浙江省【针对演练】2018年中考数学复习五几何探究题类型四旋转变换问题含答案

课后练习27 图形与变换第2课时图形平移与旋转A组1．(2015·哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连结CC′.若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是()A．32°B．64°C．77°D．87°第1题图2．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置，点B的横坐标为2，则点A′的坐标为()A．(1，1)B．(2，2) C．(－1，1)D．(－2，2)第2题图3．一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧(下图中的虚线都是水平线)．其中，所需平移的距离最短的是()4．(2015·东营模拟)如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD、BD，则下列结论：①AB＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4第4题图5．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为.第5题图6．如图，已知：BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE 可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出旋转角度是____________________．第6题图7．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为A(－2，3)、B(－3，1)．(1)画出△AOB绕点O顺时针旋转90°后的△A1OB1；(2)写出点A1的坐标；(3)求点A旋转到A1所经过的路线长．第7题8．(2017·湖州模拟)如图，正比例函数y＝kx(k≠0)经过点A(2，4)，AB⊥x轴于点B.第8题图(1)求该正比例函数的解析式；(2)将△ABO 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADC ，写出点C 的坐标，试判断点C 是否在直线y ＝13x ＋1的图象上，并说明理由．9．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转，得到矩形AB ′C ′D ′，点C 的对应点C ′恰好落在CB 的延长线上，边AB 交边C ′D ′于点E .(1)求证：BC ＝BC ′；(2)若AB ＝2，BC ＝1，求AE 的长．第9题图B 组10．(2016·西宁)如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE＝1，则FM的长为.第10题图11．(2015·青岛)如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A，B 的坐标分别为(1，1)，(－1，1)，把正方形ABCD绕原点O逆时针旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分所形成的正八边形的边长为.第11题图12．如图，在平面直角坐标系中，以A(5，1)为圆心，2个单位长度为半径的⊙A交x 轴于点B，C，解答下列问题：第12题图(1)将⊙A向左平移____________________个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A1，此时点A1的坐标为____________________，阴影部分的面积S＝____________________；(2)BC的长为____________________．13.(2015·金华)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB 绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O、B的对应点分别是E、F.(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E、F的坐标；(2)当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．第13题图C组14．(2016·东营)如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°＜θ＜90°)时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．第14题图参考答案第2课时 图形平移与旋转A 组1．C 2.C 3.C 4.D 5.3 36．90°第6题图 7．(1)如图所示：第7题图 (2)A 1(3，2)； (3)点A 旋转到A 1所经过的路线为以点O 为圆心，以OA 长为半径的四分之一圆弧．∵OA ＝22＋32＝13，∴点A 旋转到A 1所经过的路线的长为90π×13180＝132π.8．(1)∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)经过点A (2，4)，∴4＝2k .∴k ＝2，∴y ＝2x . (2)∵A (2，4)，AB ⊥x 轴于点B ，∴OB ＝2，AB ＝4，∵△ABO 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADC ，∴DC ＝OB ＝2，AD ＝AB ＝4，∴C (6，2)．∵当x ＝6时，y ＝13×6＋1＝3≠2，∴点C 不在直线y ＝13x ＋1的图象上．第9题图9．(1)连结AC 、AC ′，如图．∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥CC ′，由旋转，得AC ＝AC ′，∴BC ＝BC ′.(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠ABC ′＝90°.∵BC ＝BC ′，∴BC ′＝AD .由旋转，得AD ＝AD ′，∠D ＝∠D ′，∴BC ′＝AD ′，∠D ′＝∠ABC ′.∵∠AED ′＝∠C ′EB ，∴△AD ′E ≌△C ′BE .∴BE ＝D ′E .设AE ＝x ，则D ′E ＝2－x .在Rt △AD ′E 中，∠D ′＝90°，由勾股定理，得x 2－(2－x )2＝1.解得x ＝54，∴AE ＝54. B 组10.5211.22－2 12.(1)3 (2，1) 6 (2)2 3 13．(1)∵△AOB 绕点A 逆时针旋转90°后得到△AEF ，∴AO ⊥AE ，AB ⊥AF ，BO ⊥EF ，AO ＝AE ，AB ＝AF ，BO ＝EF ，∴△AEF 在图中表示为：第13题图∵AO ⊥AE ，AO ＝AE ，∴点E 的坐标是(3，3)，∵EF ＝OB ＝4，∴点F 的坐标是(3，－1)． (2)∵点F 落在x 轴的上方，∴EF ＜AO ，又∵EF ＝OB ，∴OB ＜AO ，AO ＝3，∴OB ＜3，∴一个符合条件的点B 的坐标是(－2，0)．C 组14．(1)BD ＝CF 成立．证明：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD ＝CF . (2)①由(1)得，△ABD ≌△ACF ，∴∠HFN ＝∠ADN ，在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ，∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF .第14题图②如图，连结DF ，延长AB ，与DF 交于点M .在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°，∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中，∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD .∴MD HD＝BD FD .∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形，∴MA ＝MD ＝322＝3，FD ＝6.∴MB ＝3－2＝1，DB ＝12＋32＝10.∴3HD ＝106.∴DH ＝9105.。

在各种考试的几何压轴题压轴题中，平移，轴对称，旋转中，旋转考查的最多，但是很多题目之间，都有很多类似的地方，也就是“共性”问题，充分的掌握这些“共性”问题的分析思路和解决方法，能够使学生快速的发现解决问题的关键因素。

本讲会给出与旋转有关，且经常在考试中出现的几种基本模型模型一：共顶点旋转模型模型说明：本模型是由全等三角形中一道最基本，最经典的题型，由此题型可演变出很多变化，注意让学生体会，各种变化之间相同点和不同点。

下面给出基本模型，此部分内容系个人总结，如果还有不完善的地方，或者还有其他补充，亦或者还有更好的命名方式，易于学生记忆和理解，请到教师论坛→初数版块→疑难交流区进行反馈，大家一起讨论以下图形虽然很多，但都是一个基本模型，共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”)等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形例题精讲旋转与几何探究共顶点等腰三角形以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化而我们都知道，“全等三角形”是“相似三角形”的一种特殊情况，因此此模型进一步延伸，可引出相似三角形，也就是此模型的最一般的情况，也就是“通法”“共性”，下面也会给出几组连续变化的图形，注意仔细体会各种变化之间的区别与联系共性：ADAB=AEACCEEDCBA共顶点相似的直角三角形共顶点相似的一般三角形共顶点相似的直角三角形各部分阴影三角形相似的判定方法，均是：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，类比“SAS”真题体验【例1】以ABC∆的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD∆和等腰Rt ACE∆，90BAD CAE∠=∠=︒.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．⑴如图①当ABC∆为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的数量关系是 ；⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．【答案】此题方法不唯一⑴AM DE ⊥，12AM DE =; ⑵结论仍然成立。

