初中数学图形变换专题知识点

初中数学图形变换知识点整理

初中数学中，图形变换是一个重要的知识点，它包括了平移、旋转、对称和放缩四个部分。这些变换不仅在初中数学中有着广泛的应用，也是进一步学习几何知识和应用问题的基础。下面将对这些知识点进行整理和阐述。

一、平移

平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动，平移后的图形与原图形相似，只是位置发生了改变。在平移中，有以下几个关键概念需要注意：

1. 平移的向量：平移是向量的运算，表示为→AB，表示从点A到点B的位移，也可以表示成矢量形式(AB)。

2. 平移的性质：平移具有保持图形大小、形状和方向不变的性质。即平移后的图形与原图形全等。

3. 平移的规律：平移的规律可以总结为“横坐标加上有向线段的横坐标，纵坐标加上有向线段的纵坐标”。即新图形的坐标为(x+a，y+b)，其中a和b为向量→AB的横纵坐标。

二、旋转

旋转是指将一个图形围绕一个中心点旋转一定的角度，旋转后的图形与原图形形状相似，但方向可能有所改变。在旋转中，要注意以下几个关键概念：

1. 旋转中心：旋转中心是图形旋转的轴心点，围绕该点进行旋转。旋转中心可以是图像的一个顶点、中点或者其他位置。

2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度，可以是正数也可以是负数。顺时针旋转角度为负，逆时针旋转角度为正。 3. 旋转规律：旋转后的图形的顶点坐标可以通过坐标公式得出。对于顺时针旋转，坐标公式为：新坐标点的横坐标为原坐标点的纵坐标，新坐标点的纵坐标为原坐标点的横坐标的相反数。对于逆时针旋转，公式则相反。

三、对称

对称是指图形通过某一条直线、点或平面变换后重合，这条直线、点或平面称为对称轴。对称中需要注意以下几个关键概念：

1. 对称轴：对称轴是图形对称的参考线。对称轴可以是一条直线、一个点或平面。

2. 对称性质：对称是指图形经过对称变换后，与原图形完全重合，即图形左右对称、上下对称或中心对称。

3. 对称变换规律：对称变换后的图形的坐标可以通过规律得出。对于以y轴为对称轴的图形，新图形的坐标点横坐标为原坐标点横坐标的相反数，纵坐标不变。对于以x轴为对称轴的图形，新图形的坐标点纵坐标为原坐标点纵坐标的相反数，横坐标不变。

图形与图形的变换

1．图形的初步认识

①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根

据三视图描述基本几何体或实物原型．

②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．

③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．

④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．

⑤了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相

等、对顶角相等．

⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线．

⑦了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅

有一条直线垂直于已知直线．

⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质．

⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直

线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．

⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2．轴对称

①认识轴对称．

②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．

③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．

④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．

⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关

性质．

⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．3．平移和旋转

①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；

掌握选用平移进行图案设计．

②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成

的角彼此相等的性质．

③了解平行四边形、圆是中心对称图形．

④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．

⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．

⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．

⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说

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(每日一练)人教版初中数学图形的变化平移知识点总结(超全)

单选题

1、如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条1m宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的

上边线向下平移1m就是它的下边线，那么改造后小路的面积（ ）

A．变大了B．变小了C．没变D．无法确定

答案：C

解析：

根据平移的性质即可判断出小路的面积变化．

由平移的性质可得笔直小路和弯曲小路的面积相等，

故选：C

小提示：

本题考查了生活中的平移现象，正确理解题意，灵活运用平移的性质是解决问题的关键．

2、下列图形中，能将其中一个三角形平移得到另一个三角形的是（ ）

A．B．C．D．

答案：

A 2

解析：

利用平移的性质，结合轴对称、旋转变换和位似图形的定义判断得出即可．

A、可以通过平移得到，故此选项正确；

B、可以通过旋转得到，故此选项错误；

C、是位似图形，故此选项错误；

D、可以通过轴对称得到，故此选项错误；

故选A．

小提示：

本题考查了平移的性质以及轴对称、旋转变换和位似图形，正确把握定义是解题的关键．

3、如图所示，直线𝑦=𝑥

2与双曲线𝑦=𝑘

𝑥(

𝑘>0,𝑥>0)

交于点A

，将直线𝑦=𝑥

2向上平移4个单位长度后，与y

轴交于点C

，与双曲线𝑦=𝑘

𝑥(

𝑘>0,𝑥>0)

交干点B

，若𝑂𝐴=3𝐵𝐶，则k

的值为（ ）

A．3B．6C．1D．9

2

答案：D

解析：

方法1，过点A引𝐴𝐴

1⊥𝑥轴于点𝐴

1，过点B引 𝐵𝐵

1⊥𝑥轴于点𝐵

1，过点C引𝐶𝐶

1⊥𝐵𝐵

1于点 𝐶

1，易证Rt△

𝐴𝑂𝐴

1~Rt△𝐵𝐶𝐶

1，所以 𝑂𝐴

1=3𝐶𝐶

1=3𝑂𝐵

1，得A(3𝑏,3𝑏

2)，B(𝑏,𝑏

2+4)，再代入𝑘=𝑥

𝐴𝑦

𝐴=𝑥

𝐵𝑦

𝐵即可得出答

案．

3

方法2，设A

(𝑥,𝑘

𝑥)，代入𝑦=𝑥

2得𝑥=

√

2𝑘，所以A

(√2𝑘,√2𝑘

中考图形变换知识点总结

[轴对称图形]

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

[轴对称]

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．

[图形轴对称的性质]

如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

[轴对称与轴对称图形的区别]

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

[线段的垂直平分线]

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

[轴对称变换]

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．

[轴对称变换的性质]

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

[作一个图形关于某条直线的轴对称图形]

（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．