江苏省宿迁市高中数学 第1章 算法初步 1.4 算法案例(2

1.4 算法案例（1）教学目标：1．理解不定方程的算法中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行2．理解不定方程的算法的方法与步骤．3．能根据算法语句与伪代码语句的知识设计完整的流程图并写出伪代码语句算法程序．4．使学生初步掌握不定方程的算法设计和列举法的基本思想．教学重点：解不定方程的基本思想及其流程图的设计．教学难点：解不定方程的流程图设计．教学方法：1．通过讲解中国古代的一个有趣的故事的方法引入新知识，可以使学生容易接受，易于激发学生的求知欲．2．教学中利用探索性教学法，可以加深学生对不定方程的算法的理解，有利于培养学生的理性思维和实践能力．3．通过本节课的学习，使学生进一步体会观察、比较、归纳、分析等一般科学方法的运用．教学过程：一、问题情境情境：韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么方法，不要逐个报数，就能知道场上的士兵的人数．韩信先令士兵排成3列纵队，结果有2个人多余；接着立即下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这次又剩下2人无法成整行．在场的人都哈哈大笑，以为韩信不能清点出准确的人数，不料笑声刚落，韩信高声报告共有士兵2333人．众人听了一愣，不知道韩信用什么方法这么快就能得出正确的结果的．同学们，你知道吗？二、学生活动1．同学们想一想，韩信是如何得出正确的人数的？2．类似的问题最早出现在我国的《算经十书》之一的《孙子算经》中原文是：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？答曰：「二十三」”3．孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之後，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理．中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位；4．该问题的完整的表述，后来经过宋朝数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”．在中国还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知．它的意思是说：将某数（正整数）除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止． 所得结果就是某数的最小正整数值．用上面的歌诀来算《孙子算经》中的问题，便得到算式：2×70＋3×21＋2×15＝233，233－105×2＝23，即所求物品最少是23件．三、建构教学“孙子问题”相当于求关于,,x y z 的不定方程组的325372m x m y m z =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩的正整数解；设所求的数为m ，根据题意m 应该同时满足下列三个条件：①m 被3除后余2，即mod(,3)2m =；②m 被5除后余3，即mod(,5)3m =；③m 被7除后余2，即mod(,7)2m =；用自然语言可以将算法写为：1S 1m ←2S 1m m ←+3S 如果mod(,3)2m =且mod(,5)3m =且mod(,7)2m =则执行4S ,否则执行2S ; 4S 输出m伪代码：1m ←DO1m m ←+Loop Until mod(,3)2m =且mod(,5)3m =且mod(,7)2m =Print m流程图为：四、数学运用例题有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组三个连续的自然数．伪代码：m← 2While Mod (m,15)=0or Mod (m+1,17)=0or Mod (m+2,19)=0m←m＋1End WhilePrint m, m+1, m+2思考：以下伪代码是否可行？k←1a←15kWhile Mod(a＋1,17)≠0 orMod(a＋2,19)≠0k←k＋1a←15kEnd WhilePrint a，a＋1，a＋2五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．中国数学在世界数学史上的巨大贡献；2．实际问题的分析和解决问题过程；3．算法的表示及语句的运用．。

