华北电力大学硕士研究生课程考试试题(2013-2014)矩阵论答案
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矩阵论2018-2019A
4
2
3 30
4
3 4 3 4 35
三(8
分)、二维线性空间
R2
中线性变换
f
在基 1
(1, 0),2
(1, 2)
下的矩阵是
3 2
2 1
，线性变
换
g
在基
1
(1,1), 2
(2,1)
下的矩阵是
1 2
3
5
，求
fg
在基
1
(1,1), 2
(1, 2) 下的矩阵。
2 0 2 3
7
四(8 分)、 A
二 (6 分 ) 、 设 1,2,3,4,5 线 性 空 间 V 的 一 组 基 ， 对 任 意 的 , V ， 它 们 在 基
1,2,3,4,5 下的坐标分别是 x ,y 。定义 , xT Ay ，其中
证明 , 是V 上的内积。
15 2 1 3 4
0
20 2 1
6
A 5 2 25 4 3 。
7
1. 求 A 。
2. 写出 AA 的 Jordan 标准型以及 AA 。（不要求写出求解过程） F
2/3
七(8 分)、设
V1
span
1 0
1 0
,
1 1
0 0
,
1 0
0 3
,V2
span
1
2
0 3
,
1 0
1
1
1.求V1 V2 的基与V1 V2 维数。
2.判别V1 V2 是否是直和，并说明理由。
1 1 2 1
1.设
A
2 1
2 1
5 3
0 1
，则__________是
研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 习题3 22设A,B均是正规矩阵,试证:A 均是正规矩阵 相似的充要条件是A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
因为A,B是正规矩阵,所以存在U,V∈ A,B是正规矩阵 存在U,V 证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,V∈Un×n 使得 A=Udiag(λ B=Vdiag(µ A=Udiag(λ1,…,λn)U*, B=Vdiag(µ1,…,µn)V*, , , 其中λ A,B的特征值集 其中λ1,…, λn,,µ1,…,µn分别是A,B的特征值集 , , 分别是A,B 合的任意排列. 合的任意排列. 必要性： 相似, ,i=1…,n, ,n,于是 必要性：若A与B相似,则λi=µi,i=1 ,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*∈Un×n 即得证A 酉相似. 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题3 习题3-14
#3-14: =E,则存在 则存在U #3-14:若A∈Hm×n,A2=E,则存在U∈Un×n使得 U*AU=diag(Er,-En-r). 存在U 证:存在U∈Un×n使得 A=Udiag(λ A=Udiag(λ1,…,λn)U*, , (*) 其中λ 的特征值的任意排列 任意排列. 其中λ1,…,λn是A的特征值的任意排列. , ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 =E=Udiag(1, ,1)U =Udiag(λ Udiag(λ A2=Udiag(λ1,…,λn)U*Udiag(λ1,…,λn)U* , , =Udiag(λ =Udiag(λ12,…,λn2)U* , =1,即 1,i=1,…,n,. ∴ λi2=1,即λi=±1,i=1, ,n,. 1(设共有 取λ1,…,λn的排列使特征值1(设共有r个)全排在 , 的排列使特征值1(设共有r 前面, (*)式即给出所需答案 式即给出所需答案. 前面,则(*)式即给出所需答案.
