可逆矩阵教案(可编辑修改word版)

（完整版）可逆矩阵教案.doc§1.4可逆矩阵★ 教学内容：1.可逆矩阵的概念；2.可逆矩阵的判定；3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆；4.可逆矩阵的性质。

★教学课时： 100 分钟 /2 课时。

★教学目的：通过本节的学习，使学生1.理解可逆矩阵的概念；2.掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法；3.熟悉可逆矩阵的有关性质。

★教学重点和难点：本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。

★ 教学设计：一可逆矩阵的概念。

1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。

2.定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵 B ，使得 AB BA E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为A1。

3.可逆矩阵的例子：（ 1）例 1 单位矩阵是可逆矩阵；（ 2）例 21 0 1 0A ， B1，则 A 可逆；1 1 11 0 0（ 3）例 3 对角矩阵 A 0 2 0 可逆；0 0 31 1 1 1 1 0（ 4）例 4 A0 1 1 ， B 0 1 1 ，则A可逆。

0 0 1 0 0 14.可逆矩阵的特点：（1）可逆矩阵A都是方阵；（2）可逆矩阵A的逆唯一，且A1和A是同阶方阵；（ 3）可逆矩阵A 的逆 A 1 也是可逆矩阵，并且 A 和 A 1 互为逆矩阵；（ 4）若 A 、B 为方阵，则 ABEA 1B 。

二可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆1.方阵不可逆的例子：例 5例 61 1 A0 01 2 A24不可逆；不可逆；2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法：（ 1）说明利用定义判定及求逆的方法，（2）说明这种方法的缺陷；3.转置伴随矩阵求逆（1）引入转置伴随矩阵1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论a i1A s1a i 2As2La inAsnD,is(i 1,2,L , n) ，0,isa 1 jA 1ta 2 jA2tLa njAntD, j t( j 1,2,L , n) ；0, j t2）写成矩阵乘法的形式有：a11a12La1nA11A21L An1A 0 L 0 a21 a22La2 nA12 A22LAn20 A LM M O M M M O MA EM M O M aan 2LannA1nA2nLAnn0 0 LA3）定义 1.4.2（转置伴随矩阵）设A ij 式是 A (a ij )n n 的行列式中 a ij 的代数余子式，则A 11 A 21 LA n1A *A 12A22L A n 2MM OMA1n2nLAnn称为 A 的转置伴随矩阵。

（2）
Pl… P2 P1 （A|E )= (E|A-1)
（3）
利用（3）可以较容易地求3阶以上可逆矩阵的求逆。
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例4 用初等行变换求矩阵
1 2 3 0 1 2 A 0 0 1
的逆。 解 由于 1 2 3 1 0 0 1 0 1 1 2 0 ( A E ) 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
反之，若|A| ≠ 0，由定理2.1可知
A A A A E. A A
所以，按逆矩阵的定义，方阵A是可逆的，并且 1 1 A A. A
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1 2 3 A 2 2 1 . 3 4 3 验证A是否可逆，若有逆并求其逆。 解 由于|A|=2 ≠ 0 ，所以，A可逆。再计算 A11=2，A21=6，A31=-4， A12=-3，A22=- 6，A32=5， A13=2，A23=2，A33=-2，
AB
1
B A .
1
1
若n阶矩阵A1, A2,…, AS都可逆，则它们的乘积A1A2…AS 亦可逆，且
（A1A2…AS)-1= AS-1…A2-1A1-1.
若A可逆，m为正整数时， Am亦可逆，且 (Am)-1= (A-1) m. 若规定A-m= (A-1) m，则上式变成 (Am)-1= A-m.
§1 可逆矩阵的定义与性质
1.1可逆矩阵的概念 定义1.1 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B，使 AB = BA = E, 则称方阵 A 是可逆的，并称方阵 B称为 A 的逆矩阵,简称A 的逆.

解
经计算易得
所以
不可逆； 不可逆；
①
当
有为零的数时， 不可逆； 有为零的数时， 不可逆； 均不为零时， 可逆， 均不为零时， 可逆，据矩阵
② 当
的特点， 乘法的定义和矩阵 的特点，作 3 阶矩阵
则
10
， 所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以， ， 所以， 不可逆； 时， 不可逆； 可逆， 时， 可逆，
是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 命题 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵唯一 若 均是 的逆矩阵，则 的逆矩阵，
可逆， 提醒 若 可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可逆的充要条件 定理 设 为 阶方阵 ，则 可逆
可逆时， 当 可逆时， 可逆， 证明 必要性 因 可逆，故存在 使得 故
证明 因
由前面定理推论 知
可逆且
推论 若 们的乘积
均为同阶可逆方阵， 均为同阶可逆方阵，则它 也可逆且
6
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
可逆矩阵的性质 性质4 性质4 若 均为可逆方阵， 均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵 其中
满足
求
解答 可逆 显然可见 可逆且 故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高 的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的 伴随矩阵法主要用于理论推导和求 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵 但从伴随矩阵法可见， 但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随 矩阵关系紧密. 所以， 矩阵关系紧密 所以，我们来研究研 究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质

高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教Ａ版选修4-2编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(高中数学第3课时矩阵乘法的性质与逆变换、逆矩阵教案新人教A版选修4-２)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第三讲矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵一、矩阵乘法的性质1。

设A=0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B=1123-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，Ｃ=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦由Ａ、B、Ｃ研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律;③消去律。

结论:2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。

3。

单位矩阵的性质【应用】1．设A＝0111⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求Ａ８2. 【练习：P４1】二、逆变换与逆矩阵1。

逆变换:设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I,(I是恒等变换)则称变换ρ可逆,其中σ是ρ的逆变换。

2。

逆矩阵:设Ａ是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵B,使得BA＝ＡB=E2，则称矩阵Ａ可逆,其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A-，读作A的逆。

