山东省淄博市高一上学期数学期末考试试卷

淄博四中2022级高一上学期期末线上考试数学试题一、单项选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合，B ={3，4，5，6}，则（）{}14A x x =≤<A B = A. {1，3} B. {3}C. {3，4}D. {3，5}【答案】B 【解析】【分析】根据交集的概念即可求出结果.【详解】由已知可得，{3}A B ⋂=故选：B.2. 命题“”的否定形式是（）21,10∀>->x x A. B. C. D. 21,10∀>-≤x x 21,10∀≤-≤x x 21,10∃≤-≤x x 21,10∃>-≤x x 【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，写出否定形式即可.【详解】命题“”的否定形式是 “”，21,10∀>->x x 21,10∃>-≤x x 故选：D3. 已知幂函数图象过点，则()f x (()9f =A. 3B. 9C. -3D. 1【答案】A 【解析】【详解】设幂函数f （x ）=x α，把点（3）代入得，3α，解得α=，12即f （x ）=，所以f （9），故选A ．12x 4. 函数的零点是（）()234f x x x =--A. 1，-4 B. 4，-1C. 1，3D. 不存在【答案】B【分析】令，根据函数的零点与方程的根的关系，解之即可求解.()2340f x x x =--=【详解】令，也即，()2340f x x x =--=(1)(4)0x x +-=解得：或，所以函数的零点为，4x ==1x -2()34f x x x =--4,-1故选：.B 5. 函数，其中，则函数的值域为（）3log y x =1813x ≤≤A.B. C.D.()0,∞+1,813⎛⎫⎪⎝⎭[]1,4-()1,4【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性求得正确答案.【详解】，1433331log log 31,log 81log 343-==-==在上递增，3log y x =1,813⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以.[]1,4y ∈-故选：C 6. 函数的零点所在区间为（）()2ln 6x f x x =+-A.B.C.D.()1,2()2,3()3,4()4,5【答案】C 【解析】【分析】结合的单调性以及零点存在性定理求得正确选项.()f x 【详解】在上递增，()f x ()0,∞+，()332ln 33ln 9ln 0f e =-=-<，()()()42ln 422ln 412ln 4ln 0f e =-=-=->，所以的唯一零点在区间.()()340f f ⋅<()f x ()3,47. 函数的值域是（）()213y x x x =+-≤≤A.B. C. D. []0,121,124éù-êúêúëû1,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】先配方，求出函数的单调区间，即可求出值域.【详解】令，配方得,2()f x x x =+()211()1324f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝≤≤⎭∴函数在上单调递减，在单调递增，()f x 11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又，∴，，(1)0,(3)12f f -==max()(3)12f x f ==min 11()()24f x f =-=-故函数的值域是，()f x 1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题考查二次函数的值域，属于基础题.8. 已知，则0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===A. B. C. D. a b c <<a c b<<c<a<b b<c<a【答案】B 【解析】【分析】运用中间量比较，运用中间量比较0,a c 1,b c【详解】则．故选B ．22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=01,c a c b<<<<【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．9. 函数的图像大致是log (1)(01)a y x a =-<<A. B.C. D.【答案】A 【解析】【详解】依题意，，函数为减函数，且由向右平移了一个单位，故选.01a <<log a y x =A 点睛：本题主要考查对数函数的图像与性质，考查图像的平移变换.对于对数函数，当log a y x =时，函数为减函数，图像过，当时，函数为增函数，图像过.函数与函数01a <<()1,01a >()1,0()f x 的图像可以通过平移得到，口诀是“左加右减”.在平移过程中要注意原来图像的边界.()f x a +10. 已知函数，若，则（）()23log ,031,0xx a x f x x +>⎧=⎨+≤⎩()15f f -=⎡⎤⎣⎦=a A. -2 B. 2C. -3D. 3【答案】B 【解析】【分析】先求出，再由得到关于的方程，从而可求的值.()1f -()15f f -=⎡⎤⎣⎦a a 【详解】，故，故，()141313f --=+=()214log 5f f a -=+=⎡⎤⎣⎦2a =故选：B.11. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A.B.1()|1|f x x =-1()1f x x =-C. D.21()1f x x =-21()1f x x =+【答案】B 【解析】【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A 、D ，再根据不成立排除选项C ，即可得正确()01f =-选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A 、D ，()f x {}|1x x ≠±又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C ，0x =()01f =-()01f =故选：B.12. 已知函数，若方程有五个不同的实数根，则实()21,23,21x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪-⎩()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦数的取值范围为（）a A.B.C.D.()0,1()0,2()0,3()1,3【答案】A 【解析】【分析】由可得或，数形结合可方程只有()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦()f x a =()1f x =()1f x =解，则直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围.2y a =()y f x =3a 【详解】由可得或，()()()210f x a f x a -++=⎡⎤⎣⎦()f x a =()1f x =当时，；当时，.0x ≤()[)21120,1x x f x =-=-∈02x <≤()2121x x f x =-=-作出函数、、的图象如下图所示：()f x 1y =y a =由图可知，直线与曲线有个交点，即方程只有解，1y =()y f x =2()1f x =2所以，方程有解，即直线与曲线有个交点，则.()f x a=3y a =()y f x =301a <<故选：A.二、多项选择题（本题5小题，每题6分，共30分）13. 下列函数中在区间上单调递减的函数有（）()0,1A. B.C.D. 12y x=()12log 1y x =+1y x =-12x y +=【答案】BC 【解析】【分析】A 选项根据幂函数的性质判断；B 选项根据对数函数图像的平移变换判断；C 选项根据函数整体绝对值是将下方的图像翻折到上方判断；D 选项根据指数函数图像的平移变换判断；【详解】A 选项:根据幂函数中时在上单调递增，故此选项不符合题意；y x α=0α>()0+∞，B 选项:将图像向左平移一个单位，所以在上单调递减，所以符合题12log y x=()12log 1y x =+()+∞-1，意；C 选项:保留图像在轴上方的部分，轴下方图像翻折到轴的上方，根据图像可知在1y x =-x x x 1y x =-上单调递减，上单调递增，符合题意；()1∞-，()1+∞，D 选项：的图像由指数函数图像向左平移一个单位得到，且底数大于1，所以在12x y +=2x y =12x y +=R 上单调递增，所以不符合题意。

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．在ABC ∆中，tan tan 33tan tan A B A B ++=，则C 等于A.6πB.4π C.3π D.23π 2．幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--在(0,)+∞上是减函数．则实数m 的值为( )A.2或1-B.1-C.2D.2-或13．下列函数中为偶函数的是（ ） A.B. C.D.4．已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 A.(1,1)- B.1(1,)2-- C.(1,0)-D.1(,1)25．若点1(,)M a b 和1(,)N b c 都在直线:1l x y +=上，又点1(.)P c a 和点1(,)Q b c，则 A.点P 和Q 都不直线l 上B.点P 和Q 都在直线l 上C.点P直线l 上且Q 不在直线l 上D.点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上6．如图所示，在ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、AC 上的两点，且BD DC =，23AE EC =，BM BA BC λμ=+，则λμ+的值为（ ）.A.1114B.87 C.57D.1377．已知α为第二象限角，则222sin 1sin cos 1cos αααα-+-的值是（ ） A.3 B.3- C.1D.12-8．设函数3y x =与23xy -=的图像的交点为00(,)x y ，则0x 所在的区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)9．将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为 A.2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B.2sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D.sin 42y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10．[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[][][]11, 3.54,2.12=-=-=．若0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则[]0x =（ ） A.1 B.2 C.3D.4二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数()sin y x ωϕ=+02πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，的部分图象如图所示，则ϕ=___________12．圆柱的高为1，它的两个底面在直径为2的同一球面上，则该圆柱的体积为____________；13．如图，在棱长均相等的正四棱锥P ABCD -最终，O 为底面正方形的重心，,M N 分别为侧棱,PA PB 的中点，有下列结论：①//PC 平面OMN ；②平面//PCD 平面OMN ；③OM PA ⊥；④直线PD 与直线MN 所成角的大小为90其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）14．已知函数()()4121xxf x k =++⋅+，x ∈R 的图象与x 轴无公共点，求实数k 的取值范围是_________.15．若集合{}{}230,0,1,2,3A xx x B =-==∣，则满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数是___________. 三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M . （1）求M ；（2）若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值. 17．（1）若tan 2α=，求2sin cos sin cos αααα+-的值；（2）已知锐角α，β满足()11cos 14αβ+=-，若()43sin αβ-=β的值. 18．已知函数())()442sin cos 22cos 0f x x x x x ωωωωω=-+⋅>最小正周期为π.（1）求ω的值：（2）将函数()f x 的图象先向左平移8π个单位，然后向上平移1个单位，得到函数()y g x =，若()y g x =在[]()0,0b b >上至少含有4个零点，求b 的最小值.19．设两个向量a ，b ，满足||2a =，||1b =. （1）若(2)()1a b a b +⋅-=，求a 、b 的夹角；（2）若a 、b 夹角为60︒，向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 20．已知二次函数243y x x =-+的图象与x 轴、y 轴共有三个交点.（1）求经过这三个交点的圆C 的标准方程；（2）当直线2y x m =+与圆C 相切时，求实数m 的值；（3）若直线2y x m =+与圆C 交于,M N 两点，且2MN =，求此时实数m 的值.21．某学校高一学生有1000名学生参加一次数学小测验，随机抽取200名学生的测验成绩得如图所示的频率分布直方图：（1）求该学校高一学生随机抽取的200名学生的数学平均成绩x 和标准差s （同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）；（2）试估计该校高一学生在这一次的数学测验成绩在区间[]2,2x s x s -+之内的概率是多少？测验成绩在区间[]2,2x s x s -+26 5.1≈）参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C【解析】分析：利用两角和的正切公式，求出tan()A B +的三角函数值，求出A B +的大小，然后求出C 的值即可 详解：由tan tan 33tan tan A B A B ++=，则tan tan 3(1tan tan )tan()31tan tan 1tan tan A B A B A B A B A B+-+==-=---，因为,,A B C 位三角形的内角，所以23A B π+=，所以3C π=，故选C 点睛：本题主要考查了两角和的正切函数的应用，解答中注意公式的灵活运用以及三角形内角定理的应用，着重考查了推理与计算能力 2、B【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，由此解得m 的值【详解】解：由于幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--在(0,)+∞时是减函数，故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-， 故选：B【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质应用，属于基础题 3、B【解析】利用函数奇偶性的定义可判断A 、B 、C 选项中各函数的奇偶性，利用特殊值法可判断D 选项中函数的奇偶性.【详解】对于A 选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为奇函数；对于B 选项，令，该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数；对于C 选项，函数的定义域为，则函数为非奇非偶函数；对于D 选项，令，则，，且，所以，函数为非奇非偶函数.故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题. 4、B【解析】因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选 B 考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域 5、B【解析】由题意得：1111a bb c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 易得点1,Q b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足1 1b c+= 由方程组得1111b a b c b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，两式相加得11c a +=，即点1,P c a ⎛⎫⎪⎝⎭ 在直线:1l x y +=上，故选B. 6、C【解析】由向量的线性运算可得BE ＝35BA+25BC ，可得3255BM aBE aBA aBC ==+，又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得()1BM bBA b BD =+-，则可建立关于a ，b 的方程组，即可求得a 值，从而可得λ，μ，进而得解【详解】解：因为BD DC =，23AE EC =， 所以12BD BC =，25AE AC =， 所以()22325555BE AE BA AC BA AB BC BA BA BC =+=+=++=+，所以3255BM aBE aBA aBC ==+， 又A ，M ，D 三点共线，则存在b ∈R ， 使得()112bBM bBA b BD bBA BC -=+-=+， 所以352152a b b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得5737a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3277BM BA BC =+， 因为BM BA BC λμ=+， 所以由平面向量基本定理可得λ＝37，μ＝27，所以λ+μ＝57故选：C 7、C【解析】由α为第二象限角，可得sin 0,cos 0αα><，再结合22sin cos 1αα+=，化简即可.cos 2sin sin cos αααα+=+， 因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以cos 2sin 2sin cos 211sin cos sin cos αααααααα-+=+=-=. 故选：C. 8、B【解析】根据零点所在区间的端点值的乘积小于零可得答案. 【详解】函数3y x =与23xy -=的图象的交点为()00,x y ，可得设()323xf x x -=-,则0x 是()323xf x x -=-的零点，由()()()090,11320,28170f f f =-<=-=-<=-=>，()()18013273,464039f f -=-==->， ∴()()120f f <，∴0x 所在的区间是(1,2). 故选：B. 9、A【解析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换法则，即可得出结论 【详解】将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个的单位长度，可得2sin 2()sin(2)633y x x πππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为2sin()3y x π=-，故选A 【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换法则，注意ω对ϕ的影响 10、B【解析】利用零点存在定理得到零点0x 所在区间求解. 【详解】因为函数()2ln f x x x=-在定义域(0,)+∞上连续的增函数， 且()()22ln 210,3ln 303f f =-<=->， 又∵0x 是函数()2ln f x x x=-的零点， ∴()02,3x ∈， 所以[]02x =， 故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、π6-【解析】由图象可得最小正周期T 的值，进而可得ω，又函数图象过点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，利用2πϕ<即可求解.【详解】解：由图可知741234T πππ=-=，因为0>ω，所以2T ππω==，解得2ω=， 因为函数()sin 2y x ϕ=+0 2ωϕπ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，的图象过点,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<， 所以6πϕ=-，故答案为：π6-. 12、34π 【解析】由题设，易知圆柱体轴截面的对角线长为2，进而求底面直径，再由圆柱体体积公式求体积即可. 【详解】由题意知：圆柱体轴截面的对角线长为2，而其高为1，∴该圆柱的体积为2314V ππ=⨯=. 故答案为：34π13、①②③【解析】连接AC ，易得PC ∥OM ，可判结论① 证得平面PCD ∥平面OMN ，可判结论②正确由勾股数可得PC ⊥PA ，得到OM ⊥PA ，可判结论③正确根据线线平行先找到直线PD 与直线MN 所成的角为∠PDC ，知三角形PDC 为等边三角形，所以∠PDC ＝60°，可判④错误【详解】如图，连接AC ，易得PC ∥OM ，所以PC ∥平面OMN ，结论①正确 同理PD ∥ON ，所以平面PCD ∥平面OMN ，结论②正确由于四棱锥的棱长均相等，所以AB 2+BC 2＝PA 2+PC 2＝AC 2，所以PC ⊥PA ，又PC ∥OM ，所以OM ⊥PA ，结论③正确 由于M ，N 分别为侧棱PA ，PB 的中点，所以MN ∥AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以AB ∥CD ，所以直线PD 与直线MN 所成的角即为直线PD 与直线CD 所成的角，为∠PDC ，知三角形PDC 为等边三角形，所以∠PDC ＝60°，故④错误 故答案为①②③【点睛】本题考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14、()3∞-+，【解析】令2x＝t ＞0，则g (t )＝()211t k t +++>0对t ＞0恒成立，即11k t t ⎛⎫>-+- ⎪⎝⎭对t ＞0恒成立，再由基本不等式求出11t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的最大值即可. 【详解】()()()()24121=2121xxx xf x k k =++⋅+++⋅+，x ∈R ，令2x ＝t ＞0，则f (x )＝g (t )＝()211t k t +++，由题可知g (t )在t ＞0时与横轴无公共点， 则()2110t k t +++>对t ＞0恒成立，即11k t t ⎛⎫>-+- ⎪⎝⎭对t ＞0恒成立，∵12t t +≥=，当且仅当1t t =，即1t =时，等号成立，∴113t t ⎛⎫-+-≤- ⎪⎝⎭， ∴3k >-.故答案为：()3∞-+，. 15、4【解析】求出集合A ，由A M B ⊆⊆即可求出集合M 的个数【详解】因为集合{}{}2300,3A xx x =-==∣，{}0,1,2,3B =， 因为A M B ⊆⊆，故M 有元素0，3，且可能有元素1或2， 所以{}0,3M =或{}0,1,3M =或{}0,2,3M =或{}0,1,2,3M = 故满足A M B ⊆⊆的集合M 的个数为4， 故答案为：4三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）{08}aa ≤<∣ （2）1【解析】（1）分类讨论即可求得实数a 的所有取值构成的集合M ； （2）先求得451a a --+的最大值2，再解不等式2322t t +-≥即可求得t 的最小值. 【小问1详解】当0a =时，20>满足题意；当0a ≠时，要使不等式220ax ax ++>的解集为R ，必须2080a a a >⎧⎨-<⎩，解得08a <<， 综上可知08a ≤<，所以{08}M aa =≤<∣ 【小问2详解】∵08a ≤<，∴119a ≤+<， ∴441141311a a a a +=++-≥-=++，（当且仅当1a =时取“=”） ∴4521a a --≤+， ∵a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，∴2322t t +-≥， ∴2340t t +-≥，∴1t ≥或4t ≤-，又0t >，∴1t ≥，∴ t 的最小值为1.17、（1）5；（2）6π. 【解析】（1）根据给定条件化正余的齐次式为正切，再代入计算作答.（2）根据给定条件利用差角的余弦公式求出cos 2β，结合角的范围求出2β即可作答.【详解】（1）因tan 2α=，所以2sin cos 2tan 12215sin cos tan 121αααααα++⨯+===---.（2）因α，β是锐角，则0αβ<+<π，22ππαβ-<-<，又()11cos 14αβ+=-，()sin αβ-=因此，sin()αβ+===cos()αβ-=17==，则cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ=+--=+-++-11111472=-⨯+=， 显然02βπ<<，于是得：23πβ=，解得6πβ=， 所以β的值为6π. 18、（1）1 （2）2312π 【解析】（1）利用平方关系、二倍角余弦公式、辅助角公式化简函数解析式，然后根据周期公式即可求解；（2）利用三角函数的图象变换求出()g x 的解析式，然后借助三角函数的图象即可求解.【小问1详解】解：))()442222()sin cos cos sin cos sin cos cos f x x x x x x x x x x x ωωωωωωωωωω=-+⋅=-++⋅222sin 24x x x πωωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 因为函数的最小正周期为π，即22ππω=， 所以1ω=；【小问2详解】解：由（1）知()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由题意，函数()2sin 212sin 2184y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫==+-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()2sin 210g x x =+=，即1sin 22x =-， 因为()y g x =在[]()0,0b b >上至少含有4个零点， 所以2326b π≤，即2312b π≥， 所以b 的最小值为2312π.19、（1）23π；（2）172t -<<-且t ≠. 【解析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得1a b ⋅=-，再根据数量积求得夹角；（2）根据夹角为钝角则数量积为负数，求得t 的范围；再排除向量27ta b +与a tb +不为反向向量对应参数的范围，则问题得解.【详解】（1）因为(2)()1a b a b +⋅-=，所以2221a a b b +⋅-=，即22||2||1a a b b +⋅-=，又||2a =，||1b =，所以1a b ⋅=-， 所以11cos ,212||||a b a b a b ⋅-〈〉===-⨯⋅，又,[0,]a b π〈〉∈， 所以向量a 、b 的夹角是23π. （2）因为向量27ta b +与a tb +的夹角为钝角，所以(27)()0ta b a tb +⋅+<，且向量27ta b +与a tb +不反向共线，即()22222770ta t a b tb ++⋅+<，又a 、b 夹角为60︒，所以1||||cos602112a b a b ︒⋅==⨯⨯=， 所以221570t t ++<，解得172t -<<-， 又向量27ta b +与a tb +不反向共线，所以27()(0)ta b a tb λλ+≠+<，解得t ≠， 所以t 的取值范围是172t -<<-且t ≠. 【点睛】本题考查利用数量积求向量夹角，以及由夹角范围求参数范围，属综合基础题.20、（1）()()22225x y -+-=；（2）3m =或7m =-；（3）2m =-±【解析】（1）先求出二次函数的图象与坐标轴的三个交点的坐标，然后根据待定系数法求解可得圆的标准方程；（2）根据圆心到直线的距离等于半径可得实数m 的值；（3）结合弦长公式可得所求实数m 的值【详解】（1）在243y x x =-+中，令0x =，可得3y =；令2430y x x =-+=，可得1x =或3x =所以三个交点分别为()0,3，()1,0，()3,0，设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 将三个点的坐标代入上式得93010930E F D F D F ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ ，解得443D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为224430x y x y +--+=，化为标准方程为：()()22225x y -+-=（2）由（1）知圆心()2,2C ，因为直线2y x m =+与圆C 相切，=，解得3m =或7m =-，所以实数m 的值为3或7-（3）由题意得圆心C 到直线2y x m =+的距离d ==， 又2MN =，所以2d ==，2=，解得2m =-±所以实数m 的值为2-+或2--【点睛】（1）求圆的方程时常用的方法有两种：一是几何法，即求出圆的圆心和半径即可得到圆的方程；二是用待定系数法，即通过代数法求出圆的方程（2）解决圆的有关问题时，要注意圆的几何性质的应用，合理利用圆的有关性质进行求解，可以简化运算、提高解题的效率21、（1）平均数100x =，样本标准差10.2s ≈.（2）概率为0.9356，全校测验成绩在区间[2,2]x s x s -+之外约有64（人）【解析】（1）根据频率分布直方图中平均数=小矩形底边中点乘以小矩形的面积之和；利用方差公式可求方差，进而可求标准差.（2）由（1）知(2,2)(79.6,120.4)x s x s -+=，由频率分布直方图求出[][]75,79.6,120.4,125的概率即可求解.【详解】（1）数学成绩的样本平均数为：800.00610900.026101000.03810x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯1100.022101200.00810100+⨯⨯+⨯⨯=，数学成绩的样本方差为：2222(80100)0.06(90100)0.26(100100)0.38S =-⨯+-⨯+-⨯22(110100)0.22(120100)0.08+-⨯+-⨯2222(20)0.06(10)0.26100.22200.08=-⨯+-⨯+⨯+⨯104=. 所以估计这批产品质量指标值的样本平均数100x =，样本标准差10.2s ==≈.（2）由（1）知(2,2)(79.6,120.4)x s x s -+=，则(79.675)0.006(125120.4)0.0080.0644-⨯+-⨯=10.06440.9356-=，所以10000.064464⨯≈（人） 所以估计该学校在这一次的数学测验中成绩在区间[2,2]x s x s -+之内的概率为0.9356，全校测验成绩在区间[2,2]x s x s -+之外约有64（人）.【点睛】本题考查了频率分布直方图，根据频率分布直方图求出样本数据特征，需掌握公式，属于基础题.。