华北电力大学电力系统分析14年真题及答案
华北电力大学2014年硕士研究生入学考试初试试题考试科目：811电力系统分析基础一、判断题（15分）1.电力系统是指所有电源、电网、负荷及储能设备的总和（）2.电力系统总装机容量是指该系统实际安装的发电机组额定有功功率总和（√ ）3.有备用接线系统的供电可靠性高于无备用接线系统（√ ）4.对于电压在110kV及以上的电网，由于电压较高，因此采用中性点不接地方式（）5.中性点不接地系统当发生单相接地后，线电压仍三相对称（√ ）6.超导输电引起损耗低，输送容量大，是未来电力输送的发展方向（）7.同杆架设的双回输电线路的互感可以忽略不计，不影响线路的正常参数（√ ）8.线路的电导主要是由绝缘子的泄漏电抗和导线换位决定的（）9.输电线路的末端电压有时会高于始端（√ ）10.电力系统的功率平衡主要是靠储能系统实现的（）11.电力系统的电压水平主要决定于系统的频率特性（）12.当系统无功功率不足时，应考虑改变变压器分接头调压（）13.电力系统短路故障发生几率最大的是相间短路（）14.电力系统发生短路相当于改变了电网的结构，必定会引起系统中功率分布的变化（√ ）15.无限大功率电源可以看做是由多个有限功率电压并联组成，因而其内阻抗为零，电源电压保持恒定（√ ）二、不定项选择题（20分）16.我国目前最高的交流系统电压等级为（C ）A.500kVB. 750kVC. 1000kVD. 1150kV17.对电力系统运行的基本要求包括（ABC ）A.保证可靠持续的供电B. 保证良好的电能质量C. 努力提高电力系统运行的经济性D. 提高系统电压等级18.与有备用接线比起来，无备用接线的特点是（ BC ）A.可靠性高B. 经济C. 简单D. 电能质量好19.在同一电压等级中，各种电器设备的额定电压（D ）A.相互独立B. 完全相同C. 完全不相同D. 不完全相同20.假定选取系统容量基准值为100MW，电压基准值为500kV，那么标幺值为1p.u的电阻（B）欧姆A.500B. 250C. 0.02D. 0.00221.在电力系统中最多的节点类型是（A ）A.PQ节点B. PV节点C. 平衡节点D. 参考节点22.一台额定功率为50MW的发电机带一个40MW负荷运转，发电机的调差系数为4%，负荷的单位调节功率为1.5MW/HZ，那么系统的单位调节功率为（C）MW/HZ。
华北电力大学电力系统分析14年真题和答案
华北电力大学2014年硕士研究生入学考试初试试题考试科目：811电力系统分析基础一、判断题（15分）1.电力系统是指所有电源、电网、负荷及储能设备的总和（）2.电力系统总装机容量是指该系统实际安装的发电机组额定有功功率总和（√ ）3.有备用接线系统的供电可靠性高于无备用接线系统（√ ）4.对于电压在110kV及以上的电网，由于电压较高，因此采用中性点不接地方式（）5.中性点不接地系统当发生单相接地后，线电压仍三相对称（√ ）6.超导输电引起损耗低，输送容量大，是未来电力输送的发展方向（）7.同杆架设的双回输电线路的互感可以忽略不计，不影响线路的正常参数（√ ）8.线路的电导主要是由绝缘子的泄漏电抗和导线换位决定的（）9.输电线路的末端电压有时会高于始端（√ ）10.电力系统的功率平衡主要是靠储能系统实现的（）11.电力系统的电压水平主要决定于系统的频率特性（）12.当系统无功功率不足时，应考虑改变变压器分接头调压（）13.电力系统短路故障发生几率最大的是相间短路（）14.电力系统发生短路相当于改变了电网的结构，必定会引起系统中功率分布的变化（√ ）15.无限大功率电源可以看做是由多个有限功率电压并联组成，因而其内阻抗为零，电源电压保持恒定（√ ）二、不定项选择题（20分）16.我国目前最高的交流系统电压等级为（C ）A.500kVB. 750kVC. 1000kVD. 1150kV17.对电力系统运行的基本要求包括（ABC ）A.保证可靠持续的供电B. 保证良好的电能质量C. 努力提高电力系统运行的经济性D. 提高系统电压等级18.与有备用接线比起来，无备用接线的特点是（ BC ）A.可靠性高B. 经济C. 简单D. 电能质量好19.在同一电压等级中，各种电器设备的额定电压（D ）A.相互独立B. 完全相同C. 完全不相同D. 不完全相同20.假定选取系统容量基准值为100MW，电压基准值为500kV，那么标幺值为1p.u的电阻（B）欧姆A.500B. 250C. 0.02D. 0.00221.在电力系统中最多的节点类型是（A ）A.PQ节点B. PV节点C. 平衡节点D. 参考节点22.一台额定功率为50MW的发电机带一个40MW负荷运转，发电机的调差系数为4%，负荷的单位调节功率为1.5MW/HZ，那么系统的单位调节功率为（C）MW/HZ。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一
A = ∑∑ aij Fij ，故 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , L , Fnn 是 R n×n 中全体对称矩阵所构
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ， 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 ， 易 证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
i =1 j =1 n n
成的线性空间的一组基，该线性空间的维数是
n(n + 1) . 2
② 令 Gij = Eij − E ji (i < j ) ， 则 Gij 是 反 对 称 矩 阵 ， 易 证
解
（1）设 Eij 是第 i 行第 j 列的元素为 1 而其余元素全为 0 的 n 阶方阵.