【应用】1。

试寻找R３０o的逆变换.【应用】1.A＝3142⎛⎫⎪⎝⎭,问A是否可逆？若可逆，求其逆矩阵1A-。

２. A=2142⎛⎫ ⎪⎝⎭,问A 是否可逆?若可逆,求其逆矩阵1A -．由以上两题,总结一般矩阵Ａ＝a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭可逆的必要条件。

三、逆矩阵的性质1。

二阶矩阵可逆的唯一性．2.设二阶矩阵A 、B 均可逆,则AB 也可逆，且111()AB B A ---=【练习:Ｐ50】【第三讲．作业】1。

《2.1.2 逆矩阵的性质》教案1教学目标1. 理解变换、矩阵的逆变换和逆矩阵；2. 掌握逆矩阵的两个性质。

教学重点逆变换和逆矩阵的概念。

教学难点逆矩阵的两个性质。

教学过程1. 逆变换和逆矩阵1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。

注意：有些二阶矩阵是不可逆的。

2. 逆矩阵的性质1.二阶矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的。

2.设二阶矩阵A 、B 均可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=【随堂练习】对于伸缩变换12''x k x y k y =⎧⎨=⎩(0)k ≠，对应的变换矩阵A=12 00 k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是否存在变换矩阵B ， 使得连续进行两次变换（先T A 后T B ）的结果与恒等变换的结果相同？思路分析：利用伸缩变换计算公式解决。

答案：由题意知，进行第二次变换121'1'x x k y y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，对应的变换矩阵，121 010 k B k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 从而可知，AB BA E ==，技巧点拨：本题主要考查利用伸缩变换的思想求逆矩阵。

例题分析例题1 用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,请把它求出来;若不存在,请说明理由.()011;10A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()102.10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦思路分析：根据题设条件找出对应的变换矩阵，从而判断逆矩阵是否存在。

答案：(1) 矩阵 A 为反射变换矩阵,它对应的几何变换为以直线 y=x 为反射轴的反射变换,因此,它存在逆矩阵,即为其本身,故 101.10A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2) 矩阵 B 为投影变换矩阵,它对应的几何变换为将平面上所有的点沿垂直于 x 轴方向投影到直线 y=x 上,这个变换把多个向量变为同一个向量,因此,它不存在逆变换,即矩阵 B 不存在逆矩阵.技巧点拨：求逆矩阵是否存在的关键是找出相应的变换，通过几何变换来确定并找出逆矩阵。

讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第八章λ－矩阵第一讲λ－矩阵2 学时讲课种类讲解法与练习法使学生认识-矩阵的观点，以及-矩阵和数字矩阵的关系，基本掌握-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。

-矩阵秩的判断，可逆的条件，以及求逆矩阵。

求 -矩阵的逆矩阵启迪式讲解，议论，练习n 阶矩阵A与对角阵相像的充要条件是A有 n 个线性没关的特点向量.那么当只有 m( m n) 个线性没关的特点向量时, A与对角阵是不相像的.对这类情况 ,我们“退而求其次” ,找寻“几乎对角的”矩阵来与A相像 .这就引出了矩阵在相像下的各样标准型问题 .Jordan 标准型是最靠近对角的矩阵而且其相关的理论包括先前相关与对角阵相像的理论作为特例 .其他 , Jordan 标准型的宽泛应用波及到 Hamilton-Cayley 定理的证明 ,矩阵分解 ,线性微分方程组的求解等等 .因为Jordan 标准型的求解与特点多项式相关,而从函数的角度看,特点多项式其实是特别的函数矩阵（元素是函数的矩阵）,这就引出对-矩阵的研究 .一、- 矩阵及其标准型定义 1称矩阵 A() ( f ij ()) 为-矩阵 ,此中元素f ij ( )(i1,2,L, m; j 1,2,L , n)为数域 F 上对于的多项式 .定义 2称 n 阶-矩阵A() 是可逆的,假如有A B B A I n并称 B( ) 为A() 的逆矩阵.反之亦然.定理 1 矩阵A() 可逆的充要条件是其队列式为非零的常数,即det( A( )) c0 .证明：（ 1）充足性设A=d 是一个非零的数. A*表示A() 的伴随矩阵 ,则d1A*也是一个-矩阵 ,且有A d 1 A* d 1 A*A I所以,A( ) 是可逆的.(2) 必需性设A() 有可逆矩阵B() ,则A B I两边取队列式有A B I1因为 A与 B都是多项式 ,而它们的乘积为1,所以它们都是零次多项式 ,即都是非零常数 .证毕 .例题 1判断-矩阵2 +121A=11能否可逆 .解固然2 +121A=1=201A( ) 是满秩的,但A不是非零常数 ,因此A() 是不行逆的.注意与数字矩阵不一样的是满秩矩阵未必是可逆的.这么定义可逆是有必要的 ,可逆的实质就是要保证变换的矩阵能够经过非零常数的倒数逆回去.定义3假如矩阵A() 经过有限次的初等变换化成矩阵B() ，则称矩阵A( ) 与B()等价,记为A B定理2矩阵A()与B() 等价的充要与条件是存在可逆矩阵P、Q,使得B P A Q证明因为 A B, 所以A() 能够经过有限次初等变换变为B() ,即存在初等矩阵P( ),P( ),L ,P( )12s与初等矩阵Q1 ( ), Q2 ( ),L ,Q t ( )使得B( ) P( )P( )L P( )A( )Q( )Q( )L Q( )12s12t令P( ) P1 ( )P2 ( )L P s () ,Q( ) Q1( )Q2 ( )L Q t ( )就是所要求的-矩阵 .它们都是初等矩阵的乘积,进而使可逆的 .证毕 .定义 4矩阵 A() 的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式 D k称为 A() 的k阶队列式因子.定理 2等价矩阵拥有同样的秩和同样的各级队列式因子.证明设-矩阵A( )经过一次行初等变换化为了B() ，f () 与 g( ) 分别是A( )与B() 的 k 阶队列式因子.需要证明f( )= g().分3种状况议论：（ 1）A( )i , j B( ),此时,B() 的每个 k 阶子式或许等于A( ) 的某个k 阶子式,或许与A( ) 的某个阶子式反号,所以 , f ()是B() 的k阶子式的公因子 ,进而f ()| g() .（2）A( )i(c)B( ) ,此时,B( )的每个k阶子式或许等于A( )的某个 k 阶子式,或许等于 A() 的某个 k 阶子式的c倍.所以,f()是B() 的 k 阶子式的公因式 ,进而f()|g( ) .（3）A( )i j( )行与 j行的阶子式和B( ) ,此时,B( )中那些包括i那些不包括 i 行的 k 阶子式都等于A() 中对应的 k 阶子式； B() 中那些包括 i 行但不包括 j 行的 k 阶子式,按 i 行分红两个部分,而等于A( )的一个k阶子式与另一个 k 阶子式的( ) 倍的和,,也就是A() 的两个 k 阶子式的线性组合,所以,f( ) 是的k阶子式公因式进而 f( )| g().,对于列变换, 能够同样地议论.总之 , A() 经过一系列的初等变换变为B() ，那么f()|g() .又因为初等变换的可逆性, B( )经过一系列的初等变换能够变为 A() ,进而也有g( )| f() .当 A( ) 所有的阶子式为零时, B() 所有的 k 阶子式也就等于零；反之亦然.故 A() 与 B( ) 又同样的各阶队列式因子,进而有同样的秩.证毕.既然初等变换不改变队列式因子,所以 ,每个-矩阵与它的标准型有完整相同的队列式因子.而求标准型的矩阵是较为简单的,因此 ,在求一个-矩阵的队列式因子时 ,只需求出它的标准型的队列式因子即可.议论、练习与作业课后反省讲课内容教课时数教课目的教课要点教课难点教课方法与手段教学过程第二将λ－矩阵在初等变换下的标准型2讲课种类讲解课认识- 矩阵的初等变换，掌握求标准型的方法，掌握最小多项式的观点和求最小多项式的方法。

