高中数学 第三章3.3.1两条直线的交点坐标基础过关训练 新人教A版必修2

§3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标一、基础过关1．两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________. 6．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．7．判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.8．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为在x 轴上截距的两倍的直线l 的方程． 二、能力提升9．若两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点位于第二象限，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－32，2 B ．(0,2) C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎣⎡⎦⎤－32，2 10．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.32B.23C ．－32D ．－2311．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．12．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．答案1．D 2．A 3.B 4．C 5．26．8x ＋16y ＋21＝07．解 (1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行． (3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合． 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x .即2x －3y ＝0.∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0. 9．A 10．D 11．(－1，－2)12．解 如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴， 故k AC ＝－k AB ＝－1，∴AC 所在直线方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －2＝－2(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，3.3.3.2两点间的距离一、基础过关1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－62．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( ) A ．5 B ．42C ．2 5D ．2103．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3B ．3＋23C ．6＋3 2D ．6＋2104．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝55． 已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是_______． 6．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________． 7．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．8．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 二、能力提升9．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫225，0 D.⎝⎛⎭⎫0，225 10．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝011．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．12．△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.求证：△ABC 为等腰三角形． 三、探究与拓展13．已知直线l 过点P (3,1)且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，求直线l 的方程．答案1．A 2．C 3．C 4．B 5.17 6.(2,10)或(－10,10)7．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25， 化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5. 当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1， 当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0. 综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0. 8．证明 如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． 设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ， 又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c2，所以|DE |＝12|AB |.即三角形的中位线长度等于底边长度的一半． 9．B 10．A 11．2 612．证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)． 设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c . 所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．13．解 设直线l 与直线l 1，l 2分别相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0， 两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5① 又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25 ② 联立①②可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x 2＝5y 1－y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0y 1－y 2＝5， 由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x ＝3或y ＝1.3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离一、基础过关1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2 D ．±2 2．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 是原点，则|OP |的最小值是 ( ) A.10B ．22 C. 6D ．2 3．到直线3x －4y －1＝0的距离为2的直线方程为( )A ．3x －4y －11＝0B ．3x －4y ＋9＝0C ．3x －4y －11＝0或3x －4y ＋9＝0D ．3x －4y ＋11＝0或3x －4y －9＝04．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 5．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________． 6．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________． 7．△ABC 的三个顶点是A (－1,4)，B (－2，－1)，C (2，3)． (1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .8．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．二、能力提升9．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋 转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17]10．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．011．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°12．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程． 三、探究与拓展13．等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 和顶点B 都在直线2x ＋3y －6＝0上，顶点A 的坐标是(1，－2)．求边AB 、AC 所在直线方程．答案1．D 2.B 3．C 4．C 5.71326 6．2x ＋y －5＝07．