(新教材2019)集合间的基本关系-子集与真子集、空集及集合个数(原卷版)
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第一章集合与函数的概念第2课时集合间的基本关系【双向目标】能使用利用【课标知识】(),5.,,,则如果集合(或.AA A.D.A≠,=1}-2=0}=基础过关参考答案:3.【解析】因为集合A有且仅有2个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0(a ∈)仅有一个根或两个相等的根.(1)当a=0时,方程为2x=0,此时A={0},符合题意.(2)当a≠0时,由Δ=22-4·a·a=0,即a2=1,∴a=±1.此时A={-1}或A={1},符合题意.∴a=0或a=±1.4.【解析】选A.因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B5. 【解析】(1)(2)(3)∴的取值集合为【能力素养】探究一子集与真子集的求法例1:写出集合{a,b,c}的所有不同的子集【分析】根据子集的含义进行求解【解析】不含任何元素子集为,只含1个元素的子集为{a},{b},{c},含有2个元素的子集有{a,b},{a,c},{b,c},含有3个元素的子集为{a,b,c},即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d,则以上8个子集仍是新集合的子集,再将第4个元素d放入这8个子集中,会得到新的8个子集,即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集,由此可推测,含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.【点评】要写出一个集合的所有子集,我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时,应依次将每个元素考虑完后,再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时,先从a起,a与每个元素搭配有{a,b},{a,c},然后不看a,再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集:和它本身.【变式训练】1.已知,则这样的集合有个.【解析】集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}【答案】7个2.已知集合A={1,2,3},平面内以(x,y)为坐标的点集合B={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y ∈A},则B的子集个数为()A.3 B.4 C.7 D.8【解析】∵集合A={1,2,3},平面内以(x,y)为坐标的点集合B={(x,y)|x∈A,y ∈A,x+y∈A},∴B={(1,1),(1,2),(2,1)}∴B的子集个数为:23=8个.【答案】D探究二集合间的关系例2. 集合,集合,那么间的关系是().A. B. C. = D.以上都不对【分析】根据集合间的关系进行判断.【点评】判断两个集合间的关系的关键在于:弄清两个集合的元素的构成,也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化(如用列举法来表示集合)、形象化(用Venn图,或数形集合表示).【变式训练】1.若集合,则().A. B. C. = D.【解析】因为A,B中的元素显然都是奇数,所以A,B都是由所有奇数构成的集合.故A=B 【答案】C2.设M={x|x=a2+1,a N+},N={x|x=b2-4b+5,b N+},则M与N满足( )A. M=NB. M NC. N MD. M≠ N【解析】当a N+时,元素x=a2+1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b N+时,元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1,其中b-2可以是0,所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数,即M中元素都在N中,但N中至少有一个元素x=1不在M中,即M N,故选B. 【答案】B探究三集合间关系具有的性质例3:已知若M=N,则= .A.-200 B.200 C.-100 D.0【分析】解答本题应从集合的概念、表示及关系入手,本题应侧重考虑集合中元素的互异性.由M=N可知必有x2=|x|,即|x|2=|x|,∴|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0,以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时,M中元素|x|与x相同,破坏了M中元素互异性,故 x≠1当x=-1时,M={-1,1,0},N={0,1,-1}符合题意,综上可知,x=y=-1=-2+2-2+2+…+2=0【答案】0【点评】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征,而找不到题目的突破口.因此,集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点.【变式训练】1.设a,b R,集合,则b-a=( )【答案】22.集合A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},D={y=x2+1}是否表示同一集合?【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x,故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围,即函数的定义域A=;集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y,故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围,即函数的值域B=;集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点(x,y),故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合;集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合,该集合中只有一个元素:方程y=x2+1.【答案】都不相同【课时作业】1.已知全集,则正确表示集合和关系的韦恩(Venn)图是()2.已知集合,,则满足条件的集合C的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.设M={x|x=a2+1,a N+},N={x|x=b2-4b+5,b N+},则M与N满足( )A. M=NB. M NC. N MD. M≠ N4.已知集合A={x|x2-1=0},则有( )A.1∉A B.0⊆A C.∅⊆A D.{0}⊆A5.集合的所有真子集个数为( ).A.3 B. 7 C.15 D.316.同时满足:①M⊆{1,2,3,4,5};②a∈M,则6-a∈M的非空集合M有( )A.6个 B.7个 C.15个 D.16个7.已知集合P={x|x2=1},Q={x|ax=1},若Q⊆P,则a的值是( )A.1 B.-1C.1或-1 D.0,1或-18.设,,若则的取值范围是()AB C D.9.已知集合A={x|1<x-1≤4},B=(-∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.10.用适当的符号填空:(1);(2);(3).11.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B A,则实数m=________.12.设A是非空集合,对于k∈A,如果,那么称集合A为“和谐集”,在集合的所有非空子集中,是和谐集的集合的个数为13.已知A={x|x<3},B={x|x<a}.(1)若B⊆A,求a的取值范围;(2)若A⊆B,求a的取值范围.14.若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|(x-2)(x-a)=0},且N M,求实数a的值.15.已知全集,集合R,;若时,存在集合M使得,求出这样的集合M;1.【解析】由,得,则,选B.【答案】B【答案】D3.【解析】当a N+时,元素x=a2+1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b N+时,元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1,其中b-2可以是0,所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数,即M中元素都在N中,但N中至少有一个元素x=1不在M中,即M N,故选B. 【答案】B4.【解析】由已知,A={1,-1},所以选项A,B,D都错误,因为∅是任何非空集合的真子集,所以C正确.【答案】C5.【解析】,所以,真子集的个数为15个【答案】C6.【解析】a=3时,6-a=3;a=1时,6-a=5;a=2时,6-a=4;a=4时,6-a=2;a=5时,6-a=1,∴非空集合M可能是:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}共7个..故选B【答案】B【答案】510.【解析】(1);(2);(3) .【答案】(1);(2);(3) .11.【解析】,即,当时,,满足【答案】112.【解析】由和谐集的定义知,该集合中可以含有元素-1,1,和3,和2,所以共有和谐集的集合的个数为15个【答案】1513.【解析】(1)因为B⊆A,B是A的子集,由图(1)得a≤3.(1)(2)因为A⊆B,A是B的子集,由图 (2)得a≥3.(2)【答案】(1)a≤3(2)a≥314.【解析】由得或,因此若a=2时,则,此时若a=-3时,则,此时若,则,此时N不是M的子集。
