24.1.1圆的定义与相关概念

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人教版数学九年级上册 24.1.1 圆课件

变式如图，AB 为⊙0的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD
的延长线交于点E, 已知AB=2DE, ∠AEC=20°.
求∠AOC 的度数.
解：如图，连接OD.
∵AB=2DE,AB=2OD,
∴0D=DE.
O
∴∠DOE=∠E=20°.
○
∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°.
0C=OD,
∴∠C=∠ODC=40°. ∴∠AOC=∠C+∠E=60°.
⑩等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
想一想：长度相等的弧是等弧吗? 如图，如果AB和CD的拉直长度都是10 cm, 平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合?
可见这两条弧不可能完全重合实际上这两条弧弯曲程度不同
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
结论：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
∴A、B、C、D 在以0为圆心，以OA 为半径的圆上。
二.圆的有关概念
0弦：
连接圆上任意两点的线段(如图中的 AC) 叫做弦. 经过圆心的弦(如图中的AB) 叫做直径。
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
探索：圆中最长的弦是什么?为什么?
3.如图，AB 是⊙0的直径，点C 、D在⊙0上，且点C 、D 在AB 的异侧，连接AD、OD、OC. 若∠AOC=70°, 且 AD//OC, 求∠AOD 的度数.
解：∵AD//OC,
∴∠AOC=∠DAO=70°。又∵OD=OA, ∴∠ADO=∠DAO=70°.
∴∠AOD=180-70°-70°=40°
当堂练习 1.填空： ( 1)直径是圆中最长的弦，它是半径的2倍. (2)图中有一条直径，二条非直径的弦，圆中以A为一个端点的圆弧中，优弧有四条，

24.1.1确定圆的条件(1)三点定圆

比一比，赛一赛
分别画出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的外接圆。看看它们的外心有什么不同？

三角形与圆的位置关系
A
驶向胜利的彼岸
• 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况
A
●
A
●
O C
O
●

O C
B

B
┐
四边形与圆的位置关系
驶向胜利的彼岸
• 如果四边形的四个顶点在一个圆, A 这圆叫做四边形的外接圆.这个四边形叫做圆的内接四边形. 我们可以证明圆内接四边的两个 O 重要性质: B 1.圆内接四边形对角互补. 2.圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角. 3.对角互补的四边形内接于圆.
.
点在圆外
d＞r
C

添图：
点与圆的位置关系
点在圆外点在圆上点在圆内

图形
圆心到点的距离d 与半径r的关系
添图：
点与圆的位置关系 A 点在圆外 A 点在圆上 A 点在圆内 d<r

定义（二）：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点叫做圆心，定长叫做半径。
以O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆 O”
圆的内部
O P
A
圆的内部可以看作到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部
P
O
A

●
E
C D
●
三点定圆
驶向胜利的彼岸
• 定理不在一条直线上的三个点确定一个圆. • 在上面的作图过程中. F A ∵直线DE和FG只有一个交点O,并 E 且点O到A,B,C三个点的距离相等,

24.1.1圆(1)圆的概念课件人教版数学九年级上册

同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆
半径是弦吗？
连接圆上任意两点的线段
圆弦: （如图中的AC）叫做弦.
A
的经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．有
关注意 1.弦和直径都是线段.
概 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中
念最长的弦，但弦不一定是直径.
·O
C
B
((
(
圆弧: 的
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．
探究：走进圆
1、请同学们用圆规在草稿纸上画一个圆 2、量一量自己刚才所画的圆上任意一
点到定点的距离是否相等？
看视频找发现
通过观看该视频发现了什么？
发现马在吃草的过程中所运动的轨迹是一个圆
归
圆的形成性定义（动态定义）：如图，在一个平面内，线段 OA 绕它
固定的一个端点 O 旋转一周，另一个
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
重要结论：确定圆的两要素：圆心和半径（即确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个）
1、下列说法错误的是（ B ）
A.直径是圆中最长的弦
B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆是等弧
·O C
的
合的弧叫做等弧.
有
关
注意 1.等弧只能出现在同圆或等圆中；
概
2.等弧是全等的，而不仅仅是弧的长
念度相等.
·O1 C
题型：利用圆的有关概念判断命题的正确性
例题3 下列语句中正确的有（ C ）
①直径是弦； ②弦是直径； ③半径相等的两个半圆是等弧； ④长度相等的两条弧是等弧； ⑤半圆是弧，弧不一定是半圆.