§5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式5.2.1 教学目的5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质.5.2.2 教学重点矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法.5.2.3 教学难点用初等变换法求逆矩阵的理论.5.2.4 教学过程一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义Def 1 令A 是数域F 上一个n 矩阵，若存在F 上n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I那么A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵. （二）逆矩阵的简单性质1、若是矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一. 把A 的唯一的逆矩阵记作.2、可逆矩阵A 的逆矩阵也可逆，并且.1、1、1、两个可逆矩阵A 和B 的乘积也可逆，并且.一般，m 个可逆矩阵A 1，A 2，…，A m 的乘积A 1A 2…A m 也可逆. 并且（A 1A 2，…，A m ）-1=4、可逆矩阵A 的转置也可逆，并且二、矩阵可逆的充要条件 （一）判断矩阵可逆的思路.判断一般的n 阶矩阵A 是否可逆很复杂，但判断形如，矩阵的可逆1-A 1-AAA =--11)(111)(---=ABAB 11121---A A A m A ')()(11'='--AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI性十分简单，即当r=n 时，可逆；当r<n时，不可逆.如何将一般的矩阵A 的可逆性与的可逆性挂勾？（二）判断矩阵，可逆的予备知识 1、初等矩阵的概念对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵：i jii j都叫做初等矩阵.2、初等矩阵和初等变换的联系⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111ij p j i ikk D i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(ji k k T ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111)(左乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的行的初等变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的列的初等变换.3、初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵：4、初等变换不改变矩阵的可逆性.La5.2.1 设对矩阵A 施行一个初等变换后，得到矩阵，则A 可逆的充要条件是可逆.5、矩阵在初等变换下的标准形La5.2.2 一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的矩阵.（三）矩阵可逆的充要条件Th5.2.3 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可通过初等变换化为单位阵. Th5.2.4 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可写成初等矩阵的乘积. Th5.2.5 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n. Th5.2.6 n 阶矩阵A 可逆，当且仅它的的行列式detA ≠0. 三、逆矩阵的求法 （一）初矩阵的求法一个可逆矩阵A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 即存在初等矩阵E 1,E 2,…,E s ，使用A -1右乘这个等式的两端，得法则：在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵A -1.例1：求矩阵的逆矩阵. 解： →→)()(),1()(,111k T k T kD k D p p ij ij i i ij ij -===---A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A I A E E E s =12 112-=AI E E E s ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201013121A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10201010013001121 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101320013350001121→（二）行列式法设n 阶矩阵则有以下等式成立：若令, 则把A *叫矩阵A 的伴随矩阵.当A 可递时，，即例： 设，求A -1解：因为=2≠0，所以A 可逆.又因A 11=2，A 12=2，A 13=-4，A 21=-1，A 22=-1，A 23=3，1535159051535310052515101-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----95929110513132010919492001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++j i j i A A a A a A a jnin j i j i 若若02211 ⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++ji j i A A a A a A a njni j i j i 若若02211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A211221212111*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==A A AA A AA01000**I A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11*11AAA=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011213112A 011213112-=A利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面.例如，可应用它来给出克莱姆规律的另一种推导法a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2 …………………………a n1x 1+a n2x 2+…+a nn x n =b n利用矩阵的乘法令 (a ij )=A ，以A -1左乘端得由此得四、矩阵乘积的行列式 （一）矩阵乘积的行列式引理：一个n 阶矩阵A 总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角矩阵（10）证：如果A 的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=∴-134112112211A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n n n n b b b x x x a a aa a a a a a2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nnn nnn n nb b b A A A A A A A A A A xx x21212221212111211)(1),,,(122112121ni n i i nni i i i A b A b A b A b b b A A A Ax +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021三种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为如果A 的第一行和第一列都是零，那么A 已经具有（10）的形式. 对A 进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵. 根据行列式的性质，我们有定理：设A 、B 是任意两个n 阶矩阵，那么证：先看一个特殊情况，即A 是一个对角矩阵的情形，设现在看一般情形，由引理，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵，并且|A|=||，矩阵A 也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出，即存在T ij (k)型矩阵，T 1、T 2、…T g ，使A=T 1…T p T p+1…T g于是，AB= T 1…T p T p+1…T g ，B=（T 1…T p ）（T p+1…T g B ）而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而求所改变.|AB|= |T 1…T p T p+1…T g B|=||| T p+1…T g B | =|||B|=|A||B| 由这个定理显然可以得出⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011A dnd d d A A 21==BA AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n ij b b b b b b b b b b B212222111211)(=AB ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d21222222*********1BA B d d d AB n == 21A A A A A A A A A|A 1A2…A m |=|A 1||A 2|…|A m |（二）矩阵乘积的秩定理：两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩，特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩.证：设A 是一个m ×n 矩阵，B 是一个n ×p 矩阵，并且秩A=r ，由定理5.2.2，可以对A 施行行初等变换将A 化为换句话说，存在m 阶初等矩阵E 1，…，E p 和n 阶初等矩阵E p+1，…，E q ， 使E 1…E p AE p+1…E q =.于是 E 1…E p ABE p+1=E 1…E p AE p+1…E q E q -1…E p+1-1B=E q -1…E p+1-1B=，显然除前r 行外，其余各元行的元素都是零，所以秩≤r ；另一方面，E 1…E p+1AB 是由AB 通过行初等变换而得到的所以它与AB 有相同的秩，这样就证明了秩AB ≤秩A.同理可证秩AB ≤秩B.如果A 、B 中有一个，例如A 是可逆矩阵，一方面AB ≤秩B ，另一方面，B=A -1(AB)，所以秩B ≤秩AB ，因此秩AB=秩B.这个定理也很容易推广到任意m 个矩阵的乘积的情形，任意m 个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000rI A A A B A B A B A。