①令 Fij = ⎨
⎧ Eii , i = j ， 则 Fij 是对称矩阵， 易证 F11 ,L , F1n , F22 , L , F2 n , ⎩ Eij + E ji , i ≠ j
L , Fnn 线 性 无 关 ， 且 对 任 意 n 阶 对 称 矩 阵 A = (aij ) n×n ， 其 中 aij = a ji ， 有
1(1 − 1) 2 a ) = ( a, b) 2
= k o ( a, b) + l o ( a, b) = k o α + +l o α ;
⑧ k o (α ⊕ β ) = k o (a + c, b + d + ac)
k (k − 1) (a + c) 2 ) 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka + kb, (kb + a ) + (kd + c ) + (ka)(kc)) 2 2 k (k − 1) 2 k (k − 1) 2 = (ka, kb + a ) ⊕ (kc, kd + c ) 2 2 = (k (a + b), k (b + d + ac) +
矩阵论试题参考答案(2012年)
n n 1 , det X xik X ik xij X ij xik X ik ，其中 X ik 是 xik 的代数 det X k 1 k j
余子式，
det X X ij ，从而 xij
det X 1 xij
xij
1 det X
2012 年矩阵论试题参考答案
一、(16 分) 已知 4 阶方阵 A 的特征值为 1, 2, 2, 2 ，且其一阶和二阶行列式因子分别为
D1 1, D2 2.
1.(6 分) 求 A 的不变因子和最小多项式； 2.(4 分) 求 A 的 Jordan 标准形； 3.(6 分) 求实数 t 的取值范围，使 cos At 为收敛矩阵. 解 . 1 ． 因 为 D4 即 为 A 的 特 征 多 项 式 ， 且 A 的 特 征 值 为 1, 2, 2, 2 ， 故
A 的最小多项式为 mA d 4 1 2 ．
2．由 A 的不变因子知， A 的初等因子为
1, 2, 2, 2 ，故 A 的 Jordan 标准形
1 2 ． 为 J 2 2
u1 1 , , m , v1 m 1 , , m n , u2 1 , , m , v2 m 1 , , m n ，则
T T T T
x y u1 u2
a
v1 v2
b
u1 a u2
D4 1 2 . 再由行列式因子与不变因子的性质与相互关系知 D3 2 ，
3 2
从而 A 的不变因子为
矩阵论第二版答案
矩阵论第二版答案【篇一：华北电力大学硕士研究生课程考试试题(a卷)矩阵论答案】14)一、判断题（每小题2分，共10分）1. 方阵a 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。
(x)见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后者小于等于n?,?,?,?m是线2. 设12性无关的向量,则 dim(span{?1,?2,?,?m})?m.正确，线性无关的向量张成一组基v,v3.如果12 是v 的线性v?vv12子空间,则也是的线性子空间.错误，按照线性子空间的定义进行验证。
a(?)4. n阶?-矩阵是可逆a(?)的充分必要条件是的秩是n .见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵a是单纯矩阵的充分且必要条件是a的最小多项式没有重根. 见书90页。
二、填空题（每小题3分，共27分）?210???a??021?,??003（6）??则ea的jordan标准型为?e?0??0?21e200??0?,3?e?。
【篇二：矩阵论简明教程课后习题与答案解析】mite正定矩阵的充分必要条件是，存在hermite正定矩阵b，使得a=b2。
解：若a是hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵u, 使得??1??uhau=?????2???, ?i﹥0,i=1, 2, ?,n. ????n??于是??1????2??ha=u?u ??????n????1??1?????h??2= u??uu?????????n???2????h?u ??n??令?1??b=u????2????h?u ?n??则a=b2.反之,当a=b2且b是hermit正定矩阵时,则因hermit 正定矩阵的乘积仍为hermit正定矩阵,故a是hermit 正定的.14. 设a?cn?n是hermite矩阵，则下列条件等价:（1）a是mermit半正定矩阵。
（2）a的特征值全为非负实数。
研究生矩阵理论课后答案第5章
按范数收敛
定义:赋范空间V的序列{x(n)|n=1,2,…}按范数 ‖‖α收敛于aV,如果 limn‖x(n)-a‖α=0 命题:对赋范空间V的任意两个等价向量范数 ‖‖α, ‖‖β, 都有 limn‖x(n)-a‖α=0 limn‖x(n)-a‖β=0 (即按任意两个向量范数的收敛实质上等价) 因 0 limn‖x(n)-a‖α d limn‖x(n)-a‖β 0 limn‖x(n)-a‖β(1/c)limn‖x(n)-a‖α