24.1.1圆的概念(优秀课件)知识讲稿

O
拓展：
D
B
你还能得出哪些结论？
1.如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm.
(21)若以以点点A为A为圆圆心心，作4c⊙m为A，半使径B作、⊙C、A，D三则点中至点少 B、有C一、点D与在⊙圆A内的，位且置至关少系有如一何点？在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？
A
D
B
C
3.若点P到圆上一点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则此圆的半径为 .
O
P
平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形——圆
议一议、说一说
车轮为什么做成圆形的？
把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳，这就是车轮都做成圆形的数学道路。圆上的点到圆心的距离是一个定值（半径）
（2）以点O为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”．
确定一个圆的要素:
一是圆心圆心确定其位置，二是半径半径确定其大小．
O
A
问题1：圆上各点到圆心O的距离有什么关系？ (1)圆上各点到圆心O的距离都等于半径r
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
二、与圆有关的概念
6.能够重合的两个圆是等圆. 同圆或等圆的半径相等.
7.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
练习1.判断下列说法的正误
(1)弦是直径；( ) (2)半圆是弧；( ) (3)过圆心的线段是直径；( ) (4)过圆心的直线是直径；( ) (5)半圆是最长的弧；( )
(6)直径是最长的弦；( ) (7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆( )

人教版九年级数学上册知识点总结：第二十四章圆

人教版九年级数学上册知识点总结第二十四章圆24.1.1 圆知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。

固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。

第二种：圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径知识点一圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，直径为MD ，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径MD 与非直径弦AB 相交于点C ，CD ⊥ABAC=BC AM=BMAD=BD注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

C M A B D o AC=BC AM=BM⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒ 垂足为C ⌒（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.1 圆的概念1

练习：
E G A H C Q O
P
F
B
.
K
不是如图(3) PQ是直径吗?______;
练习：
E G
P
F
B
O
H
.
K
A
C
Q
如图(4)线段EF、GH 不是是弦吗？_______.
A B O
●
1.如图,半径有 OA、OB、OC ______________ 2.若AOB=60° ，则△AOB是等边 _____ 三角形.
24.1.1 圆
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
奥运五环
福建土楼
祥子
小憩片刻
一石激起千层浪
乐在其中
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周
,另一个端点A所形成的图形叫做圆
A
半径
记作:
⊙O
r
O
. ·
读作:圆O 圆心
圆心：固定的端点O叫做圆心；半径：线段OA叫做半径；
练一练
2 你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚的看出树木生长的年龄,如果一棵 20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径每年增加多少?. 解:
23÷2÷20=0.575cm 答: 这棵红衫树的半径每年增加0.575cm
练一练
如图,一根5m长的绳子, 一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.
C
3.如图,弦有 AB、BC、 AC 其中AC是直径、是圆中最长的弦
4.如图, ⊙O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线上， 2 图中弦的条数为_____。
圆中有关概念：
C

人教版九年级上24.1.1圆(教案)

