东华大学高等数学实验试题A

东华大学 2017-2018 学年第一学期线性代数A 试卷A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。

一1. 03121111x中一次项x 的系数为 .2. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010311A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310101B ，则=AB . 3. 设三阶方阵B A ,满足关系式BA A BA A +=61-，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131000000A 则=B . 4.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3223-01-042A 的秩为 . 5.设B A ,均为n 阶矩阵，3-2==B A ，，则=1-*2BA6.正交矩阵的行列式为7. 、设C B A ,,为n 阶方阵，且E ABC =，则必有=BCA .8.已知二次型32312123222142244x x x x x tx x x x f +-+++=为正定二次型的条件为9.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a β是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=302212221A 的特征向量，则=a 10.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a b b a A ，其中1,022=+>>b a b a ，则A 为 矩阵.二.（10分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为11321==-=λλλ，，对应于1λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101ξ，求A 。

三、（10分）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，且I AB A =-2,其中I 为三阶单位阵，求矩阵B .四、（10分）已知3R 中的向量组321ααα，，线性无关，向量组,211ααβk -=,322ααβ+=,133ααβk +=线性相关，求k 的值。

五、（12分）设矩阵B A 、相似，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 33242111，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b B 00020002（1）求b a 、的值。

（2）求可逆矩阵P 使得B AP P =1-六、（12分）λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=-+1554212321321321x x x x x x x x x λλ无解？有唯一解？有无穷多解？并在无穷多解时写出方程组的通解。

东华大学试题及答案一、选择题（本题共10分，每题1分）1. 下列哪项不是东华大学的特色专业？A. 纺织工程B. 服装设计与工程C. 计算机科学与技术D. 机械工程答案：C2. 东华大学位于中国的哪个城市？A. 北京B. 上海C. 广州D. 深圳答案：B3. 东华大学成立于哪一年？A. 1951年B. 1957年C. 1978年D. 1999年答案：A4. 东华大学共有几个校区？B. 2个C. 3个D. 4个答案：B5. 东华大学的校训是什么？A. 厚德博学，求是创新B. 厚德博学，笃行致远C. 厚德载物，自强不息D. 厚德博学，明德至善答案：B二、填空题（本题共20分，每题2分）1. 东华大学的主要校区位于上海市_______区。

答案：长宁2. 东华大学的校徽颜色以_______和_______为主。

答案：蓝色、白色3. 东华大学在_______年被确定为全国重点大学。

答案：19604. 东华大学拥有_______个博士后流动站。

5. 东华大学在材料科学、工程学、化学三个学科领域进入ESI世界前1%。

答案：三个三、简答题（本题共30分，每题10分）1. 简述东华大学的历史沿革。

答案：东华大学的历史沿革可以追溯到1951年成立的华东纺织工学院，后经过多次更名和发展，于1999年正式更名为东华大学。

2. 东华大学在学术研究方面有哪些突出成就？答案：东华大学在学术研究方面取得了一系列突出成就，包括获得多项国家级和省部级科研奖项，发表大量高水平学术论文，并在纺织、材料科学等领域拥有多项重要研究成果。

四、论述题（本题共40分）1. 论述东华大学在国内外的影响力及其对社会发展的贡献。

答案：东华大学作为一所历史悠久的高等学府，在国内外享有较高的声誉。

其在纺织、材料科学、工程学等领域的研究成果对相关产业的发展起到了积极的推动作用。

同时，东华大学培养了大量优秀人才，为社会各个领域的发展做出了重要贡献。

东华大学12概率试题2022~2022上（A）（2022.12.21）一、填空(每题5分，共15分)：1、假设连续型随机变量的密度函数为f某ae2某，则a___________。