一、可逆矩阵的定义二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件三、逆矩阵的性质四、求逆矩阵的初等行变换五矩阵方程五、矩阵方程一、可逆矩阵的定义定义1设A 是一个n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B , 使得A B B A EA B = B A = E ,则称B 为A 的逆矩阵，此时也称A 可逆.由定义1 可知，若B 是A 的逆矩阵，则A 也是B 逆矩阵，即A 与B 是互逆的.定理1若矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的.设B 、C 均为 A 的逆矩阵，则C =C E =C A B )=(C A )B =E B =B ,证 C C E C (A B ) (C A ) B E B B ,故 A 的逆矩阵是唯一的.的逆矩阵的唯性由矩阵A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为A 1.例1设a 11a 22… a nn ≠0 , 则由定义可直接验证对角矩11 22 nn ,阵的逆矩阵111-⎤⎡a 111⎤⎡-a 22⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢a.1122⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢=--a⎦⎣nn a ⎦⎣nn a 例2若方阵A 1 , A 2 , …, A m 均可逆，则分块对角矩阵与对角矩阵有类似的逆矩阵11-⎥⎤⎢⎡A A 111⎥⎤⎢⎡--A A 2⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣m A.12⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣=-m A上一页当时对~二、伴随矩阵及二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件定义2n >1时，对n 阶方阵,称为矩阵A 的代数余子式余子式阵阵，称为矩阵A 的伴随伴随阵阵。

n n ij a A ⨯=)(n n ij a A ⨯=)~(T A A ~*=例如⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛=24,34~,321*A A A 非常重要⎭⎝⎭⎝⎭⎝13124定理2则d t(**设，则n n ij a A ⨯=)(EA A A AA )det(==矩阵i j *证由行列式性质2与性质7，矩阵的(i,j )元素为A A *det(),,0TTT T T A i j A A AA A A =⎧====⎨e e e e e e aa ()()()()()0,.i j i j i j i j i j ≠⎩E A A A )det(*=AA d (同可得因此。

上海大学2011～2012 学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目:关于矩阵的可逆性探讨作者姓名: 学号: 成绩:论文评语:评阅人:评阅日期:关于矩阵的可逆性探讨姓名：学号：摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用。

最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广。

关键词：矩阵矩阵的逆秩广义逆正文：引言在这篇文章中涉及到一些线性代数中的专有符号，在此做些说明。

r（A）是矩阵 A 的秩、A是矩阵 A 的行列式。

写这篇文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、应用等等进行探讨。

这篇文章的其余部分是这么编排的，章节一是矩阵的定义，章节二主要是逆阵的性质，章节三是逆矩阵的判定方法，接下来的章节四是逆矩阵的求法，章节五就是逆矩阵的应用，最后一个章节是对矩阵逆的推广。

章节一：矩阵逆的定义首先，迎面而来的问题是逆矩阵是什么呢，我们为何要映入逆矩阵的概念。

从以前学到的知识中我们知道，矩阵和复数相仿，有加、减、乘三种运算，为了要完善矩阵的运算，我们因此引入了矩阵的逆这个概念。

对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使得 AB=BA=I，则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为A-1 。

章节二：可逆矩阵的性质1、若矩阵 A、B 均可逆，则矩阵 AB 可逆，其逆阵为 B -1 A -1 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。

2、若 A 可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A；3、若A 可逆，数≠ 0 ，则A可逆，且(A)-1=1A-1；4、若 A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-15、( A ')-1= ( A-1 )'.=（A -1）T 。

6、逆矩阵还有一个性质，就是矩阵的逆是唯一的，下面给出相应证明：这里运用反证法，如果 A 是可逆矩阵，假设 B,C 都是A 的逆，则有AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（与B ≠C 矛盾）所以是唯一的。

第一学期第十次课 0>.阵，方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义定义设A是属于K上的一个n阶方阵，如果存在属于K上的n阶方阵B，使，则称B是A的一个逆矩阵，此时A称为可逆矩阵。

2、群和环的定义定义设A是一个非空集合。

任意一个由到A的映射就成为定义在A上的代数运算。

定义设G是一个非空集合。

如果在G上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作，而且它适合以下条件，那么就成为一个群：乘法满足结合律对于G中的任意元素a,b,c有；存在单位元素，对于任意，满足；对于任意，存在，使得。

