模糊控制的数学基础

第二章 模糊控制理论基础知识2.1 模糊关系一、模糊关系R ~所谓关系R ，实际上是A 和B 两集合的直积A ×B 的一个子集。

现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：所谓A ，B 两集合的直积A ×B={(a,b)|a ∈A ，b ∈B} 中的一个模糊关系R ~，是指以A ×B 为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为),(~b a Rμ，可见R ~是二元模糊关系。

若论域为n 个集合的直积，则A 1×A 2×A 3×……A n 称为n 元模糊关系R ~，它的隶属函数是n 个变量的函数。

例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R ~。

因为直积空间R=X ×X 中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R ~为R ~=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)综上所述，只要给出直积空间A ×B 中的模糊集R ~的隶属函数),(~b a Rμ，集合A 到集合B 的模糊关系R ~也就确定了。

由于模糊关系，R ~实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy 子集的运算规则，这里不一一赘述了。

一个模糊关系R ~，若对∀x ∈X ，必有),(~x x R μ=1，即每个元素X 与自身隶属于模糊关系R ~的隶属度为1。

称这样的R ~为具有自返性的模糊关系。

一个模糊R ~，若对∀x ，y ∈X ，均有),(~y x Rμ=),(~x y Rμ 即(x,y)隶属于Fuzzy 关系R ~和(y,x)隶属于Fuzzy 关系R ~的隶属度相同，则称R ~为具有对称性的Fuzzy 关系。

从中可见，随着实验次数n 的增加，27岁对“青年人”的频率基本稳定在0.78附近，近似可取()78.027~=A μ。

②例证法此法是扎德教授于1972年提出的。

基本思想—从模糊子集~A的有()x A ~μ的值，估计出论域U 上~A 的隶属函数。

例如：取论域U 是实数域R 中的一部分[0,100], ~A 是U 上―较大的数‖，虽然~A 是U 上的模糊子集。

为确定()x A ~μ的分布，选定几个语言真值（即一句话为真的程度）中的一个，来回答[0，100]中的某数是否算―较大‖。

如果语言真值分为―真的‖、―大致真的‖、―半真半假‖、―大致假的‖、“假的”。

把这些语言真值分别用[0，1]之间的数字表示，即分别为1，0.75，0.5，0.25和0。

对[0，100]用的αϕ个不同的数都作为样本进行询问，就可得~A 的模糊分布()x A ~μ的离散表示法。

③专家评分法（德尔菲法）该法40年代以来就已广泛应用于经济与管理科学的各个领域，典型的例子是在体操比赛中对运动员的评分，“技术好”是运动员集上的一个模糊 ，所有评委打分的平均值（有时去掉一个最高分和一个最低分）就是运动员“技术好”的隶属度。

这种方法也可以用来求模糊分布，在应用时，为了区别专家的学术水平和经验的多少，还可以采用加权平均法。

§2—2 模糊子集的特性及运算法则前面已讨论过普通集合的基本运算，下面对模糊子集的运算另作定义。

一、 模糊子集的运算法则 ① Fuzzy 子集的包含与相等设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，对于U 中的每一个元素x ，都有()x A ~μ≥()x B ~μ，则称~A 包含~B ，记作~A ⊇~B 。

如果，~A ⊇~B 且~B ⊇~A ，则说~A 与~B 相等，记作~A =~B 。

或者，若对所有x ∈U ，都有()x A ~μ=()x B ~μ，则~A =~B 。

②模糊子集的并、交、补运算设~A 、~B 为论域U 上的两个模糊子集，规定~A ~B 、~A ~B 、~A 的隶属函数分别为~~BAμ、~BAμ、~A μ,并且对于U 的每一个元素x 都有~~BAμ()∆x ()x A ~μ∨()x B ~μ=max[()x A ~μ,()x B ~μ] —~A ,~B 的并~~BAμ()∆x ()x A ~μ∧()x B ~μ=min[()x A ~μ,()x B ~μ]— ~A ,~B 的交~Aμ()∆x 1–()x A ~μ —~A 的补eg,设论域U={}4321,,,x x x x ，~A 、~B 是论域U 上的两个模糊集。

选择题
模糊控制理论中的核心概念之一是模糊集合，它主要由谁提出？
A. 扎德（Zadeh）（正确答案）
B. 牛顿
C. 莱布尼茨
D. 欧拉
模糊集合论中，用于描述元素属于集合程度的函数是什么？
A. 隶属函数（正确答案）
B. 概率函数
C. 分布函数
D. 密度函数
在模糊逻辑中，处理不确定性和模糊性的基本工具是什么？
A. 模糊规则
B. 模糊推理系统（正确答案）
C. 模糊数
D. 模糊关系
模糊控制中，用于将模糊量转换为精确量的过程称为？
A. 模糊化
B. 清晰化（正确答案）
C. 模糊推理
D. 模糊规则生成
下列哪一项是模糊控制系统中常用的清晰化方法？
A. 最小二乘法
B. 质心法（正确答案）
C. 牛顿法
D. 拉格朗日法
模糊集合的运算中，表示两个模糊集合合并的操作是什么？
A. 模糊交
B. 模糊并（正确答案）
C. 模糊补
D. 模糊蕴含
在模糊逻辑中，用于表示模糊命题之间逻辑关系的运算是什么？
A. 模糊蕴含（正确答案）
B. 模糊加法
C. 模糊减法
D. 模糊乘法
模糊控制器的设计过程中，确定输入输出变量模糊子集及其隶属函数的过程称为？
A. 模糊规则设计
B. 模糊化设计
C. 模糊关系设计
D. 隶属函数设计（正确答案）
模糊控制系统性能的好坏很大程度上取决于什么的设计？
A. 模糊规则库（正确答案）
B. 模糊推理机
C. 模糊化接口
D. 清晰化接口。