中考数学复习几何旋转解答题专题练习1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合，点F是边AC中点．（1）求证：△CFD≌△ABC；（2）连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A 的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．3．如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD 与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为；∠AOB度数为；（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．（1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；（2）如图②，当α＝60°时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明．5．如图，在△ABC中，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．6．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．8．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．9．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CC'A的度数．10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，且B′，C′两点分别与B，C两点对应，延长BC与B′C′边交于点E，求∠CEC′的度数．11．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上．（1）若∠DAC＝50°，则∠ABE＝度；（2）求证：BE⊥BC；（3）若点D是BC的中点，AC＝2，求BE的值．12．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE 绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC 于点M．（1）求证：BE＝FM；（2）求BE的长度．13．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，CQ，求证：AP＝CQ．14．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．15．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC，DE相交于点P．（1）求证：△ADB是等边三角形；（2）直接写出∠APD的度数．16．已知：如图1，∠AOB＝30°，∠BOC＝∠AOC．（1）求∠AOC的度数；（2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动，设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，试求t的值；（3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON 平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）17．将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45°得图2，A1C与AB交于点P1，A1B1与BC 交于点Q，求证：CP1＝CQ；（2）在图2中，若AP1＝2，求CQ的长．18．如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．19．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．20．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB1，记旋转角为α，连接BB1，过点D 作DE垂直于直线BB1，垂足为点E，连接DB1，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB1的形状为，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，将△ADC绕点A按顺时针旋转到△AEF（A，B，E在同一直线上），连接CF，求CF的大小．22．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的长；（2）当EC＝时，求∠AEB的度数．23．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度数．24．如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE、CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，连接DE、PM、PN、MN．（1）观察猜想：图①中△PMN是三角形（填“等腰”或“等边”）；（2）探究证明：如图②，△ADE绕点A按逆时针方向旋转，其他条件不变，则△PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．25．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：CG＝BH．26．如图，等边三角形ABC的外部有一点P，且∠BP A＝30°，将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，连接BQ．（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）若AP＝4，BP＝3，求P，C两点之间的距离．27．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．28．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为．29．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．30．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．31．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝36°，∠ABC ＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0＜α＜180°），在旋转过程中：（1）如图2，当∠α＝时，DE∥BC，当∠α＝时，DE⊥BC；（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①此时∠α的度数范围是；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由．③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．32．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE ＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．操作发现：（1）在旋转过程中，当α为度时，AD∥BC，当α为度时，AD⊥BC；（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；拓展应用：当0°＜α＜45°时，连接BD，利用图3探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小变化情况，并说明理由．33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．34．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．参考答案1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重合，点F是边AC中点．（1）求证：△CFD≌△ABC；（2）连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵点F是边AC中点，∴CF＝AC，∵∠BCA＝30°，∴BA＝AC，∠A＝60°，∴AB＝CF，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠ACB＝∠DCE，在△CFD和△ABC中，，∴△CFD≌△ABC（SAS）；（2）延长BF交CE于点G，由（1）得，FC＝BF，∴∠BCF＝∠FBC＝30°，∵∠BCE＝60°，∴∠BCE+∠CBG＝∠BGE＝90°，∵∠DEC＝∠ABC＝90°∴∠BGE＝∠DEC，∴BF∥ED，∵BF＝AC＝AB，AB＝DE，∴BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A 的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF＝∠ABC＝50°，AB＝BF，∴∠BAF＝∠BF A＝（180°﹣50°）＝65°；（2）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，∴AF＝＝＝4．3．如图①，△ABC和△ECD都是等边三角形．（1）若B、C、E在同一条直线上，AC与BD相交于点N，AE与CD相交于点M，BD 与AE相交于点O，试判断AE与BD的数量关系为AE＝BD；∠AOB度数为60°；（2）将△ECD绕点C顺时针旋转，B、C、E不在一条直线上时，如图②，则（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠BAO+∠ABO）＝180°﹣（∠BAO+∠CBO+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AOB＝60°，故答案为：AE＝BD，60°；（2）成立．证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，又∵∠ANO＝∠BNC，∴180°﹣∠CAE﹣∠ANO＝180°﹣∠CBD﹣∠BNC，∴∠AOB＝∠ACB＝60°．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．（1）如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；（2）如图②，当α＝60°时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE 为平行四边形？请说出你的结论并加以证明．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC 上，∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∴∠CAD＝∠CDA＝＝75°，又∵∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）∠FBC＝30°时，四边形BFDE为平行四边形，∴∠FBC＝∠ACB＝30°，∴∠ABF＝∠A＝60°，∴BF＝CF＝AF，∴△ABF是等边三角形，∴BF＝AB，∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴DE＝AB，△BCE是等边三角形，∠DEC＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠BEC＝60°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBC＝30°，∴∠DEB+∠EBF＝180°，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．5．如图，在△ABC中，AB＝，BC＝3，∠B＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE．当点B的对应点D恰好落在BC边上时，求CD的长．【解答】解：∵由旋转的性质可知AD＝AB＝，∴∠B＝∠BDA＝45°．∴∠DAB＝90°．∴DB＝＝2．∴CD＝BC﹣DB＝3﹣2＝1，故DC的长为1．6．如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A'B'C'D'．当点B'恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB'．若∠AB'B＝75°，求旋转角α及AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBB'＝∠AB'B＝75°，由旋转的性质得：CB＝CB'，∴∠CB'B＝∠CBB'＝75°，∴∠BCB'＝180°﹣75°﹣75°＝30°，即旋转角α为30°；作B'E⊥BC于E，如图所示：则AB＝B'E＝CB'＝2．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝32°，如果△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD，使点D落在AB边上，连接AE，求∠EAB的度数．【解答】解：由旋转可知：∠EBA＝∠CBA＝32°，AB＝EB，∴∠EAB＝∠AEB＝（180°﹣32°）＝74°．8．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．9．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，使得CC′∥AB，求∠CC'A的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′＝∠BAC＝70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB'C′的位置，∴AC′＝AC，∴∠CC′A＝∠ACC′＝70°，10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，且B′，C′两点分别与B，C两点对应，延长BC与B′C′边交于点E，求∠CEC′的度数．【解答】解：设BE与AB′交于F，∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，∴∠B′＝∠B，∠BAB′＝30°，∵∠AFB＝∠B′FE，∴∠BEB′＝∠BAB′＝30°，∴∠CEC′＝180°﹣∠BEB′＝150°．11．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上．（1）若∠DAC＝50°，则∠ABE＝65度；（2）求证：BE⊥BC；（3）若点D是BC的中点，AC＝2，求BE的值．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AB＝AE，∠DAE＝∠CAB，∴∠AEB＝∠ABE，∠EAB＝∠CAD＝50°，∴∠ABE＝＝65°，故答案为：65；（2）证明：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠C＝x，∴∠DAC＝180°﹣2x，由旋转的性质得∠EAB＝∠DAC＝180°﹣2x，AE＝AB，∴∠EBA＝，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣x，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝x+（90°﹣x）＝90°，即BE⊥BC；（3）由旋转的性质得AD＝AC＝2，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴BD＝DC＝AD＝2，∴BC＝4，∵DE＝BC＝4，∴BE＝＝2．12．如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE 绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC 于点M．（1）求证：BE＝FM；（2）求BE的长度．【解答】（1）证明：∵将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，∴AE＝AF，∠EAF＝∠CAB＝45°，∴∠F AC＝∠EAB，在△ABE和△AMF中，∴△ABE≌△AMF（AAS），∴BE＝FM；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝4，∠ACD＝45°，∵将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，∴AM＝AB＝4，∴CM＝4﹣4，∵FM⊥AC，∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠CFM，∴FM＝CM＝4﹣4，∴BE＝4﹣4．13．如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，CQ，求证：AP＝CQ．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°，∴∠PBQ＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBQ，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴AP＝CQ．14．正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（1）如图①，若正方形ABCD的边长为2，BE＝1，FC＝，求证：AE∥BF．（2）如图②，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点（点F不与点A、C重合），试探究AE、AF、BF之间的数量关系并加以证明．【解答】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，∴△BFC≌△BEA，∴BE＝BF＝1，∠EBF＝∠ABC＝90°，∠AEB＝∠BFC，∵，BC2＝22＝4，∴BF2+FC2＝BC2，∴∠BFC＝90°＝∠AEB，∴∠AEB+∠EBF＝180°，∴AE∥BF；（2）解：AE2+AF2＝2BF2，理由如下：∵AC是正方形ABCD的角平分线，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∴∠EAF＝45°+45°＝90°，∴AE2+AF2＝EF2，∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合，∴BE＝BF，∠EBF＝90°，∴2BF2＝EF2，∴AE2+AF2＝2BF2．15．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC，DE相交于点P．（1）求证：△ADB是等边三角形；（2）直接写出∠APD的度数60°．【解答】解：（1）∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∴△ADB是等边三角形；（2）如图：∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD＝∠BDE+∠E，由（1）知△ADB是等边三角形，∴∠BDE+∠E＝∠ABD＝60°，∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，∴∠BDE＝∠BAP，∴∠BAP+∠E＝60°，∴∠APD＝∠BAP+∠E＝60°；故答案为：60°．16．已知：如图1，∠AOB＝30°，∠BOC＝∠AOC．（1）求∠AOC的度数；（2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动，设旋转的时间为t秒，当∠POQ＝10°时，试求t的值；（3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON 平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）【解答】解：（1）∠BOC＝∠AOC，∠BOC+∠AOB＝∠AOC，∴∠AOB＝∠AOC，∵∠AOB＝30°，∴∠AOC＝120°；（2）由（1）知，∠AOC＝120°，∠BOC＝90°，①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，由OP，OQ的运动可知，∠AOP＝10°t，∠BOQ＝6°t，OP，OQ相遇前，如图2（1），∠AOQ＝∠AOP+∠POQ＝∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°＝30°+6°t，解得t＝5，OP，OQ相遇后，如图2（2），∠AOP＝∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t＝30°+6°t+10°，解得t＝10；②OP顺时针旋转时，∠COP＝10°t﹣120°，∠BOQ＝6°t，OP，OQ相遇前，如图（3），∠BOC＝∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t+10°，解得t＝12.5，OP，OQ相遇后，如图（4），∠BOC＝∠COP+∠BOQ﹣∠POQ，即90°＝10°t﹣120°+6°t ﹣10°，解得t＝13.75，综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ＝10°．（3）由（1）知∠AOC＝120°，根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，如图3（1），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝∠AOC＝60°；②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，如图3（2），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM﹣∠PON＝∠AOP﹣∠COP＝∠AOC＝60°；③∠CON＝180°前，如图3（3），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠POM+∠PON＝∠AOP+∠COP＝（360°﹣∠AOC）＝120°；④OP与OQ重合前，如图3（4），∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM＝∠AOP，∠PON＝∠COP，∴∠MON＝∠PON﹣∠POM＝∠COP+∠AOP＝∠AOC＝60°；综上，∠MON的度数为60°或120°．17．将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图1中的△ABC按顺时针方向旋转45°得图2，A1C与AB交于点P1，A1B1与BC 交于点Q，求证：CP1＝CQ；（2）在图2中，若AP1＝2，求CQ的长．【解答】（1）证明：∵∠B1CB＝45°，∠B1CA1＝90°，∴∠B1CQ＝∠BCP1＝45°；又B1C＝BC，∠B1＝∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），∴CQ＝CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC于D，∵∠A＝30°，∴P1D＝AP1；∵∠P1CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP1＝P1D＝AP1；又AP1＝2，CQ＝CP1，∴CQ＝．18．如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．【解答】证明：∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，∴AO＝CO，∴∠A＝∠ACO，∵AB∥DE，∴∠A+∠E＝180°，又∵∠ACO+∠BCO＝180°，∴∠BCO＝∠E．19．如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．（1）旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．（2）旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．【解答】解：（1）由图①知，∠ADB＝∠DBC＝37°，如图②，连接BD，则BD＝DG，∴∠DGB＝∠DBG＝37°，∴∠CDG＝90°﹣∠DGC＝90°﹣37°＝53°，∴旋转角为：53°﹣37°＝16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：过点G作GK∥BM，交DE于K，∵四边形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END（ASA），∴EN＝DK，∵GK∥ML，KL∥GM，∴四边形KLMG是平行四边形，∴GM＝KL，∴DL＝EN+GM．20．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB1，记旋转角为α，连接BB1，过点D 作DE垂直于直线BB1，垂足为点E，连接DB1，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB1的形状为等腰直角三角形，连接BD，可求出的值为；（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，∴AB＝AB'，∠BAB'＝α＝60°，∴△ABB'是等边三角形，∴∠BB'A＝60°，∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，∵AB'＝AB＝AD，∴∠AB'D＝∠ADB'，∴∠AB'D＝＝75°，∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵DE⊥B'E，∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形；连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴，同理，∴，∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，∴∠BDB'＝∠EDC，∴△BDB'∽△CDE，∴＝＝，故答案为：等腰直角三角形，；（3）（1）中的两个结论仍然成立．理由如下：连接BD，∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，∴∠AB'B＝90°﹣，∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，∴∠AB'D＝135°﹣，∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣﹣（90°﹣）＝45°，∵DE⊥BB'，∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，∴△DEB'是等腰直角三角形；∴＝，∵四边形ABCD是正方形，∴，∠BDC＝45°，∴，∵∠EDB'＝∠BDC，∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，即∠B'DB＝∠EDC，∴△B'DB∽△EDC，∴＝＝，21．如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，将△ADC绕点A按顺时针旋转到△AEF（A，B，E在同一直线上），连接CF，求CF的大小．【解答】解：∵AD＝8，AB＝6，∠D＝90°，∴AC＝＝＝10，∵△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF，∴∠EAF＝∠DAC，AF＝AC＝10，∴∠EAF+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，∴∠F AC＝∠BAD，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠F AC＝90°，∴△F AC是等腰直角三角形，∴CF＝AC＝10．22．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，若AE＝1，BE＝．（1）求EF的长；（2）当EC＝时，求∠AEB的度数．【解答】解：（1）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴△ABE≌△CBF，∴BE＝BF＝，AE＝CF＝1，∠EBF＝90°，∠AEB＝∠BFC，∴△BEF为等腰直角三角形，∴EF＝BE＝2；（2）在△CEF中，CE＝，CF＝1，EF＝2，∵CF2+EF2＝12+22＝5，CE2＝5，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．23．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE，连接AD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）求∠AFC的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°，∴∠ABC＝∠DBE＝40°，∴∠ABD＝∠CBE＝100°，又∵BA＝BC，∴AB＝BC＝BD＝BE，在△ABD与△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝100°，BA＝BC＝BD＝BE，∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝40°．∵∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝140°，∴∠AFE＝360°﹣∠ABE﹣∠BAD﹣∠BEC＝140°，∴∠AFC＝180°﹣∠AFE＝40°．24．如图①，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE、CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，连接DE、PM、PN、MN．（1）观察猜想：图①中△PMN是等边三角形（填“等腰”或“等边”）；（2）探究证明：如图②，△ADE绕点A按逆时针方向旋转，其他条件不变，则△PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝CE，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．25．如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：CG＝BH．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠BCH，∵∠D＝90°，BH⊥AC，∴∠D＝∠BHC，由旋转得，CE＝CB，CD＝CG，在△EDC和△CHB中，，∴△EDC≌△CHB（AAS），∴BH＝CD＝CG．26．如图，等边三角形ABC的外部有一点P，且∠BP A＝30°，将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，连接BQ．（1）求证：△ABP≌△CBQ；（2）若AP＝4，BP＝3，求P，C两点之间的距离．【解答】解：（1）设CQ与AP交于D点，AB与CQ交于E点，∵将AP绕点B逆时针旋转60°得到CQ，∴AP＝CQ，∠ADC＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝∠ABC，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAP＝∠BCQ，在△ABP与△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ（SAS），（2）连接PQ，PC，由△ABP≌△CBQ得：PB＝BQ，∠PBA＝∠CBQ，∠BP A＝∠BQC＝30°，QC＝AP＝4，∴∠QBP＝∠ABC＝60°，∴△PBQ为等边三角形，∴∠PQB＝60°，PQ＝BQ＝3，∴∠PQC＝∠PQB+∠BQC＝60°+30°＝90°，∴PC2＝PQ2+QC2，∴PC＝＝＝5．27．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴BD＝＝．∴BD的长为．28．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．（1）求证：GE＝FE；（2）若DF＝3，求BE的长为2．【解答】（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，即BE＝2，29．如图，△ABC是等腰三角形，其中AB＝BC，将△ABC绕顶点B逆时针旋转50°到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别相交于点E，F．（1）求证：△BCF≌△BA1D；（2）当∠C＝50°时，判断四边形A1BCE的形状并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵△A1BC1是由△ABC绕顶点B逆时针旋转而得，∴∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，AB＝A1B，在△BCF和△BA1D中，，∴△BCF≌△BA1D（ASA）；（2）解：四边形A1BCE是菱形．∵△ABC是等腰三角形，∠C＝50°，∴∠A＝∠C1＝∠C＝50°，又∵△BCF≌△BA1D，∴∠CBF＝∠A1BD＝50°，∴∠C1＝∠CBF，∠A＝∠A1BD，∴A1E∥BC，A1B∥EC，即四边形A1BCE是平行四边形，又∵A1B＝BC，∴四边形A1BCE是菱形．30．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．（1）如图1，当α＝60°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当α＝120°时，猜想P A和DC的数量关系并说明理由．【解答】（1）解：P A＝DC，理由如下：如图1中，∵将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，∴PB＝PD，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝60°，∴△ABC，△PBD是等边三角形，∴∠ABC＝∠PBD＝60°，∴∠PBA＝∠DBC，在△PBA和△DBC中，，∴△PBA≌△DBC（SAS），∴P A＝DC；（2）解：CD＝P A；理由如下：如图2中，∵AB＝AC，PB＝PD，∠BAC＝∠BPD＝120°，∴BC＝2BA•cos30°＝BA，BD＝2BP•cos30°＝BP，∴，∵∠ABC＝∠PBD＝30°，∴∠ABP＝∠CBD，∴△CBD∽△ABP，∴＝，∴CD＝P A．31．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝36°，∠ABC ＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0＜α＜180°），在旋转过程中：（1）如图2，当∠α＝4°时，DE∥BC，当∠α＝94°时，DE⊥BC；（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．①此时∠α的度数范围是49°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由．③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．【解答】解：（1）当DE∥BC时，如图（1），∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B＝40°，∵∠FDE＝36°，∴∠α＝∠EDA﹣∠FDE＝40°﹣36°＝4°，∴∠α＝4°时，DE∥BC．当DE⊥BC时，如图（2），∵DE⊥BC，∴∠BGD＝90°，∵∠B＝40°，∠GDA是△GDB的一个外角，∴∠GDA＝∠B+∠BGD＝40°+90°＝130°，∵∠EDF＝36°，∴∠α＝∠GDA﹣∠FDE＝130°﹣36°＝94°，∴∠α＝94°时，DE⊥BC．故答案为：4°；94°．（2）①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝40°+45°＝85°，当ED经过点C时，∠α＝∠ADC﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，当FD经过点C时，∠α＝∠ADC＝85°，∴顶点C在△DEF内部时，49°＜α＜85°．∠1与∠2度数的和不发生变化，理由如下：延长DC至点H，∵∠NCH、∠MCH分别是△NCD和△MCD的外角，∴∠NCH＝∠2+∠NDC，∠MCH＝∠1+∠MDC，∴∠NCH+∠MCH＝∠2+∠1+∠NDC+∠MDC，∴∠NCM＝∠1+∠2+∠NDM，∵∠NCM＝∠ACB＝90°，∠NDM＝∠FDE＝36°，∴90°＝∠1+∠2+36°，∴∠1+∠2＝54°．③∵∠ABC＝40°，∠ACB﹣90°，∴∠A＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵∠ADF是△MBD的外角∴∠α＝∠ABC+∠1＝40°+∠1，∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝54°，∴54°﹣∠1≥2∠1，∴∠1≤18°，∴α≤58°，又∵49°＜α＜85°，∴49°＜α≤58°．32．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE ＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．操作发现：（1）在旋转过程中，当α为15度时，AD∥BC，当α为105度时，AD⊥BC；（2）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；拓展应用：当0°＜α＜45°时，连接BD，利用图3探究∠BDE+∠CAE+∠DBC值的大小变化情况，并说明理由．【解答】解：（1）如图（1），记DE与AC的交点为点F，DE与BC的交点为点G，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠C＝30°，∵∠DAE＝45°，∴∠CAE＝15°，即α＝15°，如图（2），记AD与BC的交点为F，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠DAC＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠CAE＝∠DAC+∠EAD＝60°+45°＝105°，即α＝105°，故答案为：15，105．（2）①当AD∥BC时，如图1所示，由（1）得，α＝15°；②当DE∥BC时，如图2所示，由（1）得，AD⊥BC，∴∠AFC＝90°，∵∠ADE＝90°，∴DE∥BC，∴α＝105°；③当DE∥AB时，如图3所示，α＝45°；④当DE∥AC时，如图4所示，α＝∠EAD+∠BAC＝45°+90°＝135°；⑤∠EAC+∠C＝180°，∵∠C＝30°，∴∠EAC＝150°，即α＝150°；综上所述：旋转角α的所有可能的度数是：15°，45°，105°，135°，150°.拓展应用：当0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°，保持不变，理由如下：如图6，设BD分别交AC、AE于点M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°，∵∠ANM＝∠E+∠BDE，∠AMN＝∠C+∠DBC，∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，∵∠C＝30°，∠E＝45°，∴∠BDE+∠CAE+∠DBC＝105°．33．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α后得到△DBE，点A，C的对应点分别为点D，E．（1）如图1，若点D恰好落在边BC的延长线上，连接CE，求∠DEC的度数．（2）如图2，若α＝60°，F为BD的中点，连接CD，CF，EF，请判断四边形CDEF是什么特殊的四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，由旋转得∠D＝∠A＝60°，BE＝BC，∠DBE＝∠ABC＝30°，∴∠BCE＝∠BEC＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠DEC＝∠BCE﹣∠D＝75°﹣60°＝15°．（2）四边形CDEF是菱形，理由如下：如图2，∵△ABC绕点B逆时针旋转一个角度α得到△DBE，∴∠CBE＝α＝60°，∠DBE＝∠ABC＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，∴∠DBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC，∵BD＝BD，BE＝BC，∴△DBE≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠BCD＝90°，∴CD＝BD，ED＝BD，∵F为BD的中点，∴CF＝BD，EF＝BD，∴CD＝ED＝CF＝EF，∴四边形CDEF是菱形．34．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠ACO＝∠BCO+∠ACO，即∠DCO＝∠ACB，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（2）AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：由（1）知∠ODC＝60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴AD⊥OD；（3）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．。