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础.许多重要的数学分支,都是建立在集合理论的基础上.此外,集合理论的应用也变得更加广泛.教学目标【知识与能力目标】1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;2.知道常用数集及其专用记号;3.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性;4.会用集合语言表示有关数学对象;5.培养学生抽象概括的能力.【过程与方法目标】1.让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义.2.让学生归纳整理本节所学知识.【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性,增加学生对数学学习的兴趣.教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法.【教学难点】对待不同问题,表示法的恰当选择.课前准备学生通过预习,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标.教学过程(一)创设情景,揭示课题请分析以下几个实例:1.正整数1,2,3,;2.中国古典四大名著;3.2018足球世界杯参赛队伍;4.《水浒》中梁山108 好汉;5.到线段两端距离相等的点.在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体.(二)研探新知1.集合的有关概念(1)一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).思考:上述5 个实例能否构成集合?如果是集合,那么它的元素分别是什么?练习1:下列指定的对象,是否能构成一个集合?①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体(2)关于集合的元素的特征(a)确定性:设A一个给定的集合,对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素,或者不是集合 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.(b)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.一元素.(c)无序性:集合中的元素是没有顺序关系的,即只要构成两个集合的元素一样,我们称这两个集合是相等的,跟顺序无关.(3)思考1:列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的例子予以讨论、点评,进而讲解下面的问题.答案:(a)把3-11内的每一个偶数作为元数,这些偶数全体就构成一个集合.(b)不能组成集合,因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系;(a)如果a是集合A的元素,就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素,就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如:A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.(a)列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号”。
集合间的基本关系知识点总结一、子集、真子集、集合相等二、空集1、定义:不含任何元素的集合叫做空集,记作φ.2、性质:空集是任何集合的子集.三、子集个数与元素个数的关系设有限集合A 有n (n 属于*N )个元素,则其子集的个数是n 2,真子集的个数是12-n ,非空子集的个数是12-n ,非空真子集的个数是22-n .一、知识辨析1、} 3 ,2 ,1 {1⊆...........................................( )2、φ和{φ}表示的意义相同...............................( )3、} )1 ,0( {} 0 ,1 {} 1 ,0 {==..................................( )4、任何集合都有子集和真子集.............................( )5、若a ∈A ,则}{a ⫋A.....................................( )6、如果集合A B ⊆,那么若元素a 不属于A ,则必不属于B.....( ) 二、选择1、已知集合} | {是菱形x x A =,} | {是正方形x x B =,} | {是平行四边形x x C =,那么A ,B ,C 之间的关系是 ( )A.C B A ⊆⊆B.C A B ⊆⊆C.A ⫋B ⊆CD.C B A ⊆=2、给出下列四个关系式:①R ∈3;②Z ∈Q ;③0∈φ;④φ⊆} 0 {.其中正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.43、能正确表示集合} 20| {≤≤∈=x R x M 和集合} 0x -| {2=∈=x R x N 关系的Venn 图是 ( )A B C D4、已知集合} ,2| {Z k k x x A ∈==,} ,4| {Z k k x x B ∈==,则A 与B 之间的关系是( ) A.A=B B.B ⊇A C.A ⫋B D.B ⫋A5、已知集合} 03| {*<-∈=x N x A ,则满足条件A B ⊆的集合B 的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.86、已知集合} 2 ,1 ,0 {⊆A ,且集合A 中至少含有一个偶数,则这样的集合A 的个数为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.37、集合} , {y x 的子集个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.48、在下列选项中,能正确表示集合} 2 ,0 ,2 {-=A 和集合} 02| {2=+=x x x B 关系的是 ( ) A.A=B B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A =φ 9、集合} 1 ,2 {-=A ,} 1 ,m {2--=m B ,且A=B ,则实数m=( ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.410、已知集合} 0y ,0y |y)(x, {><x x M +=,} 0y ,0|),( {<<x y x P =,那么 ( ) A.P ⫋M B.M ⫋P C.M=P D.M ≠P11、下列四个关系:①} , {} , {a b b a ⊆;②φ=} 0 {;③} 0 {∈φ;④} 0 {0∈.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.412、已知φ⫋} 0x | {2=+-a x x ,则实数a 的取值范围是 ( ) A.41<a B.41≤a C.41≥a D.41>a 13、设集合} 1 1, {-=A ,集合} 02| {2=+-=b ax x x B ,若B ≠φ,A B ⊆,则有序实数对(a,b )不能是( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(0,-1)D.(1,1) 三、填空14、已知集合} 3, 1, {m A -=,} 4 3, {=B ,若A B ⊆,则实数m= .15、已知集合} ,02| {2R a a ax ax x A ∈=++=,若集合A 有且仅有2个子集,则a 的取值构成的集合为 .16、设a ,b ∈R ,集合} ,0 {} 1 , {b a a +=,则a b -= . 四、解决问题17、已知集合} 4 1| {>或<x x x A -=,} 3a 2| {+≤≤=x a x B ,若A B ⊆,求实数a 的取值范围.18、已知} 01)1(3| {22=-+++=a x a x x A ,} 0 {=B ,若B A ⊆,求a 的取值范围.19、若集合} 06| {2=-+=x x x M ,} 0))(2(| {=--=a x x x N ,且M N ⊆,求实数a 的值. 提升题 一、选择题1、下面各选项中,两个集合相等的是 ( )A.