2023-2024学年山东省淄博市高一上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知实数集R ，集合{}|02A x x =<<，集合{}|3B x x =≥-，则()R A B ⋂=ð（）A ．[)3,+∞B ．[]2,3C ．[][)3,02,-+∞D ．()[],02,3-∞ 【正确答案】C【分析】利用集合的补集、交集运算求解.【详解】因为{}|02A x x =<<，所以R {|0A x x =≤ð或2}x ≥，所以()R A B ⋂=ð[][)3,02,-+∞ .故选：C2．命题“x ∃∈R ，230x +≤”的否定为（）A ．x ∀∈R ，230x +>B ．x ∃∈R ，230x +>C ．x ∀∈R ，230x +≤D ．x ∃∈R ，230x +≥【正确答案】A【分析】根据存在量词的命题的否定法则判断可得.【详解】“x ∃∈R ，230x +≤”的否定为“x ∀∈R ，230x +>”故选：A ．3．如果0a b >>，且0a b +>，那么以下不等式正确的个数是（）①22a b >；②11a b <；③32a ab >；④23a b b <.A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【详解】由0a b >>知，0b <．又0a b +>，∴0a b >->，∴()22a b >-，即22a b >．又0a >，∴32a ab >，0b < ，∴23a b b <，故①正确，③正确，④也正确，又10a >，10b<，故②错误．故选：C ．4．设p ：m ≤1：q ：关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解，则p 是q 的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】B【分析】由关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解写出命题q 的等价命题，后判断命题p 与q 的关系即可.【详解】关于x 的方程2210mx x ++=有两个实数解()(]0,00,1440m m m ∞≠⎧⇔⇔∈-⋃⎨-≥⎩，则命题q .()(001,∪,m ⎤∈-∞⎦又p ：(],1m ∈-∞，故p 是q 的必要不充分条件.故选：B5．设实数x 满足0x <，则函数1231y x x =++-的最大值是（）A ．1-B ．5+C ．1+D ．5-【正确答案】D【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值.【详解】因为0x <，所以10x ->，所以()()111232152155111y x x x x x x ⎡⎤=++=-++=--++≤-⎢⎥---⎣⎦当且仅当1x =故选：D.6．若关于x 的不等式2210kx kx k +-->的解集为∅，则实数k 的取值范围是（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【正确答案】C【分析】分0k =与0k ≠两种情况，当0k ≠时，根据二次函数的性质建立不等式即可求解．【详解】当0k =时，不等式化为10,->此时不等式无解，满足题意，当0k ≠时，要满足题意，只需2Δ44(1)0k k k k <⎧⎨=---≤⎩，解得102k -£<，综上，实数k 的范围为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选:C.7．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则3131x y x y +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【正确答案】A 【分析】将3131x y x y +--分离常数为112131x y ++--，由1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，可得1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，再结合基本不等式求解即可.【详解】由311311112131131131x y x y x y x y x y -+-++=+=++------，又1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，所以1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，所以()11111311311124131131311x y x y x y x y y x ⎛⎫--+=-+-+=+++≥+= ⎪------⎝⎭，当且仅当131311x y y x --=--，即32x =，12y =时，等号成立，故3131x y x y +--的最小值为6.故选：A.8．设函数的定义域是(0,1)，且满足：（1）对于任意的(0,1)x ∈，()0f x >；（2）对于任意的12,(0,1)x x ∈，恒有1122()(1)2()(1)f x f x f x f x -+≤-.则下列结论：①对于任意的(0,1)x ∈，()(1)f x f x >-；②()f x y x x=+在(0,1)上单调递减；③()f x 的图象关于直线12x =对称，其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】根据题意，令121x x =-，集合基本不等式的性质进行逐项判定，即可求解.【详解】由题意，令121x x =-，则不等式1122()(1)2()(1)f x f x f x f x -+≤-等价于2222(1)()2()(1)f x f x f x f x -+≤-，由（1）对于任意的(0,1)x ∈，()0f x >，则2222(1)()2()(1)f x f x f x f x -+≥-，所以2222(1)()2()(1)f x f x f x f x -+=-，当且仅当2222(1)()()(1)f x f x f x f x -=-，即22()(1)f x f x =-时成，此时函数()f x 关于12x =对称，所以③是正确的；令2x x =，可得()(1)f x f x =-，所以①不正确；又由1122()(1),()(1)f x f x f x f x =-=-则不等式1122()(1)2()(1)f x f x f x f x -+≤-等价与1122()()2()()f x f x f x f x +≤，可得12()1()f x f x ≤，因为对于任意的(0,1)x ∈，()0f x >，所以()()12f x f x ≤，所以()()12f x f x =恒成立，所以函数()f x 是常数函数，则()(0)f x ky x x k x x=+=+>，此时函数在单调递减，在)+∞单调递增，所以在(0,1)上不一定单调递减，所以②不正确.故选B.本题主要考查了抽象函数的应用，其中解答中合理赋值，结合基本不等式的性质求解是解答的关键，综合性强，属于中档试题，着重考查了推理与论证能力.二、多选题9．以下结论正确的是（）A ．2212x x +≥B2C ．若2221a b +=，则22113a b +≥+D ．若1a b +=，则114a b+≥【正确答案】AC【分析】利用基本不等式的性质进行判断即可．【详解】对于A，2212x x +≥=，当且仅当221x x =时等号成立，故A 正确，对于B2+≥==231x +≠，故B 错误，对于C ，()222222222211112233b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭21a =，222b =时等号成立，故C 正确，对于D ，当0a >，0b >，1a b +=时，()111124a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，但1a b +=，不一定0a >，0b >，故D 错误．故选：AC ．10．下列说法正确的是（）A ．()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点至多有1个C ．若()1f x x x =--，则112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．关于x 的方程()230x m x m +-+=有一个正根，一个负根的充要条件是()0,m ∈+∞【正确答案】BC【分析】A 答案根据相等函数的概念即可判断，B 答案根据函数的定义即可判断，C 答案直接计算即可，D 答案结合一元二次方程的性质，判别式和韦达定理即可判断.【详解】对于A ，()xf x x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，()g x 定义域为R ，定义域不同，所以不是同一函数，故A 错误.对于B ，根据函数的定义可知，当()y f x =的定义域中含有1时，函数()y f x =的图象与直线1x =有一个交点()()1,1f .当()y f x =的定义域中不含1时，函数()y f x =的图象与直线1x =没有交点，综上所述：函数()y f x =的图象与直线1x =的交点至多有1个，故B 正确.对于C ，因为()1f x x x =--，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()1012f f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确.对于D ，设方程()230x m x m +-+=的正根为1x ，负根为2x ，则关于x 的方程()230x m x m +-+=有一个正根，一个负根的充要条件为：()212Δ3400m m x x m ⎧=-->⎪⎨⋅=<⎪⎩，解得0m <,故D 错误.故选：BC.11．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负“变换的函数，下列函数中满足“倒负“变换的函数是（）A ．()2f x x x=-B ．()1f x x x=-C ．()1f x x x=+D ．(),010,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩【正确答案】BD【分析】根据中给出的“倒负”变换的函数的定义，对四个选项中的函数进行逐一的判断即可．【详解】解：对于A ，()2f x x x =-，则()2111f f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项A 错误；对于B ，1()f x x x=-，因为11()()f x f x x x =-=-，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项B 正确；对于C ，()1f x x x=+，因为11()()()f x f x f x x x =+=≠-，不满足“倒负”变换的函数的定义，故选项C 错误；对于D ，,01()0,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩，当01x <<时，11(()1f x f x x x=-=-=-，当1x =时，1()0()f f x x==-，当1x >时，111(()()f f x x x x==--=-，满足“倒负”变换的函数的定义，故选项D 正确；故选：BD ．12．已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（）A ．2B ．6C ．5D ．4【正确答案】ACD【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案.【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当0∆>时，即22a <时，1t =±，则0<≤故111<≤111≤<，当1t =()1f x =(1,1)∈-，则x 有2解，当1t =t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,1∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.三、填空题13．已知函数()325f x x x =-+在[]2,1x ∈--上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行______次函数值的计算.【正确答案】3【分析】取区间的中点，利用零点的存在性定理判断零点所在的区间，并检查区间的长度即精确度，直到符合要求为止．【详解】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：取区间[2,1]--的中点121322x --==-，且32795502848f ⎛⎫-=--+=-< ⎪⎝⎭，(2)84570,(1)11530f f -=--+=-<-=--+=>所以03,12x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.取区间3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦的中点2315224x --==-，且3255550444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以035,24x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.取区间35,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦的中点353114228x --==-，且3211111150888f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0311,28x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.因为1130.282⎛⎫---< ⎪⎝⎭，所以区间311,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦的中点43112328216x --==-即为零点的近似值，即02316x ≈-，所以至少需进行3次函数值的计算.故314．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()xf xg x e +=，且对任意的[]1,2x ∈，()20x f x e m --≥恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【正确答案】(2,e -⎤-∞⎦【分析】由()()xf xg x e +=，再根据函数的奇偶性得()()x f x g x e ---=，两式联立可得()e e 2x x f x -+=，再由参变分离法得()2x xm f x e e -≤-=在[]1,2上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.【详解】函数满足()()x f x g x e +=①，所以()()xf xg x e --+-=，由函数的奇偶性可得，()()xf xg x e ---=②，由①②得，()e e 2x x f x -+=，因为对任意的[]1,2x ∈，()20xf x e m --≥恒成立，即对任意的[]1,2x ∈，()2x xm f x e e -≤-=恒成立，令()x h x e -=，则函数()x h x e -=在[]1,2上为减函数，所以2min ()(2)h x h e -==，所以2m e -≤.故(2,e -⎤-∞⎦15．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】(]4,4-【分析】令23t x ax a =-+，由题设易知t 在[)2,+∞上为增函数，根据二次函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】由题设，令23t x ax a =-+，而2log y t =为增函数，∴要使()f x 在[)2,+∞上是增函数，即t 在[)2,+∞上为增函数，∴222120aa a ⎧≤⎪⎨⎪∆=-<⎩或22212040a a a a ⎧≤⎪⎪⎪∆=-≥⎨⎪+>⎪⎪⎩，可得04a <≤或40a -<£，∴a 的取值范围是(]4,4-.故(]4,4-16．市劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点.现新定义：若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点.有下列结论：①定义在R 上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②函数()()e 21xf x x =+-仅有一个不动点③当312a ≤≤时，函数()()12log 421x x f x a =-⋅+在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点上述结论正确的是___________.【正确答案】②③【分析】对于①举反例，对于②研究函数()()g x f x x =-的单调性由零点存在性定理可判断，对于③分别研究()f x x =与()f x x =-分离参数研究新函数的单调性，再由交点个数确定参数的范围，两者取交集后即可判断.【详解】对于①，取函数()()2,00,0f x x f ==既是()f x 的不动点，又是()f x 的次不动点，故①错误，对于②，()()e 21xf x x x =+-=，令()e 2xg x x =+-，易知()g x 为R 上的增函数，又()()010e 020,1e 120,g g =+-<=+->由零点存在性定理得()g x 在区间()0,1存在唯一的零点，故②正确；对于③，当()12log 421x x a x -⋅+=时14212x xx a ∴-⋅+=，即211222x x x a =+-.令[]2112,1,2,x t t a t t t=∈∴=+-在区间[1，2]上单调递增，故211222xx x a =+-在[]0,1上单调递增，满足()12log 421x xa x -⋅+=有唯一解，则914a ≤≤.当()12log 421x xa x -⋅+=-时，4212x x x a ∴-⋅+=，即1212xxa =+-.令[]12,1,2,1x t t a t t=∈∴=+-在区间[]1,2上单调递增，故1212xx a =+-在[]0,1上单调递增，满足()12log 421x x a x -⋅+=-有唯一解，则312a ≤≤.综上312a ≤≤.故③正确；故②③.四、解答题17．（1）计算：112307272(lg 5)964-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）设45100a b ==，求122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】（1）4；（2）2．【分析】（1）根据指数的运算性质直接计算即可；（2）通过换底公式可得100411log 4log 100a ==，100511log 5log 100b ==，进而可得解.【详解】（1）原式11332025354(lg5)149433-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．（2）∵4100a =，∴4log 100a =．同理可得，5log 100b =，则100411log 4log 100a ==，100511log 5log 100b ==，∴()210010010010012log 42log 5log 45log 1001a b+=+=⨯==．∴1222a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．18．已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值；(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-.【正确答案】(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可.【详解】（1）函数的定义域为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数,()()f x f x ∴-=，即()()22log 41log 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+，1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x x x x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当0x ≥时，121,22x x x y ≥=+在[0,)+∞单调递增，()f x \在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0∞-上单调递减，()()211f m f m +>- ，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为()(),20,∞∞--⋃+。

2021-2022学年山东省淄博市高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. tan(−32π3)的值是( )A. √3B. √33C. −√3D. −√332. “xy >0”是“x >0，y >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知角θ为第四象限角，则点P(sinθ,tanθ)位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知a =0.30.2，b =log 0.23，c =log 34，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >b >aB. b >c >aC. c >a >bD. a >c >b5. 若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=15，则三角形的形状为( )A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 无法确定6. 定义在[−7,7]上的奇函数f(x)，当0<x ≤7时，f(x)=2x +x −6，则不等式f(x)>0的解集为( )A. (2,7]B. (−2,0)∪(2,7]C. (−2,0)∪(2,+∞)D. [−7,−2)∪(2,7]7. 函数f(x)=e x −e −x 2x 2+2cosx部分图象大致为( )A.B.C.D.8. 已知f(x)={(5a −1)x +2a,x ≤1log a x,x >1(a >0,a ≠1)是减函数，则a 的取值范围是( ) A. (0,17]B. (0,15)C. [17,1)D. [17,15)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设集合A ={x|y =lnx}，B ={y|y =lnx}，则下列关系中正确的有( )A. A ∪B =BB. A ∩B =⌀C. A =BD. ∁R A ⊆B10. 下列函数既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =−x 3B. y =1|x|C. y =ln(x 2+1)D. y =x 2−1x 211. 如果函数f(x)对其定义域内的任意两个不等实数x 1，x 2都满足不等式f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2，那么称函数f(x)在定义域上具有性质M ，则下列函数具有性质M 的是( )A. y =1xB. y =x 2C. y =e xD. y =lgx12. 已知函数f(x)={|sinx|,(sinx ≥cosx)|cosx|,(cosx >sinx)，则下列结论正确的是( )A. f(x)的最小正周期为2πB. f(x)是偶函数C. f(x)在区间(π,5π4)上单调递增D. f(x)的对称轴方程为x =kπ+π4(k ∈Z)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.2lg5−1log 45=______．14. 函数f(x)=2a x−3+1(a >0且a ≠0)的图象必经过点______． 15. 已知扇形弧长为20cm ，圆心角为5π9，则该扇形的面积为______cm 2．16. 某医药研究所研发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(时)之间近似满足如图所示的关系．若每毫升血液中含药量不低于0.5微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病的有效时间为______小时．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设非空集合P是一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集．若A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}，满足P∩A=⌀，P∩B=P，求b+ca的值．18.已知a>0，b>0，函数f(x)=7−bxax2+1．(1)当a=b=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(2)=1，求12a +4b的最小值，并求此时a，b的值．19.设ω>0，函数f(x)=2sin(ωx−π6)+1在[π3,5π6]上单调递减．(1)求ω；(2)若函数g(x)=f(x)+k在区间[−π12,5π12]上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．20.已知f(x)=a2x+m(其中a为常数，且a>1)是偶函数．a x(1)求实数m的值；−f(x)+a−x=0有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为x0，(2)证明方程1x试比较x0与log a(2−x0)的大小．21.已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c．(1)若f(x)有两个零点α，β(α<β)，且f(x)的最小值为−4a，当0<a≤1时，判断2函数g(x)=ax2+(b−2)x+c在(α,β)上的单调性，并说明理由；(2)设b=2a，记ℎ(t)为集合{f(x)|t−1≤x≤t+1}(t∈R)中元素的最大者与最小者之差．若对∀t∈R，ℎ(t)>a2−a恒成立，求实数a的取值范围．22.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元．2019年1月1日起实施新年征收个税．表1个人所得税税率表(执行至2018年12月31日)表2个人所得税税率表(2019年1月1日起执行)(1)小王在某高新技术企业工作，全年税前收入为180000元．执行新税法后，小王比原来每年少交多少个人所得税？(2)有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率−速算扣除数．①请计算表1中的数X；②假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额．答案和解析1.【答案】A【解析】解：tan(−32π3)=−tan(11π−π3)=tanπ3=√3．故选：A．由已知利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：xy>0⇒x>0，y>0或x<0，y<0，x>0，y>0⇒xy>0．故“xy>0”是“x>0，y>0”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为角θ为第四象限角，则sinθ<0，tanθ<0，所以点P在第三象限，故选：C．根据角的范围以及正弦，正切的三角函数值符号即可判断求解．本题考查了三角函数值的符号问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵0<0.30.2<0.30=1，log 0.23<log 0.21=0，log 34>log 33=1， ∴c >a >b ． 故选：C ．根据指数函数和对数函数的单调性即可得出0<a <1，b <0，c >1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵(sinα+cosα)2=125，∴2sinαcosα=−2425， ∵α是三角形的一个内角，则sinα>0， ∴cosα<0，∴α为钝角，∴这个三角形为钝角三角形． 