(新教材2019)集合间的基本关系-子集与真子集、空集及集合个数(原卷版)

第一章集合与函数的概念第2课时集合间的基本关系【双向目标】能使用利用【课标知识】(),5.，，，则如果集合(或.AA A.D.A≠，=1}-2=0}=基础过关参考答案：3.【解析】因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a ∈)仅有一个根或两个相等的根．(1)当a＝0时,方程为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．(2)当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.4.【解析】选A.因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B5. 【解析】（1）（2）（3）∴的取值集合为【能力素养】探究一子集与真子集的求法例1：写出集合{a，b，c}的所有不同的子集【分析】根据子集的含义进行求解【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.【点评】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.【变式训练】1.已知，则这样的集合有个.【解析】集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}【答案】7个2.已知集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y∈A，x+y ∈A}，则B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【解析】∵集合A={1，2，3}，平面内以（x，y）为坐标的点集合B={（x，y）｜x∈A，y ∈A，x+y∈A}，∴B={（1，1），（1，2），（2，1）}∴B的子集个数为：23=8个．【答案】D探究二集合间的关系例2. 集合，集合，那么间的关系是（）.A. B. C. = D.以上都不对【分析】根据集合间的关系进行判断.【点评】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.【变式训练】1.若集合，则（）.A. B. C. = D.【解析】因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B 【答案】C2.设M={x|x=a2+1，a N+}，N={x|x=b2-4b+5，b N+}，则M与N满足( )A. M=NB. M NC. N MD. M≠ N【解析】当a N+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b N+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即M N，故选B. 【答案】B探究三集合间关系具有的性质例3：已知若M=N，则= ．A．－200 B．200 C．－100 D．0【分析】解答本题应从集合的概念、表示及关系入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|，∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+…+2=0【答案】0【点评】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．【变式训练】1．设a，b R，集合，则b-a=( )【答案】22．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．【答案】都不相同【课时作业】1.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（）2.已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43.设M={x|x=a2+1，a N+}，N={x|x=b2-4b+5，b N+}，则M与N满足( )A. M=NB. M NC. N MD. M≠ N4.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有( )A．1∉A B．0⊆A C．∅⊆A D．{0}⊆A5.集合的所有真子集个数为( )．A．3 B． 7 C．15 D．316.同时满足：①M⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M，则6－a∈M的非空集合M有( )A．6个 B．7个 C．15个 D．16个7.已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( )A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－18.设，，若则的取值范围是（）AB C D.9.已知集合A＝{x|1＜x－1≤4}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.10.用适当的符号填空：（1）；（2）；（3）.11.已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B A，则实数m＝________.12.设A是非空集合，对于k∈A，如果，那么称集合A为“和谐集”，在集合的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为13.已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若B⊆A，求a的取值范围；(2)若A⊆B，求a的取值范围．14.若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N M，求实数a的值．15.已知全集,集合R，；若时，存在集合M使得，求出这样的集合M；1.【解析】由，得，则,选B．【答案】B【答案】D3.【解析】当a N+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当b N+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即M N，故选B. 【答案】B4.【解析】由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为∅是任何非空集合的真子集，所以C正确．【答案】C5.【解析】，所以，真子集的个数为15个【答案】C6.【解析】a＝3时，6－a＝3；a＝1时，6－a＝5；a＝2时，6－a＝4；a＝4时，6－a＝2；a＝5时，6－a＝1，∴非空集合M可能是：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共7个．.故选B【答案】B【答案】510.【解析】（1）；（2）；（3） .【答案】（1）；（2）；（3） .11.【解析】，即，当时，，满足【答案】112.【解析】由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素-1，1，和3，和2，所以共有和谐集的集合的个数为15个【答案】1513.【解析】(1)因为B⊆A，B是A的子集，由图(1)得a≤3.(1)(2)因为A⊆B，A是B的子集，由图 (2)得a≥3.(2)【答案】（1）a≤3（2）a≥314.【解析】由得或，因此若a=2时，则，此时若a=-3时，则，此时若，则，此时N不是M的子集。

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

集合间的基本关系知识点总结一、子集、真子集、集合相等二、空集1、定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.2、性质：空集是任何集合的子集.三、子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有n （n 属于*N ）个元素，则其子集的个数是n 2，真子集的个数是12-n ，非空子集的个数是12-n ，非空真子集的个数是22-n .一、知识辨析1、} 3 ,2 ,1 {1⊆...........................................（ ）2、φ和{φ}表示的意义相同...............................（ ）3、} )1 ,0( {} 0 ,1 {} 1 ,0 {==..................................（ ）4、任何集合都有子集和真子集.............................（ ）5、若a ∈A ，则}{a ⫋A.....................................（ ）6、如果集合A B ⊆，那么若元素a 不属于A ，则必不属于B.....（ ） 二、选择1、已知集合} | {是菱形x x A =，} | {是正方形x x B =，} | {是平行四边形x x C =，那么A ，B ，C 之间的关系是 （ ）A.C B A ⊆⊆B.C A B ⊆⊆C.A ⫋B ⊆CD.C B A ⊆=2、给出下列四个关系式：①R ∈3；②Z ∈Q ；③0∈φ；④φ⊆} 0 {.其中正确的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.43、能正确表示集合} 20| {≤≤∈=x R x M 和集合} 0x -| {2=∈=x R x N 关系的Venn 图是 （ ）A B C D4、已知集合} ,2| {Z k k x x A ∈==，} ,4| {Z k k x x B ∈==，则A 与B 之间的关系是（ ） A.A=B B.B ⊇A C.A ⫋B D.B ⫋A5、已知集合} 03| {*＜-∈=x N x A ，则满足条件A B ⊆的集合B 的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.86、已知集合} 2 ,1 ,0 {⊆A ，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为 （ ） A.6 B.5 C.4 D.37、集合} , {y x 的子集个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.48、在下列选项中，能正确表示集合} 2 ,0 ,2 {-=A 和集合} 02| {2=+=x x x B 关系的是 （ ） A.A=B B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A =φ 9、集合} 1 ,2 {-=A ，} 1 ,m {2--=m B ，且A=B ，则实数m=（ ） A.2 B.-1 C.2或-1 D.410、已知集合} 0y ,0y |y)(x, {＞＜x x M +=，} 0y ,0|),( {＜＜x y x P =，那么 （ ） A.P ⫋M B.M ⫋P C.M=P D.M ≠P11、下列四个关系：①} , {} , {a b b a ⊆；②φ=} 0 {；③} 0 {∈φ；④} 0 {0∈.其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.412、已知φ⫋} 0x | {2=+-a x x ，则实数a 的取值范围是 （ ） A.41＜a B.41≤a C.41≥a D.41＞a 13、设集合} 1 1, {-=A ，集合} 02| {2=+-=b ax x x B ，若B ≠φ，A B ⊆，则有序实数对（a,b ）不能是（ ）A.（-1,1）B.（-1,0）C.（0，-1）D.（1,1） 三、填空14、已知集合} 3, 1, {m A -=，} 4 3, {=B ，若A B ⊆，则实数m= .15、已知集合} ,02| {2R a a ax ax x A ∈=++=，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为 .16、设a ，b ∈R ，集合} ,0 {} 1 , {b a a +=，则a b -= . 四、解决问题17、已知集合} 4 1| {＞或＜x x x A -=，} 3a 2| {+≤≤=x a x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18、已知} 01)1(3| {22=-+++=a x a x x A ，} 0 {=B ，若B A ⊆，求a 的取值范围.19、若集合} 06| {2=-+=x x x M ，} 0))(2(| {=--=a x x x N ，且M N ⊆，求实数a 的值. 提升题 一、选择题1、下面各选项中，两个集合相等的是 （ ）A.} ) 2 ,1 ( {=M ,} ) 1 ,2 ( {=NB.} 2 ,1 {=M ，} ) 2 ,1 ( {=NC.M=φ，} {φ=ND.} 012| {2=+-=x x x M ，} 1 {=N 2、下列关系中正确的是（ ）A .} 1 ,0 {1∈ B.} 1 ,0 {1∉ C.} 1 ,0 {1⊆ D.} 1 ,0 {} 1 {∉ 3、已知集合} 02| {2＜-+∈=x x Z x A ，则集合A 的一个真子集为 （ ） A.} 02| {＜＜x x - B.} 20| {＜＜x x C.} 0 { D.} {φ 4、集合} 1 ,0 1, {-=A ，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、若P M ⊆，Q M ⊆，} 2 1, ,0 {=P ，} 4 2, ,0 {=Q ，则满足上述条件的集合M 的个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.86、集合} , 3| {N n x x M n ∈==，集合} , 3| {N n n x x N ∈==，则集合M 与集合N 的关系为（ ） A.N M ⊆ B.M N ⊆ C.N M = D.M ⊈N 且N ⊈M7、若A x ∈，A x ∈1，则称A 是伙伴关系集合.集合} 3 ,2 ,31,21 ,0 ,1 {-=M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A.31 B.7 C.3 D.18、已知集合} , 0| {N y a y y A ∈≤=＜，} , 032| {2N x x x x B ∈≤--=，若A ⫋B ，则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为（ ） A.2 B.4 C .8 D.16 二、填空9、方程0822=--x x 的解集为A ，方程02=-ax 的解集为B ，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为 .10、已知集合} 44 ,4 ,3| {-=m y A ，集合} ,3| {2m y B =，若A B ⊆，则实数m= . 三、解决问题11、已知} 52| {≤≤-=x x A ，} 121| {-≤≤+=m x m x B ，A B ⊆，求m 的取值范围.。

