可得AF ⊥平面BCD ，所以ACF ∠为AC 与平面BCD 所成的角，设ACF θ∠=，在CEF ∆中，1,1354EF CE CEF ==∠=o ，由余弦定理可得22222132cos135()121()4428CF EF CE EF CE =+-=+-⨯=o ，解得CF =，所以tan AF CF θ==，所以cos θ= 故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记二面角的平面角和直线与平面所成角的定义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及计算能力，属于中档试题． 11．B 【解析】试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C 31×A 33=18种； ②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A 32×C 32×A 22=3×2×3×2=36种；2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A 32×C 31×C 21×A 22=72种； 由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种， 故选B ．考点：排列、组合的实际应用． 12．B 【解析】 【分析】先判定0k ≤时不符合题意，再由0k >时，令()()22ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-，求得()[2(12)]1x kx k g x x -⋅--'=+，分类讨论求得函数()g x 的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，函数()()–ln 1f x x x =+对[0,)x ∈+∞有()2f x kx ≤成立，当0k ≤时，取1x =时，可得()11ln 20f =->，所以0k ≤不符合题意，舍去； 当0k >时，令()()22ln(1)g x f x kx x x kx =-=-+-，则()1[2(12)]1211x kx k g x kx x x -⋅--'=--=++， 令()0g x '=，可得10x =或21212kx k-=>-， （1）当12k ≥时，则1202k k-≤，则()0g x '<在[0,)+∞上恒成立， 因此()g x 在[0,)+∞单调减，从而对任意[0,)x ∈+∞，总有()()00g x g ≤=， 即对任意[0,)x ∈+∞，都有()2f x kx ≤成立，所以12k ≥符合题意； （2）当102k <<时，1202k k->，对于()12(0,),02k x g x k -'∈>，因此()g x 在12(0,)2k k -内单调递增， 所以当12(0,)2kx k-∈时，()()000g x g ≥=，即存在()200f x kx ≤不成立， 所以102k <<不符合题意，舍去，综上可得，实数k 的取值范围是12k ≥，即实数k 的最小值为12． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性与最值，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据题意，构造新函数，分类讨论得出函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能，属于中档试题． 13．4π【解析】 【分析】先求得区域,0,{()|[],[]}10,1x y x y ∈∈表示面积1S =，再求得y ≤为114S π=，利用面积比的几何概型，即可求解． 【详解】由题意，区域,0,{()|[],[]}10,1x y x y ∈∈表示一个边长为1的正方形，其面积1S =，又由y ≤220x x y -+≤，即22(1)1x y -+≤，表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆在正方形内部的部分， 如图所示，其面积为114S π=, 由面积比的几何概型，可得概率为14S P S π==， 故答案为：4π．【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N=求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 14．23π 【解析】 【分析】由正弦定理和题设条件，化简得222a b c bc =++，再由余弦定理，求得1cos 2A =-，即可求解． 【详解】由题意，因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++由正弦定理化简得22(2)(2)a b c b c b c =+++，整理得222a b c bc =++，又由余弦定理，可得2221cos 22b c a A bc +-==-， 又因为(0,)A π∈，所以23A π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解． 15．3224x y = 【解析】 【分析】由双曲线1C 的渐近线与抛物线2C 联立，求得0x =或2pb x a =±，取2222(,)pb pb A a a ，设垂心(0,)2p H ，得到2244AH b a k ab-=，再根据垂心的性质，求得2254a b =，利用离心率的定义，可求得双曲线的离心率，再由双曲线与抛物线的联立方程组，利用0∆=，求得2p =，即可得到抛物线的方程． 【详解】由题意，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为b y x a =±，与抛物线22:2(0)C x py p =>联立，可得0x =或2pbx a =±， 取2222(,)pb pb A a a，设垂心(0,)2p H ，则222224224AHpb pb a a k pb ab a--==， 因为OAB ∆的垂心为2C 的焦点，所以22414b a bab a-⨯=-，整理得2254a b =，即22254()a c a =-，即2294a c =，所以32c e a ==，又由a =2254b =，所以曲线2214:1525x y C -=，与抛物线22:2C x py =联立方程组，可得2241525py y -=，即2410250y py -+=，因为曲线1C 与2C 在第一象限内有且只有一个公共点，所以2(10)44250p ∆=--⨯⨯=，解得2p =，所以22:4C x y =．故答案为：32，24x y =． 【点睛】本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程，及其简单的几何性质的综合应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 16．83π【解析】 【分析】根据三角形形式得出圆锥的底面半径和高的关系，根据体积公式和基本不等式，即可求解． 【详解】如图所示，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则当圆锥的体积最小小球与圆锥侧面相切，由AOE ACF ∆∆:，可得1r =，即r =， 所以圆锥的体积2214[(2)4]33(2)32h V r h h h h πππ===-++--84]33ππ≥⨯=，当且仅当422h h -=-，即4h =等号成立， 所以圆锥体积的最小值为83π． 故答案为：83π．【点睛】本题主要考查了圆锥的几何结构特征，以及体积公式与基本不等式的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．17．（1）证明见解析，21n n a =-；（2）1(3)22n n n n S n ++=⨯-【解析】 【分析】（1）由1132n n n a a a +-=-，整理得112n nn n a a a a +--=-，得出1{}n n a a +-是以2为公比，以2为首项的等比数列，进而求得数列的通项公式；（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nn n b n a n n =+=+-+，利用等差数列的前n 项和公式和“乘公比错位相加法”，即可求得数列的前n 项和． 【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足()*11322,n n n a a a n n N+-=-≥∈，可得112()n n n n a a a a +--=-，*2,n n N ≥∈，即112n nn n a a a a +--=-，*2,n n N ≥∈，所以1{}n n a a +-是以2为公比，以212a a -=为首项的等比数列，所以12nn n a a +-=，*n N ∈，又由112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L 12222121n n n --=++++=-L (2)n ≥．当1n =，11a =成立，所以数列{}n a 的通项公式为21nn a =-．（2）由（1）可得(1)(1)2(1)nn n b n a n n =+=+-+，所以122232(1)2(231)nn S n n =⨯+⨯+++⨯-++++L L ． 