故选A ．把所给的等式两边平方，得2sinαcosα<0，在三角形中，只能cosα<0，只有钝角cosα<0，故α为钝角，三角形形状得判．把和的形式转化为乘积的形式，易于判断三角函数的符号，进而判断出角的范围，最后得出三角形的形状．6.【答案】B【解析】解：∵当0<x ≤7时，f(x)=2x +x −6； ∴f(x)在(0,7]上单调递增，且f(2)=0；∴2<x ≤7时，f(x)>0；0<x <2时，f(x)<0； ∵f(x)是定义在[−7,7]上的奇函数； ∴x ∈(−2,0)时，f(x)>0；∴不等式f(x)>0的解集为：(−2,0)∪(2,7]． 故选：B ．根据题意即可判断f(x)在(0,7]上单调递增，并且f(2)=0，从而得出2<x ≤7时，f(x)>0；0<x <2时，f(x)<0；再根据f(x)在[−7,7]上是奇函数即可得出−2<x <0时f(x)>0，从而得出原不等式的解集．义．7.【答案】A【解析】解：函数的定义域为R ，f(−x)=−f(x)，函数为奇函数，故排除B ， f(x)=0，解得x =0，故函数只有一个零点，故排除CD ． 故选：A ．先判断函数的奇偶性，再判断函数零点的个数，即可判断． 本题考查了函数的图象和识别，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题意可得{5a −1<00<a <17a −1≥0，解得17≤a <15，故选：D ．对应的每一段都是减函数，其前一段的最小值大于等于后一段的最大值，列出关于a 的不等式，解不等式即可求出结论．本题主要考查函数的单调性的应用，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：∵A ={x|y =lnx}={x|x >0}，B ={y|y =lnx}=R ， ∴A ∪B =B ，A 正确， A ∩B ={x|x >0}，B 错误， A ≠B ，C 错误，∁R A ={x|x ≤0}⊆B ，D 正确， 故选：AD ．根据集合的交集、并集运算进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10.【答案】CD【解析】解：y =−x 3为奇函数，故A 不符合题意；y =1|x|为偶函数，在(0,+∞)上单调递减，(−∞,0)上单调递增，故B 不符题意；y =ln(x 2+1)为偶函数，在(0,+∞)上单调递增，(−∞,0)上单调递减，故C 符合题意； y =x 2−1x 2为偶函数，在(0,+∞)上单调递增，(−∞,0)上单调递减，故D 符合题意．故选：CD ．由常见函数的奇偶性和单调性判断可得结论．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查推理能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：根据题意，若任意两个实数x 1，x 2都满足不等式f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2，则函数f(x)的图象向下凹，而函数y =x 2和y =e x 符合这个特点，函数y =1x 的图象是双曲线，函数y =lgx 的图象向上凸， 故选：BC ．根据题意，分析满足f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2的函数图象上的特点，分析选项可得答 本题考查函数的图象特点，注意满足f(x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2的函数图象上的特点，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)={|sinx|,(sinx ≥cosx)|cosx|,(cosx >sinx)={|sinx|,2kπ+π4≤x ≤2kπ+5π4,k ∈Z|cosx|,2kπ−3π4≤x ≤2kπ+π4,k ∈Z ， 作出函数f(x)的大致图象，如图示：，易知f(x)的最小正周期为2π，故A正确；由函数f(x)的图象可得，函数f(x)的图象不关于y轴对称，故f(x)不是偶函数，故B错误；由函数f(x)的图象可得，函数f(x)在区间(π,5π4)上单调递增，故C正确；当x=kπ+π4，k∈Z，函数f(x)=1，为最大值，f(x)的对称轴方程为x=kπ+π4(k∈Z)，故D正确，故选：ACD．由题意，结合函数的图象以及函数的单调性和奇偶性分别判断即可．本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道中档题．13.【答案】2【解析】解：原式=lg100lg5−log54=log5100−log54=log525=2．故答案为：2．根据换底公式和对数的运算即可求出答案．本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】(3,3)【解析】解：由题意得：x−3=0，解得：x=3，此时f(3)=2+1=3，故函数f(x)过(3,3)，故答案为：(3,3)．根据指数幂的运算性质求出定点的坐标即可．本题考查了指数幂的运算，考查转化思想，是基础题．15.【答案】360π【解析】解：设扇形的半径为r，则r=弧长弧度=205π9=36π，所以扇形的面积为S=12×20×36π=360πcm2，故答案为：360π．设扇形的半径为r，然后根据弧长，弧度，半径的关系求出半径，再利用扇形的面积公式即可求解．本题考查了扇形面积公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．16.【答案】318【解析】解：当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，y=kt的函数图象过点(1,4)，故y=4t，当t≥1时，函数的解析式为y=(12)t−a，∵y=(12)t−a过点(1,4)，∴a=3，故y=(12)t−3，∵每毫升血液中含药量不低于0.5微克时，治疗疾病有效，∴{4t≥0.5(12)t−3≥0.5，解得{t≥18t≤4故服药一次治疗疾病的时间为4−18=318个小时．故答案为：318．根据图象中特殊点，求出函数f(t)的解析式，构造不等式f(t)≥0.5，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查分类讨论的思想，属于中档题．17.【答案】解：∵P∩B=P，P⊆B，又A={1,2,3,4,5}，B={2,4,6,8}，由于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集非空，且P∩A=⌀，所以P⊆{6,8}，即P={6}，{8}，{6,8}满足题意．当P={6}时，由韦达定理得−ba =12，ca=36，此时b+ca=24：当P={8}时，由韦达定理得−ba =16，ca=64，此时b+ca=48；当P={6,8}时，由韦达定理得−ba =14，ca=48，此时b+ca=34．【解析】由题意可得P⊆{6,8}，然后分P={6}，{8}，{6,8}三种情况讨论求解即可．本题考查一元二次方程的解，集合的交集，集合与集合的关系，是基础题．18.【答案】解：(1)当a=b=1时，f(x)=7−xx2+1，因为x2+1>0由f(x)>1整理得x2+x−6<0，解得−3<x<2，所以不等式f(x)>1的解集是(−3,2)，(2)方法一：因为f(2)=1，所以2a+b=3，1 2a +4b=13(12a+4b)⋅(2a+b)=13(5+b2a+8ab)，因为b2a +8ab≥2√b2a⋅8ab=4，所以12a +4b≥3，即12a+4b的最小值是3．当且仅当b2a =8ab即b=4a时等号成立，又2a+b=3，所以a=12，b=2，方法二：因为f(1)=1，所以2a+b=3，12a +4b=13−b+4b=12−3b3b−b2=3(4−b)3b−b2，令t=4−b，因为0<b<3，所以1<t<4，则12a +4b=3t−t2+5t−4=35−(t+4t)，因为t+4t ≥2√t⋅4t=4，当且仅当t=2时等号成立，所以4≤t+4t <5，所以0<5−(t+4t)≤1，所以12a +4b≥3，即12a+4b的最小值是3．当且仅当t=4−b=2，b=2时等号成立，所以a=12，b=2．【解析】(1)把a=b=1代入已知函数解析式，然后结合二次函数的性质可求不等式的解集；(2)方法一：由f(2)=1，代入得2a+b=3，然后结合乘1法，利用基本不等式可求；方法二：由f(1)=1，得2a+b=3，让进行变形得12a +4b=13−b+4b=12−3b3b−b2=3(4−b)3b−b2，利用换元法进行变形后，利用基本不等式可求．本题主要考查了不等式的求解及利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行合理的变形配凑基本不等式的应用条件，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为ω>0，函数f(x)=2sin(ωx−π6)+1在[π3,5π6]上单调递减，所以，12⋅2πω≥5π6−π3，解得ω≤2．又ω⋅π3−π6≥π2，且ω⋅π3−π6≥3π2，解得2≤ω≤5.综上，ω=2．(2)由(1)知f(x)=2sin(2x−π6)+1，所以，g(x)=2sin(2x−π6)+1+k．由于函数g(x)在区间[−π12,5π12]上有且只有一个零点，等价于函数y=sin(2x−π6)的图象与直线y=−k+12在区间[−π12,5π12]上有且只有一个交点．在区间[−π12,5π12]上，2x−π6∈[−π3,2π3].当2x−π6∈[−π3,π2]时，函数y=sin(2x−π6)单调递增，且sin(2x−π6)∈[−√32,1]；当2x−π6∈[π2,2π3]时，函数y=sin(2x−π6)单调递减，且sin(2x−π6)∈[√32,1]，∴−√32≤−k+12<√32，或−k+12=1．解得−1−√3<k≤−1+√3，或k=−3．故k的取值范围为(−1−√3,−1+√3]∪{−3}．【解析】(1)由题意，利用正弦函数的单调性，求得ω的值．(2)由题意，函数y=sin(2x−π6)的图象与直线y=−k+12在区间[−π12,5π12]上有且只有一个交点，结合正弦函数的图象和性质，求得k的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为f(x)=a2x+ma x是偶函数，所以对于任意的实数x，有f(x)=f(−x)，所以a2x+ma x =a−2x+ma−x对任意的实数x恒成立，即(1−m)(a x−a−x)=0恒成立，所以1−m=0，即m=1，(2)证明：设g(x)=1x −f(x)+a−x=1x−a x，当x∈(−∞,0)时，g(x)<0，所以g(x)=0在区间(−∞,0)上无实数根，当x∈(0,+∞)时，因为g(1)=1−a<0，g(1a)=a−a1a>0，所以∃x0∈(1a,1)，使得g(x0)=0，又g(x)=1x −a x在(0,+∞)是单调递减，所以g(x)=0存在唯一实数根x0∈(1a,1)；因为1x0−a x0=0，所以log a x0+x0=0，又x0+1x0>2，所以2−x0<1x0，所以log a(2−x0)<log a1x=−log a x0=x0．【解析】(1)通过f(x)=f(−x)，说明a2x+ma x =a−2x+ma−x对任意的实数x恒成立，然后求解m即可．(2)设g(x)=1x −f(x)+a−x=1x−a x，当x∈(−∞,0)时，g(x)=0在区间(−∞,0)上无实数根，当x∈(0,+∞)时，利用函数的单调性说明g(x)=0存在唯一实数根x0∈(1a,1)；通过log a x0+x0=0，转化比较x0与log a(2−x0)的大小．本题考查函数与方程的应用，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)方法1：因为f(x)=ax2+bx+c=a(x+b2a )2+4ac−b24a，由题意得4ac−b24a=−4a，即b2−4ac=16a2，所以α=−b2a −2，β=−b2a+2，对于任意x 1，x 2∈(α,β)设x 1<x 2，所以g(x 1)−g(x 2)=a(x 1−x 2)+(x 1+x 2+b−2a)，因为x 1+x 2<2β=2(−b2a +2)=−ba +4，又0<a ≤12， 所以x 1+x 2+b−2a<−b a +4+b−2a=−a 2+4≤0，而x 1−x 2<0，所以g(x 1)−g(x 2)=a(x 1−x 2)(x 1+x 2+b−2a)>0，所以g(x 1)>g(x 2)，所以函数g(x)在区间(α,β)上是单调递减的． 方法2：因为f(x)=ax 2+bx +c =a(x +b 2a)2+4ac−b 24a，由题意得4ac−b 24a =−4a ，即b 2−4ac =16a 2，所以α=−b2a −2，β=−b2a +2，因为g(x)=ax 2+(b −2)x +c ，所以函数g(x)图像的对称轴方程为x =−b−22a=1a−b 2a，因为0<a ≤12，所以1a −b2a −β=1a −2≥0，即1a −b2a ≥β， 所以函数g(x)在(α,β)上是单调递减的．(2)设ℎ(t)=max{f(x)}−min{f(x)}，x ∈[t −1,t +1]， 因为函数f(x)对称轴为x =−b2a =−1，①当t +1≤−1即t ≤−2时，f(x)在[t −1,t +1]上单调递减，ℎ(t)=f(t −1)−f(t +1)=−4at −4a ，②当{t −1≤−1<t +1−1−(t −1)≥t +1−(−1)即−2<t ≤−1时，ℎ(t)=f(t −1)−f(−1)=at 2， ③当{t −1≤−1<t +1t +1−(−1)>−1−(t −1)即−1<t ≤0时，ℎ(t)=f(t +1)−f(−1)=a(t +2)2，④当−1<t −1即t >0时，f(x)在[t −1,t +1]上单调递增，ℎ(t)=f(t +1)−f(t −1)=4at +4a ，综上可得：ℎ(t)={−4at −4a,t ≤−2at 2,−2<t ≤−1a(t +2)2,−1<t ≤04at +4a,t >0ℎ(t)在(−∞,−1]上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，所以ℎ(t)最小值为ℎ(−1)=a ，对∀t ∈R ，ℎ(t)>a 2−a 恒成立，只需a >a 2−a 即可，解得0<a <2， 所以a 的取值范围是(0,2)．【解析】(1)根据最小值找出a，b，c三者之间关系，从而表示α，β，单调性的判断可利用定义，也可利用二次函数对称轴．(2)找出ℎ(t)解析式，∵a2−a<ℎ(t)恒陈立，故找出ℎ(t)的最小值，a2−a<ℎ(t)min即可．本题主要考查函数值域及单调性的判断，及函数含参的恒成立问题．属于较难题目．22.【答案】解：(1)由于小王的全年税前收入为180000元，按照旧税率，小王的个人所得税为：30000×25%+54000×20%+36000×10%+ 18000×3%+42000×0%=22440元，按照新税率，小王的个人所得税为：84000×10%+36000×3%+60000×0%=9480元，22440−9480=12960元，小王比原来每年少交12960元个人所得税．(2)①按照表1，假设个人全年应纳税所得额为x元，可得：25%x−X=(x−108000)×25%+54000×20%+36000×10%+18000×3%，X=12060．②按照表2中，级数3，300000−(300000×20%−16920)=256920，按照级数2，144000−(144000×10%−2520)=132120；显然132120+60000=192120<200000<316920=256920+60000，所以应该参照“级数3”计算，假设他的全年应纳税所得额为t元，所以此时t−(t×20%−16920)=200000−60000，解得t=153850，即他的税前全年应纳税所得额为153850元．【解析】(1)分别根据新旧税率表，即可求解．(2)①，根据已知条件，结合速算法，即可求解．②，根据已知条件，结合速算法，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，考查分类讨论的思想，属于中档题．。

2020-2021学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}13,3,2,1,0,1,23x A x B ⎧⎫=<=---⎨⎬⎩⎭，则()R A B =（ ）A ．{3,2}--B ．{3,2,1}---C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-【答案】D【分析】先化简集合A 并求出其补集，然后求()R A B ⋂得解.【详解】因1133313xx x -<⇔<⇔<-，则1{|}A x x =<-，于是得{|1}R A x x =≥-， 而{}3,2,1,0,1,2B =---，所以(){1,0,1,2}R A B =-. 故选：D2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【分析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解. 【详解】设扇形所在圆半径为r ，则扇形弧长2l r =，而28l r +=， 由此得2,4r l ==，所以扇形的面积142S lr ==.故选：B3．下列函数是偶函数且在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．12()f x x =- B ．()3x f x -= C ．2()log||f x x = D ．41()f x x =【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性对各个选项进行检验，把满足在()0+∞，上为增函数的找出来. 【详解】函数12()f x x =-=()0,∞+上是减函数；1()33xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在()0,∞+上是减函数；()ln f x x =是偶函数，当0x >时，()ln f x x =在()0,∞+上是增函数；41()f x x =在()0,+∞上是减函数.只有选项C 满足条件. 故选：C.4．用二分法求方程2log 2x x +=的近似解时，可以取的一个区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B【分析】构造函数2()log 2f x x x =+-并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解. 【详解】22log 2log 20x x x x +=⇔+-=，令2()log 2f x x x =+-，()f x 在(0,)+∞上单调递增，并且()f x 图象连续，(1)10f =-<，(2)10f =>，()f x 在区间(1,2)内有零点，所以可以取的一个区间是(1,2). 故选：B5．已知113252,3,ln 2a b c ===，则（ ） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】C【分析】利用函数的单调性，与特殊值比较大小，即可判断选项.【详解】1221a =>，1331b =>，5ln ln 12c e =<=，所以c 最小，又61632228a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，61623339b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即66a b <，所以a b <，即c a b <<. 故选：C 6．函数2()1xf x x =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用函数的定义域，单调性以及特值，结合选项得到答案． 【详解】函数定义域为{}|1x x ≠±()()21xf x f x x --==--，则()f x 为奇函数，排除选项C ，D 又()2203f =-<故选：A7．已知实数3x >，则943x x +-的最小值是（ ） A ．24 B ．12C ．6D ．3【答案】A【分析】将所求代数式变形，结合基本不等式可求得943x x +-的最小值. 【详解】因为3x >，则30x ->，则()()99944312431224333x x x x x x +=-++≥-⋅=---， 当且仅当92x =时，等号成立，因此，943x x +-的最小值是24.故选：A.8．我们知道：()y f x =的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：()y f x =的图象关于(,)a b 成中心对称图形的充要条件是()y f x a b =+-为奇函数.若32()3f x x x =+的对称中心为(,)m n ，则(2019)(2017)(2015)(3)(1)(3)(5)(2017)(2019)(2021)f f f f f f f f f f ++++++-+-++-+-+-=（ ） A ．8080 B ．4040C ．2020D ．1010【答案】B【分析】根据对称性的定义求出对称中心，再结合对称性进行分组计算函数值可得答案．【详解】若32()3f x x x =+的对称中心为(,)m n ，则()y f x m n =+-，即()()()()3232232333363y x m x m x m x m m x m m n n =+++++++-=++-为奇函数的，必有()2303m +=且3203n m m +-=，解得1,2m n =-=， 则()y f x =的对称中心为()1,2-，所以(2)()4f x f x -++-=，(2019)(2021)4f f +-=，(2017)(2019)4f f +-=，(2015)(2017)4f f +-=，，(1)(3)4f f +-=，所以 (2019)(2017)(2015)(3)(1)(3)f f f f f f ++++++-+(5)(2017)(2019)(2021)f f f f -++-+-+-=[][][](2019)(2021)(2017)(2019)(1)(3)f f f f f f +-++-+++-101044040=⨯=故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的计算，解题关键是确定()f x 的对称中心，解题时根据定义，利用()y f x a b =+-是奇函数得出对称中心，然后函数值配对求和．二、多选题9．下列命题是真命题的有（ ）A ．1lg 2lg 3lg534-+=B ．命题“0,21x x ∀>>”的否定为“0,21x x ∃≤≤”C ．“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件D ．若幂函数()()f x x R αα=∈经过点1,28⎛⎫⎪⎝⎭，则3α=-【答案】AC【分析】A 选项利用对数的四则运算即可求出；B 项根据全称命题的否定直接判断；C 项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数.【详解】对A ： 33111lg 2lg 3lg 5lg 2lg lg 5lg 25lg10003444⎛⎫-+=-+=÷⨯== ⎪⎝⎭，故A 正确；对B ：命题“0,21xx ∀>>”的否定为“0,21x x ∃>≤”，故B 错误；对C ：αβ=⇒sin sin αβ=，但是sin sin αβ=⇒αβ=，例如：51sin sin662ππ==，但566ππ≠，所以“αβ=”是“sin sin αβ=”成立的充分不必要条件，故C 正确；对D ：因为幂函数()()f x x R αα=∈经过点1,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以128α⎛⎫= ⎪⎝⎭，即322α-=，所以133α=-≠-，故D 错误.故选：AC.10．若角α为钝角，且1sin cos 5αα+=-，则下列选项中正确的有（ ）A ．4sin 5αB ．4cos 5α=-C ．4tan 3α=-D ．12sin cos 25αα=-【答案】BD【分析】利用平方关系得到sin cos αα的值，再求解sin cos αα-，即可解得sin ,cos αα. 【详解】()21sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，解得：12sin cos 25αα=-，故D 正确； ()22449sin cos 12sin cos 12525αααα-=-=+=， α是钝角，sin cos 0αα∴-> ，即7sin cos 5αα-=，联立1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，sin 3tan cos 4ααα==-. 故选：BD11．设0,0a b c >>≠，则下列不等式成立的是（ ） A ．a c b c ->- B ．22c c a b>C ．a a cb b c+<+ D ．11a b a b->- 【答案】AD【分析】根据不等式的可加性和取倒的性质可判断AB ，作差可判断C ，用1()f x x x=-的单调性可判断D.【详解】由0a b >>，不等式的可加性可知A 正确；由0a b >>，可得11b a >，所以22c c b a>，故B 不正确；由()()(2)a c a ab bc ab ac c b a b c b b b c b b ++----==+++，由于c 的正负不能确定，所以a b 与a cb c++的大小不能确定，故C 不正确； 因为1()f x x x =-在(0,)+∞上单调递增，所以当0a b >>时，11a b a b->-，所以D 正确. 故选：AD.12．三元均值不等式：“当a 、b 、c 均为正实数时，33a b cabc ，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a b c ==时等号成立.”利用上面结论，判断下列不等式成立的有（ ）A ．若0x >，则223x x +≥ B ．若01x <<，则()2911x x -≤C ．若0x >，则2123x x+≥D ．若01x <<，则()2119x x -≤【答案】AC【分析】将各选项中的代数式变形，利用三元均值不等式可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，因为0x >，222113x x x x x +=++≥， 当且仅当21x x=时，即当1x =时，等号成立，A 选项正确； 对于B 选项，因为01x <<，则()()321122412222327x x x x x x x x ++-⎛⎫-=⋅⋅-≤⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当22x x =-时，即当23x =时，等号成立，B 选项错误；对于C 选项，因为0x >，则221123x x x x x +=++≥， 当且仅当21x x =时，即当1x =时，等号成立，C 选项正确； 对于D 选项，因为01x <<，则()()()32112114121122327x x x x x x x x +-+-⎛⎫-=⋅--≤⋅=⎪⎝⎭， 当且仅当21x x =-，即当13x =时，等号成立，D 选项错误.故选：AC.三、填空题13．函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为___________.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由函数()f x 定义域求出21x -的取值范围，再由1()2x的单调性即可得解.【详解】函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为R ，而211x -≤，当且仅当x =0时取“=”，又1()2x在R 上单调递减，于是有211111()()222x -≥=，所以函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭14．已知函数223,0,()log ,0,x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =___________.【答案】1-或16【分析】分0,0a a >≤两种情况分别求出()f a 的表达式，得到关于a 的方程，解方程即可.【详解】当0a >时，由题意知，()2log 4f a a ==，解得16a =符合题意；当0a ≤时，由题意知，()234f a a a =-=，解得4a =（舍），1a =-符合题意； 综上可知，实数a 的值为16或1-. 故答案为: 16或1-.15．已知函数22()2(0),()41x f x ax a g x x x =+>=-+.若对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】设2()2(0),[1,2]x f x ax a x =+>∈-的值域为A ,设2()41[1,2]g x x x x =-+∈-，的值域为B ,求出集合B ，由题意分析出A B ⊆，由()0f x >得到只需max ()6f x ≤，列不等式组求出a 的范围.【详解】设2()2(0),[1,2]x f x ax a x =+>∈-的值域为A , 设2()41[1,2]g x x x x =-+∈-，的值域为B ,因为()22()4123g x x x x =-+=--，所以()g x 在[1,2]-单调递减，所以[]=3,6B -.因为对任意1[1,2]x ∈-，总存在2[1,2]x ∈-，使得()()12f x g x =， 所以A B ⊆.因为024x <≤，0a >时，204ax a ≤≤，所以()0f x >在[1,2]x ∈-恒成立，所以只需max()6f x ≤，只需()02446a f a >⎧⎨=+≤⎩，解得：102a <≤，故实数a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为：10,2⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）相等关系记()[],,y f x x a b =∈的值域为A , ()[],,y g x x c d =∈的值域为B, ①若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊆； ②若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊇； ③若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，故A B ⋂≠∅； （2）不等关系(1)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； (2)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； (3)若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； (4) 若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <．四、双空题16．若1sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭___________，cos 6α5π⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】15 15-【分析】分析所求值的角与已知值的角的关系，借助三角函数诱导公式即可作答.【详解】因1sin()35πα-=，则21sin()sin[()]sin()3335πππαπαα+=--=-=； 1()]sin()3cos()s 25co 63[ππααπα-=5π-=--=-+. 故答案为：15；15-五、解答题17．已知角α终边上一点(1,2)P . （1）求sin 2cos sin cos αααα+-的值；（2）求119cos sin 22ππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）4；（2）【分析】(1)根据三角函数的定义可求出tan α，然后分子分母同时除以cos α，将弦化切，即可求出结果；(2) 根据三角函数的定义可求出sin α，cos α，再利用诱导公式将表达式化简，即可求出结果.【详解】解：（1）因为α终边上一点(1,2)P ，所以tan 2yxα==， 所以sin 2cos tan 24sin cos tan 1αααααα++==--.（2）已知角α终边上一点(1,2)P ，则||r OP ==所以siny r α===cos x r α== 所以119cos sin cos sin 2222ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos +sin sin cos 22ππαααα⎛⎫⎛⎫=++=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．已知集合{}2{()(1)0}(),1log 1A xx a x a R B x x =-+>∈=-<≤∣∣. （1）当1a =时，求A B ；（2）是否存在实数a ，使得________成立？请在①A B B =，②A B =∅，③()R B A ⊆这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中；若问题中的实数a 存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）(1,2]；（2）答案见解析.【分析】（1）分别求解两个集合，再求交集；（2）若选择条件①，则B A ⊆，利用包含关系求实数a 的取值范围，若选择条件②，讨论求解集合A ，根据A B =∅，求实数a 的取值范围，若选择条件③，同样是分情况求解集合A ，利用包含关系求实数a 的取值范围.【详解】解：（1）若1a =，则{(1)(1)0}(,1)(1,)A xx x =-+>=-∞-⋃+∞∣， 解不等式21log 1x -<≤，得112,,222x B ⎛⎤<≤= ⎥⎝⎦，所以(1,2]A B ⋂=； （2）显然1,22B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，若选①A B B =，则B A ⊆，当1a ≥-时，集合(,1)(,)A a =-∞-⋃+∞， 要使B A ⊆，则需12a ≤，所以112a -<≤； 当1a <-时，集合(,)(1,)A a =-∞⋃-+∞，此时B A ⊆ 所以若选①，则实数a 的取值范围为12a ≤； 若选②A B =∅，当1a ≥-时，集合(,1)(,)A a =-∞-⋃+∞， 要使A B =∅，则需2a ≥，所以2a ≥；当1a <-时，集合(,)(1,)A a =-∞⋃-+∞，此时,B A A B B ⊆⋂=≠∅所以若选②，则实数a 的取值范围为2a ≥；若选③()R 1,,22B A B ⎛⎤⊆= ⎥⎝⎦，当1a >-时，集合R (,1)(,),[1,]A a C A a =-∞-⋃+∞=-， 要使()B A ⊆R ，则需2a ≥，所以2a ≥；当1a =-时，集合(,1)(1,)A =-∞-⋃-+∞，此时(){1}R C A =-，不满足题意； 当1a <-时，集合(,)(1,)A a =-∞⋃-+∞，此时()R R [,1],C A a B A =-⋂=∅ 所以若选③，则实数a 的取值范围为2a ≥.【点睛】关键点点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，本题的关键是讨论求解集合A ，再分类，利用数轴，结合集合的包含关系或是运算结合求参数的取值范围.19．已知函数()()sin 20,6g x a x b a b R π⎛⎫=++>∈ ⎪⎝⎭.若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，最小值为0.（1）求函数()g x 的解析式；（2）求出()g x 在()0,π上的单调递增区间.【答案】（1）()2sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭和2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数()g x 的解析式； （2）由()0,x π∈可计算出26x π+的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数()g x 在()0,π上的单调递增区间.【详解】（1）由题意知，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72666x πππ≤+≤，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为0a >，所以3102a b a b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得21a b =⎧⎨=⎩，所以()2sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）因为()0,x π∈，所以132666x πππ<+<， 正弦函数sin y x =在区间13,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调递增区间为,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦和313,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，此时即2662x πππ<+≤或3132266x πππ≤+<，得06x π<≤或23x ππ≤<， 所以()g x 在()0,π上的递增区间为π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦和2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.20．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量()M x （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()505,2513x x M x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨+<≤⎪+⎩，单株成本投入（含施肥、人工等）为30x 元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）. （1）求()f x 的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）27530225,02()7503025,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪+⎩；（2）4千克，505元.【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式； （2）判断()f x 的单调性，及利用基本不等式求出()f x 的最大值即可． 【详解】解：（1）由题意得：()15()30f x M x x =-，()22155330,027530225,02()750503025,25153025,2511x x x x x x f x x x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎧-+≤≤⎪⎪==⎨⎨-+<≤⨯-+<≤⎪⎪+⎩+⎩（2）由（1）中27530225,02,()7503025,2 5.1x x x f x xx x x⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪+⎩ 得2175222,02,5()2580530(1),2 5.1x x f x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<≤⎢⎥⎪+⎣⎦⎩（i ）当02x ≤≤时，max ()(2)465f x f ==；（ii ）当25x <≤时，25()80530(1)805305051f x x x ⎡⎤=-++≤-⨯⎢⎥+⎣⎦ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立. 因为465505<，所以当4x =时，max ()505f x =，所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.21．已知一元二次函数2()1(0)f x ax x a =-+≠.（1）若01a <≤，证明：函数()f x 在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减；（2）若函数()f x 在区间[1,4]上的最小值为2-，求实数a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）116a =. 【分析】(1)在给定区间内任取两个自变量值并规定大小，再作对应函数值的差，利用函数单调性定义即可作答；(2)按二次函数()f x 图象的开口方向及对称轴与区间[1,4]的关系，分类讨论()f x 在区间[1,4]上的最小值即可得解.【详解】（1）121,(,]2x x ∀∈-∞，且12x x <，则()()()()()()221211221212111f x f x ax x ax x x x a x x -=-+--+=-+-⎡⎤⎣⎦，因1212x x <≤，则有120x x -<，121x x +<，而01a <≤， 于是得()121a x x a +<≤，即()1210a x x +-<， 从而有()()120f x f x -<成立，即()()12f x f x <， 所以函数()f x 在区间1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减；（2）因0a ≠，则二次函数f (x )的图象对称轴为12x a=， 当0a <时，102a<，函数2()1f x ax x =-+在区间[1,4]上单调递减，min ()(4)1632f x f a ==-=-，得116a =，不符合题意； 当108a <≤时，142a ≥，函数2()1f x ax x =-+在区间[1,4]上单调递减，min ()(4)1632f x f a ==-=-，得116a =，符合题意； 当1182a <<时，1142a <<，函数2()1f x ax x =-+的最小值为min 141()()224a f x f a a-===-，得112a =，不符合题意；当12a ≥时，1012a<≤，函数在区间[1,4]上单调递增，min ()(1)2f x f a ===-，不符合题意， 综上得116a =， 所以当函数()f x 在区间[1,4]上的最小值为2-时，实数116a =. 22．函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∈，满足()00f x x =，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数333,01(),()(())log ,13x x f x g x f f x x x -≤≤⎧==⎨<≤⎩. （1）试判断()g x 不动点的个数，并给予证明；（2）若“3320,,()1log (1)log ()3x g x x x k ⎡⎫∃∈->+++⎪⎢⎣⎭”是真命题，求实数k 的取值范围.【答案】（1）3个，证明见解析；（2）2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）分203x ≤<、213x ≤≤、13x <≤三种情况，利用()g x x =构造函数，利用函数的单调性可得答案；（2）解法1：转化为33210,,log log ()31x x k x x -⎡⎫∃∈>+⎪⎢+⎣⎭成立，解不等式组110xk x x x k -⎧>+⎪+⎨⎪+>⎩，再由23k >-可得答案；解法2：转化为33210,,log log ()31x x k x x -⎡⎫∃∈>+⎪⎢+⎣⎭成立，等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使11x k x x ->++成立，构造函数2(1)1y x x=-++，并利用函数的单调性，由max y k >可得答案. 【详解】（1）()()()g x f f x =， 若203x ≤<，则1333x <-≤，所以3()log (33)g x x =-， 由()g x x =得3log (33)x x -=，即31log (1)x x +-=， 因为3log (1)y x =--在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭是单调递增函数，所以函数3()log (1)1h x x x =---在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭是单调递增的，3331111(0)10,log 11log 21log 2222h h ⎛⎫⎛⎫=-=---=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()h x 在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭内存在唯一零点；若213x ≤≤，则0331x ≤-≤，所以()33(33)96g x x x =--=-， 由()g x x =得96x x -=解得34x =； 若13x <≤，则30log 1x <≤，所以3()33log g x x =-，由()g x x =得333log x x -=；因为3()3log 3x x x ϕ=+-在(1,3]是单调递增的，3344514(3)30,3log log 6403333ϕϕ⎛⎫=>=-=-< ⎪⎝⎭，所以3()3log 3x x x ϕ=+-在(1,3]内有唯一零点； 综上所述，()g x 有3个不动点.（2）由（1）可知，当()320,,()()log (33)3x g x f f x x ⎡⎫∈==-⎪⎢⎣⎭，若“3320,,()1log (1)log ()3x g x x x k ⎡⎫∃∈->+++⎪⎢⎣⎭”是真命题，就是20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式33()1log (1)log ()g x x x k ->+++成立，等价于33210,,log log ()31x x k x x -⎡⎫∃∈>+⎪⎢+⎣⎭成立， 即20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，不等式组110xk x x x k -⎧>+⎪+⎨⎪+>⎩成立， 2(1)(1)200x k x x k ⎧+++-<⎨+>⎩，解得11x x k ⎧⎪-<<-⎨⎪>-⎩ 因为20,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，保证0x k +>，所以23k >-因为10k ⎛---=> ⎝⎭，1()0k -+-=>，所以1k x -<<-，所以1023k ⎧->⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得：213k -<<.所以实数k 的取值范围是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.解法2：由（1）可知，当320,,()(())log (33)3x g x f f x x ⎡⎫∈==-⎪⎢⎣⎭，若“3320,,()1log (1)log ()3x g x x x k ⎡⎫∃∈->+++⎪⎢⎣⎭”是真命题，就是20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使不等式33()1log (1)log ()g x x x k ->+++成立，等价于33210,,log log ()31x x k x x -⎡⎫∃∈>+⎪⎢+⎣⎭成立， 等价于20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使11x k x x ->++成立， 且0x k +>也成立，由11x k x x ->++得2(1)1x k x -+>+，设2(1)1y x x=-++， 20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使11x k x x ->++成立，只要max y k >即可，函数2(1)1y x x =-++在20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 所以max 1y =，所以1k <，20,3x ⎡⎫∃∈⎪⎢⎣⎭，使0x k +>在区间20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭成立，只需要max ()0x k +>即可，即203k +>得23k >-，所以实数k 的取值范围是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

2022-2023学年山东省淄博市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）{1|,|1A x y B y y x ⎧⎫====⎨⎬-⎩⎭A B = A ．B ．且{|0}x x {0x x ≥}1x ≠C ．D ．{|1}x x ≠{|0}x x >【答案】D【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集.,A B 【详解】由函数定义域可得：，{}0A x x =≥由值域可得，故.{}|0B y y =≠{}0A B x x ⋂=>故选：D2．下列式子的值为的是（ ）32a -A B C D 【答案】D【分析】根据根式与分数指数幂之间的转化，逐一化简即可得到结果.，23a =32a =23a-=32a-=故选:D.3．著名的物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初始热度为，经过时间天之后的新闻热度变为0(0)N >(t )，其中为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数，要使该新闻的热度降到初始热0()e t N t N α-=α0.3α=度的以下，需要经过天（参考数据：）（ ）10%ln10 2.303≈A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】根据题意建立不等式求解.【详解】依题意，()00e 0.1t N t N N α-=<， ，0.3ln10 2.303e 0.1,0.3ln 0.1ln10,7.6770.30.3t t t -∴<-<=->≈≈即经过8天后，热度下降到初始热度的10%以下；故选：C.4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）(2)xy f =[1,4](1)1f x y x +=-A ．B ．C ．D ．[1,1)-(1,15][0,3][0,1)(1,3]⋃【答案】B【分析】由函数的定义域求出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域问题即(2)xy f =()y f x =可得解.【详解】解：由函数的定义域为，得，(2)xy f =[1,4][]22,16x ∈所以函数的定义域为，()y f x =[]2,16由函数，(1)1f x y x +=-得，解得，211610x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩115x <≤所以函数的定义域为.(1)1f x y x +=-(1,15]故选：B.5．函数的部分图象大致为（ ）3222xx x x y--=+A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除选项和，再利用特殊值排除选项即可求解.C D B 【详解】因为函数的定义域为，32()22xx x xy f x --==+R 且，所以函数为奇函数，故排除选项和；3322()()2222x x x xx x x xf x f x ---+--==-=-++C D又因为当时，，当时，，且当时，，故排除选项.1x =(1)0f <2x =(2)0f >x →+∞0y >B 故选：.A 6．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（ ）()25400ax x a ++=≠A ．B ．a<00a >C ．D ．2a <-1a >【答案】A【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得以及两根之积小于，列不等式组即可求解.0∆>0【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，()25400ax x a ++=≠1x 2x 所以，解得，故.212Δ544040a x x a ⎧=-⨯>⎪⎨=<⎪⎩25160a a ⎧<⎪⎨⎪<⎩a<0故选：A.7．已知，，）0.33a =12b π⎛⎫= ⎪⎝⎭5log c =A ．B ．C ．D ．a b c >>c b a >>b a c >>a c b>>【答案】D【解析】根据指数函数与对数函数的性质，先判断的大致范围，即可得出结果.,,a b c 【详解】因为，，0.30331a =>=1111222b π⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且，551log log 2c =>=5log 1c =<所以.a c b >>故选：D.【点睛】本题主要考查比较指数幂与对数的大小，属于基础题型.8．已知定义域为的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足.若[]7,7-()f x ()()0f x f x -+=，当时，总有，则满足的实(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()2112f x f x x x >()()()()212144m f m m f m --≤++数的取值范围为 （ ）m A ．B ．C ．D ．[]1,3-[]1,5-[]3,5-[]3,3-【答案】A【解析】根据，当，时，总有，转化为，当(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()2112f x f x x x >(]12,0,7x x ∀∈，时，总有，令，则在上递增，再根据12x x <()()2211x f x x f x >()()g x xf x =()g x (]0,7，得到在上是偶函数，将，转化()()0f x f x -+=()g x []7,7-()()()()212144m f m m f m --≤++为求解.()()214g m g m -≤+【详解】令，()()g x xf x =因为，当时，总有，(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()2112f x f x x x >即，当时，总有，(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()2211x f x x f x >即，当时，总有，(]12,0,7x x ∀∈12x x <()()21g x g x >所以在上递增，()g x (]0,7又因为，()()0f x f x -+=所以在上是偶函数，()g x []7,7-又因为，()()()()212144m f m m f m --≤++所以，即，()()214g m g m -≤+()()214g m g m -≤+所以即，21747214m m m m ⎧-≤⎪+≤⎨⎪-≤+⎩3411315m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩解得，13m -≤≤所以实数的取值范围为 m []1,3-故选：A【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在()()g x xf x =()g x (]0,7()g x 上是偶函数，将问题转化为求解.[]7,7-()()214g m g m -≤+二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ）A ．B ．1010x xy -=-()22log 1y x =+C ．D ．3y x=1y x=-【答案】AC【分析】利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】对于选项A ：记，函数的定义域为，定义域关于()1010x x f x -=-()1010x xf x -=-(),-∞+∞原点对称，又，所以函数是奇函数，又因为是增()1010()x x f x f x --=-=-()1010-=-x xf x 10x y =函数，是减函数，所以是增函数，符合题意，A 正确；10xy -=1010x x y -=-对于选项B ：记，函数的定义域为，定义域关于原点对称，()22()log 1=+g x x ()22()log 1=+g x x (),-∞+∞且，所以函数是偶函数，不符合题意，B 错误；()22()log 1()⎡⎤-=-+=⎣⎦g x x g x ()22()log 1=+g x x 对于选项C ：记，函数的定义域为，定义域关于原点对称，3()h x x =3()h x x =(),-∞+∞且，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是33)()()(=-=--=-h x h x x x 3()h x x =3()h x x =增函数，符合题意，C 正确；对于选项D ：记，函数的定义域为，定义域关于原点对称，又1()t x x =-1()t x x =-()(),00,∞-+∞ ，所以函数为奇函数，当时，，当时，11()()t x t x x x -=-==--1()t x x =-=1x -(1)1t -=1x =，所以在定义域上不是单调递增函数，D 错误.(1)1t =-1y x =-故选：AC.10．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）A ．函数的最大值为2112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭12B ．若幂函数的图象经过点，则解析式为1,28⎛⎫ ⎪⎝⎭13y x -=C ．函数与函数互为反函数2xy =2log y x =D ．若，则的最小值为1,0,3x y x y xy >++=xy 【答案】BC【分析】根据指数函数，幂函数和对数函数的性质即可判断选项；利用基本不等式即可判断A,B,C选项.D 【详解】因为函数有最大值，由指数函数的单调性可知：函数取最小值，故21x -+12112x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭12选项错误；A 设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，所以，则，y x α=1,28⎛⎫ ⎪⎝⎭1(28α=13α=-所以函数解析式为，故选项正确；13y x -=B 根据指数函数与对数函数的关系可知：函数与函数互为反函数，故选项正确；2xy =2log y x =C 因为，所以当且仅当时取等，,0,3x y x y xy >++=3xy x y-=+≥1x y ==则，解得：，则，所以有最大值，故选项错误，230+≤01<≤1xy ≤xy 1D 故选：.BC 11．已知函数，下列论述中正确的是（ ）()()2lg 1f x x ax =++A ．当时，的定义域为0a =()f x RB ．的定义域为，则实数的取值范围是()f x R a ()2,2-C ．的值域为，则实数的取值范围是()f x R a ][(),22,∞∞--⋃+D ．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是()f x ()2,+∞a [)4,-+∞【答案】ABC【分析】由对数型复合函数的定义域可判断AB ；由对数函数的值域判断C ；由复合函数的单调性可判断D【详解】对于A ：当时，，由解得，故A 正确；0a =()()2lg 1f x x =+210x+>x ∈R 对于B ：的定义域为，则恒成立，则，()f x R 210x ax ++>240a ∆=-<解得，故B 正确；22a -<<对于C ：的值域为，则能取完所有正数，此时，()f x R 21t x ax =++240a ∆=-≥解得，故C 正确；][(),22,a ∈-∞-⋃+∞对于D ：因为复合函数是由，，复合而成，而在()()2lg 1f x x ax =++lg y t =21t xax =++lg y t =上单调递增，又在区间上单调递增，()0,+∞()()2lg 1f x x ax =++()2,+∞所以在上单调递增，则有，解得，21t x ax =++()2,+∞22a -≤4a ≥-又在上恒成立，则有，解得，210x ax ++>()2,+∞22210a ++≥52a ≥-综上，，故D 错误；52a ≥-故选：ABC12．