专题1.3 集合间的基本关系-重难点题型精讲1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念【题型1 子集、真子集的概念】【例1】（2020秋•宁县校级月考）对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（）A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A．{2，4，5}B．{1，2，5}C．{1，6}D．{1，3}【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可．【解答】解：由图可知B⊆A，而{1，3}⊆{1，2，3}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键．【变式1-2】（2020秋•东湖区校级期中）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（）A．②B．①②C．①②③D．①③④【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误；1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选：B．【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义．【变式1-3】[多选题]下列命题中，正确的有（）A．空集是任何集合的真子集；B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C；C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断．【解答】解：空集是不是空集的真子集，A错；真子集具有传递性，B对；空集没有真子集，C错；如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B，D对，故选：BD．【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题． 【题型2 集合的相等与空集】【例2】（2020秋•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（ ） A ．P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝2（n +1），n ∈Z } B ．P ＝{x |x ＝2n ﹣1，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N +}C ．P ＝{x |x 2﹣x ＝0}，Q ＝{x |x =1+(−1)n2，n ∈Z }D ．P ＝{x |y ＝x +1}，Q ＝{（x ，y ）|y ＝x +1}【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可． 【解答】解：选项A ：因为集合P ，Q 表示的都是所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ； 选项B ：集合P 中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q 是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q ，所以P ≠Q ；选项C ：集合P ＝{0，1}，集合Q 中：当n 为奇数时，x ＝0，当n 为偶数时，x ＝1，所以Q ＝{0，1}，则P ＝Q ；选项D ：集合P 表示的是数集，集合Q 表示的是点集，所以P ≠Q ； 综上，选项AC 表示的集合相等， 故选：AC ．【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．【变式2-1】（2020秋•五华区校级期中）已知集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a 2，a ，ab }，若A ＝B ，则a 2021+b 2020＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据集合元素的互异性得到关于a 的方程组{1=ab b =a 2或{1=a 2b =ab ，通过解方程组求得a 、b 的值，则易求a 2021+b 2020的值．【解答】解：由题意得①组{1=ab b =a 2或②{1=a 2b =ab， 由②得a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{1，1，b }，不符合，舍去； 当a ＝﹣1时，b ＝0，A ＝{1，﹣1，0}，B ＝{﹣1，1，0}，符合题意． 由①得a ＝1，舍去，所以a＝﹣1，b＝0．∴a2021+b2020＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了集合相等的应用，注意要验证集合中元素的互异性，属于基础题．【变式2-2】（2020秋•武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（）A．{x|x+3＝3}B．{（x，y）|y2＝﹣x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0}D．{x|x2﹣x+1＝0，x∈R}【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A，x＝0；对于选项B，（0，0）是集合中的元素；对于选项C，由于x＝0成立；对于选项D，方程无解．故选：D．【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题．【变式2-3】（2020春•保定期中）如果A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，则实数a的取值范围为（）A．0＜a＜4B．0≤a＜4C．0＜a≤4D．0≤a≤4【分析】由A＝∅得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【解答】解：因为A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，当a＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a＝0成立．当a≠0时，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，则{a＞0△=a2−4a≤0，解得0＜a≤4．综上实数a的取值范围0≤a≤4．故选：D．【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键．【题型3 集合间关系的判断】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．【例3】（2021春•江油市校级期末）在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（）A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}，又A＝{1﹣2，0，2}，所以A⊋B．故选：C．【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题．【变式3-1】（2021•市中区校级模拟）设集合P＝{y|y＝x2+1），M＝{x|y＝x2+1}，则集合M与集合P的关系是（）A．M＝P B．P∈M C．M⫋P D．P⫋M【分析】由函数得：P＝{y|y≥1}，M＝R，即P⫋M，得解【解答】解：因为y＝x2+1≥1，即P＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2+1}＝R，所以P⫋M，故选：D．【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题.【变式3-2】（2020春•九龙坡区校级期中）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|≤3}，集合C=≤0}，则集合A，B，C的关系为（）{x|x−4x+5A．B⊆A B．A＝B C．C⊆B D．A⊆C【分析】解出不等式，从而得出集合A，B，C，再根据子集的定义判断A，B，C的关系．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3≤0，即（x﹣3）（x+1）≤0，∴﹣1≤x≤3，则A＝[﹣1，3]，又|x﹣1|≤3，即﹣3≤x﹣1≤3，∴﹣2≤x≤4，则B＝[﹣2，4]，∵x−4x+5≤0⇔{(x −4)(x +5)≤0x +5≠0， ∴﹣5＜x ≤4，则C ＝（﹣5，4]， ∴A ⊆C ，B ⊆C ， 故选：D ．【点评】本题主要考查集合间的基本关系的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，属于基础题．【变式3-3】（2020秋•湖北期中）[多选题]集合M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }之间的关系表述正确的有（ ） A ．S ⊆PB ．S ⊆MC ．M ⊆SD ．P ⊆S【分析】根据题意判断集合M ，P ，S 表示的意义，进行判断． 【解答】解：M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }表示被2整除余1的数的集合； P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }表示被3整除余1的数的集合；S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }＝{z |z ＝3×（2m ）+1，m ∈Z }＝{z |z ＝2×（3m ）+1，m ∈Z }，表示被6整除余1的集合；故S ⫋P ，S ⫋M ．故S ⊆P ，S ⊆M ，正确，即AB 正确． 故选：AB ．【点评】本题考查了集合的交集、补集问题，属于基础题． 【题型4 有限集合子集、真子集的确定】【例4】（2020秋•南昌县校级月考）已知集合M ＝{2，4，8}，N ＝{1，2}，P ＝{x |x =ab，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的子集个数为（ ） A ．4B ．6C ．16D ．63【分析】由集合M ＝{2，4，8}，N ＝{1，2}，P ＝{x |x =ab ，a ∈M ，b ∈N }，求出集合P ，由此能求出集合P 的子集个数．【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，∴P＝{1，2，4，8}，∴集合P的子集个数为：24＝16．故选：C．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式4-1】（2020秋•南沙区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．8C．7D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-2】（2020秋•临猗县校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．7C．8D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个． 故选：B ．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-3】（2020秋•海曙区校级期中）已知集合A ＝{x |（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0}，若A 的子集个数为2个，则实数a ＝ ．【分析】推导出（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数解，当a ﹣1＝0时，a ＝1，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0即3x ﹣2＝0，当a ﹣1≠0时，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a ﹣1）＝0，由此能求出实数a 的值．【解答】解：∵集合A ＝{x |（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0}，且A 的子集个数为2个， ∴（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数解，当a ﹣1＝0时，a ＝1，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0即3x ﹣2＝0，解得x =23， 当a ﹣1≠0时，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数根， △＝9+8（a ﹣1）＝0，解得a =−18． ∴实数a 的值为1或−18． 故答案为：1或−18．【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【题型5 利用集合间的关系求参数】【例5】（2020秋•南开区校级月考）设集合A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}，若A ⊇B ，则m 的取值范围是 ．【分析】B ⊆A ，则说明B 是A 的子集，然后分m ≤﹣2和m ＞﹣2两种情况求出m 的取值范围． 【解答】解：∵A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}＝{x |﹣2≤x ≤5}， 当m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时，B ＝∅满足B ⊆A ． 当m ﹣1＜2m +1，即m ＞﹣2时，要使B ⊆A 成立， 需 {m −1≥−22m +1≤5，可得﹣1≤m ≤2，即﹣1≤m ≤2，综上，m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2时有B ⊆A ． 故答案为：{m |m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用． 【变式5-1】（2020秋•武汉期中）已知关于x 不等式x 2﹣2mx +m +2≤0（m ∈R ）的解集为M ． （1）[1，2]⊆M ，求实数m 的取值范围；（2）当M 不为空集，且M ⊆[1，4]时，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定实数m 的取值范围即可； （2）由题意分类讨论即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意[1，2]⊆M 可知，令 f （x ）＝x 2﹣2mx +m +2，则{f(1)≤0f(2)≤0△＞0，解得：m ≥3．（2）∵M 不为空集，且M ⊆[1，4]，当△＞0 时，则{ f(1)≥0f(4)≥0△＞01≤m ≤4，解得：2≤m ≤187，当△＝0 时，m ＝2也符合题目要求： 综上：2≤m ≤187． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【变式5-2】（2020秋•南阳期中）集合A ＝{x |﹣3≤x ≤7}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}． （1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据B ⊆A 可讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1；B ≠∅时，{m +1≤2m −1m +1≥−32m −1≤7，解出m 的范围即可；（2）根据题意可知A ∩B ＝∅，讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m ＜2；B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，然后解出m 的范围即可． 【解答】解：（1）∵B ⊆A ，∴①B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1≥−32m −1≤7，解得2≤m ≤4，综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，4]；（2）由题意知，A ∩B ＝∅，①B ＝∅时，m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，解得m ＞6， ∴实数m 的取值范围为（﹣∞，2）∪（6，+∞）．【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．【变式5-3】（2020春•荔湾区校级期中）已知不等式x 2﹣（a +1）x +a ≤0的解集为A ．（1）若a ＝2，求集合A ；（2）若集合A 是集合{x |﹣4≤x ≤2}的真子集，求实数a 的取值范围．【分析】（1）代入a 的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）对a 分类讨论，进而可以确定集合A ，再根据集合的子集关系即可求解．【解答】解：（1）由题意，当a ＝2时，不等式x 2﹣（a +1）x +a ≤0，即x 2﹣3x +2≤0，解得1≤x ≤2，所以集合A ＝{x |1≤x ≤2}；（2）设集合B ＝{x |﹣4≤x ≤2}，由x 2﹣（a +1）x +a ≤0，可得（x ﹣1）（x ﹣a ）≤0，当a ＜1时，不等式（x ﹣1）（x ﹣a ）≤0的解集{x |a ≤x ≤1}，由已知A ⊆B 可得a ≥﹣4，所以﹣4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式（x ﹣1）（x ﹣a ）≤0的解集{x |x ＝1}，满足题意；当a ＞1时，不等式（x ﹣1）（x ﹣a ）≤0的解集{x |1≤x ≤a }，由A ⊆B 可得a ≤2，所以1＜a ≤2；综上可得﹣4≤a ≤2，即实数a 的取值范围为[﹣4，2]．【点评】本题考查了求解一元二次不等式以及子集的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．【题型6 集合间关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•沭阳县期中）已知非空集合A ，若对于任意x ∈A ，都有4x ∈A ，则称集合A 具有“反射性”．则在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为 ．【分析】利用列举法能求出在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数．【解答】解：在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合有：{1，4}，{2}，{1，2，4}，∴在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为3．故答案为：3．【点评】本题考查集合的子集中具有“反射性”的集合个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式6-1】（2020秋•山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax 2＝2，a ≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为 ．【分析】讨论a ＝0和a ＞0，求得集合B ，再由新定义，得到a 的方程，即可解得a 的值．【解答】解：集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax 2＝2，a ≥0}，若a ＝0，则B ＝∅，即有B ⊆A ；若a ＞0，可得B ＝{−√2a ，√2a }，不满足B ⊆A ；若A ，B 两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得√2a =2或−√2a =−1，解得a =12或a ＝2． 综上可得，a ＝0或12或2； 故答案为：{0，12，2}． 【点评】本题考查集合的运算以及包含关系，考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•南昌县校级月考）若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{﹣1，0，12，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．31 【分析】由定义求出集合A 中的元素可为﹣1，2与12必然同时出现，然后利用n 集合的非空子集个数为2n ﹣1．【解答】解：∵﹣1∈A ，1−1=−1 2∈A 则12∈A 12∈A 则2∈A∴A ＝{﹣1}或A ＝{2，12}或A ＝{﹣1，2，12}故选：B ．【点评】本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．【变式6-3】（2021春•如皋市校级月考）对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当{x =2m ，m ∈N ∗y =2n ，n ∈N ∗或{x =2m −1，m ∈N ∗y =2n −1，n ∈N ∗时，x ◎y ＝x +y ；②当{x =2m ，m ∈N ∗y =2n −1，n ∈N ∗时，x ◎y ＝xy ．则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是（ ）A ．214个B ．213个C ．211个D ．27个【分析】利用列举法分别针对两种情况列出A 中对应的元素即可求解．【解答】解：①若x ，y 同为奇数或偶数时；∵x ◎y ＝x +y ＝10，∴同时为偶数时：（2，8），（4，6），（6，4），（8，2）；同时为奇数时：（1，9），（3，7），（5，5），（7，3），（9，1）；②当x 为偶数，y 为奇数时；∵x ◎y ＝xy ．∴（2，5），（10，1）∴综上所诉：集合A 中共含有11个元素，故其子集个数为：211个．故选：C ．【点评】本题考查了集合子集的个数问题，考查学生的分析能力，属于基础题．。

