【2021中考数学】圆解答题含答案
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1 2021中考数学复习专题
【圆】解答题专项巩固训练
1．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．
（1）求圆心O到AP的距离；
（2）求弦EF的长．
2．如图，A为⊙O上的一点，C为⊙O外的一点，AC交⊙O于点B，且OA＝BC，∠C＝24°，求∠A的度数．
2 3．在⊙O中，半径OD⊥AB，垂足为点P，点C为圆上任意一点，若∠O＝60°，DP＝2，求∠C的度数和半径OB的长．
4．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°．求OD的长和∠OCB度数．
3 5．如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．
6．如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：
（1）AC＝BD；
（2）CE＝BE．
4 7．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，过D作DE⊥CA，垂足为E，且DE与⊙O相切，DO的延长线与BC交于点F．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）若AC＝OA＝2，求弦长BC与所围成的图形（阴影部分）的面积．
8．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； 5 （2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
6 9．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．
10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．
（1）求证：AD＝AE；
（2）若AB＝8，AD＝6，求EB的长． 7 8 参考答案
1．解：（1）过O点作OH⊥EF于H，如图，
∵DB＝10，
∴OD＝5，
∴OA＝AD+OD＝3+5＝8，
在Rt△OAH中，∵∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝4，
即圆心O到AP的距离为4cm；
（2）连接OF，如图，
∵OH⊥EF，
∴EH＝FH，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝3，
∴EF＝2HF＝6（cm）．
2．解：如图，连接OB， 9
∵OB＝OA，OA＝BC，
∴∠ABO＝∠A，OB＝BC，
∴∠BOC＝∠C＝24°，
∴∠ABO＝48°，
∴∠A＝48°．
3．解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∵∠BOD＝60°
∴∠AOD＝∠BOD，
∴∠C＝∠BOD＝30°；
∵OD⊥AB，DP＝2，
∴AC＝CB，设半径为R，
在Rt△OAC中，R﹣2＝R，
∴R＝4．
∴⊙O的半径为4． 10
4．解：∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵OD⊥弦BC，
∴∠BDO＝90°，
∴OD＝OB＝1．
5．解：如图，设桥拱所在的圆心为O，正常水位时的水面为AB，上涨后的水面为CD，
过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA、OD，
则OF⊥AB，
∴AF＝BF＝AB＝20（米），CE＝DE，
设OA＝r米，则OF＝（r﹣10）米，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得r2＝202+（r﹣10）2，
解得：r＝25，则OF＝15米，
在Rt△OED中，OE＝OF+EF＝15+5＝20（米），
∴DE＝＝＝15（米）， 11 ∴CD＝2DE＝30（米），
即水位到达警戒水位时水面宽30米．
6．证明：（1）∵AB＝CD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴AC＝BD；
（2）∵＝，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴EA＝ED，
∵AB＝CD，
即AE+BE＝CE+DE，
∴CE＝BE．
7．（1）证明：∵DE与⊙O相切，
∴OD⊥DE，
∴∠FDE＝90°，
∵AB是⊙O的直径， 12 ∴∠ACF＝90°，
∵DE⊥CA，
∴∠E＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
（2）解：连接OC，
∵AC＝OA＝OC＝2，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠COA＝∠ACO＝60°，
∴∠COB＝120°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝30°，
∵四边形CEDF为矩形，
∴∠OFC＝90°，
Rt△OCF中，OC＝2，∠OCF＝30°，
∴OF＝1，CF＝，
∴BC＝2， 13 ∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝×1＝．
8．解：（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作OG⊥AF于G，
∴AF＝2AG，
∵∠BAC＝60°，OA＝2，
∴AG＝OA＝1，
∴AF＝2，
∴AF＝OD，
∴四边形AODF是菱形，
∴DF∥OA，DF＝OA＝2， 14 ∴∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴EF＝DF＝1．
9．（1）证明：连接OF，如图1所示：
∵CD⊥AB，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠DBC＝∠OFB，
∵EF＝EC，
∴∠C＝∠EFC，
∴∠OFB+∠EFC＝90°，
∴∠OFE＝180°﹣90°＝90°，
∴OF⊥EF，
∵OF为⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接AF，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径， 15 ∴∠AFB＝90°，
∵D是OA的中点，
∴OD＝DA＝OA＝AB＝×4＝1，
∴BD＝3OD＝3，
∵CD⊥AB，CD＝AB＝4，
∴∠CDB＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝5，
∵∠AFB＝∠CDB＝90°，∠FBA＝∠DBC，
∴△FBA∽△DBC，
∴＝，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣＝．
10．解：（1）证明：∵BE平分∠ABC， 16 ∴∠1＝∠2，
∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵AE为⊙O切线，
∴AE⊥AB，
∴∠E+∠1＝90°，
∴∠E＝∠3，
而∠4＝∠3，
∴∠E＝∠4，
∴AE＝AD；
（2）在Rt△ABE中，AB＝8，AE＝AD＝6，
根据勾股定理，得
EB＝＝10．
