初中数学复习整式的乘除

整式乘除运算中的常见错误《整式的乘除》是初中数学教学的重点和难点之一，不少学生在运算时会出现这样或那样的错误，现将整式乘除运算中常见的错误归纳分析如下．一、性质、法则混淆的错误例1 计算：（－x）3·（－x）5．错解（－x）3·（－x）5．＝．剖析本题应根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的性质进行计算，而错解犯了变指数相加为指数相乘的错误．例2 计算：(1)y10＋y10；(2)b10·b10．错解　(1) y10＋y10＝y20；(2)b10·b10＝2b10．剖析本题中的(1)是加法运算，应按合并同类项的法则进行，只把系数相加，字母和字母的指数不变；(2)是同底数幂的乘法，应是底数不变，指数相加．错解在把合并同类项与同底数幂相乘混淆了．正解　(1) y10＋y10＝（1＋1）y10＝2 y10．(2) b10b10＝b10＋10＝b20．例3　计算：．剖析幂的乘方性质为“幂的乘方，底数不变，指数相乘”．而错解中把指数相加了．例4　计算：．剖析本题错在把指数进行乘方运算了，正确的解法应按幂的运算性质“底数不变，指数相乘”进行计算．例5 下列运算中，正确的是( )(A)x3·x5＝x15(B)(y5)6＝y30(C)a5＋a4＝a9(D)a7÷a8＝错解选A或C或D．剖析出现上述错误的原因是对整式乘法运算及整式加减运算的运算法则把握不准，事实上，A中属于同底数幂的乘法，应是底数不变，指数相加而不是相乘；C中两个单项式不是同类项，不能再进行合并计算；D中应用同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减来得到结果，避免上述错误只有准确把握整式的运算法才行．正解选B．二、公式运用的错误例6 下列计算中正确的有( )①(a＋b)2＝a2＋b2；②（x－4）2＝x2－4x＋16；③（5a－1)（－5a－1)＝25a2－1；④（－a－b)2＝a2＋2ab＋b2(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个错解B或C或D．剖析本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的灵活应用．①(a＋b)2应等于a2＋2ab＋b2，而不是a2＋b2．中间一项是两数乘积的2倍，不能漏掉．②（x－4)2应等于x2－8x＋16，而不是x2－4x＋16．中间一项是两数乘积的2倍，不是乘积的一倍．③（5a－1)（－5a－1)应等于1－25a2，而不是25a2－1．－1在两括号中符号没变，相当于公式中的第一个数，5a在两括号中符号改变了，相当于公式中的第二个数，先改写成（－1＋5a)（－1－5a)，就不容易做错了．正解A．例7 计算：(2x＋y)(2x－y)．错解(2x＋y)（2x－y)＝2x2－y2．剖析式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数．应是2x与y这两项的平方差．正解（2x＋y)（2x－y)＝(2x)2－y2＝4x2－y2．三、忽视符号的错误例8 计算：（－2a2b2)2．错解（－2a2b2)2＝－22a4b4＝－4a4b4．剖析错解中忽略了积中数字因数的符号，这类错误比较常见．（－2)2，结果应是正数．正解（－2a2b2)2＝(－2)2(a2)2(b2)2＝4a4b4．例9 计算：(－2xy)2·（－x2)3．错解(－2xy)2·（－x2)3＝4x2y2·x6＝4x8y2．剖析本题错在符号上．（－x2)3－（－x2)·（－x2)·（－x2)＝－x6，（－x2)3所表示的意义是有三个（－x2)相乘，而积的符号又有负因数的个数来决定，负因数的个数有奇数个时积为负．（－x2)3与[（－x)2]3＝x6不同，解题时应注意符号．正解(－2xy)2．（－x2)3＝4x2y2．（－x6)＝－4x8y2．例10 计算：(2x－3y)(－3x－y)．错解(2x－3y)（－3x－y)＝－6x2－2xy－9xy－3y2＝－6x2－11xy－3y2．剖析本题错在解题时符号出现错误．进行多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都包括它前面的符号，计算过程中如(－3y)乘以（－y)应该是3y2，错解中把项前面的符号弄错了，因此在计算类似题时一定要注意确定乘积中各项的符号．正解(2x－3y)（－3x－y)＝－6x2－2xy＋9xy＋3y2＝－6x2＋7xy＋3y2．四、漏乘的问题例11 计算：3a（2a2－y＋1)．错解3a（2a2－a＋1)＝3a·2a2－3ay＝6a3－3ay．剖析错在3a与1没有相乘，即漏乘了最后的常数项．正解3a(2a2－y＋1)＝6a3－3ay＋3a．例12　计算(2x－3y)(3x－4y)．错解(2x－3y)(3x－4y)＝6x2＋12y2．剖析错解的原因在于没有掌握多项式的乘法法则，实际上两项的多项式乘以两项的多项式时，应得四项，然后再合并同类项．正解(2x－3y)(3x－4y)＝6x2－8xy－9xy＋12y2＝6x2－17xy＋12y2．例13 计算：3x2y·．错解3x2y·＝－x5y2．剖析根据单项式乘以单项式的运算法则，只在一个单项式里的因式，应连同他的指数作为积的一个因式．而错解在积中漏掉了第二个单项式中的因式z．正解　3x2y·＝－xyy2x．例14 计算：(3x－2y) (4x＋7y)．剖析两个多项式相乘，应根据多项式的乘法法则进行．在合并同类项之前，积的项数等于两个相乘多项式的项数的积，利用这一点可以检查积中是否有漏乘的项，错解中漏掉两项．。