1=|yk|(i=1n|yi|p)1/p =‖y‖p n1/p (*) (i|yi|=|xi|/|xk|1) 1=limp1limp‖y‖p limpn1/p=n0=1 1=limp‖y‖p=limp‖x‖p/‖x‖ ‖x‖=limp‖x‖p
同一向量的三种范数之间的大小关系
Frobenius 矩阵范数
例5.2.2:矩阵的Frobenius范数定义为 ‖A‖F=(i=1mj=1n|aij|2)1/2. (ACmn的向量2-范数蕴含前3条公理)不难证明4 条范数公理全部满足.因非负性和齐次性是显 然的;③的证明见课本.我们只讲④的证明. ‖AB‖F2=i=1mj=1n|k=1paikbkj|2 i=1mj=1n((k=1p|aik|2)(k=1p|bkj|2))(C-S不等
则
n
1 ak 1 bk a k bk a b p q q b p a
1 a k bk a b k 1 pa
p
n k 1
ak
p
1 qb
q
b k 1 k
n q
1 1 ab ab q xn|}=|k‖x‖; ‖x+y‖= max{|x1+y1|,…,|xn+yn|} max{|x1|+|y1|,…,|xn|+|yn|} max{|x1|,…,|xn|}+max{|y1|,…,|yn|} =‖x‖+‖y‖
华北电力大学12、13年电气考研真题
华北电力大学12、13年电气考研真题一：不定项选择，十个题，一个两分1，总装机容量的定义2，给定电抗标幺值，额定电压和容量，计算有名值3在武功不充裕的系统能用什么调压方式（今年备选项里居然有一个附加串联加压器调压，个人认为不能选，因为这种调整潮流的工作方式并不能为系统提供额外的无功电源，详见稳态书107页）4影响变压器灵虚电抗参数因素5架空地相对导线零序电抗的影响6使发电机频率特性平行上移的频率调整方式7无限大功率电源短路产生的电流分量都有什么8电力系统的运行要求9把每项导线分成若干根，相互间保持一定距离叫（）导线10记不住了，哈~~二填空，一共二十分（好像也是每空两分）说我能记住的1串连电抗，串联电容各自在调整潮流当中的作用2有关发电机运行极限的问题，即那几种功率约束3已知Dab，Dac，Dbc问几何均距是多少。
等等三小计算题三十分，一个十分1、画出变压器变比为k：阻抗在左端，阻抗在右端、变比为1/k：阻抗在左端，阻抗在右端四种不同情况的π（pai）型等值电路（就是书上的那个等值电路的延伸，关键要会举一反三）2按电压要求选择变压器分接头（正常题，只不过今年这个题是以标幺制形式给出的）3发电机连接单个支路末端三相短路，（1）画出系统等值图（2）求发电机对短路点的转移阻抗、计算电抗（3）根据运算电抗和运算去算曲线算短路电流，和往年一样四，八十分，一个二十分1一根导线末端的r1,x1,b1、负荷和电压已知，求始端功率和电压（超常规的题）1联合连系统A、B，A增加600MW负荷时Pba等于500MW,联合系统联络线断开以后A系统频率49HZ，B系统频率50HZ，（1）Ka、Kb（2）若联合系统负荷增加800MW，求频率的变化量2两个发电机各自带着已知功率的负荷经一条支路（纯电抗的）连接并列运行(1问和3问有点记不清了)（1）已知PG2，若两个发电机极端电压都为1，求QG1，QG2,12发电机端电压相角差（2）若1节点电压幅值不变，2节点电压幅值变为0.9，定性分析QG1,QG2的变化(3)若1.2之间相角差为30度，幅值都为1，则求QG1、QG2 4简单系统C（注意，不是a相！！）经Y-三角形11（三角形侧靠近发电机）变压器、线路末端单相短路接地求发电机侧（即三角形侧）三个相各自的短路电流标幺值、有名值并画出变压器两侧短路电流的向量图1，电力系统总装机容量是指，该系统中实际安装发电机组的（）2我国交流输电线路的最高电压等级是（）3电网运行基本要求（）4每相分成若干根，互相保持一定距离，称为（）5Sb=100MV A，Ub=500KV，标幺值0.2pu，电抗有效值（）6使发电机静态特性曲线平行上移，以保证频率偏差在允许范围内是指（）7无功电源充足的时候使用的调节手段有（）A改变发电机励磁调压B调节变压器变比C并联电容D串联加压器8无限大功率供电系统突然发生三相短路，短路电流含有（）分量9影响变压器零序阻抗的因素（）10架空线路避雷线对其零序阻抗影响（）前十个题目为选择题，之后填空11发电机设备利用率是自己发电设备全年所发（）与发电设备（）之比12三相导线间距为Dab，Dbc。
华北电力大学研究生课程考试试题(AB卷)
华北电力大学研究生课程考试试题（A/B卷）
20 ～20 学年第学期
课程编号：课程名称：
年级：开课单位：命题教师：
考核方式：考试时间：分钟共页
须知：
1、请用A4纸打印试题，包括论文题目、大作业题目、或能说明考试内容的描述，可续页。
2、命题教师必须于考前一周将试题交各院系，由各院系统一交研究生院培养办备案。
学位课要求
A、B卷，百分制记分。
3、采用课程论文、大作业、完成课程规定的项目等课下考核方式的课程，请在“研究生考试考场
记录表”中注明，于提交书面成绩单时一并交各院系。