首先，对于圆的方程部分，我可能需要更多地结合实际例子来讲解，让学生明白方程背后的几何意义。例如，可以拿一个圆形的物体，如硬币或圆盘，通过测量半径和直径，引导学生推导出圆的方程。这样，学生们能够更直观地理解方程与实际物体之间的关系。
其次，在讲解切线和割线时，我发现学生们对这两个概念容易混淆。为了帮助学生区分，我计划在下节课中增加一些图示和实物操作，比如用绳子模拟切线和割线，让学生亲自感受两者的不同。通过这样的实践活动，我相信学生们能够更清晰地理解这些几何关系。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对圆的概念和性质掌握得还不错，但在圆的方程和切线割线的理解上存在一些困难。这让我意识到，需要从以下几个方面进行反思和调整。
我还注意到，在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是由于主题不够吸引他们或者他们对自己的观点不够自信。为了提高学生的参与度，我打算在下次讨论前，先给学生提供一些背景资料和思考问题，激发他们的兴趣，并在讨论过程中给予更多的鼓励和支持。
另外，实践活动虽然能够帮助学生加深对圆的理解，但我也发现有些学生在操作过程中关注了操作本身，却忽略了背后的数学原理。因此，我计划在下次实践活动中，增加一些引导性的问题和任务，让学生在动手操作的同时，思考这些操作与圆的性质和公式之间的联系。
-圆的面积与周长计算：掌握面积和周长的公式，是实际应用中必不可少的技能。
举例：圆以及如何根据实际问题的条件建立圆的方程。
2.教学难点
-圆的方程理解：学生需要理解方程背后的几何意义，以及如何将实际问题转化为方程求解。

人教版数学九年级上册24.1.1圆教案

（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对圆的概念和性质有了初步的认识，但在一些细节上还需要进一步的巩固。尤其是在圆周角定理的理解上，部分学生还显得有些吃力。我意识到，对于这样的几何定理，仅仅依靠理论讲解是不够的，还需要结合实际图形和例子来进行阐述。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆的基本概念：强调圆的定义、半径、直径、圆周率π等核心内容，这是学习圆的基础。
-圆的性质：圆周角定理、半径相等的性质、直径相等的性质等，这些性质是解决圆相关问题的重要依据。
-弧、弦、圆心角：区分弧和弦的分类，理解圆心角的定义，这些是圆中基本元素的核心概念。
-圆与三角形、四边形的联系：掌握圆内接三角形、圆内接四边形的性质，为解决综合问题打下基础。
在讲授新课的过程中，我尽量采用生动的例子和生活情境来引导学生，让他们感受到数学与生活的紧密联系。这种做法在一定程度上激发了学生的学习兴趣，但我也注意到，对于一些基础较弱的学生来说，这些例子可能还不够具体，他们仍然需要在课后进行更多的练习。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现给了我很大的惊喜。他们能够积极地参与到讨论中，通过实际操作来加深对圆的理解。不过，我也观察到，在小组合作中，部分学生还不太会倾听他人的意见，这在一定程度上影响了讨论的深度和广度。
1.理论介绍：首先，我们要了解圆的基本概念。圆是由一条固定长度的线段（半径）所围成的平面图形，它是几何图形中最特殊的一种。圆在生活中有着广泛的应用，如车轮、硬币等。

24.1.1 圆

4.顺次连接圆内两条相交直径的4个端点,围成的四边形一定是( )
(A)梯形 (B)菱形 (C)矩形 (D)正方形 C
5.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠BOC=110°,AD∥OC,则∠AOD等于( D )
(A)70°(B)60°
(C)50°(D)40°
6.下列语句中,正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等A ;
类型二:圆的定义应用例2 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD交于点O. 求证:点A,B,C,D在以O为圆心的圆上.
证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴OA=OB=OC=OD, ∴点A,B,C,D在以O为圆心的圆上.
【方法技巧】圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合.
1.下列命题中,其中正确的有( A )
(2)圆的静态定义:到
的距离等于
的点的集合.
定点
定长
2.与圆的有关概念
(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,
直径:经过圆心的弦叫做直径.
直径:经过圆心的弦叫做直径.
(2)弧:
任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.半圆:圆的任意一条
半圆.
弧
的两直径
优弧: 大于半圆的弧叫做优弧.用三个点表示,如图中是优弧.
⑦等弧的长度相等
【规律总结】直径是圆中经过圆心的特殊的弦,是最长的弦,并且等于半径的2倍, 是在研究圆的问题中出现次数最多的重要线段,但弦不一定是直径,过圆上一点和圆心的直径有且只有一条;半圆是弧,而弧不一定是半圆;“同圆”是指圆心相同,半径相等的圆,“同心圆”“等圆”指的是两个圆的位置、大小关系;判定两个圆是否是等圆,常用的方法是看其半径是否相等,半径相等的两个圆是等圆;“等弧”是能够互相重合的两条弧,而长度相等的两条弧不一定是等弧.