§6.2轴对称、平移、旋转A组2018年全国中考题组一、选择题1．(2018·浙江嘉兴，2，4分)下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有()解析第一个和第三个属于中心对称图形，第二个和第四个属于轴对称图形．答案 B2．(2018·浙江温州，4，4分)下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是() A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆解析等边三角形是轴对称图形，正方形、正六边形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．答案 A3．(2018·福建福州，7，3分)如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是()A．A点B．B点C．C点D．D点解析当以点B为原点时，A(－1，－1)，C(1，－1)，则点A和点C关于y轴对称，符合条件．答案 B4．(2018·河北，3，3分)一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是()解析 严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论． 答案 C5．(2018·山东泰安，15，3分)如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB 的顶点B 的坐标为(2，0)，点A 在第一象限内，将△OAB 沿直线OA 的方向平移至△O ′A ′B ′的位置，此时点A ′的横坐标为3，则点B ′的坐标为 ( ) A ．(4，23) B ．(3，33) C ．(4，33)D ．(3，23)解析 作AM ⊥x 轴于点M .根据等边三角形的性质得出OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝60°，在直角△OAM 中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM ＝12OA ＝1，AM ＝3OM ＝3，则A (1，3)，直线OA 的解析式为y ＝3x ，将x ＝3代入，求出y ＝33，那么A ′(3，33)，由一对对应点A 与A ′的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B ′的坐标． 答案 A6．(2018·湖南邵阳，10，3分)如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2 015次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是( )A ．2 015πB ．3 019.5πC ．3 018πD ．3 024π解析 转动一次A 的路线长是：90π×4180＝2π，转动第二次的路线长是：90π×5180＝5π2，。