已知函数有三个不同的零点，则实数a 的取值可以为（ ）()||2fx x x a =--A ．0B ．C ．3D ．4【答案】CD【分析】确定时，在区间上无零点，题目转化为或有3个解，0x ≤()f x (,0]-∞2a x x =-=a 2x x +得到有两个正数解，解得答案.220x ax -+=【详解】当时，恒成立，即在区间上无零点，0x ≤()0f x <()f x (,0]-∞所以当时，有三个正根，解得或.0x >||2x x a -=2a x x =-=a 2x x +当时，单调递增，且，则方程有一个根，0x >2y x x =-2Rx x -∈2a x x =-则方程要有两个根，即有两个正数解，则，2a x x =+220x ax -+=212Δ80a x x a ⎧=->⎨+=>⎩解得CD 项正确.a >故选：CD三、填空题13．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为1()2x af x a x -=++0a >1a ≠P P ____________.【答案】()1,4【解析】结合指数函数和幂函数的性质求解．【详解】时，，所以函数图象恒过定点．1x =(1)1124f =++=(1,4)故答案为：．(1,4)14．设，且，则________．25a bm ==211a b +=m =【答案】20【分析】显然用对数式表示出后代入，运用对数的运算法则化简可得答案.0,m >,a b 211a b +=【详解】依题意有0,m >2525,log ,log ,a b m a m b m ==∴==.25212112log 2log 5log 20,20log log m m m m a b m m =+=+=+=∴=故答案为：2015．已知函数（且）的反函数过点，设，则不()x f x a =0a >1a ≠1()f x -(4,2)1()()()g x f x f x -=+等式的解集是_________．(21)(4)0g x g x ---<【答案】15,23⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据反函数定义得到反函数解析式，根据题中所给点解出a 的取值，得到1()log a f x x-=解析式，根据单调性得到最后解集.()g x ()g x 【详解】根据反函数定义可知，由题可知1()log a f x x-=1(4)log 422a f a -==⇒=故，，即，根据解析式可知在为增函数，12()log f x x -=()2x f x =2()2log x g x x =+()g x ()0,∞+(21)(4)0(21)(4)g x g x g x g x ---<⇒-<-可列不等式210154023421x x x x x ->⎧⎪->⇒<<⎨⎪->-⎩故答案为：15,23⎛⎫ ⎪⎝⎭四、双空题16．已知函数,若方程有四个不同的解,且()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩ ()f x a =1234,,,x x x x ,则的最小值是______,的最大值是______.1234x x x x <<<a ()41223416x x x x x ⋅++⋅【答案】 1 4【解析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩ a数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.1234,,,x x x x ()41223416x x x x x ⋅++⋅【详解】画出的图像有：()20.521,0log ,0x x x f x x x ⎧--+⎪=⎨>⎪⎩因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,()f x a=1234,,,x x x x ()f x y a =, 故的取值范围是,故的最小值是1.()01f =()12f -=a [)1,2a 又由图可知,,,故,故1212122x x x x =-⇒+=-+0.530.54log log x x=0.530.540.534log log log 0x x x x =-⇒=.341x x =故.()4124234416162x x x x x x x ⋅++=-⋅+又当时,.当时, ,故.1a =0.544log 12x x -=⇒=2a =0.544log 24x x -=⇒=[)42,4x ∈又在时为减函数,故当时取最大值.44162y x x +=-[)42,4x ∈42x =44162y x x +=-162242y +=-⨯=故答案为：(1). 1 (2). 4【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.五、解答题17．已知集合.{}()()27100,{20}A x x xB x x a x a =-+<=---<(1)若，求实数的取值范围；B A ⊆a (2)若，求的值，并从下列所给的三个条件中任选一个，说明22log 5log 40,140215m n g g =-=+,m n 它是的什么条件.（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要B A ⊆条件”回答）①②③.5,;6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭5,;3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】(1)[]2,3(2)，是的既不充分也不必要条件，是的必要不充3,3m n =-=5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭B A ⊆5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B A ⊆分条件，是的充分不必要条件.5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B A ⊆【分析】（1）解不等式得到，根据得到不等式组，求出实数的取值范围；,A B B A ⊆a （2）先利用对数计算公式得到，从而判断出，，3,3m n =-=5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是的什么条件.5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B A ⊆【详解】（1），{}{}2710025A x x x x x =-+<=<<，()(){}{}202B x x a x a x a x a =---<=<<+因为，所以，解得：；B A ⊆225a a ≥⎧⎨+≤⎩23a ≤≤实数的取值范围是；a []2,3（2），222log 5log 43108log m ===--，lg 402lg 5lg 40lg 25lg10003n =+=+==选①，由于，求出，55,3,62a m n ⎡⎫⎡⎫∈=-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B A ⊆[]2,3a ∈而，，5,23a ⎡⎫∈-⇒⎪⎢⎣⎭[]2,3a ∈[]2,3a ∈⇒253,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故是的既不充分也不必要条件；5,6a m n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭B A ⊆选②，由于，求出，[]5,3,53a m n ⎡⎤∈=-⎢⎥⎣⎦B A ⊆[]2,3a ∈而，，[]3,5a ∈-⇒[]2,3a ∈[][],52,33a a ∈-∈⇒故是的必要不充分条件；5,3a m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦B A ⊆选③，由于，求出，,255,36a n m ⎡⎤⎡⎤∈-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B A ⊆[]2,3a ∈而，，[],352,32a a ⎡⎤⇒⎥⎦∈∈⎢⎣[]2,3a ∈⇒5,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故是的充分不必要条件.5,6a n m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B A ⊆18．已知函数是定义在上的奇函数，且．2()1mx nf x x +=+[]1,1-()11f =（1）求的解析式；()f x （2）已知，，且，若存在，使成立，求实数的取值范围．0a >0b >128a b +=a b ()2b f t a >+t 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．22()1xf x x =+(2⎤⎦【解析】（1）根据题意分析可得，解可得、的值，则可得出函数的解析式；()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩m n ()f x （2）因为，所以，展开利用基本不等式可得，128a b +=112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭122b a +≥则只需使，然后求解不等式即可解得实数的取值范围．1()2f t >t 【详解】解：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，2()1mx nf x x +=+[]1,1-则，可得，则，(0)0f =0n =2()1mxf x x =+又由得，则，可得，()11f =12m =2m =则．22()1x f x x =+（2）因为，，且，0a >0b >128a b +=所以，当且仅当，即1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝22b aa b =，时，等号成立，14a =12b =若存在，使成立，则，即，a b ()2b f t a >+1()2f t >22112t t >+解得：，22t <<+[]1,1t ∈-所以实数的取值范围是．t (2⎤⎦【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数在处有意义时，则有；()f x 0x =()00f =（2）若存在，使成立，只需使，然后根据，利用基本不a b ()2b f t a >+min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭128a b +=等式求解的最小值．2ba +19．已知函数，且.()2ln ,02mxf x m x -=>+()()011f f +-=(1)证明：在定义域上是奇函数；()f x (2)判断在定义域上的单调性，无需证明；()f x (3)若，求的取值集合.()()ln9f x f x +<-x 【答案】(1)证明过程见解析(2)单调递减，理由见解析(3){}12x x <<【分析】（1）根据求出，，求出定义域，并利用()()011f f +-=1m =()2ln2xf x x -=+证明出结论；()()f x f x -=-（2）设，利用定义法证明出的单调性，从而利用复合函数单调性满足同()22x g x x -=+()22xg x x -=+增异减，判断出的单调性；()f x （3）利用的奇偶性得到，从而得到，求出的取值集合.()f x ()ln30f x +<63012xx -<<+x 【详解】（1），解得：，()()22ln ln 0121211m mf f -++=+--=+21m =因为，所以，，0m >1m =()2ln2xf x x -=+令，解得：，故的定义域为，关于原点对称，202xx ->+22x -<<()f x ()2,2-又，()()22ln ln 22x xf x f x x x +--==-=--+所以在定义域上是奇函数；()f x（2）在定义域上单调递减，理由如下：()f x 任取，()1212,2,2,x x x x ∈-<令，()22x g x x -=+则，()()()()()()()()()()()12212112121212122222422222222x x x x x x x x g x g x x x x x x x -+--+----=-==++++++因为，()1212,2,2,x x x x ∈-<所以，故，122120,20,0x x x x +>+>->()()()()()2112124022x x g x g x x x --=>++所以，故在上单调递减，()()12g x g x >()22xg x x -=+()2,2-根据复合函数单调性满足“同增异减”，所以在上单调递减；()2ln2xf x x -=+()2,2-（3）变形为，()()ln9f x f x +<-()()ln3ln 3f x f x +<--因为在定义域上是奇函数，所以，()f x ()()ln 3ln3f x f x ⎡⎤--=-+⎣⎦即，即，()()ln3ln3f x f x ⎡⎤+<-+⎣⎦()2ln30f x ⎡⎤+<⎣⎦()ln30f x +<因为，所以，()2ln2x f x x -=+263ln ln 3ln 0ln122x xx x --+=<=++故，解得：，63012x x -<<+12x <<故的取值集合为.x {}12x x <<20．已知二次函数，不等式的解集为．()2f x x bx c=++()0f x <()1,2-(1)求函数的解析式；()f x (2)解关于的不等式（其中）．x ()()2124a x ax f x +->+R a ∈【答案】(1)()22f x x x =--(2)答案见解析【分析】（1）根据不等式的解集为，得到的根，由韦达定理求出未知数()0f x <()1,2-()0f x =和，即可求出函数的解析式b c ()f x（2）将（1）求出的函数的解析式代入不等式，分类讨论即可求出不等式的解.()f x 【详解】（1）由题意在中，的解集为()2f x x bx c=++()0f x <()1,2-∴的根为20x bx c ++=1,2-∴，，12b -+=-12c -⨯=解得：，1b =-2c =-∴()22f x x x =--（2）由题意及（1）得，R a ∈在中，()22f x x x =--()()2124a x ax f x +->+∴()221224a x ax x x +->--+即()()120ax x +->当时，不等式化为：，解得：，0a =20x ->2x >当时，，则不等式的解为：或，0a >10a -<()()120ax x +->1x a <-2x >当时，，不等式化为，即，0a <1a ->1()(2)0+->a x x a 1(2)0+-<x x a 若，即，则不等式化为：，其解集为空集．12a -=12a =-()220x -<若，即，则不等式的解集为，12a -<12a <-1()(2)0+-<x x a 1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭若，即，则不等式的解集为，12a ->102a -<<1(2)0+-<x x a 1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎩⎭综上所述：当时，不等式的解集为，0a >1|2x x x a ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或当时，不等式的解集为；0a ={}|2x x >当时，不等式的解集为；102a -<<1|2x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭当时，不等式的解集为；12a =-∅当时，不等式的解集为．12a <-1|2x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭21．已知函数常数.()22(x x f x a -=+⋅R)a ∈(1)若，且，求的值；1a =-()4f x =x (2)当为奇函数时，存在使得不等式成立，求实数的取值范围.()f x []1,2x ∈()()210f x mf x -+<m【答案】(1)(2log 2x =(2)的取值范围为.m 13,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）解方程即可求解；()224x x f x -=-=（2）由求得的值，再利用奇函数的定义检验可得的解析式，分离参数可得()00f =a ()f x ，根据单调性求出范围，的最小值即可求解.()()1m f x f x >+()f x ()()1f x f x +【详解】（1）当时，，1a =-()22x xf x -=-令可得，()224x x f x -=-=()224210x x-⋅-=所以，可得，()2225x-=22x-=20x >所以22x =+(2log 2x =（2）若函数是奇函数，则，可得，()22x xf x a -=+⋅()0002210f a a -=+⋅=+=1a =-所以，经检验，()22x x f x -=-()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-所以是奇函数，符合题意，()22x xf x -=-1a =-因为在上单调递增，在上单调递减，2xy =[]1,22xy -=[]1,2所以在上单调递增，22x xy -=-[]1,2所以当时，，当时，，2x =()22max 15224f x -=-=1x =()11min 3222f x -=-=所以，()315,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为存在使得不等式成立，[]1,2x ∈()()210f x mf x -+<所以存在使得成立，[]1,2x ∈()()1m f x f x >+所以()()min1m f x f x ⎡⎤>+⎢⎥⎢⎥⎣⎦令，设，，()f x t=()()()11g t f x t f x t=+=+315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 任取，且，则12315,,24t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12t t <，()()()212121212121111t t g t g t t t t t t t t t ⎛⎫--=+--=- ⎪⎝⎭因为，，所以，，12t t <12315,,24t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦210t t ->2110t t ->所以，故函数在单调递增，()()21g t g t >()g t 315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以当时，取最小值，最小值为，32t =()g t 136即时，取最小值，最小值为1x =()()1f x f x +136所以，136m >所以实数的取值范围为.m 13,6∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭22．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按天计），每件的销售价格 (单位：元)与时间（单位：天）（30()P x x ）的函数关系满足（为常数，且），日销售量（单位：件）130,x x N *≤≤∈()10kP x x =+k 0k >()Q x 与时间的部分数据如下表所示：x x 15202530()Q x 55605550设该工艺品的日销售收入为（单位：元），且第天的日销售收入为元.()f x 20603（1）求的值；k（2）给出以下四种函数模型：①；()Q x ax b =+②；()||Q x a x m b =-+③；()xQ x ab =④.()log b Q x a x =请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变()Q x x 化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数，求的最小值.()Q x ()f x 【答案】（1）1；（2）；（3）441.()*()|20|60130,Q x x x x =--+∈N 【解析】（1）由可求得；(20)(20)(20)603f P Q ==k （2）由数据知先增后减，选择②，由对称性求得，再利用其他函数值求出；()Q x 20m =,a b （3）根据（2）求得的表达式，然后一段利用基本不等式求得最小值，一段利用函数的单调性()f x 刘最小值，比较可得结论．【详解】解:（1）因为第天的日销售收入为元，20603所以，(20)(20)(20)106060320k f P Q ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭解得.1k =（2）由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.x ()Q x 函数模型①;③④都是单调函数，()Q x ax b =+()xQ x ab =()log b Q x a x=所以选择函数模型②.()||Q x a x m b =-+由，得，(15)(25)Q Q =1525m m-=-所以，20m =由()()15555,2060,Q a b Q b ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩解得1,60a b =-=所以日销售量与时间的变化关系为()Q x x ()*()|20|60130,Q x x x x =--+∈N （3）由（2）知**40,120,,()206080,2030,,x x x Q x x x x x ⎧+∈=--+=⎨-+<∈⎩N N所以**110(40),120,()()()110(80),2030,x x x N x f x P x Q x x x x N x ⎧⎛⎫++∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<∈ ⎪⎪⎝⎭⎩ 即**4010401,120,,()8010799,2030,,x x x xf x x x x x ⎧++∈⎪⎪=⎨⎪-++<∈⎪⎩N N 当时，*120,x x ∈N 由基本不等式得，()4010401401441,f x x x=+++= 当且仅当，即时，等号成立.4010x x =2x =所以.min ()441f x =当时，为减函数，*2030,x x <∈N 80()10799f x x x =-++所以，min 8()(30)4994413f x f ==+>综上所述：当时，的最小值为2x =()f x 441.【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，在已知函数模型时，直接利用所给数据求出模型听参数得函数解析式．然后可根据函数解析式确定函数性质求得最值等．分段函数在求最值时需要分段求解，然后比较才能得出结论．。

数学第Ⅰ卷（共60分）选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项符合题意)1.已知集合{}6543210，，，，，，=U ，{}5310，，，=A ，{}421，，=B ，那么()=B C A U （ ） A ．{}6 B ．{}530，，C ．{}630，，D ．{}65310，，，， 2.已知直线0123=-+y mx 在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3.函数()()1lg 2++-=x x x f 的定义域为（ ）A ．[]2,1-B ．[)2,1-C ．(]2,1-D ．()2,1-4.若幂函数()()mx m m x f ---=121是偶函数，则实数=m （ ）A ．-1B ．2C ．3D ．-1或25.已知两点()10，A ，()34，B ，则线段AB 的垂直平分线方程是（ ） A ．022=+-y x B ．062=-+y xC ．022=-+y xD ．062=+-y x 6.已知三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ，BC AB ⊥，6=AB ，8=BC ，51=AA ,则该几何体的表面积是（ ）A ．216B ．168C ．144D ．1207.若点()b a ,在函数()x x f n 1=的图像上，则下列点中不在函数()x f 图像上的是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a ,1B ．()b e a ++1,C ．⎪⎭⎫⎝⎛-b a e 1, D ．()b a 2,28.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若α⊥l ，m l //，则α⊥m B ．若 m l ⊥，α⊂m ，则α⊥l C ．若α//l ，α⊂m ，则m l // D ．若α//l ，α//m ，则m l //9.若三条直线1l ：062=++y ax ，2l ：04=-+y x ，3l：012=+-y x 相交于同一点，则实数=a （ ）A ．-12B ．-10C ．10D ．12 10.已知函数()xx f 3log =，若函数()m x f y -=有两个不同的零点a ，b ，则（ ）A ．1=+b aB ．mb a 3=+ C ．1=ab D ．ma =b 11.下图是正方体的平面展开图.在正方体中，下列结论正确的序号是（ ） ①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成︒60角； ④DM 与BN 垂直.A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④12.甲乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某人持有资金120万元，他可以在1t 至4t 的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计），那么他持有的资金最多可变为（ ）A ．120万元B ．160万元C ．220万元D ．240万元 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.计算：()=--2log 2320_________________________.14.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___________________.15.已知1P，2P 分别为直线1l ：093=-+y x 和013:2=++y x l 上的动点，则21P P 最小值是 .16.狄利克雷是德国著名数学家，函数 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数()x D 的五个结论：①若x 是无理数，则()()0=x D D ；②函数()x D 的值域是[]1,0；③函数()x D 是偶函数； ④若0≠T 且T 为有理数，则()()x D T x D =+对任意的R x ∈恒成立； ⑤存在不同的三个点()()11,x D x A ，()()22x D x B ，()()33,x D x C ，使得ABC ∆为等边三角形.其中正确结论的序号是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=4221x x A ，{}2log 02<<=x x B . （Ⅰ）求B A 和B A ； （Ⅱ）记{}M x x N M ∈=-,且}N x ∉，求B A -与A B -.18.（本题满分10分）求满足下列条件的直线方程：（Ⅰ）求经过直线1l ：033=-+y x 和2l ：01=+-y x 的交点，且平行于直线032=-+y x 的直线l 方程；（Ⅱ）已知直线1l ：062=-+y x 和点()11-，A ,过点A 作直线l 与1l 相交于点B ，且5=AB ，求直线l 的方程.19.（本题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ，AC AD =，DE AB 21=，F 是CD 的中点.（Ⅰ）求证：//AF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面⊥BCE 平面CDE .()⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x xD ,0,120.（本题满分12分）已知指数函数()x g y =的图像经过点()4,2，且定义域为R 的函数()()()x g a x g b x f +-=是奇函数.（Ⅰ）求()x f 的解析式，判断()x f 在定义域R 上的单调性，并给予证明；（Ⅱ）若关于x 的方程()m x f =在)[0,1-上有解，求⎪⎭⎫ ⎝⎛m f 1的取值范围.21.（本题满分12分）已知ABC ∆的顶点()15，A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为,052=--y x B ∠的平分线BN 所在直线方程为052=--y x .求：（Ⅰ）顶点B 的坐标； （Ⅱ）直线BC 的方程.22.（本题满分14分）某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B 部件的人数与生产A 部件的人数成正比，比例系数为k （k 为正整数）.（Ⅰ）设生产A 部件的人数为x ，分别写出完成A ，B ，C 三种部件生产需要的时间；（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.数学试题参考答案及评分说明选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1-5:BCCAB 6-10:BBAAC 11、12：CD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2114.12 15.10 16.③④⑤.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17.解：（Ⅰ）由已知得，()2,14221-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=x x A ，}(){4,12log 02=<<=x x B ......4分 所以()2,1=B A ,()41，-=B A ； .................6分 （Ⅱ）{Ax x B A ∈=-，且}(]1,1-=∉B x ， .................8分{Bx x A B ∈=-，且}[)4,2=∉A x . .................10分18.