第二类曲线积分典型例题解析

第二类曲面积分例题曲面积分是对曲面上某个量进行积分的数学工具，用于计算曲面上的各种物理量或几何特性。

下面我会给出一个例题，并从多个角度进行解答。

例题，计算曲面积分 $\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS$，其中曲面$S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，且法向量与 $z$ 轴的夹角小于$\frac{\pi}{2}$。

解答：1. 参数化法：我们可以使用球坐标系来参数化球面 $S$，令$x=a\sin\phi\cos\theta$，$y=a\sin\phi\sin\theta$，$z=a\cos\phi$，其中 $0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$，$0\leq\theta\leq2\pi$。

计算曲面积分可转化为计算参数化后的积分：$$\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\pi}(a^2\sin^2\phi\cos^2\theta + a^2\sin^2\phi\sin^2\theta +a^2\cos^2\phi)a^2\sin\phi d\theta d\phi$$。

化简后可得结果。

2. 法向量法，由于曲面 $S$ 是球面，其法向量可以表示为$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}}{a}$，其中 $\mathbf{r} =x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 是曲面上的任意一点。

计算曲面积分可转化为计算 $\iint_S(\mathbf{r}\cdot\mathbf{N})dS$。

代入球面方程和法向量表达式后，进行积分即可得结果。

3. 散度定理法，根据散度定理，曲面积分可以转化为对曲面所围立体的体积分。

因为球面 $S$ 是闭合曲面，所以可以使用散度定理。

计算散度 $\nabla\cdot(\mathbf{F})$，其中 $\mathbf{F} = (x^2+y^2+z^2)\mathbf{i} + (x^2+y^2+z^2)\mathbf{j} +(x^2+y^2+z^2)\mathbf{k}$。

12
y B
对坐标的曲线积分
例2 计算
I = ∫ xdy + ydx
L
其中L分别为 其中 分别为: 分别为 (1) 抛物线
y = 2x
2
上从原点到B(1,2)的一段 的一段; 上从原点到 的一段
(2) 直线段OB: 直线段
y = 2x;
(3) 任意以 为起点,B为终点的光滑曲线 任意以O为起点 为终点的光滑曲线 为起点 为终点的光滑曲线. 结论:被积函数 起点终点都相同 结论 被积函数,起点终点都相同 被积函数 起点终点都相同, 虽然积分路径不同,但积分值不同 虽然积分路径不同 但积分值不同. 但积分值不同
′ (t ) dt = dx, dy, dz T =r { }
从而单位切向量为
t = cos t , x , cos t , y , cos t , z
{ ( ) ( ) ( )} = {cos α , cos β , cos γ }
∫
C
又设 F ( x, y, z ) = P ( x, y , z )i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) k 则
∫
L
F d s = ∫ F d s
L
y
L
L
O
x
第二类曲线积分与 3. 存在条件
曲线的方向有关. 曲线的方向有关.
当F ( x, y ) 在光滑曲线弧 上 连续时, 在光滑曲线弧L上 连续时,
第二类曲线积分存在. 第二类曲线积分存在
5
对坐标的曲线积分
4. 物理意义
变力 F = P ( x , y )i + Q ( x , y ) j 沿AB所作的功 W 所作的功

{ P [ x , y ( x )] Q [ x , y ( x )] y ( x )} dx
a
b
以 上 定 义 及 结 论 均 可 推 广 到 空 间
例1、求

L
xydx , L : y
2
x 上从 A ( 1 , 1 ) 到 B ( 1 ,1 )的一段弧 .
求 例2、 y 2 dx , L :
L


d r e ( x , y ) ds
r

[F ( x , y ) e
L L


( x , y )]ds
两类曲线积 分互化公式
为向量值函数

[ P ( x , y ) cos Q ( x , y ) cos ]ds P ( x , y ) dx
规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方向
总是与曲线的走向一致。
参数方程（1）所表示的定向曲线上任一点处切向量为：

( x ( t ), y ( t ), z ( t ))
(a b : ; a b : )
2、变力沿曲线作功

求变力 F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j 作用 于质点沿曲线从点 A 移动到 B 所作的功 ?
( 2 ) 若 L 为封闭曲线 , 积分号常写成

L
.
(3)

L


L1


L2
( L L1 L 2 )
（可加性）
(4)