高一数学1.2集合间的基本关系
集合是数学中一个基本的概念，它是将一组具有共同特征的元素组合在一起。

在高一数学中，集合间的基本关系是学习集合论的基础知识之一。

一、子集
子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，记作A⊆BA \subseteq BA⊆B。

例如，集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4,5}的子集。

二、真子集
真子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素，并且不是相等关系，记作A⊆BA \subset BA⊆B。

例如，集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4,5}的真子集。

三、并集
并集是指两个集合中的所有元素组成的集合，记作A∪BA \cup BA∪B。

例如，集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是{1,2,3,4,5}。

四、交集
交集是指两个集合中共有的元素组成的集合，记作A∩BA \cap BA∩B。

例如，集合{1,2,3}和{3,4,5}的交集是{3}。

五、补集
补集是指一个集合在全集中不属于这个集合的元素组成的集合，记作CA∁UC_A \complement_UCA∁U。

例如，集合{1,2,3}在全集{1,2,3,4,5}中的补集是{4,5}。

这些基本关系是学习集合论的基础知识之一，也是高一数学中的重要内容之一。

通过掌握这些基本关系，我们可以更好地理解和应用集合论的概念和性质。

1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点)2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。

1、逻辑推理2、直观想象3、数形结合【自主学习】一. 子集的相关概念1．Venn图表示：在数学中，经常用平面上___ ___ 的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．优点：形象直观。