解 (1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－(－1)2－(－2)＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)， 即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0， 点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋(－1)2＝22，又|BC |＝(－2－2)2＋(－1－3)2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 8．解 设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)， 则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )． ∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3. 从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0. 9．C 10．B 11．①⑤12．解 因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋82. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|. 解得C ＝21或C ＝5.故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0. 13．解 已知BC 的斜率为－23，因为BC ⊥AC ，所以直线AC 的斜率为32，从而方程y ＋2＝32(x －1)，即3x －2y －7＝0，又点A (1，－2)到直线BC ：2x ＋3y －6＝0的距离为|AC |＝1013，且|AC |＝|BC |＝1013.由于点B 在直线2x ＋3y －6＝0上，可设B (a,2－23a )，且点B 到直线AC 的距离为|3a －2(2－23a )－7|32＋(－2)2＝1013，|133a －11|＝10.所以133a －11＝10或133a －11＝－10，所以a ＝6313或313，所以B ⎝⎛⎭⎫6313，－1613或B ⎝⎛⎭⎫313，2413 所以直线AB 的方程为y ＋2＝－1613＋26313－1·(x －1)或y ＋2＝2413＋2313－1(x －1)．即x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0，所以AC 所在的直线方程为3x －2y －7＝0，AB 所在的直线方程为x －5y －11＝0或5x ＋y －3＝0.。

§3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标【课时目标】 1．掌握求两条直线交点的方法．2．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．3．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．1．两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0．若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0y ＝y 0，则两直线______，交点坐标为________．2一、选择题1．直线l 1：(2－1)x ＋y ＝2与直线l 2：x ＋(2＋1)y ＝3的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．重合2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24．两条直线l 1：2x ＋3y －m ＝0与l 2：x －my ＋12＝0的交点在y 轴上，那么m 的值为( )A ．－24B ．6C ．±6D ．以上答案均不对5．已知直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，l 1∥l 2，则m 的值是( )A ．m ＝3B ．m ＝0C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝0或m ＝－16．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．32B ．23C ．－32D ．－23二、填空题7．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________．8．已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．三、解答题10．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的两倍的直线l的方程．11．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3,1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标．能力提升12．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．1．过定点(x 0，y 0)的直线系方程y －y 0＝k (x －x 0)是过定点(x 0，y 0)的直线系方程，但不含直线x ＝x 0；A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0是过定点(x 0，y 0)的一切直线方程．2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．与y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m (m ≠b )．3．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但此方程中不含l 2；一般形式是m (A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋n (A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(m 2＋n 2≠0)，是过l 1与l 2交点的所有直线方程．§3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标答案知识梳理1．相交 (x 0，y 0)2．无 1 无数作业设计1．A [化成斜截式方程，斜率相等，截距不等．]2．A [首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0．]3．B [首先联立⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0得a ＝－1．]4．C [2x ＋3y －m ＝0在y 轴上的截距为m 3，直线x －my ＋12＝0在y 轴上的截距为12m，由12m ＝m 3得m ＝±6．] 5．D [l 1∥l 2，则1·3m ＝(m －2)·m 2，解得m ＝0或m ＝－1或m ＝3．又当m ＝3时，l 1与l 2重合，故m ＝0或m ＝－1．]6．D [设直线l 与直线y ＝1的交点为A (x 1,1)，直线l 与直线x －y －7＝0的交点为B (x 2，y 2)，因为M (1，－1)为AB 的中点，所以－1＝1＋y 22即y 2＝－3，代入直线x －y －7＝0得 x 2＝4，因为点B ，M 都在直线l 上，所以k l ＝－3＋14－1＝－23．故选D ．] 7．2解析 首先解得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －2y ＋4＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2， 代入直线y ＝3x ＋b 得b ＝2．8．8x ＋16y ＋21＝09．(－1，－2)解析 直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．10．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意．(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0．据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0．令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ． ∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ解之得λ＝18，此时y ＝23x ． ∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或y ＝23x ． 11．解如图，过D ，E ，F 分别作EF ，FD ，DE 的平行线，作出这些平行线的交点，就是△ABC 的三个顶点A ，B ，C ．由已知得，直线DE 的斜率k DE ＝1＋33＋2＝45，所以k AB ＝45． 因为直线AB 过点F ，所以直线AB 的方程为y －2＝45(x ＋1)，即4x －5y ＋14＝0．① 由于直线AC 经过点E (3,1)，且平行于DF ，同理可得直线AC 的方程5x －y －14＝0．②联立①，②，解得点A 的坐标是(4,6)．同样，可以求得点B ，C 的坐标分别是(－6，－2)，(2，－4)．因此，△ABC 的三个顶点是A (4,6)，B (－6，－2)，C (2，－4)．12．解如图所示，由已知，A 应是BC 边上的高线所在直线与∠A 的角平分线所在直线的交点． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝－1， 故A (－1,0)．又∠A 的角平分线为x 轴，故k AC ＝－k AB ＝－1，(也可得B 关于y ＝0的对称点(1，－2)．∴AC 方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 的方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－(x ＋1)y －2＝－2(x －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5y ＝－6， 故C 点坐标为(5，－6)．13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎪⎨⎪⎧ b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，3．。

