六年级.圆与扇形知识总结及练习

数学扇形的知识点六年级扇形在数学中是一个重要的几何概念，它是由一个圆心角所夹的弧和该圆心角所在的圆所组成的。

在六年级学生的数学课程中，扇形也是其中的一个重要内容。

本文将介绍六年级学生需要了解的数学扇形的知识点。

一、扇形的定义和性质扇形是一个圆心角所夹的弧和该圆心角所在的圆所组成的图形。

扇形的性质如下：1. 圆心角的度数等于弧所对的圆周角的度数。

2. 扇形的圆心角度数范围是0°到360°之间。

3. 扇形的弧长可以通过圆周长和圆心角度数的比例计算。

4. 扇形的面积可以通过圆的面积和圆心角度数的比例计算。

二、扇形的计算公式六年级学生需要了解扇形的计算公式，以便能够在应用题中灵活运用。

1. 弧长公式：扇形的弧长等于圆周长乘以圆心角度数除以360°。

弧长 = (圆周长 ×圆心角度数) ÷ 360°2. 面积公式：扇形的面积等于圆的面积乘以圆心角度数除以360°。

面积= (π × r² × 圆心角度数) ÷ 360°其中，r表示扇形所在的圆的半径，π约等于3.1416。

三、例题演练为了帮助六年级学生更好地理解和掌握扇形的知识点，以下是一些例题演练。

例题1：已知一个扇形的半径为6 cm，圆心角为60°，求其弧长和面积。

解答：根据弧长公式，弧长 = (圆周长 ×圆心角度数) ÷ 360°由于半径已知，圆周长= 2πr = 2π × 6 = 12π cm弧长= (12π × 60) ÷ 360 = 2π cm根据面积公式，面积= (π × r² × 圆心角度数) ÷ 360°面积= (π × 6² × 60) ÷ 360 = 6π cm²因此，该扇形的弧长为2π cm，面积为6π cm²。

六年级第1圆与扇形1、圆的面积（1）圆面积的定义：圆的周长是一条曲线，这条曲线围成的面的大小就是圆的面积。

（2）圆面积的计算公式：①面积与半径的关系：2,S r π=读作：用3米长的绳子把马拴在树上，马在树周围能吃到草的面积有多少平方米？②面积与直径的关系：如图，计算这个半圆的周长与面积。

某所学校新建的花坛的直径是20,m 花坛中有35的面积种花，种花的面积是多少？③面积与周长的关系：一个长方形的周长是9.42,m和一个圆的周长相等，这个圆的面积是多少？8cm用10m 长的席子围成一个底面是圆形的粮囤，已知两头相接重叠处占去0.58,m 这个粮囤占地多少？（1）判断：①圆的周长扩大2倍，它的面积扩大4倍；（ ） ②2r cm =的圆，它的周长等于面积； （ ）③周长均为am 的正方形和圆，正方形的面积大；（ ）（2）填空：①一个圆的直径和一个正方形的边长相等，它们面积的关系是：_______________________；②有大小两个圆，大圆的半径等于小圆的直径，它们面积的关系是：_______________________；2、圆环的面积（1）定义：圆环是由同心的一个大圆和一个小圆组成的，大圆也叫外圆，小圆也叫内圆； （2）圆环面积=大圆面积-小圆面积 圆环面积计算公式：一个圆环，外圆直径是4,cm 内圆直径是2,cm 求这个圆环的面积。

r R一个圆形花坛的直径是12,m 在它的周围铺一条宽1m 的石路，这条石子路的面积是多少？3、扇形的面积（1）定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，在扇形中，两条半径所夹的角是扇形所在圆的圆心角；（2）扇形面积计算公式：2360n r S π=计算下图的面积（36d cm =）：4、组合图形面积的计算用一张面积为2600cm 的正方形纸，剪出一个最大的圆，求这个圆的面积。

在一个周长为18.84cm 的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是多少？求阴影部分面积求非阴影部分面积如图，以等腰直角三角形的两条直角边为直径，分别作两个半圆，求阴影部分的面积。

六年级数学专题思维训练—圆与扇形1、分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到下图．那么，阴影图形的周长是厘米．（取3. 14）2、有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆绑在一起，其切面如下图所示，至少需要绳子分米．（取3.14）3、把同一段铁丝围成一个正方形后，又改围成一个圆形，发现按照面积公式得出的二者面积之比为4：5，那么在计算圆面积时，圆周率丌的取值为。

4、如下图所示，已知圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是平方厘米．(取3. 14)5、如下图所示，弧IFD与JED是分别以A、B为圆心、以AD、BD为半径的圆弧，已知AD1=DB=DC=4厘米，且AGDHB、AFC与BEC分别是三条直线段．线段IA、FG、CD、EH、JB都分别垂直于AB.请问图中阴影部分的面积是多少？（取）6、如下图所示的半圆的直径BC=8厘米，AB=AC，D是AC的中点，则阴影部分的面积是．(取3. 14)7、如下图所示，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是平方厘米．（取3. 14）8、下图中正方形ABCD及DCEG的面积均为64平方厘米，EFG则为一半圆，F是弧EFG的中点．请问阴影部分的面积为多少平方厘米？（3.14）9、半径为10、20、30的三个扇形如下图放置，是的倍，10、如下图所示，图中的曲线是用半径长度的比为2：1.5：o．5的6条半圆曲线连成的，问：涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少？11、有三个同心圆，它们的半径之比是3：4：5，如果大圆的面积是100平方厘米，那么中圆与小圆所构成的圆环的面积是A．20平方厘米 B．28平方厘米 C．36平方厘米 D．60平方厘米12、下图是两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%.问：大圆的面积是多少？13、下图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边形．求五边形内阴影部分的面积. =3. 14）14、如下图所示，已知圆心是O，半径r=9厘米，∠1 =∠2=15°，那么阴影部分的面积是平方厘米。