（1）选择题1. （2002年浙江舟山、嘉兴4分）圆台的轴截面是一个上、下底边长分别为2cm，4cm，腰长为3cm的等腰梯形，这个圆台的侧面积是【】A.9πcm2B.18πcm2C.24πcm2D.36πcm2【答案】A。

【考点】圆台的计算。

2. （2003年浙江舟山、嘉兴4分）如果圆柱的轴截面是一个边长为4cm的正方形，那么圆柱的侧面积为【】A .16πcm2 B.18πcm2 C.20πcm2 D .24πcm2【答案】A。

【考点】圆柱的计算。

3. （2004年浙江舟山、嘉兴4分）已知圆锥底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积为【】A.10πB.12πC.15πD.20π【答案】B。

【考点】圆锥和扇形的计算。

4. （2005年浙江舟山、嘉兴4分）圆锥的轴截面是【】A .等腰三角形 B.矩形 C .圆 D.弓形【答案】A。

【考点】圆锥的轴截面。

5. （2006年浙江舟山、嘉兴4分）已知圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则此圆锥的侧面积为【】．A．15πcm2 B．20πcm2 C．12πcm2 D．30πcm2【答案】A。

【考点】圆锥和扇形的计算。

6. （2006年浙江舟山、嘉兴4分）假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点伤，只能爬行，不能飞，而且始终向右方（包括右上，右下）爬行，•从一间蜂房爬到右边相邻的蜂房中去．例如．蜜蜂爬到1号蜂房的爬法有：蜜蜂→1号；蜜蜂→0号→1号，共有2种不同的爬法．问蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房共有几种不同的爬法【】．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B。

【考点】探索规律题（图形的变化类），分类思想的应用。

7. （2019年浙江舟山、嘉兴4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是【】A．棱柱 B．圆柱 C．圆锥 D．球【答案】B。

【考点】由三视图判断几何体。

8. （2019年浙江舟山、嘉兴3分）如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为【】（A）30°（B）45°（C）90°（D）135°【答案】C。