2.子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A B(或B A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素_________，就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的元素都是集合B的元素，同时集合B的元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A B3.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么.二. 空集定义的集合叫做空集符号用符号表示为___规定空集是任何集合的，是任何非空集合的________A【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集．()2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}⊆A C．⊆⊆A D．{0}⊆A【经典例题】题型一集合间关系的判断点拨：判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．例1 下列各式中，正确的个数是()⊆{0}⊆{0,1,2}；⊆{0,1,2}⊆{2,1,0}；⊆⊆⊆{0,1,2}；⊆⊆＝{0}；⊆{0,1}＝{(0,1)}；⊆0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【跟踪训练】1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是()A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ⊆T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．题型二子集、真子集的个数问题点拨：公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集.(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集.(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集.例2 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2-变式写出集合{a,b,c}的所有子集? 写出集合{a,b,c,d}的所有子集?【跟踪训练】2 满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是()A．2B．6 C．7D．8题型三根据集合的包含关系求参数点拨：1.分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．2.借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3.此类问题要注意对空集的讨论．例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．【跟踪训练】3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．【当堂达标】1.下列说法：⊆空集没有子集；⊆任何集合至少有两个子集；⊆空集是任何集合的真子集；⊆若⊆A，则A≠⊆.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2 B．4 C．6 D．83.设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤34.已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．5.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C.6.已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【课堂小结】1.知识点：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断.(2)求子集、真子集的个数问题.(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点.【参考答案】【自主学习】一．1.封闭曲线内部2.任意一个 ⊆⊇ x ∈B ，且x ∉A 任何一个 任何一个 ＝3.子集 A ⊆C二．不含任何元素 ∅ 子集 真子集 【小试牛刀】1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×2. D 解析：集合A ＝{x |－1－x <0}＝{x |x >－1}，所以0∈A ，{0}⊆A ，D 正确． 【经典例题】例1 B 解析：(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.【跟踪训练】1 (1)A 解析：因为M ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，又T ＝{－1,0,1}，所以M T . (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn 图．如图例2 解：集合{a,b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}. 真子集为∅，{a}，{b}.例2-变式：集合{a,b,c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}. 集合{a,b,c,d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}， {b,d}，{c,d}，{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}，{a,b,c,d}.【跟踪训练】2 C 解析：由题意知，集合A 可以为{a ，b }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }，{a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }．例3 解：(1)因为B ⊆A ，当B ＝⊆时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠⊆时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.【跟踪训练】3 解：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝15时， 由ax －1＝0得x ＝5.所以B ＝{5}，所以BA .(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a ＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15.综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15 【当堂达标】1.B 解析：⊆空集是它本身的子集；⊆空集只有一个子集；⊆空集不是它本身的真子集；⊆空集是任何非空集合的真子集．因此，⊆⊆⊆错误，⊆正确．2.B 解析：根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．3.B 解析：因为A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，A ⊆B ，将集合A ，B 表示在数轴上，如图所示，所以m ≥3.4.A B解析：A ＝{x |x －3>0}＝{x |x >3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥52. 结合数轴知A B .5.解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2. 所以A ＝{1,2}．因为B ⊆A ，所以对B 分类讨论如下：①若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0； ②若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}． 当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2； 当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}． 6.解：(1)因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1.当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足B ⊆A ，故m ＝1. (2)当B ＝⊆时，只需2a >a ＋3，即a >3； 当B ≠⊆时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎨⎧ a ＋3≥2a a ＋3<－1或⎩⎨⎧a ＋3≥2a 2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.。