} ) 2 ,1 ( {=M ,} ) 1 ,2 ( {=NB.} 2 ,1 {=M ,} ) 2 ,1 ( {=NC.M=φ,} {φ=ND.} 012| {2=+-=x x x M ,} 1 {=N 2、下列关系中正确的是( )A .} 1 ,0 {1∈ B.} 1 ,0 {1∉ C.} 1 ,0 {1⊆ D.} 1 ,0 {} 1 {∉ 3、已知集合} 02| {2<-+∈=x x Z x A ,则集合A 的一个真子集为 ( ) A.} 02| {<<x x - B.} 20| {<<x x C.} 0 { D.} {φ 4、集合} 1 ,0 1, {-=A ,A 的子集中含有元素0的子集共有( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个5、若P M ⊆,Q M ⊆,} 2 1, ,0 {=P ,} 4 2, ,0 {=Q ,则满足上述条件的集合M 的个数是( ) A.1 B.2 C.4 D.86、集合} , 3| {N n x x M n ∈==,集合} , 3| {N n n x x N ∈==,则集合M 与集合N 的关系为( ) A.N M ⊆ B.M N ⊆ C.N M = D.M ⊈N 且N ⊈M7、若A x ∈,A x ∈1,则称A 是伙伴关系集合.集合} 3 ,2 ,31,21 ,0 ,1 {-=M 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A.31 B.7 C.3 D.18、已知集合} , 0| {N y a y y A ∈≤=<,} , 032| {2N x x x x B ∈≤--=,若A ⫋B ,则满足条件的正整数a 所构成集合的子集的个数为( ) A.2 B.4 C .8 D.16 二、填空9、方程0822=--x x 的解集为A ,方程02=-ax 的解集为B ,若A B ⊆,则实数a 的取值集合为 .10、已知集合} 44 ,4 ,3| {-=m y A ,集合} ,3| {2m y B =,若A B ⊆,则实数m= . 三、解决问题11、已知} 52| {≤≤-=x x A ,} 121| {-≤≤+=m x m x B ,A B ⊆,求m 的取值范围.。
专题1.3 集合间的基本关系-重难点题型精讲1.子集的概念2.真子集的概念3.集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么,集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B且B⊆A,则A=B.4.空集的概念【题型1 子集、真子集的概念】【例1】(2020秋•宁县校级月考)对于集合A,B,“A⊆B”不成立的含义是()A.B是A的子集B.A中的元素都不是B的元素C.A中至少有一个元素不属于BD.B中至少有一个元素不属于A【分析】“A⊆B”不成立,是对命题的否定,任何的反面是至少,即可得到结论.【解答】解:∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素,∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B,故选:C.【点评】本题考查集合的包含关系,考查命题的否定,属于基础题.【变式1-1】(2020秋•海淀区期末)已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与B的关系如图所示,则集合B可能是()A.{2,4,5}B.{1,2,5}C.{1,6}D.{1,3}【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系,然后根据选项找符号条件的即可.【解答】解:由图可知B⊆A,而{1,3}⊆{1,2,3}.故选:D.【点评】本题主要考查了集合之间的关系,弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键.【变式1-2】(2020秋•东湖区校级期中)下列各式:①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1,3}⊊{3,4},其中正确的有()A.②B.①②C.①②③D.①③④【分析】根据子集,真子集的定义,以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误,从而找到正确选项.【解答】解:任何集合是它本身的子集,∴①正确;空集是任何非空集合的真子集,∴②正确;0表示元素,应为0∈{0∈},∴③错误;1∉{3,4},∴{1,3}不是{3,4}的真子集,∴④错误;∴正确的为①②.故选:B.【点评】考查任何集合和它本身的关系,空集和任何非空集合的关系,以及元素与集合的关系,真子集的定义.【变式1-3】[多选题]下列命题中,正确的有()A.空集是任何集合的真子集;B.若A⫋B,B⫋C,则A⫋C;C.任何一个集合必有两个或两个以上的真子集;D.如果不属于B的元素也不属于A,则A⊆B【分析】根据集合的相关知识,可以进行判断.【解答】解:空集是不是空集的真子集,A错;真子集具有传递性,B对;空集没有真子集,C错;如果不属于B的元素也不属于A,则A⊆B,D对,故选:BD.【点评】本题考查集合的相关知识,属于基础题. 【题型2 集合的相等与空集】【例2】(2020秋•雨花区校级月考)[多选题]下列选项中的两个集合相等的有( ) A .P ={x |x =2n ,n ∈Z },Q ={x |x =2(n +1),n ∈Z } B .P ={x |x =2n ﹣1,n ∈N *},Q ={x |x =2n +1,n ∈N +}C .P ={x |x 2﹣x =0},Q ={x |x =1+(−1)n2,n ∈Z }D .P ={x |y =x +1},Q ={(x ,y )|y =x +1}【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质,对各个选项逐个判断即可. 【解答】解:选项A :因为集合P ,Q 表示的都是所有偶数组成的集合,所以P =Q ; 选项B :集合P 中的元素是由1,3,5,…,所有正奇数组成的集合,集合Q 是由3,5,7…,所有大于1的正奇数组成的集合,即1∉Q ,所以P ≠Q ;选项C :集合P ={0,1},集合Q 中:当n 为奇数时,x =0,当n 为偶数时,x =1,所以Q ={0,1},则P =Q ;选项D :集合P 表示的是数集,集合Q 表示的是点集,所以P ≠Q ; 综上,选项AC 表示的集合相等, 故选:AC .【点评】本题考查了集合相等的性质,考查了学生对集合的元素的理解,属于基础题.【变式2-1】(2020秋•五华区校级期中)已知集合A ={1,a ,b },B ={a 2,a ,ab },若A =B ,则a 2021+b 2020=( ) A .﹣1B .0C .1D .2【分析】根据集合元素的互异性得到关于a 的方程组{1=ab b =a 2或{1=a 2b =ab ,通过解方程组求得a 、b 的值,则易求a 2021+b 2020的值.【解答】解:由题意得①组{1=ab b =a 2或②{1=a 2b =ab, 由②得a =±1,当a =1时,A ={1,1,b },不符合,舍去; 当a =﹣1时,b =0,A ={1,﹣1,0},B ={﹣1,1,0},符合题意. 由①得a =1,舍去,所以a=﹣1,b=0.∴a2021+b2020=﹣1.故选:A.【点评】本题考查了集合相等的应用,注意要验证集合中元素的互异性,属于基础题.【变式2-2】(2020秋•武邑县校级期末)下列四个集合中,是空集的是()A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=﹣x2,x,y∈R}C.{x|x2≤0}D.{x|x2﹣x+1=0,x∈R}【分析】根据空集的定义,分别对各个选项进行判断即可.【解答】解:根据题意,由于空集中没有任何元素,对于选项A,x=0;对于选项B,(0,0)是集合中的元素;对于选项C,由于x=0成立;对于选项D,方程无解.故选:D.【点评】本题考查了集合的概念,是一道基础题.【变式2-3】(2020春•保定期中)如果A={x|ax2﹣ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围为()A.0<a<4B.0≤a<4C.0<a≤4D.0≤a≤4【分析】由A=∅得不等式ax2﹣ax+1<0的解集是空集,然后利用不等式进行求解.【解答】解:因为A={x|ax2﹣ax+1<0}=∅,所以不等式ax2﹣ax+1<0的解集是空集,当a=0,不等式等价为1<0,无解,所以a=0成立.当a≠0时,要使ax2﹣ax+1<0的解集是空集,则{a>0△=a2−4a≤0,解得0<a≤4.综上实数a的取值范围0≤a≤4.故选:D.【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用,将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键.【题型3 集合间关系的判断】①列举法:用列举法将两个集合表示出来,再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系.②元素特征法:根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断.③图示法:利用数轴或Venn图判断两集合间的关系.