2、已知BA,P(B)0.9,PAC0.8，则PBAC___________。

3、假设随机变量~π0，并且P1P2，则P1。

4、假设~N(1,1),~π1,~B4,，则E_________。

12二、单项选择题(每题5分，共20分)：1、在假设检验中，H0表示原假设，H1表示备择假设，则称为犯第一类错误的是_________。

(A)H1不真，接受H1；(B)H1不真，接受H0；(C)H0不真，接受H0；(D)H0不真，接受H1。

2、假设随机变量和均服从标准正态分布，则下列结论正确的是_________。

(A)服从正态分布；(B)22服从2分布；(C)2与2均服从2分布；(D)2服从t分布。

3、假设随机变量的方差D0，则下列结论必定正确的是_________。

(A)E0；(B)存在随机变量及常数a,b，使得ab；(C)存在常数c，使得c；(D)E20。

4、假设设随机变量~N,2，则随着的增大，概率P某是_________。

(A)单调增大；(B)单调减小；(C)保持不变；(D)增减性不定。

三（12分）、假设1,2,,n是来自于总体的样本，而的概率密度函数为某12某22,某0,f某;2e0,某0.其中0是未知参数，试求的极大似然估计量并讨论无偏性。

四（8分）、袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽，求这只硬币是正品的概率。

五（8分）、假设连续型随机变量的分布函数F某为严格单调的，又设F试求的概率密度函数。

六（8分）、假设某小鸡的生蛋数服从参数为0的泊松分布，而每一枚鸡蛋发育成小鸡的概率为0p1并且各个蛋是否发育成小鸡是独立的，试求该小鸡后代数的分布率。

七（8分）、已知随机变量,的联合概率密度函数为2某y某,0某1,0y2,f某,y3其他.0,试求的边缘密度函数。

第一章 函数与极限§1 函数一.是非判断题√ ╳ √ ╳ √二、单项选择题A B A三、填空题1、22()y x y +-2、[)(]1236.-　，，3、[]f f x x x x ()=+<-≥-⎧⎨⎩4222，；，　四、 2()1()116log 16f x x x x x x x x ϕ-∞<<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩的反函数:，；，；，．五、()1x f x x =+ 六、10()()210121x x f x x x x x x ϕ+<⎧⎪+=+≤<⎨⎪≥⎩，　；，；， ．§2 数列的极限一 是非判断题╳ ╳ ╳ ╳ √ √ 二．单项选择题B D B B§3 函数的极限一 是非判断题√ ╳ ╳ ╳ ╳二．单项选择题C D C C四、极限)(lim 0x x ϕ→不存在. §4无穷小与无穷大1、是非题√ ╳ √ √二．单项选择题C CD C D B C三、l i m ()x x v x →=00 §5 极限的运算法则一、是非题╳╳√二、单项选择题D A三、计算下列极限0 1/2 2 1/5 3/2四、 4,5a b ==-§6极限存在准则，两个重要极限一、是非题√╳╳╳╳二．单项选择题D B A B A C D C D B C三．计算下列极限（1）2 （2）3 （3） 1e -. (4) 2e§7无穷小的比较一、是非题√╳╳√╳二、单项选择题B AC C C C D三、2=n§8 函数的连续性与间断点一．是非题√╳√√╳╳二．单项选择题A C A A C A CBC C三、判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函数的 定义使其连续。

