广东省2021年中考数学试题真题(Word版,含答案与解析)

专题11：实际问题与一元二次方程-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编一、单选题1．（2021·广东广州市·九年级一模）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛240场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A ．x （x ﹣1）＝240 B ．12x （x ﹣1）＝240 C ．x （x ＋1）＝240 D ．12x （x ＋1）＝240 【答案】A【解析】根据参加比赛的球队数量、总共要比赛的场数列出方程即可得． 【解答】解：由题意，可列方程为(1)240x x -=， 故选：A ．【点评】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．2．（2021·广东广州市·九年级一模）一种药品原价每盒25元经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都相同为x ，则x 满足方程（ ） A ．()2251216x -= B ． ()225116x -= C ．()2161225x +=D ．()216125x+=【答案】B【解析】等量关系为：原价×（1-下降率）2=16，把相关数值代入即可． 【解答】解：第一次降价后的价格为25（1-x ），第二次降价后的价格为25（1-x ）×（1-x ）=25×（1-x ）2， ∴列的方程为25（1-x ）2=16， 故选：B ．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ． 3．（2021·广东深圳市·九年级二模）有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源），程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中0R 个白球同时变成红球（0R 为程序设定的常数），若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为64个，则0R 应满足的方程是（ ）A ．4（1＋0R ）＝64B ．4（1＋0R ）＝400C ．4()201R +＝64 D ．4()201R +＝400【答案】C【解析】原有4个红球，1分钟后红球数为0(44)R +个，2分钟新增加的红球数为0(44)x R +个，由2分钟后，红球总数变为了64个列方程可得结论． 【解答】根据题意得：00044(44)64R R R +++=，即：204(1)64R +=，故选：C ．【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，了解增长率问题是解题的关键．4．（2021·广东九年级专题练习）目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G 用户数累计达到8.72万户．设全市5G 用户数年平均增长率为x ，则x 值为（ ） A ．20% B ．30%C ．40%D ．50%【答案】C【解析】先用含x 的代数式表示出2020年底、2021年底5G 用户的数量，然后根据2019年底到2021年底这三年的5G 用户数量之和=8.72万户即得关于x 的方程，解方程即得答案． 【解答】解：设全市5G 用户数年平均增长率为x ，根据题意，得：()()2221218.72x x ++++=，解这个方程，得：10.440%x ==，2 3.4x =-（不合题意，舍去）． ∴x 的值为40%． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．5．（2021·广东广州市·西关外国语学校九年级一模）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5cm ，AC ＝4cm ，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A→C 向点C 运动，同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A→B→C 向点C 运动，直到它们都到达点C 为止．若△APQ 的面积为S （cm 2），点P 的运动时间为t （s ），则S 与t 的函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分两种情况讨论：当502t 时，过Q 作QD AC ⊥交AC 于点D ，12APQ S AP QD ∆=⨯⨯；当542t <时，APQ ABC ABQ CPQ S S S S -∆∆∆∆=-．【解答】解：①当502t时，点Q 在AB 上， 2AQ t ∴=，AP t =，过Q 作QD AC ⊥交AC 于点D ，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB cm =，4AC cm =，3BC cm ∴=，∴QD AQBC BC=， 65QD t ∴=，211632255APQ S AP QD t t t ∆=⨯⨯=⨯⨯=，②当542t <时，点Q 在BC 上， 2211134(4)(82)4(25)4(2)4222APQ ABC ABQ CPQ S S S S t t t t t t -∆∆∆∆=-=⨯⨯-⨯-⨯--⨯⨯-=-+=--+， 综上所述，正确的图象是D ． 故选：D ．【点评】本题考查动点运动，三角形面积．B 点是Q 点运动的分界点，将运动过程分两种情况进行讨论是解题的关键．二、填空题6．（2021·广东九年级专题练习）在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信，已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有_________员工人． 【答案】50【解析】设这个公司有员工x 人，则每人需发送(1)x -条祝贺元旦的短信，根据全公司共发出2450条短信，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设这个公司有员工x 人，则每人需发送(1)x -条祝贺元旦的短信， 依题意，得：(1)2450x x -=，解得：150x =，249x =-（不合题意，舍去）． 故答案为：50．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（2021·广东九年级专题练习）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20%【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x ，根据题意得25×（1-x ）（1-x ）=16， 整理得，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%．8．（2021·广东九年级专题练习）如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m ，则根据题意，可列方程为_______.【答案】（12-x ）（8-x ）=77【解析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【解答】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．9．（2021·广东九年级专题练习）圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为_____．【答案】x（x﹣1）＝110【解析】设这个小组有x人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每个人要送x－1张贺卡，所以全组共送x（x－1）张，又知全组共送贺卡110张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可．【解答】设这个小组有x人，则每人应送出x−1张贺卡，由题意得：x(x−1)＝110，故答案为x(x−1)＝110.【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 10．（2021·广东九年级专题练习）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．【答案】12x（x﹣1）=21【解答】【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为12x（x﹣1），即可列方程．【详解】有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x﹣1）=21，故答案为12x（x﹣1）=21．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 11．（2021·广东九年级专题练习）参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共比赛90场比赛，共有____个队参加比赛.【答案】10【解答】设有x支球队，由题意则有：x(x-1)=90，解得：x1=10，x2=-9(舍去)，所以共有10个队参加比赛，故答案为10.12．（2021·广东广州市·九年级一模）如图，ABC 中90A ∠=︒，5AB =，12AC =，点D 为动点，连接BD 、CD ，BDC ∠始终保持为90︒，线段AC 、BD 相交于点E ，则DEBE的最大值为__________．【答案】45【解析】设AE x =，从而可得12CE x =-，先利用勾股定理可得225BE x =+判定与性质可得AE BEDE CE =，求出DE 的值，从而可得DE BE的值，然后利用一元二次方程、二次函数的性质求解即可得．