【例3】(2021春•江油市校级期末)在下列选项中,能正确表示集合A={﹣2,0,2}和B={x|x2+2x=0}关系的是()A.A=B B.A⊆B C.A⊋B D.A⊊B【分析】先求出集合B,然后利用两个集合之间的关系进行判断即可.【解答】解:解方程x2+2x=0,得x=0或x=﹣2,所以B={﹣2,0},又A={1﹣2,0,2},所以A⊋B.故选:C.【点评】本题考查了集合之间关系的判断,属于基础题.【变式3-1】(2021•市中区校级模拟)设集合P={y|y=x2+1),M={x|y=x2+1},则集合M与集合P的关系是()A.M=P B.P∈M C.M⫋P D.P⫋M【分析】由函数得:P={y|y≥1},M=R,即P⫋M,得解【解答】解:因为y=x2+1≥1,即P={y|y≥1},M={x|y=x2+1}=R,所以P⫋M,故选:D.【点评】本题考查了集合的表示及函数,属简单题.【变式3-2】(2020春•九龙坡区校级期中)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0},集合B={x||x﹣1|≤3},集合C=≤0},则集合A,B,C的关系为(){x|x−4x+5A.B⊆A B.A=B C.C⊆B D.A⊆C【分析】解出不等式,从而得出集合A,B,C,再根据子集的定义判断A,B,C的关系.【解答】解:∵x2﹣2x﹣3≤0,即(x﹣3)(x+1)≤0,∴﹣1≤x≤3,则A=[﹣1,3],又|x﹣1|≤3,即﹣3≤x﹣1≤3,∴﹣2≤x≤4,则B=[﹣2,4],∵x−4x+5≤0⇔{(x −4)(x +5)≤0x +5≠0, ∴﹣5<x ≤4,则C =(﹣5,4], ∴A ⊆C ,B ⊆C , 故选:D .【点评】本题主要考查集合间的基本关系的判断,考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法,属于基础题.【变式3-3】(2020秋•湖北期中)[多选题]集合M ={x |x =2k ﹣1,k ∈Z },P ={y |y =3n +1,n ∈Z },S ={z |z =6m +1,m ∈Z }之间的关系表述正确的有( ) A .S ⊆PB .S ⊆MC .M ⊆SD .P ⊆S【分析】根据题意判断集合M ,P ,S 表示的意义,进行判断. 【解答】解:M ={x |x =2k ﹣1,k ∈Z }表示被2整除余1的数的集合; P ={y |y =3n +1,n ∈Z }表示被3整除余1的数的集合;S ={z |z =6m +1,m ∈Z }={z |z =3×(2m )+1,m ∈Z }={z |z =2×(3m )+1,m ∈Z },表示被6整除余1的集合;故S ⫋P ,S ⫋M .故S ⊆P ,S ⊆M ,正确,即AB 正确. 故选:AB .【点评】本题考查了集合的交集、补集问题,属于基础题. 【题型4 有限集合子集、真子集的确定】【例4】(2020秋•南昌县校级月考)已知集合M ={2,4,8},N ={1,2},P ={x |x =ab,a ∈M ,b ∈N },则集合P 的子集个数为( ) A .4B .6C .16D .63【分析】由集合M ={2,4,8},N ={1,2},P ={x |x =ab ,a ∈M ,b ∈N },求出集合P ,由此能求出集合P 的子集个数.【解答】解:集合M={2,4,8},N={1,2},P={x|x=ab,a∈M,b∈N},∴P={1,2,4,8},∴集合P的子集个数为:24=16.故选:C.【点评】本题考查集合的子集个数的求法,考查子集的定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.【变式4-1】(2020秋•南沙区校级月考)已知集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.4B.8C.7D.16【分析】求出集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1,2},B={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5},由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数.【解答】解:集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1,2},B={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5},∴满足A⊆C⊆B的集合C有:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个.故选:B.【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意子集定义、列举法的合理运用.【变式4-2】(2020秋•临猗县校级月考)已知集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|0<x<6,x∈N},则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为()A.4B.7C.8D.16【分析】求出集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1,2},B={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5},由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数.【解答】解:集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1,2},B={x|0<x<6,x∈N}={1,2,3,4,5},∴满足A⫋C⊆B的集合C有:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个. 故选:B .【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意子集定义、列举法的合理运用.【变式4-3】(2020秋•海曙区校级期中)已知集合A ={x |(a ﹣1)x 2+3x ﹣2=0},若A 的子集个数为2个,则实数a = .【分析】推导出(a ﹣1)x 2+3x ﹣2=0只有一个实数解,当a ﹣1=0时,a =1,(a ﹣1)x 2+3x ﹣2=0即3x ﹣2=0,当a ﹣1≠0时,(a ﹣1)x 2+3x ﹣2=0只有一个实数根,△=9+8(a ﹣1)=0,由此能求出实数a 的值.【解答】解:∵集合A ={x |(a ﹣1)x 2+3x ﹣2=0},且A 的子集个数为2个, ∴(a ﹣1)x 2+3x ﹣2=0只有一个实数解,当a ﹣1=0时,a =1,(a ﹣1)x 2+3x ﹣2=0即3x ﹣2=0,解得x =23, 当a ﹣1≠0时,(a ﹣1)x 2+3x ﹣2=0只有一个实数根, △=9+8(a ﹣1)=0,解得a =−18. ∴实数a 的值为1或−18. 故答案为:1或−18.【点评】本题考查实数值的求法,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 【题型5 利用集合间的关系求参数】【例5】(2020秋•南开区校级月考)设集合A ={x |﹣1≤x +1≤6},B ={x |m ﹣1<x <2m +1},若A ⊇B ,则m 的取值范围是 .【分析】B ⊆A ,则说明B 是A 的子集,然后分m ≤﹣2和m >﹣2两种情况求出m 的取值范围. 【解答】解:∵A ={x |﹣1≤x +1≤6}={x |﹣2≤x ≤5}, 当m ﹣1≥2m +1,即m ≤﹣2时,B =∅满足B ⊆A . 当m ﹣1<2m +1,即m >﹣2时,要使B ⊆A 成立, 需 {m −1≥−22m +1≤5,可得﹣1≤m ≤2,即﹣1≤m ≤2,综上,m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2时有B ⊆A . 故答案为:{m |m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2}.【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的性质的合理运用. 【变式5-1】(2020秋•武汉期中)已知关于x 不等式x 2﹣2mx +m +2≤0(m ∈R )的解集为M . (1)[1,2]⊆M ,求实数m 的取值范围;(2)当M 不为空集,且M ⊆[1,4]时,求实数m 的取值范围.【分析】(1)由题意得到关于m 的不等式组,求解不等式组确定实数m 的取值范围即可; (2)由题意分类讨论即可求得实数m 的取值范围.【解答】解:(1)由题意[1,2]⊆M 可知,令 f (x )=x 2﹣2mx +m +2,则{f(1)≤0f(2)≤0△>0,解得:m ≥3.(2)∵M 不为空集,且M ⊆[1,4],当△>0 时,则{ f(1)≥0f(4)≥0△>01≤m ≤4,解得:2≤m ≤187,当△=0 时,m =2也符合题目要求: 综上:2≤m ≤187. 【点评】本题主要考查集合的包含关系,分类讨论的数学思想,二次方程根的分布等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【变式5-2】(2020秋•南阳期中)集合A ={x |﹣3≤x ≤7},B ={x |m +1≤x ≤2m ﹣1}. (1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.