（1）x =2是函数的第二类间断点; x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2) x =k π(k ≠0)是第二类间断点; x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点. 令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 四、 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f n n n . x =-1为函数的第一类不可去间断点.x =1为函数的第一类不可去间断点.§9 连续函数的运算与初等函数的连续性一．是非题√√╳√╳二．单项选择题A A C D三、 1p = 1q =.四、求下列极限（1）2（2）32e -.（3）1/2(4) 3abc .§10 闭区间上连续函数的性质一．是非题╳√√╳√╳二．单项选择题A B C A C D第二章 导数与微分§1 导数的概念一、是非判断题：×√××√二．单项选择题C D A C A C三、下列各题中均假定)(0x f '存在，按照导数的定义观察，A 表示什么？（1）A= )(0x f '-（2）A= )0(f '（3）A= )(20x f '四、在x =0处连续 , 可导, 且y '(0)=0.五、a =2, 此时b =-1.六、()f a '=()g a七、-4§2 函数的求导法则一．是非题×√× × ×××二．单项选择题B BC BD A三、求下列函数在给定点处的导数（1）])0(['f =0，x x x f 52)5(3)(2+-='， 253)0(='f , 1517)2(='f (2) θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d , 42(1)42d d πθρπθ==+ 四、求下列函数的导数（1）'=++y x xl n l n 2222 （2）'=+++-⋅y x x s c e x x x x c o ss i n c s c c s c c o t 22 （3）'=--+y x x l n s e c 31122 （4）'=++y e x x x xx 312(c o s s i n )l n （5）222)tan 1(sec )cot 1()tan 1(csc x x x x x y -++--=' （6）'=+⋅⋅-⋅-⋅⋅y x x x x x xx x x s e c s e ct a n l n l n 12222五、求下列函数的导数（1）22233236)6()3(x x x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='（2）y ')3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xx x +-=--=---. （3）1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y （4）222sin 2cos 212sin 22cos xx x x x x xx y -=⋅-⋅⋅=' （5） y '2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=（6） 1ln ln(ln )y x x x '=⋅ （7）)1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xx x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--=' （8）x x x x x x x xy csc 212sec 2tan 1)2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 122=⋅⋅='⋅⋅='⋅=' 六、设)(x f 可导，求dx dy（1）y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2).（2）y '=sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )].§3 高阶导数一、单项选择题B C A B D二、求下列函数的二阶导数1． -2e -t cos t .2．xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222 四、2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''= 五、]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n . 六 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= )50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= )2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=. 七、 [])1()1()()1()2(!)1(+-+-----=n n n n x x n y§4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一．是非题×√二 单项选择题B D A三．求由下列方程所确定的隐函数的导数dx dy （1） xy y y -='. (2) y x y x e x y e y ++--='. (3) y '=e y +x e y y ',ye y e xe ey y y y y -=--=-='2)1(11, 3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 四、 用对数求导法则求下列函数的导数（1）]111[ln )1(xx x x x y x ++++=' （2） ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y 五、dy dx t t t t =++=11211222，dy d x t t t t t222223121214=-⋅+=-+ 六、所求切线方程为)22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x . 七、4=dt dV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).§5 函数的微分一、是非题√√× ×二、单项选择题D A B B三、将适当的函数填入下列括号内，使等式成立（1） d ( 2x+c )=2dx (2) d ( ln (x +1) +c )=dx x+11 (3) d( c x +2 )=dx x1 (4) d ( 212x e c --+ )=dx e x 2- (5) d ( c wx w +-cos 1 )=wxdx sin (6) d ( 1t a n 33x c + )=2sec 3xdx 四、下列函数的微分1． dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='= 2． dy = ()()()()1ln ln f x e f x f x f x dx x ⎡⎤''+⎢⎥⎣⎦3． dy =dx xxy x y xy y ln ln 22-- 第三章 中值定理与导数应用§1 中值定理一、是非判断题××√√×√二．单项选择题C B C C §2 洛比达法则一．是非题√√√××二．单项选择题A D C三 求下列极限1．3321323lim 12x x x x x x →-+=--+2．2lim 11x arctgx x π→+∞-=56 20ln 21limln 2x tg x tg x →+=7 3(1)2(1)lim x x x x e e x→+∞+-+=+∞ 8 1lim (1)1x x x e →∞-= 9 lim [ln(2)ln ]2x x x x →+∞+-= 10 0111lim[]ln(1)2x x x →-=+11 1lim ln ln(1)0x x x -→-= 12 0lim 1tgxx x +→=13 1111lim xx xe-→= 14 10lim(1sin )x x x e →+=§3 泰勒公式一．是非题 ×√ ×二．单项选择题 B B三、 )1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1(132⋅⋅⋅++-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x1)1()()1()!1()()1(!)1(++++++-+n n nn x n f x n fξ 12132)1()]1(1[)1(])1( )1()1()1(1[++++++--+++⋅⋅⋅+++++++-=n n n nx x x x x x θ (0<θ<1).四 ])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+= ])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.