【解答】解：由题意，设AE x =，则12CE x =-，22225BE AB AE x ∴+=+在ABE △和DCE 中，90A D AEB DEC ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩，ABE DCE ∴~，AE BE DE CE ∴=，即225x x DE += 解得225DE x=+，则2(12)25x x E x D BE -=+， 令(0)DE k k BE =>，则2(12)25x x k x-+=， 整理得：2(1)12250k x x k +-+=，关于x 的一元二次方程2(1)12250k x x k +-+=有实数根，∴方程根的判别式144425(1)0k k ∆=-⨯+≥，即22525360k k +-≤， 令22525360k k +-=，解得1249,55k k ==-， 由二次函数2252536y k k =+-的性质可知，当0y ≤时，9455k -≤≤， 则k 的最大值为45， 即DE BE的最大值为45，故答案为：45．三、解答题13．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【答案】每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．【解析】根据题意可直接设每轮传染x 台，从而列出两轮后共计传染数量为()21x +台，建立一元二次方程求解即可，求出每轮传染数之后即可判断三轮传染之后的总数，即可得出结论． 【解答】设每轮感染中平均1台电脑会感染x 台电脑． 根据题意可列：()1181x x x +++=， 解得：18x =，210x =-（舍去）．∴3轮感染后，被感染得电脑为：81818729700+⨯=>．答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 14．（2021·广东阳江市·九年级一模）甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？ 【答案】（1）这个降价率为10%；（2）该商品在原售价的基础上，再降低10元．【解析】（1）设调价百分率为x ，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解． （2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10000元列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是x ，依题意得：40（1﹣x ）2＝32.4， 解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（舍去）； 答：这个降价率为10%；（2）设降价y元，则多销售y÷0.2×10＝50y件，根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000，解得：y＝0（舍去）或y＝10，答：该商品在原售价的基础上，再降低10元．15．（2021·广东华侨中学九年级二模）已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．【答案】（1）1秒；（2）不可能，见解析【解析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令12×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得12（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；（2）由（1）同理可得12（5﹣x）2x＝7．整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0，所以，此方程无解．所以△PBQ的面积不可能等于7cm2．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．16．（2021·广东惠州市·九年级二模）某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?（2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【答案】（1）3台；（2）四【解析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共(2001)+台电脑，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑， 依题意得：2(1)16+=x ，解得：13x =，25x =-（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑．（2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为16(13)64⨯+=（台)， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为64(13)256⨯+=（台)， 2562001>+，∴四轮感染后机房内所有电脑都被感染．故答案为：四．17．（2021·清远市清新区凤霞中学九年级一模）学海书店购一批故事书进行销售，其进价为每本40元，如果按每本故事书50元进行出售，每月可以售出500本故事书，后来经过市场调查发现，若每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本．（1）若学海书店要保证每月销售此种故事书盈利6000元，同时又要使购书者得到实惠，则每本故事书需涨价多少元？（2）若使该故事书的月销量不低于300本，则每本故事书的售价应不高于多少元？ 【答案】（1）5元；（2）60元【解析】（1）设每本故事书需涨价x 元，根据“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”表示出销售量，由售价-进价=利润列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设每本故事书的售价为m 元，由关键描述语“该故事书的月销量不低于300本”列出不等式． 【解答】（1）解：设每本故事书需涨价x 元，由题意，得(5040)(50020)6000x x +--=，解得15=x ，210x =（不合题意，舍去）． 答：每本故事书需涨5元；（2）解：设每本故事书的售价为m 元， 则()5002050300m --≥，解得60m ≤，答：每本故事书的售价应不高于60元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，弄清“每本故事书涨价1元，则故事书的销量每月减少20本”是解本题的关键．18．（2021·广东佛山市·九年级一模）春节期间，佛山连锁超市派调查小组调查某种商品的销售情况，下面是调查后小李与其他两位成员交流的情况． 小李：“该商品的进价为50元/件．”成员甲：“当定价为60元/件时，平均每天可售出800件．” 成员乙：“若售价每提高5元，则平均每天少售出100件．” 根据他们的对话，完成下列问题：（1）若售价定为65元/件时，平均每天可售出______件；（2）若超市希望该商品平均每天能盈利12000元，且尽可能扩大销售量，则该商品应该怎样定价？ 【答案】（1）700；（2）该商品应该定价为70元/件 【解析】（1）根据题意，直接列出算式，即可求解；（2）设该商品应该定价为x 元/件，列出关于x 的方程，进而即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：800-(65-60)÷5×100=700（件）； （2）设该商品应该定价为x 元/件， 由题意得：()6050800100120005x x -⎛⎫--⋅= ⎪⎝⎭，解得：170x =，280x =， ∵尽可能扩大销售量， ∴70x =，答：该商品应该定价为70元/件．19．（2021·广东江门市·九年级一模）某服装店自2018年以来，销售成衣数量在稳健地上涨，2018年全年售出10000件成衣，2020年全年售出14400件成衣．（1）求该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率；（2）若服装店售出成衣数量还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该服装店售出成衣将达到多少件?【答案】（1）20%；（2）20736件【解析】（1）设该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率为x ．2019年成衣销售量10000+10000x =10000(1+x)；2020年成衣销售量在2019年基础上平均增长率为x ，10000(1+x)+ 10000(1+x) x =10000(1+x) (1+x)=10000 (1+x)2，利用2020年售出14400件成衣构造方程求解即可． （2）利用增长率公式计算即可【解答】解：（1）设该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率为x ． 依题意，得()210000114400x +=，解得10.220%x ==，2 2.2x =-（舍去）．答：该服装店2018年到2020年成衣销售量的年平均增长率为20%．（2）()214400120%20736⨯+=（件）．答：2022年该服装店售出成衣将达到20736件．【点评】本题考查列一元二次方程解增长率应用题，掌握列一元二次方程解增长率应用题的方法与步骤，抓住等量关系用两种方式表示同一量，列出方程是解题关键．20．（2021·广东九年级专题练习）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】（1）504万元；（2）20%．【解析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x ，则十一黄金周的月营业额为350(1+x )2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．