3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【选题明细表】1.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为( D )(A)19x-9y=0 (B)9x+19y=0(C)19x-3y=0 (D)3x+19y=0解析:法一由得则所求直线方程为y=x=-x,即3x+19y=0.法二设直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,即(1+2λ)x-(3-λ)y+4+5λ=0,又直线过点(0,0),所以(1+2λ)·0-(3-λ)·0+4+5λ=0,解得λ=-,故所求直线方程为3x+19y=0.2.(2018·广州二模)已知三条直线l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0,l3:mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为( D ) (A){-,} (B){,-}(C){-,,} (D){-,-,}解析:因为三条直线不能围成一个三角形,所以分3种情况进行讨论.(1)若l1∥l3,此时m=.(2)若l2∥l3,此时m=-.(3)若l1,l2,l3相交于一点,2x-3y+1=0与4x+3y+5=0交点是(-1,-),代入mx-y-1=0,则m=-.综上,m取-,-,.故选D.3.已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C(,a),则△ABC的形状是( C )(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)斜三角形解析:因为k AC==,k BC==-,k AC·k BC=-1,所以AC⊥BC,又|AC|==|a|.|BC|==|a|.所以△ABC为直角三角形.4.已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为( C )(A)(3,) (B)(2,)(C)(1,) (D)(1,)解析:直线l1的斜率为k1=tan 30°=,因为直线l2与直线l1垂直,所以k2=-=-,所以直线l1的方程为y=(x+2),直线l2的方程为y=-(x-2).两式联立,解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,).故选C.5.(2018·广东广州荔湾区期末)若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y= -3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是( A )(A)-6<k<-2 (B)-5<k<-3(C)k<-6 (D)k>-2解析:解方程组得x=k+6,y=k+2.因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,所以x=k+6>0,y=k+2<0,所以-6<k<-2.故选A.6.(2018·四川雅安期末)不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒通过一个定点,这个定点的坐标是.解析:直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得所以不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过一个定点(2,3).答案:(2,3)7.(2018·甘肃武威凉州区期末)已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC中,BC边上的中线长为.解析:BC中点为(-1,2),所以BC边上中线长为=. 答案:8.(2018·宁夏石嘴山第三中学高二上期末)已知△ABC的顶点坐标A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0,求顶点C的坐标,及直线BC的方程. 解:因为AC⊥BH,所以由k BH=得k AC=-2,因此AC方程为y-1=-2(x-5),化简得2x+y-11=0,与2x-y-5=0联立,可解得C坐标为(4,3),因为B在高BH上,所以设B坐标为(2y+5,y),则AB中点M的坐标为(y+5,),而M在直线2x-y-5=0上,所以2(y+5)--5=0,解得y=-3,因此B(-1,-3),所以,由两点式可得BC方程为=化简得6x-5y-9=0.9.(2018·江西师大附中高一测试)△ABC的三个顶点分别为A(0,3), B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( A )(A)(B)1+(C)1+(D)2-解析:因为S△ABC=,AC:+=1,即3x+2y-6=0.由得由题意得×a×(3-)=,得a=或a=- (舍去).10.(2017·辽宁抚顺高一期末)直线y=-x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为一边在第一象限内作等边△ABC,则点C的坐标为.解析:由题意得A(,0),B(0,1),则|AB|=2,易知AC⊥x轴,所以点C的坐标为(,2).答案:(,2)11.(2018·重庆万州区期末)若△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B, ∠C的角平分线方程分别为x=0,y=x,则BC边所在的直线方程为.解析:因为∠B,∠C的平分线分别是x=0,y=x,所以AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.则A(3,-1)关于x=0的对称点A′(-3,-1)在直线BC上,A关于y=x的对称点A″(-1,3)也在直线BC上,由两点式得,=,所求直线BC的方程为2x-y+5=0.答案:2x-y+5=012.(2018·广东台山华侨中学高二上期末)矩形ABCD的两条边AB和AD所在直线的方程分别是x-2y+4=0和2x+y-7=0,它的对角线的交点M的坐标是(-1,1),求边BC和边CD所在直线的方程.解:联立方程组得所以点A的坐标为A(2,3).因为点M(-1,1)是AC的中点,设点C的坐标为C(x0,y0),则有=-1且=1解得x0=-4,y0=-1,所以点C的坐标为(-4,-1),因为CD∥AB,BC∥AD,所以k BC=k AD=-2,k CD=k AB=,所以直线BC的方程是y-(-1)=-2[x-(-4)],即2x+y+9=0,直线CD的方程是y-(-1)=[x-(-4)],即x-2y+2=0.13.已知两点A(2,3),B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P.(1)使|PA|+|PB|最小;(2)使||PA|-|PB||最大.解:(1)可判断A,B在直线l的同侧,设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1,y1),则有解得由直线的两点式方程得直线A1B的方程为=,即y=(x-4)+1,由得直线A1B与l的交点为P(,-),由平面几何知识可知,此时|PA|+|PB|最小.(2)由直线的两点式方程求得直线AB的方程为=,即x+y-5=0.由得直线AB与l的交点为P(8,-3),此时||PA|-|PB||最大.。

§直线的交点坐标与距离公式两条直线的交点坐标【课时目标】．掌握求两条直线交点的方法．．掌握通过求方程组解的个数，判定两直线位置关系的方法．．通过本节的学习初步体会用代数方法研究几何问题的解析思想．．两条直线的交点已知两直线：＋＋＝；：＋＋＝．若两直线方程组成的方程组有唯一解，则两直线，交点坐标为．．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解交点两直线位置关系方程系数特征无解两直线交点平行＝≠有唯一解两条直线有个交点相交≠有无数个解两条直线有个交点重合＝＝一、选择题．直线：(－)＋＝与直线：＋(＋)＝的位置关系是()．平行．相交．垂直．重合．经过直线－＋＝与－＋＝的交点，且垂直于直线－＝的直线的方程是() ．＋－＝．－－＝．＋＋＝．－＋＝．直线＋＋＝＋＝和－＝相交于一点，则的值为()．．－．．－．两条直线：＋－＝与：－＋＝的交点在轴上，那么的值为()．－．．±．以上答案均不对．已知直线：＋＋＝，：(－)＋＋＝，∥，则的值是()．＝．＝．＝或＝．＝或＝－．直线与两直线＝和－－＝分别交于，两点，若线段的中点为(，－)，则直线的斜率为()．．．－．－二、填空题．若集合{(，)＋－＝且－＋＝，)＝＋}，则＝．．已知直线过直线：－－＝和：＋＋＝的交点，且平行于：＋－＝，则直线的方程是．．当取不同实数时，直线(＋)＋(－)＋＝恒过一个定点，这个定点的坐标为．三、解答题．求经过两直线＋－＝与－＋＝的交点，且在轴上的截距为轴上截距的两倍的直线的方程．。