关于群的性质，我们有如下命题：命题对于任意，同样有证明对于，存在，使得，，两端右乘，得到。

命题对于任意，同样有证明。

命题单位元素唯一证明假设存在，均是单位元素，则。

命题对于任意，存在唯一，使得，于是元素就称为的逆元素，记为。

证明设存在，满足条件，则。

易知，。

命题对于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。

定义一个群G称为一个交换群（Abelian Group），若定义在上面的代数运算满足交换律，即对于任意，都有。

定义设L是一个非空集合，在L上定义了两个代数运算，一个叫加法，记为a+b，一个叫乘法，记为ab。

如果具有性质：（1）、L关于加法成为一个交换群；（2）、乘法满足结合律，即，有；（3）、乘法关于加法满足分配律，即，有那么L就称为一个环。

命题数域上的阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群，称为上的一般线性群，记为GL；数域上的阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环，称为上的全矩阵环，记为M；证明按定义逐项验证即可。

其中GL中乘法的单位元是n阶单位矩阵，而M中加法的单位元是n阶零方阵。

命题证明，由逆矩阵的唯一性可知，命题成立。

命题假设n阶可逆方阵A的逆矩阵是B，则是的逆矩阵。

证明只需要证明即可。

事实上，，于是命题得证。

命题矩阵可逆当且仅当满秩；证明必要性若n阶方阵A可逆，则存在n阶方阵B，使得，于是有，于是；充分性若n阶方阵满秩，则A可以表为初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵，使得。

A1 , B 1都存在.
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1

A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,

0 1 0 0 0 0
0 1 0
0 1 0 2 1 1
2 a 2
1 2 3
2 3 2
0 1 3
1 2 2
0 0 1
1 2 1
即 R(AB)≥R(A)+R(B)-n.
显然，在上式中当AB=O时，有公式 R(A)+R(B) n.
例4 设A为n阶方阵( n ≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证 1）当R(A)=n时，R(A*)=n. 2）当R(A)=n-1时，R(A*)=1. 3）当R(A)<n-1时，R(A*)=0. 证明 1）当R(A)=n时,记A为满秩矩阵,所以| A*|=| A|n-1 ≠0,从而R(A*)=n. 2）当R(A)=n-1时，|A|=0，所以A A*= |A|E=O.由
1 A 0 0 2 1 0 3 2 , 1
1 B 0 0
2 1 2
3 2 . 4
显然， A为满秩矩阵，而B则为降秩矩阵.
例1 求下列矩阵的秩．
1 A 2 4 2 3 7 3 5 . 1
解 在A中，容易看出：一个2阶子式
定理3.2 对行满秩矩阵Am×n，必有列满秩矩阵B n ×m， 使AB=E. 证明 当m= n时，定理显然成立.所以只需考虑m< n 的情况.由R(A)=m，知A中存在m个列，由它们构成的m阶 子式| A1| ≠0. A经过适当的列的换法变换可使A1位于A的前 m列.即有n阶的可逆矩阵P，使 AP=(A1,A2) 其中A1为m阶的可逆矩阵.令
求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩.
解 对矩阵B施以初等行变换
1 2 B 2 3 2 4 4 6 2 8 2 0 1 0 3 6 1 2 3 4

其中 c11,c12,...c,1n 正好就是乘积矩阵AB的第一行。
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继续下去可进一步得
0 0 ... 0 c11 c12 ... c1n 0 0 ... 0 c 21 c 22 ... c 2 n ... ... ... ... ... ... ... ...
a1 1 a2 1
a1 2
b1 1 ...
a22 bn1
... ... ...
b1n ... bn n
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一般地，利用数学归纳法可以证明： (1)引理1
a 11 ... a 1m 0 ... 0
... ... ... a m 1 ... a mm
... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
0 1 ... 0 b21
... ... ... ... ...
0 ... 0 b12 ... b1n b22 ... b2n ... ... ...
0 0 ... 1 bn1 bn2 ... bnn
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若n阶矩阵A可逆，则存在n阶矩阵B使得AB=BA=I， 从而∣AB∣=∣I∣ ，即∣A∣∣B∣ =1，所以 ∣A∣≠0。 反之，若n阶矩阵A的行列式∣A∣≠0，A是否 一定可逆呢？ 回答是肯定的，为了证明这一点，需要引进一个 概念。
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阵(inverse matrix). A的逆矩阵记为A1.
问 如果 B是A的逆矩阵， 那么 A是不是B的逆 矩 阵？ -1不要写成 1 注 A A (A-1) -1 = A

A ≠ O => 请找出一个 可逆矩阵 A 可逆？
第二章 矩阵
§2.2逆矩阵
2. 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC= C. 结论. A可逆 A的逆矩阵唯一.
0 0 -2
第二章 矩阵
§2.2逆矩阵
引理2.1. 设A为方阵(n ≥ 2), A*为其伴随矩阵. 则AA* = A*A = |A|E.
证明引理2.1: 推论1.3 n阶行列式的任一行（列）的元素与另 一行（列）对应元素的代数余子式的乘 积之和等于零， 即当 i ≠ j 时， ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + · · ain Ajn =0, (1.8) ·+ a1i A1j + a2i A2j + · · ani Anj =0. (1.9) ·+
(A+B)(A-B) = A2 – B2
未必成立 。

第二章 矩阵
§2.1 矩阵的基本运算
结合律的妙用 1 设A = BC, 其中B = 2 , C = [1 2 3], 3 1 2 3 则A = 2 4 6 , A100 = ? 3 6 9

第二章 矩阵
§2.1 矩阵的基本运算
5. 方阵的多项式 A ——方阵 f(x) ——多项式 注意!!!
几何与代数
主讲: 王小 六

请学号最后两位数字除3余1的同学在作业 本的右上角标“A”