令122232(1)2nA n =⨯+⨯+++⨯L ， 则231222322(1)2nn A n n +=⨯+⨯++⨯++⨯L ，两式相减得23114(222)(1)22nn n A n n ++-=++++-+⨯=-⨯L ，解得12n A n +=⨯，又由(3)2312n n n +++++=L ，故1(3)22n n n n S n ++=⨯-． 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等．18．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）设O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，1AC 与1A C 相交于F ，//EF OB ，OB ⊥侧面1AC ,可得EF ⊥侧面1AC ，截面1AEC ⊥侧面1AC ；（2）求出1AEC V 、11B EC V 的面积及A 到平面11B BCC ，由1111B AEC A B EC V V --=可得1B 到平面1AEC 的距离. 【详解】解：（1）设O ，1O 分别为AC ，11A C 的中点，1AC 与1A C 相交于F ．∵111ABC A B C －是正三棱柱，∴侧面1A C ⊥底面ABC ． ∵O 是正三角形ABC 边AC 的中点，∴OB AC ⊥． ∴OB ⊥侧面1AC ．∵11//OO BB ，11OO BB =，E ，F 是中点， ∴EBOF 是平行四边形．∴//EF OB ，∴EF ⊥侧面1AC ．又EF 平面1AEC ，∴截面1AEC ⊥侧面1AC ．（2）∵1111AA A B ==，则1AE EC ===，1AC ==1AEC V 的面积为12⨯=又因为A 到平面11B BCC 11B EC V 的面积为1111224⨯⨯=．设1B 到平面1AEC 的距离为d ， ∵1111B AEC A B EC V V --=，∴111334d ⨯=，∴4d =．即，B 1到平面1AEC ． 【点睛】本题主要考查面面垂直及线面垂直的判定定理及三棱锥体积的计算，属于中档题，注意灵活运用三棱锥的性质及面面垂直的判定定理解题. 19．（1）132；（2）EX =14-【解析】 【分析】（1）记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A =B +C ，利用互斥事件的概率的加法公式，即可求解． （2）记一局游戏结束能收益X 个Q 币，得到{1,1,5}X ∈-，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，求得数学期望． 【详解】（1）由题意，记闯关成功为事件A ，事件A 共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B ，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C ，那么A B C =+, 因为42111()2264P B =⨯=，3444111()2264P C C =⨯=， 所以1()()()32P A P B P C =+=． （2）记一局游戏结束能收益X 个Q 币，那么{1,1,5}X ∈-，由（1）知1(5)32P X ==， 又34424411119(1)(1)(1)222232P X C ==⨯-+⨯-=．∴X 的概率分布列为：所以EX =119111151632324-⨯+⨯+⨯=-． 【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确求解相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．20．（1）28y x =；（2）102x y ±-=或3x = 【解析】 【分析】（1）设圆心(,)C x y ，线段MN 的中点为E ，由圆的性质得2222CA CM ME EC ==+，结合两点间的距离公式，即可求解．（2）当PQ 与x 轴不垂直时，由x 轴平分PBQ ∠，得121211y yx x =-++，设直线:PQ x my n =+，利用根与系数的关系，求得1n =，进而解得212m =，得出直线的方程；当PQ 与x 轴垂直时，取得直线PQ 的方程为3x =． 【详解】（1）由题意，动圆过定点(4,0)A ，设圆心(,)C x y ，线段MN 的中点为E ，连接ME ，则CE y ⊥，则由圆的性质得2MN ME =，所以2222CA CM ME EC ==+， 所以222(4)4x y x -+=+，整理得28y x =．当0x =时，也满足上式，所以动圆的圆心的轨迹方程为28y x =．（2）设11(,)P x y ，11(,)Q x y ，由题意可知2118y x =，2228y x =．（ⅰ）当PQ 与x 轴不垂直时，120y y +≠，120y y ⋅<， 由x 轴平分PBQ ∠，得121211y yx x =-++， 所以122212088y y y y +=++，所以1212()(8)0y y y y ++⋅=，整理得1280y y +⋅=，设直线:PQ x my n =+，代入C 的方程得：2880y my n --=． 则128y y n ⋅=-，所以880n -=，解得1n =，由于12PQ y =-==212m =，因此直线PQ 的方程为102x y ±-=．（ⅱ）当PQ 与x 轴垂直时，PQ =，可得直线PQ 的方程为3x =．综上，直线PQ 的方程为102x y ±-=或3x =．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21．（1）最大值ln()a --，无最小值；（2）1a ≤ 【解析】 【分析】（1）求得函数()f x 的导数11()ax f x a x x+'=+=，分类讨论求得函数的单调性和最值； （2）转化为1ln e x x a x +≤-对0x >时恒成立，令1ln ()e xx F x x+=-，利用导数求得函数()G x 的单调性和最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数()1ln f x x x α=++的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x+'=+=．（ⅰ）当0a ≥，由()0f x '>可得()f x 是增函数，这时函数()f x 没有最大值也没有最小值． （ⅱ）当0a <，函数()f x 在区间1(0,)a -上是增函数，在区间1(,)a-+∞上是减函数， 所以，1x a =-时，()f x 取得最大值1()ln()f a a-=--，且()f x 无最小值． （2）由0x >时，()xf x xe ≤恒成立，可得1ln e xxa x+≤-对0x >时恒成立， 令1ln ()e xx F x x +=-，则222ln ln ()x xx x e x F x e x x'+=+=， 令2()e ln xG x x x =+，则21()(+2)e 0xG x x x x'=+>， 所以()G x 是增函数，因此，方程2e ln 0x x x +=有唯一解0(0,1)x ∈， 所以函数()F x 在0x x =时取得最小值，由于000200000000111e ln 0e ln e ln x x x x x x x x x x x +=⇔=⇔=⇔=-， 所以00000011ln ln ()1x x F x x x x +=-=-=，因此1a ≤． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．（1）221(1)4y x x -=≠-，0x y --=；（2）12±. 【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的关系进行转化可得答案；（2）由（1）可得l的参数方程为,22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，联立直线的参数方程与C 的一般方程，结合韦达定理，可得11||MA MB -的值. 【详解】解：（1）∵2211t x t +=-，∴2101x t x -=≥+，∴1x <-或1x ≥． ∵222222221)1(1)444[(]4t x y t t t -=---=+， ∴C 的直角坐标方程为221(1)4y x x -=≠-．∵2cos()4ρθ=+(cos sin )θθ-=x y -=∴直线l的直角坐标方程为0x y --=．（2）由（1）可设l的参数方程为,22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入C的方程得：231602t ++=，其两根1t ，2t满足12t t +=12323t t =．∴1212121211111||||2t t MA MB t t t t --=-===±--． 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标与直角坐标的互化及直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 23．（1）{|2}x x <<；（2）3388a -<<． 【解析】 【分析】（1）将1a =代入原不等式，分0x <、02x ≤≤、2x >进行讨论可得解集； （2）将原不等式()0f x <化为：||(2)(2)(2)(1)0a x x x x x -+--+<， 可得1||(2)x a x x +<+，设1()(2)x x x x ϕ+=+，由()x ϕ的单调性可得a 的取值范围.【详解】解：（1）当1a =时，原不等式可化为2||(4)|2|(1)0x x x x ---+<．（*） （ⅰ）当0x <时，（*）化为，2(2)(1)0x x x -+->，0x <<； （ⅱ）当02x ≤≤时，（*）化为2(2)(31)0x x x -++<， 所以，02x ≤<；（ⅲ）当2x >时，（*）化为2(2)(1)0x x x -+-<， 所以，无解；综上，a =1时，不等式()0f x <的解集为{2}x x <<． （2）当(2,)x ∈+∞，原不等式()0f x <化为：||(2)(2)(2)(1)0a x x x x x -+--+<，∴1||(2)x a x x +<+．由于函数11()1(2)(1)1x x x x x x ϕ+==++-+在(2,)x ∈+∞上是减函数，∴3()(2)8x ϕϕ<=． ∴(2,)x ∃∈+∞，使得不等式()0f x <成立，必须使3||8a <． 因此，3388a -<<． 【点睛】本题主要考查解绝对值不等式及函数恒成立的问题，相对不难，注意分类讨论思想的运用.。