L



L
二、第二类曲线积分的计算法

2. 证明不等式
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy ≤ MC ，
L
其中 C 是曲线 L 的弧长， M = max{ P 2 (x, y) + Q 2 (x, y) |(x, y) ∈ L}。记圆周
2
x2 + y2 = R2 为 LR ，利用以上不等式估计
∫ ( ) IR
=
LR
ydx − xdy x2 + xy + y 2
−x
，则
x2 + xy + y2 2
P2 (x, y) + Q2 (x, y) =
x2 + y2
≤
16
，
(x 2 + xy + y 2 )4 (x 2 + y 2 )3
于是
IR
≤
4 R3
C
=
8π R2
，所以
lim
R→+∞
I
R
=
0。
3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构
成一个力场。求质量为 m 的质点沿抛物线 y2 = 1 − x 从点 (1,0) 移到 (0,1)
∂( y, ∂(θ ,
z) z)
+
cosθ
∂(z, x) ∂(θ , z)
+
sinθ
∂(x, ∂(θ ,
y) ⎤ z) ⎥⎦
dθ
dz
∫ ∫ ∫ ∫ =
2π cosθ dθ
4
zdz +
2π sinθ cosθ dθ
4 dz = 0 。
0
0
0
0
解法二
由于曲面Σ的单位法向量为 ( x , y , 0) ，可知

∫
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2

第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1， 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分， 记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有 向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算 设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且 点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则 沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]， 起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π， 当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。

y
x
( x)2x ，( x) x2 C ，
代入 (0)0 ，得C 0 ，( x) x2 。
取 y x ， x: 01 作为积分路径，则
(1,1) x
y2dx
y(
x)dy
(1,1)xy2dx yx2dy
1
2
x
3dx
1
.
(0,0)
(0,0)
0
2
东南大学数学系
HECHUANFU
或 du PdxQdy xy2dx yx2dyd 1( x2 y2 ), 2
1 dx
x dxC
]
HECHUANFU
1[ 4x3dxC] C x3.
x
x
由 f (1)2 ，得C 1 ，故 f ( x) 1 x3 。 x
（2）
4x3 ydx xf ( x)dy
C ( AB )
4x3 ydx(1 x4 )dy
C( AB )
3
(181)dy246. 0
东南大学数学系
c a.
d b ab
db
东南大学数学系
另解：∵ P Q ，∴u( x, y) ， y x
HECHUANFU
使得
du
1 [1 y
y2
f
( xy)]dx
x y2
[
y
2
f
( xy)1]dy
1
x
ydx yf ( xy)dx xf ( xy)dy y2 dy
d( x ) f ( xy)d( xy)d[ x F( xy)]
8．已知曲线积分
C
xdy ydx 2 y2 ( x)
A(
A为
常
数),
其中

B A
AC CB ，则
F ( M ) d r F ( M ) d r F ( M ) d r
A B
A C
C B
注意：第二类曲线积分没有第一类曲线积分的对称
性质及有关不等式的性质。
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第二类曲线积分的坐标表示
（1）若 F( x, y) P( x, y),Q( x, y)， L是平面曲线弧，
故
Pdx Qdy Rdz F 0ds
L
L
L(P cos Q cos Rcos )ds
其中 0 {cos,cos ,cos }是 L在点( x, y, z)处的
单位切向量，方向与 L的走向一致。
(2) 若 a b , 可u 令 t, 则 u: a b
而此 a时 b, 对参数u进行讨论，
二元函数 f ( x, y)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
f
三元函数 f ( x, y, z)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
fzk
f
定义：一个向量场F 称为保守场，如果它是某个数量函数的
梯度，即存在一个函数 f ，使得F f ，此时 f 称为
F 的势函数。
注意：不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
M
i
，做数量积：
F(Mi )
ri
，(
i
1,2,n)，
求和：
n
F
(
M
i
)
ri
，令
i 1
miaxsi 0，若
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第二十章 曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1， 与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分， 记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有 向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算 设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且 点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则 沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]， 起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π， 当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。

2014考研数学备考重点解析一一第二类曲线积分的计算1•计算方法1）直接法；fc Q 田）2）格林公式疔dx+Qdy=JJ ——-—^».D i法€y丿3）补线用格林公式4）利用线积分与路径无关:Q.x（2）计算：a）改换路径；b）利用原函数f Pdx+Qdy = F（x2,y2）-卩（为，％）,其中（x1 y）Pdx Qd^dF（x, y）,求原函数方法：①偏海文钻石卡视频积分：②凑微分.2•两类线积分的联系：：Pdx • Qdy 二「（Pcos= " Qcos ：）ds.C Cf—2 2 2 2【例1】计算I =[ ye y dx (xe y2xy e y )dy.其中C为y=3_x从0(0,0)到A(1,1)的曲线段.Cde 2 2 22 2【解析】由于一(ye y) =—(xe y- 2xy2e y) = e y2y2e y，则本题中的线积分与路径无关.d ye x解法1改换路径，B点为(1,0)点。