第十五讲 圆和扇形研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、 跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长360n⨯+2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2⨯一、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【例 2】 (2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．【解析】 采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于21222⨯=平方厘米．【例 3】 计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．A A【解析】 将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形． ()5105275237.5+⨯÷=÷=(平方分米)．【例 4】 求图中阴影部分的面积．【解析】 如图，连接BD ，可知阴影部分的面积与三角形BCD 的面积相等，即为1112123622⨯⨯⨯=．【例 5】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90︒，则阴影部分转化为四分之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为211π444 4.5642⨯⨯-⨯⨯=．【例 6】 求下列各图中阴影部分的面积．(1)1010(2)ba【解析】 在图(1)中，阴影部分经过切割平移变成了一个底为10，高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得110102522S =⨯⨯=阴影；在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b ，宽为a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得S a b ab =⨯=阴影．【例 7】 如图，长方形ABCD 的长是8cm ，则阴影部分的面积是 2cm ．(π 3.14=)【解析】 阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以2即可．长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：()2882822π2 6.88⨯÷-÷÷⨯⨯=所以左图阴影部分的面积等于6.882 3.44÷=平方厘米．【例 8】 求右图中阴影部分的面积．(π取3)45︒45︒20cm【解析】 看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手． 这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．(法1)我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB 的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而AC 为四分之一圆的半径，所以有AC =10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为11010502⨯⨯=，所以阴影部分的面积为15050100-=(平方厘米)．(法2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A 与C 重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积．所以阴影部分面积为21110101010022π⨯⨯-⨯⨯=(平方厘米)．A板块二 曲线型面积计算【例 9】 如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的34倍，则角CAB 的度数是________． DCBA【解析】 设半圆ADB 的半径为1，则半圆面积为21ππ122⨯=，扇形BAC 的面积为π42π233⨯=．因为扇形BAC 的面积为2π360n r ⨯，所以，22ππ23603n ⨯⨯=，得到60n =，即角CAB 的度数是60度．【例 10】 如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)【解析】 167212ABC S =⨯⨯=△, 三角形ABC 内两扇形面积和为21174-=，根据扇形面积公式两扇形面积和为2π24360B C∠+∠⨯⨯=°,所以120B C ∠+∠=°,60A ∠=°.【例 11】 如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【解析】 小圆的面积为2π525π⨯=，则大小圆相交部分面积为325π15π5⨯=,那么大圆的面积为422515ππ154÷=，而2251515422=⨯，所以大圆半径为7.5厘米．【例 12】 有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)CBA【解析】 由右图知，绳长等于6个线段AB 与6个BC 弧长之和．将图中与BC 弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是360︒， 所以BC 弧所对的圆心角是60︒，6个BC 弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段AB 等于塑料管的直径，由此知绳长为：565π45⨯+=(厘米)．【例 13】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积22π:π1:9r R ==，小圆面积13649=⨯=，7个小圆总面积4728=⨯=，边角料面积36288=-=(平方厘米)．【例 14】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)AFEAFE【解析】 方法一：设小正方形的边长为a ，则三角形ABF 与梯形ABCD 的面积均为()122a a +⨯÷．阴影部分为：大正方形+梯形-三角形ABF -右上角不规则部分=大正方形-右上角不规则部分=14圆．因此阴影部分面积为：3.1412124113.04⨯⨯÷=．方法二：连接AC 、DF ，设AF 与CD 的交点为M ，由于四边形ACDF 是梯形，根据梯形蝴蝶定理有ADM CMF S S =△△，所以DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，那么求出月牙BCD 的面积就成了解题的关键．月牙BCD 的面积为正方形BCDE 的面积减去四分之一圆：166π6694⨯-⨯⨯⨯=；则阴影部分的面积为三角形ACD 的面积减去月牙BCD 的面积，为：()110669392S =⨯+⨯-=阴影．(法2)观察可知AF 和BD 是平行的，于是连接AF 、BD 、DF ．则ABD ∆与BDF ∆面积相等，那么阴影部分面积等于BDF ∆与小弓形的面积之和，也就等于DEF ∆与扇形BED 的面积之和，为：211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=．【例 15】 如图，ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径．已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)D【解析】 连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，那么ABD∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和． ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；弓形面积： 3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=．【例 16】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．(π取3)DCBAaDCBAa【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212a =【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(π取3) D BA DB【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积． 解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为=21π44482⋅⋅-⨯=；解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）．【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=．【例 17】 如图，矩形ABCD 中，AB =6厘米，BC =4厘米，扇形ABE 半径AE =6厘米，扇形CBF 的半径CB =4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)CB A【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键． 我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为2164π4124⨯-⨯⨯=(平方厘米)，再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为21π612154⨯⨯-=(平方厘米)．方法二：利用容斥原理2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形(平方厘米)【例 18】 如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【解析】 题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即11010502S =⨯⨯=扇形，则圆的面积为508400⨯=【例 19】 如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且20AB =，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC 长．(π 3.14=)乙甲A【解析】 因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：21π101572⨯⨯=，则直角三角形的面积为157-7=150，可得BC =2⨯150÷20=15．【巩固】 如图，三角形ABC 是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB 长40厘米．求BC 的长度？(π取3.14)【解析】 图中半圆的直径为AB ，所以其面积为2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯=．有空白部分③与①的面积和为628，又②-①28=，所以②、③部分的面积和62828656+=．有直角三角形ABC 的面积为12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=．所以32.8BC =厘米．【例 20】 (2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．204【解析】 如下图，设半圆的圆心为O ，连接OC ．从图中可以看出，20OC =，20416OB =-=，根据勾股定理可得12BC =． 阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=．CD【例 21】如图，求阴影部分的面积．(π取3)【解析】 如图，图中阴影部分为月牙儿状，月牙儿形状与扇形和弓形都不相同，目前我们还不能直接求出 它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积=12小圆面积+12中圆面积+三角形面积-12大圆面积=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅=6【例 22】 如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？68O【解析】S S S =-阴影直角三角形半圆， 设半圆半径为r ，直角三角形面积用r 表示为：610822r rr ⨯⨯+= 又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为168242⨯⨯=，所以824r =，3r =所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影家庭作业【作业1】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【解析】阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为4428⨯÷=．【作业2】如图，阴影部分的面积是多少？24【解析】首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积．则阴影部分面积(222)4(22)48++⨯-+⨯=【作业3】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值227．【解析】原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为：2211227π738.5447⨯⨯≈⨯⨯=．四分之一大圆内的等腰直角三角形ABC的面积为17724.52⨯⨯=，所以阴影部分的面积为38.524.514-=．【作业4】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm，圆周率按3计算)：⑴3⑵4⑶111⑷2⑸2⑹【解析】 ⑴4.5 ⑵4 ⑶1 ⑷2 ⑸1.5 ⑹4.5【作业5】求图中阴影部分的面积(单位：cm )．2【解析】 从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分面积为21(24)39cm 2⨯+⨯=．【作业6】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．由右图可见，阴影部分面积等于16大圆面积减去一个小圆面积，再加上120︒的小扇形面积(即13小圆面积)，所以相当于16大圆面积减去23小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的239=倍，那么阴影部分面积为21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭．【作业7】如图是一个直径为3cm 的半圆，让这个半圆以A 点为轴沿逆时针方向旋转60︒，此时B 点移动到'B 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)．【解析】 面积=圆心角为60︒的扇形面积+半圆-空白部分面积(也是半圆)=圆心角为60︒的扇形面积22603π3π 4.5(cm )3602=⨯⨯==．【作业8】三角形ABC 是直角三角形，阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，8cm AB =，求BC 的长度．I IABCI【解析】 由于阴影I 的面积比阴影II 的面积小225cm ，根据差不变原理，直角三角形ABC 面积减去半圆面积为225cm ，则直角三角形ABC 面积为218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭(2cm )，BC 的长度为()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=(cm )．【作业9】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【作业10】求图中阴影部分的面积．【解析】 阴影部分面积=半圆面积+扇形面积-三角形面积22211211π()π121241.042282=⨯+⨯-⨯=．。

研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长+360n⨯2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 如图，圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB =10厘米，以C 为圆心，CA 为半径画弧。