江苏高级中学高二年级上学期数学教材目录第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.1函数的概念和图象函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质映射的概念2.2指数函数分数指数幂指数函数2.3对数函数对数对数函数2.4幂函数2.5函数与方程二次函数与一元二次方程用二分法求方程的近似解2.6函数模型及其应用数学2第3章立体几何初步3.1空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法空间图形的展开图柱、锥、台、球的体积3.2点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系第4章平面解析几何初步4.1直线与方程直线的斜率直线的方程两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离4.2圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离第5章算法初步5.1算法的意义5.2流程图5.3基本算法语句5.4算法案例第6章统计6.1抽样方法6.2总体分布的估计6.3总体特征数的估计6.4线性回归方程第7章概率7.1随机事件及其概率7.2古典概型7.3几何概型7.4互斥事件及其发生的概率数学4第8章三角函数8.1任意角、弧度8.2任意角的三角函数8.3三角函数的图象和性质第9章平面向量9.1向量的概念及表示9.2向量的线性运算9.3向量的坐标表示9.4向量的数量积9.5向量的应用第10章三角恒等变换10.1两角和与差的三角函数10.2二倍角的三角函数10.3几个三角恒等式高二数学上数学5第11章解三角形11．1正弦定理11．2余弦定理11．3正弦定理、余弦定理的应用第12章数列12．1等差数列12．2等比数列12．3数列的进一步认识第13章不等式13．1不等关系13．2一元二次不等式13．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题13．4基本不等式文科数学选修系列11-1（上）第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程2．1圆锥曲线2．2椭圆2．3双曲线2．4抛物线2．5圆锥曲线与方程第3章导数及其应用3．1导数的概念3．2导数的运算3．3导数在研究函数中的应用3．4导数在实际生活中的应用1-2（下）第1章统计案例1．1假设检验1．2独立性检验1．3线性回归分析1．4聚类分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．2直接证明与间接证明2．3公理化思想第3章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义第4章框图4．1流程图5．2结构图理科数学选修系列22-1（上）第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2简单的逻辑连接词1．3全称量词与存在量词第2章圆锥曲线与方程第3章空间向量与立体几何2-2（上）第1章导数及其应用第2章推理与证明第3章数系的扩充与复数的引入2-3（下）第1章计数原理第2章概率第3章统计案例。

高中数学《算法初步》教案新人教A版必修一、教学目标1. 理解算法的基本概念，了解算法在数学和日常生活中的应用。

2. 掌握算法的基本步骤，能够清晰地描述和分析算法的过程。

3. 学会使用循环结构编写算法，熟练掌握基本的编程技巧。

4. 通过解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

二、教学内容1. 算法的基本概念：算法、输入、输出、步骤2. 算法的基本步骤：排序、查找、乘法口诀、求解一元二次方程3. 循环结构：for循环、while循环、do-while循环4. 实际问题求解：编写算法解决生活中的实际问题，如计算器、购物清单等。