【解答】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：350(1+x )2=504，解得：x 1=0.2=20%，x 2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．21．（2021·广东华侨中学九年级二模）已知：如图所示，在ABC 中，90B ∠=，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．() 1如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于24cm ？()2在()1中，PQB 的面积能否等于27cm ？请说明理由．【答案】(1)1秒后PBQ 的面积等于24cm ；(2) PBQ 的面积不可能等于27cm ．【解析】（1）经过x 秒钟，△PBQ 的面积等于4cm 2，根据点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ 的长可列方程求解； （2）看△PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2x （5-x ）=7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【解答】（1）设经过x 秒以后△PBQ 面积为4cm 2，根据题意得12（5-x ）×2x=4， 整理得：x 2-5x+4=0，解得：x=1或x=4（舍去）．答：1秒后△PBQ 的面积等于4cm 2； ()2仿()1得()15272x x -=，整理，得2570x x -+=，因为2425280b ac -=-<，所以，此方程无解．所以PBQ 的面积不可能等于27cm ．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．22．（2021·广东惠州市·九年级一模）随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A 型无人机2000架，4月份生产A 型无人机达到12500架．（1）求该公司生产A 型无人机每月产量的平均增长率；（2）该公司还生产B 型无人机，已知生产1架A 型无人机的成本是200元，生产1架B 型无人机的成本是300元，现要生产A 、B 两种型号的无人机共100架，其中A 型无人机的数量不超过B 型无人机数量的3倍，公司生产A 、B 两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？【答案】（1）150%；（2）公司生产A 型号无人机75架，生产B 型号无人机25架成本最小【解析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；（2）根据题意求出a 的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．【解答】（1）设该公司生长A 型无人机每月产量的平均增长率为x ，根据题意可得：2000（1+x ）2＝12500，解得：x 1＝1.5＝150%，x 2＝﹣3.5（不合题意舍去），答：该公司生长A 型无人机每月产量的平均增长率为150%；（2）设生产A 型号无人机a 架，则生产B 型号无人机（100﹣a ）架，需要成本为w 元，依据题意可得： a≤3（100﹣a ），解得：a≥75，w ＝200a+300（100﹣a ）＝﹣100a+30000，∵﹣100＜0，∴当a 的值增大时，w 的值减小，∵a 为整数，∴当a ＝75时，w 取最小值，此时100﹣75＝25，w ＝﹣100×75+30000＝22500，∴公司生产A 型号无人机75架，生产B 型号无人机25架成本最小．23．（2021·广州大学附属中学九年级一模）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝7cm ，点Q 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动． （1）如果P 、Q 两点同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于4cm 2？（2）△PBQ 的面积能否等于7cm 2？试说明理由．【答案】（1）1秒或4秒；（2）不能，理由见解析【解析】（1）点Q 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，表示出BQ 和BP 的长度，利用三角形的面积公式可列方程求解．（2）参照（1）的解法列出方程，根据根的判别式来判断该方程的根的情况．【解答】解：（1）设t 秒后，△PBQ 的面积等于42cm ．则()15242t t -⨯= ， 整理，得t 2﹣5t ＋4＝0，解得 1t ＝1，2t ＝4．答：如果P 、Q 两点同时出发，那么1秒或4秒后，△PBQ 的面积等于42cm ；（2）△PBQ 的面积能不能等于72cm 理由如下：设x 秒后，△PBQ 的面积等于42cm 则()15272t t -⨯=， 整理，得t 2﹣5t ＋7＝0，则△＝25﹣28＝﹣3＜0，所以该方程无解．∴△PBQ 的面积不能等于72cm ．24．（2021·深圳市南山外国语学校（集团）九年级一模）某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料．某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智能设备的单价和为140万元．（1）求甲、乙两种智能设备单价；（2）垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售．已知每吨燃料棒的成本为100元．调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨．垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%，求每吨燃料棒售价应为多少元？【答案】（1）甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）188元【解析】（1）设甲智能设备单价x 万元，则乙单价为（14﹣x ）万元，利用购买的两种设备数量相同，列出分式方程求解即可；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y 元，根据题意列出方程，求解后根据降价幅度不超过8%，即可得出售价．【解答】解：（1）设甲智能设备单价x 万元，则乙单价为（14﹣x ）万元， 由题意得：360x ＝480140x-， 解得：x ＝60，经检验x ＝60是方程的解，∴x ＝60，140﹣x ＝80，答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；（2）设每吨燃料棒在200元基础上降价y 元，由题意得：(200100)(3505)36080y y --+=，解得：112y =，218y =，∵2008%y ≤⨯，即16y ≤，∴y ＝12，200﹣y ＝188，答：每吨燃料棒售价应为188元．。

2021年广东省东莞市中考数学试卷一、选择题：本大题10小题,每小题3分,共30分。

在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。

1．（3分）（2015•东莞）|﹣2|=（ ）　A．2B．﹣2C．D．2．（3分）（2015•东莞）据国家统计局网站2021年12月4日发布的消息,2021年广东省粮食总产量约为13 573 000吨,将13 573 000用科学记数法表示为（ ）　A．1.3573×106B．1.3573×107C．1.3573×108D．1.3573×1093．（3分）（2015•东莞）一组数据2,6,5,2,4,则这组数据的中位数是（ ）　A．2B．4C．5D．64．（3分）（2015•东莞）如图,直线a∥b,∠1=75°,∠2=35°,则∠3的度数是（ ）　A．75°B．55°C．40°D．35°5．（3分）（2015•东莞）下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是（ ）　A．矩形B．平行四边形C．正五边形D．正三角形6．（3分）（2015•东莞）（﹣4x）2=（ ）　A．﹣8x2B．8x2C．﹣16x2D．16x27．（3分）（2015•东莞）在0,2,（﹣3）0,﹣5这四个数中,最大的数是（ ）　A．0B．2C．（﹣3）0D．﹣58．（3分）（2015•东莞）若关于x的方程x2+x﹣a+=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是（ ）　A．a≥2B．a≤2C．a＞2D．a＜29．（3分）（2015•东莞）如图,某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）,则所得扇形DAB的面积为（ ）　A．6B．7C．8D．910．（3分）（2015•东莞）如图,已知正△ABC的边长为2,E、F、G分别是AB、BC、CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图象大致是（ ）　A．B．C．D．二、填空题：本大题6小题,每小题4分,共24分。