求月牙形ADBEA （阴影部分）的面积。

例题精讲圆与扇形D【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。

六年级扇形知识点总结扇形是几何学中的重要概念之一，它是由一个圆心和两个弧度所确定的区域。

在六年级数学学习中，我们需要了解和掌握扇形的相关知识点。

本文将对六年级扇形知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和学习。

一、扇形的定义和性质扇形是由圆心和圆上两点所围成的区域。

一个扇形由圆心角和弧度决定。

圆心角是指位于圆心的角，它的顶点是圆心，两条边分别是圆上两点与圆心的连线。

直径所对应的圆心角为180度，而半径所对应的圆心角为90度。

扇形的一些重要性质如下：1. 扇形的周长是圆的周长的一部分，可以用弧长和半径求得：C = r + l，其中C表示扇形的周长，r表示扇形的半径，l表示扇形的弧长。

2. 扇形的面积是圆的面积的一部分，可以用圆心角和半径求得：S = (θ/360°) × πr²，其中S表示扇形的面积，θ表示扇形的圆心角，r表示扇形的半径。

二、扇形的计算1. 计算扇形的周长：要计算扇形的周长，需要知道扇形的半径和扇形的弧长，公式为：C = r + l。

其中，r表示扇形的半径，l表示扇形的弧长。

2. 计算扇形的面积：要计算扇形的面积，需要知道扇形的半径和扇形的圆心角，公式为：S = (θ/360°) × πr²。

其中，θ表示扇形的圆心角，r表示扇形的半径。

三、扇形的应用扇形在我们的日常生活中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 扇形图表：在统计学中，扇形图表是一种常用的数据可视化工具，可以清晰地展示出不同类别数据之间的比例关系。

2. 扇形花坛：在园艺设计中，扇形花坛是一种常见的设计形式，可以美化环境，提升景观效果。

3. 扇形地毯：扇形地毯在家居装饰中也有一定的应用，可以增加房间的层次感和美观度。

总结：本文对六年级扇形知识点进行了总结，主要包括扇形的定义和性质、扇形的计算以及扇形的应用。

通过学习扇形相关知识，我们可以更好地理解和应用扇形，提高数学解题的能力。

六年级圆扇形知识点归纳示例文章篇一：嘿，同学们！今天我来给大家讲讲六年级数学里超重要的圆和扇形的知识点，准备好跟我一起探索啦？首先，咱们来说说圆。

圆就像一个超级完美的大圈圈，圆溜溜的没有一点棱角。

你们想想，车轮为啥要做成圆的呀？要是做成方的或者三角形的，那车还能跑得顺溜吗？哈哈，肯定不行！所以圆就是这么神奇。

圆的周长怎么算呢？这可得记住一个公式：C = 2πr 或者C = πd 。

这两个公式里的“π”，就像是一个神秘的魔法数字，约等于3.14 。

“r”是圆的半径，“d”是圆的直径。

直径就是通过圆心，两端都在圆上的线段，半径呢，就是从圆心到圆上的线段，半径可是直径的一半哟！比如说，一个圆的直径是10 厘米，那它的周长就是3.14×10 = 31.4 厘米。

要是知道半径是5 厘米，那周长就是2×3.14×5 = 31.4 厘米。

这是不是很简单？再来说说圆的面积。

圆的面积公式是S = πr² 。

就好比我们要给一个圆形的大花坛铺上草坪，就得知道这个花坛有多大面积，才能准备足够的草坪呀！假设一个圆的半径是4 厘米，那它的面积就是3.14×4×4 = 50.24 平方厘米。

接下来，咱们聊聊扇形。

扇形就像是从圆这个大蛋糕上切下来的一块。

那怎么知道扇形的大小呢？这就得看它占整个圆的比例啦。

扇形的面积公式是S = n/360×πr² ，这里的“n”是扇形圆心角的度数。

比如说，一个扇形的圆心角是90 度，半径是 5 厘米，那它的面积就是90/360×3.14×5×5 = 19.625 平方厘米。

在做圆和扇形的题目时，咱们得认真看清题目给的条件，是告诉了半径还是直径，是求周长还是面积。

可别马虎哟！总之，圆和扇形的知识虽然有点复杂，但只要咱们认真学，多做练习题，就一定能掌握得牢牢的！难道不是吗？数学的世界就是这么奇妙，只要我们勇于探索，就会发现更多的乐趣！同学们，加油呀！示例文章篇二：哎呀呀！说到六年级的圆和扇形，这可真是有趣又重要的知识呢！圆，就像是一个超级完美的大胖子，圆滚滚的没有一点棱角。

第12讲圆的面积和扇形（讲义）小学数学六年级上册易错专项练（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1.圆的面积。