2020年许昌市一模考试数学试卷（满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 16-的相反数是（ ）A ．6B ．-6C ．16D ．16-2. 新冠肺炎疫情期间，粮食安全问题受到许多国家的重视．据新华社报道，我国粮食总产量连续5年稳定在6 500亿公斤以上，粮食储备充足，口粮绝对安全．将数据“6 500亿”用科学记数法表示为（ ） A ．65×1011B ．6.5×1011C ．65×1012D ．6.5×10123. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=35°时，∠2的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°124. 下列计算正确的是（ ）A ．3a -2a =1B ．2a 2+4a 2=6a 4C ．(x 3)2=x 3D ．x 8÷x 2=x 65. 桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图所示，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个组合体的左视图为（ ）121212321ABCD6. 不等式组113322x x x x ⎧⎪+⎨-⎪<+⎩≤的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B．C ．D．7. 九年级一班同学根据兴趣分成A ，B ，C ，D ，E 五个小组，把各小组人数分布绘制成如图所示的不完整统计图，则D 小组的人数是（ ） A ．10人B ．11人C ．12人D ．15人小组E AB CD86.4°10%8. 在二次函数y =x 2+2x -3中，当-3≤x ≤0时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，-4B ．0，-3C ．-3，-4D ．0，09. 如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B ，F 为圆心，大于12BF 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ．若四边形ABEF 的周长为12，∠C =60°，则四边形ABEF 的面积是（） A ．B ．12C ．2D ．6G 21PABCDE F10. 如图，在正方形ABCD 中，顶点A (-1，0)，C (1，2)，点F 是BC 的中点，CD与y 轴交于点E ，AF 与BE 交于点G ．将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第99次旋转结束时，点G 的坐标为（ ）A ．(35，45)B ．(45-，35)C ．(35-，45)D ．(45，35-)二、填空题（每小题3分，共15分）11.计算：21(1)22-⎛⎫π+-= ⎪⎝⎭___________．12. 方程(x +2)(x -3)=x +2的解是___________．13. 在机器人社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加机器人大赛．恰好选中甲、乙两位同学的概率为______．14. 如图，在扇形OAB 中，∠AOB =90°，C 是OA 的中点，D 是AB ︵的中点，连接CD ，CB ．若OA =2，则阴影部分的面积为__________．C15. 如图，在△ABC 中，AB =ACB =30°，D 是BC 上一点，连接AD ，把△ABD 沿直线AD 折叠，点B 落在B′处，连接B′C ，若△AB′C 是直角三角形，则BD 的长为_________．B′D CB A三、解答题（本大题8个小题，共75分）16. （8分）先化简，再求值：22222212x y xxy x xy y x y xy-⋅÷-+-，其中x ，y 满足2yx=．17. （9分）为普及防治新型冠状病毒感染的科学知识和有效方法，不断增强同学们的自我保护意识，学校举办了新型冠状病毒疫情防控网络知识竞答活动，试卷题目共10题，每题10分．现分别从七年级的三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100； 2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90； 3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100． 整理数据：分析数据：（1）请直接写出表格中a ，b ，c ，d 的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；（3）为了让同学们重视疫情防控知识的学习，学校将给竞答成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共600人，试估计要准备多少张奖状？18. （9分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点（不与点A ，B 重合），D 是AC ︵的中点，DE ⊥AB 于点E ，过点C 作半圆O 的切线，交ED 的延长线于点F ．（1）求证：∠FCD =∠ADE ； （2）填空：①当∠FCD 的度数为________时，四边形OADC 是菱形； ②若AB=CF ∥AB 时，DF 的长为________．19. （9分）数学兴趣小组想测量河对岸两颗大树C ，D 之间的距离．如图所示，在河岸A 点测得大树C 位于正北方向上，大树D 位于北偏东42°方向上．再沿河岸向东前进100米到达B 处，测得大树D 位于北偏东31°方向上．求两颗大树C ，D 之间的距离．（结果精确到1米．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）31°42°东DCBA20. （9分）某商场销售A ，B 两种型号的电风扇，进价及售价如下表：A，B两种型号的电风扇，全部售完后获利6 000元，求商场4月份购进A，B两种型号电风扇的数量；（2）该商场5月份计划用不超过42 000元购进A，B两种型号电风扇共300台，且B种型号的电风扇不少于50台；销售时准备A种型号的电风扇价格不变，B种型号的电风扇打9折销售．那么商场如何进货才能使利润最大？21.（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法探究分段函数1121x x y x x ⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤（）（）的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．（1）列表：（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A (72，y 1)，B (5，y 2)，C (x 1，52)，D (x 2，6)在函数图象上，则y 1_________y 2，x 1__________x 2；（填“＞”，“=”或“＜”） ②当函数值y =1时，求自变量x 的值；（4）若直线y =-x +b 与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b 的取值范围．22. （10分）（1）发现如图1，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 边上，连接CE ． 填空：①∠DCE 的度数是__________；②线段CA ，CE ，CD 之间的数量关系是____________． （2）探究如图2，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，点D 在BC 边上，连接CE ．请判断∠DCE 的度数及线段CA ，CE ，CD 之间的数量关系，并说明理由． （3）应用如图3，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =6．