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(北师大版八年级上) 数学：1.1探索勾股定理(2)课件

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北师大版八年级上册探索勾股定理课件

北师大版八年级上册探索勾股定理课件

为股，斜边称为弦。“勾股定理
”因此而得名．（在西方文献中
股
又称为毕达哥拉斯定理）
练一练
求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
x 解：由勾股定理可得：
82+ x2=172 即: x2=172-82
x=15
12 5
x 解:由勾股定理可得：
52+ 122= x2 即： x2=52+122
x=13
当堂练习 1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方 形的面积为 36 cm² .
讲教授学新目知
标
勾股定理：
直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边 的平方.
几何语言 表示：
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若在Rt△ABC中，∠C=90°
b
c
那么 a2+b2=c2
(AC2+BC2=AB2)
C
a
B
讲教授学新目知
标
勾股定理： 直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
我国古代把直角三角形中，较短
弦
的边称为勾，较长的直角边称之 勾
SA=16 SB=9 SC=?
方法一：补
C
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三 角形的面积.
方法三：拼
C
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色） 可拼成一个小正方形.
方法二：割
C
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
数学知识
图为2002年在我 国北京召开的世 界数学家大会的 会标。
（3）试试猜想SA，SB，SC的数量关系？
SA=16 SB=9 SC=25
猜想：SA+SB=SC

北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件

北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件

c=
。
2.在△ABC中，∠C=90°,若c=13，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=12，则
a=
。
3.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
二、提高训练
4．一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距
地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端
滑动
m．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
视察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间 存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正 方形的面积.
分小组动手操作实践
用四张全等的等腰直角三角形纸片，拼成一个 正方形。（不能重叠，不能有间隙）
∵c2= 4×12 a2 ∴c2=2a2
（1）如果三角形的三边长分别为a,b,c，则 a2+b2=c2
( ×)
（2）如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2
( ×)
( 3) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 a+b=c
( ×)
(4) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 b2=c2-a2
2002年国际数 学家大会会标 ——弦图.
四、课堂小结 定理内容
重要的 思想方 法及数 学思想
勾股 定理
从特殊 到一般、 数形结 合思想
定理运用
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界.

北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)

北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)

勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)

北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)

探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1

2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .

八年级数学上册 1.1 探索勾股定理课件2 (新版)北师大版

八年级数学上册 1.1 探索勾股定理课件2 (新版)北师大版

6米
10米
已知两边求第三边
复习旧知 “勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
复习旧知
我们是怎样发现“勾股定理”的？
用“数格子法”发现： “两直角边的平方和等于 斜边的平方”。
数格子法
探究新知
一、用“内嵌法”拼图：
将直角三角形按图拼在大正方形内部
c2 (ba)21ab4 2
b22a Байду номын сангаасa22ab
运用正方形面积表达式进行验证。
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
20 3x
4x
巩固练习
2、如图是某沿江地区交通图，为了加快经济发 展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的 沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元 /千米，该沿江高速的造价预计是多少？
合作交流
观察下图，用数格子的方法判断图中三角形 的三边长是否满足a2+b2=c2 。
非直角三角形， 不满足a2+b2=c2 。
巩固练习 3、如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的 大 树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵 树折断后有多高？
18-x x
6米
问题解决
例2、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的
半 圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧
道吗？
A
解：过点A作AB⊥OC于点B，
∵∠ABO=90°
∴AB2+OB2=OA2 且OA=3.6，OB=1.5
1.1 探索勾股定理(2)
诊断练习
1、如图，Rt△ABC的边AC=5cm，BC=6cm， 求以AB为边的正方形面积。
A