圆所占平面的大小叫圆的面积，一般用字母S表示。

圆的面积的大小与半径的长短有关。

2.圆的面积计算公式。

如果用S表示圆的面积，那么S = πr2或S = π( d÷2）2。

3.圆环。

两个半径不等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫作环形。

4.圆环的面积计算公式。

外圆的半径是R，内圆的半径是r，圆环的面积＝外圆面积－内圆面积，用字母表示为S=πR2-πr2或S=π（R2- r2）。

5.“外方内圆”和“外圆内方”的问题。

（1）在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。

如果圆的半径是r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。

（2）在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线等于圆的直径。

如果圆的半径是r，那么正方形和圆之间部分的面积为1.14r2。

6.扇形。

弧：圆上任意两点（如下图A、B）之间的部分叫作弧，读作弧AB。

圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫圆心角。

如下图∠AOB。

扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。

如下图中涂色部分就是扇形。

在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。

1.在计算圆的面积时，r 2是r ×r ，不是r ×2。

2.圆环必须是两个同心圆形成。

3.求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。

4.在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。

5.在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线等于圆的直径。

6.圆心角必须具备两个条件：一是顶点在圆心上；二是角的两边是圆的半径。

7.在同一个圆中，扇形越大，这个扇形所对的圆心角就越大。

【易错一】长方形、正方形和圆的周长相等时，面积最大的是（ ）。

A ．长方形B ．正方形C ．圆【解题思路】解答此题可以先假设这三种图形的周长是多少。

圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念.及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形.它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴.绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且.所有的平面图形在周长相同的情况下.圆的面积是最大的．我们知道.圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数.这正是圆周率.用π表示．另外.一般把直径记作d .半径记作r .如图1所示．所以.如图3.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分.所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．扇形的圆心角为n °时.它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360n． 所以我们先来熟悉一下这些公式． 练习：n °r 图3图11.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？3.周长是10π的圆的面积是多少？4.面积是9π的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题1.已知扇形的圆心角为120°.半径为2.则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米.圆心角为60°.则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）60°随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米.圆心角为45.这个扇形的半径和周长各是多少？2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？例题3.如图.直角三角形ABC 的面积是45.分别以B .C 为圆心.3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A 是多少度？（π取3.14）二、 圆中方.方中圆例题4.如图.左下图和右下图中的正方形边长都是2.那么大圆、小圆的面积分别为________、________．随堂练习：1. 已知外面大圆的半径是4.里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）二、割补法例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）： （1） （2）随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）： （1） （2）例题6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）： （1） （2）例题7.已知图中正方形的边长为2.分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心.那么图中阴影部分的面积为________．（答案用 表示）例题8.根据图中所给数值.求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）472随堂练习：1.根据下图中给出的数值.求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）例题9.求图中阴影部分的面积．（圆周率 取3.14）思考题图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点.它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米.那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？作业：1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米.面积是________平方厘米；2.半径为4厘米.圆心角为90︒的扇形周长是________厘米.面积是________平方厘米．（π取3.14）3.家里来客人了.淘气到超市买了4瓶啤酒.售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示）.捆4圈至少要用绳子________厘米．（π取3.14.接头处忽略不计）4.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）：（1）（2）5.下列图形中的正方形的边长为2.则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（π取3.14）6.用一块面积为36π平方厘米的圆形铝板下料.从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程.并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、 重叠问题例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米.且半圆的半径是10厘米.那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率π取3.14）例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC .一个以AB 为直径的半圆.和一个以BC 为半径的扇形．已知10AB BC ==厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）随堂练习1. 如图17-13.以AB 为直径做半圆.三角形ABC 是直角三角形.阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米.AB 长40厘米．求BC 的长度．（π取3.14．）ABB例题3.如图.直角三角形的两条直角边分别为3和5.分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上）.那么阴影部分的面积为______．例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆.AB 是直径．如图2所示.让A 点不动.把整个半圆逆时针转60°.此时B 点移动到C 点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）二、 动态扫面积问题例题5.如图.正方形ABCD 边长为1厘米.依次以A 、B 、C 、D 为圆心.以AD 、BE 、CF 、DG 为半径画出四个直角扇形.那么阴影部分的面积为________平方厘米．（π取3.14）图1B图2例题6.如图所示.以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心.分别以AB、CD、AE为半径画弧.这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线.如果正三角形ABC的边长为3厘米.那么此渐开线的长度为多少厘米.图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？三、运动圆扫面积例题7.图中正方形的边长是4厘米.而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（π取3.14）随堂练习1.图中长方形的长是10厘米.宽是4厘米.而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（π取3.14）例题8.图中等边三角形的边长是3厘米.而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有多大？（π取3.14）思考题如图所示.一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处.四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越.小狗身长忽略不计.π取3）作业：1. 图17-14由一个长方形与两个90︒角的扇形构成.其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（π取3.14．）2. 图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形.那么两个阴影部分的面积相差为_______．（π取3.14）图17-14狗3.如图.直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm.分别以直角边为直径作出两个半圆.这两个半圆的交点恰好落在斜边上.那么阴影部分的面积是_______cm2．（π取3.14）（17π-30）4.图1是一个直径是3厘米的半圆.AB是直径．如图2所示.让A点不动.把整个半圆逆时针转60°.此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）5.图中正方形的边长是6厘米.而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时.其扫过的面积有______．（π取3.14）6.图中等边三角形的边长是5厘米.圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时.扫过的面积有________．（π取3.14）图1 B图26cm几何计数知识总结：例题：一、 枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数.特别是对于正方形和三角形的计数问题．通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类．例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状.其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边）.剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习 1. 图中共有_______个三角形；例题2.如图.它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形.其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有_______．*例题3.如图.AB .CD .EF .MN 互相平行.则图中三角形个数是_______．例题4.图中有多少个正方形？二、 与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数.特别是对于矩形和四边形的计数问题例题5.如图.线段AB .BC .CD .DE 的长度都是3厘米．请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？随堂练习1. 求图中一共有多少条线段．3厘米3厘米 3厘米 3厘米 A BC D EB MAEF D N例题6.求图中一共有多少条线段．求图中一共有多少个矩形．随堂练习1. 如图.四条边长度都相等的四边形称为菱形．用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数.图中共有多少个菱形？例题7.右图是一个长为9.宽为4的长方形网格.每一个小格都是一个正方形.那么：1）从中可以数出_______个矩形．2）从中可以数出_______个正方形．3）从中可以数出包含_______个.正方形有________个．随堂练习（1）图中包含★的长方形有_______个．包含☺的正方形又有_______个．（2）图中同时包含☺和★的长方形有_______个．三、与容斥原理有关的几何计数例题8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？随堂练习1.图中有_______个矩形思考题用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形.那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1.数一数图中一共有多少条线段？2.图中共有_______个三角形．【分析与解】按边长分类数.图中共有93113++=个三角形；平行四边形共有333215⨯+⨯=个．3. 在图中.包含※的长方形共有________个．4. 图中有_______个矩形._______个正方形．【分析与解】图中共有718+=个正方形.19个长方形．这道题适合按大小分类数．5. 图中有三角形_______个.梯形_______个．【分析与解】三角形有()312318⨯++=个.梯形有()()1212318+⨯++=个．6. 图中有_______个正方形._______个长方形．【分析与解】答案是38.144．长方形有()()()()123123452123123144++⨯++++⨯-++⨯++=⎡⎤⎣⎦ 个.正方形有()()352413294138⨯+⨯+⨯⨯-++=个（这里给出正方形的求法比较巧妙.如果不合适.请按正方形的边长分类枚举）．行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题.行程问题主要有三组共9个基本公式：（1） =⨯路程速度时间；=÷速度路程时间；=÷时间路程速度；（2） =⨯相遇路程速度和时间；=÷速度和相遇路程时间；=÷时间相遇路程速度和；（3） =⨯追及路程速度差时间；=÷速度差追及路程时间；=÷时间追及路程速度差．要会灵活运用公式.通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间．此时.我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时.时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时.速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时.时间的倍数关系等于速度的倍数关系.但注意时间长的速度慢.时间短的速度快．例题1. （ ）甲、乙两地间的路程是600千米.上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地.货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇.货车必须在上午几点出发？例题2. （ ）某学校组织学生去春游.以2米/秒的速度前进.一名学生以4米/秒的速度从队尾跑到队头.再回到队尾.共用6分钟.那么队伍的总长为多少米？例题3. A 城在一条河的上游.B 城在这条河的下游．A 、B 两城的水路距离为396千米．一艘在静水中速度为每小时12千米的渔船从B 城往A 城开.一艘在静水中速度为每小时30千米的治安巡逻艇从A 城往B 城开．已知河水的速度为每小时6千米.从A 流向B ．两船在距离A 城180千米的地方相遇．巡逻艇在到达B 城后得到消息说他们刚才遇到的那艘渔船上有一名逃犯.于是巡逻艇立刻返回去追渔船．请问巡逻艇能不能在渔船到达A 城之前追上渔船？如果能的话.请问巡逻艇在距A 城多远的地方追上渔船；如果不能的话.请算出巡逻艇比渔船慢多少小时到A 城．例题4. 蜗牛沿着公路前进.对面来了一只兔子.他问兔子：“后面有乌龟吗？”.兔子回答说：“10分钟前我超过了一只乌龟”.接着蜗牛继续爬了10分钟.遇到了乌龟．已知乌龟的速度是蜗牛速度的10倍.那么兔子速度是乌龟速度的________倍．例题5.甲、乙二人相距100米的直路上来回跑步,甲每秒钟跑2.8米,乙每秒钟跑2.2米.他们同时分别在直路两端出发,当他们跑了30分钟时,这段时间内相遇了几次？例题6.甲乙两车同时从A、B两地出发相向而行.两车在距离B地64千米的地方第一次相遇.相遇后两车继续原速前进.并且在到达对方出发点之后.立即沿原路返回.途中在距离A点48千米处第二次相遇.问：两次相遇点距离是多少千米？例题7.甲、乙两车分别从A、B两地出发.在A、B之间不断往返行驶.已知甲车的速度是每小时15千米.乙车的速度是每小时35千米.并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距120千米.那么.A、B两地之间的距离等于_________ 千米．例题8.快、中、慢3辆车同时从同一地点出发.沿同一公路追赶前面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知道快车每小时走24千米.中车每小时走20千米.那么.慢车每小时走多少千米？例题9.有甲乙丙三车各以一定的速度从A到B.乙比丙晚出发10分钟.出发后40分钟追上丙.甲比乙又晚出发10分钟.出发后60分钟追上丙.问.甲出发后多少分钟可以追上乙？思考题一次越野赛跑中.当小明跑了1600米时.小刚跑了1450米.此后两人分别以每秒a米和每秒b米匀速跑.又过100秒时小刚追上小明.200秒时小刚到达终点.300秒时小明到达终点.这次越野赛跑的全程为多少？作业1.现有两列火车同时同方向齐头行进.快车每秒行18米.慢车每秒行10米.行12秒后快车超过慢车．如果这两辆火车车尾相齐同时同方向行进.则9秒后快车超过慢车．那么快慢两车的车长分别是几米？2.一辆中巴车6点（24小时制）从A城出发.以每小时40千米的速度向B城驶去.3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A出发到B．当小轿车到达B后.中巴车离B还有90千米．那么中巴车是几点几分到达B的？3.甲、乙两人从相距为46千米的A、B两地出发相向而行.甲比乙先出发一个小时．他们两人在乙出发后4小时相遇.又已知甲比乙每小时快2千米.那么乙的速度为每小时多少千米？4.甲、乙两人分别从南北两地相对而行．已知甲每分钟走50米.乙走完全程要30分钟．相对而行10分钟后.甲、乙仍相距100米．那么还要过多少秒钟.甲、乙第一次相遇？5.（第三届“走进美妙的数学花园”团体对抗赛第22题）一个和尚每天早晨都到河边去提一桶水.他提空桶时每秒走3米.提满桶时每秒2米.来回一趟需10分钟。