【分析】(1)根据B ⊆A 可讨论B 是否为空集:B =∅时,m +1>2m ﹣1;B ≠∅时,{m +1≤2m −1m +1≥−32m −1≤7,解出m 的范围即可;(2)根据题意可知A ∩B =∅,讨论B 是否为空集:B =∅时,m <2;B ≠∅时,{m ≥2m +1>7或{m ≥22m −1<−3,然后解出m 的范围即可. 【解答】解:(1)∵B ⊆A ,∴①B =∅时,m +1>2m ﹣1,解得m <2;②B ≠∅时,{m ≥2m +1≥−32m −1≤7,解得2≤m ≤4,综上,实数m 的取值范围为(﹣∞,4];(2)由题意知,A ∩B =∅,①B =∅时,m <2;②B ≠∅时,{m ≥2m +1>7或{m ≥22m −1<−3,解得m >6, ∴实数m 的取值范围为(﹣∞,2)∪(6,+∞).【点评】本题考查了描述法的定义,子集的定义,空集的定义,分类讨论的思想,考查了计算能力,属于基础题.【变式5-3】(2020春•荔湾区校级期中)已知不等式x 2﹣(a +1)x +a ≤0的解集为A .(1)若a =2,求集合A ;(2)若集合A 是集合{x |﹣4≤x ≤2}的真子集,求实数a 的取值范围.【分析】(1)代入a 的值,根据一元二次不等式的解法即可求解;(2)对a 分类讨论,进而可以确定集合A ,再根据集合的子集关系即可求解.【解答】解:(1)由题意,当a =2时,不等式x 2﹣(a +1)x +a ≤0,即x 2﹣3x +2≤0,解得1≤x ≤2,所以集合A ={x |1≤x ≤2};(2)设集合B ={x |﹣4≤x ≤2},由x 2﹣(a +1)x +a ≤0,可得(x ﹣1)(x ﹣a )≤0,当a <1时,不等式(x ﹣1)(x ﹣a )≤0的解集{x |a ≤x ≤1},由已知A ⊆B 可得a ≥﹣4,所以﹣4≤a <1;当a =1时,不等式(x ﹣1)(x ﹣a )≤0的解集{x |x =1},满足题意;当a >1时,不等式(x ﹣1)(x ﹣a )≤0的解集{x |1≤x ≤a },由A ⊆B 可得a ≤2,所以1<a ≤2;综上可得﹣4≤a ≤2,即实数a 的取值范围为[﹣4,2].【点评】本题考查了求解一元二次不等式以及子集的应用,考查了分类讨论思想,属于基础题.【题型6 集合间关系中的新定义问题】【例6】(2020秋•沭阳县期中)已知非空集合A ,若对于任意x ∈A ,都有4x ∈A ,则称集合A 具有“反射性”.则在集合{1,2,4,8}的所有子集中,具有“反射性”的集合个数为 .【分析】利用列举法能求出在集合{1,2,4,8}的所有子集中,具有“反射性”的集合个数.【解答】解:在集合{1,2,4,8}的所有子集中,具有“反射性”的集合有:{1,4},{2},{1,2,4},∴在集合{1,2,4,8}的所有子集中,具有“反射性”的集合个数为3.故答案为:3.【点评】本题考查集合的子集中具有“反射性”的集合个数的求法,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.【变式6-1】(2020秋•山东期中)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”,对于集合A ={﹣1,2},B ={x |ax 2=2,a ≥0},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a 的取值集合为 .【分析】讨论a =0和a >0,求得集合B ,再由新定义,得到a 的方程,即可解得a 的值.【解答】解:集合A ={﹣1,2},B ={x |ax 2=2,a ≥0},若a =0,则B =∅,即有B ⊆A ;若a >0,可得B ={−√2a ,√2a },不满足B ⊆A ;若A ,B 两个集合有公共元素,但互不为对方子集,可得√2a =2或−√2a =−1,解得a =12或a =2. 综上可得,a =0或12或2; 故答案为:{0,12,2}. 【点评】本题考查集合的运算以及包含关系,考查新定义的理解和运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键,属于中档题.【变式6-2】(2020秋•南昌县校级月考)若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是伙伴关系集合,集合M ={﹣1,0,12,2,3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A .1B .3C .7D .31 【分析】由定义求出集合A 中的元素可为﹣1,2与12必然同时出现,然后利用n 集合的非空子集个数为2n ﹣1.【解答】解:∵﹣1∈A ,1−1=−1 2∈A 则12∈A 12∈A 则2∈A∴A ={﹣1}或A ={2,12}或A ={﹣1,2,12}故选:B .【点评】本题考查集合与元素的关系,注意运用列举法,属于基础题.【变式6-3】(2021春•如皋市校级月考)对于任意两个数x ,y (x ,y ∈N *),定义某种运算“◎”如下:①当{x =2m ,m ∈N ∗y =2n ,n ∈N ∗或{x =2m −1,m ∈N ∗y =2n −1,n ∈N ∗时,x ◎y =x +y ;②当{x =2m ,m ∈N ∗y =2n −1,n ∈N ∗时,x ◎y =xy .则集合A ={(x ,y )|x ◎y =10}的子集个数是( )A .214个B .213个C .211个D .27个【分析】利用列举法分别针对两种情况列出A 中对应的元素即可求解.【解答】解:①若x ,y 同为奇数或偶数时;∵x ◎y =x +y =10,∴同时为偶数时:(2,8),(4,6),(6,4),(8,2);同时为奇数时:(1,9),(3,7),(5,5),(7,3),(9,1);②当x 为偶数,y 为奇数时;∵x ◎y =xy .∴(2,5),(10,1)∴综上所诉:集合A 中共含有11个元素,故其子集个数为:211个.故选:C .【点评】本题考查了集合子集的个数问题,考查学生的分析能力,属于基础题.。
高一数学1.2集合间的基本关系
集合是数学中一个基本的概念,它是将一组具有共同特征的元素组合在一起。
在高一数学中,集合间的基本关系是学习集合论的基础知识之一。
一、子集
子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素,记作A⊆BA \subseteq BA⊆B。
例如,集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4,5}的子集。
二、真子集
真子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合中的元素,并且不是相等关系,记作A⊆BA \subset BA⊆B。
例如,集合{1,2,3}是集合{1,2,3,4,5}的真子集。
三、并集
并集是指两个集合中的所有元素组成的集合,记作A∪BA \cup BA∪B。
例如,集合{1,2,3}和{3,4,5}的并集是{1,2,3,4,5}。
四、交集
交集是指两个集合中共有的元素组成的集合,记作A∩BA \cap BA∩B。
例如,集合{1,2,3}和{3,4,5}的交集是{3}。
五、补集
补集是指一个集合在全集中不属于这个集合的元素组成的集合,记作CA∁UC_A \complement_UCA∁U。
例如,集合{1,2,3}在全集{1,2,3,4,5}中的补集是{4,5}。
这些基本关系是学习集合论的基础知识之一,也是高一数学中的重要内容之一。
通过掌握这些基本关系,我们可以更好地理解和应用集合论的概念和性质。
1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1. 理解子集、真子集、空集的概念;(重点)2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系;(难点)3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。
1、逻辑推理2、直观想象3、数形结合【自主学习】一. 子集的相关概念1.Venn图表示:在数学中,经常用平面上___ ___ 的_____代表集合,这种图称为Venn图,这种表示集合的方法叫做图示法.优点:形象直观。