第三章 3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3．1 两条直线的交点坐标3．3．2 两点间的距离课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.2．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2D ．不能确定解析：选B 由k AB ＝1，得b －a1＝1， ∴b －a ＝1. ∴|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝1＋1＝ 2.3．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：选A (a －1)x －y ＋2a ＋1＝0可化为－x －y ＋1＋a (x ＋2)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，x ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.4．点P (a ，b )关于直线l ：x ＋y ＋1＝0的对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．0解析：选B ∵点P (a ，b )关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P (a ，b )在直线l 上，∴a ＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.5．到A (1,3)，B (－5,1)两点的距离相等的动点P 的轨迹方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0解析：选B 解法一：设P (x ，y )， 则(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2，即3x ＋y ＋4＝0.解法二：到A 、B 两点距离相等的点P 的轨迹就是线段AB 的垂直平分线，AB 中点为M (－2,2)，k AB ＝13，∴k l ＝－3，l ：y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是 ． 解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·(－1)＝－1，a ＋22＋b ＋52＝1.解得a ＝－4，b＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)．答案：(－4，－1)7．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为 ．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直，故k ＝13， ∴直线方程为y ＋75＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x －15y －18＝0. 答案：5x －15y －18＝08．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M (－2，－4)，N (4,6)的距离相等，则点P 的坐标为 ．解析：设P 点的坐标是(a ，a ＋4)， 由题意可知|PM |＝|PN |， 即(a ＋2)2＋(a ＋4＋4)2＝(a －4)2＋(a ＋4－6)2，解得a ＝－32，故P 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，529．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：(1)l 1与l 2相交于一点P (m,1)； (2)l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)； (3)l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)把P (m,1)的坐标分别代入l 1，l 2的方程得m 2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝13，n ＝－739.(2)显然m ≠0.∵l 1∥l 2且l 1过点(3，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 8＝－2m ，3m －8＋n ＝0，解得⎩⎨⎧ m ＝4，n ＝－4或⎩⎨⎧m ＝－4，n ＝20.(3)由l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l 1的方程为8y ＋n ＝0，l 2的方程为2x －1＝0.∴－8＋n ＝0，解得n ＝8.∴m ＝0，n ＝8.而m ≠0时，直线l 1与l 2不垂直． 综上可知，m ＝0，n ＝8.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．直线l ：x ＋2y －1＝0关于点(1，－1)对称的直线l ′的方程为( ) A ．2x －y －5＝0 B ．x ＋2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C 由题意得l ′∥l ，故设l ′：x ＋2y ＋c ＝0，在l 上取点A (1,0)，则点A (1,0)关于点(1，－1)的对称点是A ′(1，－2)，所以1＋2×(－2)＋c ＝0，即c ＝3，故直线l ′的方程为x ＋2y ＋3＝0，故选C.2．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，则|AB |的最小值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：选D ∵|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋(2－x )2＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －3242＋14≥12，当且仅当x ＝324时等号成立，∴|AB |min ＝12.3．无论k 为何值，直线(k ＋2)x ＋(1－k )y －4k －5＝0都过一个定点，则该定点为( )A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(3,1)D ．(3，－1)解析：选D 直线方程可化为(2x ＋y －5)＋k (x －y －4)＝0，此直线过直线2x ＋y －5＝0和直线x －y －4＝0的交点．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.因此所求定点为(3，－1)．故选D.4．已知点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若使|P A |＋|PB |取最小值，则P 点坐标是( )A ．(1，－1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135 D ．(－2,2)解析：选C 点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，直线A ′B 的方程为y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝135，y ＝－135，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135. 5．若两直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0与x 轴围成三角形，则实数m 的取值范围是 ．解析：当直线(m ＋2)x －y －m ＝0，x ＋y ＝0及x 轴两两不平行，且不共点时，必围成三角形．当m ＝－2时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x 轴平行；当m ＝－3时，(m ＋2)x －y －m ＝0与x ＋y ＝0平行；当m ＝0时，三条直线都过原点，所以m 的取值范围为{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}．答案：{m |m ≠－3，且m ≠－2，且m ≠0}6．已知A (2,1)，B (1,2)，若直线y ＝ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是 ．解析：如图，直线y ＝ax 的斜率为a 且经过原点O ，∵直线y ＝ax 与线段AB 相交，∴实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，OA 的斜率为12，OB 的斜率为2，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，27．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 ．解析：解法一：由题意知直线l 过定点P (0，－3)， 直线2x ＋3y －6＝0与x ，y 轴的交点分别为A (3,0)，B (0,2)，如图所示，要使两直线的交点在第一象限， 则直线l 在直线AP 与BP 之间， 而k AP ＝－3－00－3＝33，∴k >33. 解法二：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33＋63k ＋2，y ＝6k －233k ＋2.由题意知x ＝33＋63k ＋2>0且y ＝6k －233k ＋2>0.由33＋63k ＋2>0可得3k ＋2>0，∴6k －23>0，解得k >33. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞8．已知△ABC 的一个顶点A (2，－4)，且∠B ，∠C 的角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC 的三边所在直线的方程．解：如图，BE ，CF 分别为∠ABC ，∠ACB 的角平分线，由角平分线的性质，知点A 关于直线BE ，CF 的对称点A ′，A ″均在直线BC 上．∵直线BE 的方程为x ＋y －2＝0， ∴A ′(6,0)．∵直线CF 的方程为x －3y －6＝0，∴A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.∴直线A ′A ″的方程是y ＝0－456－25(x －6)，即x ＋7y －6＝0，这也是BC 所在直线的方程． 由⎩⎨⎧ x ＋7y －6＝0，x ＋y －2＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，由⎩⎨⎧x ＋7y －6＝0，x －3y －6＝0，得C (6,0)， ∴AB 所在直线的方程是7x ＋y －10＝0，AC 所在直线方程是x －y －6＝0.。