五、 4523)(cos 3]2)()[sin sin(31tan x x x x x x x θθθ+++=(0<θ<1). 六、 112-七、34=a , 31-=b . 5阶无穷小.§4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、是非题 ×× √ × × × × × × 二 单选题 D A B D D A D B四、确定下列函数的单调区间(1)函数在（-∞,-1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2) 函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a内单调减少.五、求下列函数的拐点及凹或凸的区间(1).曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).七、 a =1, b =-3, c =-24, d =16.§5 函数的极值与最值一 是非题 ×× × √ × √ × √ 二．单选题 B A B B B A C C 三 求下列函数的极值 1. -47为极小值 2.20510为极大值 3. 1ee 为极大值 4. 无极值 四 极大值.,3五 求函数的最大值与最小值 1.最大值为80,最小值为-5 2. 最大值为5/4, 最小值为65- 六. 1x =七 . 宽为5米, 长为10米 八 33,222V V r h ππ== 1:1 §6 函数图形的描绘一 是非题 ×√ × √ 二 选择题 A D C§7 曲率一 是非题 ×√ × 二 单选题 B B 三 12,2K ρ==四 023s i n (2)K a t =第四章 不 定 积 分 § 4-1 不定积分的概念与性质一．填空题1．原函数 不定积分 _ 2． 积分曲线 3．211x-4．74+-=x y 5． c x x x +--cos tan 三．是非判断题 √ × × √三．单项选择题 B B C C B A 四．计算题1. 258333363258x x x C -++ 2.2333ln(9)x xe C e + 3. 4cos cot x x C -++ 4.1(tan )2x x C ++5. 8()334278ln 3ln 3x xC -+ 6. 3tan 2arcsin arc x x C -+7. tan sec x x C -+ 8. 2arcsin 1x x C --+ 五、(1) 27 (2) 7.11s 六、30,()31cos ,0.x c x F x x c x ⎧+≤⎪=⎨⎪-+>⎩§4-2 换元积分法一、填空题1.a 1 2. 713. 214. 1015. 21-6. 91-7. 218. 2-9. c e x +--2241 10. c x+-)13sin(311. 5112. 51-13. c t ++-)cos(1ϕωω15． c x+1a r c s i n 16.c b ax F a++)(1二．是非判断题 × √ √ √ × ×三．单项选择题 B C B C A C C C四、计算题1． 2311(23)124x C -+ 2 . 21(ln )2x C +3.4. 2cotx C -+5. 21x e C -+-+6.7.ln(1)x x e C -++8.1sin 3arctan 33x C -+ 9.1(ln sin )ln ln sin ln sin d x x C x =+⎰10.2222111sin arctan(sin )21(sin )2d x x C x =++⎰ 11.12.13.14.15.16.17.18. ()2ln11xe x C +--+五、2() 1.f x x =+六、2sin 2()().1sin 414xf x F x x x '==-+§4-3 分部积分法一．单项选择题A A D DB A B二．计算题1、2、2sin 2cos 2sin x x x x C +-+3、4、2111cot 2sin 2x x C x --+ 5、6、22(arcsin )21arcsin 2x x x x x C +--+7、8、(cosln sinln )2x x x C ++9、10、43111sec tan tan 4124x x x x C --+ §4-4 有理函数的积分一．单项选择题 A D BC A B C B C B 二．计算题1、2、2ln 310x x C +-+3、 13ln 12ln 2ln 322x x x C -+++-++ 4、211ln 121x C x --+++ 5、6、21ln ln 12x x C -++7、2222122ln ||arctan(21)arctan(21)84421x x x x C x x +++++-+-+ 8、 2211321ln |1|ln(1)arctan 2233x x x x C +++-+++ 9、 2tan122arctan 33x C ++. 10、ln 1tan 2x C ++ 11、 22sin 1(1)sec tan cos cos x dx x x x C x x-+=-++⎰ 12、21arctansin 2x C + 13、2111cos 3cos4cos212168x x x C --+ 14、 23333(1)313ln(11)2x x x C +-+++++. 15、4424ln(1)x x x C -+++.16、 111l n ||2a r c t a n 111x xx C x x x --+-+++-++. 第五章 定 积 分§5-1 定积分的概念与性质 一、填空题1． dx x ⎰12． 0 ， 0 。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:•如果事件A, B互斥, 那么•棱柱的体积公式V = Sh，其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高.•如果事件A, B相互独立, 那么•球的体积公式其中R表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, B = {x∈R| x≤1}, 则(A) (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n的值为(A) 7 (B) 6(C) 5 (D) 4(4) 设 , 则“ ”是“ ”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则(A) (B) 1(C) 2 (D)(6) 函数在区间上的最小值是(A) (B)(C) (D) 0(7) 已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间上单调递增. 若实数a满足 , 则a的取值范围是(A) (B)(C) (D)(8) 设函数 . 若实数a, b满足 , 则(A) (B)(C) (D)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 , 则正方体的棱长为.(11) 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为.(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若 , 则AB的长为.(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为.(14) 设a + b = 2, b>0, 则的最小值为.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:产品编号 A1 A2 A3 A4 A5质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)产品编号 A6 A7 A8 A9 A10质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取2件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B为“在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率. (16) (本小题满分13分)在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知 , a = 3, .(Ⅰ) 求b的值;(Ⅱ) 求的值.(17) (本小题满分13分)如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.(18) (本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左,右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 , 求k的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为的等比数列的前n项和为 , 且成等差数列.(Ⅰ) 求数列的通项公式;(Ⅱ) 证明 .(20) (本小题满分14分)设 , 已知函数(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且证明 .。