2.子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的元素都是集合B中的元素,就称集合A是集合B的子集A B(或B A)真子集如果集合A⊆B,但存在元素_________,就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的元素都是集合B的元素,同时集合B的元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等A B3.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么.二. 空集定义的集合叫做空集符号用符号表示为___规定空集是任何集合的,是任何非空集合的________A【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)空集中只有元素0,而无其余元素.()(2)任何一个集合都有子集.()(3)若A=B,则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集.()2.已知集合A={x|-1-x<0},则下列各式正确的是()A.0⊆A B.{0}⊆A C.⊆⊆A D.{0}⊆A【经典例题】题型一集合间关系的判断点拨:判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法:当集合中元素较少时,可列出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系.(2)集合元素特征法:首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法:利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系.一般地,判断不等式的解集之间的关系,适合画出数轴.例1 下列各式中,正确的个数是()⊆{0}⊆{0,1,2};⊆{0,1,2}⊆{2,1,0};⊆⊆⊆{0,1,2};⊆⊆={0};⊆{0,1}={(0,1)};⊆0={0}.A.1B.2C.3D.4【跟踪训练】1(1)若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则M与T的关系是()A.M T B.M⊆T C.M=T D.M ⊆T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系:A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}.题型二子集、真子集的个数问题点拨:公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集.(2)含n个元素的集合有(2n-1)个真子集.(3)含n个元素的集合有(2n-1)个非空子集.(4)含n个元素的集合有(2n-2)个非空真子集.例2 写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集.例2-变式写出集合{a,b,c}的所有子集? 写出集合{a,b,c,d}的所有子集?【跟踪训练】2 满足{a,b}⊆A{a,b,c,d,e}的集合A的个数是()A.2B.6 C.7D.8题型三根据集合的包含关系求参数点拨:1.分析集合间的关系时,首先要分析、简化每个集合.2.借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心点表示,不含“=”用空心点表示.3.此类问题要注意对空集的讨论.例3 已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且B⊆A.求实数m的取值范围.【跟踪训练】3 设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=15,试判定集合A与B的关系;(2)若B⊆A,求实数a的取值集合.【当堂达标】1.下列说法:⊆空集没有子集;⊆任何集合至少有两个子集;⊆空集是任何集合的真子集;⊆若⊆A,则A≠⊆.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知集合A={-1,0,1},则含有元素0的A的子集的个数为()A.2 B.4 C.6 D.83.设A={x|2<x<3},B={x|x<m},若A⊆B,则m的取值范围是()A.m>3 B.m≥3 C.m<3 D.m≤34.已知集合A={x|x-3>0},B={x|2x-5≥0},则这两个集合的关系是________.5.已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},且B⊆A,求由实数a的值组成的集合C.6.已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.【课堂小结】1.知识点:(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断.(2)求子集、真子集的个数问题.(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳:数形结合、分类讨论.3.常见误区:忽略对集合是否为空集的讨论,忽视是否能够取到端点.【参考答案】【自主学习】一.1.封闭曲线内部2.任意一个 ⊆⊇ x ∈B ,且x ∉A 任何一个 任何一个 =3.子集 A ⊆C二.不含任何元素 ∅ 子集 真子集 【小试牛刀】1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×2. D 解析:集合A ={x |-1-x <0}={x |x >-1},所以0∈A ,{0}⊆A ,D 正确. 【经典例题】例1 B 解析:(1)对于①,是集合与集合的关系,应为{0}{0,1,2};对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于③,空集是任何集合的子集;对于④,{0}是含有单元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以∅{0};对于⑤,{0,1}是含有两个元素0与1的集合,而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合,所以{0,1}与{(0,1)}不相等;对于⑥,0与{0}是“属于与否”的关系,所以0∈{0}.故②③是正确的,应选B.【跟踪训练】1 (1)A 解析:因为M ={x |x 2-1=0}={-1,1},又T ={-1,0,1},所以M T . (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系,再画Venn 图.如图例2 解:集合{a,b}的所有子集为∅,{a},{b},{a,b}. 真子集为∅,{a},{b}.例2-变式:集合{a,b,c}的所有子集为∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}. 集合{a,b,c,d}的所有子集为∅,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c}, {b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}.【跟踪训练】2 C 解析:由题意知,集合A 可以为{a ,b },{a ,b ,c },{a ,b ,d },{a ,b ,e },{a ,b ,c ,d },{a ,b ,c ,e },{a ,b ,d ,e }.例3 解:(1)因为B ⊆A ,当B =⊆时,m +1≤2m -1,解得m ≥2.(2)当B ≠⊆时,有⎩⎨⎧-3≤2m -1,m +1≤4,2m -1<m +1,解得-1≤m <2,综上得m ≥-1.【跟踪训练】3 解:(1)由x 2-8x +15=0得x =3或x =5,故A ={3,5},当a =15时, 由ax -1=0得x =5.所以B ={5},所以BA .(2)当B =∅时,满足B ⊆A ,此时a =0;当B ≠∅,a ≠0时,集合B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ,由B ⊆A 得1a =3或1a =5,所以a =13或a =15.综上所述,实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,13,15 【当堂达标】1.B 解析:⊆空集是它本身的子集;⊆空集只有一个子集;⊆空集不是它本身的真子集;⊆空集是任何非空集合的真子集.因此,⊆⊆⊆错误,⊆正确.2.B 解析:根据题意,含有元素0的A 的子集为{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},共4个.3.B 解析:因为A ={x |2<x <3},B ={x |x <m },A ⊆B ,将集合A ,B 表示在数轴上,如图所示,所以m ≥3.4.A B解析:A ={x |x -3>0}={x |x >3},B ={x |2x -5≥0}=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥52. 结合数轴知A B .5.解:由x 2-3x +2=0,得x =1或x =2. 所以A ={1,2}.因为B ⊆A ,所以对B 分类讨论如下:①若B =∅,即方程ax -2=0无解,此时a =0; ②若B ≠∅,则B ={1}或B ={2}. 当B ={1}时,有a -2=0,即a =2; 当B ={2}时,有2a -2=0,即a =1.综上可知,符合题意的实数a 所组成的集合C ={0,1,2}. 6.解:(1)因为B ⊆A ,所以m 2=2m -1,即(m -1)2=0,所以m =1.当m =1时,A ={-1,3,1},B ={3,1},满足B ⊆A ,故m =1. (2)当B =⊆时,只需2a >a +3,即a >3; 当B ≠⊆时,根据题意作出如图所示的数轴,可得⎩⎨⎧ a +3≥2a a +3<-1或⎩⎨⎧a +3≥2a 2a >4,解得a <-4或2<a ≤3.综上可得,实数a 的取值范围为a <-4或a >2.。