若点D 满足DB =DC ，且∠BDC =90°，请直接写出DA 的长_________．图1ED CBA图2ABC DE图3CBA23. （11分）如图，直线y =-2x +c 交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B ，抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A ，B ． （1）求抛物线的解析式；（2）点M (m ，0)是线段OA 上一动点（点M 不与点O ，A 重合），过点M 作y轴的平行线，交直线AB于点P，交抛物线于点N．若NP=2AP，求m的值；（3）若抛物线上存在点Q，使∠QBA=45°，请直接写出相应的点Q的坐标．2020年许昌市一模考试数学试卷参考答案一、选择题1-5CBCDD6-10ACACB二、填空题11.1-12.24x x=-=或13.1 614.22π-15.三、解答题16.22222212x y xxy x xy y x y xy-⋅÷-+-解：2()()1()()1x y x y xy x yxy x y x x yxyx+--=⋅⋅-+==+∵2yx=，∴代入得，原式123=+=．17.（1）4；83；85；90；（2）2班成绩比较好，因为随机抽取的10名同学中，2班成绩的中位数和众数都比1班和3班的高；（3）80张．18.（1）证明略；（2）①301．19.两棵大树之间的距离为300米．20.（1）商场4月份购进A种型号电风扇100台，B种型号电风扇50台；（2）购进A种型号电风扇200台，B种型号电风扇100台才能使利润最大．21.（1）2；23；（2）图略；第 11 页 共 11 页 （3）①＞；＞；②x =-2,0或2；（4）b -1<<b >3．22. （1）①120°；②CA CE CD =+；（2）∠DCE =90°CE CD =+，理由略；（3）．23. （1）抛物线的解析式为26y x x =-++；（2）52m =； （3）12450(20)39Q Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．。

河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学第三次联考试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22,A y y x x x R ==+∈，{}222,,B x x y x R y R =+=∈∈，则A B =（ ）A. []1,2-B. (]1,2-C. (-D.⎡-⎣ 【答案】D 【解析】 【分析】由集合表示的含义可知，函数22y x x =+的值域与方程222x y +=中x 取值范围的交集即为A B .【详解】集合{}22,A y y x x x R ==+∈，则{}1A y y =≥-，集合{}222,,B x x y x R y R =+=∈∈，则{B x x =≤，所以由交集运算可得{}{{11A B y y x x x x ⋂=≥-⋂≤≤=-≤≤，即AB ⎡=-⎣，故选：D.【点睛】本题考查了集合的含义与交集的简单运算，二次函数值域求法，圆的方程及其几何性质的简单应用，属于基础题.2.若复数z 满足|1|1i iz i-+=-，则z的虚部为（ ）C. 11【答案】B 【解析】 【分析】先求|1|i -=，再安照复数除法法则化简整理成复数的标准形式即可.【详解】解：)()()()1|1|11=111122i i i i i z i i i i i ⋅+-+===+---⋅+，故选：B【点睛】考查求复数的模、复数的概念以及复数的运算，基础题.3.双曲线2214y x m-=的离心率为32，则其渐近线方程是（ ） A. 54y x =±B. 45y x =±C. y x =D.y x = 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线离心率及定义可求得m 的值，即可得双曲线的标准方程，进而由渐近线方程可得解.【详解】双曲线2214y x m-=，即2,a b ==c =由离心率为32，所以32c a ==， 解得5m =，所以双曲线22145y x -=，则渐近线方程为5a y x x x b =±==±， 故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质应用，离心率与渐近线方程的简单应用，属于基础题.4.已知直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内. 命题p ：直线a ，b 中至多有一条与直线l 相交； 命题q ：直线a ，b 中至少有一条与直线l 相交； 命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交. 则下列命题中是真命题的为（ ） A. ()p q ∨⌝B. ()p s ⌝∧C. ()q s ∧⌝D.()()p q ⌝∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面位置关系，分别判断命题p 、命题q 、命题s 的真假，即可由复合命题真假得出结论.【详解】由题意直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内，可知，命题p ：直线a ，b 可以都与直线l 相交，所以命题p 为假命题；命题q ：若直线a ，b 都不与直线l 相交，则直线a ，b 都平行于直线l ，那么直线a ，b 平行，与题意a ，b 为异面直线矛盾，所以命题q 为真命题；命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交，则直线a ，b 都平行于直线l ，那么直线a ，b 平行，与题意a ，b 为异面直线矛盾，所以命题s 为假命题；由复合命题真假可知，对于A ，p 为假命题，q ⌝为假命题，所以()p q ∨⌝为假命题， 对于B ，p ⌝为真命题，s 为假命题，所以()p s ⌝∧为假命题， 对于C ，q 为真命题，s ⌝为真命题，所以()q s ∧⌝为真命题，对于D ，p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，所以()()p q ⌝∧⌝为假命题， 综上可知，C 为真命题， 故选：C.【点睛】本题考查了命题真假判断，复合命题真假判断，属于基础题.5.刘徽是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一.他全面证明了《九章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题.如下图在圆的直径CD 上任取一点E ，过点E 的弦AB 和CD 垂直，则AB 的长不超过半径的概率是（ ）A. 312-B.13C.14D.134- 【答案】A 【解析】 【分析】设圆的半径为1，由22211AB OE =-≤得OE 的范围，从而确定点E 满足的条件，再由几何概型公式算出概率.【详解】设圆的半径为1，则有22211AB OE=-，解得：32OE ≥， 又E 在直径CD 上，所以所求的概率为32123122CE CD ⎛- ⎝⎭==-.故选：A【点睛】本题主要考查了几何概率的计算，考查了圆的弦长的计算，考查了学生的运算求解能力.6.已知0AC BC ⋅=，3BC AC =，点M 满足()1CM tCA t CB =+-，若60ACM ∠=°，则t =（ ） A.12B.32C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据0AC BC ⋅=可知ABC 为直角三角形，结合所给点M 满足的向量关系及向量减法运算可知BM tBA =，结合所给线段关系即可求得t 的值.【详解】由0AC BC ⋅=，3BC AC =，可知ABC 为直角三角形，设,AC a =则3BC a =，而60ACM ∠=°，几何关系如下图所示：因为,AC a =则3BC a =，90ACB ∠=， 所以2AB a =，则60CAB ∠=，所以AC AM CM BM a ====， 即M 为AB 中点，又因为点M 满足()1CM tCA t CB =+-，则CM tCA CB tCB =+-，所以()CM CB t CA CB -=-，由向量减法运算可知BM tBA =，因为M 为AB 中点， 所以12t =， 故选：A.【点睛】本题考查了平面向量数量积的意义，向量共线的意义及向量的减法运算，属于基础题.7.已知函数()sin cos f x x a x =-（0a ≠），满足()3f x f x π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，则直线0ax y c ++=的倾斜角为（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数满足的条件，可得函数的对称轴，再根据对称轴求得参数a 的值，即可由直线斜率与倾斜角关系求得倾斜角.