2 2 2 2 2 2原式= OB ye y dx (xe y2xy2e y)dy .臥ye y dx (xe y2xy2e y)dy1 2 2=0 0(e y2y2e y )dy= 0 - ；2y2e y2dy 012y2e『dy =3.也可将路径改换为另一折线0C、CA，其中C点为（0,1）点，则原式22 222 2I= 0Cye y dx (xe y2xy 2e y)dyCAye y dx (xe y2xy 2e y)dy = 0°edx=e .解法2利用原函数，由于y 2y 22 y 2y 2y 2y 2ye dx (xe 2xy e )dy 二(ye )dx xd(ye ) = d(xye )2则 F(x,y) =xye •2,则-(e y )dx - (x y 2)dy =C【解析】由格林公式得2 2 2%e ydx +(x + y 2)dy = "(1 -2ye y )d<rD=d ； - SD则其面积S =2二.y 22故 ■- L e y dx (x y )dy 二 2 . 【例3】计算I(e x siny 「b(x y))dx • (e x cosy -ax)dy ,其中a,b 为正常数，C 为从点A(2a,0)沿曲线Cy = ■. 2ax - x 2 到点 O(0,0)的弧.【解析】补线段OA ，则I(e x sin y _b(x y))dx (e x cosy _ax)dyC OA-OA(e x sin y _b(x y))dx (e x cosy _ ax)dy2a= (e x cosy _a -e x cosy b)d ；「_ o (_bx)dx ，D2故 L ye y dx (xe2 2 2 2xy e y )dy 二 xye y(1,1)e .(0,0)2 2【例2】设C 为椭圆4x y -8x 沿逆时针方向其中D 是由4x 2 • y 2 =8x 围成的椭圆域,S 为其面积，海文钻石卡视频该椭圆方程可改写为2(X -1)2」1，4也可将路径改换为另一折线 0C 、CA ，其中C 点为（0,1）点，则2 21【解析】（1）C:x （y -1N ，由格林公式得1ydx -xdyir .(—i —i)d 二（这里用了格林公式）D i-2-:；2=_2二.注：由本题可看出，对线积分ydx-xdy y Q,P ~ 2 2 ,Qx y x 2 y 2—x— 2，除原点（0,0）夕卜，P,Q 有连续一阶偏导数, x y且― ■-Q,(x, (0,0).此时有以下结论: -X 2aI = (b -a)d 匚 b xdx =D(b - a) 2a 2b【例4】计算I”中2 21（DC 为x y -2八二的正向;⑵C 为4x 2 • y 2「8x 二4的正向.ag-x ■（其中D 为曲线C 所围圆域）2 2x -y x 22-y\((x 2y 2)^(x 2y 2)2 )d ；「-0.（2）C ：42yi ,此时不能直接用格林公式，因为在 （0,0）点条件不满足.因此，作以（0,0）为中心的圆8L: x 2y 2；2 （ ；0）且取顺时针方向，在 L 和C 大学考研围成的环形域上用格林公式得2 2x -y ydx - xdy _(_ 訂(/ 2 2、2D(x y )2 2x -y (x 2 y 2)2)d一0，xdx —xdy ■L x 2 y 2 :^^=0. x 2 y 2 [“ ydx-xdyydx -xdy C x 2y 2x 2 y 2其中D 为y =-』2ax -x 2与0A 围成的半圆域，则D1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零 2 ）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等 事实上，线积分这个类型.c【例 5 】计算 I = ［「（y ）cosx -二y ］dx ［「（y ）si nx -二］dy ,其中 AMB 弧为连结 A （二,2）与点 B （3二,4）的线段AMB【解析】= 2-(1 3二)2=2專 _2二（1 3二）=「6二AMB 『血3 3一飯『血dy兀x1一dxdy—3二(二1)dx二dx"二(x - y)dx+(x+y)dy (x + y)dx _(x _ y)dy xdy_ydxL x^ ，L ，_ I 2 2x_ y4x y x y AB 的下方的任意分段光滑简单曲线，且该曲线与大学考研线段 AB 所围图形面积为2,解法1补线段BA ，则AMB AMB'BA - BAAMBA-BA'AMBA Pdx Qdy「(3)d —ex cy!!^ - 2■:x直线BA 的方程为：y1，则 JIBAFCOSX -二 xx1(1)]dx [ (1) si nx-二]dxJIJI解法其中L 申(y)co xdx + 申(y)si nxdy =®(y)si nxAM B(3 二4)(二,2) =°顺时针方向。