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+-=-+01033y x y x ，得交点坐标为()1,0 ...........2分因为直线l 平行于直线032=-+y x ，所以直线l 的斜率为-2 ...4分 所以，直线l 的方程为()021--=-x y ，即012=-+y x . ...........6分 （Ⅱ）方法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()11-=+x k y ， 即直线l 的方程为()1+-=k kx y ...............................7分因为直线l 与1l 相交于点B ，联立方程组()⎩⎨⎧+-=+-=621y x y k kx ，解得点B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+-++224,27k k k k 又5)1224()127(22=++-+-++=k k k k AB ，解得43-=k 所以，直线l 的方程为0143=++y x ； .................8分当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1=x ，此时直线l 与1l 的交点为()4,1，也满足题意，故直线1=x 符合题设.综上所述，直线l 的方程为0143=++y x 和1=x . ................10分 方法二：设点B 的坐标为()n m ,因为点B 在直线1l ：062=-+y x 上，所以062=-+n m ① 又因为5=AB ，且点()1,1-A ，所以5)1()1(22=++-n m ② 联立①②，解得B 的坐标为()4,1和()4,5- .........................8分 由此可得直线l 的方程为：0143=++y x 和1=x ...................10分 19.证明：（Ⅰ）取CE 的中点M ，连结MF ，MB ......2分∵F 是CD 的中点，∴DE MF //，且DE MF 21=∵⊥AB 平面ACD ，⊥DE 平面ACD ， ∴DE AB //,AB MF //∵DE AB 21=, ∴AB MF =∴四边形ABMF 是平行四边形 .......4分 ∵BM AF //,⊄AF 平面BCE ,⊆BM 平面BCE ∴//AF 平面BCE . .................6分 （Ⅱ）∵AD AC =, ∴CD AF ⊥ .......7分 又 ∵⊥DE 平面ACD ,⊆AF 平面ACD , ∴DE AF ⊥ ......................8分又D DE CD = , ∴⊥AF 平面CDE ................10分 又∵AF BM //, ∴⊥BM 平面CDE ......................11分∵⊄BM 平面BCE , ∴平面⊥BCE 平面CDE .....................12分20.解：（Ⅰ）设()()1,0≠>=c c c x g x ，由已知()42=g ，解得2=c ，故()xx g 2=........2分又由()()()xxa b x g a x g b x f 22+-=+-=是奇函数，所以()()x f x f -=-，即 x xx x a b a b 2222+--=+---，化简得()()()02212=+-+--xx a b ab此式对于任意的x 都成立，所以⎩⎨⎧=-=-001a b ab ，解得⎩⎨⎧==11a b 或⎩⎨⎧-=-=11b a ...4分 因为()x f 的定义域为R ,所以⎩⎨⎧==11a b ，即()x x x f 2121+-=. .............5分 注：也可以用特殊值的方法求得，但必须检验()()x f x f -=-.()12122121-+=+-=x x x x f ，所以()x f 是R 上的单调减函数. ...............6分证明：对于任意的R ,21∈x x ，设21x x <则()())21)(21()22(21212121221122121x x x x x x x f x f ++-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=- 显然()()0212121x >++x ，且xy 2=为R 上的单调增函数，所以02212>-x x故()()021>-x f x f 即()()21x f x f >，所以()x f 是R 上的单调减函数. ...8分（Ⅱ）方程()m x f =在[)0,1-上有解，即m =-+1212x 在[)0,1-上有解因为()x f 是R 上的减函数，所以当[)0,1-∈x ，()()31100=-≤<=f m f ，得31≥m ，所以()9731-=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛f m f ............................10分 又由0212x >+，得11212->-+x，即9711-≤⎪⎭⎫⎝⎛<-m f ， 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛m f 1的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛--97,1. .............................12分 解：（Ⅰ）设顶点B 的坐标为()n m ,因为顶点B 在直线BN 上，所以052=--n m .........2分 由顶点B 的坐标为()n m ,和顶点()1,5A ,得线段AB 的中点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++21,25n m .因为中点M 在直线CM 上，所以0521252=-+-+⨯n m ，即012=--n m .............................................4分联立方程组⎩⎨⎧=--=--012052n m n m ，解得B 的坐标为()3,1--. ..........6分（Ⅱ）设顶点()1,5A 关于直线BN 的对称点为()t s A ,'由于线段'AA 的中点在直线BN 上，得方程0521225=-+⨯-+t s ,即072=--t s ................7分由于直线'AA 与直线BN 垂直，得方程15121-=--⨯s t ，即0112=-+t s ...............8分联立方程组⎩⎨⎧=-+=--0112072t s t s ，解得⎪⎭⎫⎝⎛-53,529'A ...................10分 显然顶点⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,529'A 在直线BC 上，又顶点B 的坐标为()3,1--所以，直线BC 的方程为045176=--y x . ..................12分22.解：（Ⅰ）设完成A ，B ，C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为()x T 1，()x T 2，()x T 3.由题设，有()x x x T 10006300021=⨯=，()kx x T 20002=，()()x k x T +-=120015003， 其中x ，kx ，()x k +-1200均为1到200之间的正整数. ..............6分（Ⅱ）完成订单任务的时间为()()()(){}x T x T x T x f 321,,max =，其定义域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<*,12000N x k x x ， 易知，()()x T x T 21,为减函数，()x T 3为增函数，注意到()()x T k x T 122=，于是①当2=k 时，()()x T x T 21=,此时()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x x T x T x f 32001500,1000max ,max 31由函数()()x T x T 31,的单调性知，当x x 320015001000-=时()x f 取得最小值， 解得9400=x . ..........................................7分由于45940044<<, 而()()1125044441==T f , ()()1330045453==T f , ()()4544f f <,故当44=x 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为()1125044=f ； .........................................8分②当2>k 时，()()x T x T 21>，由于k 为整数，故3≥k ，此时()()x x x T x T -=-=≥50375420015003，易知()x T 为增函数.由于371140036<<，而()()11250925036361>==T ϕ, ()()11250133753737>==T ϕ, 此时完成订单任务的最短时间大于11250； ...11分③当2<k 时，()()x T x T 21<，由于k 为正整数，故1=k . 此时()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==x x x T x T x f 100750,2000max ,max 32，由函数()x T 2，()x T 3的单调性知，当x x-=1007502000时()x f 取得最小值， 解得11800=x . .................................................12分类似①的讨论.此时完成订单任务的最短时间为9250,大于11250. ......13分综上所述，当2=k 时完成订单任务的时间最短，此时生产A ,B ,C 三种部件 的人数分别为44,88,68. ......................................14分。

2022-2023学年山东省淄博市淄川区淄川中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|lg(1)}B x y x ==+，则A B =（ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{0,1,2} C ．{1,2} D ．{2}【答案】B【解析】求出函数的定义域确定集合B ，然后由交集定义计算． 【详解】{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=>-，∴{0,1,2}A B ⋂=. 故选：B ．2．已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤- B ．112a -<≤-C ．112a -<≤D ．112a -≤<【答案】D【解析】由p 是q 的必要条件，列不等式组，可得实数a 的取值范围． 【详解】由p 是q 的必要条件，可得21221a a -≤⎧⎨>+⎩，解得112a -≤< 故选：D.3．设0.311531log 3,log 5,()5a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D【分析】分别求出,,a b c 的范围，再比较大小. 【详解】根据对数换底公式可知，1555log 3log 3log 51a ==->-=-，所以10a -<<，1333log 5log 5log 31b ==-<-=-，所以1b <-，0.3105c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以b a c <<. 故选：D4．函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定． 【详解】()()21ln 11ln 2201f =+-=-<，()()2ln 21ln 31022f =+-=-> 由()21201f x x x'=+>+，则()f x 在()0,∞+上单调递增. 所以函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是()1,2故选：B5．地震以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量，则里氏震级γ可定义为0.6lg I γ=.在2021年3月下旬，A 地区发生里氏3.1级地震，B 地区发生里氏7.3级地震，则B 地区地震所散发出来的相对能量是A 地区地震所散发出来的相对能量的（ ）倍. A ．7 B ．610 C ．710 D ．810【答案】C【分析】把两个震级代入0.6lgI γ=后，两式作差即可解决此题．【详解】设里氏3.1级地震所散发出来的能量为1I ，里氏7.3级地震所散发出来的能量为2I ，则13.10.6lgI =⋅⋅⋅①，27.30.6lgI =⋅⋅⋅②②-①得：214.20.6I lg I =，解得：72110I I =． 故选：C ．6．函数()3ln f x x x =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】应用排除法，结合奇偶性定义判断()f x 奇偶性，由解析式判断1()2f 的符号，即可确定图象.【详解】由()33()ln ln ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-且定义域为{|0}x x ≠，函数为奇函数，排除A 、C ；又1ln 2()028f =-<，排除B. 故选：D.7．已知函数()242,1,,1,x x ax x f x a x ⎧-+<=⎨⎩对于任意两个不相等实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由题可得函数为减函数，根据单调性可求解参数的范围. 【详解】由题可得，函数()f x 为单调递减函数， 当1x <时，若()f x 单减，则对称轴21x a =≥，得：12a ≥, 当1x ≥时，若()f x 单减，则01a <<， 在分界点处，应满足142a a -+≥，即35a ≤，综上：1325a ≤≤ 故选：B8．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增 D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.二、多选题9．下列各选项中，表示同一函数的是（ ）A ．()()01,f x g x x ==B ．()()21ln ,ln 2f x x g x x ==C ．()()3,f x x g x ==D ．()()22,4x xf xg x ==【答案】CD【分析】根据函数的定义，若两个函数的定义域和对应法则均相同，则两个函数为同一函数 【详解】选项A 中，1f x的定义域为R ,()0g x x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一函数；选项B 中，()ln f x x =的定义域为()0,+∞，()21ln 2g x x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一函数；选项C 中，()()3,f x x g x ==的定义域均为R ，且()3x g x ==，所以为同一函数；选项D 中，()224x x f x ==，定义域均为R ，所以为同一函数故选：CD10．下列命题为真命题的是（ ）A ．若1a b <<，则1111a b>-- B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若a b >，则11a b<D ．lg 0x <是1x <的充分不必要条件 【答案】BD【分析】根据不等式性质可知AB 正误；通过反例可知C 错误；由lg 0x <可得01x <<，由推出关系可得D 正确.【详解】对于A ，1a b <<，1a b ∴->->-，110a b ∴->->，11011a b∴<<--，A 错误； 对于B ，0a b <<，2a ab ∴>，2ab b >，22a ab b ∴>>，B 正确；对于C ，若1a =，1b，则11a=，11b =-，此时11a b >，C 错误；对于D ，由lg 0x <得：01x <<，lg 01x x ∴<⇒<，1lg 0x x <<，lg 0x ∴<是1x <的充分不必要条件，D 正确.故选：BD.11．下列结论中，正确的是（ ） A ．函数12x y -=是指数函数B ．函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞C ．若(0,1)m n a a a a >>≠则m n >D ．函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠的图像必过定点(2,2)- 【答案】BD【分析】根据指数函数的性质求解判断．【详解】由指数函数定义得函数12x y -=不是指数函数，A 错；函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭中，222(1)1u x x x =-+=--+，在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，因此函数2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是()1,+∞，B 正确；01a <<时，由m n a a >得m n <，C 错；函数2()3(0,1)x f x a a a -=->≠中，由20x -=得2x =，(2)2f =-，即函数()f x 图象过点(2,2)-，D正确． 故选：BD ．12．已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ）A ．2B ．6C ．5D ．4【答案】ACD【分析】先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再数形结合，得到答案.【详解】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当0∆>时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-故211212a <-≤212121a ≤-<，当212t a =-2()12f x a =-(1,1)∈-，则x 有2解，当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.三、填空题13．若()4xf x =，则()2log 3f =___________.【答案】9【分析】根据指数幂与对数的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】由()4x f x =，可得()2222log 3log 32lo o 29g 3l g 2log 34(2)229f =====.故答案为：914．若函数()()log 1a f x x =-过点(),0a ，则()0f x >的解集为___________. 【答案】()2,+∞【分析】由函数()()log 1a f x x =-过点(),0a 可求得参数a 的值，进而解对数不等式即可解决. 【详解】由函数()()log 1a f x x =-过点(),0a 可得，()log 10a a -=，则11a -=，即2a =，此时()()2log 1f x x =- 由()2log 10x ->可得11x ->即2x > 故答案为：()2,+∞15．已知()f x 为R 上的奇函数，当[0,)x ∈+∞时，1()21x f x x =-+，则不等式(31)(1)f x f x -<-的解集为___________. 【答案】1(,)2-∞【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解， 【详解】由函数2x y =与11y x =-+均在[0,)+∞上单调递增， 故()f x 在[0,)+∞上单调递增，而()f x 为R 上的奇函数，故()f x 在R 上单调递增，(31)(1)f x f x -<-等价于311x x -<-，得12x <， 故答案为：1(,)2-∞16．若函数()22()log 3f x x ax a =-+在()2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]4,4-【分析】根据()2,+∞是函数()22()log 3f x x ax a =-+递增区间的子集求得实数a 的取值范围． 【详解】解：∵ ()22()log 3f x x ax a =-+在()2,+∞上是增函数，()2022f a ⎧≥⎪∴⎨--≤⎪⎩，即404a a +≥⎧⎨≤⎩，解得44a -≤≤． 故答案为：[]4,4-．四、解答题 17．计算： (1)51213log 333274258--⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭；(2)2321(lg5)lg2lg5lg4log 4log 32++-⨯.【答案】(1)13-(2)1-【分析】（1）以实数指数幂的运算规则及对数恒等式解之即可； （2）以对数运算规则及对数换底公式解之即可. 【详解】（1）51213log 333274258--⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭()1312323332232--⎡⎤⎛⎫=+⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13413333232--⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13232-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭213=-13=-（2）2321(lg5)lg2lg5lg4log 4log 32++-⨯()122lg2lg3lg5lg5lg2lg4lg3lg2=++-⨯lg5lg22=+-12=-1=- 18．（1）若2)f x =-求函数()f x 的解析式，并写出其定义域. （2）求函数()f x x =-.【答案】（1）解析式为()24f x x =-，定义域为：[2,)-+∞（2）[2,)-+∞【分析】（1）利用换元法令2(2)t t =≥-，解出x ，代入原函数中化简即可 （2）换元法将函数转化为二次函数求值域【详解】（1）令2t =0≥222t ≥-⇒≥-，2t +，()22x t =+所以有()()()222424f t t t t =+-+=-即函数()f x 的解析式为()24f x x =-，定义域为[2,)-+∞（2）令1)t t =≥，所以21(1)x t t =-≥ 所以有221y t t =--(1)t ≥由对称轴为：1t =，开口向上，所以函数在1t ≥上单调递增， 所以2y ≥-，即函数的值域为[2,)-+∞.19．已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）xm ﹣2在（0，+∞）上单调递减. (1)求f （x ）的解析式；(2)若正数a ，b 满足2a +3b ＝4m ，若不等式32a b+≥n 恒成立，求实数n 的最大值.【答案】(1)1()f x x -= (2)6【分析】（1）利用幂函数的性质即可求解m 的值；（2）利用基本不等式求出32a b+的最小值，即可求解n 的最大值.【详解】（1）幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）xm ﹣2在（0，+∞）上单调递减，所以244120m m m ⎧-+=⎨-<⎩，解得m ＝1，所以f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣1.（2）正数a ，b 满足2a +3b ＝4m ，则a ＞0，b ＞0，2a +3b ＝4，，所以32a b +＝14（32a b +）（2a +3b ）＝14（12+49a b b a +）≥6，当且仅当4a b ＝9b a ，即a ＝1，b ＝23时等号成立，故32a b+的最小值为6，又不等式32a b+≥n 恒成立，所以n ≤6，即实数n 的最大值6.20．已知定义域为 R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数.(1)求 ,a b 的值;(2)用定义证明 ()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;(3)若对于任意 R t ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-< 恒成立，求k 的范围.【答案】(1)1a =，1b =. (2)证明见解析. (3)1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据函数为奇函数，利用奇函数性质即可求得答案. （2）根据函数单调性的定义即可证明结论.（3）利用函数的奇偶性和单调性将()()22220f t t f t k -+-<恒成立，转化为232k t t <-对任意的R t ∈都成立，结合求解二次函数的最值，即可求得答案.【详解】（1）()f x 为R 上的奇函数，02(0)02b f a-∴==+，可得1b = 又 (1)(1)f f -=-,11121222a a ----∴=-++ ,解之得1a =, 经检验当 1a =且1b =时，12()21xxf x -=+ ， 满足1221()()2112x x xxf x f x -----===-++是奇函数, 故1a =，1b =.（2）由（1）得122()12121x x x f x -==-+++ ，任取实数 12,x x ，且12x x <，则 ()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++ ， 12x x <，可得1222x x <，且()()1221210xx++>，故()()()211222202121x x x x ->++，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;（3）根据 （1）（2）知，函数()f x 是奇函数且在(,)-∞+∞上为减函数.∴不等式()()22220f t t f t k -+-< 恒成立，即()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+恒成立， 也就是:2222t t t k ->-+对任意的R t ∈都成立，即232k t t <-对任意的R t ∈都成立，221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ，当13t =时232t t -取得最小值为13-， 13k ∴<-，即k 的范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. 21．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.(1)根据以上数据，试从x y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），b y a x =⋅（0a >，0b >且1b ≠），y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从2019年底起经过x 年后新能源汽车保有量为y 辆，求出新能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式；(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据:lg 20.30≈，lg30.48≈）【答案】(1)应选择的函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且；315002xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ (2)2028年底【分析】（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且，由待定系数法即可求得函数关系式；（2）由题意列式求出每年下降得百分比，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得结果.【详解】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且由题意得011502250a b a b ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得150032a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以315002x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ （2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r ，依题意得.()()550000150000110%r -=-，解得1510.9r -=，设从2019年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量为y 辆，则有()15500001500000.9x x y r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设从2019年底起经过x 年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有1531500500000.92x x ⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得15331000.92xx ⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()lg3lg3lg 222lg315x x +->+-， 解得2lg38.0913lg3lg 255x ->≈+-， 故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.22．已知函数()()()3log 31R x f x kx k =++∈为偶函数. (1)求实数k 的值；(2)若方程()()()31log 3R 2x f x x a a a =+⋅-∈有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)12k =-；(2){3(0,)--⋃+∞.【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.（2）由题设可得(31)0x a ->，23(1)310x x a a ⋅-+-=有且仅有一个实数根，讨论0a >、a<0，结合指数函数、二次函数的性质求参数范围.【详解】（1）由题设，()()f x f x -=，即33log (31)log (31)x x kx kx --++=++，∴32log 3x kx x -==-，可得21k =-，则12k =-. （2）由题设，()33log (31)log 322x x x x a a -++=+⋅-，则33log (31)log (31)x x x a +=+-， ∴(31)0x a ->，且2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-，整理得23(1)310x x a a ⋅-+-=，令3x t =，则2()(1)1g t at a t =-+-有且仅有一个零点，(0)10g =-<，(1)20g =-<， 当0a >时，0x >， 此时，(1,)t ∈+∞且()g t 开口向上， ∴()g t 在(1,)+∞上有且仅有一个零点；当a<0时，0x <，此时，(0,1)t ∈且()g t 开口向下且对称轴11(1)2x a=+，∴1012a<+<，即1a <-时，仅当22(1)4610a a a a ∆=++=++=，可得3a =-- 110a+<，即10a -<<时，()g t 在(0,1)上无零点.综上，{3(0,)a ∈--⋃+∞.【点睛】关键点点睛：第二问，注意(31)0x a ->，讨论0a >、a<0对应定义域区间不同，另外结合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.。