1.勾股定理的验证课件北师大版数学八年级上册

1.勾股定理的验证课件北师大版数学八年级上册
BD2=BE2+DE2，
即(8-x)2=(10-6)2+x2，
解得，x=3. 所以，CD的长为3cm.
A
E
C
D
B
综合建模
勾股定理在实际问题中的应用
将实际问题抽象为数学模型，画出对应的几何图形，
正确运用勾股定理求解.
勾股定理在折叠问题中的应用
原图形和折叠后得到的图形之间，对应角和对应线
段相等，根据这一性质综合运用勾股定理进行相关问题
∵0.82=0.64，1.19＞0.64，
∴能放进蕴藏室.
当堂检测
6．折叠长方形ABCD 的一边AD，使点D 落在BC 边的F 点处，
若AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.
解：在Rt△ABF中，
BF2=AF2-AB2=102-82=36，
∴BF=6cm，
A
D
设EC=xcm，
在Rt△ECF中，
A
3m
B
4m
C
学以致用
例3 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，
BC＝8cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它恰好落在
斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
解：在直角三角形ABC中，
AB2=AC2+BC2=62+82=100，
所以AB=10（cm）.
设CD=xcm，
在直角三角形BDE中，
能.因为两种方法得到的正方形面积相等，即b2+a2=c2.
合作交流
如图是美国总统伽菲尔德于1876 年给出的一种验证勾股定理
的办法，你能利用它验证勾股定理吗？
右侧图形有两种表示方法：

2

ab

1.1探索勾股定理课件北师大版初中数学八年级上册

因此又称此定理为“毕达哥拉 斯定理”。法国和比利时称它
为“驴桥定理”，
埃及称它为“埃及三角形”等。 但他们发现的时间都比我国要
迟得多。
美国总統的证明 伽菲尔德
1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证明， 证法称为“总统”证法
二、新课讲授
1、自主探究 （1）视察图1-1
正方形A中含有 9 个
B
C
三角形三边长度之 间存在什么关系吗？ 与同伴进行交流。
图1-3
A
B
图1-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一
个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中
的规律对这个三角形仍然成立吗？
归纳结论
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
B
a2 b2 c2
a
C
c
A
b
即:直角三角形两直角边的 勾 弦 平方和等于斜边的平方。
5、练一练
1、在△ABC中，∠C=90°。若a=6，b=8，则 c= _1_0__ 。
2、在△ABC中，∠C=90°。若c=13，b=12，则 a= __5__ 。
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三 边长的平方为（ D ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
三、小结
1、你这节课的主要收获是什么？ 2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元
B 图1-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
2、做一做
你是怎样得 到表中的结 果的？与同 伴交流交流。
（1）视察图 1-3、图1-4， 并填写右表：

北师大版初中八年级数学上册 1.1.1 认识勾股定理 课件(共20张PPT)


( 55 ) 25
30
( 34)
95 61
( 42 ) 18
60
200 ( 350)
150
总结归纳
C A
B
SA+SB=SC
ac b
ac b
a2+b2=c2
a2+b2=c2
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的 两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
导入新课
情境引入
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发 现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2005年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现 朋友家的用砖铺成的地面…
毕达哥拉斯就从地面上这十分常见的图形中，发现了令世人震惊的定理：
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三 角形和一个小正方 形.
补成大正方形，用大正 方形的面积减去四个直 角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小 正方形，图中两块红色 （或绿色）可拼成一个小 正方形.
填一填：观察右边两 幅图：完成下表（每 个小
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
怎样计 算正方 形C的面 积呢？
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
13
右图 16
9
25
C A
B
SA+SB=SC
结论：以直角三角形两 直角边为边长的小正方 形的面积的和，等于以 斜边为边长的正方形的 面积.

第一章：勾股定理 2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件(北师大版)


C A
B
C A
B
结论：SA = 9，SB = 9，SC = 18，即 SC = SA + SB
一般的直角三角形呢？
C A
B
C A
B
结论：SA + SB = SC
将格子再次细分，使三角形顶点落在格点上
C B
A
问题2：如果直角三角形的两直角边分别为 1.6 个单位长度和 2.4 个单位 长度，上面猜想的数量关系还成立吗？请说明理由.
E
BE＝DB－ED，CE＝CD＋ED. ∴ AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)
方法总结
一般涉及线段之间的平
＝2AD2＋DB2＋DC2＋2ED·(DC－DB)． 方关系问题时，通常构
又∵ AD 是△ABC 的中线，∴ DB＝DC.
造直角三角形，利用勾 股定理把需要证明的线
∴ AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．
第一章：勾股定理
1.1.1 认识勾股定理 1.1.2 验证勾股定理及简单应用 1.2 一定是直角三角形吗 1.3 勾股定理的应用
知识结构
勾 股 定 理
勾股定理
直角三角形 的判定条件
勾股定理 的应用
内容 验证方法 应用 勾股定理的逆定理 勾股数 求直角三角形的边长 判定直角三角形的形状 最短路径问题 生活中的实际应用
=82 +62 = 64 +36 = 100 = 102
8
所以 AB = 10 m.
答：需要 10 m 的钢索.
C
6
B
例1 如图，求出下列直角三角形的一直角边长和斜边的长度，求三角形
的面积.
A
解：由勾股定理可知，△ABC 的三边满足 AB2 + BC2 = AC2