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析例1 若对任意的x ，y 有yP x Q ∂∂≡∂∂，设C 是有向闭曲线,则⎰+C y Q x P d d = ． 解：由格林公式将 y x yP x Q y y x Q x y x P D C d d )(d ),(d ),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰ 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件yP x Q ∂∂≡∂∂知,应该填写：0 例2．_______d d =+-⎰y x x y l,其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周． 解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为:π⋅21，由格林公式得：⎰⎰⎰+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2,应该填写：π2例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分⎰+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ )． A ．在域D 内恒有y Q x P ∂∂=∂∂ B ．在域D 内恒有yP x Q ∂∂=∂∂ C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+⎰'l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+⎰'l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则⎰+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x yP x Q ∈∂∂=∂∂⇔),(,. 所以选择：B例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的．A ．⎰+C y x x yx d d 332 B ．⎰-C y x x y d d C ．⎰-C y x x xy d d 22 D ．⎰+C y y x yx d d 332解：因为选项A 中，23323)(,3)3(x xx x Q x y yx y P =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂,由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A例 5 设积分路径⎩⎨⎧==)()(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t ,那么第二类曲线积分计算公式⎰+ly y x Q x y x P d ),(d ),(=（ )． A ．⎰'+'βαψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([ B ．⎰'+βαϕψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ C ．⎰'+βαψψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ D ．⎰+βαψϕψϕt t t Q t t P d ))](),(())(),(([解:因为积分曲线的路径由参数方程⎩⎨⎧==)()(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t 给出,把参数方程代入曲线积分中，得：⎰'+'βαψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([所以正确选择:A 例6 计算⎰-++-l xx y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2，其中l 为由点)0,3(A 经椭圆⎩⎨⎧==ty t x sin 2cos 的上半弧到点)0,3(-B 再沿直线回到A 的路径． 解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成⎰-++-lx x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2 其中x y Q x y y P x x -=+-=cos e ,3sin e 2,由格林公式原式=⎰-++-l x x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x yP x Q =⎰⎰---Dx x y x y y d d ]3cos e ()1cos e [( =⎰⎰Dy x d d 2=23212⋅⋅⋅π=π6 例7．计算⎰-+-l x xy y x y y d )21cos e (d )2sin e (2，其中l 是上半圆周x y x 222=+ )0(>y 和x 轴围成平面区域边界的正向．解： 21cos e ,2sin e 2-=-=y Q y y P x x,由格林公式得⎰-+-l x xy y x y y d )21cos e (d )2sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x y P x Q =⎰⎰--D x x y x y y y d d )]cos e (cos e[=⎰⎰Dy x y d d =⎰⎰θπθθcos 20220d d sin r r =⎰203d cos sin 38πθθθ =32)cos (32204=-πθ 例8 计算⎰-lx y x y xy d d 22，其中1:22=+y x l 逆时针方向． 解： 22,xy Q y x P =-=，由格林公式得⎰-l x y x y xy d d 22⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x yP x Q =⎰⎰≤++12222d d )(y x y x y x =⎰⎰10320d d r r πθ =2412ππ=⨯。

L P ( x, y ) d x Q ( x, y ) d y
=
l 0
{ P [ x ( s ) , y ( s ) ] x ' ( s ) Q [ x ( s ), y ( s ) ] y ' ( s ) } d s
上式右端可转为某第一型曲线积分。
与重积分的关系 —— 格林公式
概念： 区域内任意闭曲线可不经区域外的点 单连通区域 ： 连续地收缩为一点。 复连通区域：非单连通区域 边界曲线的正方向： 人沿边界正向走，区域在其左边。
x i = x i x i 1 ,
y i = y i y i 1 . 在每个小弧段 M i 1 M i 上任取一点 i ( i , i ), n 作和式 [ P ( i ) x i Q( i ) y i ] ,
取极限 lim [ P ( i ) x i Q( i ) y i ] , 其中 为 n 个
2 2
x y = 1 , 取正向。
2 2
x d y y d x , 其中 L 是单位圆周 2 2 x y
解： 注意到 x y = 1 , 因此 I = L x d y y d x . 在单位圆域 D 上应用格林公式得
I = L x d y y d x = 2 d = 2 .
z
dS dS = . 解： I = S 2 2 2 S 2 2 x y z R z
取 S 上如图所示的面积微元（阴影 区域）， 则其面积 d S = 2 R d z ,
dz
dS 2 R = 2 2dz. 这样 2 2 R z R z H H dz = 2 π arctan . 故 I = 2 R 0 2 2 R R z