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１可逆矩阵的教学设计可逆矩阵的教学设计Һ周倩楠㊀卢㊀勇㊀（江苏师范大学数学与统计学院，江苏㊀徐州㊀２２１１１６）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文主要探究了可逆矩阵的教学设计．首先，从数的四种基本运算这一简单问题出发，引出可逆矩阵的定义；其次，给出可逆矩阵的相关性质；最后，运用依行依列展开定理给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法，并在课堂教学中融入思政教育，真正做到教书育人．ʌ关键词ɔ矩阵；逆矩阵；教学设计ʌ基金项目ɔ国家自然科学基金青年基金（１１９０１２５３），江苏省高校自然科学基金面上项目（１９ＫＪＢ１１０００９）．一㊁引㊀言逆 在‘现代汉语词典（第７版）“中的解释为：向着相反的方向（跟 顺 相对）．在数学学科中，我们也经常遇到这个字．如高等数学中映射的逆映射㊁初等数学中一个命题的逆命题等．当然，我们也学过一些与逆有关的运算．在数的运算中，加法㊁减法㊁乘法和除法是四种基本运算，其中，数的减法可以看成加法的逆运算，数的除法可以看成乘法的逆运算．可以看出，逆运算使得数的运算更加完善，有助于我们更深入地研究数的相关性质．在我们学习数学知识的过程中，数的加法㊁减法㊁乘法和除法无处不在，每个研究方向都离不开数的四种运算．同样，对于其他理工学科来说，数的四种基本运算也是基本运算，起着不可或缺的作用．所以说，逆运算不仅在数学中占有重要地位，在其他学科中也具有广泛的应用．本次课程涉及的知识点主要来源于线性代数．线性代数是数学的一个重要分支，它的研究对象是向量和向量空间（或称线性空间）．线性代数作为高等教育，尤其是高等数学中的一门重要学科，是理工科包括部分文科学生需要学习的一门专业必修课．在线性代数这一学科中也有许多逆运算．矩阵作为线性代数中的重要知识点和常见的工具之一，其运算中是否存在相应的逆运算？这是一个值得我们思考的问题．本文主要是分析关于可逆矩阵知识点的教学设计．首先，通过简单问题的引入 数的四种基本运算，引出矩阵的逆矩阵问题．其次，通过与学生互动，不断引导学生思考，并给出可逆矩阵的相关性质，如唯一性等．最后，给出求可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法，并结合具体例题，运用伴随矩阵法求解可逆矩阵的逆矩阵．本文结尾结合本节课知识点的特点融入课堂思政，结合目前在校大学生遇到的实际问题和困难传递正能量，引导学生不断努力拼搏，克服逆境和困难，真正做到教书育人，从而使得本次教学内容更加丰富，并具有启发性．二㊁教学过程（一）问题引入我们知道，关于数有加法㊁减法㊁乘法和除法四种基本运算，其中数的减法可以看成加法的逆运算．在数的乘法运算中，给定一个非零数ａ，存在唯一的非零数ｂ，使得ａｂ＝ｂａ＝１，我们称数ｂ为ａ的倒数，记为ａ－１．利用非零数的倒数，数的除法可以转化为乘法，如ａｂ＝ａｂ－１，其中ｂʂ０．因此，我们可以说，数的除法运算可以看成乘法运算的逆运算．矩阵作为学习线性代数课程的重要知识点和工具，贯串整个线性代数的学习．矩阵的运算也是我们首先需要考虑的问题．在前面，我们已经学习了矩阵的加法㊁减法及乘法等运算．其中，矩阵的减法是利用矩阵的加法和负矩阵定义的，因此，可以看成矩阵加法的逆运算．对于矩阵乘法，我们思考：是否可以像数的乘法那样定义它的逆运算（即除法运算）？这一问题值得我们研究，而这就是矩阵的逆矩阵问题．我们可以注意到，在矩阵乘法运算中，单位阵Ｅ所起的作用与数的乘法运算中的１相当．因此，类似数的倒数，我们提出问题：对于一个矩阵Ａ，是否存在矩阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ？在不引起歧义的情况下，我们不具体给出单位阵的阶数．由矩阵乘法的定义我们知道，要想讨论这一问题，首先必须确保这一式子是有意义的．由ＡＢ有意义，我们可以得出Ａ的列数必须等于Ｂ的行数．同时由ＢＡ有意义，我们可以得出Ｂ的列数必须等于Ａ的行数．再由ＡＢ＝ＢＡ，我们可以得出Ａ与Ｂ必须是同阶方阵．因此，这类问题只能针对方阵来研究，这是我们研究可逆矩阵的前提和基础．（二）研究问题下面，我们具体给出可逆矩阵的概念．定义１㊀设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅｎ，则称矩阵Ａ是可逆矩阵，简称Ａ可逆（或非退化），而Ｂ就称为Ａ的一个逆矩阵，否则就称矩阵Ａ不可逆（或退化）．根据可逆矩阵的定义，我们知道，要想判断给定的ｎ阶方阵Ａ是否可逆，就要看是否存在一个ｎ阶方阵Ｂ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅｎ，如果存在，则矩阵Ａ可逆；如果不存在，则矩阵Ａ不可逆．接下来我们思考：类似非零数的倒数，对一个可逆矩阵Ａ而言，它的逆矩阵Ｂ是否可以写成Ａ－１这一问题将在后㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１面的讨论中解决．首先，由可逆矩阵的定义我们知道：零矩阵一定是不可逆的．因为，对于任意零矩阵而言，它乘以任意与其同阶的方阵都为零矩阵，不为单位阵．同时，由逆矩阵的定义可以看出，单位矩阵的逆矩阵就是其本身．因为单位阵乘以其本身还是单位阵．下面，我们再看这样一个例子：设Ａ＝００１２æèçöø÷，对于任意一个二阶方阵Ｂ＝ａｂｃｄæèçöø÷，由Ａ的第一行元素全为０可知，ＡＢʂＥ，因此，矩阵Ａ一定不可逆．那么，我们就需要思考：什么样的方阵一定可逆？如果可逆，其逆矩阵是否唯一？我们该如何求出可逆矩阵的逆矩阵？下面我们将围绕这三个问题进行讨论，并分别给出回答．首先，我们看唯一性．性质１㊀设Ａ是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一．证明思路：假设矩阵Ａ可逆，且Ｂ，Ｃ是Ａ的任意两个逆矩阵，则有ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ及ＡＣ＝ＣＡ＝Ｅ．为了与矩阵Ｃ相联系，我们可得Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）．注意到矩阵乘法满足结合律，所以Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ．因此，我们知道可逆矩阵的逆矩阵是唯一确定的．因为可逆矩阵的逆矩阵具有唯一性，为了方便起见，我们将可逆矩阵Ａ的逆矩阵用Ａ加上上标 －１ 表示，记作Ａ－１，读作Ａ逆（这一写法类似非零数的倒数）．由可逆矩阵的定义，我们还能得到如下一些性质．性质２㊀若方阵Ａ可逆，则Ａ－１可逆，且有（Ａ－１）－１＝Ａ．性质３㊀若方阵Ａ可逆，ａ是一个非零常数，则矩阵ａＡ可逆，且（ａＡ）－１＝１ａＡ－１．性质４㊀若方阵Ａ和Ｂ具有相同阶数且均可逆，则ＡＢ可逆，且（ＡＢ）－１＝Ｂ－１Ａ－１．性质２，３和４可以由可逆矩阵的定义得出，其证明可作为课后作业留给学生．下面，我们将具体讨论如何求一个可逆矩阵的逆矩阵．我们做如下分析：设Ａ＝（ａｉｊ）ｎˑｎ是一个可逆矩阵，如何求出矩阵Ｂ＝（ｂｉｊ）ｎˑｎ，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ？目前，我们只能从可逆矩阵的定义出发．