新教材必修第一册1.2：集合间的基本关系课标解读：1.子集的含义.（理解）2.真子集的含义.（理解）3.集合相等的含义.（理解）4.空集的含义.（理解）5.Veen图.（了解）学习指导：1.准确理解子集的概念，把握子集与真子集之间的关系.2.注意灵活运用集合的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言）分析解决有关问题.3.谨防掉进“空集”陷阱.4.本节难点是对相似概念及符号的理解，例如：区别元素与集合，属于与包含等概念及其符号表示.知识导图：教材全解知识点1：Veen图在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Veen图.例1-1：用Veen图表示集合之间的关系：}xxB=，是平行四边形xA=x|{|}{是菱形，xxD=是矩形xC=x}|}.，{|{是正方形答案：知识点2：子集例2-2：给出下列说法：①任意集合必有子集；②若集合BA⊆，则A中元素的个数一定少于集合B中的元素个数；③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，集合C是集合D的子集，则集合A是集合D的子集；④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B，则集合B是集合A的子集，其中正确的是（）A. ②③B.①③④C.①③D.①②④ 答案：B例2-3：设集合}1,1{},,3,1{2+-==a a B a A ，且A B ⊆，则a 的值为 . 答案：-1或2知识点3：集合的相等一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A=B.也就是说，若B A ⊆且A B ⊆，则A=B.例3-4：集合},12|{Z n n x x X ∈+==，},14|{z k k y y Y ∈±==，试证明Y X =. 答案：（1）设X x ∈0，则,1200+=n x 且.0Z n ∈①若0n 是偶数，可设Z m m n ∈=,20，则Z m m x ∈+=,140，∴Y x ∈0②若0n 是奇数，可设Z m m n ∈-=,120，则Z m m m x ∈-=+-=,141)12(20，∴Y x ∈0 ∴不论0n 是奇数还是偶数，都有Y x ∈0. ∴Y X ⊆. （2）设Y y ∈0，则.,141400000Z k k y k y ∈-=+=，或∵Z k k k y k k y ∈+-⋅=-=+⋅=+=00000001)12(21412214，，或， ,12,200Z k Z k ∈-∈ ∴X y ∈0，则X Y ⊆ 由（1）（2）得，Y X =. 知识点4：真子集例4-5：在“新冠肺炎”疫情期间，某社区男、女党员自发组成自愿者队伍，参加社区防疫工作.若集合A={参与防疫工作的志愿者}，集合B={参与防疫工作的男党员}，集合C={参与防疫工作的女党员}，则下列关系正确的是（ ） A. B A ⊆ B. C B ⊆ C.A C ⊄ D.B ⫋A 答案：D例4-6：指出下列各组集合之间的关系： （1）)};1,1(),1,1(),1,1(),1,1{(},1,1{----=-=B A （2）}6,3,2{=A ，B=}12|{的约数是x x ；（3）}|{}|{是等腰三角形，是等边三角形x x B x x A ==； （4）},12|{+∈-==N n n x x M ，},12|{+∈+==N n n x x N .答案：（1）A 与B 无包含关系；（2）A ⫋B ；（3）A ⫋B ；（4）N ⫋M .知识点5：空集 1.空集的定义一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2.空集的性质（1）空集是任何集合的子集；（2）空集的任何非空集合的真子集，即∅⫋A （A 为非空集合）. 由上述性质可知空集只有一个子集，即它本身. 辨析明理：∅、0、{0}、{ ∅}之间的关系：例5-7：下面四个集合中，表示空集的是（ ）. A. {0} B.},01|{2R x x x ∈=+ C.},01|{2R x x x ∈>- D.},,0|),{(22R y R x y x y x ∈∈=+ 答案：B例5-8:若集合==+-=}02|{2m x x x A ∅，则实数m 的取值范围是（ ） A.1-<m B.1<m C.1>m D.1≥m 答案：C知识点6：有限集合的子集个数 对于集合A 的子集我们有如下结论： 集合AA的所有子集子集个数 真子集个数 非空真子集个数}{a ∅,}{a 122= 1 0 },{b a ∅,}{a ,}{b ,},{b a 224=3 2 },,{c b a∅,}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a ,},{c b ,},,{c b a328=76猜想：A=},...,,{21n a a a n 2 12-n 22-n例6-9：已知集合},,01234|),{(++∈∈<-+=N y N x y x y x A ，则集合A 的子集个数为（ ）.A.3B.4C.7D.8 答案：D例6-10：已知集合M 满足}2,1{⫋M }5,4,3,2,1{⊆，则有满足条件的集合M 的个数是（ ）.A.6B.7C.8D.9 答案：B知识点7：集合的图示法 1.Veen 图（1）用Veen 图表示集合间基本关系，如图所示：（2）用Veen图表示集合之间的关系：A⫋B⫋C可表示为如图：2.数轴法对于由连续实数组成的集合，通常用数轴表示，这也属于集合表示的图示法.在数轴上，若端点值是集合中元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示.集合}3<-xx≤xx与用数轴分别表示如图：{{≥}5|1|例7-11：图中反映的是“文学作品”、“散文”、“小说”、“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请在下面的空格上填入适当的内容：A为；B为；C为；D为 .答案：{小说} {文学作品} {叙述散文} {散文}例7-12：已知集合A=}2{<≤-xx，则集合A与B的关系是 .|2{-≥x|x，集合B=}8答案：B⫋A题型与方法例13：指出下列各组集合之间的关系： （1）}.50|{},51|{<<=<<-=x x B x x A （2）}.,4|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==（3）}.,2)1(1|{},0|{2Z n x x B x x x A n∈-+===-= （4）}.0,00,0|),{(},0|),{(<<>>=>=y x y x y x B xy y x A 或 （5）}.,54|),{(},,1|{22++∈+-==∈+==N a a a x y x B N a a x x A答案：（1）B ⫋A ；（2）B ⫋A ；（3）A=B ；（4）A=B ；（5）B A ⊆；（6）A ⫋B.例14：已知集合}|{},3,2,1{A x x Y A ⊆==，则下列结论错误的是（ ） A.Y ⊆}1{ B.Y A ∈ C.∅Y ⊆ D.{∅}⫋Y 答案：A变式训练：已知集合},612|{},312|{},,61|{Z c c x x C Z b b x x B Z a a x x A ∈+==∈-==∈+==，，则A ，B ，C 满足的关系是（ ）A. A=B ⫋CB. A ⫋B=CC. A ⫋B ⫋CD.B ⫋C ⫋A 答案：B题型2：确定集合的子集、真子集例15：设}0)45)(16(|{22=++-=x x x x A ，写出集合A 的子集，并指出其中哪些是它的真子集.答案：集合A 的子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}、{-4、-1、4}，集合A 的真子集为：∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}.例16：已知集合A={1,3,5},则集合A 的所有非空子集的元素之和为 . 答案：36变式训练：已知集合A=}065|{},033|{22=+-∈==++∈x x R x B x x R x ，A P ⊆⫋B ，求满足条件的集合P. 答案：∅或{2}或{3}例17：已知}012|{},082|{222=-++∈==+-∈=a ax x R x B x x R x A ，若A=B ，则实数a 的取值范围为 . 答案：}44|{>-<a a a 或例18：已知集合}.121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A （1）若B ⫋A ，求实数m 的取值范围； （2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（1）}.3|{≤m m （2）不存在m 使得B A ⊆.变式训练：已知}|{},31|{a x x B x x A <=<<-=，若B A ⊄，则实数a 的取值范围是（ ）. A.}3|{<a a B.}3|{≤a a C.}1|{->a a D.}1|{-≥a a 答案：A例19：已知集合},|{},,12|{},1,1|{2A x x z z C A x x y y B R a a a x x A ∈==∈-==∈->≤≤-=且，是否存在实数a 使得B C ⊆？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 答案：当1=a 时，B C ⊆易错题型易错1：混淆属于关系和包含关系例20：已知集合A={0,1}，B=}|{A x x ⊆，则下列关于集合A 与B 的关系正确的是（ ） A.A B ⊆ B.A ⫋B C.B ⫋A D.B A ∈ 答案D易错2：忽略对参数的讨论例21：已知集合},0)1(|{},0|{22=--===x a x x F x x E 判断集合E 和F 的关系. 答案：①当1=a 时，E=F ；②当1≠a 时，E ⫋F.易错3：忽略空集例22：已知集合A={-1,1},B=A B ax x x ⊆+=若},1|{,则实数a 的所有可能取值组成的集合为（ ）.A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1} 答案：D易错4：利用数轴求参数范围时，忽略端点值是否能取到例23：已知集合},31|{},54|{R a a x a x B x x x A ∈+≤≤+=-<≥=或，若A B ⊆，则a 的取值范围为 .答案：}38|{≥-<a a a 或创新升级例24：已知非空集合21A A ，是集合A 的子集，若同时满足两个条件：（1）若21A a A a ∉∈，则；（2）若12A a A a ∉∈，则，则称),(21A A 是集合A 的“互斥子集”，并规定),(21A A 与),(12A A 为不同的“互斥子集组”，则集合A={1，2，3，4}的不同“互斥子集组”的个数是 . 答案：50组感知高考考向1：集合间关系判定及应用例25：已知集合A={1,2,3}，B={2,3}，则（ ）A.A=BB.A B ∈C.A ⫋BD.B ⫋A答案：D例26：已知集合A=},1{a ，B={1，2，3}，那么（ ）.A.若3=a ，则B A ⊆B.若B A ⊆，则3=aC.若3=a ，则B A ⊄D.若B A ⊆，则2=a 答案：C 考向2 ：子集的个数 例27:已知集合A=},023|{2R x x x x ∈=+-，B=},50|{N x x x ∈<<，则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4答案:D基础巩固：1.已知下列四个命题：①；则且若C A C B B A ⊆⊆⊆,②且若B A ⊆B ⫋C ，则A ⫋C ；③若A ⫋B 且B ⊆C ，则A ⫋C ；④若A ⫋B 且B ⫋C ，则A ⫋C.其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42.满足M a ⊆}{⫋},,,{d c b a 的集合M 共有（ ）A.6个B. 7个C. 8个D.15个3.已知集合U=R ，则正确表示集合U ，M={-1,0,1},N=}0|{2=+x x x 之间的Veen 图是（）.4.集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则（ ）A.N M =B.N ⫋MC.M ⫋ND.M 与N 没有相同的元素5.设结合A={-1,1}，集合B=},1|{R a ax x ∈=，则使得A B ⊆的a 的所有取值构成的集合是 .6.已知7.已知集合A=}.52|{≤≤-x x（1）若}126{-≤≤-=⊆m x m B B A ，，求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得A=B ，}126{-≤≤-=m x m B ？若存在，求出实数m 的范围；若不存在，请说明理由.综合提升：8.集合A=},,1{y x ，B=}2,,1{2y x ，若A=B ，则实数x 的取值集合为（ ） A.{21} B.{2121-，} C.{210，} D.{21210-，，}9.下列四个结合中，是空集的是（ ）A.}33|{=+x xB.},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C.}0|{2≤x xD.},01|{2R x x x x ∈=+-10.集合},54|{2R a a a x x A ∈+-==，},344|{2R b b b y y B ∈++==，则下列关系正确的是（ ）. A. A=B B.B ⫋A C.A B ⊆ D.A B ⊄11.同时满足①}5,4,3,2,1{⊆M ，②M a M a ∈-∈6,且的非空集合M 的个数为（ ）A. 16B.15C. 7D. 612.若一个集合中含有n 个元素，则称该元素集合为“n 元集合”，已知集合}4,3,21,2{-=A ，则其“2元子集”的个数为（ ）A. 6B. 8C. 9D. 1013.设集合A=}023|{2=+-x x x ，集合B=},04|{2为常数a a x x x =+-，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 .14.已知集合A=}40|{≤<∈x Z x ，若A M ⊆，且M 中至少有一个偶数，则这样的集合M 的个数为 .15.若规定E=},...,,{1021a a a 的子集},...,,{21ni i i a a a 为E 的第k 个子集，其中1112...2221---+++=ni i i k ，则：（1）},{31a a 是E 的第 个子集；（2）E 的第211个子集为 .16.已知三个集合}02|{}01|{},023|{222=+-==-+-==+-=bx x x C a ax x x B x x x A ，，同时满足B ⫋A ，C ⊆A 的实数b a ,是否存在？若存在，求出b a ,的所有值；若不存在，请说明理由.参考答案1. D2. B3. B4. C5. {-1,0,1}6. }41|{≤a a7. （1）}43|{≤≤m m ；（2）不存在.8. A9. D10.B11.C12.A13.}4|{≥a a14. 1215.（1）5；（2）},,,,{87521a a a a a .16.存在2222,23,2<<-===b a b a 或满足要求.。