24.1.1圆的概念

二者缺一不可
(9)Fast最長的弦長為500m,則該圓的半徑為 250m 。
A ( 10)如圖,半徑
B有若:_∠_AO_OA_B、_=_O_6B_0°、__，O_C___
O●
則△AOB是等___邊__三角形.
(11)如圖,弦有:_A_B___B_C___A_C____
C
在圓中有長度不等的弦，
直徑是圓中最長的弦。
E
且AB=OC，求∠A的度數。
B
D OO C
A
③④ ①②⑤ 平分弦並且平分弦所對的一條弧的直線經過圓心,垂直於 ③⑤ ①②④ 弦,並且平分弦所對的另一條弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心,並且垂直平分弦.
垂徑定理的推論若圓的兩條弦互相平行,那麼這兩條弦所平的弧相等嗎?
1.兩條弦在圓心的同側 2.兩條弦在圓心的兩側
A C
●O B
感覺？
議一議、說一說
2、如果車輪做成三角形或正方形的，坐車的人會是什麼感覺？
r
把車輪做成圓形，車輪上各點到車輪中心（圓心）的距離都等於車輪的半徑，當車輪在平面上滾動時，車輪中心與平面的距離保持不變，因此，當車輛在平坦的路上行駛時，坐車的人會感到非常平穩，這就是車輪都做成圓形的數學道路。圓上的點到圓心的距離是一個定值
探究2
練一練
下列圖形是否具備垂徑定理的條件？
C
c
C
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
O
E
BA
O EB D
是不是
是
不是
練一練
1、在⊙O中，弦AB長8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求的⊙O半徑。

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24.1.1圆的定义及有关概念一、学习目标
1、探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别；
2、体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系
二、自学指导
问题一：你接触过圆吗？生活中哪些物品是圆形的呢？你知道有关于圆的哪些知识呢?
总结：（1）圆的描述性定义：在一个平面内，线段绕它的固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆.固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O”.说明：“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．
（2）圆的集合性定义: 圆可以看作是到定点的距离等于定长的所有点的集合.
问题二：等圆和同心圆
等圆：半径相等的圆叫做等圆
同心圆：圆心相同半径不等的圆叫做同心圆
问题三：弦、弧、直径
弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；
直径：经过圆心的弦叫作直径；
弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；
弧的表示方法：以A 、B 为端点的弧记作AB ,读作“圆弧AB ”或“弧AB ”；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如上图中的ABC ；
劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如上图中的BC ．
三、互动研讨：
☆☆1. 如图，请用正确的方式表示出以点A 为端点的优弧及劣弧.
F
E D
C B A
O I
A B C O
☆☆☆2.矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，求证：A 、B 、C 、D 四个点都在以点O 为圆心的圆上.
☆☆3.如下图所示，回答问题：
（1）请写出图中所有的弦；
（2）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；
（3）若∠ABC=30°，你能求出哪些角的度数？
四、课堂练习：
☆☆4. 判断：
（1）直径是弦. （）
（2）弦是直径. （）
（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆.（）
（4）半径相等的两个半圆是等弧. （）
☆☆5.下列说法中，结论错误的是（）
A.直径相等的两个圆是等圆
B.长度相等的两条弧是等弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
☆☆☆6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C =15°,则∠BOC
的度数为（）
A ．15° B. 30° C. 45° D ．60° ☆☆☆7. 平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6 cm ，最短为2 cm ，则⊙O 的半径为．
☆☆☆8. 如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，点P 是OB 上的任一点（不与O 、B 两点重合），CD 、EF 是过点P 的两条弦，则图中的弦和以
点B 为端点的劣弧分别有（） A.3条，4个 B.4条，4个 C.5条，5个 D.5条，6个 A B C D E F P O。