北师大版八年级数学上册课件1.1 探索勾股定理(第2课时) 勾股定理的验证及应用课件(26张PPT)

= 25 km .现要在铁路旁建一个农副产品收购站 ,使 站到 ，
两村的距离相等.你知道应该把 站建在距点 多远的地方吗？
【点拨】设 = km ,由垂直关系可以想到用勾股定理,根据 = 建立方程,
即可使问题得解.
【解】因为 = ,
所以 2 + 2 = 2 + 2 .
当它听到巢中幼鸟的叫声时，立即赶过去.如果它飞行的速度
为 5 m/s ，那么它至少需要多少时间才能赶回巢中？
解：如图，
由题意知 = 3 ， = 14 − 1 = 13 ， = 24 .
过点 作 ⊥ 于点 ，则 = 13 − 3 = 10 ， = 24 .
答：教学楼走廊的宽度是 2.2 m .
作业布置
完成学生书对应课时练习
算，从理论上验证了勾股定理．
做一做
在纸上画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长向
外作正方形。
c
b
a
图1－4
为了方便计算图中大正方形的面积，
C
D
对其进行适当割补：
b
S正方形ABCD= c2+2ab=（a+b）2
c
A
B
a
c2=a2+b2
图1－5
D
b
c
a
图1－6
A
C
B
S正方形ABCD= c2-2ab=（b-a）2
第一章 勾股定理
1.1 探索勾股定理
第2课时 勾股定理的验证及应用
1.探索勾股定理
2.掌握勾股定理的内容，会用面积法验证勾股定理.
3.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
探究新知
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补 充 ： 如 图 ， 已 知 长 方 形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm, 在 边 CD 上 取 一 点 E ， 将 △ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F， 求CE的长.
（3）如图在△ABC中，∠ACB=90º ， CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.
补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东 南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都 是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家， 小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么 斜边上的高是 （ D ） A、6厘米； B、 8厘米； D、 60/13厘米； C、 80/13厘米；
a b
c
(a+b)2 ； 大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 c2 +4•ab÷2 b a b c c a c a ∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab÷2 2 = c2 +2ab a2+2ab+b ∴a2+b2=c2 a
b b
c
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 4•ab÷2-(b- a)2
1.1探索勾股定理
（2） a c b a2+b2=c2
利用拼图来验证勾股定理： 1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正 方形？
2+b2=c2？ 4、你能否就你拼出的图说明a
c2
；
a
c a b b c a
∵ c2= 4•ab÷2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
c
∴a2+b2=c2
a
b
b
c
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞 到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒， 飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多 少千米？
C B
4000
4000
A
练习
课本P11习题1，2（要有过程）
你认为利用勾股定理可以解决什么数 学问题？
在直角三角形中，若已知任意2边， 就可以运用勾股定理求出第三边
蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘 米？（小方格的边长为1厘米） 只要求答案 A
B G E
C
F
D
c a b c b a
议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三 边长是否满足a2+b2=c2？
3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个 A 三角形的面积 解：设这个三角形为ABC， 高为AD，设AB为X，则BC 为（32-2X），BD是（16－x) 由勾股定理得： X2=(16-X)2 +82
B
16-X
பைடு நூலகம்
8
D
C
即X2=256-32X+X2 +64 ∴ X=10 ∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
求① △ABC的面积；
A D
②斜边AB的长；
③斜边AB上的高CD的长。
B
C