人教版垂径定理

人教版九年级上册《垂径定理》教案目录•课程介绍与目标•知识回顾与铺垫•垂径定理的引入与证明•垂径定理在几何问题中的应用•垂径定理在生活中的实际应用•课堂练习与巩固提高•总结回顾与拓展延伸01课程介绍与目标教材版本及内容概述教材版本人教版九年级上册内容概述本节课主要学习垂径定理及其推论，包括圆的性质、直径与弦的关系等。

垂径定理是圆的重要性质之一，在解决与圆有关的问题时具有广泛的应用。

知识与技能过程与方法情感态度与价值观教学目标与要求掌握垂径定理及其推论，理解圆的性质，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。

通过观察、实验、推理等活动，培养学生的探究能力和数学思维能力。

感受数学之美，体会数学在解决实际问题中的应用价值，培养学生的数学兴趣和自信心。

教学方法与手段教学方法采用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、推理等活动主动探究垂径定理及其推论。

教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学工具，帮助学生更好地理解垂径定理及其推论。

同时，鼓励学生动手实践，通过实验操作验证垂径定理的正确性。

02知识回顾与铺垫圆的性质及定义圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。

经过圆心的弦叫做直径。

直径是最长的弦，且一个圆有无数条直径。

直径半径弦连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

在同一个圆中，所有的半径都相等。

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

弦的长度可能等于直径，也可能小于直径。

030201直径、半径、弦等概念顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

圆心角圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧的长度与圆心角的度数成正比。

弧在同一个圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。

弦与弧的关系圆心角、弧、弦之间的关系03垂径定理的引入与证明垂径定理的表述垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

三垂径定理一、垂径定理的内容1. 定理表述- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。

2. 定理的证明（以人教版教材思路为例）- 连接OA，OB。

- 因为OA = OB（同圆半径相等），OE⊥ AB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE=BE。

- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。

3. 相关概念理解- 弦：连接圆上任意两点的线段。

如在圆O中，AB就是一条弦。

- 直径：经过圆心的弦。

例如CD是圆O的直径。

- 弧：圆上任意两点间的部分。

圆O中的widehat{AD}、widehat{BD}、widehat{AC}、widehat{BC}等都是弧。

二、垂径定理的推论1. 推论内容- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD平分弦AB（AB不是直径）于点E，则CD⊥ AB，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。

2. 推论的证明- 连接OA，OB。

- 因为OA = OB，AE = BE，所以 OAB是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OE⊥ AB，即CD⊥ AB。

- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。

- 这里要注意弦不能是直径，因为任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定垂直。

三、垂径定理及其推论的应用1. 计算类应用- 例1：已知圆O的半径为5，弦AB = 8，求圆心O到弦AB的距离。

- 解：设圆心O到弦AB的距离为d。

- 连接OA，因为OA = 5，AB = 8，根据垂径定理，OE⊥ AB时AE=(1)/(2)AB = 4。

人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。

如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。

二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。

3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。

三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。

例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。

此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。

四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。

2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。

3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。

4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。

五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。

这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。

2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。

这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。

六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。

2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。

3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。

七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。

例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。

2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。

例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章圆的一部分，它是圆的性质中的重要定理之一。

本节课的主要内容是引导学生探究并证明圆中垂径定理，即圆中垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。

这个定理在解决圆的相关问题时具有重要作用，为学生进一步学习圆的性质和圆的方程打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和证明有一定的理解。

他们对圆的概念和性质有一定的了解，但可能对垂径定理的理解还不够深入。

在学习本节课时，学生需要通过观察、思考、探究、证明等过程，理解和掌握垂径定理。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决相关问题。

2.过程与方法目标：学生通过观察、思考、探究、证明等过程，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生通过对垂径定理的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养坚持不懈、严谨治学的态度。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。

2.教学难点：学生能够通过证明过程，理解并掌握垂径定理的证明方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、探究、证明。

2.教学手段：利用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解垂径定理。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考，激发学生的学习兴趣。

2.新课引入：介绍垂径定理的概念，引导学生观察和思考垂径定理的性质。

3.探究与证明：学生分组进行探究，通过观察、实验、推理等方法，引导学生自己发现并证明垂径定理。

4.讲解与解释：教师对学生的探究结果进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。

5.练习与巩固：学生进行一些相关的练习题，巩固对垂径定理的理解和运用。

6.总结与拓展：学生总结垂径定理的内容和证明方法，并进行一些拓展问题的讨论。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教案2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第一节的一部分，主要介绍了圆中垂径定理的内容。

垂径定理是指：圆中，如果一条直径的两端点分别连接圆上两点，那么这条直径垂直于连接这两点的弦。

这一定理是九年级学生学习圆的基础知识，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径等。

但是，对于垂径定理的理解和运用还需要进一步引导。

此外，学生对于几何图形的观察和分析能力有待提高，因此需要通过实例讲解和动手操作来帮助学生理解和掌握垂径定理。

三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.提高学生的观察和分析能力，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：理解并掌握垂径定理的内容。

2.难点：如何运用垂径定理解决实际问题。

五. 教学方法1.实例讲解：通过具体的图形和实例，讲解垂径定理的内容和运用。

2.动手操作：让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。

3.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

4.问题解决：引导学生运用垂径定理解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示垂径定理的图形和实例。

2.教学素材：准备一些相关的几何图形和题目，用于讲解和练习。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示垂径定理的图形和实例，引导学生观察和分析，然后讲解垂径定理的内容和证明过程。

3.操练（10分钟）教师给出一些相关的题目，让学生亲自动手画图和验证垂径定理，提高学生的实践能力。