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数学建模实验报告线性规划数学建模实验报告姓名：霍妮娜班级：计算机95学号：09055093指导老师：戴永红提交日期：5月15日一．线性规划问题描述：某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克,工人10名,可获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克,工人级大学生正在从若干个招聘单位中挑选合适的工作岗位，他考虑的主要因素包括发展前景、经济收入、单位信誉、地理位置等，试建立模型给他提出决策建议。
问题分析首先经过对问题的具体情况了解后，建立层次结构模型，进而进行决策分析。
下面我建立这样一个层次结构模型：某岗位综合分数发展前景x1经济收入x2家庭因素x3地理位置x4这是一个比较简单的层次结构模型,经过如下步骤就可以将问题解决。
1.成对比较从x1,x2,x3,x4中任取xi和xj，对他们对于y贡献的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：xi/xj=1，认为前者与后者贡献程度相同；xi/xj=3，前者比后者的贡献程度略大；xi/xj=5，前者比后者的贡献程度大；xi/xj=7，前者比后者的贡献大很多；xi/xj=9，前者的贡献非常大，以至于后者根本不能和它相提并论；xi/xj=2n，n=1，2，3，4，认为xi/xj介于2n-1和2n+1直接。
xj/xi=1/n，n=1，2，…，9，当且仅当xi/xj=n。
2.建立逆对称矩阵记已得所有xi/xj，i，j=1，2，3，4，建立n阶方阵1135A=11351/31/3131/51/51/313.迭代e0=（1/n，1/n，1/n，1/n）Tek=Aek-1一直迭代直达到极限e=(a1,a2,…,a4)T则权系数可取Wi=ai 解：首先通过迭代法计算得x1，x2，x3，x4的权数分别为：0.278，0.278，0.235，0.209.假设对所有的xi都采用十分制，现假设有三家招聘公司，它们的个指标如下所示：x1x2x3x4甲8579乙7966丙5798按公式分别求出甲、乙、丙三家公司的综合指数为7.144，7.112和7.123.由此可以看出，应该选择甲公司。
1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: （i）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划?(2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题:(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资?若每天投资150元，或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。
利用lingo软件，编写如下程序：model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end求解结果及灵敏度分析为：Objective value: 3360.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 2.0000003 0.000000 48.000004 40.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 53.33333 80.000003 50.00000 10.00000 6.6666674 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果：1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义例1某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134m ax x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
数学建模教案－线性规划模型一、问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 若需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？初步分析可以先考虑两种“极端”的情况：（1）全部截出长为698mm的甲件，一共可截出EQ F(4000,698) »5件，残料长为510mm。
（2）全部截出长为518mm的乙件，一共可截出 E Q F(4000,518) »7件，残料长为374mm。
由此可以想到，若将 x个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把截取条件数学化地表示出来就是：698 x + 518y £ 4000x ，y都是非负整数目标是使：z = EQ F(698x + 518y,4000) （材料利用率）尽可能地接近或等于1。
（尽可能地大）该问题可用数学模型表示为：目标函数： max z = EQ F(698x + 518y,4000)满足约束条件：698 x + 518y £ 4000 ， (1)x ，y都是非负整数 . (2)例2 某工厂在计划期内要安排生产I 、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台数及A、B两种原料的消耗，如下表所示。
该工厂每生产一件产品I可获利 2 元，每生产一件产品II可获利 3 元，问应如何安排生产计划使工厂获利最多？这问题可以用以下的数学模型来描述：设 x 1, x 2分别表示在计划期内产品I、II的产量。
因为设备的有效台数为8 ，这是一个限制产量的条件，所以在确定I 、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台数，即可用不等式表示为：x 1 + 2x 2£ 8 .同理，因原材料A 、B的限量，可以得到以下不等式：4 x 1£ 164 x 2£ 12.该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1、x2以得到最大的利润。
1.人力资源分配问题例 1. 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如表 1 所示。