六年级圆扇形知识点圆扇形是圆的一部分，它是由圆心、半径和圆弧所围成的一个扇形。

在六年级的数学中，我们需要掌握以下关于圆扇形的知识点。

1. 圆扇形的定义圆扇形是指一个扇形和圆的组合体。

它由圆心、圆周上的两个点和弧所围成。

通常我们用大写字母来表示圆扇形，如图1所示。

2. 圆扇形的要素圆扇形有三个主要要素：圆心、半径和圆弧。

圆心是圆扇形的中心点，通常用字母O表示；半径是从圆心到圆周上的一点，通常用字母r表示；圆弧是圆周上两个点之间的一段弧线，它们构成了圆扇形的边界。

3. 圆扇形的面积要计算圆扇形的面积，我们需要知道圆的半径和圆弧对应的圆心角。

圆心角是以圆心为顶点的角，其两边分别为圆弧。

圆扇形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (圆周长 ×圆心角) / 360°4. 弧长弧长是圆周上的一段弧线的长度。

要计算圆扇形的弧长，我们需要知道圆的半径和圆心角。

弧长可以通过以下公式计算：弧长= (2πr × 圆心角) / 360°其中，π是一个数学常数，约等于3.14。

5. 弧度制除了使用度数来度量圆心角外，我们还可以使用弧度制。

弧度制是一种角度的衡量方式，用弧长与半径之比来表示。

我们可以通过以下公式将度数转换为弧度：弧度= (π × 角度) / 180°圆扇形的弧长和面积公式在弧度制下也有相应的变化。

6. 圆扇形的实际应用圆扇形在生活中有许多实际应用。

例如，太阳能电池板通常是圆形，圆扇形的面积可以帮助我们计算太阳能电池板的接收能力。

另外，圆扇形的面积也可以应用于农田的面积计算、遮阳篷的设计等方面。

在六年级的学习中，我们需要了解并掌握圆扇形的定义、要素、面积和弧长的计算方法。

通过实际应用的例子，我们可以更好地理解圆扇形的概念，并将其应用于真实生活中。

通过学习圆扇形，我们可以培养和发展数学思维能力，提高我们的计算和推理能力。

同时，圆扇形知识也为我们日后学习更高级的几何概念打下了坚实的基础。

六年级数学知识点：圆和扇形知识点_知识点总结
成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，我们为大家准备了圆和扇形知识点，希望同学们不断取得进步!
【练习题】
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是。

2、如果圆的半径r=30cm，那么弧长为36cm的扇形的面积是cm2。

3、一扇形面积是所在圆面积的2/3，扇形的圆心角是°。

4、圆心角为60.的扇形面积为8.96平方厘米，它所在圆的面积是平方厘米。

5、一扇形的半径5厘米，面积15.7平方厘米，这个扇形的圆心角是°。

6、一个扇形的弧长是20π厘米，面积是240π平方厘米，则扇形的圆心角是°。

未来教育学科教师辅导讲义 学员姓名年 级 六年级 科 目 数学 授课时间段 学科教师 王晓芬 课时数2H 课 题 圆 教学目标及重难点教学内容 一、知识梳理1、圆的周长：d C π=或r C π2=2、弧长：l ＝180n πr 3、圆的面积：S=πR 24、圆环面积：22r R S S S ππ-=-=内圆外圆圆环5.扇形的面积： S 扇形＝360n πR 2，其中R 为扇形的半径，n 为圆心角． 引导学生理解公式：在应用扇形的面积公式S 扇形=2360r n π 进行计算时，要注意公式中n 的意义：n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的。

6、弧长与扇形面积的关系：∵l ＝180n πR ， S 扇形＝360n πR 2， ∴360n πR 2＝12R ·180n πR ． ∴S 扇形＝12lR 二、例题讲解例1：有一圆形铁片，没有标明圆心，你能测出它的圆心吗？例2：圆形花坛的直径是20米，则其周长是多少米？小自行车得车轮直径是50厘米。

绕花坛一周车轮大约转动多少周？例3：已知圆的半径为3厘米，圆心角的度数为20度，计算圆心角所对的弧长度。

例4：钟面上的分针长6cm ，经过25分钟时间，分针的针尖走过的路径长为多少厘米。

例5：一个圆形蓄水池的周长是25.12m ，这个蓄水池的占地面积是多少？例6：一个圆环铁片，内圆半径是6cm ，环宽是4场面，求这个环形铁片的面积是多少？例7：已知扇形的圆心角120度，半径为3cm ，则这个扇形的面积是多少？例8：已知扇形的圆心角为270度，弧长为12π，求扇形的面积。

三、练习巩固1、下列语句中正确的是（ ）Ａ、因为圆周率表示圆的周长和直径的关系，所以圆周率随着圆的周长和直径的变化而变化Ｂ、圆心角相等，所对弧的长也相等Ｃ、圆的周长扩大６倍，半径就扩大３倍Ｄ、在一个圆中，圆心角是圆周角的61，那么圆心角所对的弧长是圆周长的61 2、 一个圆的半径增加２cm ，则它的周长增加 。

六年级上册数学《圆》知识点＋同步练习，全是重点！一、圆的特征1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。