初中数学整式的乘除与分解因式知识点
整式的乘法与除法是初中数学中的重点内容之一。

下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法要注意项的乘法和系数的乘法。

将每一项的系数分别相乘，并将指数分别相加，得到乘积的系数和指数。

例如：(3x+2)(4x-1)
首先扩展，得到12x^2 + 5x - 2。

2. 整式的除法：整式的除法是通过“乘除消数”的方法来完成的。

将除数乘以一个适
当的式子，使得结果与被除式的某个部分相等或尽量接近。

然后将乘积减去被除式，
重复之前的步骤，直到无法再减少为止。

例如：(2x^2 + 5x + 3) ÷ (x + 1)
首先将被除式分解为(x + 1)(2x + 3)，然后进行乘法，得到2x^2 + 5x + 3。

然后将乘积减去被除式，得到0。

所以结果为2x + 3。

3. 因式的分解：整式的因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积的形式。

例如：6x^2 + 11x + 3的因式分解为(2x + 1)(3x + 3)。

这些知识点在初中数学中是比较基础的内容，掌握了整式的乘除与分解因式的方法，
将有助于解决更复杂的数学问题。

初二整式的乘除练习题及过程在初中数学学习中，理解和掌握整式的乘除是非常重要的一环。

本文将为大家提供一些初二整式的乘除练习题，并详细解答每道题的解题过程。

练习题1：计算以下整式的乘法和除法：(2x - 3)(3x + 4)解答：首先，我们可以使用分配律将乘法进行展开：(2x - 3)(3x + 4) = 2x * 3x + 2x * 4 + (-3) * 3x + (-3) * 4= 6x^2 + 8x - 9x - 12= 6x^2 - x - 12接下来，我们可以使用长除法进行除法运算：______________________3x + 4 | 6x^2 - x - 126x^2 + 8x_____________-9x - 12-9x - 12_____________所以，(2x - 3)(3x + 4)的乘积为6x^2 - x - 12，商为3x + 4。

练习题2：求解方程：(2x^2 - 5)(x + 3) = 0解答：根据乘积为零的性质，我们可以得到两个因式的积等于零，即：2x^2 - 5 = 0 或者 x + 3 = 0首先，解第一个方程：2x^2 - 5 = 02x^2 = 5x^2 = 5/2x = ±√(5/2)然后，解第二个方程：x + 3 = 0x = -3所以，方程(2x^2 - 5)(x + 3) = 0的解为x = -3, x = √(5/2), x = -√(5/2)。