4、“考核方式”栏为开卷/闭卷、笔试/口试、课程论文、大作业、完成课程规定的项目，请标写清
楚。
5、考前到各院系领取专用答题纸。
共页第页。
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华北电力大学硕士研究生课程考试试题
（A卷）(2013-2014)
一、判断题（每小题2分，共10分）
1. 方阵A的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。
(X)
见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后
者小于等于n
2. 设12
,,,m ααα是线性无关的向量,则 12dim(span{,,,})m m ααα=.
正确，线性无关的向量张成一组基
3.如果12,V V 是V 的线性
子空间,则1
2V V ⋃也是V
的线性子空间.
错误，按照线性子空间的定
义进行验证。
Aλ是可逆4. n阶λ-矩阵()
Aλ的充分必要条件是()
的秩是n .
见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数5. n阶实矩阵A是单纯矩阵的充分且必要条件是A
的最小多项式没有重根. 见书90页。
二、填空题（每小题3分，共27分）
（6）210021,
003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A
e 的Jordan 标准型为223e 100e 0,00e ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭。
首先写出
A
e
然后对于
若当标准型要求非对角元部分为1.
（7）
301
002
030λ
λ
λ
-
⎛⎫ ⎪
+ ⎪ ⎪
-
⎝⎭
的Smith标准型为
10003000(3)(2)λλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+⎝⎭
见书61-63页，将矩阵做变换即得
（8）设
1000.10.30.200.40.5A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，
则100lim 000000n n A →+∞⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
见书109页，可将A 对角化
再计算即得。
（9）2345⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 在基 11120000,,,00001321⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
下的坐标为(1,1,2,1)T。
见书12页，自然基下坐标为（2,3,4，-5）T ，再写出过渡矩阵Ａ，坐标即A 的逆
乘以自然基下坐标。
对于本题来说。
由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。
因此不用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）就可得解为1,1.再解（1，-3）x+（2,1）y=（4，-5）就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。
（10）设
423243537A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，则A ∞= 15。
见书100页，计算每行的绝对值的和。
（11）
20211123x x x x x e x x →-⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪+⎝
⎭
sin cos ln()lim sin =2003⎛⎫ ⎪⎝
⎭。
对矩阵中的每个元素求极限。
12设
,,m n p q m q A R B R C R ⨯⨯⨯∈∈∈是已知矩阵，则矩阵方程AXB C =的极小范数最小二乘解是+()T X A B C =⊗ 见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆的定义去算。
（12）若n 阶方阵A 满足
30A =，则
cos A = 212E A - 。
见书121页，30A =，所以后面的项都为零。
（13）方阵A 的特征多项式是33(2)(3)(5)λλλ---，最小多项式是 2(2)(3)(5)λλλ---，则
A 的Jordan 标准形是 3((2,1),(2,2),3,5)diag J J E 特征多项式决定了A 的阶数以及各个特征值的重根数，即有3个2,3个3，1个5.最小多项式决定了若当块的大小，如2有1个1阶和1个2阶，3和5都只有1阶的若当块。
三(7分)、设
1213200102171,012225018202140A B C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