2023-2024学年山东省淄博市高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．设{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =．则集合()U A B ⋃=ð（）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}3C ．{}1,2,4,5,6,7,8D ．{}7,8【正确答案】D【分析】直接根据并集和补集的定义得答案.【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，{}1,2,3,4,5,6A B ∴=U ，(){}7,8U A B = ð.故选：D.2．已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【正确答案】C【分析】根据题意，得到11(1)111y x x x x =+=++-++，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为1x >-，可得10x +>，则11(1)11111y x x x x =+=++-≥=++，当且仅当111x x +=+时，即0x =时，等号成立，所以函数11y x x =++的最小值为1.故选：C.3．已知0x >，则函数29y x x =-的零点所在区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【详解】因为()29f x x x =-在()0,∞+上单调递增，又()1190f =-<，()92204f =-<，()3310f =->，()944016f =->，所以()()230f f ⋅<，所以函数29y x x =-的零点所在区间为()2,3故选：C4．在同一直角坐标系中的函数log a y x =与y x a =-+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】分01a <<和1a >两种情况，利用函数的单调性及函数y x a =-+当0x =时的函数值的范围，进行判断即可．【详解】当01a <<时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减；函数y x a =-+在R 上单调递减，且当0x =时，(0,1)y a =∈，故A 正确，C 错误；当1a >时，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增；函数y x a =-+在R 上单调递减，且当0x =时，(1,)y a =∈+∞，故B 、D 错误．故选：A ．5．函数()()0.6log 21f x x =-的定义域为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(]0,1C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式组求解.【详解】由已知得10210x x -≥⎧⎨->⎩，解得112x <≤.所以函数()()0.6log 21f x x =-的定义域为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D.6．函数()21x f x a -=+（其中0a >，1a =）的图象恒过的定点是（）A ．()2,1B ．()2,2C ．()1,1D ．()1,2【正确答案】B【分析】令20x -=可得定点.【详解】令20x -=，即2x =，得2y =，函数()21x f x a -=+（其中0a >，1a =）的图象恒过的定点是()2,2.故选：B.7．设函数()()()()211log 2121x x x f x x -⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()21log 12f f +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】C【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.【详解】∵2222log 12log 2log 61log 61=+=+>，∴()()2log 2261log 121log 12167f f ==++++=，故选：C ．8．设函数()()41ln 113f x x x =+-+，则不等式()()21f x f x >+的解集是（）A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()()1,1,3-∞-⋃+∞C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【正确答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，则不等式等价于21x x >+，解得即可.【详解】解：因为()()41ln 113f x x x =+-+定义域为R ，又()()()()()4411ln 1ln 11313f x x x f x x x -=+--=+-=++-，所以()()41ln 113f x x x =+-+为偶函数，当0x >时()()41ln 113f x x x =+-+，()ln 1y x =+在()0,∞+上单调递增，413y x =+在()0,∞+上单调递增，1y x-=在()0,∞+上单调递增，所以4113y x =-+在()0,∞+上单调递增，所以()()41ln 113f x x x =+-+在()0,∞+上单调递增，则不等式()()21f x f x >+等价于()()21f x f x >+，等价于21x x >+，所以()()2221x x >+，解得1x >或13x <-，所以不等式的解集为()()1,1,3-∞-⋃+∞.故选：B二、多选题9．若a ，b ，c ∈R ，且a b >，则下列不等式正确的是（）A ．11a b <B ．a c b c ->-C ．33a b >D ．22ac bc >【正确答案】BC【分析】通过举反例来判断AD ，利用不等式的性质判断BC.【详解】对于A ：若1,1,a b a b ==->，此时11a b>，A 错误；对于B ：a b > ，a c b c ∴->-，B 正确；对于C ：a b > ，33a b ∴>，C 正确；对于D ：a b >，若0c =，则22ac bc =，D 错误.故选：BC.三、单选题10．与y x =表示同一个函数的是（）A ．y =B ．2y =C ．,0,0t t y t t >⎧=⎨-<⎩D ．2x y x=【正确答案】A【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样来得答案.【详解】y x =定义域为R ，且,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩对于A ：y x =，定义域也为R ，A 正确；对于B ：2y =的定义域为[)0,∞+，定义域不一样，B 错误；对于C ：,0,0t t y t t >⎧=⎨-<⎩的定义域为()(),00,∞-+∞U ，定义域不一样，C 错误；对于D ：2x y x=的定义域为()(),00,∞-+∞U ，定义域不一样，D 错误；故选：A.四、多选题11．已知63a =，62b =，则下列选项正确的是（）A ．a b >B ．1a b +=C ．14ab<D ．2212a b <+【正确答案】ABD【分析】由题有.6632log ,log a b ==A 选项，由对数函数单调性可判断；B 选项，由对数运算公式可判断选项；C 选项，1144ab ab <⇒>，利用基本不等式可判断选项；D 选项，22221122a b a b <⇒+>+，注意到()2222a b a b ab +=+-，后利用基本不等式推论可判断选项.【详解】由题有.6632log ,log a b ==A 选项，因函数6log y x =在()0,∞+上单调递增，则6632log log a b =>=，故A 正确.B 选项，66321log log a b +=+=，故B 正确.C 选项，1144ab ab <⇒>，由基本不等式，当0，，a b a b >≠，()2144a b a b ab++>⇒<=，故C 错误.D 选项，22221122a b a b <⇒+>+，()2222a b a b ab +=+-，由C 分析，()()()()22222212222a b a b a b a b ab a b +++=+->+-==，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()e 1e xxf x m =-+是定义域为R 的奇函数，下列关于函数()f x 的说法正确的是（）A ．12m =B ．函数()f x 在R 上的最大值为12C ．函数()f x 在R 上是减函数D ．存在实数n ，使得关于x 的方程()0f x n -=有两个不相等的实数根【正确答案】AC【分析】根据奇函数的性质()00f =，求出m 的值，再代入检验，即可判断A ，再根据指数型复合函数的单调性判断C ，求出函数()f x 的值域，即可判断B ，根据单调性判断D.【详解】解：因为函数()e 1e xxf x m =-+是定义域为R 的奇函数，所以()00e 001e f m =-=+，解得12m =，此时()1e 21e xx f x =-+，则()1e 1111e e 21e 21e 21e x x xx x xf x --+--=-=-+++()1e e 1121e 1e 2x x x xf x =-+=-=-++，符合题意，故A 正确；又()1e 1e 111121e 21e 1e 2x x x x x f x +-=-=--+++，因为e 0x >，所以e 11x +>，则1011e x <<+，所以()1122f x -<<，即()11,22f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故B错误；因为e x y =在定义域R 上单调递增，且e 0x >y=，又1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()111e 2x f x =-+在定义域R 上单调递减，故C 正确；因为()f x 在R 上是减函数，则()y f x =与y n =最多有1个交点，故()0f x n -=最多有一个实数根，即不存在实数n ，使得关于x 的方程()0f x n -=有两个不相等的实数根，故D 错误.故选：AC五、填空题13．已知幂函数()f x 的图象过点19,3⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f =______．【分析】先设出幂函数的解析式，然后代入已知点可求出()f x ，进而可得()2f 的值.【详解】设幂函数()f x x α=，则193α=，得12α=-.()12f x x -∴=，()1222f -∴==故答案为.214．()2381527log 5log 2-+⋅=______．【正确答案】29-【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可.【详解】()312233812525511111227log 5log 2log 5log 2log 5log 22793939--⎛⎫+⋅=+⋅=-⋅=-=- ⎪⎝⎭.故答案为.29-15．若命题p ：“x ∃∈R ，2230mx mx ++=”为假命题，则实数m 的取值范围是______．【正确答案】[)0,3m ∈【分析】原题转化为方程2230mx mx ++=有解，求出m 的范围，然后在R 中的补集即为所求.【详解】因为“x ∃∈R ，2230mx mx ++=”所以方程2230mx mx ++=有解，当0m =时，方程202030x x ⋅+⨯⋅+=无根；当0m ≠时，24430m m ∆=-⋅≥，即()[),03,m ∈-∞+∞ 又因为命题P 是假命题，则[)0,3m ∈综上：[)0,3m ∈故[)0,3m ∈16．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：lg30.4771≈）【正确答案】22【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案.【详解】设光线的强度为x ，至少重叠玻璃的快数为n ，则()110%0.1nx x-<，整理可得0.99910101lg1011log 0.1log log 1021.8910lg 9lg102lg 31lg 10n >==-=-=-=-≈--.故答案为.22六、解答题17．已知非空集合{|121}P x a x a =+≤≤+，{|25}Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求R ()P Q ⋂ð；(2)若“x P ∈”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)R ()[2,4)P Q =- ð(2)[0,2]【分析】（1）由交集，补集的概念求解，（2）转化为集合间关系后列式求解，【详解】（1）当3a =时，[4,7]P =，{|25}Q x x =-≤≤，则R (,4)(7,)P =-∞+∞ ð,R ()[2,4)P Q =- ð，（2）由题意得P 是Q 的真子集，而P 是非空集合，则12112215a a a a +≤+⎧⎪+≥-⎨⎪+≤⎩且12a +=-与215a +=不同时成立，解得02a ≤≤，故a 的取值范围是[0,2]18．已知一元二次函数()222f x x ax a =--，a ∈R ．(1)若()10f <，求实数a 的取值范围；(2)求关于x 的不等式()0f x >的解集．【正确答案】(1)()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭(2)答案见解析【分析】（1）直接解二次不等式即可；（2）变形得()()()2f x x a x a =-+，分a<0，0a =，0a >讨论，通过确定2a a -、的大小来解二次不等式.【详解】（1）由已知得()21120f a a =--<，解得1a <-或12a >.实数a 的取值范围()1,12∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭；（2）()()()22220f x x ax a x a x a =--=-+>，令()0f x =，得212,x a x a ==-，当2a a <-，即a<0时，()0f x >的解集为()(),2,a a -∞-+∞ ，当2a a =-，即0a =时，()0f x >的解集为()(),00,∞-+∞U ，当2a a >-，即0a >时，()0f x >的解集为()(),2,a a -∞-+∞ ，综上所述：当a<0时，解集为()(),2,a a -∞-+∞ ；当0a =时，解集为()(),00,∞-+∞U ；当0a >时，解集为()(),2,a a -∞-+∞ ；19．已知函数()121f x x x =-++．(1)求函数()f x 的值域；(2)已知实数a 满足1122f a f a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，求a 的值．【正确答案】(1)3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)14.【分析】（1）分类讨论去绝对值画图可得值域；（2）分1122a -≥，1122a +≤和01a <<三种情况讨论.【详解】（1）函数()3,111212,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩画图为：从图像可得值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）当1122a -≥时，即1a ≥，函数()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，又因为1122a a -<+，所以1122f a f a ⎛⎫⎛⎫-<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与1122f a f a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭矛盾，所以1a ≥舍去；当1122a +≤时，即0a ≤，函数()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减，又因为1122a a -<+，所以1122f a f a ⎛⎫⎛⎫->+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭与1122f a f a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，所以0a ≤舍去；当01a <<，113222a <+<，所以11333222f a a a ⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111222a -<-<，所以1152222f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为1122f a f a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即35322a a +=-，所以14a =；综上.14a =20．已知函数()21lgx f x x --=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)证明函数()f x 为减函数．【正确答案】(1)()111lg,1x f x x x =--<<+(2)证明见解析【分析】（1）令1x t -=，得1x t =+，代入条件即可；（2）任取1211x x -<<<，然后通过计算判断()()12f x f x -的正负来证明单调性.【详解】（1）令1x t -=，得1x t =+，()()211lg lg 11t t f t t t -+-∴==++，因为()20211t x x t --=+>+，解得11t -<<，()1lg ,111x f x x x -+-=<<∴；（2）任取1211x x -<<<，()()()()()()12121212121221111111lg lg lg lg lg 111111x x x x x x f x f x x x x x x x -+---+-===++++--+，1211x x -<<< ，12110x x ∴->->，21110x x +>+>，1221111,111x x x x -+∴>>-+，122111lg 0,lg 011x x x x -+∴>>-+，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 为()1,1-上的减函数.21．已知函数()31112x f x x a ⎛⎫=+⋅ ⎪-⎝⎭，其中0a >且1a ≠．(1)求函数()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性；(3)若关于x 的不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围．【正确答案】(1){}|0x x ≠(2)()f x 为偶函数(3)()1,+∞【分析】（1）根据分式分母不为零求解出x 的范围即为定义域；（2）先判断定义域是关于原点对称的，然后通过计算找到()f x 与()f x -的关系即可判断奇偶性；（3）由()f x 为偶函数，则()0f x >恒成立等价于当0x >时11012x a +>-恒成立，由此求解出a 的取值范围.【详解】（1）解：由10x a -≠，解得0x ≠，∴函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠；（2）解：()f x 为偶函数，()f x 的定义域为{}|0x x ≠关于原点对称，且()33111()1212x x x a f a x x x a -⎛⎫-=+⋅=-+ ⎪---⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭3311111()1212x x x x a f x x a a -+⎛⎫=-+=+= ⎪--⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 为偶函数；（3）解：因为()f x 为偶函数，则()0f x >恒成立等价于当0x >时11012x a +>-恒成立，即()1021x x a a +>-在()0,∞+上恒成立，∴1x a >在()0,x ∈+∞上恒成立，∴1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.22．设关于x 的一元二次方程2220x tx --=的两个根为α、β（α<β）.（1））若x 1、x 2为区间[α，β]上的两个不同的点，求证：()1212440x x t x x -+-<；（2）设()241x t f x x -=+，()f x 在区间[α，β]上的最大值和最小值分别为max f 和min f ，()max min g t f f =-.求()g t 的最小值.【正确答案】（1）见解析（2）4【详解】（1）由条件得，,12t αβαβ+=-=-.不妨设12x x αβ≤<≤，则()()()12122104444x x x x x x αβαβαβ≥--=-++()()()()1212124242·x x x x x x αβαβαβ=-++++--()()()1212121242444x x x x x x t x x αβαβ>-+++=-+-.故()1212440x x t x x -+-<.（2）依据题意，αβ=所以，()()f f αβ==故()()40f f αβ⋅=-<.又任取[]12x x αβ∈、，，且12x x <，则()()()()()()1212121222124411t x x x x f x f x x x x x ⎡⎤++-⎣⎦-=-++.由（1）知，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，()f x 在区间[]αβ，上是增函数.故()()max min 0,0f f f f βα=>=<.()()()()()4g t f f f f βαβα=-=+≥=.当且仅()()2f f βα=-=2=，亦即t =0时取等号.故()g t 的最小值为4.。

2023-2024学年山东省淄博市高一上册期末数学学情检测试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =-->，{}lg(1)1B x x =+≤，则()R A B ⋂=ð（）A ．{39}x x <≤B ．{}23x x -≤≤C ．{}29x x -≤≤D ．{13}x x -<≤【正确答案】D【分析】求出集合A 、B 、R A ð，再进行交集运算即可.【详解】由题意得:{}{260|2A x x x x x =-->=<-或}3x >，所以{}23R A x x =-≤≤ð，{}{}{}lg(1)1011019B x x x x x x =+≤=<+≤=-<≤，故(){13}R A B x x ⋂=-<≤ð.故选：D本题主要考查了集合的交集和补集运算，涉及解一元二次不等式、对数不等式，属于基础题.2．设0.512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则a 、b 、c 的大小关系（）．A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a b c >>D ．a c b<<【正确答案】A【分析】利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.【详解】解：因为12y x =在[0,)+∞上单调递增，110.32>>所以0.50.50.5110.32⎛⎫> ⎪⎝⎭>，即0.50.5110.32⎛⎫>> ⎪⎝⎭因为0.30.3log 0.2log 0.31>=所以b a c <<故选：A本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.3．已知α为第二象限角，5sin 13α=，则tan 11tan αα-=+（）A ．177B ．717C ．177-D ．717-【正确答案】C【分析】根据α为第二象限角，5sin 13α=，利用同角三角函数的基本关系求出12cos 13α=-，进而得到5tan 12α=-，代入计算即可求解.【详解】因为α为第二象限角，且5sin 13α=，所以12cos 13α=-，则sin 5tan cos 12ααα==-，所以51tan 1171251tan 7112αα---==-+-，故选.C4）A．B．CD【正确答案】A【分析】结合指数幂的运算性质，可求出答案.【详解】由题意，可知0a ≥，()11111116363623a a a a a a =-⋅=-⋅=-=-=-故选：A.5．设函数()237xf x x =+-，()ln 26g x x x =+-，若实数a ，b 满足()0f a =，()0g b =，则（）A ．()()0f b g a <<B ．()()0g a f b <<C ．()()0f b g a <<D ．()()0g a f b <<【正确答案】B【分析】利用(),()f x g x 的单调性和零点存在定理可得到12a <<，23,b <<继而得到答案【详解】()237x f x x =+- 是单调递增函数，且(1)20f =-<，(2)30,f =>又()0,f a = 12,a ∴<<因为()ln 26g x x x =+-在(0,)+∞是单调递增函数，且(2)ln 2460g =+-<，(3)ln 30g =>，又()0,gb = 23,b ∴<<()ln 26(2)ln 220g a a a g ∴=+-<=-<，2()237(2)232730b f b b f =+->=+⨯-=>，()0().g a f b ∴<<故选：B ．6．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：lg1.20.079≈，lg 20.301≈）A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【正确答案】C【分析】根据指数型函数模型，求得投入资金的函数关系式，由此列不等式，解不等式求得经过的年份，进而求得开始超过1.28亿元的年份.【详解】由题意，可设经过n 年后，投入资金为y 万元，则()5000120%ny =+.由题意有()5000120%12800n+>，即1.2 2.56n >，则8lg1.2lg 2.56lg 22n >=- ，所以80.30125.160.079n ⨯->≈，所以6n =，即2025年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.故选C.本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查指数不等式的解法，属于中档题.7．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，())2020log f x x =，则关于x 的不等式()()122f x f -<的解集为（）．A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】分析出函数())2020log f x x =+在区间[)0,∞+上为增函数，由()()122f x f -<可得()()122f x f -<，由此可得出122x -<，进而可得出原不等式的解集.【详解】由于函数u x =在[)0,∞+上为增函数，所以，函数())2020log f x x =+在区间[)0,∞+上为增函数，由于函数()y f x =为R 上的偶函数，由()()122f x f -<可得()()122f x f -<，122x ∴-<，可得2212x -<-<，解得1322x -<<.因此，关于x 的不等式()()122f x f -<的解集为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.本题考查利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，考查计算能力，属于中等题.8．已知函数()2016112,012log,1x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c++的取值范围是（）A ．