班次时间所需人数班次时间所需人数1 6:00~10:00 60 4 18:00~22:00 502 10:00~14:00 70 5 22:00~2:00 203 14:00~18:00 60 6 2:00~6:00 30设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8 小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？解：设 xi 表示第 i 班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6约束条件： s.t. x1 + x6 ≥ 60x1 + x2 ≥ 70x2 + x3 ≥ 60x3 + x4 ≥ 50x4 + x5 ≥ 20x5 + x6 ≥ 30x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0运用 lingo 求解：Objective value: 150.0000ariable Value Reduced CostX1 60.00000 0.000000X2 10.00000 0.000000X3 50.00000 0.000000X4 0.000000 0.000000X5 30.00000 0.000000X6 0.000000 0.000000例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？时间所需售货员人数星期日28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28解：设 xi ( i = 1,2, ,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每种产品分别需要使用两种原材料X和Y。
已知每种产品的利润和原材料的用量，求解最大利润的生产方案。
二、数据分析1. 产品A的利润为每单位100元，产品B的利润为每单位150元。
2. 产品A每单位需要用2单位的原材料X和1单位的原材料Y；产品B每单位需要用1单位的原材料X和3单位的原材料Y。
3. 公司每天可用的原材料X和Y的数量分别为10单位和15单位。
三、数学建模设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
目标函数：最大化利润，即最大化目标函数Z = 100x + 150y。
约束条件：1. 原材料X的用量约束：2x + y ≤ 10。
2. 原材料Y的用量约束：x + 3y ≤ 15。
3. 非负约束：x ≥ 0，y ≥ 0。
四、求解过程1. 构建线性规划模型：最大化目标函数 Z = 100x + 150y约束条件：2x + y ≤ 10x + 3y ≤ 15x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法（如单纯形法）求解最优解。
五、最优解分析经过计算，得到最优解为：x = 5，y = 3，Z = 100*5 + 150*3 = 950。
六、结论为了实现最大利润，公司应生产5个单位的产品A和3个单位的产品B，此时可以获得最大利润950元。
七、敏感性分析通过敏感性分析可以了解目标函数和约束条件的变化对最优解的影响程度。
1. 原材料X的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加100元。
- 产品A的生产数量：不变。
- 产品B的生产数量：不变。
2. 原材料Y的用量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：增加150元。
- 产品A的生产数量：不变。
- 产品B的生产数量：不变。
3. 公司每天可用的原材料X的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。
- 产品A的生产数量：不变。
- 产品B的生产数量：不变。
4. 公司每天可用的原材料Y的数量增加1单位，最优解变化情况：- 目标函数值：不变。
线性规划经典例题一、问题描述假设有一家面包店，每天需要生产两种类型的面包：A型和B型。
生产一块A型面包需要3分钟，而生产一块B型面包需要4分钟。
面包店每天可供给的总生产时间为480分钟。
A型面包的利润为5元，B型面包的利润为4元。
面包店希望最大化每天的利润。
二、数学建模为了解决这个问题，我们可以使用线性规划模型来进行数学建模。
首先，我们需要定义决策变量和目标函数，然后列出约束条件。
1. 决策变量：设x为A型面包的生产数量，y为B型面包的生产数量。
2. 目标函数：面包店的每日利润可以表示为目标函数，即最大化利润。
根据题意，A型面包的利润为5元，B型面包的利润为4元，因此目标函数可以表示为： maximize Z = 5x + 4y3. 约束条件：a) 生产时间约束：每天可供给的总生产时间为480分钟，而生产一块A型面包需要3分钟，生产一块B型面包需要4分钟。
因此，生产时间约束可以表示为：3x + 4y ≤ 480b) 非负约束：由于面包的生产数量不能为负数，所以需要添加非负约束条件：x ≥ 0y ≥ 0三、线性规划求解通过将目标函数和约束条件带入线性规划模型，我们可以求解出最优解。
1. 构建线性规划模型：maximize Z = 5x + 4ysubject to:3x + 4y ≤ 480x ≥ 0y ≥ 02. 求解最优解：使用线性规划求解方法，可以得到最优解。
假设最优解为(x*, y*)，则最大利润为Z* = 5x* + 4y*。
四、数值计算为了求解最优解，我们可以使用线性规划求解器或手工计算。
1. 使用线性规划求解器：可以使用诸如MATLAB、Python的SciPy库或在线线性规划求解器等工具来得到最优解。
2. 手工计算：为了方便计算，我们可以使用图形法来解决这个问题。
首先，我们将约束条件3x + 4y ≤ 480绘制成直线，然后确定可行解的区域。
接下来，我们将目标函数5x + 4y = Z绘制成直线，并通过移动直线找到最大利润的点。
第五节 线性规划建模举例线性规划是运筹学中应用最广泛和最有效的一个分支，在用线性规划方法解决实际问题时，建模是十分重要和很关键的一步，它是在把实际问题条理化和抽象化的基础上进行的，是一种创造性的思维过程，兴有当建立的模型能正确反映实际问题的条件和决策者的要求时，才能进一步得出有意义的解答，为决策者作出正确决策提供帮助。
线性规划问题建模可按以下步骤进行：1．分析实际问题，弄清需要确定的未知量，在此基础上假定自变量（决策变量）。
这些自变量应彼此独立，意义明确，且可借助它们将实际问题正确、方便地表达出来。
2．确定有关参数的数据，包括价值系数j c 、约束条件右侧常数i b 和约束条件中的系数ij a 。
3．认清决策者想要达到的主要目标，据此列出目标函数（自变量的线性函数），并决定是要极大化或极小化。
4．分析并汇总问题的限制条件（包括明显的和隐含的），将其与有关自变量和参数联系起来，并逐一表达成等式或不等式约束。
约束条件既不要遗漏（有些限制条件未考虑到），也不要重复。
5．写出完整的线性规划数学模型，并进一步检验是否与描述的实际问题一致，如有不一致之处，则应适当修改模型。
对复杂的实际问题，有时还需在求解时进一步修正模型。
下面在本章第一节的基础上，再举出另外一些线性规划问题建模的例子，供读者分析思考，从中得到启发。
例14 裁料问题在某建筑工程施工中需要制作10000套钢筋，每套钢筋由2.9m 、2.1m 和1.5m 三种不同长度的钢筋各一根组成，它们的直径和材质相同。
目前在市场上采购到的同类钢筋的长度每根均7.4m ，问应购进多么根7.4m 长的钢筋才能满足工程的需要？解 该问题最简单的处理方法是：在每根7.4m 长的钢筋上截取2.9m 、2.1m 和1.5m 的短钢筋各一根，剩下料头0.9m ，共用去10000根7.4m 长的钢筋。
但这样做常是不经济的，基改用套裁就会节约原材料。
为此，必须分析共有多少种不同的裁法，该问题的可能裁料方案示于表1.10中。