浙江省2018年中考二轮复习：题型研究针对演练汇编目录浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型1分类讨论思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型2数形结合思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型3方程与函数思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型4转化思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型01数学思想方法类型5整体思想针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型02二次函数性质综合题类型1二次项系数确定型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型02二次函数性质综合题类型2二次项系数不确定型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型1图象类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型2最值类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型3几何类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型03函数实际应用题类型4抛物线类针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型1新法则运算学习型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型2新概念学习型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型04新定义与阅读理解题类型3新解题方法型针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型1动点问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型2平移变换问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型3折叠问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型4旋转变换问题针对演练含答案浙江省2018年中考数学复习题型研究题型05几何探究题类型5类比拓展探究问题针对演练含答案题型一 数学思想方法 类型一 分类讨论思想针对演练1. 已知直角三角形两边的长a 、b 满足|a －2|＋b 2－3＝0，则第三边长为_________．2. 若关于x 的方程kx 2＋2(k ＋1)x ＋k －1＝0有实数根，则k 的取值范围是________． 3. 已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE，则∠AED 的度数是_________．4. A ，B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A ，B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值是________．5. 如果四个整数中的三个分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是________．6. (2017襄阳)在半径为1的⊙O 中，弦AB ，AC 的长分别为1和2，则∠BAC 的度数为________．7. 如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P ，使得△ABP 为直角三角形，那么满足条件的点P 共有________个．第7题图8. 书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．9. 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD·DC，则∠BCA 的度数为________． 10. (2017杭州)已知△ABC 的三个顶点为A(－1，－1)，B (－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m>0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x 的图象上，则m 的值为________．11. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，折痕为EF(点E 、F 分别在边AC 、BC 上)当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为________．第11题图12. (2017鄂州)如图，AC ⊥x 轴于点A ，点B 在y 轴的正半轴上，∠ABC ＝60°，AB ＝4，BC ＝23，点D 为AC 与反比例函数y ＝kx 的图象的交点，若直线BD 将△ABC 的面积分成1∶2的两部分，则k 的值为________．第12题图13. 如图，直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点C(3，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第13题图答案1. 1或7 【解析】由非负数的性质知，a －2＝0且b 2＝3，∴a ＝2，b ＝3，①当a 为斜边时，则由勾股定理得，第三边为1；②当a 为直角边时，则由勾股定理得，第三边为7.2. k≥－13 【解析】当k ＝0时，方程为2x －1＝0，x ＝12，方程有实根；当k≠0时，方程为一元二次方程，方程要有实数根，则[2(k ＋1)]2－4k(k －1)≥0，即k≥－13，综上所述，k 的取值范围是k≥－13.3. 15°或75° 【解析】①当点E 在正方形ABCD 外部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°＋60°）2＝15°；②当点E 在正方形ABCD 内部时，AD ＝DE ，则∠AED ＝180°－（90°－60°）2＝75°.4. 2或2.5 【解析】①相遇前：120t ＋80t ＋50＝450，解得t ＝2；②相遇后：120t ＋80t －50＝450，解得t ＝2.5.5. 3或4或5 【解析】①当数据为2，2，4，6时，中位数为3；②当数据为2，4，4，6时，中位数为4；③当数据为2，4，6，6时，中位数为5.6. 15°或105° 【解析】⊙O 的半径为1，弦AB ＝1，∴OA ＝OB ＝AB ，∴△AOB 是等边三角形，∠OAB ＝60°，∵弦AC ＝2，∴∠OAC ＝45°.如解图①，此时∠BAC＝∠BAO－∠CAO＝60°－45°＝15°；如解图②，∠BAC ＝∠BAO＋∠CAO＝60°＋45°＝105°.第6题解图7. 6 【解析】当以AB 为斜边时，∠APB ＝90°，与坐标轴有3个交点；当∠PAB＝90°时，与y 轴有一个交点；当∠PBA＝90°时，与x 轴，y 轴各有1个交点．∴满足条件的点P 共有6个．8. 248或296 【解析】设第一次购书原价为a 元，则第二次购书原价为3a 元，易知第一次购书原价必然不超过100元，否则两次付款必然大于229.4，故分类讨论如下： ①若a≤100且3a≤100，显然a ＋3a≤200＜229.4，舍去；②若a≤100且100＜3a≤200，则a ＋0.9×3a＝229.4，解得a ＝62，所以两次购书原价和为4a ＝4×62＝248元；③若a≤100且3a ＞200，则a ＋0.7×3a ＝229.4，解得a ＝74, 所以两次购书原价和为4a ＝4×74＝296元．综上所述：两次购书的原价和为248元或296元．9. 65°或115° 【解析】①如解图①，当△ABC 为锐角三角形时，△ABD ∽△CAD ，∠BCA ＝∠BAD ＝90°－25°＝65°；②如解图②，当△ABC 为钝角三角形时，∠BCA ＝∠CDA ＋∠CAD＝90°＋∠B ＝90°＋25°＝115°.图①图②第9题解图10. 0.5或4 【解析】依题可得：有两种可能，即AC 、AB 中点落在反比例函数y ＝3x 的图象上．①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在y ＝3x 的图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 的图象上，代入得－2＝3m －2，∴－2m ＋4＝3，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在y ＝3x 图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x 的图象上，代入得1＝3m －1，∴m －1＝3，∴m ＝4.所以m为0.5或4. 11. 1.8或2.5 【解析】有两种情况：①若CE∶CF＝3∶4，如解图①所示．∵CE ∶CF ＝AC∶BC，∴EF ∥AB.由折叠性质可知，CD ⊥EF ，∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴cosA ＝0.6，AD ＝AC·cosA ＝3×0.6＝1.8；②若CF∶CE＝3∶4，如解图②所示．∴△CE F∽△CBA，∴∠CEF ＝∠B.由折叠性质可知，∠CEF ＋∠EC D ＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠ECD，∴AD ＝CD.同理可得：∠B＝∠FCD，CD ＝BD ，∴此时AD ＝BD ＝12×5＝2.5.综上所述，AD 的长为1.8或2.5.第11题解图①第11题解图②12. －8或－4 【解析】如解图，过点C 作CM⊥AB 于点M ，在Rt △CBM 中，BC ＝23，∠ABC＝60°，∴BM ＝3，CM ＝3，∴S △ABC ＝12A B ·CM ＝12AC ·AO ＝6，∵BD 将S △ABC 分成1∶2的两部分，则AD ＝13AC 或AD ＝23AC ，∵点D 在反比例函数y ＝k x 上，∴k ＝－13AC ·OA ＝－4或k ＝－23AC ·OA ＝－8.第12题解图 13. 解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， ∵直线y ＝3x ＋3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ， ∴点A 的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(0，3)， 又∵抛物线经过A ，B ，C 三点，点C 的坐标为(3，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2c ＝3， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3；(2)∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴该抛物线的对称轴为直线x ＝1.设点Q 的坐标为(1，m)，则AQ ＝4＋m 2，BQ ＝1＋（3－m ）2，AB ＝10.当AB ＝AQ 时，10＝4＋m 2，解得m ＝±6， ∴点Q 的坐标为(1，6)或(1，－6)；当AB ＝BQ 时，10＝1＋（3－m ）2，解得m 1＝0，m 2＝6， ∴点Q 的坐标为(1，0)或(1，6)，但当点Q 的坐标为(1，6)时，点A ，B ，Q 在同一条直线上，∴舍去； 当AQ ＝BQ 时，4＋m 2＝1＋（3－m ）2，解得m ＝1， ∴点Q 的坐标为(1，1)．∴抛物线的对称轴上存在点Q(1，6)，(1，－6)，(1，0)，(1，1)，使△ABQ 是等腰三角形．第二部分题型研究题型一数学思想方法类型二数形结合思想针对演练1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a＋c＞b；③2a＋b＞0.其中正确的有( )第1题图A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③2. 若m、n(其中n＜m)是关于x的一元二次方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是( )A. m＜a＜b＜nB. a＜m＜n＜bC. b＜n＜m＜aD. n＜b＜a＜m3. (2017凉山州)小明和哥哥从家里出去买书，从家出来走了20分钟到一个离家1000米的书店，小明买了书后随即按原速返回；哥哥看了20分钟书后，用15分钟返回家．下面的图形中哪一个表示哥哥离家时间与距离之间的关系( )m<0的图象分别交x轴、y轴于点M，N，线段MN上两点在x轴的垂4. 如图，函数y＝mx－4m()足分别为A1，B1，若OA1＋OB1>4，则△OAA1的面积S1与△OBB1的面积S2的大小关系是( )第4题图A. S1>S2B. S1＝S2C. S1<S2D. 不确定5. 如图，已知函数y＝x＋b和y＝ax＋3的图象交点为P，则不等式x＋b>ax＋3的解集为_________．第5题图6. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，14，18，…，12n 的矩形彩色纸片(n 为大于1的整数)．请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算12＋14＋18＋…＋12n ＝________.第6题图7. 如图，点A 为函数y ＝9x (x ＞0)图象上一点，连接OA ，交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为______．第7题图8. 如图，矩形ABCD 的长AD ＝5 cm ，宽AB ＝3 cm ，长和宽都增加 x cm ，那么面积增加y cm 2. (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)当增加的面积y ＝20 cm 2时，求相应的x 是多少？第8题图9. (2017丽水)如图①，在△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A －C －B 运动，点Q 从点A 出发以a(cm/s)的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ 的面积为y(cm 2)，y 关于x 函数图象由C 1，C 2两段组成，如图②所示．(1)求a 的值；(2)求图②中图象C 2段的函数表达式；(3)当点P 运动到线段BC 上某一段时，△APQ 的面积大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积，求x 的取值范围．第9题图答案1. B 【解析】∵b 2－4ac>0，∴4ac<b 2；当x ＝－1时，y<0，即a －b ＋c<0，∴a ＋c<b ；∵x＝－b2a>1，a ＜0，∴－b<2a ，2a ＋b>0.故正确的有①③. 2. D 【解析】∵1－()x －a ()x －b ＝0，∴1＝()x －a ()x －b ，设y 1＝1，y ＝()x －a ()x －b ，画出图象得，n<b<a<m.第2题解图3. D 【解析】根据题意，从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书，离家距离没有变化，是一条平行于x 轴的线段．4. A 【解析】设A(a ，am －4m)，B(b ，bm －4m)，结合图象知，S 1＝12a(am －4m)，S 2＝12b(bm －4m)，S 1－S 2＝12am(a －4)－12bm(b －4)＝12m ×(a 2－4a －b 2＋4b)＝12m[(a ＋b)×(a－b)－4(a －b)]＝12m(a －b)(a ＋b －4)，∵OA 1＋OB 1＝a ＋b ＞4，∴S 1－S 2＝12m(a －b)(a ＋b －4)＞0，∴S 1＞S 2.5. x>16. 1－12n 【解析】由正方形的边长为1，得正方形的面积为1，正方形减去未贴彩色纸片部分的面积即是已贴彩色纸片部分的面积，12＋14＋18＋…＋12n ＝1－12n .7. 6 【解析】如解图，分别过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，则S △BOM S △AON ＝19＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OB OA 2，∴OB OA ＝13，∵S △AOC ＝2×S △AON ＝9，∴S △ABC ＝23×9＝6.第7题解图 8．解：(1)由题意可得：(5＋x)(3＋x)－3×5＝y ，化简得y ＝x 2＋8x.故y 与x 的函数关系式为y ＝x 2＋8x ；(2)把y ＝20代入解析式y ＝x 2＋8x 中得x 2＋8x －20＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－10(舍去)．∴当边长增加2 cm 时，面积增加20 cm 2.9. 解：(1)如解图①，过点P 作PD⊥AB 于点D.9题解图①∵∠A ＝30°，PA ＝2x ， ∴PD ＝PA·sin30°＝2x·12＝x ，∴y ＝12AQ ·PD ＝12ax ·x ＝12ax 2.由图象得，当x ＝1时，y ＝12，则12a ·12＝12， ∴a ＝1；(2)如解图②，当点P 在BC 上时，PB ＝5×2－2x ＝10－2x.第9题解图②∴PD ＝PB·sinB ＝(10－2x)·sinB ， ∴y ＝12AQ ·PD ＝12x ·(10－2x)·sinB.由图象得，当x ＝4时，y ＝43，∴12×4×(10－8)·sinB ＝43，∴sinB ＝13， ∴y ＝12x ·(10－2x)·13＝－13x 2＋53x ；(3)令12x 2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2.由图象得，当x ＝2时，函数y ＝12x 2的最大值为y ＝12×22＝2.将y ＝2代入函数y ＝－13x 2＋53x ，得2＝－13x 2＋53x ，解得x 1＝2，x 2＝3.∴由图象得，x 的取值范围是2＜x ＜3.第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型三 方程与函数思想针对演练1. 甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600 kg ，甲搬运5000 kg 所用的时间与乙搬运8000 kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运x kg 货物，则可列方程为( )A.5000x －600＝8000xB. 5000x ＝8000x ＋600C.5000x ＋600＝8000xD.5000x ＝8000x －6002. 如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH 的长是( )A. 3B. 4C. 5D. 6第2题图3. 如图，在△ABC 中， AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， AD ⊥BC 于点D ，AE ⊥AB 交BC 于点E.若 S △ABC ＝m 2＋9n 2，S △ADE ＝mn ，则m 与n 之间的数量关系是( )第3题图A. m ＝3nB. m ＝6nC. n ＝3mD. n ＝6m4. 已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线y ＝12x 上，点N 在直线y ＝x ＋3上，设点M的坐标为(a ，b)，则二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b)x( )A ．有最大值，最大值为－92B ．有最大值，最大值为92C ．有最小值，最小值为92D ．有最小值，最小值为－925. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从A 点出发，按A →B →C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA ＝x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )6. 若3x 2m y m与x 4－n y n －1是同类项，则m ＋n ＝________．7. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝－112(x －4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是________m.8. 设直线y ＝kx ＋k －1和直线y ＝()k ＋1x ＋k(k 是正整数)与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018的值是________.9. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ (2)房价定为多少时，宾馆的利润最大？ 答案1. B 【解析】甲每小时搬运x kg 货物，则乙每小时搬运(x ＋600)kg 货物，根据题意得5000x ＝8000x ＋600，故选B. 2. B 【解析】由题意设C H ＝x ，则DH ＝EH ＝(9－x)，∵BE ∶EC ＝2∶1，∴CE ＝13BC ＝3，∴在Rt △ECH 中，EH 2＝EC 2＋CH 2，即(9－x )2＝32＋x 2，解得x ＝4，即CH ＝4.3. A 【解析】∵AB＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C＝30°，∵AD ⊥BC ，AE ⊥AB ，∴∠BEA＝∠BAD＝60°，∠EAC ＝∠C＝30°，设DE ＝a ，则AE ＝CE ＝2a ，∴BC ＝6a ，∴S △ABC ＝6S △ADE ，即m2＋9n 2＝6mn ，∴()m －3n 2＝0，∴m ＝3n.4. B 【解析】∵M，N 两点关于y 轴对称，点M 的坐标为(a ，b)，∴N 点的坐标为(－a ，b)．又∵点M 在反比例函数y ＝12x的图象上，点N 在一次函数y ＝x ＋3的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12a b ＝－a ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12a ＋b ＝3，∴二次函数y ＝－abx 2＋(a ＋b)x ＝－12x 2＋3x ＝－12(x －3)2＋92.∵二次项系数为－12＜0，∴函数有最大值，最大值为92.5. B 【解析】根据题意可知，需分两种情况讨论：①当P 在AB 上时，x 的取值范围是0＜x≤3，此时点D 到PA 的距离等于AD 的长度4，∴y 关于x 的函数图象是一条平行于x 轴的直线；②当P 在BC 上时，x 的取值范围是3<x≤5，∵∠BAP ＋∠DAE＝∠BAP＋∠APB，∴∠DAE ＝∠APB，又∵∠B＝∠DEA＝90°，∴△ABP ∽△DEA ，∴DE AB ＝AD AP ，∴y 3＝4x ，∴y ＝12x，∴y 关于x 的函数图象是双曲线的一部分，由k ＝12可得函数在第一象限，且y 随x 的增大而减小．综合①②可知B 选项正确．第5题解图6. 3 【解析】根据同类项的概念得，⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝4m －n ＝－1，解得m ＝1，n ＝2，∴m ＋n ＝3.7. 10 【解析】在函数表达式y ＝－112(x －4)2＋3中令y ＝0，得－112(x －4)2＋3＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(舍去)，∴铅球推出的距离是10 m.8. 20184038 【解析】∵方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋k －1y ＝()k ＋1x ＋k的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，∴两条直线的交点为()－1，－1，两直线与x 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫1－k k ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k ＋1，0，∴S k ＝12×1×⎝⎛⎭⎪⎫1－k k －－k k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，则S1＋S 2＋S 3＋…＋S 2018＝12×(1－12＋12－13＋13－14＋…＋12017－12018＋12018－12019)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12019＝20184038. 9. 解：(1)若每个房间定价增加40元，则这个宾馆这一天的利润为(180＋40－20)×(50－4010)＝9200(元)；(2)设房价增加x 元时，利润为w ，则w ＝(180－20＋x)(50－x10)＝－110x 2＋34x ＋8000＝－110(x －170)2＋10890，当x ＝170时，房价为170＋180＝350(元)，w 最大为10890. 即当房价定为350元时，宾馆的利润最大．第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型四 转化思想针对演练1. 我们解一元二次方程3x 2－6x ＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x(x －2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x ＝0或x －2＝0，进而得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2.这种解法体现的数学思想是( )A. 转化思想B. 函数思想C. 数形结合思想D. 公理化思想2. 已知a 2－b 2＝－16，a －b ＝12，则a ＋b a －b 的值为( )A. －12B. 13C. －23D. －323. (2017温州)我们知道方程x 2＋2x －3＝0的解是x 1＝1，x 2＝－3.现给出另一个方程(2x ＋3)2＋2(2x ＋3)－3＝0.它的解是( )A. x 1＝1，x 2＝3B. x 1＝1，x 2＝－3C. x 1＝－1，x 2＝3D. x 1＝－1，x 2＝－34. 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N.若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为( )A. 23a 2B. 14a 2C. 59a 2D. 49a 2第4题图5. 如图，在大长方形ABCD 中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积(单位：cm 2)为( )第5题图A. 16B. 44C. 96D. 1406. 设m 2＋m －1＝0，则代数式m 3＋2m 2＋2017的值为( ) A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 20207. 如图， △ABC 经过平移得到△A′B′C′， 若四边形ACDA′的面积为6 cm 2,则阴影部分的面积为________cm 2.第7题图8. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A 和B 是这个台阶的两个相对端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是_________寸．第8题图9. 三个同学对问题“若方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，求方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 1x ＋2b 1y ＝5c 13a 2x ＋2b 2y ＝5c 2的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．10. 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN＝45°.若BM ＝1，CN ＝3，求MN 的长．第10题图 答案1. A2. C 【解析】∵()a ＋b ()a －b ＝－16，a －b ＝12，∴a ＋b ＝－13，∴a ＋b a －b ＝－23.3．D 【解析】令y ＝2x ＋3，则原方程变形为y 2＋2y －3＝0，解得y 1＝1，y 2＝－3，所以2x ＋3＝1或2x ＋3＝－3，解得x 1＝－1，x 2＝－3.4. D 【解析】如解图，过E 作BC 和CD 的垂线，垂足分别为G ，H ，则△EGM≌△EHN，∴重叠部分四边形EMCN 的面积等于正方形EGCH 的面积，∵EC ＝2AE ，∴CE ＝23AC ，EG ＝23AB ＝23a ，∴正方形EGCH 的面积为49a 2.第4题解图5. B 【解析】设小长方形的长和宽分别为x ，y ，则由图形得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＝14y ＋x －2x ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8，则阴影部分面积为14×10－6×2×8＝140－96＝44.6. C 【解析】∵m 2＋m －1＝0，∴m 2＋m ＝1，则m 3＋2m 2＋2017＝m(m 2＋m)＋m 2＋2017＝m 2＋m ＋2017＝1＋2017＝2018.7. 6 【解析】∵由平移性质得，△ABC 的面积等于△A′B′C′的面积， ∴阴影部分的面积等于四边形ACDA′的面积等于6 cm 2.第7题解图8. 73 【解析】立体图形转化为平面图形，展开后变为长方形，根据题意得，∠C ＝90°，BC ＝3×()10＋6＝48，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝552＋482＝73.第8题解图9. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝10 【解析】将方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a 1x ＋2b 1y ＝5c 13a 2x ＋2b 2y ＝5c 2变为 ⎩⎪⎨⎪⎧35a 1x ＋25b 1y ＝c 135a 2x ＋25b 2y ＝c 2，设35x ＝m ，25y ＝n ，则原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧a 1m ＋b 1n ＝c 1a 2m ＋b 2n ＝c 2，再根据方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，所以得出⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧35x ＝325y ＝4，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝10.10. 解：把△ABM 绕点A 逆时针旋转90°得到的△ACG，连接NG ，如解图，第10题解图∴∠BAM ＝∠GAC，AM ＝AG ， ∴△ABM ≌△ACG.∵∠MAN ＝45°， ∠BAC ＝90°， ∴∠GAN ＝∠MAN ＝45°， ∴△MAN ≌△GAN. ∴MN ＝NG ，∴∠BCA＋∠ACG＝90°.在Rt△GCN中，NG＝CN2＋CG2＝10，∴ MN＝NG＝10.第二部分 题型研究题型一 数学思想方法 类型五 整体思想针对演练1. 已知：a －b ＝35，b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，则ab ＋bc ＋ca 的值等于________．2. 如图，已知△ABC 的周长为20，一半径为1的圆紧贴三角形外侧旋转一周所经过的路程为________．第2题图3. 已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，则阴影部分的面积为________．第3题图4. 角α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已给出，在计算115(α＋β＋γ)的值时，全班得出23.5°、24.5°、25.5°这样三种不同结果，其中确定有正确的答案，那么α＋β＋γ＝________．5. 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝55x ＋4y ＝7，求代数式x ＋y 的值等于________．6. 已知1x ＋1y ＝2，则2x －3xy ＋2yx ＋xy ＋y的值为________．7. 计算(1－12－13－14－15)(12＋13＋14＋15＋16)－(1－12－13－14－15－16)(12＋13＋14＋15)的结果是________．8. 如图，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中AB ＝2，则这个三角形的面积是________．第8题图9. 如图，△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为________．第9题图10. 分解因式：(x 2－3x ＋2)(x 2－3x －4)－72.11. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？12. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，P 是BC 上一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的长．第12题图 答案1. －225 【解析】可将ab ＋bc ＋ca 当作整体去求解，不用分别求出a 、b 、c 的值．∵a－b ＝35，b －c ＝35，∴a －c ＝65，则有(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2＝5425，即a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝2725，又∵a2＋b 2＋c 2＝1，∴ab ＋bc ＋ac ＝－225.2. 20＋2π 【解析】⊙O 在△ABC 的三个顶点处所转过的圆心角度数和为360°×3－90°×2×3－180°＝360°.所以总长度为L ＝20＋2π.3.3π2【解析】将五个扇形的圆心角度和作为整体，∵五个扇形的圆心角的和＝(5－2)×180°＝540°，r ＝1，∴S 阴影部分＝540×π×12360＝3π2.4. 352.5° 【解析】将a ＋β＋r 看作整体．设0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，90°＜γ＜180°，∴90°＜α＋β＋γ＜360°，∴6°＜115(α＋β＋γ)＜24°.∵23.5°、24.5°、25.5°中有正确答案，∴115(α＋β＋γ)＝23.5°，∴α＋β＋γ＝352.5°.5. 43 【解析】将(x ＋y)作为整体，方程组中的两个方程相加得：9x ＋9y ＝12，∴9(x ＋y)＝12，即x ＋y ＝43.6. 13 【解析】∵1x ＋1y ＝2，∴x ＋y ＝2xy ，∴2x －3xy ＋2y x ＋xy ＋y ＝2（x ＋y ）－3xy （x ＋y ）＋xy ＝xy 3xy ＝13.7. 16 【解析】设12＋13＋14＋15＝a ，则原式＝(1－a)·(a＋16)－(1－a －16)a ＝16＋56a －a 2－56a ＋a 2＝16.8. 12 【解析】在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得a 2＋b 2＝22，即(a ＋b)2－2ab ＝4，又∵a＋b＝6，∴(6)2－2ab ＝4，∴ab ＝1，∴S ＝12ab ＝12.9. 13 【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA ＝EB ，则△BCE 的周长＝BC ＋EC ＋EB ＝BC ＋EC＋EA ＝B C ＋AC ＝13.10. 解：设x 2－3x ＝a ， 则原式＝(a ＋2)(a －4)－72 ＝a 2－2a －80 ＝(a －10)(a ＋8)＝(x 2－3x －10)(x 2－3x ＋8)＝(x －5)(x ＋2)(x 2－3x ＋8)．11．解：设甲、乙、丙三种货物的单价各为x 、y 、z 元， 由题意可得：3x ＋7y ＋z ＝3.15 ①， 4x ＋10y ＋z ＝4.20 ②，三个未知数，2个方程，故考虑将x ＋y ＋z 当作整体来解答． ②－①得x ＋3y ＝1.05 ③， ③×3得3x ＋9y ＝3.15 ④， ②－④得x ＋y ＋z ＝1.05，答：购甲、乙、丙各1件，共需1.05元．12. 解：由已知条件并不能求得PE 、PF 的长，我们把PE ＋PF 的值看成一个整体．由题设条件可知：△BPE∽△BDC，∴PE DC ＝BP BD ， ∵△CPF ∽△CAB ， ∴PF AB ＝CP CA， 又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝DC ＝6，AC ＝BD ＝AB 2＋AD 2＝62＋82＝10， ∴PE ＋PF AB ＝BP ＋CP AC ＝810，∴PE ＋PF ＝4.8.第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题 类型一 二次项系数确定型针对演练1. 已知抛物线y ＝x 2＋px ＋q 的顶点M 为直线y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋m －1的交点．(1)用含m 的代数式来表示顶点M 的坐标；(2)若m ＝6，当x 取值为t －1≤x≤t＋3时，二次函数y 最小值＝2，求t 的取值范围；(3)将抛物线y ＝x 2＋px ＋q 向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，与抛物线y ＝(x －3)2＋2重合，求p 、q 的值．2. 已知抛物线y ＝x 2－2bx ＋c.(1)若抛物线的顶点坐标为(2，－3)，求b ，c 的值；(2)若b ＋c ＝0，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1，请说明理由； (3)若c ＝b ＋2且抛物线在－2≤x≤2上的最小值是－3，求b 的值．3. 已知抛物线y ＝x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)．(1)若抛物线与x 轴有交点，求m 的值；(2)在(1)的条件下，先作y ＝x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y ＝2x ＋n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n 2－4n 的最大值和最小值．4. 如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C(－1，－2)，抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－2与直线x ＝－2交于点P.(1)当抛物线经过点C 时，求它的表达式；(2)抛物线上有两点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，若－2≤x 1＜x 2，y 1＜y 2，求m 的取值范围；(3)设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线上有两点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，若x 1＜x 2≤－2，比较y 1与y 2的大小；(4)当抛物线与线段AB 有公共点时，直接写出m 的取值范围．第4题图答案1. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋12y ＝－x ＋m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －33y ＝m 3；即顶点M 坐标为(2m －33，m 3)；(2)∵m＝6，∴二次函数图象的顶点为(3，2)，∴抛物线为y ＝(x －3)2＋2， ∴函数y 有最小值为2，∵当x 取值为t －1≤x≤t＋3时，二次函数y 最小值＝2， ∴t －1≤3，t ＋3≥3， 解得0≤t≤4；(3)平移后的抛物线为y ＝(x －3)2＋2，其顶点坐标为(3，2)， 平移前的抛物线为y ＝x 2＋px ＋q ，其顶点坐标为(－p 2，4q －p24)由题意可知：将(－p 2，4q －p24)向右平移1个单位，再向下平移2个单位后与(3，2)重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－p2＋1＝34q －p 24－2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝8，故p 、q 的值分别为－4，8.2. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2－2bx ＋c ∴a ＝1，∵抛物线的顶点坐标为 (2，－3)，∴y ＝(x －2)2－3，∵y ＝(x －2)2－3＝x 2－4x ＋1， ∴b ＝2，c ＝1；(2)由y ＝1得x 2－2bx ＋c ＝1，∴x 2－2bx ＋c －1＝0， ∵b ＋c ＝0， ∴c ＝－b ，∵Δ＝4b 2－4(c －1)＝4b 2＋4b ＋4＝(2b ＋1)2＋3＞0， ∴存在两个实数，使得相应的y ＝1；(3)由c ＝b ＋2，则抛物线可化为y ＝x 2－2bx ＋b ＋2，其对称轴为x ＝b ，①当x ＝b≤－2时，则有抛物线在x ＝－2时取最小值为－3，此时－3＝(－2)2－2×(－2)b ＋b ＋2，解得b ＝－95，不合题意；②当x ＝b≥2时，则有抛物线在x ＝2时取最小值为－3，此时－3＝22－2×2b＋b ＋2，解得b ＝3，符合题意．③当－2＜b ＜2时，则4（b ＋2）－4b 24＝－3，化简得：b 2－b －5＝0，解得：b 1＝1＋212(不合题意，舍去)，b 2＝1－212.综上：b ＝3或1－212.3. 解：(1)抛物线与x 轴有交点，则一元二次方程x 2－(m ＋1)x ＋12(m 2＋1)＝0，Δ＝(m ＋1)2－2(m 2＋1)＝－m 2＋2m －1＝－(m －1)2，∵方程有实数根，∴－(m －1)2≥0， ∴m ＝1；(2)由(1)可知y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， 图象如解图所示：第3题解图平移后的解析式为y ＝－(x ＋2)2＋2＝－x 2－4x －2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋n y ＝－x 2－4x －2消去y 得到x 2＋6x ＋n ＋2＝0， 由题意Δ≥0， ∴36－4n －8≥0， ∴n ≤7，∵n ≥m ，m ＝1， ∴1≤n ≤7，令y′＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，∴n ＝2时，y ′的值最小，最小值为－4， n ＝7时，y ′的值最大，最大值为21， ∴n 2－4n 的最大值为21，最小值为－4. 4. 解： (1)∵抛物线经过点C(－1，－2)，∴－2＝1＋2m ＋m 2－2， ∴m ＝－1，∴抛物线的表达式是y ＝x 2＋2x －1； (2)抛物线的对称轴为直线x ＝m ， 当x≥m 时，y 随x 的增大而增大； 点M ，N 均在直线x ＝－2的右侧，∴直线x ＝－2必须在直线x ＝m 右侧或与之重合． ∴m ≤－2.(3)当x ＝－2时，y P ＝4＋4m ＋m 2－2＝(m ＋2)2－2. ∴y P 的最小值为－2，此时m ＝－2，∴当x ＜－2时，y 随x 的增大而减小， ∵x 1＜x 2≤－2， ∴y 1＞y 2；(4)∵y＝(x －m)2－2，∴抛物线的顶点在直线y ＝－2上．当x ＝0时，y ＝m 2－2.当x ＝2时，y ＝m 2－4m ＋2. ∵抛物线与线段AB 有交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≤2m 2－4m ＋2≥2 或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≥2m 2－4m ＋2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2≥0m 2－4m ＋2≥20＜m ＜2， 解得：－2≤m≤0或2≤m≤4.第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型针对演练1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于点A 、B(点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B.(1)求点A ，B 的坐标；(2)若抛物线在－2≤x≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值；(3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．第2题图3. 已知二次函数y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2.(1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；(2)点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系．4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k(x 2＋x －1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．考向 2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18) 针对演练1. (2012杭州)当k 分别取－1，1，2时，函数y ＝(k －1)x 2－4x ＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．2. (2015杭州)设函数y ＝(x －1)[(k －1)x ＋(k －3)](k 是常数)．(1)当k 取1和2时的函数y 1和y 2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y 2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y 3的图象，求函数y 3的最小值．第2题图3. (2011杭州)设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1(k 为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明； (3)对任意负．实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．4. 已知函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2(k 为常数)．(1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；(2)当k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x 轴的另一个交点；(3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k 值；若不存在，请说明理由．5. 已知关于x 的函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －2(k 为常数)．(1) 试说明：无论k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)； (2) 在x>0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，求此时k 的值．6. 关于x 的函数y ＝2kx 2＋(1－k)x －1－k(k 是实数)，探索发现了以下四条结论： ①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；④当k≠0时，函数图象总经过两个定点． 请你判断四条结论的真假，并说明理由．答案1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8，①当n ＝8时，一次函数为y 2＝43x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A(－6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向下，B(10，0)；如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2；第1题解图①②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝43x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于点A ，B(点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向上，B(－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≤－2；第1题解图②综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2或x≤－2. 2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A(0，－2)，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2m＝1，∴B(1，0)；(2)易知抛物线y ＝mx 2－2mx －2的对称轴为x ＝1， 当m ＞0时，抛物线开口向上，∵－2≤x≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2， ∴－m －2＝－3，∴m ＝1， 当m ＜0时，抛物线开口向下，y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18.。