人教A 版必修2第三章3.3.1《两直线的交点坐标》精选课时练习（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ） A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)2．已知直线1110a x b y ++=和直线2210a x b y ++=都过点()2,1A ,则过点()111,P a b 和点()222,P a b 的直线方程是( ) A ．210x y +-=B ．210x y ++=C ．210x y -+=D ．210x y ++=3．若三直线123:10,:0,:1l ax y l x y l x y -+=+=-=经过同一个点，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．3D ．3-4．直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若直线()1:2l y k x =-与直线2l 关于点()1,2对称，则直线2l 恒过点( ) A ．()2,0B ．()0,2 C ．()0,4D ．()4,06．直线()1:3130l x a y +++=与直线2:220l ax y ++=平行，则实数a 的值为( )． A ．3-B ．-3或2C ．2D ．不存在7．已知直线420mx y +-=与直线250x y n -+=互相垂直，垂足为()1,p ，则m n p +-等于（ ）A ．0B ．4C ．20D ．248．设直线：，：，若与平行，则的值为（ ）A ．B ．0或C ．0D ．69．已知直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，且10ax by ++=在y 轴上的截距为13，则+a b 的值为（ ） A ．7-B ．1-C ．1D ．710．过点(3,4)A 且与点(3,2)B -的距离最大的直线l 的方程为（ ） A ．3130x y --= B ．3130x y -+= C ．3130x y +-=D ．3130x y ++=11．若直线：过点，则直线与：( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．相交于点12．已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()5,1A -，()1,1B ，()2,3C ，则其形状为( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断13．已知直线()2210a x ay ++-=与直线320ax y -+=垂直，则实数a 的值是( ) A ．0B ．43-C ．0或43-D ．12-或2314．若直线l 经过点()2,1a --和()2,1a --，且与斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值为（ ） A ．23-B ．32-C ．23D ．3215．下列四个结论：①方程21y k x -=-与()21y k x -=-可表示同一直线；②直线l 过点()11,P x y ，倾斜角为90°，则其方程1x x =；③直线l 过点()11,P x y ，斜率为0，则其方程为1y y =；④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．416．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =（ ） A ．45B ．23C ．34D ．1317．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0，则m ＝( ) A ．7B ．172C ．14D ．1718．直线310ax y --=与直线2()103a x y -++=垂直，则a 的值是 A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1 D ．－13或1 19．如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行，则a 的值为（ ） A ．3-B ．6-C ．32D ．2320．已知直线1:2 10l x y +-=，2: 4 30l a x y +-=，若12l l //，则a =（ ） A ．8B ．2C ．12-D ．2-21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,21)A m m --，点()2,1B -，直线l :0ax by +=.如果对任意的m R ∈点A 到直线l 的距离均为定值，则点B 关于直线l 的对称点1B 的坐标为（ ） A ．()0,2B ．211,55⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,3D ．2,35⎛⎫ ⎪⎝⎭22．直线30x y +-=与直线10x y -+=的交点坐标是( ) A ．()2,2B ．()2,2-C ．()1,3-D ．()1,223．过点(1,0)且与直线220x y --=垂直的直线方程是 ． A ．220x y +-= B ．220x y --= C ．2210x y +-=D ．2210x y --=24．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为（ ） A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭二、填空题25．已知直线l 1：2x –y +1=0与l 2：x –2y +5=0相交于点P ，则点P 的坐标为__________，经过点P 且垂直于直线3x +4y –5=0的直线方程为__________． 26．直线(3)2=+-y k x 与直线114y x =-+的交点在第一象限，则斜率k 的取值范围是______．27．已知直线1:1l y kx =+与直线2:2l y x =-+的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是____________________.28．直线1:250l x y +-=与2:20l x y -=的交点坐标为______________________. 29．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+(,a b 为常数)过点(1,4)P ，且该曲线在点P 处的切线与直线30x y ++=垂直，则2+a b 的值是_______.30．已知直线1:(1)2l x k y k ++=-与2:280l kx y ++=平行，则k 的值是_____. 31．设集合()3,12y M x y a x ⎧⎫-==+⎨⎬-⎩⎭，集合()()(){}2,1115N x y a x a y =-+-=，且M N ⋂=∅，则实数a 的取值集合为______.32．点P (-1,3)在直线l 上的射影为点Q (1,-1)，则直线l 的方程是______.33．已知直线l ：mx ﹣y=4，若直线l 与直线x+m （m ﹣1）y=2垂直，则m 的值为 ．34． 当0<k<12时，两条直线kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 的交点在________象限． 35．数学家欧拉在1740年提出定理：三角形外心、垂心、重心依次位于同一直线上，且重心到外心距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，ABC ∆的顶点(2,0)A ，(0,4)B ，AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为___________． 36．不论k 为何实数，直线(21)(3)(11)0k x k y k --+--=通过一个定点，这个定点的坐标是______.37．直线()12230a x y --+=与直线320x y a ++=垂直，则实数a 的值为__________．38．直线:10l mx y m +--=过定点_____；过此定点倾斜角为2π的直线方程为_____．39．若直线l 经过直线21y x =+和31y x =-的交点,且平行于直线230x y +-=，则直线l 方程为______________.三、解答题40．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的角平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标． 41．已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P （1）若直线l 平行于直线3290x y --=，求直线l 的方程； （2）若直线l 垂直于直线3280x y --=，求直线l 的方程. 42．已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求边所在的直线方程。