高中数学集合的基本关系
高中数学中，我们学习了集合的基本关系，它们是描述集合之间相互关系的重要工具。

以下是一些常见的基本关系：
1. 子集关系：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。

如果A不等于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

2. 空集关系：对于任意集合A来说，空集∅是任意集合的一个子集。

3. 相等关系：如果两个集合A和B的元素完全相同，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，记作A=B。

4. 交集关系：对于给定的两个集合A和B，它们的交集是一个新的集合，包含同属于
A和B的所有元素，记作A∩B。

5. 并集关系：对于给定的两个集合A和B，它们的并集是一个新的集合，包含所有属于A或者属于B的元素，记作A∪B。

6. 互补关系：对于给定的两个集合A和B，如果A∩B=∅，即A和B没有共同元素，则称A和B互补。

这些基本关系在高中数学中经常用到，它们帮助我们描述和操作不同集合之间的关系。

注意，这些关系的具体性质和定理可以在相应的教科书和课堂讲义中找到。

集合2 集合间的基本关系基本概念一、子集、真子集、集合相等已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集. 三、空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 注：元素与集合的关系“∈”，集合与集合的关系“⊆” 相关练习题型一 包含关系、子集和真子集 一、选择题1. 下列四个命题：① ；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的是 A. 个B. 个C. 个D. 个2. 有下列四个关系式：① ；② ；③ ；④ .其中正确的有A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④3. 如果集合 ，那么：① ；② ；③ ；④ ；⑤其中正确的个数为A. B. C. D.4. 集合，，之间的关系是A. B. C. D.5. 设集合，，则A. B.C. D. 与的关系不确定6. 设，，则下列关系正确的是 ( )A. B.C. D. 与没有公共元素7. 若集合，，满足，，则与之间的关系为A. B. C. D.8. 已知集合，，若，则A. B. C. 或 D. 或9. 设集合，若，则m= ( )A. 3B. 2C. -2D. -310. 集合，，若，且，则的取值为A. B. C. 或 D. 或11. 已知集合，，若，则实数的取值范围是A. B.C. D.12. 已知集合，则能使成立的实数的范围是 ( )A. B.C. D.二、填空题13. 已知集合，集合，若则实数．14. 若集合，，若，则的值．15. 已知集合，或，若，则的取值范围为．16. 集合，．若且为非空集合，则实数的取值范围是．三、解答题17. 设，，若，求实数的取值范围．18.已知集合，，若，求实数的取值范围．19.已知集合，，且，求实数的值组成的集合．20.已知集合，，若，求实数的取值范围．21.已知，，，求的取值范围．22.设集合，，若，求实数的值．题型二集合相等、元素的个数一、选择题1. 下列选项中的与相等的是A. ，B. ，C. ，D. ，2. 下列各组两个集合和，表示同一集合的是 ( )A.B.C.D.3. 下列命题正确的个数为 ( )① ，，则；② ；③；④ ．A. B. C. D.4. 下列结论正确的个数为 ( )①集合，集合是的正因数，与是同一个集合；②集合与集合是同一个集合；③由，，，，这些数组成的集合有个元素；④集合是指第二和第四象限内的点集．A. B. C. D.5. 满足条件的集合的个数是A. B. C. D.6. 已知集合，且中至少有一个奇数，则这样的集合共有A. 个B. 个C. 个D. 个7. 若集合，且中至少含有一个奇数，则这样的集合有A. 个B. 个C. 个D. 个8. 已知集合，集合，若，则A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（共4小题；共20分）9. 已知，，若，则．10. 若集合含有两个元素，，集合含有两个元素，，且，相等，则．11. 若，则，，．12. 已知，，且，则，，．题型三空集一、选择题1. 下列四个集合中，是空集的是A. B. 且C. D.2. 下列集合中，是空集的是A.B.C.D.3. 下列集合中为空集的是 ( )A. B.C. D.4. 若非空数集，，则能使成立的所有的集合是 ( )A. B.C. D.二、解答题5. 已知集合．Ⅰ若是空集，求的取值范围；Ⅱ若中只有一个元素，求的值；Ⅲ若中至多有一个元素，求的取值范围．6. 已知集合，，且，求实数的值组成的集合．题型一答案1. B2. A3. A4. C5. B6. B7. D8. C9. D 10. B 11. C 12. B13. 14. = 15. 或 16.17. 或．18. 因为，且，所以① 当时，，可得，所以；② 当时，，解得，此时符合，所以；③ 当时，，解得，此时不符合，舍去；④ 当时，由根与系数的关系得此时无解．综上，，即的取值范围为．19. ，若，；若，，由得，或．解得或，因此实数的值组成的集合是：．20. 因为，当时，即，得，满足．当时，要使，必须解得综上所述，的取值范围为．21. 当，即时，，满足，即；当，即时，，满足，即；当，即时，由得，即；所以．22. ．因为，所以或．（1）当时，即，则，是方程的两根，代入解得．（2）当时，分两种情况：① 若，则，解得；② 若，则方程有两个相等的实数根，所以，解得，此时，满足条件．综上可知，所求实数的值为或．题型二答案1. C2. C3. B4. A5. C6. D7. D8. C9. 10. 11. ；； 12. ；；题型三答案1. B2. D3. C4. B5. （1）是空集，方程无实数根，，且，解得．即的取值范围为．（2）中只有一个元素，方程只有一个实数根．若，方程为，解得，此时；若，则，即，解得．或．（3）中至多有一个元素包含中只有一个元素和是空集两种情况，由（1）（2）可知的取值范围为或．6. ，若，；若，，由得，或．解得或，因此实数的值组成的集合是：．。