第二类曲面积分例题（原创版）目录一、引言二、第二类曲面积分的概念和方法1.概念2.方法三、例题解析1.例题一2.例题二四、结论正文一、引言在数学中，曲面积分是一种常见的积分形式。

与第一类曲面积分（对于标量场在曲面上的积分）不同，第二类曲面积分是对向量场在曲面上的积分。

第二类曲面积分的概念和方法对于理解更复杂的数学问题具有重要意义，因此本文将通过例题解析来介绍第二类曲面积分的相关知识。

二、第二类曲面积分的概念和方法（1）概念第二类曲面积分指的是对于一个给定的曲面 S 和曲面 S 上的一个向量场 F，将曲面 S 划分为若干小的面元 dS，计算每个面元上的向量场F 与法向量的内积的和，再对所有面元求和。

当面元尺寸趋近于 0 时，若极限存在，则称该极限为向量场 F 在曲面 S 上的第二类曲面积分。

（2）方法求解第二类曲面积分的方法通常有以下两种：1.直接积分法：将曲面 S 参数化，即将曲面上每个点表示为参数 (u, v) 的形式，然后对向量场 F 在参数空间上的表达式进行积分。

2.间接积分法：先求曲面 S 的边界曲线 C，然后对边界曲线 C 上的向量场 F 进行积分，再利用曲线 C 与曲面 S 的关系求解第二类曲面积分。

三、例题解析（1）例题一给定曲面 S：z = x^2 + y^2，向量场 F：F(x, y, z) = (x, y, 1)，求曲面 S 上的第二类曲面积分。

解：采用直接积分法，首先将曲面 S 参数化，令 x = rcosθ, y = rsin θ, z = r，带入向量场 F 的表达式得到 F(r, θ) = (rcosθ, rsinθ, 1)。

然后对参数 (r, θ) 进行积分，积分区间为 0 到 1（因为曲面 S 的范围是 0 到 1），得到曲面积分：∫∫F(r, θ)drdθ = ∫∫(rcosθ, rsinθ, 1)drdθ = ∫r(rcosθ + rsinθ)dθ + ∫dθ = r^2(1/2 + 1/2) + θ = r^2 + θ。

第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。

设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。

动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。

取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则 单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上 投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是 单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为 函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。

2014考研数学备考重点解析——第二类曲线积分的计算1. 计算方法 1)直接法; 2)格林公式σd d d ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+D C y P x Q y Q x P . 3)补线用格林公式 4)利用线积分与路径无关 （1）判定:xQ y P ∂∂=∂∂. （2）计算:a) 改换路径; b) 利用原函数),(),(d d 1122),(),(2211y x F y x F y Q x P y x y x -=+⎰,其中),(d d d y x F y Q x P =+,求原函数方法:①偏海文钻石卡视频积分;②凑微分.2.两类线积分的联系: ⎰=+Cy Q x P d d s Q P Cd )cos cos (⎰+βα.【例1】计算y e xy xe x ye I y y Cy d )2(d 2222++=⎰.其中C 为3x y =从)0,0(O 到)1,1(A 的曲线段.【解析】 由于22222222)2()(y y y y y e y e e xy xe xye y +=+∂∂=∂∂，则本题中的线积分与路径无关. 解法1 改换路径，B 点为)0,1(点。