2、圆的特征：外形美观，易滚动。

3、圆心O：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。

圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。

圆心确定圆的位置。

半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。

半径确定圆的大小。

直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。

在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。

直径是圆内最长的线段。

同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或r=d÷24、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。

同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。

5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的直线叫做对称轴。

有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。

有二条对称轴的图形：长方形有三条对称轴的图形：等边三角形有四条对称轴的图形：正方形有无条对称轴的图形：圆，圆环6、画圆（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。

（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。

二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。

1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。

即：圆周率π= 周长÷直径≈3.14所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)—周长公式：c=πd, c=2πr圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。

3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

4、半圆周长=圆周长一半+直径= πr+d三、圆的面积s1、圆面积公式的推导如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。

六年级上学期《圆和扇形》一．选择题（共15小题）1．我国古代数学家中，计算圆周率最精确的是（）A．刘徽B．祖冲之C．陈景润D．杨辉2．下面说法正确的是（）A．圆周率π等于3.14B．周长相等的圆面积相等C．半圆的周长是周长的一半3．圆的周长是它的半径的（）倍.A．x B．2πC．3.14D．6.284．在一个边长为5cm的正方形中剪一个最大的圆，圆的半径是（）。

A．5cm B．2.5cm C．10cm5．井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口．这是应用了圆特征中（）A．圆心角决定圆的位置B．半径决定圆的大小C．同一圆内所有直径都相等D．圆是曲边图形6．下面各圆中的阴影部分，（）是扇形．A．B．C．D．7．如图，下面说法正确的是（）A．线段AC是这个圆的直径B．线段AB是这个圆的半径C．线段OD是这个圆的直径D．OA＝OD8．下面图形中的角是圆心角的是（）A．B．C．D．9．下列图形中，涂色部分不是扇形的是（）A．B．C．10．下面图形的阴影部分是扇形的是（）A．B．C．D．11．圆的大小与圆的（）无关．A．周长B．圆心C．半径12．草坪内旋转式水龙喷头的射程是5米，5米相当于圆的（）A．半径B．直径C．周长D．面积13．下水道的井盖设计成圆形，主要是因为（）A．直径相等，怎么放都掉不下去B．周长相等C．美观14．下面图形中的圆心角是90°的是（）A．B．C．D．15．在一个长6厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的（）厘米．A．直径是6B．半径是6C．直径是4D．半径是4二．填空题（共10小题）16．在同一个圆中，半径处处。

17．1500多年前，我国南北时期著名的数学家算出π的值。

18．看图填空。

圆的直径＝cm。

长方形的宽＝cm。

19．如图，长方形的长是8厘米，则圆的直径是厘米，半径是厘米。

20．以圆为弧的扇形的圆心角是度．21．填一填．半径/cm 4.5直径/cm2622．在边长是12cm的正方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是cm．23．用圆规画一个半径为6cm的圆时，圆规两脚之间的距离应取cm，如果要画一个直径为10cm的圆，那么圆规两脚之间的距离应取cm．24．若在右边长方形内画出一个最大的圆，则圆规两脚间的距离是厘米．25．在长8厘米、宽4厘米的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径是厘米．三．解答题（共5小题）26．（1）在一个长5cm，宽2cm的长方形内画一个最大的圆．（2）这个长方形内最多可以画个这样不重叠的圆．27．如图这个圆的半径是1cm，现在以A点为起点，向右滚动一周至B点．请在直线上标出B点的大概位置．（直线上每段长度为1cm）28．顶点在圆心上的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角．下面图形中，是圆心角的画“√”是圆周角的画“△”．29．（1）分别以AD、BC边为直径在长方形外侧画半圆．（2）AB的长是BC长的1.5倍，组合图形的周长是BC长的多少倍？30．在下面正方形中画出一个最大的圆．则圆的周长占正方形周长的%．冀教新版六年级上学期《一圆和扇形》参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．我国古代数学家中，计算圆周率最精确的是（）A．刘徽B．祖冲之C．陈景润D．杨辉【分析】我国古代数学家祖冲之计算出圆周率的值在3.1415926到3.1415927之间，是世界上第一个将圆周率的值精确到7位小数的人；据此解答即可。

4.2 圆的面积和扇形面积【知识要点】1.知道圆面积的推倒过程，理解圆的面积与半径之间的关系，掌握圆面积的计算公式。

2.了解扇形的特征，正确理解扇形的概念，掌握扇形面积与圆面积之间的关系，并正确运用公式进行扇形面积的计算。

3.掌握圆的半径、直径、圆周长、圆面积、圆心角、弧长、扇形面积等各个量之间的计算关系，提高解决实际问题的能力。

4.能利用扇形面积、圆心角与圆的关系看懂扇形统计图，并能解答相关的问题。

5.会计算组合图形的周长。

（A卷）姓名___________班级___________学号___________成绩__________一、填空题（3分×10=30分）（取π=3.14）1. 一个圆形花坛直径为1.6米，则这个花坛面积为_________平方米。

2.把圆平均分成6个扇形，每个扇形的圆心角是_____°。

3.一圆面积为24dm2，其中圆心角为120°的扇形面积为_________dm2。

4.一圆形锅盖周长为56.52cm，则这个锅盖的面积为_________cm2。

5.圆心角为126°的扇形面积是所在圆面积的_________(几分之几)。

6.半径为12cm，弧长3.14cm的扇形面积为__________cm2。

7.预备（4）班有25%的同学参加英语学习班，用一个圆表示全班同学，表示参加英语学习班的同学的扇形圆心角为______°。

8.把边长为6dm的正方形剪成一个最大的圆，这个圆的面积是_______dm2。

9.一个圆环内半径为8cm，环宽6cm，则，该圆环的面积是_______cm2。

10. 在一个长10cm宽5cm的长方形内剪一个最大的扇形的面积是________cm2。

二、选择题（3分×6=18分）1、人民广场草地上的自动喷灌装置喷淋的最远距离为8米，那么它的最大喷灌面积为（）（A）8π平方米（B）16π平方米（C）4π平方米（D）64π平方米2. 下列说法正确的是（）（A）周长相等的圆面积相等（B）周长相等的扇形面积相等（C）扇形是圆的一部分，所以圆面积一定大于扇形面积（D）周长相等的圆和正方形面积相等3. 圆面积扩大到原来的16倍，半径扩大到原来的 （ ） （A ）8倍 （B ）32倍 （C ）4倍 （D ）64倍4. 一个半圆半径为r ，它的面积是 （ ） （A ）2πr （B ）πr 2 （C ）2πr 2 （D ）21πr 2 5. 将直径4米的喷水池，扩建成半径为5米的水池，面积增加了 （ ） （A ）4π平方米 （B ）25π平方米 （C ）21π平方米 （D ）16π平方米 6. 两个半径相等的扇形，甲扇形圆心角是乙扇形圆心角的2倍，则甲扇形面积是乙扇形面积的 （ ） （A ）2倍 （B ）4倍 （C ）21 （D ）41三、解答题（6分×6＋8分×2=52分）1. 游乐场的旋转木马半径约是3米，游客乘坐它旋转一周经过的路线有多长？旋转一周经过的面积是多少平方米？（取π=3.14）2. 扇形花坛半径为3m ，周长是9.42m ，这个花坛的面积是多少？（取π=3.14）3. 在下图中，已知扇形半径为30cm4. 小区建了一个圆形绿化带，周围每隔4.71m种一棵树，共种了24棵，则这个绿化带的面积为多少m2？（取π=3.14）5.一张压缩光盘外直径是8cm，内直径为1.5cm，求该光盘的面积。

