初高中数学衔接基础知识点专题

初高中数学衔接知识点专题临洮二中数学组董学峰★专题一数与式的运算【要点回顾】1.绝对值[1]绝对值的代数意义: .即.[2]绝对值的几何意义: 的距离.[3]两个数的差的绝对值的几何意义:表示的距离.[4]两个绝对值不等式:;.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:[1]平方差公式: ;[2]完全平方与公式: ;[3]完全平方差公式: .我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:[公式1][公式2](立方与公式)[公式3] (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”.3.根式[1]式子叫做二次根式,其性质如下:(1) ;(2) ;(3) ; (4) .[2]平方根与算术平方根的概念: 叫做的平方根,记作,其中叫做的算术平方根.[3]立方根的概念: 叫做的立方根,记为4.分式[1]分式的意义形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质: (1) ;(2) .[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个就是分式时,就叫做繁分式,如,说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质.[3]分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则就是分母与分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式:(1) (2)＞4.例2 计算:(1) (2)(3) (4)例3 已知,求的值.例4 已知,求的值.例5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数):(1) (2)(3) (4)例6 设,求的值.例7 化简:(1) (2)(1)解法一:原式=解法二:原式=(2)解:原式=说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应就是最简分式或整式.【巩固练习】1．解不等式2．设,求代数式的值.3．当,求的值.4．设,求的值.5．计算6.化简或计算:(1) (2)(3) (4)★专题二因式分解【要点回顾】因式分解就是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法就是相反方向的变形.在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.就是一种重要的基本技能.因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法与公式法(平方差公式与完全平方公式)外,还有公式法(立方与、立方差公式)、十字相乘法与分组分解法等等.1.公式法常用的乘法公式:[1]平方差公式: ;[2]完全平方与公式: ;[3]完全平方差公式: .[4][5](立方与公式)[6] (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好就是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,运用上述公式可以进行因式分解.2.分组分解法从前面可以瞧出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要就是二项式与三项式.而对于四项以上的多项式,如既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.常见题型:(1)分组后能提取公因式(2)分组后能直接运用公式3.十字相乘法(1)型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现,其特点就是:①二次项系数就是1;②常数项就是两个数之积;③ 一次项系数就是常数项的两个因数之与.∵,∴运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.(2)一般二次三项式型的因式分解由我们发现,二次项系数分解成,常数项分解成,把写成,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到,如果它正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中位于上一行,位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.4.其它因式分解的方法其她常用的因式分解的方法:(1)配方法(2)拆、添项法【例题选讲】例1 (公式法)分解因式:(1) ;(2)例2 (分组分解法)分解因式:(1) (2)例3 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) (2)(3) (4)解:(1)(2)(3)分析:把瞧成的二次三项式,这时常数项就是,一次项系数就是,把分解成与的积,而,正好就是一次项系数.解:(4) 由换元思想,只要把整体瞧作一个字母,可不必写出,只当作分解二次三项式.解:例4 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) ;(2)解:(1)(2)说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不就是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,瞧就是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.例5 (拆项法)分解因式【巩固练习】1.把下列各式分解因式:(1) (2)(3) (4) (5)2.已知,求代数式的值.3.现给出三个多项式,,,,请您选择其中两个进行加法运算,并把结果因式分解、4.已知,求证:.★专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1.一元二次方程的根的判断式一元二次方程,用配方法将其变形为: .由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把叫做一元二次方程的根的判别式,表示为: 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),有[1]当Δ0时,方程有两个不相等的实数根:;[2]当Δ0时,方程有两个相等的实数根:;[3]当Δ0时,方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系定理:如果一元二次方程的两个根为,那么:说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提就是.特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0,若x1,x2就是其两根,由韦达定理可知x1＋x2＝－p,x1·x2＝q,即p＝－(x1＋x2),q＝x1·x2,所以,方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0,由于x1,x2就是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根,所以,x1,x2也就是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0.因此有以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)就是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0.【例题选讲】例1 已知关于的一元二次方程,根据下列条件,分别求出的范围:(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根; (4)方程无实数根.例2 已知实数、满足,试求、的值.例3 若就是方程的两个根,试求下列各式的值:(1) ; (2) ; (3) ; (4) .例4 已知就是一元二次方程的两个实数根.(1) 就是否存在实数,使成立？若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(2) 求使的值为整数的实数的整数值.解:(1) 假设存在实数,使成立.∵一元二次方程的两个实数根,∴ ,又就是一元二次方程的两个实数根,∴∴ ,但.∴不存在实数,使成立.(2) ∵∴要使其值就是整数,只需能被4整除,故,注意到,要使的值为整数的实数的整数值为.【巩固练习】1.若就是方程的两个根,则的值为( )A. B. C. D.2.若就是一元二次方程的根,则判别式与完全平方式的关系就是( )A. B. C. D.大小关系不能确定3.设就是方程的两实根,就是关于的方程的两实根,则= ___ __ ,= _ ____ .4.已知实数满足,则= ___ __ ,= _____ ,= _____ .5.已知关于的方程的两个实数根的平方与等于11,求证:关于的方程有实数根.6.若就是关于的方程的两个实数根,且都大于1.(1) 求实数的取值范围;(2) 若,求的值.★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1.平面直角坐标系[1]组成平面直角坐标系。