证明AX XB C +=有唯一解。
见书114页，本题需要验证A 和-B 没有相同的特征值，具体解法如下。
证明：
33+T A E E B ⊗⊗非奇异。
-的特征值为显然,B
--,下证明：2,1,2
--不是A的特征值：2,1,2
（1）方法1：用圆盘定理。
A的三个行圆盘分别是
(12,4),(7,2),(8,1) B B B-
,
--都不在
2,1,2
⋃⋃-
B B B (12,4)(7,2)(8,1)
中，因此A 与B -没有相同的特征值，从而0不是33+T
A E E
B ⊗⊗的特征值，故33+T
A E E
B ⊗⊗可逆，从而 AX XB
C +=有唯一解。
（2） 方法2：求出A 的特征多项式，再证明2,1,2--不是A 的
特征值。
方法3：直接写出33+T
A E E
B ⊗⊗，再证明它非奇异。
四(8分)、设3维内积空间在基123,,ααα下的矩阵
211150103A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 。
求 123{++}span ααα 的正交补空间。
见书28页，内积空间在基下的矩阵是指度量矩阵。
按照内积定义给出正交补空间中元素应该满足的条件。
然后求解。
解：设
112233123=++({++})x x x span βαααααα⊥∈，
则
123(,,)T x x x 满足方
程 123(,,)(1,1,1)0
T x x x A =
1232+6+2=0x x x
它的基础解系为
12=(-3,1,0),=(0,1,3)T T
ξξ-，
因此 1231223({++})={3+,3}span span ααααααα⊥
--
五(10分)、设5阶实对称矩阵A 满足
23(3)(5)0A E A E -+=，
(3)1rank A E -=，求A 的谱半径和Frobenius 范数
F A 。
注意A 满足的方程说明那个式子是零化多项式，并不是最小多项式，也不是特征多项式。
只说明A 的特征根为3和-5，再根据后面的条件才知道有4个3和1个-5.然后根据范数定义得到结
果。
解：因为实对称矩阵A 是5阶矩阵，且满足
23(3)(5)0A E A E -+=， (3)1rank A E -=，因此存在正交矩阵P ,使得 (3,3,3,3,5)T P AP diag =-
由于正交变换不改变矩阵的Frobenius 范数，因此
(3,3,3,3,5)F F A diag =-==
六(10分)、求
+
502145513305127⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭ 。
见书184页，首先对矩阵满秩分解，再按广义逆的计算公式计算得到结果。
七(14
分)、3()P t 的线性变换2323
012302132031()()()()()T a a t a t a t a a a a t a a t a a t +++=-+-+-+- （1）求()()R T N T ，的基。
（2）求T 的一个三维不变子空间。
见书34-37页，要求相空间及零空间的基即对线性变换在自然基下的矩阵做初等行变换。
然后观察可得。
解：（1）求T 在下的矩阵。
解：基
231,,,t t t ，因为 232233(1)1,(),()1,()1T t T t t t T t t T t t =-=-=-+=-+
所以T 在基231,,,t t t 下的矩阵1010010110100101A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭。
1010101001010101~1010000001010000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
因此23
1,t t t --是()R T 的基，23
1+,+t t t 是()N T 的基。
（3） 取 232
{1,1+}
U span t t t t =--， ,易见2321,1+t t t t --， 线性无关，因此
232{1,1+}U span t t t t =--，是三维的，且
()=()T U R T U ⊂ ,因此U 是T 的一个三维不变子空间。
八(14分)、已知
321141123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,
（1）求A 的Jordan 标准型。
（2）求ln A .
本题为三阶矩阵，因此首先计算A的特征多项式，发现特征根为2和6，然后判断最小多项式，即可得到若当标准型。
见书72-75页。
求ln A的方法见书127页。
或者126页，或者123页。
A 31 解：622A J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
12()(6)(2)f A f A f A =+ 1211(2),(6)44A A E A A E =-=--
ln6ln 2ln (2)(6)44
A A E A E =---。