练习题3：计算以下整式的乘法和除法：(4x^3 - 2x^2 + 3x - 1)(2x^2 + x + 2)解答：首先，使用分配律将乘法进行展开：(4x^3 - 2x^2 + 3x - 1)(2x^2 + x + 2) = 4x^3 * 2x^2 + 4x^3 * x + 4x^3 * 2 + (-2x^2) * 2x^2 + (-2x^2) * x + (-2x^2) * 2 + 3x * 2x^2 + 3x * x + 3x * 2 + (-1) * 2x^2 + (-1) * x + (-1) * 2= 8x^5 + 4x^4 + 8x^3 - 4x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 6x^3 + 3x^2 + 6x - 2x^2 - x - 2= 8x^5 + 2x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5x - 2接下来，我们不再计算除法的过程，因为给定的题目只要求乘法和除法的结果，没有要求进行除法运算。

第十四章 整式的乘除与分解因式
一、知识框架:
二、知识概念：
1.基本运算： ⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()n
n n ab a b =
2.整式的乘法：
⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.
⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-
⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+
4.整式的除法：
⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=
⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.
⑷多项式÷多项式：用其中一个多项式除以另一个多项式再把所得的商相加
5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.
6.因式分解方法：
⑴提公因式法：找出最大公因式.
⑵公式法：
②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± 整式乘法 整式除法 因式分解
乘法法则
③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++。

七年级整式乘除知识点整式乘除是中学数学中的基础知识，在初中数学学习中占据重要地位。

在学习整式乘除时，我们需要掌握以下几个知识点。

一、多项式和整式1、定义多项式是由数和字母的有限次幂及它们的积和常数所组成的代数式，例如：6x^2+3x-5。

整式是由整数和字母的有限次幂及它们的积所组成的代数式，例如：6x^2+3x-5和2xy-3。

2、多项式的拆分分解一个多项式可以帮助我们进行整式的乘除。

将一个多项式分解成乘积形式可以帮助我们更好地进行因式分解。

例如：6x^2+3x-5可以拆分成(2x+5)(3x-1)的形式。

二、整式乘法1、整式相乘的基本法则在实际计算中，整式的乘法可以通过分配律和交换律来进行简化。

例如：(2x+3)(3x-1)，可以先用分配律将式子展开，得到6x^2+7x-3的结果。

2、含有平方项的整式乘法含有平方项的整式乘法可以使用公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2进行简化。