2018届中考数学复习《旋转》专项练习含答案专题复习旋转1. 下列图中的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C是由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且点A，B′，A′在同一条直线上，则AA′的长为( ) A．6 B．4 3 C．3 3 D．33. 下列四组图形中成中心对称的有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组4. 如图，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( )A．AB＝A′B′，BC＝B′C′ B．AB∥A′B′，BC∥B′C′C．S△ABC＝S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′5. 观察下列图形，是中心对称图形的是( )6. 点P(3，2)关于原点对称的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7. 若点A(n，2)与点B(－3，m)关于原点对称，则n－m＝( )A．－1 B．－5 C．1 D．58. 如图，点P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C按逆时针方向旋转后与△P′CB 重合，若PC＝1，则PP′＝．9. 如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为．10. 已知A，B两点关于点O成中心对称，若AO＝3 cm，则BO＝____cm.11. 如图，点A，B，C的坐标分别为(2，4)，(5，2)，(3，－1)．若以点A，B，C，D为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则点D的坐标为．12. 已知，点A(5，m)关于x轴的对称点为(5，－2)，那么m的值为____，点A关于原点对称的点的坐标是．13. 若a－3＋(b＋2)2＝0，则点M(a，b)关于原点的对称点的坐标为．14. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．参考答案：1---7 DACDC CD8. 29. (4，2)10. 311. (0，1)12. 2 (－5，－2)13. (－3，2)14. 解：(1)提示：A，B，C向左平移5个单位后的坐标分别为(－4，1)，(－1，2)，(－2，4)，连接这三个点，得△A1B1C1(2)提示：A，B，C关于原点的对称点的坐标分别为(－1，－1)，(－4，－2)，(－3，－4)，连接这三个点，得△A2B2C2(3)P(2，0)．作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点。

