高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析
例1 若对任意的x ，y 有y
P
x Q ∂∂≡∂∂，设C 是有向闭曲线，则⎰+C y Q x P d d = ．
解：由格林公式将
y x y
P
x Q y y x Q x y x P D
C
d d )(
d ),(d ),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰
其中D 为C l 围成的平面区域，及条件
y
P
x Q ∂∂≡∂∂知，应该填写：0 例2．_______d d =+-⎰
y x x y l ，其中l 是延圆周1)1()1(2
2
=-+-y x 正向一周．
解：因为圆周1)1()1(2
2=-+-y x 所围圆面积D 为：π⋅2
1，由格林公式得：
⎰⎰
⎰+=+-D
l
y x y x x y d d )11(d d =π2，应该填写：π2
例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分⎰
+l
y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ ）．
A ．在域D 内恒有
y Q x P ∂∂=∂∂ B ．在域D 内恒有y
P
x Q ∂∂=∂∂ C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+⎰'
l y Q x P
D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分
0d d =+⎰'
l y Q x P
解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则
⎰+l
y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x y
P
x Q ∈∂∂=∂∂⇔
),(,。 所以选择：B
例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（ ）是与路径无关的． A ．⎰
+C
y x x yx d d 332 B ．⎰-C
y x x y d d
C ．
⎰-C
y x x xy d d 22
D ．⎰+C
y y x yx d d 33
2
解：因为选项A 中，
23323)(,3)3(x x
x x Q x y yx y P =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A
—
例 5 设积分路径⎩⎨
⎧==)
()
(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t ，那么第二类曲线积分计算公式
⎰+l
y y x Q x y x P d ),(d ),(=（ ）
． A ．⎰'+'β
αψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([ B ．⎰'+β
αϕψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ C ．⎰'+β
αψψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ D ．
⎰+β
αψϕψϕt t t Q t t P d ))](),(())(),(([
解：因为积分曲线的路径由参数方程⎩⎨⎧==)
()
(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t 给出，把参数方程代
入曲线积分中，得：
⎰'+'β
αψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([
所以正确选择：A
例6 计算⎰
-++-l
x
x
y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2
，其中l 为由点)0,3(A 经椭圆
⎩⎨
⎧==t
y t
x sin 2cos 的上半弧到点)0,3(-B 再沿直线回到A 的路径． 解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成
⎰-++-l
x x
y x y x x y y d )cos e (d )3sin e
(2
其中x y Q x y y P x x
-=+-=cos e ,
3sin e 2
，由格林公式
原式=⎰
-++-l
x
x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=
D
d d ][
y x y
P
x Q =
⎰⎰---D
x x y x y y d d ]3cos e ()1cos e [( =
⎰⎰D
y x d d 2=23212⋅⋅⋅π=π6 例7．计算⎰-+-
l x x
y y x y y d )2
1
cos e (d )2sin e (2，其中l 是上半圆周x y x 222=+ )0(>y 和x 轴围成平面区域边界的正向．
解：Θ2
1
cos e ,2sin e 2-=-=y Q y y P x x
，由格林公式得
—
⎰-+-l
x
x
y y x y y d )21cos e (d )2sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D
d d ][y x y P x Q =
⎰⎰--D
x x
y x y y y d d )]cos e (cos e
[=⎰⎰D
y x y d d
=
⎰
⎰
θ
π
θθcos 20
2
2
d d sin r r =⎰20
3d cos sin 38
π
θθθ
=
32
)cos (3220
4=-π
θ 例8 计算⎰
-l
x y x y xy d d 2
2，其中1:2
2
=+y x l 逆时针方向．
解：Θ22
,
xy Q y x P =-=，由格林公式得
⎰-l
x y x y xy d d 2
2⎰⎰∂∂-∂∂=D
d d ][y x y
P
x Q =
⎰⎰
≤++1
2
222d d )(y x y x y x =⎰⎰1
320
d d r r π
θ =2
412π
π=⨯