例如：(x+2)^2，使用公式可以得到x^2+4x+4的结果。

三、整式除法1、整式除法的定义整式除法是指用一个整式除以另一个整式，得到商式和余式的过程。

例如：将3x^3+4x^2+2x-1除以x+1。

2、整式除法的步骤（1）将被除式按照降幂排列，并补齐无次数项，使它们与除式次数相同。

（2）将除式的第一项和被除式的最高次数项相比较，得到商式的第一项，将商式的第一项与除式相乘，并将结果放在一个较高的位置。

（3）将乘积所得的结果减去被除式第一项与商式第一项的乘积。

（4）将新得到的差式按照降幂排列，并重复执行（2）和（3）步骤，直到余式的次数不超过除式的次数。

例如：将3x^3+4x^2+2x-1除以x+1，经过计算可得商式为3x^2+x+1，余式为0。

以上就是七年级整式乘除知识点的相关内容。

在学习整式乘除时，我们需要多加练习，通过不断的练习和思考，才能更好的掌握这些知识点，并在以后的数学学习中有更好的发挥。

初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。

2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。

3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。

4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。

二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。

2.用辗转相除法进行整式的除法计算。

三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。

2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。

3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。

4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。

5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。

根据这一定理可以找到多项式的因式。

四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。

2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。

3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。

4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。

5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。

【巩固练习】一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 2．（2016•恩施州）下列计算正确的是（ ）A ．2a 3+3a 3=5a 6B ．（x 5）3=x 8C ．﹣2m （m ﹣3）=﹣2m 2﹣6mD ．（﹣3a ﹣2）（﹣3a +2）=9a 2﹣43.若是完全平方式，则的值是（ ）A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—104. 将＋分解因式，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5.（2015•本溪）下列运算正确的是（ ）A ．5m+2m=7m 2B ．﹣2m 2•m 3=2m 5C ．（﹣a 2b ）3=﹣a 6b 3D ．（b+2a ）（2a ﹣b ）=b 2﹣4a 26. 若是的因式，则为（ ）A.－15B.－2C.8D.27. 因式分解的结果是（ ）A ．B ．C ．D ． 8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二.填空题9．化简＝______． 10．（2016春•普宁市期末）计算：（﹣18a 2b +10b 2）÷（﹣2b ）= ． 11．若，化简＝________．12. 若，＝__________.13.把分解因式后是___________.()()22422m n m n m n -=+-()()2111m m m +-=-()23434m m m m --=--()224529m m m --=--252++kx x k 2m ()2a -()2m a -()2a -()2m m -()()21m a m -+()()21m a m --()()21m a m --)5)(3(+-x x q px x ++2p 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-2)5(b a -2)5(b a +)23)(23(b a b a +-2)25(b a -22a b --2224x y -224x y -()()22m n ---22144121a b -+22122m n -+()2m n a a ⋅221x y -=()()20122012x y x y +-2330x x +-=32266x x x +-()()2011201222-+-14.的值是________．15.（2015春•福田区期末）若x ﹣y=8，xy=10，则x 2+y 2= ．16.下列运算中，结果正确的是___________①，②， ③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ ，⑨ 三.解答题 17.分解因式： （1）； （2）.18. 解不等式，并求出符合条件的最小整数解． 19．（2015春•濉溪县期末）若a 2+a=0，求2a 2+2a+2015的值．20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.2. 【答案】D ；【解析】A 、原式=5a 3，错误；B 、原式=x 15，错误；C 、原式=﹣2m 2+6m ，错误；D 、原式=9a 2﹣4，正确，故选D.3. 【答案】D ；【解析】 4. 【答案】C ；【解析】＋＝＝．5. 【答案】C ；【解析】解：A 、5m+2m=（5+2）m=7m ，故A 错误；B 、﹣2m 2•m 3=﹣2m 5，故B 错误；C 、（﹣a 2b ）3=﹣a 6b 3，故C 正确；D 、（b+2a ）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）=4a 2﹣b 2，故D 错误．故选：C ．6. 【答案】D ；【解析】.7. 【答案】A ()()()()241111x x x x -++-+422a a a =+523)(a a =2a a a =⋅()()33x y y x -=-()x a b x a b --=-+()x a b x b a +-=--()22x x -=-()()33x x -=--()()22x y y x -=-234()12()x x y x y ---2292416a ab b -+()()()22232336x x x x +-+->+()2221055x x x ±+=±2m ()2a -()2m a -2m ()2a -()2m a --()()21m a m --2(3)(5)28x x x x -+=+-【解析】＝. 8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9. 【答案】.10.【答案】9a 2﹣5b ；【解析】（﹣18a 2b +10b 2）÷（﹣2b ）=﹣18a 2b ÷（﹣2b ）+（10b 2）÷（﹣2b ）=9a 2+（﹣5b ）=9a 2﹣5b ．11.【答案】1；【解析】. 12.【答案】0；【解析】.13.【答案】；【解析】.14.【答案】－2；【解析】 .15.【答案】84；【解析】解：∵x﹣y=8，∴（x ﹣y ）2=64，x 2﹣2xy+y 2=64．∵xy=10，∴x 2+y 2=64+20=84．故答案为：84．16.【答案】③⑤⑥⑨；【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.三.解答题17.【解析】解：（1）＝；（2）.18.【解析】 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦()22m n m n a a a +⋅=()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y +-=+-=-==⎡⎤⎣⎦()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=20112()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=()()()()()()()242241111111x x x x x x x -++-+=-+-+44112x x =---=-234()12()x x y x y ---224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--22292416(34)a ab b a b -+=-解：符合条件的最小整数解为0，所以.19.【解析】解：本题考查整体代入的思想.∵a 2+a=0，∴原式=2（a 2+a ）+2015=2015．20．【解析】解：设为原来的价格(1) 由题意得：（2）由题意得：（3）由题意得：. 所以前两种调价方案一样.()()()22232336x x x x +-+->+2224129636139913x x x x x x x ++-++>+>->-0x =a ()()110%110%0.99a a +-=()()110%110%0.99a a -+=()()120%120% 1.20.80.96a a a a +-=⨯=。