第十五讲 圆和扇形研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积；扇形的面积；2πr =2π360nr =⨯圆的周长；扇形的弧长．2πr =2π360nr =⨯一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这121416个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是．360n比如：扇形的面积所在圆的面积；=360n⨯扇形中的弧长部分所在圆的周长=360n⨯扇形的周长所在圆的周长2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)=360n⨯+⨯②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆)=③”弯角”：如图： 弯角的面积正方形-扇形=④”谷子”：如图： “谷子”的面积弓形面积=2⨯一、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的)②等积变形(割补、平移、旋转等)③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【例 2】(2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．【解析】采用割补法．如果将阴影半圆中的2个弓形移到下面的等腰直角三角形中，那么就形成两个相同的等腰直角三角形，所以阴影部分的面积等于两个等腰直角三角形的面积和，即正方形面积的一半，所以阴影部分的面积等于平方厘米．21222⨯=【例 3】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．A A【解析】将右边的扇形向左平移，如图所示．两个阴影部分拼成—个直角梯形． (平方分米)．()5105275237.5+⨯÷=÷=【例 4】求图中阴影部分的面积．【解析】如图，连接，可知阴影部分的面积与三角形的面积相等，即为．BD BCD 1112123622⨯⨯⨯=【例 5】求如图中阴影部分的面积．(圆周率取)3.14【解析】，则阴影部分转化为四分之一圆90︒．211π444 4.5642⨯⨯-⨯⨯=【例 6】求下列各图中阴影部分的面积．10(2)ba【解析】在图10，高为5的三角形，利用三角形面积公式可以求得；110102522S =⨯⨯=阴影在图(2)中，阴影部分经过切割平移变成了一个长为b ，宽为a 的长方形，利用长方形面积公式可以求得．S a b ab =⨯=阴影【例 7】如图，长方形的长是，则阴影部分的面积是 ．()ABCD 8cm 2cm π 3.14=【解析】阴影部分的面积实际上是右上图阴影部分面积的一半，所以求出右上图中阴影部分面积再除以2即可．长方形的长等于两个圆直径，宽等于1个圆直径，所以右图的阴影部分的面积等于：()2882822π2 6.88⨯÷-÷÷⨯⨯=所以左图阴影部分的面积等于平方厘米．6.882 3.44÷=【例 8】求右图中阴影部分的面积．(取3)π【解析】看到这道题，一下就会知道解决方法就是求出空白部分的面积，再通过作差来求出阴影部分面积，因为阴影部分非常不规则，无法入手．这样，平移和旋转就成了我们首选的方法．(法1)我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、②部分面积之和即可，其中①、②面积相等．易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角边AB 的长度未知．单独求①部分面积不易，于是我们将①、②部分平移至一起，如右下图所示，则①、②部分变为一个以AC 为直角边的等腰直角三角形，而AC 为四分之一圆的半径，所以有AC 10．两个四分之一圆的面积和为150，而①、②部分的面积和为，所以阴=11010502⨯⨯=影部分的面积为(平方厘米)．15050100-=(法2)欲求图①中阴影部分的面积，可将左半图形绕B 点逆时针方向旋转180°，使A 与C 重合，从而构成如右图②的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积．所以阴影部分面积为(平方厘米)．21110101010022π⨯⨯-⨯⨯=A板块二 曲线型面积计算【例 9】如图，已知扇形的面积是半圆面积的34倍，则角的度数是________．BAC ADB CAB DCBA 【解析】设半圆的半径为1，则半圆面积为，扇形的面积为．因为扇ADB 21ππ122⨯=BAC π42π233⨯=形的面积为，所以，，得到，即角的度数是60BAC 2π360n r ⨯22ππ23603n ⨯⨯=60n =CAB 度．【例 10】如下图，直角三角形的两条直角边分别长和，分别以为圆心，为半径画ABC 67,B C 2圆，已知图中阴影部分的面积是，那么角是多少度()17A π3=【解析】,167212ABC S =⨯⨯=△三角形内两扇形面积和为，ABC 21174-=根据扇形面积公式两扇形面积和为,2π24360B C∠+∠⨯⨯=°所以,.120B C ∠+∠=°60A ∠=°【例 11】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的，是小圆面积的．如41535果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？【解析】小圆的面积为，则大小圆相交部分面积为,那么大圆的面积为2π525π⨯=325π15π5⨯=，而，所以大圆半径为厘米．422515ππ154÷=2251515422=⨯7.5【例 12】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(取3)πCBA 【解析】由右图知，绳长等于6个线段与6个弧长之和．AB BC 将图中与弧相似的6个弧所对的圆心角平移拼补，可得到6个角的和是，BC 360︒所以弧所对的圆心角是，6个弧合起来等于直径5厘米的圆的周长．BC 60︒BC 而线段等于塑料管的直径，AB 由此知绳长为：(厘米)．565π45⨯+=【例 13】用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？【解析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积，22π:π1:9r R ==小圆面积，个小圆总面积，13649=⨯=74728=⨯=边角料面积(平方厘米)．36288=-=【例 14】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取)3.14AFEAFE【解析】方法一：设小正方形的边长为，则三角形与梯形 的面积均a ABF ABCD 为．阴影部分为：大正方形梯形三角形右上角不规则部分大正方()122a a +⨯÷+-ABF -=形右上角不规则部分圆．因此阴影部分面积为：．-=143.1412124113.04⨯⨯÷=方法二：连接、，设与的交点为，由于四边形是梯形，根据梯形AC DF AF CD M ACDF 蝴蝶定理有，所以ADM CMF S S =△△DCF S S =阴影扇形 3.1412124113.04=⨯⨯÷=【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(取3)π【解析】(法1)观察可知阴影部分面积等于三角形的面积减去月牙的面积，那么求出月牙ACD BCD 的面积就成了解题的关键．BCD 月牙的面积为正方形的面积减去四分之一圆：；BCD BCDE 166π6694⨯-⨯⨯⨯=则阴影部分的面积为三角形的面积减去月牙的面积，为：ACD BCD ．()110669392S =⨯+⨯-=阴影(法2)观察可知和是平行的，于是连接、、．AF BD AF BD DF 则与面积相等，那么阴影部分面积等于与小弓形的面积之和，也就等于ABD ∆BDF ∆BDF ∆与扇形的面积之和，为：．DEF ∆BED 211(106)6π63924-⨯⨯+⨯⨯=【例 15】如图，是等腰直角三角形，是半圆周的中点，是半圆的直径．已知ABC D BC ，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取)10AB BC == 3.14DD【解析】连接、、，如图，平行于，则在梯形中，对角线交于点，那么PD AP BD PD AB ABDP M 与面积相等，则阴影部分的面积转化为与圆内的小弓形的面积和．ABD ∆ABP ∆ABP ∆的面积为：；ABP ∆()10102225⨯÷÷=弓形面积： ；3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=阴影部分面积为：．257.12532.125+=【例 16】CBC【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，()4S S S =⨯-阴影半圆三角形 21142222a a a π⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 212a =【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影部分面积．(取3)πD BA DB【解析】由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．则阴影部分的面积为；=21π44482⋅⋅-⨯=解法二：连接AC ，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，所以阴影部分面积．=212π444284⨯⋅⋅-⨯÷=（）【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取)3.14【解析】我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇形减去小扇形，再减去长方形．则为：．ππ4422423 3.148 1.4244⨯⨯-⨯⨯-⨯=⨯-=【例 17】如图，矩形ABCD 中，AB 6厘米，BC 4厘米，扇形ABE 半径AE 6厘米，扇形CBF 的===半径CB 4厘米，求阴影部分的面积．(取3)=πA【解析】方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD 在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．