()1,2016B ．[]1,2016C ．()2,2017D ．[]2,2017【正确答案】C【分析】根据题意，做出函数()f x 的图像，结合图像即可得到结果.【详解】因为()2016112,012log ,1x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩，即()201612,02122,12log ,1x x f x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩当12x =，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当2016x =，()20161f =；不妨设a b c <<，做出函数()f x的大致图像，如下图所示，结合图像可得：1,12016a b c +=<<，1a b c c ∴++=+，即212017c <+<，a b c ∴++的取值范围是()2,2017故选:C9．若104a =，1025b =，则（）A ．2a b +=B ．1b a -=C ．2ab =D ．lg 6b a ->【正确答案】A【分析】指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．【详解】由已知lg 4a =，lg 25b =，lg 4lg 25lg1002a b +=+==；25lg 25lg 4lg 14b a -=-=≠；lg 4lg 252ab =≠；25lg 25lg 4lg14b a -=-=<，故选：A ．二、多选题10．下列说法正确的是（）A ．命题p ：∀x ，y ∈(0，1)，x ＋y ＜2，则⌝p ：∃x 0，y 0∈(0，1)，x 0＋y 0≥2B ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件C ．“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的必要条件D ．“m ＜0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根”的充要条件【正确答案】ABD【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可以判断选项A ，举反例可以判断BC ，根据方程根的分布可以判断D.【详解】选项A ：命题p ：∀x ，y ∈(0，1)，x ＋y ＜2，否定为：∃x 0，y 0∈(0，1)，x 0＋y 0≥2故A 选项正确；选项B ：由1,1a b >>时，1ab >所以充分性成立，当13,2a b ==时，1ab >，但是1,1a b ><，故必要性不成立所以“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分不必要条件故B 选项正确；选项C ：32->，但是32-<，所以|x |＞|y |不一定推出x ＞y 反之，34<-，但是34<-，所以x ＞y 不一定推出|x |＞|y所以“|x |＞|y |”是“x ＞y ”的既不充分也不必要条件故C 错误；选项D ：关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根设为12,x x ，则()212Δ241000m m x x m ⎧=--⨯⨯>⎪⇔<⎨⋅=<⎪⎩所以“m ＜0”是“关于x 的方程x 2－2x ＋m =0有一正一负根”的充要条件故选项D 正确；故选：ABD.11．函数()f x 的图象关于直线1x =对称，那么（）A ．(2)()f x f x -=B ．()()11f x f x -=+C ．函数(1)y f x =+是偶函数D ．函数(1)=-y f x 是偶函数【正确答案】ABC根据满足()()f a x f b x +=-的函数的对称性，确定AB 选项的正确性，利用函数图像变换以及偶函数的性质，判断CD 选项的正确性.【详解】若函数()f x 满足()()f a x f b x +=-，则()f x 的图象关于2a bx +=对称.对于A 选项，(2)()f x f x -=，则()f x 的图象关于1x =对称，符合题意；对于B 选项，()()11f x f x -=+，则()f x 的图象关于1x =对称，符合题意；对于C 选项，()1f x +的对称轴为y 轴，()1f x +图象向右平移一个单位得到()f x 图象，所以()f x 的图象关于1x =对称，符合题意；对于D 选项，()1f x -的对称轴为y 轴，()1f x +图象向左平移一个单位得到()f x 图象，所以()f x 的图象关于=1x -对称，不符合题意；故选：ABC本小题主要考查函数图象的对称性，考查函数图像变换，考查函数的奇偶性，属于基础题.12．已知实数x ，y ，z 满足1ln e y x z==，则下列关系式中可能成立的是（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y>>D ．z y x>>【正确答案】ABC【分析】令1ln e yx zt ===，则,,x y z 表示y t =与ln y x =，e x y =，1y x =交点的横坐标，采用数形结合的方式可得结论.【详解】令1ln e yx zt ===，则,,x y z 表示y t =与ln y x =，e x y =，1y x =交点的横坐标，不妨记x a =，y b =，z c =，在平面直角坐标系中做出ln y x =，e x y =，1y x=图像，当y t =与ln y x =，e x y =，1y x=位置关系如下图所示时，b<c<a ，即x z y >>；当y t =与ln y x =，e x y =，1y x=位置关系如下图所示时，c b a <<，即x y z >>；当y t =与ln y x =，e x y =，1y x=位置关系如下图所示时，b a c <<，即z x y >>；综上所述：关系式可能成立的是x y z >>或x z y >>或z x y >>.故选：ABC.三、填空题13．计算31log 225lg 2lg 230.252-+++=______.【正确答案】5运用对数，指数的运算性质求解运算.【详解】31212log 222551lg 2lg 230.25lg lg 22222--⎡⎤⎛⎫+++=+++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦151lg 42lg10414522-⎛⎫=⨯++=+=+= ⎪⎝⎭故514．若函数()133x mg x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不经过第一象限,则m 的取值范围为____________.【正确答案】1m ≥-【分析】图象不经过第一象限,只需()00g ≤,代入解析式,解出不等式即可.【详解】解:由题知()133x mg x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若函数()g x 单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y 轴交点不在y 轴正半轴上，只需()00g ≤即可,即1303m⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,解得:1m ≥-.故答案为:1m ≥-15．函数1y=2⎛ ⎪⎝⎭________．【正确答案】1[2]2，【分析】欲求函数1(2y =得单调递增区间，根据指数函数的单调性，只须求函数的单调减区间即可．【详解】令220t x x ≥＝－＋＋，得函数定义域为[]12－，，所以22t x x ＝－＋＋在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减．根据“同增异减”的原则，函数1y=2⎛ ⎪⎝⎭的单调递增区间是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．本小题主要考查函数的单调性及单调区间、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．当遇到函数综合应用时，处理的优先考虑“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域．16．设定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()g x =___________.1(0)3x >【分析】利用方程组法求函数解析式，将x 换成1x，两式联立即可求解.【详解】因为定义在()0,∞+上的函数()g x 满足()11g x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将x 换成1x 可得：1()()1g x x =-，将其代入上式可得：()11()1]14()1g x g g x g xx ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，所以1()(0)3g x x =>，故答案为1(0)3x +>四、解答题17．已知集合{}{}23180,3|22|A x x x B x m x m =--≤=-≤≤+.（1）当0m =时，求()R A B ð；（2）若()R B A ⋂=∅ð，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）{}6|2x x <≤；（2）{4|0m m ≤≤或5}m >.【分析】（1）化简集合A ，B ，根据集合的补集和交集运算可得结果；（2）分类讨论集合B ，根据交集运算的结果列式可得解.【详解】（1）{}360|,A x x m =-≤≤=时，{}|32B x x =-≤≤，∴3{|R B x x =<-ð或2}x >；{}26()|R A B x x =<≤ ð.（2）3{|R A x x =<-ð或6}x >，且()R B A ⋂=∅ð，∴①B =∅时，232m m ->+，解得5m >；②B ≠∅时，523326m m m ⎧⎪-≥-⎨⎪+⎩，解得04m ≤≤，综上得，实数m 的取值范围为{4|0m m ≤≤或5}m >.18．已知幂函数()()223mm f x x m Z -++=∈是奇函数，且()()12f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）求()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【正确答案】（1）0m =，()3f x x =；（2）5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先由题意，得到幂函数()f x 单调递增，推出2230-++>m m ，解得312m -<<，根据m Z ∈，得到0m =或1m =；分别将0m =和1m =代入函数解析式，判断函数奇偶性，即可得出结果；（2）先由（1）化简()()2212log log 2y f x f x ⎡⎤=+⎣⎦为()2229log 13log =--y x x ，令2log t x =，将函数化为2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，根据二次函数单调性，即可求出结果.【详解】（1）因为幂函数()()223mm f x x m Z -++=∈，()()12f f <所以()f x 单调递增，所以2230-++>m m ，即()23(1)0-+<m m ，解得312m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =，当0m =时，()3f x x =，满足()3()=--=-f x f x x ，因此()3f x x =是奇函数；当1m =时，()2213-++==f xx x ，显然是偶函数；所以0m =，()3f x x =；（2）因为()3f x x =，所以()()()2233212229log log 2log 13log =+--=y x x x x ，令2log t x =，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]1,1t ∈-，所以2215319649⎛⎫--=-- ⎪=⎝⎭y t t t ，所以2193-=-y t t 在11,6⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭t 上单调递减，在1,16⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因此min 54=-y ；又当1t =-时，11931-==+y ；当1t =时，3591=--=y ；因此max 11y =，所求函数值域为.5,114⎡⎤-⎢⎥⎣⎦本题主要考查由幂函数奇偶性求参数与函数解析式，以及求复合函数的值域，熟记函数奇偶性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.19．（1）已知3cos 5α=-，α为第三象限角，求sin α的值；（2）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.【正确答案】（1）4sin 5α=-；（2）57.【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系可求得sin α的值；（2）利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】解：（1）因为α为第三象限角，则4sin 5α==-；（2）4sin 2cos 4tan 243255cos 3sin 53tan 5337αααααα--⨯-===+++⨯.20．定义在[4,4]-上的奇函数()f x ，已知当[4,0]x ∈-时，1()43x x a f x =+．(1)求()f x 在[0,4]上的解析式；(2)若[2,1]x ∃∈--使不等式11()23x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)()34x xf x =-(2)[)5,+∞【分析】（1）结合奇函数在原点有意义时，有(0)0f =，即可求出a 的值，然后根据奇函数的定义即可求出结果；（2）参变分离后构造函数()12223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数()g x 的单调性即可求出最小值，从而可以求出结果.【详解】（1）（1）因为()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，[4,0]x ∈-时，1()43x x a f x =+，所以001(0)043a f =+=，解得1a =-，所以[4,0]x ∈-时，11()43x x f x =-，当[0,4]x ∈时，[4,0]x -∈-，所以11()4343x x x x f x ---=-=-，又()()f x f x -=-，所以()43-=-x x f x ，()34x x f x =-，即()f x 在[0,4]上的解析式为()34x x f x =-.（2）因为[2,1]x ∈--时，11()43x xf x =-，所以11()23x x m f x -≤-可化为11114323x x x x m --≤-，整理得1121222323+⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x x m ，令()12223x x g x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭都是减函数，所以()g x 也是减函数，()()11min 1212523g x g --⎛⎫⎛⎫=-=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5m ≥，故实数m 的取值范围是[)5,+∞.21．为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：不超过10t 的部分为2.20元/t ；超过10t 不超过18t 的部分为2.80元/t ；超过18t 部分为3.20元/t.(1)试求居民月水费y （元）关于用水量x （t ）的函数关系式；(2)若某户居民6月份、7月份共用水36t ，且6月份水费比7月份水费少12元，则该户居民6、7月份各用水多少？【正确答案】(1)[]()(]()()()2.2,0,102.86,10,183.213.2,18,x x y x x x x ∞⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈+⎪⎩(2)6月份用水16吨，7月份用水20吨.【分析】（1）根据x 的不同取值范围列出表达式，即可得到结果；（2）两个月共用水36吨，说明一个月比18吨多，一个月比18吨少，但都不会少于10吨，又6月份水费少，因此6月份少于18吨，7月份多于18吨，由此列方程即可.【详解】（1）根据题意可得:当010x ≤≤时，22y x =.；当1018x <≤时，()2.21010 2.8 2.86y x x =⨯+-⨯=-；当18x >时，()()221810 2.818 3.2 3.213.2y x x =+-⨯+-⨯=-综上，[]()(]()()()2.2,0,102.86,10,183.213.2,18,x x y x x x x ∞⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈+⎪⎩（2）因为两个月共用水36吨，说明一个月比18吨多，一个月比18吨少，设6月份用水x 吨，因为6月份水费少，则18x ≤，又因为2.818644.4⨯-=，且44.41222->，显然10x >所以()2.8612 3.23613.2x x -+=⨯--，解得16x =，所以6月份用水16吨，7月份用水361620-=吨.22．设a R ∈，函数()(x x e a f x e e a+=-为常数， 2.71828)e =⋯．（1）若1a =，求证：函数()f x 为奇函数；（2）若a<0．①判断并证明函数()f x 的单调性；②若存在[1x ∈，2]，使得22(2)(4)f x ax f a +>-成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）证明见解析；（2）①()f x 为R 上的单调增函数，证明见解析；②(,3)-∞-.（1）把1a =代入得1()1x x e f x e +=-，且()f x 定义域为{|0}x x ≠，求出()f x -并化简并判断与()f x -的关系，根据奇函数的定义，即可得出结论；（2）①结合单调性的定义，先设12x x <，利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小关系即可判断；②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数a 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =时，函数1()1x x e f x e +=-，因为10x e -≠，则0x ≠，所以()f x 定义域为{|0}x x ≠，对任意0x ≠，1e ()e 1e 11()e xx xx f f x x --+==---+-=，所以1()1x x e f x e +=-是奇函数．（2）①当a<0时，()f x 为R 上的单调增函数，证明如下：证明：a<0时，0x e a ->恒成立，故函数()f x 定义域为R ，任取1x ，2x R ∈，且12x x <，则12x x e e <，因为21121212222()()()(1)(1)0()()x x x x x x a a a e e f x f x e a e a e a e a --=+-+=<----，所以()f x 为R 上的单调增函数.②设命题p ：存在[1x ∈，2]，使得22(2)(4)f x ax f a +>-成立，下面研究命题p 的否定：:[1p x ⌝∀∈，2]，22(2)(4)f x ax f a +-恒成立，若p ⌝为真命题，由①，()f x 为R 上的单调增函数，故[1x ∀∈，2]，2224x ax a +-恒成立．设22()24g x x ax a =++-，[1x ∈，2]，则0(1)0(2)0a g g <⎧⎪⎨⎪⎩，解得30a -<，因为p 为真，则p ⌝为假命题，所以实数a 的取值范围为(,3)-∞-．本题考查函数奇偶性及单调性定义和判断，以及利用单调性解决不等式恒成立问题从而求参数范围，函数性质的综合应用是求解问题的关键.。

高一上学期期末考试数学试题第I 卷 选择题一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，地请把正确地选项填在题后的括号内． 1、已知全集I ={0,1,2,3,4}，集合{1,2,3}M =，{0,3,4}N =，则()I M N I ð等于 ( ) A.｛0，4｝ B.｛3，4｝ C.｛1，2｝D. ∅2、设集合2{650}M x x x =-+=，2{50}N x x x =-=，则M N U 等于 （ ） A.｛0｝B.｛0，5｝C.｛0，1，5｝D.｛0，－1，－5｝3、计算：9823log log ⋅＝ （ ）A 12B 10C 8D 6 4、函数2(01)xy a a a =+>≠且图象一定过点 ( )A （0,1）B （0,3）C （1,0）D （3,0） 5．已知奇函数()f x ，当0x >时1()f x x x=+，则(1)f -= A.1 B.2 C.-1 D.-2 6．下列函数中，在区间)2,0(上是增函数的是A.542+-=x x y B.x y =C.2x y -=D.12log y x =7.函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时()1f x x =-+，则当0x <时，()f x 的表达式为A ．()1f x x =+B ．()1f x x =-C ．()1f x x =-+D ．()1f x x =-- 8．已知过点A (2,)m -、B (,4)m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 A. 0 B. -8 C. 2 D. 10 9．)20(cos 3sin π≤≤+=x x x y ，则y 的最小值为（ ）A ．– 2B ．– 1C ．1D ．3 10．在下列区间中,是函数)4sin(π+=x y 的一个递增区间的是（ ）A ．],2[ππB ．]4,0[πC ．]0,[π-D ．]2,4[ππ11．把函数y =x 2+4x +5的图象按向量 a 经一次平移后得到y =x 2的图象,则a 等于 （ ） A ．(2,－1) B ．(－2,1) C ．(－2,－1) D ．(2,1)12．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ ）A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω== C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答． 13、函数212log (45)y x x =--的递减区间为______14．在空间直角坐标系中xyz o -,点B 是点A （1，2，3）在坐标平面yOz 内的正射影，则OB 等于 .15．等边三角形的边长为2，它绕其一边所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积是 ．16．在△ABC 中，A （－1，1），B （3，1），C （2，5），角A 的内角平分线交对边于D ，则向量的坐标等于 .三、解答题：共70分．要求写出必要的文字说明、重要演算步骤，有数值计算的要明确写出数值和单位，只有最终结果的不得分． 17．（本小题满分10分）已知点()()4,2,6,4-B A ，求：（1） 直线A B 的方程；（2） 以线段AB 为直径的圆的方程.18．（本小题满分10分） 已知函数2()2f x x x =--．求： （1）()f x 的值域； （2）()f x 的零点；（3）()0f x <时x 的取值范围．17、（10分）已知函数()lg(2),()lg(2),()()().f x x g x x h x f x g x =+=-=+设 （1）求函数()h x 的定义域（2）判断函数()h x 的奇偶性，并说明理由.18、（12分）已知函数()f x ＝1515+-x x 。

202X-202X 学年高一第一学期期末考试数学试题 注意事项：1．答第Ｉ卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号，考试科目涂写在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列四组中()()x g x f ,表示相等函数的是()()()2,x x g x x f ==()()33,x x g x x f ==()()xxx g x f ==,1()()x x g x x f ==, ２、点从出发，沿单位圆逆时针方向运动34π弧长到达点，则点的坐标为A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,23C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,21 ３、下列函数是偶函数，且在()0,∞-上单调递减的是（ ） A ．xy 1=B ．21x y -=C ．x y 21-=D ．x y =４、下列式子正确的是（ ） A ．()03>=a a a aB ．2lg 6lg 2lg 6lg -=C ．()012>=-a aaD ．()()[]()()5lg 3lg 53lg -+-=-⋅-5、三个数5.06，65.0，6log 5.0的大小顺序为（） A ．5.065.065.06log <<B ．65.05.05.066log << C ．6log 65.05.05.06<<D ．5.05.0666log 5.0<<6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数x y 2sin =的图像A ．向左平移3π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位 7、方程42=+x x 的根所在区间为（） A ．()0,1-B ．()1,0C ．()2,1D ．()3,2８、函数2log (1)x a y a x -=+-＋1（a ＞0，a ≠1）的图象必经过定点（ ）A （0，1）B （2，1）C （2，2）D （2，3） 9、已知向量1θcos tan y x x =0x π≤≤2x π≠316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos 97-31-3197m n +=21325476x x x f 2)1(2-=+RQPC=)2(f 222)∞+{}R ∈==x x x A x ,32cos 3π{}R ∈==y y y B ,12k1tan151tan15+︒=-︒10cm45cmx x x f sin cos )(=)()(21x f x f -=21x x -=(,0)π]4,4[ππ-43π=x →a →b →a →b ︒1352()5sin cos 2f x x x x =-+()f x ()f x x ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f ⊥．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求下列函数：222sin cos(2)3y B B π=+-的值域．202X-202X 学年高一第一学期期末考试 数学试题参考答案1D21、解：I 设→a 与→b的夹角为θ，则21cos ==b a θ……4分因[]180,0∈θ，所以︒=60θ，故→a 与→b 的夹角为︒60……6分II 因→a 与→b 的夹角为︒135，所以1135-==⋅︒→b a ……8分12222=+-=+⋅+=+b b a a (11)分1=…………12分22．解：55()sin 2cos 2)sin 2222f x x x x x =+=15(sin 22)5sin(2)223x x x π=-=-．……6分（Ⅰ）52222321212k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇒-≤≤+，所以()f x 的单调增区间为5[,],()1212k k k ππππ-+∈Z ．……9分（Ⅱ）当2232x k πππ-=+，即5{|,}12x x k k ππ=+∈Z 时，()f x 有最大值5．…12分23、解：（1）由函数图象知2=A (1)分131342=-=Tωπ22==∴T 则πω=…………………………………………3分()()ϕπ+=∴x x f sin 2又由1+232k ππϕπ+=()k Z ∈得：26k πϕπ=+()k Z ∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=……………………………………………5分 故()⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 2ππx x f (6)分（2）法Ⅰ：10≤≤x ，6766ππππ≤+≤∴x ……………9分1)6sin(21≤+≤-∴ππx ，2)6sin(21≤+≤-∴ππx ………………………11分故在区间上的最大值为，最小值为………………12分 法Ⅱ：由函数的图象知:直线31=x 是函数的对称轴，则在⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31上单调递减 (9)分故()231max =⎪⎭⎫⎝⎛=f x f ()()11min -==f x f …………………11分即在区间上的最大值为，最小值为…………………12分 24、解：（Ⅰ）m n ⊥，(22sin )(1sin )(cos sin )(cos sin )0A A A A A A -+++-= (2)分2222(1sin )sin cos A A A⇒-=-22212cos 12cos cos 4A A A ⇒=-⇒=．…5分ABC∆是锐角三角形，1cos 23A A π∴=⇒=． (6)分（Ⅱ）ABC∆是锐角三角形，且3A π=，62B ππ∴<<……8分22132sin cos(2)1cos 2cos 2232y B B B B B π∴=+-=--332cos 213)123B B B π=-+=-+…………………10分2,02,0sin(2)162333B B B πππππ<<∴<-<∴<-≤y (1,13]∴∈……………14分。