课下能力提升(二十)[学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．下列各直线中，与直线2x －y －3＝0相交的是( ) A ．2ax －ay ＋6＝0(a ≠0) B ．y ＝2x C ．2x －y ＋5＝0 D ．2x ＋y －3＝02．(2016·佛山高一检测)若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( )A ．6B ．－24C ．±6D ．以上都不对3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝04．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程． (1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0. 题组2 两点间的距离公式5．已知A (－1,0)，B (5,6)，C (3,4)，则|AC ||CB |的值为( )A.13B.12 C ．3 D ．26．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋107．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 8．求证：等腰梯形的对角线相等． 题组3 对称问题9．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为( ) A ．3x ＋4y －5＝0 B ．3x ＋4y ＋5＝0 C ．3x －4y ＋5＝0 D ．3x －4y －5＝0 10．已知直线l ：x ＋2y －2＝0，试求： (1)点P (－2，－1)关于直线l 的对称点坐标；(2)直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．[能力提升综合练]1．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－42．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |的值为( ) A.895 B.175 C.135 D.1153．(2016·阜阳高一检测)已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)4．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________．5．若直线l: y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是________．6．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．7．求函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．答案 [学业水平达标练]题组1 两条直线交点的坐标1．解析：选D 直线2x －y －3＝0的斜率为2，D 选项中的直线的斜率为－2，故D 选项正确．2．解析：选C 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为：－12m 和－m3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6. 3．解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即： 2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴所求直线方程为y －1＝－23(x －1)，即： 2x ＋3y －5＝0.题组2 两点间的距离公式5．解析：选D 由两点间的距离公式，得|AC |＝[3－－1]2＋4－02＝42，|CB |＝3－52＋4－62＝22，故|AC ||CB |＝4222＝2.6．解析：选 C |AB |＝2＋12＋32＝32，|BC |＝2＋12＋0＝3，|AC |＝2－22＋32＝3，则△ABC 的周长为6＋3 2.7．解析：设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)，∴x 2＝2，y2＝－1，∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)，∴|AB |＝42＋22＝2 5. 答案：2 5 8．证明：已知：等腰梯形ABCD .求证： AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系． 设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －02＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋c －02＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即等腰梯形的对角线相等． 题组3 对称问题9．解析：选B 令x ＝0，解得y ＝54；令y ＝0，解得x ＝－53，故⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54和⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0是直线3x －4y ＋5＝0上两点，点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54关于x 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x ＋4y ＋5＝0.10．解：(1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点在直线l上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，x 0－22＋2×y 0－12－2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195.即p ′点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)设直线l 关于点A (1,1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P 2(x 1，y 1)关于点A 的对称点P 2′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝2－y .将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得，x ＋2y －4＝0， 即直线l ′的方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升综合练]1．解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20.2．解析：选C 直线3ax －y －2＝0过定点A (0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，由两点间的距离公式，得|AB |＝135. 3．解析：选A 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．4．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m＋1)＝0，解得m ＝－13或－1.答案：－13或－15．解析：如图，直线2x ＋3y －6＝0过点A (3,0)，B (0,2)，直线l: y ＝kx －3必过点(0，－3)．当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴上；当直线l 绕C 点逆时针(由位置AC 到位置BC )旋转时，交点在第一象限．根据k AC ＝－3－00－3＝33，得到直线l 的斜率k ＞33.∴倾斜角α的范围为30°<α<90°.答案：30°＜α＜90°6．解：法一：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0,2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝0，－2x 0＋2－y 0－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4，y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为： y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于A 、B .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0⇒A ⎝⎛⎭⎪⎫73k －1，10k －13k －1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0⇒B ⎝⎛⎭⎪⎫7k ＋2，8k ＋2k ＋2.∵A 、B 的中点为P (0,1)，则有：12⎝ ⎛⎭⎪⎫73k －1＋7k ＋2＝0，∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.法三：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，P (0,1)为AB 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得： 2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3y 1＋10＝0，2x 1＋y 1＋6＝0⇒A (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 法四：同法一，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝0，2x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)观察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为： x ＋4y －4＝0.7．解：原式可化为y ＝x －42＋0－22＋x －02＋0－12.考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)，使得|PA |＋|PB |最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)， 由图可直观得出|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |， 故|PA |＋|PB |的最小值为|A ′B |的长度． 由两点间的距离公式可得 |A ′B |＝4－02＋－2－12＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5.。