叫做轴或横轴, 叫做轴或纵轴,轴与轴统称坐标轴,她们的公共原点称为直角坐标系的原点。

[2]2.函数图象[1]一次函数:称就是的一次函数,记为:(k、b就是常数,k≠0)特别的,当=0时,称就是的正比例函数。

[2] 正比例函数的图象与性质:函数y=kx(k就是常数,k≠0)的图象就是的一条直线,当时,图象过原点及第一、第三象限,y随x的增大而;当时,图象过原点及第二、第四象限,y随x的增大而.[3]一次函数的图象与性质:函数(k、b就是常数,k≠0)的图象就是过点(0,b)且与直线y=kx平行的一条直线、设(k≠0),则当时,y随x的增大而;当时, y随x的增大而.[4]反比例函数的图象与性质:函数(k≠0)就是双曲线,当时,图象在第一、第三象限,在每个象限中,y随x的增大而;当时,图象在第二、第四象限、,在每个象限中,y随x的增大而.双曲线就是轴对称图形,对称轴就是直线与;又就是中心对称图形,对称中心就是原点.【例题选讲】例1 已知、,根据下列条件,求出、点坐标.(1) 、关于x轴对称;(2) 、关于y轴对称;(3) 、关于原点对称.例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点,O为原点,若ΔAOB的面积为2,求此一次函数的表达式。

例3如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于,两点.(1)求反比例函数与一次函数的解析式;(2)根据图象回答:当取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值.解:(1)在的图象上,, 又在的图象上,,即,解得:,, 反比例函数的解析式为,一次函数的解析式为,(2)从图象上可知,当或时,反比例函数图象在一次函数图象的上方,所以反比例函数的值大于一次函数的值。

【巩固练习】1.函数与在同一坐标系内的图象可以就是( )2.如图,平行四边形ABCD中,A在坐标原点,D在第一象限角平分线上,又知,,求点的坐标.3.如图,已知直线与双曲线交于两点,且点的横坐标为.(1)求的值;(2)过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限),若由点为顶点组成的四边形面积为,求点的坐标.★专题五二次函数【要点回顾】1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与性质问题[1] 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？问题[2] 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法:由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－, 所以,y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以瞧作就是将函数y ＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质:[1]当a＞0时,函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向;顶点坐标为,对称轴为直线;当时,y随着x的增大而;当时,y随着x的增大而;当时,函数取最小值.[2]当a＜0时,函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向;顶点坐标为,对称轴为直线;当时,y随着x的增大而;当时,y随着x的增大而;当时,函数取最大值.上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.2.二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式:(1).一般式:;(2).顶点式:;(3).交点式:.说明:确定二此函数的关系式的一般方法就是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:①给出三点坐标可利用一般式来求;②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求.③给出三点,其中两点为与x轴的两个交点、时可利用交点式来求.3.分段函数一般地,如果自变量在不同取值范围内时,函数由不同的解析式给出,这种函数,叫作分段函数.【例题选讲】例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x 取何值时,y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.例2 某种产品的成本就是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下少元？此时每天的销售利润就是多少？例3 已知函数,其中,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值与最小值时所对应的自变量x的值. 例4 根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y＝x＋1上,并且图象经过点(3,－1);(2)已知二次函数的图象过点(－3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2;(3)已知二次函数的图象过点(－1,－22),(0,－8),(2,8).例5 在国内投递外埠平信,每封信不超过20g付邮资80分,超过20g不超过40g付邮资160分,超过40g 不超过60g付邮资240分,依此类推,每封x g(0＜x≤100)的信应付多少邮资(单位:分)？写出函数表达式,作出函数图象.分析:由于当自变量x在各个不同的范围内时,应付邮资的数量就是不同的.所以,可以用分段函数给出其对应的函数解析式.在解题时,需要注意的就是,当x在各个小范围内(如20＜x≤40)变化时,它所对应的函数值(邮资)并不变化(都就是160分).解:设每封信的邮资为y(单位:分),则y就是x的函数.这个函数的解析式为由上述的函数解析式,可以得到其图象如图所示.【巩固练习】1.选择题:(1)把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标就是( )(A)(－1,4) (B)(－1,－4) (C)(1,－4) (D)(1,4)(2)函数y＝－x2＋4x＋6的最值情况就是( )(A)有最大值6 (B)有最小值6(C)有最大值10 (D)有最大值2(3)函数y＝2x2＋4x－5中,当－3≤x＜2时,则y值的取值范围就是( )(A)－3≤y≤1 (B)－7≤y≤1(C)－7≤y≤11 (D)－7≤y＜112.填空:(1)已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2,0),B(1,0),且过点C(2,4),则该二次函数的表达式为.(2)已知某二次函数的图象过点(－1,0),(0,3),(1,4),则该函数的表达式为.3.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A(0,),B(1,0),C(,2);(2)已知抛物线的顶点为(1,),且与y轴交于点(0,1);(3)已知抛物线与x轴交于点M(,0),(5,0),且与y轴交于点(0,);(4)已知抛物线的顶点为(3,),且与x轴两交点间的距离为4.4.如图,某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供她圈养小鸡.已知墙的长度为6m,问怎样围才能使得该矩形面积最大？5.如图所示,在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P,从点A出发沿折线ABCD移动一周后,回到A 点.设点A移动的路程为x,ΔP AC的面积为y.(1)求函数y的解析式;(2)画出函数y的图像;(3)求函数y的取值范围.★专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1.二次函数的最值.二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时,函数在处取得最小值,无最大值;当时,函数在处取得最大值,无最小值.2.二次函数最大值或最小值的求法.第一步确定a的符号,a＞0有最小值,a＜0有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.3.求二次函数在某一范围内的最值.如:在(其中)的最值.第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴:;第二步:讨论:[1]若时求最小值或时求最大值,需分三种情况讨论:①对称轴小于即,即对称轴在的左侧;②对称轴,即对称轴在的内部;③对称轴大于即,即对称轴在的右侧。