【详解】函数()sin cos f x x a x =-（0a ≠），满足()3f x f x π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 则()f x 的对称轴为()326x x ππ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=-， 由辅助角公式可知()()sin cos ,tan f x x a x x a ϕϕ=-=-=， 由正弦函数的图像与性质可知，在对称轴处取得最大值或最小值，则sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即12-=12-=两边同时平方得22122a ⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭，化简可得(20a =，即a =122a --=.0y c ++=，则直线的斜率为k = 设直线的倾斜角为α，[)0,απ∈，则tan α=23πα=， 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数对称轴的性质及应用，直线方程的斜率与倾斜角关系，属于中档题.8.若(1)x +7280128(12)x a a x a x a x -=++++，则127a a a +++的值是（ ）A. -2B. -3C. 125D. -131【答案】C 【解析】试题分析：令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++，即1283a a a +++=-．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=，故选C ．考点：二项式定理．9.设01x <<，则e x a x =，2e x b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22e xc x =的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()x e f x x=，得2e (1)()x x f x x -'=，判断函数()f x 在(0,1)为减函数，结合减函数的性质与不等式性质判断出a b c ，，的大小关系.【详解】设()x e f x x=，则2e (1)()x x f x x -'=，当()0,1x ∈时，()0f x '<， 故()f x 在(0,1)为减函数，因为22x x <，所以22x x e e <，则22222x x xe e e x x x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故b c >；又201x x <<<，所以()()2f x f x >，即22x xe e x x>，故c a >， 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题考查利用函数的单调性与不等式性质比较大小，考查了利用导数求解函数的单调性，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.10.已知区间(,)a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集，则32a b +的最小值是（ ）B. 5+C.52+ D. 3【答案】C 【解析】 【分析】 由题知2a b m +=，1ab m =，0m >，则可得12a b ab +=，则()32322a b a b a b ab +⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.【详解】由题知a b ，是关于x 的一元二次方程221=0mx x -+的两个不同的实数根， 则有2a b m +=，1ab m =，0m >，所以12a bab+=，且a b ，是两个不同的正数，则有()13213232=5+5222a b a b a b a b ab b a ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ (15225=+=当且仅当32=a b b a 时，等号成立，故32a b +的最小值是52+故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力. 11.数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项的积为n T ，则2020T =（ ）A. 1B. 6-C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】 根据12a =和1111n n n a a a ++-=+，可求出1234,,,a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，且12341a a a a =，进而求得结果.【详解】1111n n n a a a ++-=+，∴111nn n a a a ++=-，12a =，∴1121+12=1123a a a +=-=--，23211311132a a a ， 3431111211312a a a ，454111321113a a a ，数列{}n a 是周期为4的周期数列，且12341a a a a =，20205054=⨯，∴202041T T ==.故选：A.【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查学生的运算求解能力，确定数列{}n a 是周期为4的周期数列是本题的解题关键，属于基础题. 12.已知函数ln ()x f x a x =-，3(ln )()ln x ax g x x-=，若方程()()f x g x =有2不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,e)-∞B. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. (,0)(e,)-∞+∞D. (e,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由()()f x g x =得(ln 3)(ln )0x x x ax --=有2不同的实数解，等价于ln 3x x =或lnxa x=有两个不同的实数解，分析得到ln 3x x =没有实数解，即lnxa x=有两个不同的实数解，利用导数分析即得实数a 的取值范围. 【详解】由()()f x g x =得ln x a x -=3(ln )ln x ax x-， 去分母整理得(ln 3)(ln )0x x x ax --=有2不同的实数解， 所以ln 30x x -=或ln 0x ax -=，所以ln 3x x =或lnxa x =， 设ln ()(0),xh x x x=> 所以21ln ()xh x x -'=，当0x e <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当x e >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减. 所以min 1()()3h x h e e ==<，所以ln 3x x=没有实数解. 所以方程lnxa x=有两个不同的实数解. 当0x →时，()0h x <；当x →+∞时，()0.h x >要方程lnx a x =有两个不同的实数解，必须10a e<<. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，33a =，411S =，则7S =______. 【答案】492【解析】 【分析】由等差数列的性质和求和公式求解即可.【详解】由已知得，144234()2()112a a S a a ⋅+==+=，33a =，252a ∴=，3212d a a ∴=-=，∴472a =，174747()72497222a a a S a +⋅∴====，答案：492【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于基础题.14.2020年新型冠状病毒肆虐全球，目前我国疫情已经得到缓解，为了彰显我中华民族的大爱精神，我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A 、B 、C 、D ，前往四个国家E 、F 、G 、H 进行抗疫技术指导，每支医疗队到一个国家，那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A 医疗队被派遣到H 国家，那么此时B 医疗队被派遣到E 国的概率是______. 【答案】 (1). 24 (2). 13【解析】 【分析】将四支医疗队进行全排可求得排法种数，只考虑B 医疗队被派遣的可能情况，利用古典概型的概率公式可求得B 医疗队被派遣到E 国的概率.【详解】由题意可知，每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A =，由于A 医疗队被派遣到H 国家，则B 医疗队可派遣到其它3个国家，因此，B 医疗队被派遣到E 国的概率是13. 故答案为：24；13.【点睛】本题考查排列计数原理的应用，同时也考查了古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.15.已知矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，E 是CD 边的中点，现以AE 为折痕将ADE 折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为________. 