三、教学重点与难点1. 重点：算法的基本概念、基本步骤和循环结构。

2. 难点：循环结构的嵌套使用和复杂问题的算法设计。

四、教学方法与手段1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提炼出算法。

2. 使用多媒体教学手段，展示算法的过程和效果，增强学生的直观感受。

3. 引导学生通过编程实践，巩固算法知识，提高解决问题的能力。

五、教学安排1. 第一课时：介绍算法的基本概念，学习算法的输入、输出、步骤。

2. 第二课时：学习算法的基本步骤，掌握排序、查找、乘法口诀、求解一元二次方程等基本算法。

3. 第三课时：学习循环结构，掌握for循环、while循环、do-while循环的用法。

4. 第四课时：运用所学算法解决实际问题，编写算法程序。

5. 第五课时：进行课堂讨论，分享算法解决问题的经验，进行算法设计的交流和探讨。

六、教学过程1. 导入：通过引入日常生活中的算法例子，如计算购物找零、制定旅行计划等，激发学生的兴趣，引出算法的概念。

2. 新课导入：介绍算法的定义、特点和作用，引导学生了解算法在数学和科学领域中的应用。

3. 案例分析：分析排序、查找等基本算法，让学生通过具体案例理解算法的基本步骤和原理。

4. 编程实践：让学生动手编写简单的算法程序，如排序算法、查找算法等，加深对算法概念的理解。

必修一第一章集合1.1集合的含义及其表示1。

2子集、全集、补集1。

3交集、并集第二章函数2。

1函数的概念和图象2.2指数函数2.3对数函数2.4幂函数2。

5函数与方程2。

6函数模型及其应用必修二第一章立体几何初步1。

1空间几何体1。

2点、线、面之间的位置关系1。

3空间几何体的表面积和体积第二章平面解析几何初步2.1直线与方程2。

2圆与方程2.3空间直角坐标系必修三第一章算法初步1.1算法的含义1.2流程图1.3基本算法语句1。

4算法案例第二章统计2。

1抽样方法2。

2总体分布的估计2。

3总体特征数的估计2。

4线性回归方程第三章概率3.1随机事件及其概率3。

2古典概型3。

3几何概型3.4互斥事件必修四第一章三角函数1。

1任意角、弧度1。

2任意角的三角函数1.3三角函数的图象与性质第二章平面向量2.1向量的概念与表示2。

2向量的线性运算2.3向量的坐标表示2。

4向量的数量积2.5向量的应用第三章三角恒等变换3。

1两角和与差的三角函数3.2二倍角的三角函数3。

3几个三角恒等式必修五第一章解三角形1.1正弦定理1。

2余弦定理1.3正弦定理、余弦定理的应用第二章2.1数列2。

2等差数列2.3等比数列第三章3.1不等关系3.2一元二次不等式3。

3二元一次不等式组与简单线性规划3.4《基本不等式》选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1。

2充分条件与必要条件1。

3简单的逻辑联结词1。

4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2。

1椭圆2。

2双曲线2。

3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3。

2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1—2第一章统计案例1。

1回归分析的基本思想及其初步应用1。

2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2。

1合情推理与演绎推理2。

2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3。

2复数代数形式的四则运算第四章框图4.1流程图4.2结构图选修2—1第一章常用逻辑用语1。

1.1算法的含义【新知导读】1．什么是算法？试从日常生活中找3个例子，描述它们的算法.2．我们从小学到初中再到高中所学过的许多数学公式是算法吗？【范例点睛】例1．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个步骤.从下列选项中选出较好的一种算法A.第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播.B.第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播.D.第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶.思路点拨：从四个答案所给出的步骤是否合理、最少需要花费多少时间入手，进行判断.易错辨析：选择A很大程度上是受人们的通常的习惯所影响，即起床后首先应该洗脸刷牙再做其他的事情.方法点评：作为完成过程的算法来说，要讲究一个优劣之分，也即完成这个过程用时最少的是一个好算法，所以.应选C.例2．一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元.你能用天平（不用砝码）将假银元找出来吗？思路点拨：最容易想到的解决这个问题的一种方法是：把9枚银元按顺序排成一列，先称前2枚，若不平衡，则可找出假银元；若平衡，则2枚银元是真的，再依次与剩下的银元比较，就能找出假银元.这种算法最少要称1次，最多要称7次，是不是还有更好的办法，使得称量次数少一些？我们可以采用下面的方法：1．把银元分成3组，每组3枚.2．先将两组分别放在天平的两边.如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平平衡，则假银元就在未称的第3组里.3．取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边，如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元.方法点评：经分析发现，这种算法只需称量2次，这种做法要明显好于前一种做法.从以上两个问题中可以看出，同一个问题可能存在着多种算法，其中一些可能要比另一些好.在实际问题和算法理论中，找出好的算法是一项重要的工作.【课外链接】1．设计一个算法，求840与1764的最大公因数.思路点拨：该算法是在对自然数进行素因数分解的基础上设计的.解答这个问题需要按以下思路进行.首先，对两个数分别进行素因数分解：75328403⨯⨯⨯=， 2227321764⨯⨯=.其次，确定两数的公共素因数：7,3,2.接着,确定公共素因数的指数:对于公共素因数22,2是1764的因数,32是840的因数,因此22是这两个数的公因数,这样就确定了公共素因数2的指数为2.同样,可以确定出公因数3和7的指数均为1.这样,就确定了840与1764的最大公因数为847322=⨯⨯【随堂演练】1.算法是指 （ ）A ．为解决问题而编写的计算机程序 B.为解决问题而采取的方法和步骤C ．为解决问题而需要采用的计算机程序 C.为解决问题而采用的计算方法2．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ）（A ）从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达（B ）解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（C ）方程x 2-1=0有两个实根（D ）求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=３,再求3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为153．方程⎩⎨⎧=+=+1043732y x y x 的解集是_______________ 4.买一个茶杯1.5元，现要写出计算买n 个茶杯所需要的钱数的一个算法，则这个算法中必须要用到的一个表达式为_______________5．设计算法,判断97是否为素数.6．设计算法,求1356和2400的最小公倍数.7．有两个瓶子A和B，分别盛放醋和酱油，要求将它们互换（即A瓶原来盛醋，现改盛酱油；B 瓶则相反）8．设计算法,将三个数按从大到小的顺序排列.9．有13个球看上去一模一样，但其中一个质量不同（它比其他12个略重），现在有一个天平（没有砝码），要求给出一种操作方法，把这个球找出来.参考答案1.1算法的含义【新知导读】1.对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法 2.是【随堂演练】1.B 2.C 3.⎩⎨⎧==12y x 4.1.5n 5．S1 对两个数分别进行素因数分解： 1356＝22×3×113 2400=25×3×52S2 确定两数的所有素因数:2,3,5,113S3 确定素因数的指数:2的指数为5,3的指数为1,5的指数为2, 113的指数为1 S4 输出结果[1356,2400]=25×3×52×113.6. S1 引入第三个空瓶即C 瓶；S2 将A 瓶中的醋装入C 瓶中；S3 将B 瓶中的酱油装入A 瓶中；S4 将C 瓶中的醋装入B 瓶中；S5 交换结束。