第2讲 集合间的基本关系你能发现下面这两个集合之间的关系么？{}1,2,3,A =，{}1,2,3,4,5B =1. 子集：一般地，对于两个集合,A B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 是集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（反面：⊆/与⊇/）我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图（如下图所示）:2. 集合相等：如果集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 和集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 真子集：若集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⫋B （或B ⫋A ），读作“A 真包含于B ”（或“B 真包含A ”）.4. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.例1. 用适当的符号填空：①0 {}0,1； ②∅ {}210x R x ∈+= ； ③{}1,8- Z ； ④{}0,2 {}22x x x = ；⑤0 ∅； ⑥N + {}x x 是正数 ； ⑦∅ {}1； ⑧{}1,2 {}2,1.【答案】①∈；②=；③⊆；④=；⑤∉；⑥⊆；⑦⊆；⑧=.【解析】元素与集合间的关系分为“属于∈”与“不属于∉”两种，集合间的关系分为“包含于⊆”与“相等=”两种.例2. 下列表述正确的是（ ）A.{}0∅=B.{}0∅⊆C.{}0∅∈D.{}0∅⊇【答案】B【解析】空集是任何集合的子集，所以A 、D 错误，B 正确；集合之间不存在“属于∈”关系，C 错误.例3. 写出下列集合的所有子集：（1）{}1A =；（2）{}1,2B =；（3）{}1,2,3C =；（4）{}1,2,3,4D =.【答案】（1）{},1∅；（2）{}{}{},1,2,1,2∅；（3）{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3∅；（4）{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4,1,2,3,4∅结论：若一个集合包含n 个元素，则其子集数为 个，其真子集数为 个.【答案】2,21n n -.例4. 已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4,5M ⊆⊆，写出集合M 的所有可能情况.【答案】{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,2,3,4,5.例5.(1) 已知集合{}1,2A =，{}B x x A =∈，试用列举法写出集合B ，并指出A 与B 的关系；(2) 已知集合{}1,2A =，{}B x x A =⊆，试用列举法写出集合B ，并指出∅与B ，A 与B 的关系.【答案】（1）{}1,2B =，A B =；（2）{}{}{}{},1,2,1,2B =∅，B ∅∈且B ∅⊆，A B ∈.【解析】（1）由于B 中的元素x 都是A 中的元素，所以{}1,2,3B =，A B =；（2）由于B 中的元素是x 且x A ⊆，所以B 中的元素是集合，并且是A 的子集，所以{}{}{}{},1,2,1,2B =∅.B ∅∈，因为∅是B 中的元素；同时B ∅⊆，因为空集是任何集合的子集.A 是B 中的元素，所以A B ∈.例6.(1) 若集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，B 是A 的真子集，求m 的值. （2）设集合{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）11023m =-或或；（2）{}11a a a ≤-=或. 【解析】（1）{}{}2603,2A x x x =+-==-， B ⫋A ，10mx ∴+=的解为3-或2或无解.当10mx +=的解为3-时，由()310m ⋅-+=得13m =； 当10mx +=的解为2时，由210m ⋅+=得12m =-； 当10mx +=无解时，0m =. 综上所述，11023m =-或或； （2）{}{}2404,0A x x x =+==-，B A ⊆，B A ∴=或B ⫋A .当B A =，即{}4,0B =-时，则4-，0是方程()222110x a x a +++-=的两根，由韦达定理得()24021401a a ⎧-+=-+⎪⎨-⨯=-⎪⎩，解得1a =； 当B ⫋A 时，分两种情况：①若B =∅，则()()2241410a a ∆=+--<，解得1a <-； ②若B ≠∅，则方程()222110x a x a +++-=有两个相等的实数根，()()2241410a a ∴∆=+--=，解得1a =-，此时{}{}200B x x ===，满足题意. 综上所述，a 的取值范围为{}11a a a ≤-=或.例7.(1) 己知集合{}15A x x =-<≤，{}51B x m x m =-<≤+，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为________.(2) 已知集合{}15A x x =-<≤，{}523x m x m -<≤+，且A B ⊆，则实数m 的取值范围为__________.(3) 已知集合{}15A x x =-<≤，{}523B x m x m =-<≤+，且A B ⊇，则实数m 的取值范围为__________.【答案】（1）{}4；（2）{}14m m ≤≤；（3）{}8m m ≤-.【解析】（1）由已知条件得5115m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4m =，所以m 的取值范围为{}4； （2）由已知条件得51235m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得14m ≤≤，所以m 的取值范围为{}14m m ≤≤； （3）{}15A x x =-<≤，{}523B x m x m =-<≤+，且A B ⊇，∴当B =∅时，523m m -≥+，解得8m ≤-；当B ≠∅时，52351235m m m m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩无解； 综上所述，m 的取值范围为{}8m m ≤-.跟踪训练1. 已知集合{}12A x a x a =-≤≤+，{}35B x x =<<，则使A B ⊇成立的实数a 的取值范围为（ ） A.{}34a a <≤ B.{}34a x ≤≤ C.{}34a a << D.∅【答案】C【解析】由已知条件得1325a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得34m ≤≤，故选C.2. 对于集合,A B ，“A B ⊆”不成立的含义是（ ）A.B 是A 的子集B.A 中的元素都不是B 的元素C.A 中最少有一个元素不属于BD.B 中至少有一个元素不属于A【答案】C 【解析】“A B ⊆”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素，∴不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B .3. 若集合{}2320A x ax x =-+=中只有一个元素，则实数a =（ ） A.92 B.98 C.0 D.0或98【答案】D【解析】依题意方程2320ax x -+=只有一个解，当0a =时，方程为320x -+=，只有一个解23x =，满足题意； 当0a ≠时，则980a ∆=-=，98a =. 综上所述，908a =或，故选D.4. 集合{}26,,A x x y x N y N ==-+∈∈的真子集个数为__________. 【答案】7 【解析】{}{}26,,6,5,2A x x y x N y N ==-+∈∈=，所以其真子集个数为7.5. 设集合{}12A x x =≤≤，{}B x x a =≥，若A B ⊆，则实数a 的取值范围__________. 【答案】{}1a a ≤6. 设集合{}1,2,A a =，{}21,B a a =-，若B A ⊆，求实数a 的值. 【答案】1-或0【解析】依题意22a a -=或a ，当22a a -=时，解得1a =-或2；当2a a a -=时，解得0a =或2，{}1,2,A a =，1a ∴≠且2a ≠，1a ∴=-或0.7. 已知集合{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-，若B A ⊆,求实数m 的取值范围. 【答案】{}4m m ≤. 【解析】{}27A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+<<-，且B A ⊆，∴当B =∅时，121m m +≥-，解得2m ≤；当B ≠∅时，12112217m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得24m <≤， 综上所述，m 的取值范围为{}4m m ≤.8. 集合{}21,M x x a a N *==+∈，{}245,P x x a a a N *==-+∈，则下列关系中，正确的是（ ）A.M ⫋PB.P ⫋MC.P M =D.无法确定两者关系 【答案】A【解析】{}{}221,1,1M x x a a N x x a a a Z *==+∈==+≥∈且， {}(){}{}22245,21,1,1P x x a a a N x x a a N x x b b b Z **==-+∈==-+∈==+≥-∈且， 所以M ⫋P ，选A.9. 已知(){}21,A x x n n Z π==+∈，(){}41,B y y k k Z π==±∈，则下列关系中，正确的是（ ）A.A ⫋BB.A B =C.B ⫋AD.无法确定两者关系 【答案】B【解析】若x A ∈，则()21,x n n Z π=+∈，当2,n k k Z =∈时，()41x k B π=+∈；当21,x k k Z =-∈时，()41x k B π=-∈，所以A B ⊆.若x B ∈，则()41,x k k Z π=±∈，当()41x k π=+时，()21,2x n n k Z π=+=∈，所以x A ∈；当()41x k π=-时，()21,21x n n k Z π=+=-∈，所以x A ∈，所以B A ⊆.综上所述，A B =，故选B.10. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.【答案】7【解析】依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，S 不含“孤立元”说明S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9共7个.11. 已知集合{}1,2A =-，{}220B x x ax b =-+=.若B ≠∅且B ⫋A ，试求实数,a b 的值. 【答案】11a b =-⎧⎨=⎩或24a b =⎧⎨=⎩. 【解析】{}1,2A =-，B ≠∅且B ⫋A ，{}1B =-或{}2B =.当{}1B =-时，()()()222401210a b a b ⎧∆=--=⎪⎨--⋅-+=⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩；当{}2B =时，()222402220a b a b ⎧∆=--=⎪⎨-⨯+=⎪⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩. 综上所述，11a b =-⎧⎨=⎩或24a b =⎧⎨=⎩.。