由矩阵乘积的定义，我们知道，ＡＢ＝Ｅ可写成ａｉ１ｂ１ｊ＋ａｉ２ｂ２ｊ＋ ＋ａｉｎｂｎｊ＝１，ｊ＝ｉ，０，ｊʂｉ．{（１）其中ｉ，ｊ＝１，２， ，ｎ．根据上式特点，要想通过这样一组式子求出矩阵Ｂ是有困难的，因为通过公式（１），我们还是求不出矩阵Ｂ的元素ｂｉｊ．但是，我们发现，公式（１）与我们之前学过的一个定理类似：依行展开定理．当我们结合依行展开定理ａｉ１Ａｊ１＋ａｉ２Ａｊ２＋ ＋ａｉｎＡｊｎ＝Ａ，ｊ＝ｉ，０，ｊʂｉ．{（２）其中ｉ，ｊ＝１，２， ，ｎ，即把（１）式中的ｂｉｊ换成矩阵Ａ的元素ａｊｉ的代数余子式Ａｊｉ．通过观察公式（２），我们可以将等号左边看成两个矩阵乘积的（ｉ，ｊ）元，其中ａｉ１，ａｉ２， ，ａｉｎ就是矩阵Ａ的第ｉ行元素．而Ａｊ１，Ａｊ２， ，Ａｊｎ可以看成一个矩阵的第ｊ列元素．为了方便起见，我们将这个矩阵用Ａ加上上标 ∗ 来表示，记作Ａ∗，读作Ａ的伴随矩阵．具体写出来就是Ａ∗＝Ａ１１Ａ２１ Ａｎ１Ａ１２Ａ２２Ａｎ２︙︙ ︙Ａ１ｎＡ２ｎＡｎｎæèççççöø÷÷÷÷．这里需要注意的是，Ａｉｊ位于Ａ∗的第ｊ行第ｉ列．与之对应，等号右边可以看成以Ａ为主对角元的主对角阵．所以，公式（２）可以写成ＡＡ∗＝ＡＥ．利用依列展开定理，可得Ａ∗Ａ＝ＡＥ，结合起来就有ＡＡ∗＝Ａ∗Ａ＝ＡＥ．当Ａʂ０时，该式两边同时乘以１Ａ，可得Ａ１ＡＡ∗()＝１ＡＡ∗()Ａ＝Ｅ．由可逆矩阵的定义，我们知道，矩阵Ａ可逆，并且其逆矩阵就是Ａ－１＝１ＡＡ∗．另外，当矩阵Ａ可逆时，有ＡＡ－１＝Ｅ，两边同时取行列式，可得ＡＡ－１＝１，所以Ａʂ０．结合上述分析就有下面的定理：定理１㊀设Ａ是ｎ阶方阵，则Ａ可逆的充要条件是Ａʂ０，且此时Ａ－１＝１ＡＡ∗．定理１不仅给出了可逆矩阵的一个充要条件，同时给出了求可逆矩阵的逆矩阵的方法，我们将这一方法称为伴随矩阵法．伴随矩阵法是我们求一个可逆矩阵的逆矩阵的有效方法，它区别于逆矩阵的定义．当需要求可逆矩阵Ａ的逆矩阵时，不需要找到矩阵Ｂ，而通过矩阵Ａ自身即可，即求出矩阵Ａ的行列式及伴随矩阵．因此，对于伴随矩阵法，学生需要结合具体例题不断练习，从而真正掌握这一方法，进而计算可逆矩阵的逆矩阵．下面，我们结合一个例题具体应用伴随矩阵法．例１㊀判别矩阵Ａ是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵．其中Ａ＝１１０２１０１－１１æèççöø÷÷．分析㊀要想判别矩阵Ａ是否可逆，结合定理１，需要看其行列式是否不等于０．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１设Ａ＝１１０２１０１－１１，通过计算，可得Ａ＝－１ʂ０，所以Ａ可逆．接下来，我们运用伴随矩阵法求Ａ的逆矩阵．计算Ａ的伴随矩阵为Ａ∗，得Ａ∗＝１－１０－２１０－３２－１æèççöø÷÷，因此Ａ－１＝１ＡＡ∗＝－１１０２－１０３－２１æèççöø÷÷．课后思考：结合例题及求逆矩阵的伴随矩阵法，我们容易看出，对于一个ｎ阶可逆矩阵Ａ，当ｎ比较小时，如例１中的矩阵Ａ，因为Ａ是３阶方阵，因此，计算其行列式从而判定其是否可逆的难度不大，同样，计算Ａ的伴随矩阵难度也不大，大多数学生都能计算出来．但是，我们在之前学习计算行列式时能够知道，对于一个给定的ｎ阶方阵，当ｎ比较大时，比如一个６阶方阵Ａ，用伴随矩阵法求逆矩阵是比较困难和复杂的．因为我们首先要计算这个６阶方阵的行列式，判定其是否为０，如果不为０，我们还需要计算一些５阶方阵的行列式，从而得到其对应的伴随矩阵，这一计算过程比较烦琐，且计算量较大，很多学生在计算过程中会出现错误．因此，我们发现，用伴随矩阵法计算一个可逆矩阵的逆矩阵要根据给定矩阵的阶数来看，如果阶数较小，可以考虑使用伴随矩阵法，如果阶数较大，那么就需要运用其他方法进行求解．是否还有其他求可逆矩阵的逆矩阵的方法呢？我们将在下节课与大家一起探讨和学习另一种计算可逆矩阵的逆矩阵的方法 初等变换法，建议做好相应的预习和复习工作．（三）内容小结本次课程主要讲解的知识点是可逆矩阵．首先，通过数的加法㊁减法㊁乘法和除法四种基本运算，以及倒数引入了主要问题 可逆矩阵．其次，我们给出了矩阵的逆矩阵的概念，并通过部分特殊矩阵分析了矩阵可逆的相关性质．再次，通过问题引入引导学生得到了可逆矩阵的几种性质．最后，结合可逆矩阵的定义及依行依列展开定理得到了伴随矩阵的概念以及求可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法，并结合具体例题运用伴随矩阵法计算给定矩阵的逆矩阵．在本次课程的最后，我们还留下相关问题，就是当给定矩阵的阶数比较大时，运用伴随矩阵法是否还能求出其逆矩阵，计算量大不大，同时引出下次课程需要学习的内容 初等变换法．本次课程从简单问题入手，通过一步步引导，让学生思考一些常见的问题，并结合学生之前所学知识（数的加法㊁减法㊁乘法㊁除法㊁倒数问题，以及矩阵的加法㊁减法和乘法运算）一步步达到教学目的．本次课堂的内容由浅入深，主要目的是启发学生在学习过程中不断发现问题㊁思考问题，从而解决问题．希望通过本次课程的学习，学生能够掌握可逆矩阵的相关性质，以及求解可逆矩阵的逆矩阵的方法 伴随矩阵法．三㊁课堂思政本次课程我们主要教学了可逆矩阵和可逆矩阵的逆矩阵的求法 伴随矩阵法．通过可逆矩阵，我们可以研究类似数的除法的问题．通过学习可逆矩阵，我们能够发现，逆运算能够使数学更加完美．学习数学知识能够锻炼我们的思维能力，培养我们发现问题㊁思考问题及解决问题的能力．同时，我们要学会总结学过的知识．在数学中有逆运算，我们在人生的道路上也会遇到种种逆境与不顺． 逆 字也经常出现在我们的生活中，对于很多人来说，人的一生不一定是一帆风顺的，生活往往会给我们出一些难题．比如，作为一名大学生，在大学学习和生活中，我们离开了父母，很多事都需要自己去面对，要学习如何和老师与同学相处，还要学习如何不断适应社会，从而走入社会．很多学生都经历了线上学习，而线上学习的效果在一定程度上不如线下学习，部分学生在学习过程中产生了抱怨㊁烦躁的心理．他们会担心知识点掌握不牢，不能跟老师和同学近距离讨论问题，等等，学习的效率和效果都达不到预期目标．这些在一定程度上对于学生来说就是逆境．再如，受疫情的影响，很多毕业生不能正常出去找工作，心理上承受了很大的压力．但是，这些在逆境中成长的学生会更快适应身边不断变化的环境，更快地投入学习，能够通过回看授课视频重复学习，查漏补缺，更好地掌握知识点．当学生走向社会，可能会面临生活和工作中的其他问题，然而，这些困难和逆境往往能使他们的人生更加完美，因为他们在克服困难的过程中得到了知识，获得了成长．相信临近毕业的大学生在回首大学四年的学习生活时，每个人都会有不同的感悟，每个人都有不同的成长．我们也许该感谢这些困难和逆境，因为它磨炼了我们的意志，给予了我们更多的勇气去面对困难，挑战困难．所以，不管我们是在求学过程中还是在工作中，遇到困难和逆境都不要气馁，只要我们坚定信心，勇往直前，不断克服它们，就终将实现人生的理想和目标，真正成为一个对国家和社会有用的人．ʌ参考文献ɔ［１］蒋永泉，贾志刚，黄建红．线性代数［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１６．［２］同济大学数学系．工程数学线性代数：第六版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．［３］潘璐璐，徐根玖，张莹，等．函数在一点处的极限教学设计［Ｊ］．高等数学研究，２０２０（２）．。