我们先确定ABFD 的面积，因为不规则部分ABFD 与扇形BCF 共同构成长方形ABCD ，所以不规则部分ABFD 的面积为(平方厘米)，2164π4124⨯-⨯⨯=再从扇形ABE 中考虑，让扇形ABE 减去ABFD 的面积，则有阴影部分面积为(平方厘米)．21π612154⨯⨯-=方法二：利用容斥原理(平方2211π6π4461544EAB BCF ABCD S S S S =+-=⨯+⨯-⨯=阴影扇形扇形长方形厘米)【例 18】如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部分的面积相等．求扇形所在的圆面积．【解析】题目已经明确告诉我们ABC 是等腰直角三角形，AEF 是扇形，所以看似没有关系的两个阴影部分通过空白部分联系起来．等腰直角三角形的角A 为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．而扇形面积与等腰直角三角形面积相等，即，11010502S =⨯⨯=扇形则圆的面积为508400⨯=【例 19】如图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且，阴影甲的面积比阴影乙的面积20AB =大7，求BC 长．()π 3.14=【解析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了．因为阴影甲比阴影乙面积大7，也就是半圆面积比直角三角形面积大7．半圆面积为：，则直角三角形的面积为1577150，可得BC 21502021π101572⨯⨯=-==⨯÷15．=【巩固】 如图，三角形是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，长ABC AB40厘米．求的长度？(取)BC π 3.14【解析】图中半圆的直径为，所以其面积为．AB 2120π200 3.146282⨯⨯≈⨯= 有空白部分③与①的面积和为628，又②-①，所以②、③部分的面积28=和．62828656+=有直角三角形的面积为．所以厘米．ABC 12AB BC ⨯⨯=1406562BC ⨯⨯=32.8BC =【例 20】(2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为，求阴影部分的面积．8:3【解析】，连接．O OC ，，根据勾股定理可得．20=20416OB =-=12BC =阴影部分面积等于半圆的面积减去长方形的面积，为：．21π20(162)12200π3842442⨯⨯-⨯⨯=-=【例 21】如图，求阴影部分的面积．(取3)π【解析】求出 它们的面积，那么我们应该怎么来解决呢？首先，我们分析下月牙儿状是怎么产生的，观察发现月牙儿形是两条圆弧所夹部分，再分析可以知道，两条圆弧分别是不同圆的圆周的一部分，那么我们就找到了解决问题的方法了．阴影部分面积小圆面积中圆面积三角形面积大圆面积=12+12+-12=2221111π3π434π52222⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯-⋅⋅6=【例 22】如图，直角三角形的三条边长度为，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面6,8,10积为多少？6【解析】S 设半圆半径为，直角三角形面积用表示为：r r 610822r rr ⨯⨯+=又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为，168242⨯⨯=所以，824r =3r =所以1249π=24 4.5π2S =-⨯-阴影 家庭作业【作业1】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．【解析】阴影部分经过切割平移变成了一个面积为正方形一半的长方形，则阴影部分面积为．4428⨯÷=【作业2】如图，阴影部分的面积是多少？24【解析】首先观察阴影部分，我们发现阴影部分形如一个号角，但是我们并没有学习过如何求号角的面积，那么我们要怎么办呢？阴影部分我们找不到出路，那么我们不妨考虑下除了阴影部分之外的部分吧！观察发现，阴影部分左侧是一个扇形，而阴影部分右边的空白部分恰好与左边的扇形构成一个边长为4的正方形，那么阴影部分的面积就等于大的矩形面积减去正方形面积．则阴影部分面积(222)4(22)48++⨯-+⨯=【作业3】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率取近似值．π227【解析】原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为：．2211227π738.5447⨯⨯≈⨯⨯=四分之一大圆内的等腰直角三角形的面积为，所以阴影部分的面积为ABC 17724.52⨯⨯=．38.524.514-=【作业4】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为，圆周率按3计算)：cm⑴3⑵4⑶111⑷⑸2⑹【解析】⑴　⑵　⑶ ⑷　⑸　⑹4.5412 1.5 4.5【作业5】求图中阴影部分的面积(单位：)．cm 【解析】从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分面积为．21(24)39cm 2⨯+⨯=【作业6】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．【解析】的小扇形面积120︒3倍，所以其面积为小圆的倍，那么阴影部分面积为．239=21259π1π 2.5636⎛⎫⨯-⨯⨯== ⎪⎝⎭【作业7】如图是一个直径为的半圆，让这个半圆以点为轴沿逆时针方向旋转，此时点3cm A 60︒B 移动到点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为，圆周率按计算)．'B cm 3【解析】半圆空白部分面积(也是半圆)圆心角为的扇形面积+-=60︒．2)【作业8】三角形是直角三角形，阴影的面积比阴影的面积小，，求的ABC I II 225cm 8cm AB =BC 长度．IIAB CI【解析】由于阴影的面积比阴影的面积小，根据差不变原理，直角三角形面积减去半I II 225cm ABC 圆面积为，则直角三角形面积为()，225cm ABC 218π258π2522⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭2cm 的长度为()．BC ()8π25282π 6.2512.53+⨯÷=+=cm 【作业9】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？【解析】割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米．【作业10】求图中阴影部分的面积．【解析】阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积．=+-22211211π(π121241.042282=⨯+⨯-⨯=。

圆一、圆的特征1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。

2、圆的特征：外形美观，易滚动。

3、圆心O：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示。

圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。

圆心确定圆的位置。

半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。

在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。

半径确定圆的大小。

直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。

在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。

直径是圆内最长的线段。

同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或r=d÷24、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。

同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。

5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。

折痕所在的直线叫做对称轴。

有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。

有二条对称轴的图形：长方形有三条对称轴的图形：等边三角形有四条对称轴的图形：正方形有无条对称轴的图形：圆，圆环6、画圆（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。

（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。

二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。

1、圆的周长总是直径的三倍多一些。

2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。

即：圆周率π = 周长÷直径≈3.14所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)—周长公式：c=πd, c=2πr圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。

3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。

4、半圆周长=圆周长一半+直径= πr+d三、圆的面积s1、圆面积公式的推导如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。

圆的半径=长方形的宽圆的周长的一半=长方形的长长方形面积=长×宽所以：圆的面积=圆的周长的一半（πr）×圆的半径（r）S圆=πr×r=πr22、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。