2021年高中数学 3.3.1两条直线的交点坐标练习 新人教A 版必修2一、选择题1．直线2x ＋3y ＋8＝0和直线x －y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2,1)[答案] B[解析] 解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，即交点坐标是(－1，－2)．2．经过两点A (－2,5)，B (1，－4)的直线l 与x 轴的交点的坐标是( ) A ．(－13，0)B ．(－3,0)C ．(13，0)D ．(3,0)[答案] A[解析] 过点A (－2,5)和B (1，－4)的直线方程为3x ＋y ＋1＝0，故它与x 轴的交点的坐标为(－13，0)．3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( )A ．－2B ．－12C ．2D ．12[答案] B[解析] 由⎩⎨⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0得交点(－1，－2)，代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B ．4．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)[答案] C[解析] 方程可化为y －1＝k (x －3)，即直线都通过定点(3,1)．5．经过直线2x ＋y ＋5＝0与x －3y ＋4＝0的交点且斜率为－319的直线的方程为( )A ．19x －3y ＝0B ．19x －9y ＝0C ．9x ＋19y ＝0D ．3x ＋19y ＝0[答案] D[解析] 由⎩⎨⎧2x ＋y ＋5＝0，x －3y ＋4＝0解得交点坐标(－197，37)，又k ＝－319，则方程为y－37＝－319(x＋197)，即3x＋19y＝0.6．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0[答案] B[解析] 在方程3x－4y＋5＝0中，用－y代替y，得3x＋4y＋5＝0即为所求直线的方程．二、填空题7．在△ABC中，高线AD与BE的方程分别是x＋5y－3＝0和x＋y－1＝0，AB边所在直线的方程是x＋3y－1＝0，则△ABC的顶点坐标分别是A_________；B_________；C_________.[答案] (－2,1) (1,0) (2,5)[解析] 高线AD与边AB的交点即为顶点A，高线BE与边AB的交点即为顶点B，顶点C通过垂直关系进行求解．8．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝_________.[答案] －2或－2 3[解析] 由题意，得(a ＋2)(2a ＋3)－(1－a )(a ＋2)＝0，解得a ＝－2或－23.三、解答题9．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围．[分析] 解方程组得交点坐标，再根据点M 在第四象限列出不等式组，解得m 的取值范围．[解析] 由⎩⎨⎧x ＋y －3m ＝0，2x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋13，y ＝8m －13.∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)．∵交点M 在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋13>0，8m －13<0，解得－1<m <18.∴m 的取值范围是(－1，18)．10．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．[解析] 解法1：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎨⎧x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋2－y 0－8＝0⇒⎩⎨⎧x 0＝－4y 0＝2，∴k AP ＝1－20＋4＝－14， 故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0.解法2：设所求直线l 方程为：y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N . 解方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0⇒N (73k －1，10k －13k －1)解方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0⇒M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2) ∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0⇒∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解法3：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，P (0,1)为MN 的中点，则有：⎩⎨⎧x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎨⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得：2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0. 解方程组⎩⎨⎧x 1－3y 1＋10＝02x 1＋y 1＋6＝0⇒M (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 解法4：同解法1，设A (x 0，y 0)， ⎩⎨⎧x 0－3y 0＋10＝02x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1)考察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A ．根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为：x ＋4y －4＝0.能力提升一、选择题1．已知直线l 1的方程为Ax ＋3y ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C 的值为( )A ．4B ．－4C ．±4D ．与A 有关[答案] B[解析] 由题意，l 2与y 轴的交点在l 1上，又l 2与y 轴的交点为(0，43)，所以A ×0＋3×43＋C ＝0，C ＝－4.故选B ．2．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(－2，－3)B ．(2,1)C ．(2,3)D ．(－2，－1)[答案] C[解析] 将A 、B 、C 、D 四个选项代入x －y ＋1＝0否定A 、B ，又MN 与x ＋2y －3＝0垂直，否定D ，故选C ．3．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0 [答案] B[解析] 由⎩⎨⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)．∵所求直线与3x ＋y －1＝0垂直，∴所求直线斜率k ＝13，∴y －4＝13(x ＋1)，即x －3y ＋13＝0.4．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4[答案] B[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20. 二、填空题5．已知直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围是_________.[答案] －32<a <2[解析] 解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37y ＝a －27，交点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，解得－32<a <2.6．已知直线l 1：a 1x ＋b 1y ＝1和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＝1相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是_________.[答案] 2x ＋3y ＝1[解析] 由题意得P (2,3)在直线l 1和l 2上， 所以有⎩⎨⎧2a 1＋3b 1＝1，2a 2＋3b 2＝1，则点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的坐标是方程2x ＋3y＝1的解，所以经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋3y ＝1. 三、解答题7．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在的直线方程为x －2y －5＝0，求(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．[解析] (1)由题意BH 与AC 垂直， ∴k BH ·k AC ＝12k AC ＝－1.∴k AC ＝－2，∴直线AC 的方程为2x ＋y －11＝0. 解方程组⎩⎨⎧2x －y －5＝0，2x ＋y －11＝0，得点C的坐标为(4,3)．(2)设B(x0，y0)，得M(x＋52，y＋12)，于是有x0＋5－y＋12－5＝0，即2x0－y0－1＝0.与x0－2y0－5＝0联立，解得点B的坐标为(－1，－3)．∴直线BC的方程为6x－5y－9＝0.8．m为何值时，直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3＝2x－3my－4＝0不能围成三角形？[解析] (1)先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．①若m≠0，则k1＝－4，k2＝－m，k3＝23m，当m＝4时，k1＝k2；当m＝－16时，k1＝k3；而k2与k3不可能相等．②若m＝0，则l1：4x＋y－4＝0，l2：y＝0，l3：2x－4＝0，这时三条直线能围成三角形．∴当m＝4或m＝－16时，三条直线不能围成三角形．(2)再考虑三条直线共点的情况．将y＝－mx代入方程4x＋y－4＝0，得(4－m)x＝4，当m≠4时，x＝44－m，即l1与l2交于点P(44－m ，－m4－m)，将P点坐标代入l3的方程得84－m＋12m24－m－4＝0，解得m＝－1或m＝2 3 .∴m＝－1或m＝23时，l1，l2，l3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m＝－1，－16，23，4时，三条直线不能围成三角形． 33934 848E 蒎245585FEE 忮.d31786 7C2A 簪0428661 6FF5 濵;L 25813 64D5 擕。