第8讲 旋转和旋转变换（一） 考点·方法·破译 1．掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角； 2．会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；3．能利用旋转性质进行开放探究。

经典·考题·赏板【例１】如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE=450，将△ADC 绕点A 顺时针旋转900后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌AEF ；②△ABE ∽△ACD ；③BE+DC=DE ；④BE 2+DC 2=DE 2，其中正确的是（ ）A ． ②④B ． ①④C ． ②③ D. ①③解：由旋转性质知，∠FAD=∠FBC=900，且AF=AD ，∵∠DAE=450，∴∠FAE=450，由AF=AD ，∠FAE=∠DAE ，AE=AD ，得△AED ≌△AEF ，①正确；由勾股定理得BF 2+BE 2=FE 2，将BF=DC ，FE=DE代入得，BE 2+DC 2=DE 2，④正确；且知③不正确；若∠AFB ≠∠ADC ，则②不正确，故本题选B【变式题组】1．如图，在等腰Rt △ABC 的斜边AB 上取两点M 、N ，使∠MCN=450，记AM=m,MN=x,BN=n,则以线段x 、m 、n 为边长的三角形的形状是（ ）A ． 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随x 、m 、n 的变化而改变【例２】 如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB 绕O 点顺时针旋转900，得△A 1OB 1。