原式dy e xy xe dx ye dy e xy xe dx ye y y y BAy y y OB⎰⎰+++++=)2()2(22222222 dy e y e y y ⎰++=12)2(022⎰⎰=+-=112210322222dy e y dy e y yey y y .也可将路径改换为另一折线OC 、CA ，其中C 点为)1,0(点，则 原式⎰⎰⎰=+=+++++=1220)2()2(222222e edx dy e xy xe dx ye dy e xy xe dx ye y y y CA y y y OC .解法2利用原函数，由于)()()()2(2222222y y y y y y xye d ye xd dx ye dy e xy xe dx ye =+=++则 2),(yx y e y x F =.故e yex dy e xy xedx ye y Ly y y ==++⎰)1,1()0,0(22222)2(.【例2】设C 为椭圆x y x 8422=+沿逆时针方向,则 ⎰=++Cy y y x x e d )()d (22.【解析】由格林公式得⎰⎰⎰-=++LDy y d ye dy y x dx e σ)21()(222S d D==⎰⎰σ其中D 是由x y x 8422=+围成的椭圆域，S 为其面积，海文钻石卡视频该椭圆方程可改写为14)1(22=+-y x ，则其面积π2=S . 故π2)(22=++⎰dy y x dx e Ly .【例3】计算⎰-++-=Cxx y ax y e x y b(x y e I d )cos ())d sin (,其中b a ,为正常数,C 为从点)0,2(a A 沿曲线22x ax y -=到点)0,0(O 的弧.【解析】补线段OA ，则⎰+-++-=OAC x x dy ax y e dx y x b y e I )cos ())(sin (dy ax y e dx y x b y e x x OA)cos ())(sin (-++--⎰ ⎰⎰⎰--+--=aDxx dx bx d b y e a y e 20)()cos cos (σ，其中D 为22x ax y -=与OA 围成的半圆域，则b a a b a xdx b d a b I aD22022)(2)(+-=+-=⎰⎰⎰πσ【例4】计算⎰+-=Cyx y x x y I 22d d ,其中 (1)C 为21222-=-+y y x 的正向; (2)C 为48422=-+x y x 的正向. 【解析】（1）21)1(:22=-+y x C ，由格林公式得 σd yPx Q I D⎰⎰∂∂-∂∂=)(（其中D 为曲线C 所围圆域） 0))()((2222222222=+--+-=⎰⎰σd y x y x y x y x D. （2）182)1(:22=+-y x C ，此时不能直接用格林公式，因为在)0,0(点条件不满足. 因此，作以)0,0(为中心的圆:L )0(222>=+εεy x 且取顺时针方向，在L 和C 大学考研围成的环形域上用格林公式得0))()((222222222222=+--+-=+-⎰⎰⎰+σd y x y x y x y x y x xdy ydx DCL ， 即02222=+-++-⎰⎰C L y x xdyydx y x xdy xdx .则 ⎰⎰-+-=+-=L Cy x xdyydx y x xdy ydx I 2222 ⎰--=Lxdy ydx 21ε⎰⎰--=1)11(12D d σε（这里用了格林公式）ππεε22122-=-=.注：由本题可看出，对线积分222222,,y x xQ y x y P y x xdy ydx +-=+=+-⎰，除原点)0,0( 外，Q P ,有连续一阶偏导数，且)0,0(),(,≠∂∂≡∂∂y x xQy P . 此时有以下结论：1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零. 2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等. 事实上，线积分⎰⎰⎰⎰+-⋅+-+--++++-222222224,)()(,)()(yx ydxxdy y x ydx xdy y x dy y x dx y x y x dy y x dx y x L L L 都属于 这个类型. 【例5】计算⎰⋂-'+-=A M By x y x y x y I d ]sin )([d ]cos )([πϕπϕ,其中⋂AMB 弧为连结)2,(πA 与点)4,3(πB 的线段AB 的下方的任意分段光滑简单曲线,且该曲线与大学考研线段AB 所围图形面积为2,【解析】解法1 补线段BA ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-+==⋂⋂⋂BAAMBABABAAMBAMBIπσπσ2)(==∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰⋂D AMBADd d y Px Q Qdy Pdx 直线BA 的方程为：1+=πxy ，则dx x xdx xx xBAπππϕπππϕππ1]sin )1([)]1(cos )1([3-+'++-+=⎰⎰)31(2ππ+=故 26)31(22ππππ-=+-=I 解法2 ⎰⎰⋂+-⋂'+=AMBdy ydx y x y x x y I A M Bπϕϕd sin )(d cos )(,其中0s i n )(d s i n )(d c o s )()4,3()2,(==⋂'+⎰ππϕϕϕx y y x y x x y A M B⎰⎰⎰+-+=+⋂⋂+BABAAMB AMB dy ydx dy ydx dy ydxπππππ61)1(3=++--=⎰⎰⎰dx dx xdxdy D故 26π-=I【例6】计算⎰-+-+-=C z y x y z x x y z I d )(d )(d )(,其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+;2;122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看去为顺时针方向。