2021年高中数学 3.3.1两条直线的交点坐标及两点间的距离练习 新人教A 版必修2 基础梳理1．求两直线的交点坐标的方法：解方程组，以方程组的解为坐标的点就是交点．2．两点间的距离公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB |练习1：直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＝2的位置关系为平行．练习2：(1)两点A(0，－4)与B(0，－1)间的距离为3.(2)已知两点A(2，5)，B(3，7)，则|AB|(3)P(x ，y)到原点O(0，0)的距离d►思考应用如何利用方程判断两直线的位置关系？解析：只要将两条直线l 1和l 2的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. (1)若方程组无解，则l 1∥l 2；(2)若方程组有且只有一个解，则l 1与l 2相交；(3)若方程组有无数解，则l 1与l 2重合．自测自评1．直线3x ＋5y ＋1＝0与直线4x ＋3y ＋5＝0的交点是(A )A ．(－2，1)B ．(－3，2)C ．(2，－1)D ．(3，－2)2．直线x ＝1与直线y ＝2的交点坐标是(A )A (1，2)B ．(2，1)C ．(1，1)D ．(2，2)3．当a 取不同实数时，直线(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0恒过一个定点，这个定点是(B ) A ．(2，3) B ．(－2，3)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 D ．(－2，0) 解析：将直线化为a(x ＋2)＋(－x －y ＋1)＝0，故直线过定点(－2，3)．4．已知点A(a ，0)，B(b ，0)，则A ，B 两点间的距离为(D )A ．a －bB ．b －aC .a 2＋b 2D ．|a －b|5．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(B )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：|AB|＝|AC|＝17，|BC|＝18，故△ABC 为等腰三角形．基础达标1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标为(C )A ．(4，1)B ．(1，4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 2．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点是P (2，3)，则过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程是(C )A ．3x ＋2y ＝0B ．2x －3y ＋5＝0C ．2x ＋3y ＋1＝0D ．3x ＋2y ＋1＝03．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB |等于(C )A.895B.175C.135D.115解析：易知A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，25，|AB |＝135. 4．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于(C )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210解析：设A (x ，0)，B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝（0－4）2＋（－2－0）2＝20＝2 5.5．根据图中信息写出：(1)|AB |＝________；|BC |＝________．(2)|CD |＝________；|DA |＝________．(3)|AC |＝________；|BD |＝________．(1) 5 2 2 (2) 5 2 2 (3)317巩固提升6．已知M (1，0)，N (－1，0)，点P 在直线2x －y －1＝0上移动，则|PM |2＋|PN |2的最小值为________．答案：2.47．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证明：证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0，令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)． 将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m－2－3m －9－m ＋11＝0.这表明不论m 为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0， 解得x ＝2，y ＝－3.所以所给的直线不论m 取什么实数，都经过一个定点(2，－3)．8．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)．(1)求BC 边上的中线AM 的长；(2)证明△ABC 为等腰直角三角形．(1)解析：设点M 的坐标为(x ，y )，∵点M 为BC 边的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即M (2，2)，由两点间的距离公式得：|AM |＝（－3－2）2＋（1－2）2＝26.∴BC 边上的中线AM 长为26.(2)证明：由两点间的距离公式得|AB |＝（－3－3）2＋（1＋3）2＝213，|BC |＝（1－3）2＋（7＋3）2＝226，|AC |＝（－3－1）2＋（1－7）2＝213，∵|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰直角三角形．9．(1)求与点P (3，5)关于直线l ：x －3y ＋2＝0对称的点P ′的坐标．(2)已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．解析：(1)设P ′(x 0，y 0)，则k PP ′＝y 0－5x 0－3， PP ′中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋32，y 0＋52. ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－5x 0－3·13＝－1，x 0＋32－3×y 0＋52＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝5，y 0＝－1. ∴点P ′坐标为(5，－1)．(2)当直线l 1的斜率不存在时，方程为x ＝1，此时l 1与l 的交点B 的坐标为(1，4)． |AB |＝（1－1）2＋[4－（－1）]2＝5符合题意．当直线l 1的斜率存在时，设为k .则k ≠－2，∴直线l 1为y ＋1＝k (x －1)，则l 1与l 的交点B 为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，2（2k －1）k ＋2， ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2（2k －1）k ＋2＋12＝5. 解得k ＝－34，∴直线l 1为3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.1．关于两条直线相交的判定：(1)两直线组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．2．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．3．对于特殊情况，可结合图形求解．(1)P1P2平行于x轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)P1P2平行于y轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)P1，P2在直线y＝kx＋b上时，|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2＝（x2－x1）2＋（kx2－kx1）2＝1＋k2·|x2－x1|.27834 6CBA 沺27388 6AFC 櫼 23454 5B9E 实25517 63AD 掭26133 6615 昕^38550 9696 隖b34085 8525 蔥`29174 71F6 燶39443 9A13 験。