【答案】163π【解析】 【分析】当平面ADE ⊥平面ABCE ，三棱锥D ABE -的高最大，此时其体积最大，GAE 为直角三角形，所以FA FG FE ==，EAB 为正三角形，其中心设为O ，再证明OA OG =，根据平面GAE ⊥平面ABE ，则易证. 【详解】解：因为2AB =，3BC = ，E 是CD 边的中点， 所以1ED EC ==，2EA EB AB ===，EAB 为正三角形，其面积为定值，其中心设为O ，所以当平面ADE ⊥平面ABCE ，三棱锥D ABE -的高最大，此时其体积最大， 设此时D 点为G 点，即有平面GAE ⊥平面ABE ， 取EA 的中点F ，连结FB ，则FB AE ⊥， 又平面GAE平面ABE AE =，所以FB ⊥平面GAE ，FB FG ⊥所以222OG OF FG =+，又222OA OF FA =+，90AGE ∠=︒，即GAE 为直角三角形，所以FA FG FE ==， 所以2222323133OA OB OE OG OF FA ⎛⎫====+=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以O 为三棱锥G ABE -的外接球球心， 该三棱锥外接球的表面积为24164433S R πππ==⨯=. 故答案为：163π【点睛】考查三棱锥外接球的表面积的求法，其关键在于确定球心的位置，即找一点到四个顶点的距离相等，通常先考虑直角三角形外心或等边三角形中心，同时要证明这一点到各个顶点的距离相等；本题属于中档题.16.已知F 是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点，AB 是椭圆C 过F 的弦，AB 的垂直平分线交x 轴于点P .若2AF FB =，且P 为OF 的中点，则椭圆C 的离心率为______.5【解析】 【分析】如图，设椭圆的右焦点为G ，连接,AG BG ，过点O 作//,OD PH 交AB 于D ，则点H 为DF中点，设||2,BF m =由题得222244c a m am -=-（1）和16m a =，把16m a =代入（1）即得解.【详解】如图，设椭圆的右焦点为G ，连接,AG BG ，过点O 作//,OD PH 交AB 于D ，则点H 为DF中点. 设||2,||4,||3,||2,||||=BF m AF m AH m AD m DH HF m =∴====. 所以点D 是AF 中点， 因为||||OF OG =, 所以//,.2AG OD BAC π∴∠=由椭圆的定义得||24,||22.AC a m BG a m =-=- 在直角AFG 中，222(4)(24)4m a m c +-=，所以222244c a m am -=- （1）直角ABG 中，222(6)(26)(22)m a m a m +-=- 所以16m a =. 把16m a =代入（1）得2225559,,93a c e e =∴=∴= 5【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的计算，考查椭圆的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长是a 、b 、c ，向量(),m b c =，且满足22m a bc =+. （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC 的周长的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）【解析】 【分析】（1）利用向量模的坐标运算可得出222b c a bc +=+，利用余弦定理可求得cos A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得b c +的最大值，进而可得出ABC 的周长的最大值. 【详解】（1）(),m b c =且22m a bc =+，222b c a bc ∴+=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 0A π<<，因此，3A π=；（2）由a =3A π=及余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即()()()22222223324b c b c a b c bc b c bc b c ++⎛⎫=+-=+-≥+-⨯=⎪⎝⎭，()22412b c a ∴+≤=，b c ∴+≤，当且仅当b c ==因此，ABC 的周长的最大值为【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查了利用坐标计算平面向量的模，同时也考查了利用基本不等式计算三角形周长的最值，考查计算能力，属于中等题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，60BAD ∠=.（1）求证：AD PB ⊥；（2）当直线PB 与平面ABCD 所成角为45时，求二面角B PC D --平面角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）90. 【解析】 【分析】（1）取AD 的中点M ，连接PM 、BM 、BD ，推导出PM AD ⊥，BM AD ⊥，可证得直线AD ⊥平面PBM ，进而可证得AD PB ⊥；（2）证明出PM ⊥平面ABCD ，然后以点M 为坐标原点，MA 、MB 、MP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设2AD =，利用直线PB 与平面所成的角为45求出PM ，然后利用空间向量法可求得二面角B PC D --的平面角的大小.【详解】（1）取AD 的中点M ，连接PM 、BM 、BD ，PA PD =，M 为AD 的中点，PM AD ∴⊥.四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=，ABD ∴是正三角形，则BM AD ⊥.又PMBM M =，AD ∴⊥平面PMB .又PB ⊂平面PMB ，AD PB ∴⊥；（2）PM AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PM ∴⊥平面ABCD .又MB ⊂平面ABCD ，PM MB ∴⊥，MA ∴、MB 、MP 两两互相垂直.∴以M 为原点，MA 、MB 、MP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，PM ⊥面ABCD ，PBM ∴∠即为PB 与面ABCD 所成角，45PBM ∴∠=，MB MP ∴=.在正三角形ABC 中，BM AD ⊥，假设2AD =，则3MB =(3P ∴、()1,0,0D -、()3,0B 、()3,0C -. (3,3PC ∴=--，()2,0,0BC =-，(1,0,3PD =--.设面PBC 的法向量为()111,,m x y z =，则1111233020m PC x z m BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩.不妨取11y =，则()0,1,1m =.同理，设面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则22222233030n PC x z n PD x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩.不妨取21z =，则()3,1,1n =--.0m n ∴⋅=，∴平面PBC ⊥平面PDC ，∴二面角B PC D --平面角为90.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查了直线与平面所成角的定义，考查计算能力，属于中等题.19.流行病学资料显示，50岁以上男性静息心率过高将会增加患心血管疾病的风险，相反，静息心率相对稳定的50到60岁的男性，在未来10年内患心血管疾病的几率会降低44%.研究员们还表示，其中静息心率超过75bpm （次/分）的人比静息心率低于55bpm 的人罹患心血管疾病的风险高出一倍.某单位对其所有的离、退休老人进行了静息心率监测，其中一次静息心率的茎叶图和频率分布直方图如下，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100，由于扫描失误，导致部分数据丢失.据此解答如下问题：（1）求此单位离、退休人员总数和静息心率在[]80,100之间的频率；（2）现从静息心率在[]80,100之间的数据中任取3份分析离、退休人员身体情况，设抽取的静息心率在[]90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）单位离、退休人员总数为32，静息心率在[]80,100之间的频率为516；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图计算出静息心率在[)50,60的人数，利用频率分布直方图可得出静息心率在[)50,60之间的频率，由此可计算出该单位离、退休人员总数，结合茎叶图计算出静息心率在[]80,100的人数，除以总人数可得出静息心率在[]80,100的频率；（2）由题意可知静息心率在[)80,90的人数为6人，静息心率在[]90,100的人数为4人，由此可知随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，利用期望公式可求出随机变量X 的数学期望.