2021年全国各地中考数学真题分类汇编（通用版）三角形（三）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021•贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（）A．B．C．1D．解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，在△DAM和△DCN中，，∴△DAM≌△DCN（ASA），∴AM＝CN，∵AB＝BC，∴BM＝BN，∵CN∥AD，∴＝＝，∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，∴＝＝＝，故选：A．2．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sin A＝，则AB的长是（）A．B．C．60D．80解：∵AC＝100，sin A＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故选：D．3．（2021•贵港）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是（）A．3B．4C．5D．6解：如图，取BC的中点T，连接AT，ET．∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∵∠ABD＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝90°，∴∠CEB＝90°，∵CT＝TB＝6，∴ET＝BC＝6，AT＝＝＝10，∵AE≥AT﹣ET，∴AE≥4，∴AE的最小值为4，故选：B．4．（2021•毕节市）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC＝45°，∠DCB＝30°，斜坡AB长8m，则斜坡CD的长为（）A．6m B．8m C．4m D．8m解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴AE＝DF，在Rt△ABE中，AE＝AB sin45°＝4，在Rt△DCF中，∵∠DCB＝30°，∴DF＝CD，∴CD＝2DF＝2×4＝8，故选：B．5．（2021•铜仁市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：步骤1：以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧分别交AC、AB于点D、E．步骤2：分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点M．步骤3：作射线AM交BC于点F．则AF的长为（）A．6B．3C．4D．6解：由作法得AF平分∠BAC，过F点作FH⊥AB于H，如图，∵AF平分∠BAC，FH⊥AB，FC⊥AC，∴FH＝FC，在△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，设CF＝x，则FH＝x，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴×10•x+×6•x＝×6×8，解得x＝3，在Rt△ACF中，AF＝＝＝3．故选：B．二．填空题（共9小题）6．（2021•海南）如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是（4，）．解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．7．（2021•江西）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，连接BE，CF，其中点M，N分别为BE和CF上的动点．若以M，N，D为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为9或10或18．解：连接DF,DB,BF．则△DBF是等边三角形．设BE交DF于J．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴由对称性可知，DF⊥BE,∠JEF＝60°,EF＝ED＝6,∴FJ＝DJ＝EF•sin60°＝6×＝9,∴DF＝18,∴当点M与B重合，点N与F重合时，满足条件，∴△DMN的边长为18，如图，当点N在OC上，点M在OE上时，等边△DMN的边长的最大值为6≈10.39，最小值为9，∴△DMN的边长为整数时，边长为10或9，综上所述，等边△DMN的边长为9或10或18．故答案为：9或10或18．8．（2021•桂林）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若DE＝4，则BC＝8．解：∵D、E分别是AB、AC的中点．∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，∵DE＝4，∴BC＝2×4＝8．故答案是：8．9．（2021•梧州）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是326米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）解：由题意，在Rt△ABC中，∵AC＝40，∠A＝83°，tan A＝，∴BC＝tan A•AC≈8.14×40＝325.6≈326（米）．故答案为：326．10．（2021•广西）如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为（30﹣10）米（结果保留根号）．解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD＝AB＝10（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．11．（2021•云南）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF＝6，则BE的长是9．解：如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE∥AB，且DE＝AB，∴＝＝，∵BF＝6，∴EF＝3．∴BE＝BF+EF＝9．故答案为：9．12．（2021•毕节市）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5m．解：∵AB⊥BE，CD⊥BE，∴AB∥CD，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得：AB＝8.5，答：路灯灯泡A离地面的高度AB为8.5米，故答案为：8.5．13．（2021•黔东南州）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为点A（2，1）、点B（2，0）、点O（0，0），若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．解：如图，观察图象可知，点A的对应点的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．14．（2021•贵阳）在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是2﹣2，2．解：如图，设△GEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，作正△GEF的高EK，连接KA，KD，∵∠EKG＝∠EDG＝90°，∴E、K、D、G四点共圆，∴∠KDE＝∠KGE＝60°，同理∠KAE＝60°，∴△KAD是一个正三角形，则K必为一个定点，∵正三角形面积取决于它的边长，∴当FG⊥AB，边长FG最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2，当FG过B点时，即F'与点B重合时，边长最大，面积也最大，此时作KH⊥BC于H，由等边三角形的性质可知，K为FG的中点，∵KH∥CD，∴KH为三角形F'CG'的中位线，∴CG'＝2HK＝2（EH﹣EK）＝2（2﹣2×sin60°）＝4﹣2，∴F'G'＝＝＝＝2﹣2，故答案为：2﹣2，2．三．解答题（共12小题）15．（2021•海南）如图，在某信号塔AB的正前方有一斜坡CD，坡角∠CDK＝30°，斜坡的顶端C 与塔底B的距离BC＝8米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角∠AEN＝60°，CE＝4米，且BC∥NE∥KD，AB⊥BC（点A，B，C，D，E，K，N在同一平面内）．（1）填空：∠BCD＝150度，∠AEC＝30度；（2）求信号塔的高度AB（结果保留根号）．解：（1）∵BC∥DK，∴∠BCD+∠D＝180°，又∵∠D＝30°，∴∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∵NE∥KD，∴∠CEN＝∠D＝30°，又∵∠AEN＝60°，∴∠ACE＝∠AEN﹣∠CEN＝60°﹣30°＝30°，故答案为：150，30；（2）如图，过点C作CG⊥EN，垂足为G，延长AB交EN于点F，在Rt△CEG中，∵∠CEG＝30°，CE＝4m，∴CG＝CE＝2（m）＝BF，∴EG＝CG＝2（m），设AB＝x，则AF＝（x+2）m，EF＝BC+EG＝（8+2）m，在Rt△AEF中，∵∠AEN＝60°，∴AF＝EF，即x+2＝（8+2），x＝（4+8）m，即信号塔的高度AB为（4+8）m．16．（2021•桂林）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F．（1）求证：∠1＝∠2；（2）求证：△DOF≌△BOE．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠2；（2）∵点O是BD的中点，∴OD＝OB，在△DOF和△BOE中，，∴△DOF≌△BOE（AAS）．17．（2021•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知△ABC，且AB＞AC．（1）在AB边上求作点D，使DB＝DC；（2）在AC边上求作点E，使△ADE∽△ACB．解：（1）如图，点D即为所求．（2）如图，点E即为所求．18．（2021•梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH．（1）求证：BE＝CF；（2）若AB＝6，BE＝BC，求GH的长．（1）证明：∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，∴∠EAB+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF；∵tan∠EAB＝，∵BE＝BC，∴＝3，∵G为AD的中点，∴AG＝3，∴HB＝1，∴AH＝5，∴GH＝＝．19．（2021•贵港）已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到△EOF，连接AE，CF．（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是AE＝CF；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．解：（1）结论：AE＝CF．理由：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，AO⊥BC，∵∠AOC＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）结论成立．理由：如图2中，∵∠BAC＝90°，OC＝OB，∴OA＝OC＝OB，∵∠AOC＝∠EOF，∴∠AOE＝∠COF，∵OA＝OC，OE＝OF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（3）如图3中，由旋转的性质可知OE＝OA，∵OA＝OD，∴OE＝OA＝OD＝5，∴∠AED＝90°，∵OA＝OE，OC＝OF，∠AOE＝∠COF，∴＝，∴△AOE∽△COF，∴＝，∵CF＝OA＝5，∴＝，∴AE＝，∴DE＝＝＝．20．（2021•广西）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不要求写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CE的长．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS）；（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：21．（2021•铜仁市）如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B．请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论（只要求写出一种正确的选法）．（1）你选的条件为①、③，结论为②；（2）证明你的结论．（1）解：由AAS，选的条件是：①，③，结论是②，故答案为：①，③，②（答案不唯一）；（2）证明：在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴AC＝BD．22．（2021•云南）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E．求证：∠DAC＝∠CBD．证明：在△DCA和△DCB中，，∴△CDA≌△DCB（SSS），∴∠DAC＝∠CBD．23．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．24．（2021•铜仁市）如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB＝120m，楼高CD＝99m，某天上午9时太阳光线从山顶点A处照射到住宅的点E外．在点A处测得点E的俯角∠EAM＝45°，上午10时太阳光线从山顶点A处照射到住宅点F处，在点A处测得点F的俯角∠F AM＝60°，已知每层楼的高度为3m，EF＝40m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（≈1.73）解：根据题意可知：四边形ABDM是矩形，∴AB＝MD＝120m，在Rt△AME中，ME＝AM tan45°＝AM，在Rt△AMF中，MF＝AM tan60°＝AM，∵EF＝MF﹣ME＝40m，∴AM﹣AM＝40，∴AM≈54.8（m），∴MF≈54.8×1.73≈94.80（m），∴DF＝120﹣94.80＝25.2（m），25.2÷3≈8.4，∴至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．答：至少要买该住宅的第9层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙．25．（2021•贵阳）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为63°，他抬头仰视无人机时，仰角为α，若小星的身高BE＝1.6m，EA＝50m（点A，E，B，C在同一平面内）．（1）求仰角α的正弦值；（2）求B，C两点之间的距离（结果精确到1m）．（sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）解：（1）如图，过A点作AD⊥BC于D，过E点作EF⊥AD于F，∵∠EBD＝∠FDB＝∠DFE＝90°，∴四边形BDFE为矩形，∴EF＝BD，DF＝BE＝1.6m，∴AF＝AD﹣DF＝41.6﹣1.6＝40（m），在Rt△AEF中，sin∠AEF＝＝＝，即sinα＝．答：仰角α的正弦值为；（2）在Rt△AEF中，EF＝＝＝30（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝63°，AD＝41.6，∵tan∠ACD＝，∴CD＝＝≈21.22（m），∴BC＝BD+CD＝30+21.22≈51（m）．答：B，C两点之间的距离约为51m．26．（2021•江西）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）解：（1）过点B作BH⊥MP，垂足为H，过点M作MI⊥FG，垂足为I，过点P作PK⊥DE，垂足为K，∵MP＝25.3cm，BA＝HP＝8.5cm，∴MH＝MP﹣HP＝25.3﹣8.5＝16.8（cm），在Rt△BMH中，cos∠BMH＝＝＝0.4，∴∠BMH＝66.4°，∵AB∥MP，∴∠BMH+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣66.4°＝113.6°；（2）∵∠BMN＝68.6°，∠BMH＝66.4°，∴∠NMI＝180°﹣∠BMN﹣∠BMH＝180°﹣68.6°﹣66.4°＝45°，∵MN＝28cm，∴cos45°＝＝，∴MI≈19.80cm，∵KI＝50cm，∴PK＝KI﹣MI﹣MP＝50﹣19.80﹣25.3＝4.90≈5.0（cm），∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内．。

解：从几何体的正面看可得图形．点评：从几何体的正面看可得图形．向下移动1格 B 向上移动1格 C 向上移动2格 D分析：根据题意,结合图形,由平移的概念求解解：观察图形可知：从图1到图可以将图形N向下移动2格．故选点评：本题考查平移的基本概念及平移规律,是比较简单的几何图形变换．关键是要观察比较平移前后图形的位是一道基础题：电视,C：网络,D：身边的人,E：其名中学生进行该问卷调查,根据调查的结分析：根据等量关系为：两数x,y之和是得：．故选：点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组）分析：根据二次根式的性质和分式的意义解：根据题意得：,解得：点评：本题考查的知识点为：分式有意义EF=AB=2,∵==1,,AF==4,则AC=2AF=8,tanB===2．故选D=AOD=OA=3,OP=,OD=3,PD===2,BO==3,===x+y=1+2+12=2,∴△BA′E≌△DCE点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用．21.（本小题满分12分）（2021年广州市）在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中,设一个人的“日均发微博条数”为m,规定：当m≥10时为A级,当5≤m＜10时为B级,当0≤m＜5时为C级.现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查,所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：11 10 6 15 9 16 13 12 0 82 8 10 17 6 13 7 5 7 312 10 7 11 3 6 8 14 15 12（1）求样本数据中为A级的频率。

（2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数。

（3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人,用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率.分析：（1）由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人,即可求得样本数据中为A级的频率。