1.2 集合间的基本关系课标要求素养要求理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？提示(1)集合A中的元素都是B的元素.(2)A是B的子集.1.子集的相关概念(1)子集、真子集、集合相等概念都是很重要的概念，一定要认真理解①子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A ，B，如果集合AA B(或B A)中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.②集合相等一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A B，且B A，则A＝B.③真子集的概念如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).(2)空集注意区分与空集有关的符号：，0，{}，{0}一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集2.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A A.(2)对于集合A，B，C：①若A B，且B C，则A C；②若A B，B C，则A C；③若A B，A≠B，则A B.教材拓展补遗『微判断』1.1{1，2，3}.(×)提示“”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系.2.任何集合都有子集和真子集.(×)提示空集只有子集，没有真子集.3.和{}表示的意义相同.(×)提示是不含任何元素的集合，而集合{}中含有一个元素.『微训练』1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}A，则m＝________.解析∵{6}A，∴6m－6＝6，∴m＝2.答案 22.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.解析由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.答案－1，03.若{1，2}B{1，2，4}，则B＝________.解析由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.答案{1，2}或{1，2，4}『微思考』1.A B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？提示A B不能理解为集合A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A ＝，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.2.符号“∈”与“”的区别是什么？提示符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系；而符号“”用于表示集合与集合之间的关系.3.集合A中有n(n∈N*)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？提示①由n个元素组成的集合有2n个子集；②由n个元素组成的集合有(2n－1)个真子集；③由n个元素组成的集合有(2n－1)个非空子集；④由n个元素组成的集合有(2n－2)个非空真子集.题型一集合关系的判断『例1』指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故N M.规律方法判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.『训练1』 (1)集合A ＝{x |(x －3)(x ＋2)＝0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x x －3x ＋2＝0，则A 与B 的关系是( ) A.ABB.A ＝BC.A BD.B A(2)已知集合A ＝{x |x <－2或x >0}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A.A ＝B B.A B C.B AD.AB解析 (1)∵A ＝{－2，3}，B ＝{3}，∴B A .(2)在数轴上分别画出集合A ，B ，如图所示，由数轴知B A .答案 (1)D (2)C题型二 子集、真子集个数问题 通常采用一一列举的办法求解『例2』 (1)集合{a ，b ，c }的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.解析 集合{a ，b ，c }的子集有：，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，其中除{a ，b ，c }外，都是{a ，b ，c }的真子集，共7个. 答案，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c } 7(2)写出满足{3，4}P{0，1，2，3，4}的所有集合P .解 由题意知，集合P 中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P 为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}. 规律方法 1.假设集合A 中含有n 个元素，则有： (1)A 的子集有2n 个；(2)A 的非空子集有(2n －1)个； (3)A 的真子集有(2n －1)个； (4)A 的非空真子集有(2n －2)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.『训练2』 已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集. 解 ∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. ∴A 的子集有：，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}.题型三 由集合间的包含关系求参数 此类题型中空集是常见的“雷区”『例3』 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且BA .求实数m 的取值范围.(2)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x |mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的取值集合. 解 (1)∵B A ，①当B ＝时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. ∴集合A ＝{1，3}.①当B ＝时，此时m ＝0，满足B A .②当B ≠时，则m ≠0，B ＝{x |mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m .∵BA ，∴3m ＝1或3m ＝3，解之得m ＝3或m ＝1.综上可知，所求实数m 的取值集合为{0，1，3}.规律方法 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 (1)注意点：①不能忽视集合为的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.『训练3』 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，集合B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}. (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若BA ，求a 的取值范围.解 (1)若A B ，由图可知a >2.(2)若BA ，由图可知1≤a ≤2.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.2.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，即由x ∈A ，能推出x ∈B ，这是判断AB 的常用方法.(2)不能简单地把“AB ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”，因为若A＝时，则A 中不含任何元素；若A ＝B ，则A 中含有B 中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但xA.二、素养训练1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个解析根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 四个；故选B.答案 B2.已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A.P＝{－3，0，1}B.Q＝{－1，0，1，2}C.R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D.S＝{x||x|≤3，x∈Z}解析集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3M，集合Q中的元素2M，集合R中的元素－3M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S M.故选D.答案 D3.①0∈{0}，②{0}，③{0，1}＝{(0，1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}，上面关系中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析①正确，0是集合{0}的元素；②正确，是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{(0，1)}含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含有一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.答案 B4.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则a的取值范围是()A.{a|a≤2}B.{a|a≤1}C.{a|a≥1}D.{a|a≥2}解析画出数轴可得a≥2.答案 D5.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，试判断集合A，B的关系.解A＝{x|x－7≥2}{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴A B.。

专题02 集合间的基本关系1.子集的相关概念(1)子集、真子集、集合相等概念①子集的概念文字语言符号语言图形语言一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B 中的元素，就称集合A为集合B的子集A⊆B (或B ⊇A)Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.②集合相等一般地，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A ＝B.③真子集的概念如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A).(2)空集注意区分与空集有关的符号：∅，0，{∅}，{0}一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.规定：空集是任何集合的子集.空集是任何非空集合的真子集2.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C：①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C；③若A⊆B，A≠B，则A B.补集的概念注意补集是相对于全集而言的，没有全集补集就不存在(1)全集①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. ②记法：全集通常记作U .(2)补集文字语言 对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }图形语言一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟）已知集合A ，B 相等，A ＝R ，则B ＝（ ）A ．NB ．QC ．RD ．Z 2．（2020·西安市第八十三中学高一月考）满足{}{}11,2,3,4X ⊆⊆的集合X 有（ ）A ．4个B ．6个C ．8个D ．16个3．（2021·重庆八中高三月考）集合11,,,3663n n M x x n Z N x x n Z ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则下列关系正确的是（ ）A ．M N ⊆B ．=M NC ．N M ⊆D ．M N ≠⊂ 4．（2021·湖南高一月考）已知集合{}21,2,2A a =+，{}1,3B a =，若B A ⊆，则a =（ ）A ．1或2B ．2C ．3D ．1或2或235．（2021·首都师范大学附属中学高二期末）已知全集1234{,,,}U a a a a =，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若1a A ∈，则2a A ∈；②若2a A ∈，则3a A ∈；③若3a A ∈，则4a A ∉则集合A =（ ）A ．12{,}a aB ．13{,}a aC ．23{,}a aD ．24{,}a a6．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．{|33}x xB ．2{|0}x x ≤C ．2{|10,}x x x x R -+=∈D ．22{(,)|,,}x y y x x y R =-∈ 7．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知集合{}3,2,1,0,1,2,3M =---，非空集合P 满足：（1）P M ⊆；（2）若x P ∈，则x P -∈，则集合P 的个数是（ ）A ．7B ．8C ．15D ．168．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭9．（2020·上海华师大二附中高一期中）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R 下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集二、填空题10．（2021·上海高一专题练习）已知实数集合{,,1}y A x x=，{||,,0}B x x y =+，若A B =，则55x y -=________．11．（2021·江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）若∅是{}2x x a a R ≤∈，的真子集，则实数a 的取值范围是_________．12．（2020·上海市行知中学高一月考）已知若{|31A x x m =<-或,}x m m R >-∈，{|2B x x =<或4}x ≥，且满足B A ⊆，则m 构成的集合为________；13．（2020·石家庄市第二十七中学高一月考）方程2230x x --=的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是,a b ，则a b +=__________．14．（2021·上海高一专题练习）下面四个说法错误的有________（1）10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} （2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}（3）方程x 2-2x +1=0的解集是{1，1}（4）0与{0}表示同一个集合15．（2021·全国高一单元测试）已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}.若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________.16．（2020·上海高一专题练习）已知A ，B 是两个集合，下列四个命题：①A 不包含于B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B②A 不包含于B ⇔A B =∅③A 不包含于B ⇔A 不包含B④A 不包含于B ⇔存在x ∈A ，x ∉B 其中真命题的序号是______三、解答题17．（2020·全国高一课时练习）（1）已知集合M 满足{1，2}⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M 所有可能情况．（2）已知非空集合M ⊆{1，2，3，4，5}，且当a ∈M 时，有6-a ∈M ，试求M 所有可能的结果．18．（2020·咸阳百灵学校）已知M = {x |－3 ≤ x ≤5}， N = {x | a ≤ x ≤ a +1}，若N M ⊆，求实数a 的取值范围.19．（2020·全国高一课时练习）已知集合A ={x |x 2-9x +14=0}，集合B ={x |ax +2=0}，若B 是A 的真子集，求实数a 的取值集合．20．（2021·全国高一专题练习）设集合{}2=40A x R x x ∈+=，{}22=2(1)10,B x R x a x a a R ∈+++-=∈，若B A ⊆，求实数a 的值．21.（2020·全国高一课时练习）已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈. （1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围22.（2020·上海高一专题练习）已知A ={x |121m x m +≤≤-}，B ={x |25x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．23.（2020·新疆兵团第十师北屯高级中学）（1）已知集合(){}222,133A a a a a =++++,，当1A ∈，求2020a 的值；（2）已知集合{}12019A x x =<<，{}B x x a =<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．24．（2021·江苏高一课时练习）已知集合{}220A x x x a =+-=． （1）若∅是A 的真子集，求a 的范围；（2）若{}20B x x x =+=，且A 是B 的子集，求实数a 的取值范围．。