新教材必修第一册1.2:集合间的基本关系课标解读:1.子集的含义.(理解)2.真子集的含义.(理解)3.集合相等的含义.(理解)4.空集的含义.(理解)5.Veen图.(了解)学习指导:1.准确理解子集的概念,把握子集与真子集之间的关系.2.注意灵活运用集合的三种语言(文字语言、符号语言、图形语言)分析解决有关问题.3.谨防掉进“空集”陷阱.4.本节难点是对相似概念及符号的理解,例如:区别元素与集合,属于与包含等概念及其符号表示.知识导图:教材全解知识点1:Veen图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图形称为Veen图.例1-1:用Veen图表示集合之间的关系:}xxB=,是平行四边形xA=x|{|}{是菱形,xxD=是矩形xC=x}|}.,{|{是正方形答案:知识点2:子集例2-2:给出下列说法:①任意集合必有子集;②若集合BA⊆,则A中元素的个数一定少于集合B中的元素个数;③若集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,集合C是集合D的子集,则集合A是集合D的子集;④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B,则集合B是集合A的子集,其中正确的是()A. ②③B.①③④C.①③D.①②④ 答案:B例2-3:设集合}1,1{},,3,1{2+-==a a B a A ,且A B ⊆,则a 的值为 . 答案:-1或2知识点3:集合的相等一般地,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等,记作A=B.也就是说,若B A ⊆且A B ⊆,则A=B.例3-4:集合},12|{Z n n x x X ∈+==,},14|{z k k y y Y ∈±==,试证明Y X =. 答案:(1)设X x ∈0,则,1200+=n x 且.0Z n ∈①若0n 是偶数,可设Z m m n ∈=,20,则Z m m x ∈+=,140,∴Y x ∈0②若0n 是奇数,可设Z m m n ∈-=,120,则Z m m m x ∈-=+-=,141)12(20,∴Y x ∈0 ∴不论0n 是奇数还是偶数,都有Y x ∈0. ∴Y X ⊆. (2)设Y y ∈0,则.,141400000Z k k y k y ∈-=+=,或∵Z k k k y k k y ∈+-⋅=-=+⋅=+=00000001)12(21412214,,或, ,12,200Z k Z k ∈-∈ ∴X y ∈0,则X Y ⊆ 由(1)(2)得,Y X =. 知识点4:真子集例4-5:在“新冠肺炎”疫情期间,某社区男、女党员自发组成自愿者队伍,参加社区防疫工作.若集合A={参与防疫工作的志愿者},集合B={参与防疫工作的男党员},集合C={参与防疫工作的女党员},则下列关系正确的是( ) A. B A ⊆ B. C B ⊆ C.A C ⊄ D.B ⫋A 答案:D例4-6:指出下列各组集合之间的关系: (1))};1,1(),1,1(),1,1(),1,1{(},1,1{----=-=B A (2)}6,3,2{=A ,B=}12|{的约数是x x ;(3)}|{}|{是等腰三角形,是等边三角形x x B x x A ==; (4)},12|{+∈-==N n n x x M ,},12|{+∈+==N n n x x N .答案:(1)A 与B 无包含关系;(2)A ⫋B ;(3)A ⫋B ;(4)N ⫋M .知识点5:空集 1.空集的定义一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅. 2.空集的性质(1)空集是任何集合的子集;(2)空集的任何非空集合的真子集,即∅⫋A (A 为非空集合). 由上述性质可知空集只有一个子集,即它本身. 辨析明理:∅、0、{0}、{ ∅}之间的关系:例5-7:下面四个集合中,表示空集的是( ). A. {0} B.},01|{2R x x x ∈=+ C.},01|{2R x x x ∈>- D.},,0|),{(22R y R x y x y x ∈∈=+ 答案:B例5-8:若集合==+-=}02|{2m x x x A ∅,则实数m 的取值范围是( ) A.1-<m B.1<m C.1>m D.1≥m 答案:C知识点6:有限集合的子集个数 对于集合A 的子集我们有如下结论: 集合AA的所有子集子集个数 真子集个数 非空真子集个数}{a ∅,}{a 122= 1 0 },{b a ∅,}{a ,}{b ,},{b a 224=3 2 },,{c b a∅,}{a ,}{b ,}{c ,},{b a ,},{c a ,},{c b ,},,{c b a328=76猜想:A=},...,,{21n a a a n 2 12-n 22-n例6-9:已知集合},,01234|),{(++∈∈<-+=N y N x y x y x A ,则集合A 的子集个数为( ).A.3B.4C.7D.8 答案:D例6-10:已知集合M 满足}2,1{⫋M }5,4,3,2,1{⊆,则有满足条件的集合M 的个数是( ).A.6B.7C.8D.9 答案:B知识点7:集合的图示法 1.Veen 图(1)用Veen 图表示集合间基本关系,如图所示:(2)用Veen图表示集合之间的关系:A⫋B⫋C可表示为如图:2.数轴法对于由连续实数组成的集合,通常用数轴表示,这也属于集合表示的图示法.在数轴上,若端点值是集合中元素,则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示.集合}3<-xx≤xx与用数轴分别表示如图:{{≥}5|1|例7-11:图中反映的是“文学作品”、“散文”、“小说”、“叙事散文”这四个文学概念之间的关系,请在下面的空格上填入适当的内容:A为;B为;C为;D为 .答案:{小说} {文学作品} {叙述散文} {散文}例7-12:已知集合A=}2{<≤-xx,则集合A与B的关系是 .|2{-≥x|x,集合B=}8答案:B⫋A题型与方法例13:指出下列各组集合之间的关系: (1)}.50|{},51|{<<=<<-=x x B x x A (2)}.,4|{},,2|{Z n n x x B Z n n x x A ∈==∈==(3)}.,2)1(1|{},0|{2Z n x x B x x x A n∈-+===-= (4)}.0,00,0|),{(},0|),{(<<>>=>=y x y x y x B xy y x A 或 (5)}.,54|),{(},,1|{22++∈+-==∈+==N a a a x y x B N a a x x A答案:(1)B ⫋A ;(2)B ⫋A ;(3)A=B ;(4)A=B ;(5)B A ⊆;(6)A ⫋B.例14:已知集合}|{},3,2,1{A x x Y A ⊆==,则下列结论错误的是( ) A.Y ⊆}1{ B.Y A ∈ C.∅Y ⊆ D.{∅}⫋Y 答案:A变式训练:已知集合},612|{},312|{},,61|{Z c c x x C Z b b x x B Z a a x x A ∈+==∈-==∈+==,,则A ,B ,C 满足的关系是( )A. A=B ⫋CB. A ⫋B=CC. A ⫋B ⫋CD.B ⫋C ⫋A 答案:B题型2:确定集合的子集、真子集例15:设}0)45)(16(|{22=++-=x x x x A ,写出集合A 的子集,并指出其中哪些是它的真子集.答案:集合A 的子集为:∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}、{-4、-1、4},集合A 的真子集为:∅、{-4}、{-1}、{4}、{-4、-1}、{-4、4}、{-1、4}.例16:已知集合A={1,3,5},则集合A 的所有非空子集的元素之和为 . 答案:36变式训练:已知集合A=}065|{},033|{22=+-∈==++∈x x R x B x x R x ,A P ⊆⫋B ,求满足条件的集合P. 答案:∅或{2}或{3}例17:已知}012|{},082|{222=-++∈==+-∈=a ax x R x B x x R x A ,若A=B ,则实数a 的取值范围为 . 答案:}44|{>-<a a a 或例18:已知集合}.121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A (1)若B ⫋A ,求实数m 的取值范围; (2)若B A ⊆,求实数m 的取值范围.答案:(1)}.3|{≤m m (2)不存在m 使得B A ⊆.变式训练:已知}|{},31|{a x x B x x A <=<<-=,若B A ⊄,则实数a 的取值范围是( ). A.}3|{<a a B.}3|{≤a a C.}1|{->a a D.}1|{-≥a a 答案:A例19:已知集合},|{},,12|{},1,1|{2A x x z z C A x x y y B R a a a x x A ∈==∈-==∈->≤≤-=且,是否存在实数a 使得B C ⊆?若存在,求出实数a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 答案:当1=a 时,B C ⊆易错题型易错1:混淆属于关系和包含关系例20:已知集合A={0,1},B=}|{A x x ⊆,则下列关于集合A 与B 的关系正确的是( ) A.A B ⊆ B.A ⫋B C.B ⫋A D.B A ∈ 答案D易错2:忽略对参数的讨论例21:已知集合},0)1(|{},0|{22=--===x a x x F x x E 判断集合E 和F 的关系. 答案:①当1=a 时,E=F ;②当1≠a 时,E ⫋F.