2021年全国各地中考数学真题分类汇编（通用版）三角形（二）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，∴sinα＝＝，∴BC＝30sinα米．故选：A．2．（2021•陕西）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（）A．B．C．D．解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，∵tan∠ABD＝，∴，故选：D．3．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共7小题）4．（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为 2.7m．解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，∴，即，解得CF＝2.7，故答案为：2.7．5．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B在第一象限．标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2经过点B1，此时点B2的坐标为（3，1）．解：如图所示，过点B作BP⊥y轴于点P，∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°，∴△BPO是等腰直角三角形，∴BP＝PO＝1，由题意知点B2的坐标为（3，1），故答案为：（3，1）．6．（2021•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为π﹣（结果保留π）．解：连接CE，∵∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∵CE＝CB，∴△CBE为等边三角形，∴∠ECB＝60°，BE＝BC＝2，∴S扇形CBE＝＝π∵S△BCE＝BC2＝，∴阴影部分的面积为π﹣．故答案为：π﹣．7．（2021•丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝5；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝2．解：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，过B，C分别作∠DBP＝∠DCP＝30°，则PB＝PC，P为△ABC的费马点，∵AB＝AC＝，BC＝2，∴，∴，∴PD＝1，∴，∴，∴P A+PB+PC＝5；②如图：∵AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝16，BC2＝16，∴AB2+BC2＝AC2∠ABC＝90°，∵，∴∠BAC＝30°，将△APC绕点A逆时针旋转60°，由旋转可得：△APC≌△AP'C'，∴AP'＝AP，PC＝P'C'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠P AP'＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴∠BAC'＝90°，∵P为△ABC的费马点，即B，P，P'，C'四点共线时候，P A+PB+PC＝BC'，∴P A+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'＝＝，故答案为：5，．8．（2021•山西）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通，如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5：12（i为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），∵扶梯AB的坡度i＝5：12＝，∴设BC＝5a米，则AC＝12a米，由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，解得：a＝（负值已舍去），∴BC＝（米），故答案为：．9．（2021•本溪）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC＝．故答案为．10．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，三．解答题（共12小题）11．（2021•吉林）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ACD≌△ABE（ASA），∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．12．（2021•丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，设BM＝x米，则MC＝BM＝x米∵BH＝BM﹣HM∴BH＝（x﹣50）米，∴在Rt△ABH中，∵HC＝HM+MC∴HC＝（50+x）米，在Rt△AHC中，，∴，解得x＝110，即BM＝110米，答：点B到水面距离BM的高度约为110米．13．（2021•陕西）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC．证明：∵BD∥AC，∴∠ACB＝∠EBD，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠ABC＝∠D．14．（2021•吉林）图①、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．15．（2021•大连）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC ＝EF．证明：∵AD＝BE，∴AD+BD＝BE+BD，即AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF．16．（2021•山西）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得AB＝100cm，BC＝80cm，∠ABC＝120°，∠BCD＝75°，四边形DEFG为矩形，且DE＝5cm．请帮助该小组求出指示牌最高点A到地面EF的距离（结果精确到0.1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41）．解：过点A作AH⊥EF于点H，交直线DG于点M，过点B作BN⊥DG于点N，BP⊥AH于点P，则四边形BNMP和四边形DEHM均为矩形，如图所示：∴PM＝BN，MH＝DE＝5cm，∴BP∥DG，∴∠CBP＝∠BCD＝75°，∴∠ABP＝∠ABC﹣∠CBP＝120°﹣75°＝45°，在Rt△ABP中，∠APB＝90°，sin45°＝，∴AP＝AB•sin45°＝100×＝50cm，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，sin75°＝，∴BN＝BC•sin75°≈80×0.97＝77.6cm，∴PM＝BN＝77.6cm，∴AH＝AP+PM+MH＝5077.6+5≈153.1cm．答：指示牌最高点A到地面EF的距离约为153.1cm．17．（2021•营口）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．18．（2021•大连）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为57°，观测旗杆底部B的仰角为50°，求旗杆AB的高度（结果取整数）．（参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192；sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）解：在Rt△BCD中，tan∠BDC＝，∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan50°≈20×1.192＝23.84（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan57°≈20×1.540＝30.8（m），∴AB＝AC﹣BC＝30.8﹣23.84≈7（m）．答：旗杆AB的高度约为7m．19．（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号）解：在△ADC中，设AD＝x，∵AD⊥BD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝x，在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°，∴AD＝BD•tan30°，即x＝（16+x），解得：x＝8+8，∴AB＝2AD＝2×（8）＝16，∴钢索AB的长度约为（16）m．20．（2021•本溪）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120（m），答：无人机的高度AC是120米；21．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．小组成员给出了如下解答，请你补充完整：解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×0.72（填相应的三角形函数值）≈27648（km）（结果取整数）．解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．＝2×3×6400×0.72（填相应的三角形函数值）≈27648（km）（结果取整数）．故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．22．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．。

