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正弦函数的图象与性质再认识
一、基础铺垫 1．正弦函数的图象
（1）利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．
（2）“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32π，－1和(2π，0)．
2．正弦函数的性质 （1）函数的周期性
①周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数f (x )
，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．
（2）正弦函数的性质
1.正弦函数的图象与性质
【例1】用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．
[解]按五个关键点列表
(1)由图象可知图象在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，∴a的取值范围是{a|1<a<3或－1<a<1}．
(3)由图象可知y max ＝3，此时x ＝－π2；y min ＝－1，此时x ＝π
2. 【教师小结】
（1）正弦函数图象的关键是要抓住五个关键点，使函数中x 取0，π
2，π，3π
2，2π，然后相应求出y 值，作出图象．
（2）五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
（3）仔细观察图象，找出函数图象y ＝1与y ＝a 的交点及最大值，最小值点正确解答问题．
2.正弦函数的单调性及应用
【例2】 比较下列各组数的大小． (1)sin 194°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8和sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫cos 3π8. [思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
[解] (1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°. cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°， ∴sin 14°<sin 70°.
从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，
又π2<74<π<π2＋53<3
2π，
y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，32π上是减函数，
∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋53＝cos 53，
即sin 74>cos 53. (3)∵cos 3π8＝sin π
8， ∴0<cos 3π8<sin 3π8<1<π
2. 而y ＝sin x 在⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2内递增，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
sin 3π8.
【教师小结】
（1）求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性．
（2）比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．
3.正弦函数的值域与最值问题 [探究问题]
（1）函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋π4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?
[提示] 不能．因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π4，5π4，由正弦函数图象可知
函数的最小值为－2
2.
（2）函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？
[提示] 不是．因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b . 【例3】 求下列函数的值域． (1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3；
(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .
[思路探究] (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围． (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围．
[解] (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3≤1，
∴－2≤2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3≤2， ∴1≤2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3＋3≤5，
∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5]．
(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1， y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －142＋9
8.
由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤9
8， 即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－2，98.
【教师小结】
（1）换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．
（2）转化成同一函数，要注意不要一见sin x 就有－1≤sin x ≤1，要根据x 的范围确定． 三、课堂总结
1．“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点
(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐．
(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
2．正弦函数周期性的释疑
由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
3．正弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称． (2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 4．正弦函数单调性的说明
(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
5．正弦函数最值的释疑
(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x |≤1.
(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定． (3)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝z ，将函数转化为y ＝A sin z 的形式求最值． 四、课堂检测
1．以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同 B ．关于x 轴对称
C ．介于直线y ＝1和y ＝－1之间
D ．与y 轴仅有一个交点
B [观察y ＝sin x 图象可知A ，
C ，
D 项正确，且关于原点中心对称，故选B.]
2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，3π2的简图是( )
D [可以用特殊点来验证．当x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A ，C ；当x ＝3π2时，y ＝－sin 3π
2＝1，排除B.]
3．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是__________． [－1,0] [因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1，
解得－1≤m≤0.]
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．[解]列表：。