东华大学几何与多元微积分A（下）复习题几何与多元微积分Ａ（下）复习题07级一、填空题（每小题4分，共28分）：1、设函数()y x z z ,=由方程z y x z xy ++=2所确定，则=??yz 。

2、函数1286422+-+-+=y x y xy x z 的驻点是。

3、根据二重积分的几何意义=--??Dy x y x d d 122 ，其中1:22≤+yx D 。

4、()[]=+++=≤≤-≤+11123222d 2e1ln e z y x yzV y xxI 。

5、柱面∑以xoy 平面上的线段L 为准线，母线平行于oz 轴，则∑介于平面0=z 及曲面221y x z ++=之间的部分的面积可用曲线积分表示为。

6、设()x f 有连续导数，L 是单连通域上任意简单闭曲线，且()[]0d d e2=+?y x f x x Ly。

则()=x f 。

7、设∑是xoy 面上的闭区域??≤≤≤≤1010y x 的上侧，则()=++??∑z y z y x d d 。

二、试解下列各题（每小题7分，共28分）：1、求曲面043333=-+-+xyz z y x 在点()1,2,1-处的切平面和法线方程。

2、计算二重积分()y x yDd d sin 2，其中D 是由直线1,0==y x 及x y =所围成的闭区域。

3、利用球面坐标计算积分()Ω++Vzy x d 222，Ω为球体()11222≤-++z y x 。

4、计算积分ay y yx x I C-+=d d ，其中C 是摆线()()t a y t t a x cos 1,sin -=-=自点6 π=t 到点3π=t 的一段，a 为正的常数。

三、（10分）求()2432,22+-+=x y x y x f 在圆域(){} 16,22≤+=y xy x D 上的最大值和最小值。

四、（10分）设圆形薄片2x 22R y ≤+的面密度函数为()221,yx y x ++=ρ，试求薄片质量。

东华大学数值分析试题（上机部分）A 卷2008年12月 时间：60分钟班级 学号 机号 姓名 得分 注意：要求写出M 函数（如果需要）、MATLAB 命令和计算结果。

1. 求下列方程组在0<α, β<1中的解⎩⎨⎧-=+=βαββααsin 2.0cos 7.0cos 2.0sin 7.0 命令fun=inline('[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))]','x'); [x,f,h]=fsolve(fun,[0.5 0.5]) 结果α=0.5265，β=0.50792命令>> fun=inline('c(1)+c(2)*x.^2','c','x'); >> x=[1.1 1.3 1.4 1.6 1.8]; >> y=[26 22 23 24 25];>> c=lsqcurvefit(fun,[0 0],x,y) 结果 c =23.7256 0.12873．求解下列微分方程组2(0)2013(0)1x x yx t y x yy '=-=⎧<<⎨'=+=⎩(结果只要求写出t =1时的解) 命令>> fun=inline('[y(1)-2*y(2);3*y(1)+y(2)]','t','y'); >> [t,y]=ode45(fun,[0 1], [2 1]) 结果x(1)=-5.6020, y(1)=2.15634．用定步长Gauss 积分法(课本123页)计算积分31e ln(1)x x dx -+⎰的近似值（等分数取4，每段取2个Gauss 点）。

命令fun=inline('exp(-x).*log(1+x)','x'); nagsint(fun,1,3,4,2) 结果 0.30865．矩阵改进平方根分解(课本25页)的计算公式为: d 1=a 11, 对i =2, 3, ⋯, n ,iki k ik ii i j ij ij j k jk ik ij ij l s a d i j d s l l s a s ∑∑-=-=-=-==-=1111,1,,2,1 ,/ ,试编写矩阵改进平方根分解的程序，并求矩阵1111551514A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的改进平方根分解。

第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C xy C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ） 二、选择题答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ） 二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 t t e C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4))2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y ++=-2211，2、x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x xx y cos 2sin 21+= 二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=--- 四、 2527521++-=x x e e y . 第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√ 二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln21xx+- 4. 绝对收敛三、选择题 答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21(11)(1)x x =-<<-. (2) ()S x 11ln (11)21x x x+=-<<- . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题 1. 答：1.11ln 2(1)2nn nn x n ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2. 1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n n nππ 三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 210sh (21)!n n x x n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin (1)(2)!n n n n x x n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞). 五、∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311.§12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0. 三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π). 五、正弦级数为nx n n nx f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π), 级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π).§12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n n n n xn n πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2). 余弦级数:221416(1)cos 32n n n xn ππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。