第二章模糊控制数学基础模糊控制的应用场合：一．模糊控制的定义对于一个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验，采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程，得到满意的控制效果。

若能将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确的控制规则。

如果用模糊数学将其定量化就转化为模糊控制算法，形成模糊控制理论。

模糊控制是建立在人工经验（定性的、不精确的）基础之上的，模仿人类的思维方式，采用模糊数学对模糊现象进行识别和判决，给出精确的控制量，对被控对象进行控制。

模糊数学是模糊控制的数学基础，二．模糊控制的特点：1．无需知道被控对象的数学模型。

模糊控制是以人对被控系统的控制经验为依据而设计的控制器，故无需知道被控系统的数学模型。

2．是一种反映人类智慧思维的智能控制。

模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理导出。

这些模糊量和模糊推理是人类智能活动的体现。

3．易被人们所接受。

模糊控制的核心是控制规则。

模糊控制中的知识表示、模糊规则和模糊推理是基于专家知识或熟练操作者的成熟经验。

这些规则是以人类语言表示的。

很明显这些规则易被一般人所接收和理解。

如“衣服较脏，则投入洗涤剂较多，洗涤时间较长”, “今天气温高，则今天天气暖和”.4．构造容易。

用单片机等来构造模糊控制器，其结构与一般的数字控制系统无异，模糊控制算法用软件实现，也可以用专用模糊控制芯片直接构造控制器。

5．鲁棒性好。

模糊控制系统无论被控对象是线性的还是非线性的，都能执行有效的控制，具有良好的鲁棒性和适应性。

模糊控制是基于熟练操作员的实践经验，比如智能洗衣机，能够实现以下功能：“衣服较脏，则投入洗涤剂较多，洗涤时间较长”。

这个控制规律中存在着模糊概念：“衣服较脏”。

三．模糊概念没有明确外延的概念，即没有明确符合某概念的对象的全体，如“天气冷热”、“雨的大小”、“风的强弱”、“人的胖瘦”、“年龄的大小”、“个子高低”。

第3章 模糊控制的数学基础3.1 概述模糊数学为模糊系统与模糊控制的发展提供了起点和基本语言。

模糊数学本身就是一个巨大的领域，其原理是由用模糊集合的概念取代经典数学理论中的集合概念而发展来的。

按照这种方式，所有的经典数学分支都可以被“模糊化”，于是诞生了模糊测度理论、模糊拓扑、模糊算数和模糊分析等等分支。

显然，模糊数学中仅有一部分可以应用到工程中去。

本章仅仅介绍后续模糊控制器设计中所用到的相关内容。

在现实生活中，人们接触过很多概念。

任何一个概念都有着其内涵和外延。

概念的内涵是这一概念的本质属性，而概念的外延是指符合这一概念的对象范围。

当我们谈论某一个概念的外延时，总离不开一定的讨论范围。

如我们讨论“工业控制计算机”这一概念时，自然我们不会去考虑那些风马牛不相及的事物，如汽车、机床或老鼠、大象等。

我们讨论的这个范围称为“论域”，论域中的每个对象称为“元素”。

而具有某些特定属性的元素的全体构成了该论域上的一个集合。

对于这些明确的概念，我们可以用德国数学家康托(Contor Georg, 1845-1918)提出的经典集合来表示。

对于这种具有明确外延的概念，即对于一个具体的对象来说，它要么属于这个概念的范围，要么不属于这个概念的范围。

集合的特征函数描述了这个明确的外延。

然而，在现实生活中，有许多问题不能用Contor 集合来描述，即，这些概念没有明确的外延。

这种没有明确外延的概念我们称之为模糊概念。

如，青年人、老年人、高个子、好人等概念。

1965年美国自动控制理论专家L.A.Zadeh 提出了模糊集合理论，解决了对这类概念的描述。

模糊集合理论将Contor 集合论中的概念拓展，即，把特征函数的取值范围从{0，1}扩充到[0，1]，不再把论域中的某个对象说成是属于这个集合还是不属于这个集合，而是说某个对象隶属于这个集合的程度是多少。

图3-1 Contor 集合的特征函图3-2 模糊集合的特征函数 µA (u )3.2 普通集合及其运算性质一、集合的基本概念表3-1给出了普通集合的最基本概念。