易错3:忽略空集例22:已知集合A={-1,1},B=A B ax x x ⊆+=若},1|{,则实数a 的所有可能取值组成的集合为( ).A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1} 答案:D易错4:利用数轴求参数范围时,忽略端点值是否能取到例23:已知集合},31|{},54|{R a a x a x B x x x A ∈+≤≤+=-<≥=或,若A B ⊆,则a 的取值范围为 .答案:}38|{≥-<a a a 或创新升级例24:已知非空集合21A A ,是集合A 的子集,若同时满足两个条件:(1)若21A a A a ∉∈,则;(2)若12A a A a ∉∈,则,则称),(21A A 是集合A 的“互斥子集”,并规定),(21A A 与),(12A A 为不同的“互斥子集组”,则集合A={1,2,3,4}的不同“互斥子集组”的个数是 . 答案:50组感知高考考向1:集合间关系判定及应用例25:已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( )A.A=BB.A B ∈C.A ⫋BD.B ⫋A答案:D例26:已知集合A=},1{a ,B={1,2,3},那么( ).A.若3=a ,则B A ⊆B.若B A ⊆,则3=aC.若3=a ,则B A ⊄D.若B A ⊆,则2=a 答案:C 考向2 :子集的个数 例27:已知集合A=},023|{2R x x x x ∈=+-,B=},50|{N x x x ∈<<,则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D. 4答案:D基础巩固:1.已知下列四个命题:①;则且若C A C B B A ⊆⊆⊆,②且若B A ⊆B ⫋C ,则A ⫋C ;③若A ⫋B 且B ⊆C ,则A ⫋C ;④若A ⫋B 且B ⫋C ,则A ⫋C.其中正确命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 42.满足M a ⊆}{⫋},,,{d c b a 的集合M 共有( )A.6个B. 7个C. 8个D.15个3.已知集合U=R ,则正确表示集合U ,M={-1,0,1},N=}0|{2=+x x x 之间的Veen 图是().4.集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=,则( )A.N M =B.N ⫋MC.M ⫋ND.M 与N 没有相同的元素5.设结合A={-1,1},集合B=},1|{R a ax x ∈=,则使得A B ⊆的a 的所有取值构成的集合是 .6.已知7.已知集合A=}.52|{≤≤-x x(1)若}126{-≤≤-=⊆m x m B B A ,,求实数m 的取值范围;(2)是否存在实数m ,使得A=B ,}126{-≤≤-=m x m B ?若存在,求出实数m 的范围;若不存在,请说明理由.综合提升:8.集合A=},,1{y x ,B=}2,,1{2y x ,若A=B ,则实数x 的取值集合为( ) A.{21} B.{2121-,} C.{210,} D.{21210-,,}9.下列四个结合中,是空集的是( )A.}33|{=+x xB.},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C.}0|{2≤x xD.},01|{2R x x x x ∈=+-10.集合},54|{2R a a a x x A ∈+-==,},344|{2R b b b y y B ∈++==,则下列关系正确的是( ). A. A=B B.B ⫋A C.A B ⊆ D.A B ⊄11.同时满足①}5,4,3,2,1{⊆M ,②M a M a ∈-∈6,且的非空集合M 的个数为( )A. 16B.15C. 7D. 612.若一个集合中含有n 个元素,则称该元素集合为“n 元集合”,已知集合}4,3,21,2{-=A ,则其“2元子集”的个数为( )A. 6B. 8C. 9D. 1013.设集合A=}023|{2=+-x x x ,集合B=},04|{2为常数a a x x x =+-,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 .14.已知集合A=}40|{≤<∈x Z x ,若A M ⊆,且M 中至少有一个偶数,则这样的集合M 的个数为 .15.若规定E=},...,,{1021a a a 的子集},...,,{21ni i i a a a 为E 的第k 个子集,其中1112...2221---+++=ni i i k ,则:(1)},{31a a 是E 的第 个子集;(2)E 的第211个子集为 .16.已知三个集合}02|{}01|{},023|{222=+-==-+-==+-=bx x x C a ax x x B x x x A ,,同时满足B ⫋A ,C ⊆A 的实数b a ,是否存在?若存在,求出b a ,的所有值;若不存在,请说明理由.参考答案1. D2. B3. B4. C5. {-1,0,1}6. }41|{≤a a7. (1)}43|{≤≤m m ;(2)不存在.8. A9. D10.B11.C12.A13.}4|{≥a a14. 1215.(1)5;(2)},,,,{87521a a a a a .16.存在2222,23,2<<-===b a b a 或满足要求.。
专题1.1 集合间的基本关系——子集与真子集、空集及集合个数
一.选择题(共10小题)
1.(2020春•宣城期末)从集合{a,b,c}的所有子集中任取一个,这个集合恰是集合{a}子集的概率是()
A.3
5
B.
2
5
C.
1
4
D.
1
8
2.(2020春•沙坪坝区校级期末)集合A={﹣2,1,2,3}的真子集个数为()A.16B.15C.14D.13 3.(2020•沙坪坝区校级模拟)已知集合A={x|x2<2,x∈Z},则A的真子集共有()个.
A.3B.4C.6D.7 4.(2020•丰台区二模)集合A={x∈Z|﹣2<x<2}的子集个数为()A.4B.6C.7D.8
5.(2020春•新市区校级期中)已知集合A={1,2,3,4,5},则集合A各子集中元素之和为()
A.320B.240C.160D.8 6.(2020•茅箭区校级模拟)已知集合A={x∈N|x2﹣4x﹣21≤0},则集合A中的元素个数为()
A.11B.8C.10D.7 7.(2019•辽宁一模)若集合A={x|1≤x<2}是集合B={x|x>b}的子集,则实数b的范围是()
A.b≥2B.1<b≤2C.b≤2D.b<1
8.(2020春•河南期末)已知集合{|224}x A x =<<,
{|B y y ==,}x A ∈,则下列
关系中正确的是( )
A .A
B ⊆ B .A B ⊇
C .A B =
D .A B =∅
9.(2020春•沙坪坝区校级月考)已知非空集合A ⊆{x ∈N |x 2﹣x ﹣2<0},则满足条件的集合A 的个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
10.(2020•湖北模拟)已知集合{|A x y ==,集合{|}B x x a =,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是( )
A .(,2)-∞-
B .(-∞,2]-
C .(2,)+∞
D .[2,)+∞
二.填空题(共5小题)
11.(2020春•九江期末)设集合A ={﹣1,1,m },B ={m 2,1},且B ⫋A ,则实数m = .
12.(2020•浦东新区三模)已知集合A ={﹣1,0,a },B ={x |1<2x <2},若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是 .
13.(2019秋•青州市校级月考)设集合A ={x |x 2+2x ﹣a =0,x ∈R },若A 是空集,则实数a 的取值范围是 .
14.(2020•徐汇区校级期末)已知复数a ,b 满足集合{﹣a ,b }={a 2,b +1},则ab =
15.(2020•溧阳市期中)设M ={m ,2},N ={m +2,2m },且M =N ,则实数m 的值是 .
三.解答题(共4小题)
16.(2020•中山市期末)已知集合A ={x |x 2﹣4x +3≤0},B ={x |log 2x >1}.
(1)集合C ={x |1<x <a },若C ⊆A ,求实数a 的取值范围;
(2)对任意x ∈B ,都有函数f (x )=x 2﹣kx +3+k >0,求实数k 的取值范围.
17.(2020•镇江期末)已知全集为R ,设函数2()(2)f x lg x x =--的定义域为集合A ,函数
()g x =B .
(1)求A B 和R B ;
(2)若集合{|40}C x x p =+<,C A ⊆,求实数p 的取值范围.
18.(2020•天津期末)设集合A ={x |x 2﹣x ﹣6>0},B ={x |﹣4<3x ﹣7<8}.
(1)求A ∪B ,A ∩B ;
(2)已知集合C ={x |a <x <2a +1},若C ⊆B ,求实数a 的取值范围.
19.(2020•温州期中)已知集合M ={x |x 2﹣5x +m =0},N ={x |x 2﹣5x +n =0}.
(Ⅰ)若m =﹣6,写出集合M 的所有子集;
(Ⅱ)若M ∪N ={x 1,x 2,x 3,x 4},x i ∈N *,i =1,2,3,4,求实数m +n 的值.。