万有引力定律及其应用

万有引力定律及其应用

目标认知 学习目标 1.了解开普勒行星运动定律 2.理解万有引力定律的内容及使用条件

3.会计算天体表面的重力加速度问题

4.了解引力常量的测定及其意义

5.会用万有引力定律公式计算中心天体的质量

学习重点、难点 1.万有引力定律的内容及使用条件

2.中心天体质量的计算

知识要点梳理

知识点一．开普勒行星运动三定律

要点诠释：

1.开普勒第一定律 所有的行星围绕太阳运动的轨迹都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2.开普勒第二定律

行星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相等。

3.开普勒第三定律

所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等，即

4、说明

（1）研究天体运行时，太阳系中的八大行星及卫星运功的椭圆轨道的两个焦点相距很近，因此行星的椭圆轨道都很接近圆。在要求不太高时，通常可以认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。这样做使处理问题的方法大为简化，而得到的结果与行星的实际运行情况相差并不大。 （2）在上述情况下，的表达式中a就是圆的半径R，利用的结论解决某些问题很方便。在太阳系中，比例系数k是一个与行星无关的常量，但不是恒量。在不同的星系中，k值不相同，k值与中心天体有关。

（3）该定律不仅使用于行星，也使用于其他天体。如对绕地球飞行的卫星来说，它们的k值相同与卫星无关。

：某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，、是椭圆轨道的两个焦点，太阳在焦点上，A、B是两点、连线与椭圆的交点。已知A到的距离为a，B到的距离为b，则行星在A、B两点处的速率之比多大？

思路点拨：用开普勒定律分析

分析：

由开普勒行星运动第二定律，太阳和行星的连线在相等时间内扫过的面积相等。设在时间内行星在A、B两点处与太阳连线所扫过的面积相等，如下图中的阴影部分所示：

当很小时，则行星运动轨迹弧线很短，可以认为是线段，阴影部分的形状可近似为直角三角形，所以有：

万有引力定律及其应用

知识网络:

一、万有引力定律：（1687年）

221rmmGF

适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出）2211/1067.6kgmNG

二、万有引力定律的应用

1．解题的相关知识：

（1）在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222rvmrMmG＝rTm224rm2；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G2RmM ＝mg从而得出GM＝R2g。

（2）圆周运动的有关公式：＝T2，v=r。

讨论：

①由222rvmrMmG可得：rGMv

r越大，v越小。

②由rmrMmG22可得：3rGM r越大，ω越小。

③由rTmrMmG222可得：GMrT32 r越大，T越大。

④由向marMmG2可得：2rGMa向 r越大，a向越小。

点评：需要说明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而可以看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别说明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两万有引力定律 天体运动

地球卫星 个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。

2．常见题型

万有引力定律的应用主要涉及几个方面：

（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力）

由rTmrMmG222 得2324GTrM

又334RM 得3233RGTr

【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T=301s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G=6.671011m3/kg.s2)

解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

万有引力定律及其应用

基础知识回顾

1．开普勒三定律

1）第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2）第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3）第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道运动处理为圆轨道运动。

2．万有引力定律

1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟着两个物体的质量的乘积成正比，跟他们之间的距离的二次方成反比。

2）公式： F= 122mmGr，

其中G=6.67×10-11N·m2/kg2，叫引力常量。

3）适用条件：仅仅适用于质点或可以看作质点的物体。相距较远（相对于物体自身的尺寸）的物体和质量均匀分布的球体可以看作质点，此时，式中的r指两质点间的距离或球心间的距离。

3．万有引力定律的应用

！）由22MmvGmRR得GMvR，所以R越大，υ越小；

2）由22MmGmRR得3GMR，所以R越大，ω越小；

3）由2224MmGmRT得234RTGM，所以R越大，T越大；

4）模型总结：

（1）当卫星稳定运行时，轨道半径R越大，υ越小；ω越小；T越大；万有引力越小；向心加速度越小。

（2）同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、角速度、周期、向心加速度均相等。

（3）这一模型在分析卫星的轨道变换、卫星回收等问题中很有用。

重点难点例析

一、万有引力与重力

1．重力：重力是指地球上的物体由于地球的吸引而使物体受到的力．通过分析地球上物体受到地球引力产生的效果，可以知道重力是引力的一个分力．引力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向心力(这个向心力也可以看作是物体受到的地球引力与地面支持力的合力) 如图5-3-2所示．但由于向心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于引力，重力方向竖直向下（即指向地心）．

万有引力定律及其应用

1．万有引力定律： 引力常量G=6.67× N•m2/kg2

2．适用条件：可作质点的两个物体间的相互作用；若是两个均匀的球体,r应是两球心间距.（物体的尺寸比两物体的距离r小得多时，可以看成质点）

3．万有引力定律的应用：（中心天体质量M, 天体半径R, 天体表面重力加速度g ）

（1）万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运动时 )

（2）重力=万有引力

地面物体的重力加速度：mg = G g = G ≈9.8m/s2

高空物体的重力加速度：mg = G g = G <9.8m/s2

4．第一宇宙速度----在地球表面附近(轨道半径可视为地球半径)绕地球作圆周运动的卫星的线速度,在所有圆周运动的卫星中线速度是最大的。

由mg=mv2/R或由 = =7.9km/s

5．开普勒三大定律

6．利用万有引力定律计算天体质量

7．通过万有引力定律和向心力公式计算环绕速度

8．大于环绕速度的两个特殊发射速度：第二宇宙速度、第三宇宙速度（含义）

功、功率、机械能和能源

1．做功两要素：力和物体在力的方向上发生位移

2．功： 功是标量，只有大小，没有方向，但有正功和负功之分，单位为焦耳（J）

3．物体做正功负功问题 （将α理解为F与V所成的角，更为简单）

（1）当α=90度时，W=0.这表示力F的方向跟位移的方向垂直时，力F不做功，

如小球在水平桌面上滚动，桌面对球的支持力不做功。

（2）当α<90度时， cosα>0,W>0.这表示力F对物体做正功。

如人用力推车前进时，人的推力F对车做正功。

（3）当 α大于90度小于等于180度时，cosα<0,W<0.这表示力F对物体做负功。

如人用力阻碍车前进时，人的推力F对车做负功。

一个力对物体做负功，经常说成物体克服这个力做功（取绝对值）。

例如，竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了-6J的功，可以说成球克服重力做了6J的功。说了“克服”，就不能再说做了负功