2021年广东省中考数学密卷一、选择题（共10题；共30分）1.√83 的平方根为（ ）A. 2B. ±2C. √2D. ±√22.经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，将9899用科学记数法表示应为（ ）A. 0.9899×104B. 9.899×104C. 9.899×103D. 98.99×1023.下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.4.一次函数图象经过A （1，1），B （﹣1，m ）两点，且与直线y ＝2x ﹣3无交点，则下列与点B （﹣1，m ）关于y 轴对称的点是（ ）A. （﹣1，3）B. （﹣1，﹣3）C. （1，3）D. （1，﹣3）5.一个盒子中装有标号为1，3，5，8的四个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球标号大于2的概率为（ ）A. 14B. 12C. 34D. 16.若关于 x 的不等式组 {x −m <07−2x ≤1的整数解共有3个，则 m 的取值范围是（ ） A. 5<m <6 B. 5<m ≤6 C. 5≤m ≤6 D. 6<m ≤77.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，按如下步骤作图：第一步，分别以点A 、D 为圆心，以大于 12 AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M 、N ； 第二步，连接MN 分别交AB 、AC 于点E 、F ；第三步，连接DE 、DF ．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE 的长是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 88.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，且AB ＝3，BC ＝5，⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 12﹣ 3625 πB. 12﹣ 14425 πC. 6﹣ 3625 πD. 6﹣ 14425 π9.如图，二次函数 y =ax 2+bx +c （ c ≠0 ）的图象与 x 轴交于点 (−1,0) ，其对称轴为直线 x =1 ，若 2<c <3 ，则下列结论中错误的是（ ）A. abc <0B. 4a +c >0C. −1<a <23D. 4a +2b +c >010.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA 交BG 于点M ， 连接IM 交AB 于点N ， 若M 是BG 的中点，则 BN AN 的值为（ ）A. 215B. 18C. √512D. √1024 二、填空题（共7题；共28分）11.计算：( 13 )-1－|－2＋ √3 tan45°|＋( √2 －1.41)0＝________.12.分解因式： −2a 3+2a = ________13.已知直线l 1∥l 2 ， 一块含45°角的直角三角板按如图方式放置，∠1＝55°，则∠2＝________．14.如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是________.15.已知a＝4﹣3b ，则代数式a2+6ab+9b2的值为________．16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为________．17.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1B1的斜边OA1＝2，且OA1在x轴的正半轴上，点B1落在第一象限内．将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转45°，得到Rt△OA2B2，再将Rt△OA2B2绕原点O逆时针旋转45°，又得到Rt△OA3B3，……，依此规律继续旋转，得到Rt△OA2019B2019，则点B2019的坐标为________．三、解答题一（共3题；共18分）18.先化简，再求值：(x+1x−2−1)÷x2−2xx2−4x+4，其中x=tan60°．19.如图，在△ABC和△EDF中，AC＝EF ，∠ACB＝∠F＝90°，点A ，D ，B ，E在同一条直线上，且点D ，B分别为AB ，DE中点．（1）求证：△ABC≌△EDF ．（2）连接CD ，当CD＝5，EF＝6时，求BC的长．20.为了让青少年学生走向操场，走进自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼.我校启动了“学生阳光体育运动”短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题.（1）请根据图中信息，补齐下面的表格：（2）分别写出他们的中位数和众数；四、解答题二（共3题；共24分）21.去年某商店“五一黄金周”进行促销活动期间，前四天的总营业额为300万元，第五天的营业额是前四天总营业额的20%．（1）求该商店去年“五一黄金周”这五天的总营业额；（2）今年，该商店3月份的营业额为350万元，预计今年4、5月份营业额的月增长率基本相同，5月份的营业额比去年“五一黄金周”这5天的总营业额增长了40%．求该商店今年4、5月份营业额的月增长率．22.如图，反比例函数y=k(x＞0)的图象与直线OP相交于点A（1，√3），点C为反比例函数图象x上一点，且AC=2OA，分别过点A、C作x轴和y轴的平行线，四线相交于点B、D，直线AB，CD分别交x轴于点E，F，连接OD交AC于点G．（1）求k的值；（2）证明：点B在直线OD上；（3）求∠DOF的度数．23.如图，AB为⊙O直径，AC为弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点H，且∠D＝2∠A．（1）求证：DC与⊙O相切；，求AC的长．（2）若⊙O半径为4，cosD=45五、解答题三（共2题；共20分）24.点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H.（1）发现：如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是________；（2）探究：如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展：在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长.25.如图，在平面直角坐标系中，直线y=√3x+√3交x轴，y轴于A，C两点，二次函数y=ax2−32√3x+c的图象经过A，C两点，与x轴另一个交点是B．动点P从A点出发，沿AB以每秒2个单位3长度的速度，向终点B运动，过点P作PD⊥AC于点D．（点P不与点A，B重合）作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设P点运动时间为t．（1）求二次函数关系式；（2）设△PDQ与△ABC重叠面积为S，求S与t之间函数关系；（3）拋物线上是否存在点M，使∠ABM=∠BAC，若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题1.解：√83的平方根为：±√2．3=2，2的平方根是±√2，所以√8故答案为：D．2.解：9899=9.899×103．故答案为：C．3.解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故答案为：D.4.解：∵一次函数图象与直线y＝2x﹣3无交点，∴设一次函数的解析式为y＝2x+b，把A（1，1）代入得1＝2+b，∴b＝﹣1，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1，把B（﹣1，m）代入得m＝﹣3，∴B（﹣1，﹣3），∴点B（﹣1，m）关于y轴对称的点是（1，﹣3），故答案为：D.5.解：∵共有4种标号，其中大于2的标号有3种，，∴P=34故答案为：C.6.解：∵x-m<0,∴x<m,∵7-2x≤1，∴x≥3，∴3≤x＜m,∵不等式组的整数解有3个，∴这三个整数为：3,4,5，∴5<m≤6 ,故答案为：B.7.解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴BDCD = BEAE，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴63= BE4，∴BE=8，故选D．8.解：连接AD，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∴AC=√BC2-A B2=4，∵BC是⊙A的切线，∴AD⊥BC，△ABC的面积= 12AB·AC= 12BC·AD，即：3×4=5AD 解得，AD= 125，∴阴影部分的面积= 12×AB×AC- 90π×（125）2360=6-3625π，故答案为：C．9.解：A .抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，正确，不符合题意；B .函数的对称轴为直线x=−b2a=1，则b=−2a，∵从图象看，当x=−1时，y=a−b+c=3a+c=0，而a<0，故4a+c<0，故B错误，符合题意；C .④∵−b2a=1，故b=−2a，∵x=−1，y=0，故a−b+c=0，∴c=−3a，∵2<c<3，∴2<−3a<3，∴−1<a<−23，故C正确，不符合题意；D .从图象看，当x=2时，y=4a+2b+c>0，故D正确，不符合题意；故答案为：B.10.解：如图，∵四边形AEDC是正方形，∴∠EAC＝∠DCA＝90°，EA∥DC ，∴∠MAB＝∠CBA ，又∵四边形AFGB是正方形，∴AB＝BG ，∠ABG＝90°，∴∠ACB＝∠ABM＝90°，∴△ACB∽△MBA ，∴ACMB =ABMA=BCAB，又∵M是BG中点，设BM＝a ，∴AB＝BG＝2a ，AM＝√5a ，∴AC＝MB⋅ABAM ＝5a=2√55a，BC＝4√55a，∴IA＝6√55a，又AE∥DC ，IM与BC相交于O ，∴BOAM =BNAN，COAM=ICIA=23，∴CO＝23AM＝2√5a3，∴BO＝BC﹣OC＝4√5a5﹣2√5a3＝2√5a15，∴BNAN =BOAM=215．故答案为：A ．二、填空题11.解：原式＝3－|－2＋√3|＋1＝4－2＋√3＝2＋√3，故答案为：2+ √3 .12.