【详解】（1）由茎叶图知，静息心率在[)50,60的人数为8人，静息心率在[)60,70的人数为6人，静息心率在[)70,80的人数为8人.所以，此单位离、退休人员总数为8320.025010=⨯.静息心率在[)80,100的人数为3286810---=人，频率为1053216； （2）静息心率在[)80,90的人数为6人，静息心率在[]90,100的人数为4人.X 的可能取值为0、1、2、3，363102011206C P X C ，216431060111202C C P X C ， 1264310363212010C C P X C ，3431041312030C P XC . 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：X123P1612310130因此，随机变量X 的数学期望为()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查茎叶图和频率分布直方图计算总容量和频数，同时也考查了随机变量分布列及其数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 20.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为12y =，F 为抛物线C 的焦点，点P 为直线123=+y x 上任意一点，以P 为圆心，PF 为半径的圆与抛物线C 的准线交于A 、B 两点，过A 、B 分别作准线的垂线交抛物线C 于点D 、E .（1）求抛物线C 的方程；（2）证明：直线DE 过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）22x y =-；（2）证明见解析，定点1,23M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）设抛物线C 的标准方程为()220x py p =->，根据抛物线的准线方程可求得p 的值，由此可求得抛物线C 的方程；（2）设点P 的坐标为(),t s ，求出圆的方程，与直线12y =方程联立，可得出关于t 、s 的二次方程，并设点211,2x D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、222,2x E x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可列出韦达定理，并求得直线DE 的方程，进而可求得直线DE 所过定点的坐标.【详解】（1）设抛物线C 的标准方程为()220x py p =->，依题意，1122p p =⇒=，抛物线C 的方程为22x y =-； （2）10,2F ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，设(),P t s ，则123s t =+，2221532PF t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 于是圆P 的方程为()()222212x t y s t s ⎛⎫-+-=++ ⎪⎝⎭，令12y =，得2220x tx s --=，① 设211,2x D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、222,2x E x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由①式得122x x t +=，122243x x s t =-=--，② 直线DE 的斜率为22121212222DEx x x xk t x x -++==-=--，则直线DE 的方程为()221121211212121222222x x x x x x x x x x x x y x x x y x +++++=--=-+⇒=-+，代入②式就有112233y tx t y t x ⎛⎫=---⇒+=-+ ⎪⎝⎭， 因为上式对t ∈R 恒成立，故110,33202x x y y ⎧⎧+==-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩，即直线DE 过定点1,23M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中直线过定点问题的证明，求出直线的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()212ln 2f x x ax x =-+，a ∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x <，求()()212f x f x -的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）13,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析导函数()y f x =的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）可知1x 、2x 是关于x 的二次方程2210x ax -+=的两根，利用韦达定理可将()()212f x f x -表示为以2x 为自变量的函数，换元221t x =>，可得出()()211132ln 122f x f x t t t -=-+++，令()113ln 122g t t t t =-+++，利用导数求出函数()y g t =在()1,t ∈+∞上的值域，由此可得解.【详解】（1）函数()212ln 2f x x ax x =-+的定义域为()0,∞+， ()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，令221y x ax =-+. 当2440a ∆=-≤，即11a -≤≤时，0y ≥，则()0f x '≥对任意的0x >恒成立， 此时函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；当1a <-时，()0f x '>对任意的0x >恒成立，此时函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；当1a >时，2210x ax -+=有两个正根，分别为1x a =2x a = 当10x x <<或2x x >时，()0f x '>；当12x x x <<时，()0f x '<.此时函数()y f x =在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减.综上可得：当1a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间是()0,∞+，无递减区间； 当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间是(0,a，()a +∞， 单调递减区间是(a a ； （2）由（1）可知1x 、2x 是关于x 的二次方程2210x ax -+=的两根，由韦达定理可得122x x a +=，121x x ⋅=，1a >，21121ax x =+，22221ax x =+，1a >，()10,1x ∴∈，()21,x ∈+∞，()()22212221111122ln 22ln 22f x f x x ax x x ax x ⎛⎫∴-=-+--+ ⎪⎝⎭2221211ln 2ln 12x x x x =-++-+2222222222211111ln 2ln 13ln 122x x x x x x x ⎛⎫=-++-+=-+++ ⎪⎝⎭， 令22t x =，则1t >，设()113ln 122g t t t t =-+++， ()()()222212113322222t t t t g t t t t t ----+-'=--+==， 当12t <<时，()0g t '<，当2t >时，()0g t '<. 所以，函数()y g t =在()1,2单调递增，在()2,+∞单调递减，()()max 132ln 222g t g ∴==+， 因此，()()212f x f x -的取值范围是13,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解代数式的取值范围，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.以直角坐标系xOy 的坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(1cos )20ρθ--=，直线l0y -=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 与直线l 相交于A 、B 两点，求弦AB 的长度.【答案】（1）24(1)y x =+（2）163 【解析】【分析】（1）根据cos ,sin x y ρθρθ==可求得结果；（2）将直线l 分成两条射线，利用两条射线的极坐标方程与曲线C 的极坐标方程联立可得A 、B 两点的极径，再根据极径的几何意义可得弦AB 的长度.