已知∠AOB=900，∠B=900，AB=1，则B 1点的坐标为（ ）A ． )23,23(B ．)23,23(C ．)23,21(D ．)21,23( 答案：A. 【变式题组】2．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿X 轴正方向连续翻转2020次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…P 2020的位置，则点P 2020的横坐标为_________．【例３】如图将Rt △ABC(其中∠B=340，∠C=900)绕点A 按顺时针方向旋转到△A 1B 1C 1的位置，使得点C 、A 1，B 1在同一条直线上，那么旋转角最小等于______．答案：∠BAB 1=340+900=1240【变式题组】3．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转800得到△OCD ，若∠A=1100，∠D=400，则∠а的度数是（ ）A ． 300B ． 400C ． 500D ．6004．如图，∠AOB=900，∠B=300，△A 1OB 1可以看作是由△AOB 绕点O 顺时针旋转а角度得到的，若点A 1在AB 上，则旋转角а的大小可以是（ ）A ． 300B ． 450C ． 600D ． 9005．如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC 拼成的，测得AB=BC ，OA=OC ，OA ⊥OC ，∠ABC=360，则∠OAB 的度数是（ ）A ． 1160B ． 1170C ．1180D ．1190【例４】在Rt △ABC 中，∠C=900，BC=4cm ，AC=3㎝，把△ABC 绕点A 顺时针旋转900后，得到△AB 1C 1，如图所示，则点B 所走过的路径长为（ ）A ． cm 25B ． cm π45C ． cm π25 D ．5cm π 【解法指导】 点B 所走过的路径是以AB 为半径、圆心角为900的圆弧，又AB=5cm ，所以路径长为cm ππ255241=⨯⨯⨯，应选C 【变式题组】6．把一副三角板按如图（1）位置摆放，使得两块三角板的直角边AC 和MD 重合，已知AB=AC=8cm ，将△MED 绕点A （M ）逆时针旋转600后如图（2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是________cm2(结果精确到0.1,73.13≈).【例５】已知△ABC 在平面坐标系中的位置如图所示.（1）分别写出图中点A 和点C 的坐标；画出△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转900后的△A 1B 1C 1；（2）求点A 旋转到点A 1所经过的路线长（结果保留π）.【解法指导】解：（1）A （0，4）、C （3，1）（2）AC=23，弧ππ22318023901=⨯⨯=AA 【变式题组】1．如图，已知△ABC 的三个顶点分别为A （-2，3）、B （-6，0）、C （-1，0）（1）请直接写出点A 关于Y 轴对称的点的坐标；（2）将△ABC 绕坐标原点O 逆时针旋转900，画出图形，直接写出点B 的对应点的坐标；（3）请直接写出：以A 、B 、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.2．如图，在平面坐标系，△ABC 的顶点坐标为A （-2，3）、B （-3，2）、C （-1，1）。

（1）选择题1. （2002年浙江金华、衢州4分）圆锥的轴截面是【】(A)梯形(B)等腰三角形 (C)矩形(D)圆2. （2003年浙江金华、衢州4分）在下列几何体中，轴截面是等腰梯形的是【】A．圆锥B．圆台C．圆柱D．球3. （2003年浙江金华、衢州4分）如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面图是由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是【】4. （2004年浙江金华4分）圆柱的轴截面是【】A、等腰三角形B、等腰梯形C、矩形D、圆5. （2004年浙江金华4分）将一张矩形纸片纸对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是【】A、三角形B、矩形C、菱形D、梯形6. （2004年浙江金华4分）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（）7. （2005年浙江金华4分）圆柱的侧面展开图是【】Ａ、等腰三角形Ｂ、等腰梯形Ｃ、扇形Ｄ、矩形8. （2005年浙江金华4分）如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点Ｏ是横板AB的中点，ＡＢ可以绕着点Ｏ上下转动，当Ａ端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠Ａ′OA）是【】Ａ、80°Ｂ、60°Ｃ、40°Ｄ、20°9. （2005年浙江金华4分）如图（１），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿线段ＤＥ向下折叠，得到图（２），下列关于图（２）的四个结论中，不一定成立的是【】Ａ、点Ａ落在边ＢＣ的中点Ｂ、∠Ｂ＋∠Ｃ＝180°Ｃ、△DBA是等腰三角形Ｄ、DE∥BC10. （2006年浙江金华4分）下图所示的几何体的主视图是【】11. （2006年浙江金华4分）将叶片图案旋转180°后，得到的图形是【】12. （2007年浙江金华4分）如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是【】13. （2008年浙江金华3分）在生活和生产实践中，我们经常需要运用三视图来描述物体的形状和大小。

九年级数学中考专题--图形的旋转精炼卷1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）求（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长A1A2（结果保留π）．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上.(1)求n的值；(2)若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由.3.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．4.如图,点P的坐标为（4，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）写出点Q的坐标是；（2）若把点Q向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后，得到的点Q′恰好落在第三象限，求m的取值范围．5.已知△ABC是等腰三角形,AB=AC．（1）特殊情形：如图1,当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．6.（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．7.在平面直角坐标系中,O为原点,点B在x轴的正半轴上,D（0,8）,将矩形OBCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处．（1）如图①，已知折痕与边BC交于点A,若OD=2CP,求点A的坐标．（2）若图①中的点 P 恰好是CD边的中点,求∠AOB的度数．（3）如图②，在（1）的条件下,擦去折痕AO,线段AP,连接BP,动点M在线段OP上（点M与P，O不重合）,动点N在线段OB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E,试问当点M，N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化？若变化,说明理由；若不变,求出线段EF 的长度（直接写出结果即可）8.如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．9.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为 (直接写答案)；（3）求在旋转过程中线段AB ，OB扫过的图形的面积和．10.如图1，四边形ABCD是正方形，△ADE经旋转后与△ABF重合．（1）旋转中心是；（2）旋转角是度；（3）如果连接EF，那么△AEF是三角形．（4）用上述思想或其他方法证明：如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°．求证：EF=BE+DF．11.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．12.如图，△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向外作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度数和AD的长．13.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=ɑ(0°<ɑ<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求ɑ的值．14.在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．（Ⅰ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．15.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．参考答案1.解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B1C2为所作；（3）（2）中点A1旋转到点A2所经过的弧长==π．2.解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，∴AC=DC，∠A=60°，∴△ADC是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴n的值是60；(2)四边形ACFD是菱形；理由：∵∠DCE=∠ACB=90°，F是DE的中点，∴FC=DF=FE，∵∠CDF=∠A=60°，∴△DFC是等边三角形，∴DF=DC=FC，∵△ADC是等边三角形，∴AD=AC=DC，∴AD=AC=FC=DF，∴四边形ACFD是菱形.3.解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为： =π．4.解：（1）点Q的坐标为（﹣3，4）；故答案为（﹣3，4）；（2）把点Q（﹣3，4）向右平移m个单位长度，向下平移2m个单位长度后,得到的点Q′的坐标为(﹣3+m，4﹣2m),而Q′在第三象限,所以-3+m<0,4-2m<0,解得2＜m＜3,即m范围为2＜m＜3．5.解：（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案为=，（2）成立．证明：由①易知AD=AE，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中得∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如图，将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2，在△PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．6.解：（1）连接PQ．由旋转可知：，QC=PA=3．又∵ABCD是正方形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，即∠PBQ=90°，∴∠PQB=45°，PQ=4．则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，∴PC2=PQ2+QC2．即∠PQC=90°．故∠BQC=90°+45°=135°．（2）将此时点P的对应点是点P′．由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．又∵△ABC是正三角形，∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，得∠PBP′=60°，又∵P′B=PB=5，∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，∴PC2=PP′2+P′C2．即∠PP′C=90°．故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．7.解：（1）∵D（0，8），∴OD=BC=8，∵OD=2CP，∴CP=4，设OB=OP=DC=x，则DP=x﹣4，在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，即：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∵∠OPA=∠B=90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC=DP：CA，∴8：4=（x﹣4）：AC，则AC==3，∴AB=5，∴点A（10，5）；（2）∵点 P 恰好是CD边的中点，设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，即：82+y2=（2y）2，解得：y=，∵∠OPA=∠B=90°，∴△ODP∽△PCA，∴OD：PC=DP：CA，∴8：y=y：AC，则AC==，∴AB=8﹣=，∵OB=2y=，∴tan∠AOB===，∴∠AOB=30°；（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（Ⅰ）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=4，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．8.9.解：（1）△A1OB1如下图所示；（2）由勾股定理得，BO==，所以，点B所经过的路径长==π；（3）由勾股定理得，OA==，∵AB所扫过的面积= S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，BO扫过的面积=S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB=S扇形A1OA==π．10.解：（1）由图1可得，旋转中心是点A，故答案为：点A；（2）由图1可得，旋转角=∠DAB=90°，故答案为：90；（3）根据∠EAF=∠DAB=90°，AE=AF可得，△AEF是等腰直角三角形；故答案为：等腰直角；（4）如图所示，将△ABE绕A点逆时针旋转90°，得到△ADE′，因为∠EAF=45°，所以∠BAE+∠DAF=45°，因为∠BAE=∠DAE′，所以∠FAE′=45°，所以∠FAE′=∠FAE，因为∠ADE′=∠ADF=90°，所以E'、D、F三点共线，又因为AF=AF，AE=AE′，所以△EAF≌△E′AF（SAS），所以EF=E′F，因为E′F=DF+DE′，E′D=BE，所以EF=BE+DF．11.证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．12.由∠BAC=120°知∠ABC＋∠ACB=60°.又∵∠ABD=∠ABC＋∠CBD=∠DCE，∠CBD=∠BCD=60°，∴∠ACB＋∠BCD＋∠DCE=∠ACB＋∠BCD＋∠ABC＋∠CBD=180°，即点A．C、E在一条直线上．又∵AD=ED，∠ADE=60°，∴△ADE为等边三角形．∴∠BAD=∠E=60°，AD=AE=AC＋CE=AC＋AB=5.13.(1)30°-0.5α.(2)△ABE为等边三角形．证明：连接AD、CD、ED.∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，∴BC=BD，∠DBC=60°.∵∠ABE=60°，∴∠ABD=60°－∠DBE=∠EBC=30°－0.5α.又∵BD=CD，∠DBC=60°，∴△BCD为等边三角形，∴BD=CD.又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD=∠CAD=0.5∠BAC=0.5α.∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°－(30°－0.5α)－150°=0.5α.∴∠BAD=∠BEC.在△ABD与△EBC中，△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB=BE.又∵∠ABE=60°，∴△ABE为等边三角形．(3)∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°-60°=90°.∵∠DEC=45°，∴△DCE为等腰直角三角形．∴CD=CE=BC.∵∠BCE=150°，∴∠EBC=15°.又∵∠EBC=30°－0.5α=15°，∴α=30°14.解：15.（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．。