1.4算法案例（3）【新知导读】1. 二分法的理论依据是什么?【范例点睛】例1：已知函数2x y =和x y 2=(1)由函数图像探究两函数图像交点的个数;(2)利用二分法求出(-1,0)上的022=-x x 的解x 的算法(误差为C )思路点拨:由函数图像可知两函数交点个数为两个。

方法点评：关于二分法，在前面1.2.3循环结构中已知详细讲解了。

【课外链接】(美索不达米亚人的开方算法)求正数a 的平方根算法如下:1.确定平方根的首次近似值:1a {a 可以任取一个正数};2.由方程11a a b =求出1b ; 3.取二者的算术平均值2112b a a +=为第二次近似值; 4.由方程22a a b =求出2b ; 5.取算术平均值2223b a a +=作为第三次近似值; …… 反复进行上述步骤,直到获取满足精确度的近似值.你能用循环结构来描述这个算法,画出相应的流程图吗?思路点拨:该算法原理为:设21•a x =表示所求的平方根,并设1a 是这个根的首次近似值.由方程11a ab =求出1b ,若a a <21,则a b >21,反之亦然.接着,再取二者的算术平均值2112b a a +=,则这个近似值更接近所求的平方根.【随堂演练】1.函数163)(-=x x f 在区间[3,5]上 ( )A.没有根B.有一根C.有两根D.有无数根2.已知)(x f 的图像是连续不断的,x 与)(x f 的对应值如下表所示:则函数()x f 一定存在根的区间有 ( )A.[1,2]和[2,3]B.[2,3]和[3,4]C.[2,3]和[4,5]D.[3,4]和[4,5]3.方程0122=+-mx x 有且仅有一根在(0,1)内,则实数m 的取值范围是_______4.若[)1,,168.03+∈=k k a a ,则整数______=k5.设计算法的程序框图，求方程01043=-+x x 在区间]2,0[内的解.（精确到0.0005）1.4算法案例（3）【新知导读】1.f(x)在区间[a,b]内连续且满足f(a)f(b)<0，那么方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个解【随堂演练】1.A2.B3.m>14.35.根据二分法的性质计算即可。