【详解】（1）曲线C ：(1cos )20ρθ--=可得：22(cos 2)ρρθ=+， 由cos ,sin x y ρθρθ==可得：24(1)y x =+.所以曲线C 的直角坐标方程为24(1)y x =+（2） 直线l0y -=，所以直线l 分成两条射线，其极坐标方程分别为：(0)3πθρ=≥，4(0)3πθρ=≥， 联立3(1cos )20πθρθ⎧=⎪⎨⎪--=⎩和43(1cos )20πθρθ⎧=⎪⎨⎪--=⎩ 分别解得4ρ=和43ρ=，所以416||433AB =+=. 【点睛】本题考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了利用极坐标的几何意义求弦长，属于基础题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|11|f x x x x =-+++的最小值为M .（1）求M 的值；（2）若0a >，0b >，且a b M +=，向量(,2)m a b =，求||m 的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】 （1）分类讨论去绝对值变为分段函数后，利用单调性可求得最小值；（2）根据向量的模长公式以及二次函数的性质可求得最小值.【详解】（1）函数3,12,01()112,103,1x x x x f x x x x x x x x >⎧⎪+<≤⎪=-+++=⎨--<≤⎪⎪-≤-⎩， 函数在(,0]-∞上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，(0)2f =，所以函数()f x 的最小值为2M =（2） 2a b +=， 0a >，0b >.222||4m a b =+.222222221616||4(2)45445()555m a b b b b b b =+=-+=-+=-+≥. 所以45||m ≥，当且仅当82,55a b ==时取等号. 故||m . 【点睛】本题考查了分类讨论去绝对值求函数的最值，考查了向量的模长公式，考查了二次函数求最值，属于中档题.。

河南省许昌市数学 2020 届高中毕业班理数第一次（3 月)质量检测试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·汉中月考) 复数 满足，则（）A.B.C.D. 2. （2 分） 抛物线 x2=4y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3. （2 分） 已知集合 A={x|1＜x＜2}，B={x|x≤a}，若 A∩B≠Φ，则实数 a 的集合为（ ） A . {a|a＜2} B . {a|a≥1} C . {a|a＞1} D . {a|1≤a≤2}4. （2 分） (2018·银川模拟) 设A . 有最小值，最大值满足则第 1 页 共 13 页（）B . 有最大值 ，无最小值 C . 有最小值 ，无最大值 D . 有最小值 ，无最大值 5. （2 分） 已知| |=2| |≠0，且 ⊥（ ﹣ ），则 与 的夹角是（ ） A. B. C. D. 6. （2 分） 三棱锥 A-BCD 的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥 A-BCD 的表面积为（ ）A. B.C. D.7. （2 分） 已知 A={y|y=log2x,x 2}B={y|y= ,x 2}，则 A∩B=（ ） A.∅B . （ ， 1）第 2 页 共 13 页C . （0， ）D . （﹣∞， ）8. （ 2 分 ） (2019 高 三 上 · 佳 木 斯 月 考 ) 已 知 正 项 数 列的前 项和为 ，且，，设数列的前 项和为 ，则 的取值范围为（ ）A. B.C. D. 9. （2 分） 从集合{2，3，4， ， }中取两个不同的数 a，b，则 logab＞0 的概率为（ ） A. B. C. D. 10. （2 分） (2017 高二下·广州期中) 设 f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数 y=f′ （x）的图象可能是（ ）第 3 页 共 13 页A. B.C.D.11. （2 分） (2019 高三上·和平月考) 若 A. B. C. D.，则（）12. （ 2 分 ） 若 P 是 双 曲 线：和圆， 其中是双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为（的一个交点且 ）第 4 页 共 13 页A. B. C.2 D.3二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·重庆模拟) 已知等比数列 的前 n 项和 满足，则________.14. （1 分） 在的展开式中 的系数等于________15. （1 分） (2019 高二下·玉林月考) 给出下列五个命题：①函数 f（x）＝2 x﹣1﹣1 的图象过定点（ ，﹣1）；②已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0时，f（x）＝x（x+1），若 f（a）＝﹣2 则实数 a＝﹣1 或 2．③若1，则 a 的取值范围是（ ，1）；④若对于任意 x∈R 都 f（x）＝f（4﹣x）成立，则 f（x）图象关于直线 x＝2 对称；⑤对于函数 f（x）＝lnx，其定义域内任意都满足 f（ ）其中所有正确命题的序号是________．16. （1 分） 在棱锥 A﹣BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，E 为底面 BCD 上一点，若 E 到三个侧面的距离分 别为 3，4，5，则以线段 AE 为直径的球的表面积为________．三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2018·江西模拟) 已知 ， ， 分别为 .的内角 ， ， 的对边，（1） 若，求的值；（2） 设，且，求的面积.18. （10 分） (2018 高三上·山西期末) 如图，在四棱锥平面平面上任意一点，， ，且是等边三角形，已知 .第 5 页 共 13 页中，底面梯形 ，，，，是（1） 求证：平面平面；（2） 试确定 的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的 3 倍.19. （10 分） 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄 录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日昼夜温差 x（℃） 1011131286就诊人数 y（人） 222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再用被选取 的 2 组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率；（Ⅱ）若选取的是 1 月与 6 月的两组数据，请根据 2 至 5 月份的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y=bx+a；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人，则认为得到的线性回归方 程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？20. （10 分） (2017·新课标Ⅲ卷理) 已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 与 A，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；（Ⅱ）设圆 M 过点 P（4，﹣2），求直线 l 与圆 M 的方程．21. （10 分） (2017 高二下·太原期中) 已知函数 f（x）=x3+ （1） 用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；第 6 页 共 13 页，x∈[0，1]．（2） 证明：f（x）≤ ．22. （10 分） (2018 高二上·镇江期中) 已知椭圆 E：的焦距为 2 ，一条准线方程为 x=，A，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，点 P，Q 在的椭圆上，且点 P 在第一象限．（1） 求椭圆 E 的标准方程； （2） 若点 P，Q 关于坐标原点对称，且 PQ⊥AB，求四边形 ABCD 的面积； （3） 若 AP，BQ 的斜率互为相反数，求证：PQ 斜率为定值．23. （10 分） (2019 高三上·沈阳月考) 已知函数.（1） 求不等式的解集；（2） 设函数，若存在 使成立，求实数 的取值范围.第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、 17-2、18-1、 18-2、第 9 页 共 13 页19-1、第 10 页 共 13 页21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、。