A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1

§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.3 方阵A可逆 存在方阵B，使AB=E.
A-1=B.
证 ) 由定义知. ) AB =AB =E=1， A≠0， A可逆， 且 A-1=A-1E=A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B. #
推论2.1 设A,B均为n阶方阵， 若AB=E，则A,B都可逆，且A-1=B, B-1=A. 推论作用：论证方阵可逆性，及逆阵形式。
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
例2 设方阵A，使E+A可逆，且B=(E+A)-1(E-A),
求 (E+B)-1.
解 由B=(E+A)-1(E-A)，得(E+A)B=E-A, 从而E+A+(E+A)B=2E, 即(E+A)(E+B)=2E
1 ( E A)( E B) E , 2 1 1 ( E B ) ( E A). 2
不用除法，解方程 2x=4
解
1 是2的 倒 数 2
1 1 1 2 x 4 , 得x 2. 注 意 到 2 1. 2 2 2
§1 可逆矩阵的定义及性质
定义1.1设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使得 AB=BA=E 则称方阵A为可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，简称 A的逆。 注:可逆矩阵与逆矩阵是同阶方阵，非方阵不论 及可逆性，方阵不一定可逆。 1 0 对任意B b11 b21 例 A , b 0 0 b22 12 b11 b21 1 0 b11 0 1 0 . BA 0 1 , A不 可 逆 b 0 0 b 12 0 12 b22