解：−2a3+2a=−2a(a2−1)=−2a(a−1)(a+1)．故答案为：−2a(a−1)(a+1)13.解：如图，分别取∠3、∠4和∠5，∵∠3=∠1=55°，∴∠5=180°-∠3-∠A=180°-45°-55°=80°，∴∠4=∠5=80°，∵l1∥l2，∴∠2=180°-∠4=180°-80°=100°，故答案为：100°.14.解：圆心角为120°，半径为6的扇形弧长= 120π×6180=4π，圆锥底面圆周长：2πr=4π，解得r=2，如图由圆锥高OD，底面圆半径DC，与母线OC构成直角三角形，由勾股定理OD=√OC2−CD2=√62−22=4√2，这个圆锥的高是4√2 .故答案为：4√2 .15.解：a2+6ab+9b2=（a+3b）2=（a+3b）2=（4-3b+3b）2=42=16，故答案为：16.16.解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，∴∠BA'C=90°，在Rt△A'CB中，A′C=√BC2−A′B2=8，设AE=x，则A'E=x，∴DE=10 −x，CE=A'C+A'E=8+x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10 −x）2+36=（8+x）2，∴x=2，∴AE=2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE= √AB2+AE2=2√10，∴sin∠ABE= AEBE =√1010，故答案为：√1010．17.解：观察图象可知，点B1旋转8次一个循环，∵2018÷8＝252余数为2，∴点B2019的坐标与B3（﹣1，1）相同，∴点B2019的坐标为（﹣1，1）．故答案为（﹣1，1）．三、解答题18. 解：(x+1x−2−1)÷x2−2xx2−4x+4=(x+1x−2−x−2x−2)⋅(x−2)2x(x−2)=3x−2⋅x−2x=3x，当x=tan60°=√3时，原式 =√3=√3 ．19. （1）证明：∵点D ，B 分别为AB ，DE 中点， ∴AD ＝BD ＝BE ，∴AB ＝ED ，在Rt △ABC 和Rt △EDF 中，{AC =EF AB =ED， ∴Rt △ABC ≌Rt △EDF （HL ）（2）解：∵D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CD ＝ 12 AB ，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，∵△ABC ≌△EDF ，∴AC ＝EF ＝6，在Rt △ABC 中，BC ＝ √AB 2−AC 2=√102−62 ＝820. （1）解：从统计图可知，小明第 4 次的成绩为 13.2 ，小亮第 2 次的成绩为 13.4 ， 故答案为： 13.2 ， 13.4 ；补全的表格如下：（2）解：小明 5 次成绩的中位数是 13.3 ，众数为 13.3 ， 小亮 5 次成绩的中位数是 13.3 ，没有众数21 （1）解：300+300×20%=360（万元）答：该商店去年“五一黄金周”这七天的总营业额为360万元 （2）解：设该商店去年4、5月份营业额的月增长率为x ， 由题意得：350（1+x ）2=360×（1+40%）， 解得：x 1=0.2=20%，x 2=-2.2（不合题意，舍去）答：该商店去年4、5月份营业额的月增长率为20%．22. （1）解：把点的坐标代入，得 k =√3（2）证明：设 C(a,√3a ) 则 B(1,√3a ),D(a,√3) 设直线OD 的表达式为y=mx ，则 √3=am ，解得： m =√3a ∴y =√3a x ∴当x=1时， y =√3a ，∴点 B(1,√3a) 在直线OD 上.（3）解：∵A(1,√3)∴在Rt△AOE中，tan∠AOE= √3，∴∠AOE=60°由题意知，四边形ABCD为矩形.∴AC=2OA=2AG=2DG，∠DOF=∠ADO∴OA=AG=DG ∴∠AOD=∠AGO=2∠ADO∴∠AOD=2∠DOF∴∠AOE=3∠DOF=60°∴∠DOF=20°23. （1）证明：连接OC，如图1所示：∵DE⊥OA，∴∠HED＝90°，∴∠H＋∠D＝90°，∵∠BOC＝2∠A，∠D＝2∠A，∴∠BOC＝∠D，∴∠H＋∠BOC＝90°，∴∠OCH＝90°，∴DC⊥OC，∴DC与⊙O相切；（2）解：作AG⊥CD于G，如图2所示：则AG∥OC，∵DC⊥OC，∴∠OCH＝90°，∵∠BOC＝∠D，OC＝4，∴cos∠BOC＝OCOH ＝cosD=45，∴OH ＝ 54 OC ＝5， ∴AH ＝OA ＋OH ＝4＋5＝9，CH ＝ √OH 2−OC 2 ＝ √52−42 ＝3， ∵AG ∥OC ，∴△OCH ∽△AGH ，∴ OC AG ＝ CH GH ＝ OH AH ＝ 59 ，∴AG ＝ 95 OC ＝ 365 ，GH ＝ 95 CH ＝ 275 ， ∴CG ＝GH ﹣CH ＝ 275 ﹣3＝ 125 ，∴AC ＝ √CG 2+AG 2 ＝ √(125)2+(365)2 ＝ 12√105 ．24.（1）DH=HF（2）解： DH =HF 仍然成立，理由如下： ∵四边形ABCD 是矩形， FG ⊥BC ， ∠ECF =90° ， ∴ ∠CGF =∠ECF =∠EBC =90° ∴ ∠FCG +∠BCE =90° ，∵ ∠BCE +∠CEB =90° ，∴ ∠FCG =∠CEB ，∴ ΔFCG ∼ΔCEB ，∴ GF BC =FC CE =n ，∴四边形ABCD 是矩形， AB =nAD ， ∴ CD BC =n ，∴ GF BC =CD BC ，∴ GF =CD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴ CD ⊥BC ，∵ FG ⊥BC ，∴ CD//FG ，∴ ∠HDC =∠HFG ， ∠HCD =∠HGF ， 在 ΔHCD 和 ΔHGF 中，{∠HDC =∠HFGCD =GF ∠HCD =∠HGF，∴ ΔHCD ≌ΔHGF(ASA) ，∴ DH =HF（3）解：如图所示，延长FC 交AD 于R ，∵四边形ABCD 是矩形，∴ AB =CD =4 ， AD =BC =3 ， ∠RDC =90° ， RD//CH ，∵ AB =nAD ， CF =nCE ，∴ n =AB AD =43 ，∴ CE =43CF ，分两种情况：①当 AR =13AD 时，∵ AD =3 ，∴ AR =1 ， DR =2 ，在 Rt ΔCDR 中，由勾股定理得：CR =√DR 2+CD 2=√22+42=2√5 ， ∵ RD//CH ， DH =DF ，∴ RC =CF =2√5 ，∴ CE =34×2√5=32√5 ，②当 DR =13AD 时，同理可得： DR =1 ，DC =√17 ， CF =RC =√17 ，CE =3√174 ，由勾股定理得：EF =√CF 2+CE 2=√(√17)2+(3√174)2=5√174 ，综上所说，若射线FC 过AD 的三等分点，AD =3 ， AB =4 ，则线段EF 的长为 5√52 或 5√174(1) DH =HF ，理由如下： ∵四边形ABCD 是矩形， AB =AD ， ∴四边形ABCD 是正方形， ∴ BC =CD ， ∠ABC =∠EBC =∠BCD =90° ， ∴ CD ⊥BC ，∵ FG ⊥BC ， ∠ECF =90° ， ∴ CD//GF ， ∠CGF =∠ECF =∠EBC =90° ， ∴ ∠GCF +∠BCE =90° ， ∵ ∠BCE +∠BEC =90° ， ∴ ∠GCF =∠BEC ，在 ΔGCF 和 ΔBEC 中，{∠GCF =∠BEC∠CGF =∠EBC CF =CE，∴ ΔGCF ≌ΔBEC(AAS) ，∴ BC =GF ，∵ CD =GF ，∴ ∠HDC =∠HFG ， ∠HCD =∠HGF ， 在 ΔHCD 和 ΔHGF 中，{∠HDC =∠HFGCD =GF∠HCD =∠HGF， ∴ ΔHCD ≌ΔHGF(ASA) ，∴ DH =HF ，故答案为 DH =HF ，25. （1）解：∵直线 AC 与x 轴，y 轴交于点A ，C ∴ A(−3,0) ， C(0,√3)∵二次函数 y =ax 2−2√33x +c 经过A ，C 两点∴{9a+2√3+c=0c=√3解得{a=−√33c=√3∴二次函数关系式为：y=−√33x2−2√33x+√3（2）解：在Rt△AOC中，OA=√3OC ∴∠A=30°∵PD⊥AC∴∠DPA=∠DPQ=60°∴AD=DQ当点Q和点C重合时，t=1，当0<t≤1时在Rt△APD中，∠A=30°，AP=2t ∴PD=APsinA=t，AD=APcosA=√3tS=S△PDQ=12DQ×DP=12×√3t×t=√32t2当1<t<2时，在Rt△CEQ中，∠CQE=30°，∴CE=CQ ×tan∠CQE，∴CE=CQtan∠CQE=2 √3（t-1）×√33∴S=S△PDQ −S△ECQ=−3√32t2+4√3t−2√3∴S={√32t2(0<t≤1)−3√32t2+4√3t−2√3(1<t<2)（3）解：M1(−4,−5√33)，M2(−2,√3)∵∠OAC=30°，即∠BAC=30°,若M在第二象限，设M (x,−√33x2−23√3x+√3)，作MN⊥x轴于点N，如图，∴MN=- √33x2−23√3x+√3，ON=-x，∴BN=ON+OB=1-x，在Rt△MNB中，tan∠ABM= MNBN，即：√33=-√33x2−23√3x+√31−x解得：x=-2或x=1（舍去）当x=-2时，- √33x2−23√3x+√3=- √33×4+43√3+√3=√3，∴M点的坐标为（-2，√3）；若M在第三象限，设M (x,−√33x2−23√3x+√3)，作M’N’⊥x轴于点N’，此时，M´N´=-（- √33x2−23√3x+√3）= √33x2+23√3x−√3，ON´=-x，BN´=1-x，∴tan∠ABM´= √33x2+23√3x−√31−x ，即√33=√33x2+23√3x−√31−x，解得：x1=−4,x2=1（舍去），当x=-4时，- √33x2−23√3x+√3=- √33×16−23√3×(−4)+√3=- 53√3；此时，M´（-4，53√3）故M（-2，√3）或（-4，53√3）．。